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Mathematik · Klasse 5 · Kapitel

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Rechengesetze und Rechenvorteile

EntdeckenDie Frage zum Kapitel

Rechne im Kopf, so schnell du kannst: 25 · 17 · 4. Schreib nichts auf und nimm keinen Taschenrechner.

Schreib eine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Für die Lehrkraft: Die meisten rechnen von links: 25 · 17 und kommen durcheinander. Andere geben auf oder raten. Nur wenige sehen, dass 25 und 4 zusammen 100 ergeben. Beim Malnehmen darf man die Zahlen vertauschen. Dann steht 25 · 4 · 17 da, also 100 · 17. Das Ergebnis ist 1700, in einer Sekunde.

  • Entdecken Frage, Vorstellung, Bild
  • Merken kommt ins Heft
  • Beispiel vorgerechnet, Schritt für Schritt
  • Üben selbst rechnen
  • Achtung typischer Fehler
  • Weiterdenken zum Knobeln und Vernetzen

○ mit Starthilfe, ● für alle, ★ zum Weiterdenken. Du wählst mindestens eine ★-Aufgabe. Du rechnest ins Heft.

Fit für das Kapitel?

Das brauchst du aus früheren Themen. Klappt es nicht, frag nach, bevor es losgeht.

ÜbenWeißt du das noch?

Punkt vor Strich und Klammer zuerst – so steht es seit Klasse 4 im Heft.

  1. ●39
    Rechne: 28 − 4 · 4
    Lösung zeigen
    1. Punkt vor Strich: erst 4 · 4 = 16
    2. 28 − 16 = 12
    Ergebnis:
    12
  2. ●40
    Rechne: (3 + 7) · 2
    Lösung zeigen
    1. Die Klammer zuerst: 3 + 7 = 10
    2. 10 · 2 = 20
    Ergebnis:
    20

ÜbenWeißt du das noch?

Punkt vor Strich und Klammer zuerst – die Reihenfolge entscheidet über das Ergebnis.

  1. ●41
    Berechne: 11 + 7 · 6
    Lösung zeigen
    1. Punkt vor Strich: erst 7 · 6 = 42
    2. 11 + 42 = 53
    Ergebnis:
    53
  2. ●42
    Ich denke mir eine Zahl, addiere 21 und erhalte 38. Welche Zahl war es? (Umkehraufgabe)
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    17

So kannst du es dir vorstellen

EntdeckenZahlen umbauen, ohne den Wert zu ändern

Eine Rechnung lässt sich umbauen, ohne dass sich ihr Wert ändert. Zahlen tauschen die Plätze, bilden neue Gruppen oder werden zerlegt. Wer das sieht, rechnet mit glatten Zahlen statt mit krummen.

17 plus 38 plus 3: Erst 17 und 3 zu 20 zusammenfassen, dann 20 plus 38 sind 5817 + 38 + 317 + 3 = 20= 20 + 38 = 58

WeiterdenkenDenk nach

Warum darf man bei 25 + 38 + 75 zuerst 25 und 75 addieren, bei 50 − 20 − 10 aber nicht zuerst 20 − 10?

1Ich rechne Plusaufgaben und Malaufgaben geschickt durch Vertauschen und Zusammenfassen.

EntdeckenFrage

Wie konnte der neunjährige Carl Friedrich Gauß die Zahlen von 1 bis 100 in wenigen Minuten addieren?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Er hat die Zahlen in Paare umsortiert: 1 und 100, 2 und 99, 3 und 98. Jedes Paar ergibt 101, und es sind 50 Paare. Also 50 · 101 = 5050. Er hat nur vertauscht und neu zusammengefasst.

MerkenVertauschen und zusammenfassen

Beim Plus und beim Mal darf man die Zahlen vertauschen und anders zusammenfassen.

Erst die Zahlen nehmen, die zusammen glatt werden.

BeispielPlusaufgaben geschickt: vertauschen und zusammenfassen

Rechne geschickt: 73 + 34 + 27
733427
Schritt für Schritt
  1. Vertauschen: 73 + 27 + 34
  2. 73 + 27 = 100
  3. 100 + 34 = 134
  1. Vertauschen: 73 + 27 + 34
  2. 73 + 27 = 100
  3. 100 + 34 = 134
Ergebnis:
134

AchtungBeim Minus oder Geteilt vertauscht

So nicht
50 − 20 − 10: erst 20 − 10 = 10, dann 50 − 10 = 40
So richtig
50 − 20 − 10 = 30 − 10 = 20

Vertauschen ist nur beim Plus und beim Mal erlaubt. 20 − 5 ist nicht 5 − 20.

ÜbenJetzt du

  1. ○1
    Rechne geschickt: 12 + 49 + 8
    12498
    So fängst du an:
    Vertauschen: 12 + 8 + 49
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 12 + 8 + 49
    2. 12 + 8 = 20
    3. 20 + 49 = 69
    Ergebnis:
    69
  2. ●2
    Welche Zahlen fasst du bei 24 + 35 + 26 zuerst zusammen? Begründe. Rechne danach.
    243526
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 24 + 26 + 35
    2. 24 + 26 = 50
    3. Zusammen glatt, der Rest ist leicht: 50 + 35 = 85
    Ergebnis:
    85
  3. ★3
    Welche Zahlen fasst du bei 762 + 439 + 238 zuerst zusammen? Begründe. Rechne danach.
    762439238
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 762 + 238 + 439
    2. 762 + 238 = 1000
    3. Zusammen glatt, der Rest ist leicht: 1000 + 439 = 1439
    Ergebnis:
    1439

2Ich verändere Summen gegensinnig und Differenzen gleichsinnig.

EntdeckenFrage

Warum rechnen Kassiererinnen 3,99 € mal 4 schneller als ein Kunde mit Papier?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Sie rechnen 4 mal 4 € und ziehen dann 4 Cent ab: 16,00 € − 0,04 € = 15,96 €. Das ist Zerlegen: 3,99 ist 4 minus 1 Cent. Der Rechenweg ist kurz, weil er über die glatte Zahl geht.

MerkenGegensinnig und gleichsinnig

Bei einer Summe gibt ein Summand ab, was der andere bekommt.

Bei einer Differenz ändern sich beide Zahlen gleich, der Abstand bleibt.

BeispielSummen gegensinnig verändern

Rechne geschickt durch gegensinniges Verändern: 97 + 64
9764
Schritt für Schritt
  1. 97 bekommt 3 dazu, 64 gibt 3 ab.
  2. 97 + 64 = 100 + 61
  3. 100 + 61 = 161
  1. 97 bekommt 3 dazu, 64 gibt 3 ab.
  2. 97 + 64 = 100 + 61
  3. 100 + 61 = 161
Ergebnis:
161

AchtungNur eine Zahl verändert

So nicht
143 − 97: 143 − 100 = 43
So richtig
143 − 97 = 146 − 100 = 46

Bei der Summe gegensinnig, bei der Differenz gleichsinnig: Immer beide Zahlen verändern.

ÜbenJetzt du

  1. ○4
    Ergänze so, dass die Summe gleich bleibt: 98 + 88 = 100 + ___
    9888
    So fängst du an:
    98 wird zu 100: 2 mehr.
    Lösung zeigen
    1. 98 wird zu 100: 2 mehr.
    2. Also muss 88 um 2 kleiner werden: 88 − 2 = 86
    3. 100 + 86 = 186
    Ergebnis:
    86
  2. ●5
    Rechne geschickt durch gegensinniges Verändern: 68 + 36
    6836
    Lösung zeigen
    1. 68 bekommt 2 dazu, 36 gibt 2 ab.
    2. 68 + 36 = 70 + 34
    3. 70 + 34 = 104
    Ergebnis:
    104
  3. ★6
    Rechne geschickt durch gegensinniges Verändern: 1996 + 977
    1996977
    Lösung zeigen
    1. 1996 bekommt 4 dazu, 977 gibt 4 ab.
    2. 1996 + 977 = 2000 + 973
    3. 2000 + 973 = 2973
    Ergebnis:
    2973

3Ich nehme halbschriftlich mal, indem ich einen Faktor zerlege.

EntdeckenFrage

Wie haben Bauern in Russland früher ohne Einmaleins multipliziert?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Sie haben eine Zahl immer halbiert und die andere verdoppelt, bis links eine 1 stand. Dann addierten sie die rechten Zahlen der Zeilen mit ungerader linker Zahl. Das Verfahren heißt russische Bauernmultiplikation und nutzt, dass Verdoppeln und Halbieren das Produkt nicht ändert.

Ausprobieren: Malnehmen am Rechteck

Länge und Höhe in Teile zerlegen – das Rechteck zerfällt in Teilrechtecke, und jedes ist eine leichte Malaufgabe.

MerkenMalnehmen mit Zerlegen

Einen Faktor zerlegen, jeden Teil malnehmen und die Teilergebnisse addieren.

So wird 7 · 48 zu 7 · 40 + 7 · 8.

BeispielHalbschriftlich malnehmen mit Zerlegen

Rechne halbschriftlich: Zerlege den zweiten Faktor. 5 · 23
Schritt für Schritt
  1. 23 = 20 + 3
  2. 5 · 20 = 100 und 5 · 3 = 15
  3. 100 + 15 = 115
  1. 23 = 20 + 3
  2. 5 · 20 = 100 und 5 · 3 = 15
  3. 100 + 15 = 115
Ergebnis:
115

AchtungBeim Zerlegen einen Teil vergessen

So nicht
7 · 48: 7 · 40 + 8 = 288
So richtig
7 · 48 = 7 · 40 + 7 · 8 = 280 + 56 = 336

Jeder Teil des zerlegten Faktors wird malgenommen, nicht nur der erste.

ÜbenJetzt du

  1. ○7
    Es gibt 3 Hefte mit je 65 Hefte. Wie viele Hefte sind es? Rechne halbschriftlich.
    So fängst du an:
    3 · 65
    Lösung zeigen
    1. 3 · 65
    2. 65 = 60 + 5
    3. 3 · 60 = 180 und 3 · 5 = 15
    4. 180 + 15 = 195
    Ergebnis:
    195 Hefte
  2. ●8
    Rechne halbschriftlich: Zerlege den zweiten Faktor. 7 · 15
    Lösung zeigen
    1. 15 = 10 + 5
    2. 7 · 10 = 70 und 7 · 5 = 35
    3. 70 + 35 = 105
    Ergebnis:
    105
  3. ★9
    Rechne halbschriftlich: Zerlege den zweiten Faktor. 6 · 48
    Lösung zeigen
    1. 48 = 40 + 8
    2. 6 · 40 = 240 und 6 · 8 = 48
    3. 240 + 48 = 288
    Ergebnis:
    288

4Ich dividiere halbschriftlich, indem ich die Zahl geschickt zerlege.

EntdeckenFrage

Warum ist 25 mal 4 ein Lieblingspaar beim Kopfrechnen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

25 mal 4 ergibt genau 100. Kommen 25 und 4 in einer Malaufgabe vor, fasst man sie zuerst zusammen. Aus 25 · 37 · 4 wird dann 100 · 37 = 3700, ganz ohne schriftliches Rechnen.

MerkenTeilen mit Zerlegen

Die Zahl so zerlegen, dass jeder Teil glatt aufgeht. So wird 385 : 7 zu 350 : 7 + 35 : 7.

BeispielHalbschriftlich dividieren

186 Sticker werden gleichmäßig auf 6 Kinder aufgeteilt. Wie viele bekommt jeder Teil? Rechne halbschriftlich.
Schritt für Schritt
  1. 186 : 6
  2. 186 = 180 + 6
  3. 180 : 6 = 30 und 6 : 6 = 1
  4. 30 + 1 = 31
  1. 186 : 6
  2. 186 = 180 + 6
  3. 180 : 6 = 30 und 6 : 6 = 1
  4. 30 + 1 = 31
Ergebnis:
31 Sticker

AchtungBeim Teilen nicht passend zerlegt

So nicht
385 : 7: 300 : 7 geht nicht glatt → aufgegeben
So richtig
385 : 7 = 350 : 7 + 35 : 7 = 50 + 5 = 55

Jeder Teil muss sich glatt teilen lassen. Erst ein großes Vielfaches abspalten.

ÜbenJetzt du

  1. ○10
    Rechne halbschriftlich: 208 : 4
    So fängst du an:
    208 = 200 + 8
    Lösung zeigen
    1. 208 = 200 + 8
    2. 200 : 4 = 50 und 8 : 4 = 2
    3. 50 + 2 = 52
    Ergebnis:
    52
  2. ●11
    315 Murmeln werden gleichmäßig auf 5 Säckchen aufgeteilt. Wie viele bekommt jeder Teil? Rechne halbschriftlich.
    Lösung zeigen
    1. 315 : 5
    2. 315 = 300 + 15
    3. 300 : 5 = 60 und 15 : 5 = 3
    4. 60 + 3 = 63
    Ergebnis:
    63 Murmeln
  3. ★12
    Zerlege 1253 so in zwei Zahlen, dass du beide leicht durch 7 dividieren kannst. Was ergibt 1253 : 7?
    1253: 7
    Lösung zeigen
    1. 1253 = 1190 + 63
    2. 1190 : 7 = 170 und 63 : 7 = 9
    3. 170 + 9 = 179
    Ergebnis:
    179

5Ich finde Aufgaben mit gleichem Ergebnis und vergleiche Rechenausdrücke.

EntdeckenFrage

Warum stimmt der Trick „mal 9 ist mal 10 minus einmal“ immer?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Neunmal eine Zahl ist zehnmal die Zahl minus einmal die Zahl. So wird 9 · 47 zu 470 − 47 = 423. Das ist das Verteilungsgesetz: 9 ist 10 minus 1.

MerkenAusdrücke mit gleichem Wert

Verschiedene Rechenausdrücke können denselben Wert haben.

Wer die Rechengesetze nutzt, sieht das oft ohne Ausrechnen.

BeispielAufgaben mit gleichem Ergebnis

Finde die fehlende Zahl mit einem Rechengesetz: 70 + 54 = 67 + ___
70 + 54=67 + ?
Schritt für Schritt
  1. 70 wird zu 67: 3 weniger.
  2. Damit die Summe gleich bleibt, wird 54 um 3 größer.
  3. 54 + 3 = 57
  1. 70 wird zu 67: 3 weniger.
  2. Damit die Summe gleich bleibt, wird 54 um 3 größer.
  3. 54 + 3 = 57
Ergebnis:
57

AchtungPunkt vor Strich missachtet

So nicht
9 + 5 · 7 = 14 · 7 = 98
So richtig
9 + 5 · 7 = 9 + 35 = 44

Klammer zuerst, dann Mal und Geteilt, dann Plus und Minus.

ÜbenJetzt du

  1. ○13
    Ergänze die Lücke: 12 · 4 = 6 · ___
    12 · 4=6 · ?
    So fängst du an:
    12 wird halb so groß: 6.
    Lösung zeigen
    1. 12 wird halb so groß: 6.
    2. Damit das Ergebnis gleich bleibt, wird 4 doppelt so groß.
    3. 4 · 2 = 8
    Ergebnis:
    8
  2. ●14
    Ergänze die Lücke: 69 − 62 = ___ − 63
    Lösung zeigen
    1. 62 wird zu 63: 1 mehr.
    2. Damit der Abstand bleibt, wird auch 69 um 1 größer.
    3. 69 + 1 = 70
    Ergebnis:
    70
  3. ★15
    Finde die fehlende Zahl mit einem Rechengesetz: 56 − 34 = ___ − 35
    Lösung zeigen
    1. 34 wird zu 35: 1 mehr.
    2. Damit der Abstand bleibt, wird auch 56 um 1 größer.
    3. 56 + 1 = 57
    Ergebnis:
    57

6Ich rechne mit Verdoppeln und Halbieren und prüfe, ob das Ergebnis gleich bleibt.

EntdeckenFrage

Wie merkt man in Sekunden, dass 98 · 102 nicht 99.960 sein kann?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Man rechnet nicht, man überschlägt: 100 · 100 = 10.000. Das Ergebnis muss also in der Nähe von 10.000 liegen. 99.960 ist fast zehnmal so groß und kann nicht stimmen. Richtig ist 9996.

MerkenVerdoppeln und halbieren

Wird ein Faktor verdoppelt und der andere halbiert, bleibt das Produkt gleich.

Werden beide verdoppelt, wird es viermal so groß.

BeispielVerdoppeln und Halbieren

Warum ist 14 · 15 dasselbe wie 7 · 30? Rechne dann geschickt.
Schritt für Schritt
  1. Halb so viele Reihen, jede doppelt so lang: gleich viele Kästchen.
  2. 14 · 15 = 7 · 30
  3. 7 · 30 = 210
  1. Halb so viele Reihen, jede doppelt so lang: gleich viele Kästchen.
  2. 14 · 15 = 7 · 30
  3. 7 · 30 = 210
Ergebnis:
210

AchtungBeide Faktoren verdoppelt

So nicht
8 · 25 → 16 · 50 = 800
So richtig
8 · 25 → 4 · 50 = 200

Nur einer wird verdoppelt, der andere halbiert. Sonst ändert sich das Ergebnis.

ÜbenJetzt du

  1. ○16
    Zeynep verdoppelt bei 18 · 5 beide Faktoren und rechnet 36 · 10. Bleibt das Ergebnis gleich?
    So fängst du an:
    Einmal verdoppeln macht das Ergebnis doppelt so groß, zweimal viermal so groß.
    Lösung zeigen
    1. Einmal verdoppeln macht das Ergebnis doppelt so groß, zweimal viermal so groß.
    2. 36 · 10 = 360, aber 18 · 5 = 90
    3. Richtig ist: einen verdoppeln, den anderen halbieren.
    Ergebnis:
    Nein, viermal so groß; richtig ist 90
  2. ●17
    Rechne geschickt: Halbiere den einen Faktor und verdopple den anderen. 16 · 5
    Lösung zeigen
    1. 16 · 5 = 8 · 10
    2. 8 · 10 = 80
    Ergebnis:
    80
  3. ★18
    Rechne geschickt: Halbiere den einen Faktor und verdopple den anderen. 36 · 5
    Lösung zeigen
    1. 36 · 5 = 18 · 10
    2. 18 · 10 = 180
    Ergebnis:
    180

7Ich wähle zu einer Aufgabe den passenden Rechenweg.

EntdeckenFrage

Wie rechnen Darts-Profis blitzschnell aus, wie viele Punkte ihnen von 501 noch fehlen, wenn sie 140 geworfen haben?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Der geschickte Weg nimmt erst eine runde Zahl. 500 − 140 = 360, und der eine Extrapunkt kommt dazu: 361. Das geht schneller als 501 − 140 Stelle für Stelle. Am Ergebnis ändert der Weg nichts.

MerkenDen passenden Weg wählen

Vor dem Rechnen die Zahlen ansehen.

Liegt eine Zahl nahe an einer glatten, lohnt sich ein Vorteil, sonst rechnet man schriftlich.

BeispielDen passenden Rechenweg wählen

Welcher Weg passt zu 18 · 5? Nenne ihn. Rechne danach.
18 · 5zerlegenhalbieren und verdoppelnschriftlich
Schritt für Schritt
  1. 5 wird verdoppelt glatt: halbieren und verdoppeln.
  2. 18 · 5 = 9 · 10
  3. 9 · 10 = 90
  1. 5 wird verdoppelt glatt: halbieren und verdoppeln.
  2. 18 · 5 = 9 · 10
  3. 9 · 10 = 90
Ergebnis:
halbieren und verdoppeln, 90

AchtungUmständlichen Weg gewählt

So nicht
299 + 158 schriftlich untereinander gerechnet, dabei verrechnet: 447
So richtig
299 + 158 = 300 + 157 = 457

Erst die Zahlen ansehen: Liegt eine nahe an einer glatten Zahl?

ÜbenJetzt du

  1. ○19
    Welchen Rechenvorteil nutzt du bei 6 · 75? Nenne ihn. Rechne danach.
    6 · 75zerlegenhalbieren und verdoppelnschriftlich
    So fängst du an:
    Den zweiten Faktor zerlegen: 75 = 70 + 5.
    Lösung zeigen
    1. Den zweiten Faktor zerlegen: 75 = 70 + 5.
    2. 6 · 70 = 420 und 6 · 5 = 30
    3. Zusammen: 450
    Ergebnis:
    zerlegen, 450
  2. ●20
    Wie rechnest du am schnellsten: 40 + 64 + 60? Nenne ihn. Rechne danach.
    Lösung zeigen
    1. Zwei Zahlen ergeben zusammen 100: vertauschen und zusammenfassen.
    2. 40 + 60 = 100
    3. 100 + 64 = 164
    Ergebnis:
    vertauschen, 164
  3. ★21
    Wie rechnest du am schnellsten: 360 + 399? Nenne ihn. Rechne danach.
    Lösung zeigen
    1. 399 liegt knapp unter 400: gegensinnig verändern.
    2. 360 + 399 = 359 + 400
    3. 359 + 400 = 759
    Ergebnis:
    gegensinnig verändern, 759

8Ich finde Rechenfehler mit Überschlag und Umkehraufgabe.

EntdeckenFrage

Warum zählt man Rückgeld vom Preis aus nach oben, statt abzuziehen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Wer 13,40 € zahlen muss und 20 € gibt, bekommt 20 − 13,40 = 6,60 € zurück. Beim Hochzählen rechnet man die Umkehraufgabe: 13,40 + 6,60 = 20. Kommt man genau auf den gegebenen Betrag, stimmt das Rückgeld.

MerkenÜberschlag und Umkehraufgabe

Ein Überschlag mit runden Zahlen zeigt, ob ein Ergebnis stimmen kann.

Die Umkehraufgabe prüft es genau.

BeispielRechenfehler mit Überschlag und Umkehraufgabe finden

Jonas rechnet 120 : 3 und erhält 40. Prüfe mit der Umkehraufgabe.
120 : 3Ergebnis 40?
Schritt für Schritt
  1. Umkehraufgabe: 40 · 3 = 120
  2. 120 ist genau 120: Es stimmt.
  3. 120 : 3 = 40
  1. Umkehraufgabe: 40 · 3 = 120
  2. 120 ist genau 120: Es stimmt.
  3. 120 : 3 = 40
Ergebnis:
stimmt, 40

AchtungErgebnis nicht geprüft

So nicht
425 : 5 = 805, ohne Probe ins Heft
So richtig
425 : 5 → Überschlag 400 : 5 = 80 → 85, Probe 85 · 5 = 425

Mit einem Überschlag prüfen, ob die Größenordnung stimmt, dann mit der Umkehraufgabe.

ÜbenJetzt du

  1. ○22
    Can rechnet 300 : 5 und erhält 61. Prüfe mit der Umkehraufgabe.
    300 : 5Ergebnis 61?
    So fängst du an:
    Umkehraufgabe: 61 · 5 = 305
    Lösung zeigen
    1. Umkehraufgabe: 61 · 5 = 305
    2. 305 ist nicht 300: Es ist falsch.
    3. 300 : 5 = 60
    Ergebnis:
    falsch, richtig ist 60
  2. ●23
    Jonas erhält für 36 · 23 das Ergebnis 828. Prüfe mit einem Überschlag.
    Lösung zeigen
    1. Überschlag: 40 · 20 = 800
    2. 828 liegt in der Nähe. Genau rechnen: 36 · 23 = 828
    3. Das Ergebnis stimmt.
    Ergebnis:
    stimmt, 828
  3. ★24
    Emma rechnet 824 : 4 und erhält 206. Prüfe mit der Umkehraufgabe.
    824 : 4Ergebnis 206?
    Lösung zeigen
    1. Umkehraufgabe: 206 · 4 = 824
    2. 824 ist genau 824: Es stimmt.
    3. 824 : 4 = 206
    Ergebnis:
    stimmt, 206

Vermischte Übungen

Alles durcheinander – wie in der Arbeit. Überleg bei jeder Aufgabe zuerst: Welches Ziel ist das?

Üben

  1. ●25
    Rechne geschickt: 8 + 85 + 12
    88512
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 8 + 12 + 85
    2. 8 + 12 = 20
    3. 20 + 85 = 105
    Ergebnis:
    105
  2. ●26
    Rechne geschickt: 20 · 16 · 5
    20165
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 20 · 5 · 16
    2. 20 · 5 = 100
    3. 100 · 16 = 1600
    Ergebnis:
    1600
  3. ●27
    Ergänze so, dass die Summe gleich bleibt: 98 + 38 = 100 + ___
    9838
    Lösung zeigen
    1. 98 wird zu 100: 2 mehr.
    2. Also muss 38 um 2 kleiner werden: 38 − 2 = 36
    3. 100 + 36 = 136
    Ergebnis:
    36
  4. ●28
    Rechne geschickt durch gleichsinniges Verändern: 183 − 49
    Lösung zeigen
    1. Beide Zahlen um 1 vergrößern: Der Abstand bleibt gleich.
    2. 183 − 49 = 184 − 50
    3. 184 − 50 = 134
    Ergebnis:
    134
  5. ●29
    Es gibt 9 Reihen mit je 63 Stühle. Wie viele Stühle sind es? Rechne halbschriftlich.
    Lösung zeigen
    1. 9 · 63
    2. 63 = 60 + 3
    3. 9 · 60 = 540 und 9 · 3 = 27
    4. 540 + 27 = 567
    Ergebnis:
    567 Stühle
  6. ●30
    Welche zwei Malaufgaben zeigen die beiden Teile des Rechtecks? Was ergibt 3 · 22?
    2023
    Lösung zeigen
    1. Links: 3 · 20 = 60
    2. Rechts: 3 · 2 = 6
    3. 3 · 22 = 60 + 6 = 66
    Ergebnis:
    3 · 20 und 3 · 2, zusammen 66

Auf einen Blick

MerkenDas Wichtigste

Vertauschen und zusammenfassen
Beim Plus und beim Mal darf man die Zahlen vertauschen und anders zusammenfassen.
Gegensinnig und gleichsinnig
Bei einer Summe gibt ein Summand ab, was der andere bekommt.
Malnehmen mit Zerlegen
Einen Faktor zerlegen, jeden Teil malnehmen und die Teilergebnisse addieren.
Teilen mit Zerlegen
Die Zahl so zerlegen, dass jeder Teil glatt aufgeht. So wird 385 : 7 zu 350 : 7 + 35 : 7.
Ausdrücke mit gleichem Wert
Verschiedene Rechenausdrücke können denselben Wert haben.
Verdoppeln und halbieren
Wird ein Faktor verdoppelt und der andere halbiert, bleibt das Produkt gleich.
Den passenden Weg wählen
Vor dem Rechnen die Zahlen ansehen.
Überschlag und Umkehraufgabe
Ein Überschlag mit runden Zahlen zeigt, ob ein Ergebnis stimmen kann.

Kannst du das?

Je Ziel eine Aufgabe. Rechne sie ins Heft, dann kreuz ehrlich an. Keine Punkte, keine Note – der Test ist für dich.

ÜbenSelbsttest

  1. Ich rechne Plusaufgaben und Malaufgaben geschickt durch Vertauschen und Zusammenfassen.

    31
    Rechne geschickt: 34 + 77 + 6
    34776
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    117

  2. Ich verändere Summen gegensinnig und Differenzen gleichsinnig.

    32
    Rechne geschickt durch gegensinniges Verändern: 48 + 83
    4883
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    131

  3. Ich nehme halbschriftlich mal, indem ich einen Faktor zerlege.

    33
    Es gibt 5 Tüten mit je 69 Bonbons. Wie viele Bonbons sind es? Rechne halbschriftlich.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    345 Bonbons

  4. Ich dividiere halbschriftlich, indem ich die Zahl geschickt zerlege.

    34
    Rechne halbschriftlich: 288 : 6
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    48

  5. Ich finde Aufgaben mit gleichem Ergebnis und vergleiche Rechenausdrücke.

    35
    Welche Zahl fehlt? Rechne nicht beide Seiten aus. 8 · 13 = 4 · ___
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    26

  6. Ich rechne mit Verdoppeln und Halbieren und prüfe, ob das Ergebnis gleich bleibt.

    36
    Warum ist 16 · 25 dasselbe wie 8 · 50? Rechne dann geschickt.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    400

  7. Ich wähle zu einer Aufgabe den passenden Rechenweg.

    37
    Welcher Weg passt zu 147 + 299? Nenne ihn. Rechne danach.
    147 + 299zerlegenhalbieren und verdoppelnschriftlich
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    gegensinnig verändern, 446

  8. Ich finde Rechenfehler mit Überschlag und Umkehraufgabe.

    38
    Zeynep rechnet 518 : 7 und erhält 74. Prüfe mit der Umkehraufgabe.
    518 : 7Ergebnis 74?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    stimmt, 74

Bei „unsicher“ oder „noch nicht“: Lies den Abschnitt zum Ziel noch einmal und rechne seine drei Aufgaben.

Die Frage vom Anfang

EntdeckenRückschau

Rechne im Kopf, so schnell du kannst: 25 · 17 · 4. Schreib nichts auf und nimm keinen Taschenrechner.

Lies deine Vermutung vom Anfang. Kannst du die Frage jetzt mit dem Kapitel beantworten?

Auflösung

Mit dem Werkzeug aus diesem Kapitel: Vertauschen und Zusammenfassen: erst die Zahlen, die zusammen glatt werden.

Wo brauchst du das?

Entdecken

Preise im Kopf addieren, Rückgeld überschlagen, Mengen für ein Fest ausrechnen. Beruf: Kasse und Verkauf, Handwerk beim Materialberechnen, Lager und Versand.

Wörter

Differenz
was übrig bleibt, wenn man abzieht
Gleichung
zwei Rechnungen, die gleich viel wert sind
Produkt
was herauskommt, wenn man malnimmt
Summe
was herauskommt, wenn man zusammenzählt
Teiler
eine Zahl, durch die es ohne Rest aufgeht

Wie es zusammenhängt

Das brauchst du vorher: Rechenregeln, Teiler und Vielfache, Natürliche Zahlen und Stellenwert

Darauf baut auf: Sachaufgaben lösen

Lösungen

  1. 69
  2. 85
  3. 1439
  4. 86
  5. 104
  6. 2973
  7. 195 Hefte
  8. 105
  9. 288
  10. 52
  11. 63 Murmeln
  12. 179
  13. 8
  14. 70
  15. 57
  16. Nein, viermal so groß; richtig ist 90
  17. 80
  18. 180
  19. zerlegen, 450
  20. vertauschen, 164
  21. gegensinnig verändern, 759
  22. falsch, richtig ist 60
  23. stimmt, 828
  24. stimmt, 206
  25. 105
  26. 1600
  27. 36
  28. 134
  29. 567 Stühle
  30. 3 · 20 und 3 · 2, zusammen 66
  31. 117
  32. 131
  33. 345 Bonbons
  34. 48
  35. 26
  36. 400
  37. gegensinnig verändern, 446
  38. stimmt, 74
  39. 12
  40. 20
  41. 53
  42. 17