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Mathematik · Klasse 5 · Kapitel

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Rechengesetze und Rechenvorteile

EntdeckenDie Frage zum Kapitel

Rechne im Kopf, so schnell du kannst: 25 · 17 · 4. Schreib nichts auf und nimm keinen Taschenrechner.

Schreib eine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Für die Lehrkraft: Die meisten rechnen von links: 25 · 17 und kommen durcheinander. Andere geben auf oder raten. Nur wenige sehen, dass 25 und 4 zusammen 100 ergeben. Beim Malnehmen darf man die Zahlen vertauschen. Dann steht 25 · 4 · 17 da, also 100 · 17. Das Ergebnis ist 1700, in einer Sekunde.

  • Entdecken Frage, Vorstellung, Bild
  • Merken kommt ins Heft
  • Beispiel vorgerechnet, Schritt für Schritt
  • Üben selbst rechnen
  • Achtung typischer Fehler
  • Weiterdenken zum Knobeln und Vernetzen

○ mit Starthilfe, ● für alle, ★ zum Weiterdenken. Du wählst mindestens eine ★-Aufgabe. Du rechnest ins Heft.

Fit für das Kapitel?

Das brauchst du aus früheren Themen. Klappt es nicht, frag nach, bevor es losgeht.

ÜbenWeißt du das noch?

Punkt vor Strich und Klammer zuerst – so steht es seit Klasse 4 im Heft.

  1. ●39
    Rechne: 54 − 3 · 9
    Lösung zeigen
    1. Punkt vor Strich: erst 3 · 9 = 27
    2. 54 − 27 = 27
    Ergebnis:
    27
  2. ●40
    Rechne: (4 + 8) · 9
    Lösung zeigen
    1. Die Klammer zuerst: 4 + 8 = 12
    2. 12 · 9 = 108
    Ergebnis:
    108

ÜbenWeißt du das noch?

Punkt vor Strich und Klammer zuerst – die Reihenfolge entscheidet über das Ergebnis.

  1. ●41
    Berechne: 9 + 9 · 9
    Lösung zeigen
    1. Punkt vor Strich: erst 9 · 9 = 81
    2. 9 + 81 = 90
    Ergebnis:
    90
  2. ●42
    Ich denke mir eine Zahl, addiere 18 und erhalte 56. Welche Zahl war es? (Umkehraufgabe)
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    38

So kannst du es dir vorstellen

EntdeckenZahlen umbauen, ohne den Wert zu ändern

Eine Rechnung lässt sich umbauen, ohne dass sich ihr Wert ändert. Zahlen tauschen die Plätze, bilden neue Gruppen oder werden zerlegt. Wer das sieht, rechnet mit glatten Zahlen statt mit krummen.

17 plus 38 plus 3: Erst 17 und 3 zu 20 zusammenfassen, dann 20 plus 38 sind 5817 + 38 + 317 + 3 = 20= 20 + 38 = 58

WeiterdenkenDenk nach

Warum darf man bei 25 + 38 + 75 zuerst 25 und 75 addieren, bei 50 − 20 − 10 aber nicht zuerst 20 − 10?

1Ich rechne Plusaufgaben und Malaufgaben geschickt durch Vertauschen und Zusammenfassen.

EntdeckenFrage

Wie konnte der neunjährige Carl Friedrich Gauß die Zahlen von 1 bis 100 in wenigen Minuten addieren?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Er hat die Zahlen in Paare umsortiert: 1 und 100, 2 und 99, 3 und 98. Jedes Paar ergibt 101, und es sind 50 Paare. Also 50 · 101 = 5050. Er hat nur vertauscht und neu zusammengefasst.

MerkenVertauschen und zusammenfassen

Beim Plus und beim Mal darf man die Zahlen vertauschen und anders zusammenfassen.

Erst die Zahlen nehmen, die zusammen glatt werden.

BeispielPlusaufgaben geschickt: vertauschen und zusammenfassen

Rechne geschickt: 18 + 21 + 22
182122
Schritt für Schritt
  1. Vertauschen: 18 + 22 + 21
  2. 18 + 22 = 40
  3. 40 + 21 = 61
  1. Vertauschen: 18 + 22 + 21
  2. 18 + 22 = 40
  3. 40 + 21 = 61
Ergebnis:
61

AchtungBeim Minus oder Geteilt vertauscht

So nicht
50 − 20 − 10: erst 20 − 10 = 10, dann 50 − 10 = 40
So richtig
50 − 20 − 10 = 30 − 10 = 20

Vertauschen ist nur beim Plus und beim Mal erlaubt. 20 − 5 ist nicht 5 − 20.

ÜbenJetzt du

  1. ○1
    Milan rechnet 8 + 61 + 12 von links nach rechts. Zeige einen schnelleren Weg mit einem Rechenvorteil.
    86112
    So fängst du an:
    Vertauschen: 8 + 12 + 61
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 8 + 12 + 61
    2. 8 + 12 = 20
    3. 20 + 61 = 81
    Ergebnis:
    81
  2. ●2
    Can rechnet 23 + 46 + 37 von links nach rechts. Zeige einen schnelleren Weg mit einem Rechenvorteil.
    234637
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 23 + 37 + 46
    2. 23 + 37 = 60
    3. 60 + 46 = 106
    Ergebnis:
    106
  3. ★3
    Milan rechnet 228 + 478 + 72 von links nach rechts. Zeige einen schnelleren Weg mit einem Rechenvorteil.
    22847872
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 228 + 72 + 478
    2. 228 + 72 = 300
    3. 300 + 478 = 778
    Ergebnis:
    778

2Ich verändere Summen gegensinnig und Differenzen gleichsinnig.

EntdeckenFrage

Warum rechnen Kassiererinnen 3,99 € mal 4 schneller als ein Kunde mit Papier?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Sie rechnen 4 mal 4 € und ziehen dann 4 Cent ab: 16,00 € − 0,04 € = 15,96 €. Das ist Zerlegen: 3,99 ist 4 minus 1 Cent. Der Rechenweg ist kurz, weil er über die glatte Zahl geht.

MerkenGegensinnig und gleichsinnig

Bei einer Summe gibt ein Summand ab, was der andere bekommt.

Bei einer Differenz ändern sich beide Zahlen gleich, der Abstand bleibt.

BeispielSummen gegensinnig verändern

Rechne geschickt durch gegensinniges Verändern: 69 + 92
6992
Schritt für Schritt
  1. 69 bekommt 1 dazu, 92 gibt 1 ab.
  2. 69 + 92 = 70 + 91
  3. 70 + 91 = 161
  1. 69 bekommt 1 dazu, 92 gibt 1 ab.
  2. 69 + 92 = 70 + 91
  3. 70 + 91 = 161
Ergebnis:
161

AchtungNur eine Zahl verändert

So nicht
143 − 97: 143 − 100 = 43
So richtig
143 − 97 = 146 − 100 = 46

Bei der Summe gegensinnig, bei der Differenz gleichsinnig: Immer beide Zahlen verändern.

ÜbenJetzt du

  1. ○4
    Ergänze so, dass die Summe gleich bleibt: 48 + 24 = 50 + ___
    4824
    So fängst du an:
    48 wird zu 50: 2 mehr.
    Lösung zeigen
    1. 48 wird zu 50: 2 mehr.
    2. Also muss 24 um 2 kleiner werden: 24 − 2 = 22
    3. 50 + 22 = 72
    Ergebnis:
    22
  2. ●5
    Ergänze so, dass die Summe gleich bleibt: 98 + 58 = 100 + ___
    9858
    Lösung zeigen
    1. 98 wird zu 100: 2 mehr.
    2. Also muss 58 um 2 kleiner werden: 58 − 2 = 56
    3. 100 + 56 = 156
    Ergebnis:
    56
  3. ★6
    Elias rechnet 499 + 648 als 500 + 648. Was muss Elias danach noch tun? Was kommt heraus?
    499648
    Lösung zeigen
    1. Elias hat 499 um 1 vergrößert.
    2. Die Summe ist dadurch um 1 zu groß: 500 + 648 = 1148.
    3. 1 wieder abziehen: 1148 − 1 = 1147
    Ergebnis:
    1147

3Ich nehme halbschriftlich mal, indem ich einen Faktor zerlege.

EntdeckenFrage

Wie haben Bauern in Russland früher ohne Einmaleins multipliziert?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Sie haben eine Zahl immer halbiert und die andere verdoppelt, bis links eine 1 stand. Dann addierten sie die rechten Zahlen der Zeilen mit ungerader linker Zahl. Das Verfahren heißt russische Bauernmultiplikation und nutzt, dass Verdoppeln und Halbieren das Produkt nicht ändert.

Ausprobieren: Malnehmen am Rechteck

Länge und Höhe in Teile zerlegen – das Rechteck zerfällt in Teilrechtecke, und jedes ist eine leichte Malaufgabe.

MerkenMalnehmen mit Zerlegen

Einen Faktor zerlegen, jeden Teil malnehmen und die Teilergebnisse addieren.

So wird 7 · 48 zu 7 · 40 + 7 · 8.

BeispielHalbschriftlich malnehmen mit Zerlegen

Rechne halbschriftlich: Zerlege den zweiten Faktor. 6 · 68
Schritt für Schritt
  1. 68 = 60 + 8
  2. 6 · 60 = 360 und 6 · 8 = 48
  3. 360 + 48 = 408
  1. 68 = 60 + 8
  2. 6 · 60 = 360 und 6 · 8 = 48
  3. 360 + 48 = 408
Ergebnis:
408

AchtungBeim Zerlegen einen Teil vergessen

So nicht
7 · 48: 7 · 40 + 8 = 288
So richtig
7 · 48 = 7 · 40 + 7 · 8 = 280 + 56 = 336

Jeder Teil des zerlegten Faktors wird malgenommen, nicht nur der erste.

ÜbenJetzt du

  1. ○7
    Rechne halbschriftlich: Zerlege den zweiten Faktor. 3 · 18
    So fängst du an:
    18 = 10 + 8
    Lösung zeigen
    1. 18 = 10 + 8
    2. 3 · 10 = 30 und 3 · 8 = 24
    3. 30 + 24 = 54
    Ergebnis:
    54
  2. ●8
    Rechne geschickt über die glatte Zahl: 3 · 19
    Lösung zeigen
    1. 19 = 20 − 1
    2. 3 · 20 = 60 und 3 · 1 = 3
    3. 60 − 3 = 57
    Ergebnis:
    57
  3. ★9
    Rechne halbschriftlich mit Stellenwerten: 6 · 479
    Lösung zeigen
    1. 479 = 400 + 70 + 9
    2. 6 · 400 = 2400; 6 · 70 = 420; 6 · 9 = 54
    3. 2400 + 420 + 54 = 2874
    Ergebnis:
    2874

4Ich dividiere halbschriftlich, indem ich die Zahl geschickt zerlege.

EntdeckenFrage

Warum ist 25 mal 4 ein Lieblingspaar beim Kopfrechnen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

25 mal 4 ergibt genau 100. Kommen 25 und 4 in einer Malaufgabe vor, fasst man sie zuerst zusammen. Aus 25 · 37 · 4 wird dann 100 · 37 = 3700, ganz ohne schriftliches Rechnen.

MerkenTeilen mit Zerlegen

Die Zahl so zerlegen, dass jeder Teil glatt aufgeht. So wird 385 : 7 zu 350 : 7 + 35 : 7.

BeispielHalbschriftlich dividieren

Rechne halbschriftlich: 212 : 4
Schritt für Schritt
  1. 212 = 200 + 12
  2. 200 : 4 = 50 und 12 : 4 = 3
  3. 50 + 3 = 53
  1. 212 = 200 + 12
  2. 200 : 4 = 50 und 12 : 4 = 3
  3. 50 + 3 = 53
Ergebnis:
53

AchtungBeim Teilen nicht passend zerlegt

So nicht
385 : 7: 300 : 7 geht nicht glatt → aufgegeben
So richtig
385 : 7 = 350 : 7 + 35 : 7 = 50 + 5 = 55

Jeder Teil muss sich glatt teilen lassen. Erst ein großes Vielfaches abspalten.

ÜbenJetzt du

  1. ○10
    189 Sticker werden gleichmäßig auf 3 Kinder aufgeteilt. Wie viele bekommt jeder Teil? Rechne halbschriftlich.
    So fängst du an:
    189 : 3
    Lösung zeigen
    1. 189 : 3
    2. 189 = 180 + 9
    3. 180 : 3 = 60 und 9 : 3 = 3
    4. 60 + 3 = 63
    Ergebnis:
    63 Sticker
  2. ●11
    Zerlege 210 so in zwei Zahlen, dass du beide leicht durch 5 dividieren kannst. Was ergibt 210 : 5?
    210: 5
    Lösung zeigen
    1. 210 = 200 + 10
    2. 200 : 5 = 40 und 10 : 5 = 2
    3. 40 + 2 = 42
    Ergebnis:
    42
  3. ★12
    784 Sticker werden gleichmäßig auf 8 Kinder aufgeteilt. Wie viele bekommt jeder Teil? Rechne halbschriftlich.
    Lösung zeigen
    1. 784 : 8
    2. 784 = 720 + 64
    3. 720 : 8 = 90 und 64 : 8 = 8
    4. 90 + 8 = 98
    Ergebnis:
    98 Sticker

5Ich finde Aufgaben mit gleichem Ergebnis und vergleiche Rechenausdrücke.

EntdeckenFrage

Warum stimmt der Trick „mal 9 ist mal 10 minus einmal“ immer?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Neunmal eine Zahl ist zehnmal die Zahl minus einmal die Zahl. So wird 9 · 47 zu 470 − 47 = 423. Das ist das Verteilungsgesetz: 9 ist 10 minus 1.

MerkenAusdrücke mit gleichem Wert

Verschiedene Rechenausdrücke können denselben Wert haben.

Wer die Rechengesetze nutzt, sieht das oft ohne Ausrechnen.

BeispielAufgaben mit gleichem Ergebnis

Ergänze die Lücke: 12 · 12 = 6 · ___
12 · 12=6 · ?
Schritt für Schritt
  1. 12 wird halb so groß: 6.
  2. Damit das Ergebnis gleich bleibt, wird 12 doppelt so groß.
  3. 12 · 2 = 24
  1. 12 wird halb so groß: 6.
  2. Damit das Ergebnis gleich bleibt, wird 12 doppelt so groß.
  3. 12 · 2 = 24
Ergebnis:
24

AchtungPunkt vor Strich missachtet

So nicht
9 + 5 · 7 = 14 · 7 = 98
So richtig
9 + 5 · 7 = 9 + 35 = 44

Klammer zuerst, dann Mal und Geteilt, dann Plus und Minus.

ÜbenJetzt du

  1. ○13
    Ergänze die Lücke: 49 − 17 = ___ − 19
    So fängst du an:
    17 wird zu 19: 2 mehr.
    Lösung zeigen
    1. 17 wird zu 19: 2 mehr.
    2. Damit der Abstand bleibt, wird auch 49 um 2 größer.
    3. 49 + 2 = 51
    Ergebnis:
    51
  2. ●14
    Finde die fehlende Zahl mit einem Rechengesetz: 8 · 12 = 4 · ___
    8 · 12=4 · ?
    Lösung zeigen
    1. 8 wird halb so groß: 4.
    2. Damit das Ergebnis gleich bleibt, wird 12 doppelt so groß.
    3. 12 · 2 = 24
    Ergebnis:
    24
  3. ★15
    Ergänze die Lücke: 87 + 55 = 90 + ___
    87 + 55=90 + ?
    Lösung zeigen
    1. 87 wird zu 90: 3 mehr.
    2. Damit die Summe gleich bleibt, wird 55 um 3 kleiner.
    3. 55 − 3 = 52
    Ergebnis:
    52

6Ich rechne mit Verdoppeln und Halbieren und prüfe, ob das Ergebnis gleich bleibt.

EntdeckenFrage

Wie merkt man in Sekunden, dass 98 · 102 nicht 99.960 sein kann?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Man rechnet nicht, man überschlägt: 100 · 100 = 10.000. Das Ergebnis muss also in der Nähe von 10.000 liegen. 99.960 ist fast zehnmal so groß und kann nicht stimmen. Richtig ist 9996.

MerkenVerdoppeln und halbieren

Wird ein Faktor verdoppelt und der andere halbiert, bleibt das Produkt gleich.

Werden beide verdoppelt, wird es viermal so groß.

BeispielVerdoppeln und Halbieren

Can verdoppelt bei 18 · 5 beide Faktoren und rechnet 36 · 10. Bleibt das Ergebnis gleich?
Schritt für Schritt
  1. Einmal verdoppeln macht das Ergebnis doppelt so groß, zweimal viermal so groß.
  2. 36 · 10 = 360, aber 18 · 5 = 90
  3. Richtig ist: einen verdoppeln, den anderen halbieren.
  1. Einmal verdoppeln macht das Ergebnis doppelt so groß, zweimal viermal so groß.
  2. 36 · 10 = 360, aber 18 · 5 = 90
  3. Richtig ist: einen verdoppeln, den anderen halbieren.
Ergebnis:
Nein, viermal so groß; richtig ist 90

AchtungBeide Faktoren verdoppelt

So nicht
8 · 25 → 16 · 50 = 800
So richtig
8 · 25 → 4 · 50 = 200

Nur einer wird verdoppelt, der andere halbiert. Sonst ändert sich das Ergebnis.

ÜbenJetzt du

  1. ○16
    Warum ist 16 · 25 dasselbe wie 8 · 50? Rechne dann geschickt.
    So fängst du an:
    Halb so viele Reihen, jede doppelt so lang: gleich viele Kästchen.
    Lösung zeigen
    1. Halb so viele Reihen, jede doppelt so lang: gleich viele Kästchen.
    2. 16 · 25 = 8 · 50
    3. 8 · 50 = 400
    Ergebnis:
    400
  2. ●17
    Rechne geschickt: Halbiere den einen Faktor und verdopple den anderen. 14 · 5
    Lösung zeigen
    1. 14 · 5 = 7 · 10
    2. 7 · 10 = 70
    Ergebnis:
    70
  3. ★18
    Warum ist 22 · 15 dasselbe wie 11 · 30? Rechne dann geschickt.
    Lösung zeigen
    1. Halb so viele Reihen, jede doppelt so lang: gleich viele Kästchen.
    2. 22 · 15 = 11 · 30
    3. 11 · 30 = 330
    Ergebnis:
    330

7Ich wähle zu einer Aufgabe den passenden Rechenweg.

EntdeckenFrage

Wie rechnen Darts-Profis blitzschnell aus, wie viele Punkte ihnen von 501 noch fehlen, wenn sie 140 geworfen haben?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Der geschickte Weg nimmt erst eine runde Zahl. 500 − 140 = 360, und der eine Extrapunkt kommt dazu: 361. Das geht schneller als 501 − 140 Stelle für Stelle. Am Ergebnis ändert der Weg nichts.

MerkenDen passenden Weg wählen

Vor dem Rechnen die Zahlen ansehen.

Liegt eine Zahl nahe an einer glatten, lohnt sich ein Vorteil, sonst rechnet man schriftlich.

BeispielDen passenden Rechenweg wählen

Welcher Weg passt zu 4 · 64? Nenne ihn. Rechne danach.
4 · 64zerlegenhalbieren und verdoppelnschriftlich
Schritt für Schritt
  1. Den zweiten Faktor zerlegen: 64 = 60 + 4.
  2. 4 · 60 = 240 und 4 · 4 = 16
  3. Zusammen: 256
  1. Den zweiten Faktor zerlegen: 64 = 60 + 4.
  2. 4 · 60 = 240 und 4 · 4 = 16
  3. Zusammen: 256
Ergebnis:
zerlegen, 256

AchtungUmständlichen Weg gewählt

So nicht
299 + 158 schriftlich untereinander gerechnet, dabei verrechnet: 447
So richtig
299 + 158 = 300 + 157 = 457

Erst die Zahlen ansehen: Liegt eine nahe an einer glatten Zahl?

ÜbenJetzt du

  1. ○19
    Welchen Rechenvorteil nutzt du bei 46 + 43 + 54? Nenne ihn. Rechne danach.
    46 + 43 + 54zerlegenhalbieren und verdoppelnschriftlich
    So fängst du an:
    Zwei Zahlen ergeben zusammen 100: vertauschen und zusammenfassen.
    Lösung zeigen
    1. Zwei Zahlen ergeben zusammen 100: vertauschen und zusammenfassen.
    2. 46 + 54 = 100
    3. 100 + 43 = 143
    Ergebnis:
    vertauschen, 143
  2. ●20
    Welchen Rechenvorteil nutzt du bei 16 · 5? Nenne ihn. Rechne danach.
    16 · 5zerlegenhalbieren und verdoppelnschriftlich
    Lösung zeigen
    1. 5 wird verdoppelt glatt: halbieren und verdoppeln.
    2. 16 · 5 = 8 · 10
    3. 8 · 10 = 80
    Ergebnis:
    halbieren und verdoppeln, 80
  3. ★21
    Welcher Weg passt zu 9 · 36? Nenne ihn. Rechne danach.
    9 · 36zerlegenhalbieren und verdoppelnschriftlich
    Lösung zeigen
    1. Den zweiten Faktor zerlegen: 36 = 30 + 6.
    2. 9 · 30 = 270 und 9 · 6 = 54
    3. Zusammen: 324
    Ergebnis:
    zerlegen, 324

8Ich finde Rechenfehler mit Überschlag und Umkehraufgabe.

EntdeckenFrage

Warum zählt man Rückgeld vom Preis aus nach oben, statt abzuziehen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Wer 13,40 € zahlen muss und 20 € gibt, bekommt 20 − 13,40 = 6,60 € zurück. Beim Hochzählen rechnet man die Umkehraufgabe: 13,40 + 6,60 = 20. Kommt man genau auf den gegebenen Betrag, stimmt das Rückgeld.

MerkenÜberschlag und Umkehraufgabe

Ein Überschlag mit runden Zahlen zeigt, ob ein Ergebnis stimmen kann.

Die Umkehraufgabe prüft es genau.

BeispielRechenfehler mit Überschlag und Umkehraufgabe finden

Hanna rechnet 373 − 291 und erhält 182. Prüfe mit der Umkehraufgabe.
Schritt für Schritt
  1. Umkehraufgabe: 182 + 291 = 473
  2. 473 ist nicht 373: Es ist falsch.
  3. 373 − 291 = 82
  1. Umkehraufgabe: 182 + 291 = 473
  2. 473 ist nicht 373: Es ist falsch.
  3. 373 − 291 = 82
Ergebnis:
falsch, richtig ist 82

AchtungErgebnis nicht geprüft

So nicht
425 : 5 = 805, ohne Probe ins Heft
So richtig
425 : 5 → Überschlag 400 : 5 = 80 → 85, Probe 85 · 5 = 425

Mit einem Überschlag prüfen, ob die Größenordnung stimmt, dann mit der Umkehraufgabe.

ÜbenJetzt du

  1. ○22
    Aylin rechnet 754 − 215 und erhält 559. Prüfe mit der Umkehraufgabe.
    So fängst du an:
    Umkehraufgabe: 559 + 215 = 774
    Lösung zeigen
    1. Umkehraufgabe: 559 + 215 = 774
    2. 774 ist nicht 754: Es ist falsch.
    3. 754 − 215 = 539
    Ergebnis:
    falsch, richtig ist 539
  2. ●23
    Mia rechnet 758 − 142 und erhält 716. Prüfe mit der Umkehraufgabe.
    Lösung zeigen
    1. Umkehraufgabe: 716 + 142 = 858
    2. 858 ist nicht 758: Es ist falsch.
    3. 758 − 142 = 616
    Ergebnis:
    falsch, richtig ist 616
  3. ★24
    Milan erhält für 301 · 27 das Ergebnis 8327. Prüfe mit einem Überschlag.
    Lösung zeigen
    1. Überschlag: 300 · 30 = 9000
    2. 8327 liegt in der Nähe. Genau rechnen: 301 · 27 = 8127
    3. Das Ergebnis ist falsch.
    Ergebnis:
    falsch, richtig ist 8127

Vermischte Übungen

Alles durcheinander – wie in der Arbeit. Überleg bei jeder Aufgabe zuerst: Welches Ziel ist das?

Üben

  1. ●25
    Lea rechnet 5 + 71 + 15 von links nach rechts. Zeige einen schnelleren Weg mit einem Rechenvorteil.
    57115
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 5 + 15 + 71
    2. 5 + 15 = 20
    3. 20 + 71 = 91
    Ergebnis:
    91
  2. ●26
    Rechne geschickt: 50 · 14 · 2
    50142
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 50 · 2 · 14
    2. 50 · 2 = 100
    3. 100 · 14 = 1400
    Ergebnis:
    1400
  3. ●27
    Rechne geschickt durch gegensinniges Verändern: 297 + 34
    29734
    Lösung zeigen
    1. 297 bekommt 3 dazu, 34 gibt 3 ab.
    2. 297 + 34 = 300 + 31
    3. 300 + 31 = 331
    Ergebnis:
    331
  4. ●28
    Ergänze so, dass die Differenz gleich bleibt: 214 − 197 = ___ − 200
    Lösung zeigen
    1. 197 wird zu 200: 3 mehr.
    2. Damit der Abstand bleibt, wird auch 214 um 3 größer: 217.
    3. 217 − 200 = 17
    Ergebnis:
    217
  5. ●29
    Es gibt 5 Hefte mit je 64 Hefte. Wie viele Hefte sind es? Rechne halbschriftlich.
    Lösung zeigen
    1. 5 · 64
    2. 64 = 60 + 4
    3. 5 · 60 = 300 und 5 · 4 = 20
    4. 300 + 20 = 320
    Ergebnis:
    320 Hefte
  6. ●30
    Welche zwei Malaufgaben zeigen die beiden Teile des Rechtecks? Was ergibt 4 · 15?
    1054
    Lösung zeigen
    1. Links: 4 · 10 = 40
    2. Rechts: 4 · 5 = 20
    3. 4 · 15 = 40 + 20 = 60
    Ergebnis:
    4 · 10 und 4 · 5, zusammen 60

Auf einen Blick

MerkenDas Wichtigste

Vertauschen und zusammenfassen
Beim Plus und beim Mal darf man die Zahlen vertauschen und anders zusammenfassen.
Gegensinnig und gleichsinnig
Bei einer Summe gibt ein Summand ab, was der andere bekommt.
Malnehmen mit Zerlegen
Einen Faktor zerlegen, jeden Teil malnehmen und die Teilergebnisse addieren.
Teilen mit Zerlegen
Die Zahl so zerlegen, dass jeder Teil glatt aufgeht. So wird 385 : 7 zu 350 : 7 + 35 : 7.
Ausdrücke mit gleichem Wert
Verschiedene Rechenausdrücke können denselben Wert haben.
Verdoppeln und halbieren
Wird ein Faktor verdoppelt und der andere halbiert, bleibt das Produkt gleich.
Den passenden Weg wählen
Vor dem Rechnen die Zahlen ansehen.
Überschlag und Umkehraufgabe
Ein Überschlag mit runden Zahlen zeigt, ob ein Ergebnis stimmen kann.

Kannst du das?

Je Ziel eine Aufgabe. Rechne sie ins Heft, dann kreuz ehrlich an. Keine Punkte, keine Note – der Test ist für dich.

ÜbenSelbsttest

  1. Ich rechne Plusaufgaben und Malaufgaben geschickt durch Vertauschen und Zusammenfassen.

    31
    Rechne geschickt: 7 + 52 + 13
    75213
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    72

  2. Ich verändere Summen gegensinnig und Differenzen gleichsinnig.

    32
    Rechne geschickt durch gegensinniges Verändern: 38 + 74
    3874
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    112

  3. Ich nehme halbschriftlich mal, indem ich einen Faktor zerlege.

    33
    Rechne halbschriftlich: Zerlege den zweiten Faktor. 6 · 53
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    318

  4. Ich dividiere halbschriftlich, indem ich die Zahl geschickt zerlege.

    34
    124 Murmeln werden gleichmäßig auf 4 Säckchen aufgeteilt. Wie viele bekommt jeder Teil? Rechne halbschriftlich.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    31 Murmeln

  5. Ich finde Aufgaben mit gleichem Ergebnis und vergleiche Rechenausdrücke.

    35
    Finde die fehlende Zahl mit einem Rechengesetz: 85 − 63 = ___ − 73
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    95

  6. Ich rechne mit Verdoppeln und Halbieren und prüfe, ob das Ergebnis gleich bleibt.

    36
    Warum ist 16 · 5 dasselbe wie 8 · 10? Rechne dann geschickt.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    80

  7. Ich wähle zu einer Aufgabe den passenden Rechenweg.

    37
    Wie rechnest du am schnellsten: 298 + 198? Nenne ihn. Rechne danach.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    gegensinnig verändern, 496

  8. Ich finde Rechenfehler mit Überschlag und Umkehraufgabe.

    38
    Zeynep rechnet 644 − 546 und erhält 198. Prüfe mit der Umkehraufgabe.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    falsch, richtig ist 98

Bei „unsicher“ oder „noch nicht“: Lies den Abschnitt zum Ziel noch einmal und rechne seine drei Aufgaben.

Die Frage vom Anfang

EntdeckenRückschau

Rechne im Kopf, so schnell du kannst: 25 · 17 · 4. Schreib nichts auf und nimm keinen Taschenrechner.

Lies deine Vermutung vom Anfang. Kannst du die Frage jetzt mit dem Kapitel beantworten?

Auflösung

Mit dem Werkzeug aus diesem Kapitel: Vertauschen und Zusammenfassen: erst die Zahlen, die zusammen glatt werden.

Wo brauchst du das?

Entdecken

Preise im Kopf addieren, Rückgeld überschlagen, Mengen für ein Fest ausrechnen. Beruf: Kasse und Verkauf, Handwerk beim Materialberechnen, Lager und Versand.

Wörter

Differenz
was übrig bleibt, wenn man abzieht
Gleichung
zwei Rechnungen, die gleich viel wert sind
Produkt
was herauskommt, wenn man malnimmt
Summe
was herauskommt, wenn man zusammenzählt
Teiler
eine Zahl, durch die es ohne Rest aufgeht

Wie es zusammenhängt

Das brauchst du vorher: Rechenregeln, Teiler und Vielfache, Natürliche Zahlen und Stellenwert

Darauf baut auf: Sachaufgaben lösen

Lösungen

  1. 81
  2. 106
  3. 778
  4. 22
  5. 56
  6. 1147
  7. 54
  8. 57
  9. 2874
  10. 63 Sticker
  11. 42
  12. 98 Sticker
  13. 51
  14. 24
  15. 52
  16. 400
  17. 70
  18. 330
  19. vertauschen, 143
  20. halbieren und verdoppeln, 80
  21. zerlegen, 324
  22. falsch, richtig ist 539
  23. falsch, richtig ist 616
  24. falsch, richtig ist 8127
  25. 91
  26. 1400
  27. 331
  28. 217
  29. 320 Hefte
  30. 4 · 10 und 4 · 5, zusammen 60
  31. 72
  32. 112
  33. 318
  34. 31 Murmeln
  35. 95
  36. 80
  37. gegensinnig verändern, 496
  38. falsch, richtig ist 98
  39. 27
  40. 108
  41. 90
  42. 38