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Mathematik · Klasse 5 · Kapitel

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Rechengesetze und Rechenvorteile

EntdeckenDie Frage zum Kapitel

Rechne im Kopf, so schnell du kannst: 25 · 17 · 4. Schreib nichts auf und nimm keinen Taschenrechner.

Schreib eine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Für die Lehrkraft: Die meisten rechnen von links: 25 · 17 und kommen durcheinander. Andere geben auf oder raten. Nur wenige sehen, dass 25 und 4 zusammen 100 ergeben. Beim Malnehmen darf man die Zahlen vertauschen. Dann steht 25 · 4 · 17 da, also 100 · 17. Das Ergebnis ist 1700, in einer Sekunde.

  • Entdecken Frage, Vorstellung, Bild
  • Merken kommt ins Heft
  • Beispiel vorgerechnet, Schritt für Schritt
  • Üben selbst rechnen
  • Achtung typischer Fehler
  • Weiterdenken zum Knobeln und Vernetzen

○ mit Starthilfe, ● für alle, ★ zum Weiterdenken. Du wählst mindestens eine ★-Aufgabe. Du rechnest ins Heft.

Fit für das Kapitel?

Das brauchst du aus früheren Themen. Klappt es nicht, frag nach, bevor es losgeht.

ÜbenWeißt du das noch?

Punkt vor Strich und Klammer zuerst – so steht es seit Klasse 4 im Heft.

  1. ●39
    Rechne: 52 − 4 · 8
    Lösung zeigen
    1. Punkt vor Strich: erst 4 · 8 = 32
    2. 52 − 32 = 20
    Ergebnis:
    20
  2. ●40
    Rechne: (9 + 6) · 2
    Lösung zeigen
    1. Die Klammer zuerst: 9 + 6 = 15
    2. 15 · 2 = 30
    Ergebnis:
    30

ÜbenWeißt du das noch?

Punkt vor Strich und Klammer zuerst – die Reihenfolge entscheidet über das Ergebnis.

  1. ●41
    Berechne: 3 + 8 · 5
    Lösung zeigen
    1. Punkt vor Strich: erst 8 · 5 = 40
    2. 3 + 40 = 43
    Ergebnis:
    43
  2. ●42
    Ich denke mir eine Zahl, addiere 24 und erhalte 58. Welche Zahl war es? (Umkehraufgabe)
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    34

So kannst du es dir vorstellen

EntdeckenZahlen umbauen, ohne den Wert zu ändern

Eine Rechnung lässt sich umbauen, ohne dass sich ihr Wert ändert. Zahlen tauschen die Plätze, bilden neue Gruppen oder werden zerlegt. Wer das sieht, rechnet mit glatten Zahlen statt mit krummen.

17 plus 38 plus 3: Erst 17 und 3 zu 20 zusammenfassen, dann 20 plus 38 sind 5817 + 38 + 317 + 3 = 20= 20 + 38 = 58

WeiterdenkenDenk nach

Warum darf man bei 25 + 38 + 75 zuerst 25 und 75 addieren, bei 50 − 20 − 10 aber nicht zuerst 20 − 10?

1Ich rechne Plusaufgaben und Malaufgaben geschickt durch Vertauschen und Zusammenfassen.

EntdeckenFrage

Wie konnte der neunjährige Carl Friedrich Gauß die Zahlen von 1 bis 100 in wenigen Minuten addieren?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Er hat die Zahlen in Paare umsortiert: 1 und 100, 2 und 99, 3 und 98. Jedes Paar ergibt 101, und es sind 50 Paare. Also 50 · 101 = 5050. Er hat nur vertauscht und neu zusammengefasst.

MerkenVertauschen und zusammenfassen

Beim Plus und beim Mal darf man die Zahlen vertauschen und anders zusammenfassen.

Erst die Zahlen nehmen, die zusammen glatt werden.

BeispielPlusaufgaben geschickt: vertauschen und zusammenfassen

Welche Zahlen fasst du bei 77 + 41 + 23 zuerst zusammen? Begründe. Rechne danach.
774123
Schritt für Schritt
  1. Vertauschen: 77 + 23 + 41
  2. 77 + 23 = 100
  3. Zusammen glatt, der Rest ist leicht: 100 + 41 = 141
  1. Vertauschen: 77 + 23 + 41
  2. 77 + 23 = 100
  3. Zusammen glatt, der Rest ist leicht: 100 + 41 = 141
Ergebnis:
141

AchtungBeim Minus oder Geteilt vertauscht

So nicht
50 − 20 − 10: erst 20 − 10 = 10, dann 50 − 10 = 40
So richtig
50 − 20 − 10 = 30 − 10 = 20

Vertauschen ist nur beim Plus und beim Mal erlaubt. 20 − 5 ist nicht 5 − 20.

ÜbenJetzt du

  1. ○1
    Welche Zahlen fasst du bei 14 + 45 + 6 zuerst zusammen? Begründe. Rechne danach.
    14456
    So fängst du an:
    Vertauschen: 14 + 6 + 45
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 14 + 6 + 45
    2. 14 + 6 = 20
    3. Zusammen glatt, der Rest ist leicht: 20 + 45 = 65
    Ergebnis:
    65
  2. ●2
    Noah rechnet 14 + 39 + 6 von links nach rechts. Zeige einen schnelleren Weg mit einem Rechenvorteil.
    14396
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 14 + 6 + 39
    2. 14 + 6 = 20
    3. 20 + 39 = 59
    Ergebnis:
    59
  3. ★3
    Rechne geschickt: 76 + 526 + 13 + 124 + 87
    765261312487
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 76 + 124 + 13 + 87 + 526
    2. 76 + 124 = 200 und 13 + 87 = 100
    3. 200 + 100 + 526 = 826
    Ergebnis:
    826

2Ich verändere Summen gegensinnig und Differenzen gleichsinnig.

EntdeckenFrage

Warum rechnen Kassiererinnen 3,99 € mal 4 schneller als ein Kunde mit Papier?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Sie rechnen 4 mal 4 € und ziehen dann 4 Cent ab: 16,00 € − 0,04 € = 15,96 €. Das ist Zerlegen: 3,99 ist 4 minus 1 Cent. Der Rechenweg ist kurz, weil er über die glatte Zahl geht.

MerkenGegensinnig und gleichsinnig

Bei einer Summe gibt ein Summand ab, was der andere bekommt.

Bei einer Differenz ändern sich beide Zahlen gleich, der Abstand bleibt.

BeispielSummen gegensinnig verändern

Rechne geschickt durch gegensinniges Verändern: 199 + 33
19933
Schritt für Schritt
  1. 199 bekommt 1 dazu, 33 gibt 1 ab.
  2. 199 + 33 = 200 + 32
  3. 200 + 32 = 232
  1. 199 bekommt 1 dazu, 33 gibt 1 ab.
  2. 199 + 33 = 200 + 32
  3. 200 + 32 = 232
Ergebnis:
232

AchtungNur eine Zahl verändert

So nicht
143 − 97: 143 − 100 = 43
So richtig
143 − 97 = 146 − 100 = 46

Bei der Summe gegensinnig, bei der Differenz gleichsinnig: Immer beide Zahlen verändern.

ÜbenJetzt du

  1. ○4
    Ergänze so, dass die Summe gleich bleibt: 98 + 49 = 100 + ___
    9849
    So fängst du an:
    98 wird zu 100: 2 mehr.
    Lösung zeigen
    1. 98 wird zu 100: 2 mehr.
    2. Also muss 49 um 2 kleiner werden: 49 − 2 = 47
    3. 100 + 47 = 147
    Ergebnis:
    47
  2. ●5
    Ergänze so, dass die Summe gleich bleibt: 199 + 73 = 200 + ___
    19973
    Lösung zeigen
    1. 199 wird zu 200: 1 mehr.
    2. Also muss 73 um 1 kleiner werden: 73 − 1 = 72
    3. 200 + 72 = 272
    Ergebnis:
    72
  3. ★6
    Rechne geschickt durch gegensinniges Verändern: 1997 + 504
    1997504
    Lösung zeigen
    1. 1997 bekommt 3 dazu, 504 gibt 3 ab.
    2. 1997 + 504 = 2000 + 501
    3. 2000 + 501 = 2501
    Ergebnis:
    2501

3Ich nehme halbschriftlich mal, indem ich einen Faktor zerlege.

EntdeckenFrage

Wie haben Bauern in Russland früher ohne Einmaleins multipliziert?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Sie haben eine Zahl immer halbiert und die andere verdoppelt, bis links eine 1 stand. Dann addierten sie die rechten Zahlen der Zeilen mit ungerader linker Zahl. Das Verfahren heißt russische Bauernmultiplikation und nutzt, dass Verdoppeln und Halbieren das Produkt nicht ändert.

Ausprobieren: Malnehmen am Rechteck

Länge und Höhe in Teile zerlegen – das Rechteck zerfällt in Teilrechtecke, und jedes ist eine leichte Malaufgabe.

MerkenMalnehmen mit Zerlegen

Einen Faktor zerlegen, jeden Teil malnehmen und die Teilergebnisse addieren.

So wird 7 · 48 zu 7 · 40 + 7 · 8.

BeispielHalbschriftlich malnehmen mit Zerlegen

Rechne halbschriftlich: Zerlege den zweiten Faktor. 4 · 44
Schritt für Schritt
  1. 44 = 40 + 4
  2. 4 · 40 = 160 und 4 · 4 = 16
  3. 160 + 16 = 176
  1. 44 = 40 + 4
  2. 4 · 40 = 160 und 4 · 4 = 16
  3. 160 + 16 = 176
Ergebnis:
176

AchtungBeim Zerlegen einen Teil vergessen

So nicht
7 · 48: 7 · 40 + 8 = 288
So richtig
7 · 48 = 7 · 40 + 7 · 8 = 280 + 56 = 336

Jeder Teil des zerlegten Faktors wird malgenommen, nicht nur der erste.

ÜbenJetzt du

  1. ○7
    Rechne halbschriftlich: Zerlege den zweiten Faktor. 9 · 47
    So fängst du an:
    47 = 40 + 7
    Lösung zeigen
    1. 47 = 40 + 7
    2. 9 · 40 = 360 und 9 · 7 = 63
    3. 360 + 63 = 423
    Ergebnis:
    423
  2. ●8
    Rechne geschickt über die glatte Zahl: 7 · 19
    Lösung zeigen
    1. 19 = 20 − 1
    2. 7 · 20 = 140 und 7 · 1 = 7
    3. 140 − 7 = 133
    Ergebnis:
    133
  3. ★9
    Rechne halbschriftlich mit Stellenwerten: 8 · 384
    Lösung zeigen
    1. 384 = 300 + 80 + 4
    2. 8 · 300 = 2400; 8 · 80 = 640; 8 · 4 = 32
    3. 2400 + 640 + 32 = 3072
    Ergebnis:
    3072

4Ich dividiere halbschriftlich, indem ich die Zahl geschickt zerlege.

EntdeckenFrage

Warum ist 25 mal 4 ein Lieblingspaar beim Kopfrechnen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

25 mal 4 ergibt genau 100. Kommen 25 und 4 in einer Malaufgabe vor, fasst man sie zuerst zusammen. Aus 25 · 37 · 4 wird dann 100 · 37 = 3700, ganz ohne schriftliches Rechnen.

MerkenTeilen mit Zerlegen

Die Zahl so zerlegen, dass jeder Teil glatt aufgeht. So wird 385 : 7 zu 350 : 7 + 35 : 7.

BeispielHalbschriftlich dividieren

Rechne halbschriftlich: 576 : 9
Schritt für Schritt
  1. 576 = 540 + 36
  2. 540 : 9 = 60 und 36 : 9 = 4
  3. 60 + 4 = 64
  1. 576 = 540 + 36
  2. 540 : 9 = 60 und 36 : 9 = 4
  3. 60 + 4 = 64
Ergebnis:
64

AchtungBeim Teilen nicht passend zerlegt

So nicht
385 : 7: 300 : 7 geht nicht glatt → aufgegeben
So richtig
385 : 7 = 350 : 7 + 35 : 7 = 50 + 5 = 55

Jeder Teil muss sich glatt teilen lassen. Erst ein großes Vielfaches abspalten.

ÜbenJetzt du

  1. ○10
    Zerlege 384 so in zwei Zahlen, dass du beide leicht durch 8 dividieren kannst. Was ergibt 384 : 8?
    384: 8
    So fängst du an:
    384 = 320 + 64
    Lösung zeigen
    1. 384 = 320 + 64
    2. 320 : 8 = 40 und 64 : 8 = 8
    3. 40 + 8 = 48
    Ergebnis:
    48
  2. ●11
    Zerlege 385 so in zwei Zahlen, dass du beide leicht durch 7 dividieren kannst. Was ergibt 385 : 7?
    385: 7
    Lösung zeigen
    1. 385 = 350 + 35
    2. 350 : 7 = 50 und 35 : 7 = 5
    3. 50 + 5 = 55
    Ergebnis:
    55
  3. ★12
    Zerlege 450 so in zwei Zahlen, dass du beide leicht durch 6 dividieren kannst. Was ergibt 450 : 6?
    450: 6
    Lösung zeigen
    1. 450 = 420 + 30
    2. 420 : 6 = 70 und 30 : 6 = 5
    3. 70 + 5 = 75
    Ergebnis:
    75

5Ich finde Aufgaben mit gleichem Ergebnis und vergleiche Rechenausdrücke.

EntdeckenFrage

Warum stimmt der Trick „mal 9 ist mal 10 minus einmal“ immer?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Neunmal eine Zahl ist zehnmal die Zahl minus einmal die Zahl. So wird 9 · 47 zu 470 − 47 = 423. Das ist das Verteilungsgesetz: 9 ist 10 minus 1.

MerkenAusdrücke mit gleichem Wert

Verschiedene Rechenausdrücke können denselben Wert haben.

Wer die Rechengesetze nutzt, sieht das oft ohne Ausrechnen.

BeispielAufgaben mit gleichem Ergebnis

Welche Zahl fehlt? Rechne nicht beide Seiten aus. 8 · 3 = 4 · ___
Schritt für Schritt
  1. 8 wird halb so groß: 4.
  2. Damit das Ergebnis gleich bleibt, wird 3 doppelt so groß.
  3. 3 · 2 = 6
  1. 8 wird halb so groß: 4.
  2. Damit das Ergebnis gleich bleibt, wird 3 doppelt so groß.
  3. 3 · 2 = 6
Ergebnis:
6

AchtungPunkt vor Strich missachtet

So nicht
9 + 5 · 7 = 14 · 7 = 98
So richtig
9 + 5 · 7 = 9 + 35 = 44

Klammer zuerst, dann Mal und Geteilt, dann Plus und Minus.

ÜbenJetzt du

  1. ○13
    Welche Zahl fehlt? Rechne nicht beide Seiten aus. 21 + 60 = 11 + ___
    So fängst du an:
    21 wird zu 11: 10 weniger.
    Lösung zeigen
    1. 21 wird zu 11: 10 weniger.
    2. Damit die Summe gleich bleibt, wird 60 um 10 größer.
    3. 60 + 10 = 70
    Ergebnis:
    70
  2. ●14
    Welche Zahl fehlt? Rechne nicht beide Seiten aus. 74 − 53 = ___ − 54
    Lösung zeigen
    1. 53 wird zu 54: 1 mehr.
    2. Damit der Abstand bleibt, wird auch 74 um 1 größer.
    3. 74 + 1 = 75
    Ergebnis:
    75
  3. ★15
    Finde die fehlende Zahl mit einem Rechengesetz: 59 − 32 = ___ − 42
    Lösung zeigen
    1. 32 wird zu 42: 10 mehr.
    2. Damit der Abstand bleibt, wird auch 59 um 10 größer.
    3. 59 + 10 = 69
    Ergebnis:
    69

6Ich rechne mit Verdoppeln und Halbieren und prüfe, ob das Ergebnis gleich bleibt.

EntdeckenFrage

Wie merkt man in Sekunden, dass 98 · 102 nicht 99.960 sein kann?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Man rechnet nicht, man überschlägt: 100 · 100 = 10.000. Das Ergebnis muss also in der Nähe von 10.000 liegen. 99.960 ist fast zehnmal so groß und kann nicht stimmen. Richtig ist 9996.

MerkenVerdoppeln und halbieren

Wird ein Faktor verdoppelt und der andere halbiert, bleibt das Produkt gleich.

Werden beide verdoppelt, wird es viermal so groß.

BeispielVerdoppeln und Halbieren

Can verdoppelt bei 14 · 5 beide Faktoren und rechnet 28 · 10. Bleibt das Ergebnis gleich?
Schritt für Schritt
  1. Einmal verdoppeln macht das Ergebnis doppelt so groß, zweimal viermal so groß.
  2. 28 · 10 = 280, aber 14 · 5 = 70
  3. Richtig ist: einen verdoppeln, den anderen halbieren.
  1. Einmal verdoppeln macht das Ergebnis doppelt so groß, zweimal viermal so groß.
  2. 28 · 10 = 280, aber 14 · 5 = 70
  3. Richtig ist: einen verdoppeln, den anderen halbieren.
Ergebnis:
Nein, viermal so groß; richtig ist 70

AchtungBeide Faktoren verdoppelt

So nicht
8 · 25 → 16 · 50 = 800
So richtig
8 · 25 → 4 · 50 = 200

Nur einer wird verdoppelt, der andere halbiert. Sonst ändert sich das Ergebnis.

ÜbenJetzt du

  1. ○16
    Hanna verdoppelt bei 16 · 25 beide Faktoren und rechnet 32 · 50. Bleibt das Ergebnis gleich?
    So fängst du an:
    Einmal verdoppeln macht das Ergebnis doppelt so groß, zweimal viermal so groß.
    Lösung zeigen
    1. Einmal verdoppeln macht das Ergebnis doppelt so groß, zweimal viermal so groß.
    2. 32 · 50 = 1600, aber 16 · 25 = 400
    3. Richtig ist: einen verdoppeln, den anderen halbieren.
    Ergebnis:
    Nein, viermal so groß; richtig ist 400
  2. ●17
    Zeynep verdoppelt bei 16 · 25 beide Faktoren und rechnet 32 · 50. Bleibt das Ergebnis gleich?
    Lösung zeigen
    1. Einmal verdoppeln macht das Ergebnis doppelt so groß, zweimal viermal so groß.
    2. 32 · 50 = 1600, aber 16 · 25 = 400
    3. Richtig ist: einen verdoppeln, den anderen halbieren.
    Ergebnis:
    Nein, viermal so groß; richtig ist 400
  3. ★18
    Warum ist 32 · 25 dasselbe wie 16 · 50? Rechne dann geschickt.
    Lösung zeigen
    1. Halb so viele Reihen, jede doppelt so lang: gleich viele Kästchen.
    2. 32 · 25 = 16 · 50
    3. 16 · 50 = 800
    Ergebnis:
    800

7Ich wähle zu einer Aufgabe den passenden Rechenweg.

EntdeckenFrage

Wie rechnen Darts-Profis blitzschnell aus, wie viele Punkte ihnen von 501 noch fehlen, wenn sie 140 geworfen haben?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Der geschickte Weg nimmt erst eine runde Zahl. 500 − 140 = 360, und der eine Extrapunkt kommt dazu: 361. Das geht schneller als 501 − 140 Stelle für Stelle. Am Ergebnis ändert der Weg nichts.

MerkenDen passenden Weg wählen

Vor dem Rechnen die Zahlen ansehen.

Liegt eine Zahl nahe an einer glatten, lohnt sich ein Vorteil, sonst rechnet man schriftlich.

BeispielDen passenden Rechenweg wählen

Welcher Weg passt zu 204 + 198? Nenne ihn. Rechne danach.
204 + 198zerlegenhalbieren und verdoppelnschriftlich
Schritt für Schritt
  1. 198 liegt knapp unter 200: gegensinnig verändern.
  2. 204 + 198 = 202 + 200
  3. 202 + 200 = 402
  1. 198 liegt knapp unter 200: gegensinnig verändern.
  2. 204 + 198 = 202 + 200
  3. 202 + 200 = 402
Ergebnis:
gegensinnig verändern, 402

AchtungUmständlichen Weg gewählt

So nicht
299 + 158 schriftlich untereinander gerechnet, dabei verrechnet: 447
So richtig
299 + 158 = 300 + 157 = 457

Erst die Zahlen ansehen: Liegt eine nahe an einer glatten Zahl?

ÜbenJetzt du

  1. ○19
    Wie rechnest du am schnellsten: 14 · 5? Nenne ihn. Rechne danach.
    So fängst du an:
    5 wird verdoppelt glatt: halbieren und verdoppeln.
    Lösung zeigen
    1. 5 wird verdoppelt glatt: halbieren und verdoppeln.
    2. 14 · 5 = 7 · 10
    3. 7 · 10 = 70
    Ergebnis:
    halbieren und verdoppeln, 70
  2. ●20
    Wie rechnest du am schnellsten: 4 · 47? Nenne ihn. Rechne danach.
    Lösung zeigen
    1. Den zweiten Faktor zerlegen: 47 = 40 + 7.
    2. 4 · 40 = 160 und 4 · 7 = 28
    3. Zusammen: 188
    Ergebnis:
    zerlegen, 188
  3. ★21
    Welcher Weg passt zu 127 + 198? Nenne ihn. Rechne danach.
    127 + 198zerlegenhalbieren und verdoppelnschriftlich
    Lösung zeigen
    1. 198 liegt knapp unter 200: gegensinnig verändern.
    2. 127 + 198 = 125 + 200
    3. 125 + 200 = 325
    Ergebnis:
    gegensinnig verändern, 325

8Ich finde Rechenfehler mit Überschlag und Umkehraufgabe.

EntdeckenFrage

Warum zählt man Rückgeld vom Preis aus nach oben, statt abzuziehen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Wer 13,40 € zahlen muss und 20 € gibt, bekommt 20 − 13,40 = 6,60 € zurück. Beim Hochzählen rechnet man die Umkehraufgabe: 13,40 + 6,60 = 20. Kommt man genau auf den gegebenen Betrag, stimmt das Rückgeld.

MerkenÜberschlag und Umkehraufgabe

Ein Überschlag mit runden Zahlen zeigt, ob ein Ergebnis stimmen kann.

Die Umkehraufgabe prüft es genau.

BeispielRechenfehler mit Überschlag und Umkehraufgabe finden

Ben erhält für 87 · 36 das Ergebnis 2932. Prüfe mit einem Überschlag.
Schritt für Schritt
  1. Überschlag: 90 · 40 = 3600
  2. 2932 liegt zu weit weg. Genau: 87 · 36 = 3132
  3. Das Ergebnis ist falsch.
  1. Überschlag: 90 · 40 = 3600
  2. 2932 liegt zu weit weg. Genau: 87 · 36 = 3132
  3. Das Ergebnis ist falsch.
Ergebnis:
falsch, richtig ist 3132

AchtungErgebnis nicht geprüft

So nicht
425 : 5 = 805, ohne Probe ins Heft
So richtig
425 : 5 → Überschlag 400 : 5 = 80 → 85, Probe 85 · 5 = 425

Mit einem Überschlag prüfen, ob die Größenordnung stimmt, dann mit der Umkehraufgabe.

ÜbenJetzt du

  1. ○22
    Tom erhält für 71 · 33 das Ergebnis 2543. Prüfe mit einem Überschlag.
    So fängst du an:
    Überschlag: 70 · 30 = 2100
    Lösung zeigen
    1. Überschlag: 70 · 30 = 2100
    2. 2543 liegt zu weit weg. Genau: 71 · 33 = 2343
    3. Das Ergebnis ist falsch.
    Ergebnis:
    falsch, richtig ist 2343
  2. ●23
    Zeynep erhält für 63 · 39 das Ergebnis 2457. Prüfe mit einem Überschlag.
    Lösung zeigen
    1. Überschlag: 60 · 40 = 2400
    2. 2457 liegt in der Nähe. Genau rechnen: 63 · 39 = 2457
    3. Das Ergebnis stimmt.
    Ergebnis:
    stimmt, 2457
  3. ★24
    Sofia erhält für 164 · 29 das Ergebnis 5756. Prüfe mit einem Überschlag.
    Lösung zeigen
    1. Überschlag: 200 · 30 = 6000
    2. 5756 liegt in der Nähe. Genau rechnen: 164 · 29 = 4756
    3. Das Ergebnis ist falsch.
    Ergebnis:
    falsch, richtig ist 4756

Vermischte Übungen

Alles durcheinander – wie in der Arbeit. Überleg bei jeder Aufgabe zuerst: Welches Ziel ist das?

Üben

  1. ●25
    Welche Zahlen fasst du bei 4 + 67 + 26 zuerst zusammen? Begründe. Rechne danach.
    46726
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 4 + 26 + 67
    2. 4 + 26 = 30
    3. Zusammen glatt, der Rest ist leicht: 30 + 67 = 97
    Ergebnis:
    97
  2. ●26
    Rechne geschickt: 20 · 19 · 5
    20195
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 20 · 5 · 19
    2. 20 · 5 = 100
    3. 100 · 19 = 1900
    Ergebnis:
    1900
  3. ●27
    Rechne geschickt durch gegensinniges Verändern: 49 + 74
    4974
    Lösung zeigen
    1. 49 bekommt 1 dazu, 74 gibt 1 ab.
    2. 49 + 74 = 50 + 73
    3. 50 + 73 = 123
    Ergebnis:
    123
  4. ●28
    Rechne geschickt durch gleichsinniges Verändern: 45 − 28
    Lösung zeigen
    1. Beide Zahlen um 2 vergrößern: Der Abstand bleibt gleich.
    2. 45 − 28 = 47 − 30
    3. 47 − 30 = 17
    Ergebnis:
    17
  5. ●29
    Rechne halbschriftlich: Zerlege den zweiten Faktor. 9 · 24
    Lösung zeigen
    1. 24 = 20 + 4
    2. 9 · 20 = 180 und 9 · 4 = 36
    3. 180 + 36 = 216
    Ergebnis:
    216
  6. ●30
    Zeynep rechnet 5 · 25 so: erst 5 · 20, dann 5 dazu. Zeynep erhält 105. Zeige am Bild, was fehlt.
    2055
    Lösung zeigen
    1. Der rechte Teil hat 5 Reihen mit je 5 Kästchen, nicht nur 5.
    2. Rechter Teil: 5 · 5 = 25
    3. 100 + 25 = 125
    Ergebnis:
    125

Auf einen Blick

MerkenDas Wichtigste

Vertauschen und zusammenfassen
Beim Plus und beim Mal darf man die Zahlen vertauschen und anders zusammenfassen.
Gegensinnig und gleichsinnig
Bei einer Summe gibt ein Summand ab, was der andere bekommt.
Malnehmen mit Zerlegen
Einen Faktor zerlegen, jeden Teil malnehmen und die Teilergebnisse addieren.
Teilen mit Zerlegen
Die Zahl so zerlegen, dass jeder Teil glatt aufgeht. So wird 385 : 7 zu 350 : 7 + 35 : 7.
Ausdrücke mit gleichem Wert
Verschiedene Rechenausdrücke können denselben Wert haben.
Verdoppeln und halbieren
Wird ein Faktor verdoppelt und der andere halbiert, bleibt das Produkt gleich.
Den passenden Weg wählen
Vor dem Rechnen die Zahlen ansehen.
Überschlag und Umkehraufgabe
Ein Überschlag mit runden Zahlen zeigt, ob ein Ergebnis stimmen kann.

Kannst du das?

Je Ziel eine Aufgabe. Rechne sie ins Heft, dann kreuz ehrlich an. Keine Punkte, keine Note – der Test ist für dich.

ÜbenSelbsttest

  1. Ich rechne Plusaufgaben und Malaufgaben geschickt durch Vertauschen und Zusammenfassen.

    31
    Hanna rechnet 38 + 89 + 22 von links nach rechts. Zeige einen schnelleren Weg mit einem Rechenvorteil.
    388922
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    149

  2. Ich verändere Summen gegensinnig und Differenzen gleichsinnig.

    32
    Rechne geschickt durch gegensinniges Verändern: 48 + 65
    4865
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    113

  3. Ich nehme halbschriftlich mal, indem ich einen Faktor zerlege.

    33
    Es gibt 6 Reihen mit je 32 Stühle. Wie viele Stühle sind es? Rechne halbschriftlich.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    192 Stühle

  4. Ich dividiere halbschriftlich, indem ich die Zahl geschickt zerlege.

    34
    392 Bücher werden gleichmäßig auf 7 Regalböden aufgeteilt. Wie viele bekommt jeder Teil? Rechne halbschriftlich.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    56 Bücher

  5. Ich finde Aufgaben mit gleichem Ergebnis und vergleiche Rechenausdrücke.

    35
    Finde die fehlende Zahl mit einem Rechengesetz: 80 + 69 = 77 + ___
    80 + 69=77 + ?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    72

  6. Ich rechne mit Verdoppeln und Halbieren und prüfe, ob das Ergebnis gleich bleibt.

    36
    Warum ist 14 · 5 dasselbe wie 7 · 10? Rechne dann geschickt.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    70

  7. Ich wähle zu einer Aufgabe den passenden Rechenweg.

    37
    Wie rechnest du am schnellsten: 283 + 399? Nenne ihn. Rechne danach.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    gegensinnig verändern, 682

  8. Ich finde Rechenfehler mit Überschlag und Umkehraufgabe.

    38
    Jonas erhält für 80 · 34 das Ergebnis 2820. Prüfe mit einem Überschlag.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    falsch, richtig ist 2720

Bei „unsicher“ oder „noch nicht“: Lies den Abschnitt zum Ziel noch einmal und rechne seine drei Aufgaben.

Die Frage vom Anfang

EntdeckenRückschau

Rechne im Kopf, so schnell du kannst: 25 · 17 · 4. Schreib nichts auf und nimm keinen Taschenrechner.

Lies deine Vermutung vom Anfang. Kannst du die Frage jetzt mit dem Kapitel beantworten?

Auflösung

Mit dem Werkzeug aus diesem Kapitel: Vertauschen und Zusammenfassen: erst die Zahlen, die zusammen glatt werden.

Wo brauchst du das?

Entdecken

Preise im Kopf addieren, Rückgeld überschlagen, Mengen für ein Fest ausrechnen. Beruf: Kasse und Verkauf, Handwerk beim Materialberechnen, Lager und Versand.

Wörter

Differenz
was übrig bleibt, wenn man abzieht
Gleichung
zwei Rechnungen, die gleich viel wert sind
Produkt
was herauskommt, wenn man malnimmt
Summe
was herauskommt, wenn man zusammenzählt
Teiler
eine Zahl, durch die es ohne Rest aufgeht

Wie es zusammenhängt

Das brauchst du vorher: Rechenregeln, Teiler und Vielfache, Natürliche Zahlen und Stellenwert

Darauf baut auf: Sachaufgaben lösen

Lösungen

  1. 65
  2. 59
  3. 826
  4. 47
  5. 72
  6. 2501
  7. 423
  8. 133
  9. 3072
  10. 48
  11. 55
  12. 75
  13. 70
  14. 75
  15. 69
  16. Nein, viermal so groß; richtig ist 400
  17. Nein, viermal so groß; richtig ist 400
  18. 800
  19. halbieren und verdoppeln, 70
  20. zerlegen, 188
  21. gegensinnig verändern, 325
  22. falsch, richtig ist 2343
  23. stimmt, 2457
  24. falsch, richtig ist 4756
  25. 97
  26. 1900
  27. 123
  28. 17
  29. 216
  30. 125
  31. 149
  32. 113
  33. 192 Stühle
  34. 56 Bücher
  35. 72
  36. 70
  37. gegensinnig verändern, 682
  38. falsch, richtig ist 2720
  39. 20
  40. 30
  41. 43
  42. 34