Mathematik · Klasse 5 · Kapitel

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Rechengesetze und Rechenvorteile

EntdeckenDie Frage zum Kapitel

Rechne im Kopf, so schnell du kannst: 25 · 17 · 4. Schreib nichts auf und nimm keinen Taschenrechner.

Schreib eine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Für die Lehrkraft: Die meisten rechnen von links: 25 · 17 und kommen durcheinander. Andere geben auf oder raten. Nur wenige sehen, dass 25 und 4 zusammen 100 ergeben. Beim Malnehmen darf man die Zahlen vertauschen. Dann steht 25 · 4 · 17 da, also 100 · 17. Das Ergebnis ist 1700, in einer Sekunde.

Entdecken Frage, Vorstellung, Bild
Merken kommt ins Heft
Beispiel vorgerechnet, Schritt für Schritt
Üben selbst rechnen
Achtung typischer Fehler
Weiterdenken zum Knobeln und Vernetzen

○ mit Starthilfe, ● für alle, ★ zum Weiterdenken. Du wählst mindestens eine ★-Aufgabe. Du rechnest ins Heft.

Fit für das Kapitel?

Das brauchst du aus früheren Themen. Klappt es nicht, frag nach, bevor es losgeht.

ÜbenWeißt du das noch?

Punkt vor Strich und Klammer zuerst – so steht es seit Klasse 4 im Heft.

●39
Rechne: 6 + 5 · 4
Lösung zeigen
1. Punkt vor Strich: erst 5 · 4 = 20
2. 6 + 20 = 26
Ergebnis:
26
●40
Rechne: (9 + 5) · 3
Lösung zeigen
1. Die Klammer zuerst: 9 + 5 = 14
2. 14 · 3 = 42
Ergebnis:
42

ÜbenWeißt du das noch?

Punkt vor Strich und Klammer zuerst – die Reihenfolge entscheidet über das Ergebnis.

●41
Berechne: 4 + 4 · 2
Lösung zeigen
1. Punkt vor Strich: erst 4 · 2 = 8
2. 4 + 8 = 12
Ergebnis:
12
●42
Ich denke mir eine Zahl, addiere 30 und erhalte 86. Welche Zahl war es? (Umkehraufgabe)
Lösung zeigen
Ergebnis:
56

So kannst du es dir vorstellen

EntdeckenZahlen umbauen, ohne den Wert zu ändern

Eine Rechnung lässt sich umbauen, ohne dass sich ihr Wert ändert. Zahlen tauschen die Plätze, bilden neue Gruppen oder werden zerlegt. Wer das sieht, rechnet mit glatten Zahlen statt mit krummen.

WeiterdenkenDenk nach

Warum darf man bei 25 + 38 + 75 zuerst 25 und 75 addieren, bei 50 − 20 − 10 aber nicht zuerst 20 − 10?

1Ich rechne Plusaufgaben und Malaufgaben geschickt durch Vertauschen und Zusammenfassen.

EntdeckenFrage

Wie konnte der neunjährige Carl Friedrich Gauß die Zahlen von 1 bis 100 in wenigen Minuten addieren?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Er hat die Zahlen in Paare umsortiert: 1 und 100, 2 und 99, 3 und 98. Jedes Paar ergibt 101, und es sind 50 Paare. Also 50 · 101 = 5050. Er hat nur vertauscht und neu zusammengefasst.

MerkenVertauschen und zusammenfassen

Beim Plus und beim Mal darf man die Zahlen vertauschen und anders zusammenfassen.

Erst die Zahlen nehmen, die zusammen glatt werden.

BeispielPlusaufgaben geschickt: vertauschen und zusammenfassen

Aylin rechnet 17 + 48 + 83 von links nach rechts. Zeige einen schnelleren Weg mit einem Rechenvorteil.

Schritt für Schritt

Vertauschen: 17 + 83 + 48
17 + 83 = 100
100 + 48 = 148

Vertauschen: 17 + 83 + 48
17 + 83 = 100
100 + 48 = 148

Ergebnis:

148

AchtungBeim Minus oder Geteilt vertauscht

So nicht

50 − 20 − 10: erst 20 − 10 = 10, dann 50 − 10 = 40

So richtig

50 − 20 − 10 = 30 − 10 = 20

Vertauschen ist nur beim Plus und beim Mal erlaubt. 20 − 5 ist nicht 5 − 20.

ÜbenJetzt du

○1
Emma rechnet 12 + 55 + 28 von links nach rechts. Zeige einen schnelleren Weg mit einem Rechenvorteil.
So fängst du an:
Vertauschen: 12 + 28 + 55
Lösung zeigen
1. Vertauschen: 12 + 28 + 55
2. 12 + 28 = 40
3. 40 + 55 = 95
Ergebnis:
95
●2
Aylin rechnet 11 + 27 + 9 von links nach rechts. Zeige einen schnelleren Weg mit einem Rechenvorteil.
Lösung zeigen
1. Vertauschen: 11 + 9 + 27
2. 11 + 9 = 20
3. 20 + 27 = 47
Ergebnis:
47
★3
Sofia rechnet 31 + 862 + 71 + 69 + 29 von links nach rechts. Zeige einen schnelleren Weg mit einem Rechenvorteil.
Lösung zeigen
1. Vertauschen: 31 + 69 + 71 + 29 + 862
2. 31 + 69 = 100 und 71 + 29 = 100
3. 100 + 100 + 862 = 1062
Ergebnis:
1062

2Ich verändere Summen gegensinnig und Differenzen gleichsinnig.

EntdeckenFrage

Warum rechnen Kassiererinnen 3,99 € mal 4 schneller als ein Kunde mit Papier?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Sie rechnen 4 mal 4 € und ziehen dann 4 Cent ab: 16,00 € − 0,04 € = 15,96 €. Das ist Zerlegen: 3,99 ist 4 minus 1 Cent. Der Rechenweg ist kurz, weil er über die glatte Zahl geht.

MerkenGegensinnig und gleichsinnig

Bei einer Summe gibt ein Summand ab, was der andere bekommt.

Bei einer Differenz ändern sich beide Zahlen gleich, der Abstand bleibt.

BeispielSummen gegensinnig verändern

Elias rechnet 39 + 72 als 40 + 72. Was muss Elias danach noch tun? Was kommt heraus?

Schritt für Schritt

Elias hat 39 um 1 vergrößert.
Die Summe ist dadurch um 1 zu groß: 40 + 72 = 112.
1 wieder abziehen: 112 − 1 = 111

Elias hat 39 um 1 vergrößert.
Die Summe ist dadurch um 1 zu groß: 40 + 72 = 112.
1 wieder abziehen: 112 − 1 = 111

Ergebnis:

111

AchtungNur eine Zahl verändert

So nicht

143 − 97: 143 − 100 = 43

So richtig

143 − 97 = 146 − 100 = 46

Bei der Summe gegensinnig, bei der Differenz gleichsinnig: Immer beide Zahlen verändern.

ÜbenJetzt du

○4
Ergänze so, dass die Summe gleich bleibt: 68 + 49 = 70 + ___
So fängst du an:
68 wird zu 70: 2 mehr.
Lösung zeigen
1. 68 wird zu 70: 2 mehr.
2. Also muss 49 um 2 kleiner werden: 49 − 2 = 47
3. 70 + 47 = 117
Ergebnis:
47
●5
Rechne geschickt durch gegensinniges Verändern: 98 + 39
Lösung zeigen
1. 98 bekommt 2 dazu, 39 gibt 2 ab.
2. 98 + 39 = 100 + 37
3. 100 + 37 = 137
Ergebnis:
137
★6
Sofia rechnet 499 + 367 als 500 + 367. Was muss Sofia danach noch tun? Was kommt heraus?
Lösung zeigen
1. Sofia hat 499 um 1 vergrößert.
2. Die Summe ist dadurch um 1 zu groß: 500 + 367 = 867.
3. 1 wieder abziehen: 867 − 1 = 866
Ergebnis:
866

3Ich nehme halbschriftlich mal, indem ich einen Faktor zerlege.

EntdeckenFrage

Wie haben Bauern in Russland früher ohne Einmaleins multipliziert?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Sie haben eine Zahl immer halbiert und die andere verdoppelt, bis links eine 1 stand. Dann addierten sie die rechten Zahlen der Zeilen mit ungerader linker Zahl. Das Verfahren heißt russische Bauernmultiplikation und nutzt, dass Verdoppeln und Halbieren das Produkt nicht ändert.

Ausprobieren: Malnehmen am Rechteck

Länge und Höhe in Teile zerlegen – das Rechteck zerfällt in Teilrechtecke, und jedes ist eine leichte Malaufgabe.

MerkenMalnehmen mit Zerlegen

Einen Faktor zerlegen, jeden Teil malnehmen und die Teilergebnisse addieren.

So wird 7 · 48 zu 7 · 40 + 7 · 8.

BeispielHalbschriftlich malnehmen mit Zerlegen

Es gibt 7 Reihen mit je 42 Stühle. Wie viele Stühle sind es? Rechne halbschriftlich.

Schritt für Schritt

7 · 42
42 = 40 + 2
7 · 40 = 280 und 7 · 2 = 14
280 + 14 = 294

7 · 42
42 = 40 + 2
7 · 40 = 280 und 7 · 2 = 14
280 + 14 = 294

Ergebnis:

294 Stühle

AchtungBeim Zerlegen einen Teil vergessen

So nicht

7 · 48: 7 · 40 + 8 = 288

So richtig

7 · 48 = 7 · 40 + 7 · 8 = 280 + 56 = 336

Jeder Teil des zerlegten Faktors wird malgenommen, nicht nur der erste.

ÜbenJetzt du

○7
Es gibt 8 Tüten mit je 69 Bonbons. Wie viele Bonbons sind es? Rechne halbschriftlich.
So fängst du an:
8 · 69
Lösung zeigen
1. 8 · 69
2. 69 = 60 + 9
3. 8 · 60 = 480 und 8 · 9 = 72
4. 480 + 72 = 552
Ergebnis:
552 Bonbons
●8
Rechne halbschriftlich: Zerlege den zweiten Faktor. 6 · 41
Lösung zeigen
1. 41 = 40 + 1
2. 6 · 40 = 240 und 6 · 1 = 6
3. 240 + 6 = 246
Ergebnis:
246
★9
Rechne halbschriftlich: Zerlege den zweiten Faktor. 8 · 56
Lösung zeigen
1. 56 = 50 + 6
2. 8 · 50 = 400 und 8 · 6 = 48
3. 400 + 48 = 448
Ergebnis:
448

4Ich dividiere halbschriftlich, indem ich die Zahl geschickt zerlege.

EntdeckenFrage

Warum ist 25 mal 4 ein Lieblingspaar beim Kopfrechnen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

25 mal 4 ergibt genau 100. Kommen 25 und 4 in einer Malaufgabe vor, fasst man sie zuerst zusammen. Aus 25 · 37 · 4 wird dann 100 · 37 = 3700, ganz ohne schriftliches Rechnen.

MerkenTeilen mit Zerlegen

Die Zahl so zerlegen, dass jeder Teil glatt aufgeht. So wird 385 : 7 zu 350 : 7 + 35 : 7.

BeispielHalbschriftlich dividieren

402 Bücher werden gleichmäßig auf 6 Regalböden aufgeteilt. Wie viele bekommt jeder Teil? Rechne halbschriftlich.

Schritt für Schritt

402 : 6
402 = 360 + 42
360 : 6 = 60 und 42 : 6 = 7
60 + 7 = 67

402 : 6
402 = 360 + 42
360 : 6 = 60 und 42 : 6 = 7
60 + 7 = 67

Ergebnis:

67 Bücher

AchtungBeim Teilen nicht passend zerlegt

So nicht

385 : 7: 300 : 7 geht nicht glatt → aufgegeben

So richtig

385 : 7 = 350 : 7 + 35 : 7 = 50 + 5 = 55

Jeder Teil muss sich glatt teilen lassen. Erst ein großes Vielfaches abspalten.

ÜbenJetzt du

○10
Rechne halbschriftlich: 60 : 5
So fängst du an:
60 = 50 + 10
Lösung zeigen
1. 60 = 50 + 10
2. 50 : 5 = 10 und 10 : 5 = 2
3. 10 + 2 = 12
Ergebnis:
12
●11
Zerlege 224 so in zwei Zahlen, dass du beide leicht durch 4 dividieren kannst. Was ergibt 224 : 4?
Lösung zeigen
1. 224 = 200 + 24
2. 200 : 4 = 50 und 24 : 4 = 6
3. 50 + 6 = 56
Ergebnis:
56
★12
364 Sticker werden gleichmäßig auf 7 Kinder aufgeteilt. Wie viele bekommt jeder Teil? Rechne halbschriftlich.
Lösung zeigen
1. 364 : 7
2. 364 = 350 + 14
3. 350 : 7 = 50 und 14 : 7 = 2
4. 50 + 2 = 52
Ergebnis:
52 Sticker

5Ich finde Aufgaben mit gleichem Ergebnis und vergleiche Rechenausdrücke.

EntdeckenFrage

Warum stimmt der Trick „mal 9 ist mal 10 minus einmal“ immer?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Neunmal eine Zahl ist zehnmal die Zahl minus einmal die Zahl. So wird 9 · 47 zu 470 − 47 = 423. Das ist das Verteilungsgesetz: 9 ist 10 minus 1.

MerkenAusdrücke mit gleichem Wert

Verschiedene Rechenausdrücke können denselben Wert haben.

Wer die Rechengesetze nutzt, sieht das oft ohne Ausrechnen.

BeispielAufgaben mit gleichem Ergebnis

Finde die fehlende Zahl mit einem Rechengesetz: 69 + 85 = 70 + ___

Schritt für Schritt

69 wird zu 70: 1 mehr.
Damit die Summe gleich bleibt, wird 85 um 1 kleiner.
85 − 1 = 84

69 wird zu 70: 1 mehr.
Damit die Summe gleich bleibt, wird 85 um 1 kleiner.
85 − 1 = 84

Ergebnis:

AchtungPunkt vor Strich missachtet

So nicht

9 + 5 · 7 = 14 · 7 = 98

So richtig

9 + 5 · 7 = 9 + 35 = 44

Klammer zuerst, dann Mal und Geteilt, dann Plus und Minus.

ÜbenJetzt du

○13
Welche Zahl fehlt? Rechne nicht beide Seiten aus. 40 − 12 = ___ − 13
So fängst du an:
12 wird zu 13: 1 mehr.
Lösung zeigen
1. 12 wird zu 13: 1 mehr.
2. Damit der Abstand bleibt, wird auch 40 um 1 größer.
3. 40 + 1 = 41
Ergebnis:
41
●14
Welche Zahl fehlt? Rechne nicht beide Seiten aus. 16 · 8 = 8 · ___
Lösung zeigen
1. 16 wird halb so groß: 8.
2. Damit das Ergebnis gleich bleibt, wird 8 doppelt so groß.
3. 8 · 2 = 16
Ergebnis:
16
★15
Ergänze die Lücke: 6 · 30 + 6 · 2 = 6 · ___
Lösung zeigen
1. Beide Produkte haben den Faktor 6.
2. 6 mal 30 und 6 mal 2 sind zusammen 6 mal (30 + 2).
3. 30 + 2 = 32
Ergebnis:
32

6Ich rechne mit Verdoppeln und Halbieren und prüfe, ob das Ergebnis gleich bleibt.

EntdeckenFrage

Wie merkt man in Sekunden, dass 98 · 102 nicht 99.960 sein kann?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Man rechnet nicht, man überschlägt: 100 · 100 = 10.000. Das Ergebnis muss also in der Nähe von 10.000 liegen. 99.960 ist fast zehnmal so groß und kann nicht stimmen. Richtig ist 9996.

MerkenVerdoppeln und halbieren

Wird ein Faktor verdoppelt und der andere halbiert, bleibt das Produkt gleich.

Werden beide verdoppelt, wird es viermal so groß.

BeispielVerdoppeln und Halbieren

Lina verdoppelt bei 16 · 25 beide Faktoren und rechnet 32 · 50. Bleibt das Ergebnis gleich?

Schritt für Schritt

Einmal verdoppeln macht das Ergebnis doppelt so groß, zweimal viermal so groß.
32 · 50 = 1600, aber 16 · 25 = 400
Richtig ist: einen verdoppeln, den anderen halbieren.

Einmal verdoppeln macht das Ergebnis doppelt so groß, zweimal viermal so groß.
32 · 50 = 1600, aber 16 · 25 = 400
Richtig ist: einen verdoppeln, den anderen halbieren.

Ergebnis:

Nein, viermal so groß; richtig ist 400

AchtungBeide Faktoren verdoppelt

So nicht

8 · 25 → 16 · 50 = 800

So richtig

8 · 25 → 4 · 50 = 200

Nur einer wird verdoppelt, der andere halbiert. Sonst ändert sich das Ergebnis.

ÜbenJetzt du

○16
Warum ist 14 · 5 dasselbe wie 7 · 10? Rechne dann geschickt.
So fängst du an:
Halb so viele Reihen, jede doppelt so lang: gleich viele Kästchen.
Lösung zeigen
1. Halb so viele Reihen, jede doppelt so lang: gleich viele Kästchen.
2. 14 · 5 = 7 · 10
3. 7 · 10 = 70
Ergebnis:
70
●17
Can verdoppelt bei 16 · 25 beide Faktoren und rechnet 32 · 50. Bleibt das Ergebnis gleich?
Lösung zeigen
1. Einmal verdoppeln macht das Ergebnis doppelt so groß, zweimal viermal so groß.
2. 32 · 50 = 1600, aber 16 · 25 = 400
3. Richtig ist: einen verdoppeln, den anderen halbieren.
Ergebnis:
Nein, viermal so groß; richtig ist 400
★18
Aylin verdoppelt bei 22 · 15 beide Faktoren und rechnet 44 · 30. Bleibt das Ergebnis gleich?
Lösung zeigen
1. Einmal verdoppeln macht das Ergebnis doppelt so groß, zweimal viermal so groß.
2. 44 · 30 = 1320, aber 22 · 15 = 330
3. Richtig ist: einen verdoppeln, den anderen halbieren.
Ergebnis:
Nein, viermal so groß; richtig ist 330

7Ich wähle zu einer Aufgabe den passenden Rechenweg.

EntdeckenFrage

Wie rechnen Darts-Profis blitzschnell aus, wie viele Punkte ihnen von 501 noch fehlen, wenn sie 140 geworfen haben?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Der geschickte Weg nimmt erst eine runde Zahl. 500 − 140 = 360, und der eine Extrapunkt kommt dazu: 361. Das geht schneller als 501 − 140 Stelle für Stelle. Am Ergebnis ändert der Weg nichts.

MerkenDen passenden Weg wählen

Vor dem Rechnen die Zahlen ansehen.

Liegt eine Zahl nahe an einer glatten, lohnt sich ein Vorteil, sonst rechnet man schriftlich.

BeispielDen passenden Rechenweg wählen

Welcher Weg passt zu 7 · 37? Nenne ihn. Rechne danach.

Schritt für Schritt

Den zweiten Faktor zerlegen: 37 = 30 + 7.
7 · 30 = 210 und 7 · 7 = 49
Zusammen: 259

Den zweiten Faktor zerlegen: 37 = 30 + 7.
7 · 30 = 210 und 7 · 7 = 49
Zusammen: 259

Ergebnis:

zerlegen, 259

AchtungUmständlichen Weg gewählt

So nicht

299 + 158 schriftlich untereinander gerechnet, dabei verrechnet: 447

So richtig

299 + 158 = 300 + 157 = 457

Erst die Zahlen ansehen: Liegt eine nahe an einer glatten Zahl?

ÜbenJetzt du

○19
Welcher Weg passt zu 14 · 5? Nenne ihn. Rechne danach.
So fängst du an:
5 wird verdoppelt glatt: halbieren und verdoppeln.
Lösung zeigen
1. 5 wird verdoppelt glatt: halbieren und verdoppeln.
2. 14 · 5 = 7 · 10
3. 7 · 10 = 70
Ergebnis:
halbieren und verdoppeln, 70
●20
Wie rechnest du am schnellsten: 37 + 37 + 63? Nenne ihn. Rechne danach.
Lösung zeigen
1. Zwei Zahlen ergeben zusammen 100: vertauschen und zusammenfassen.
2. 37 + 63 = 100
3. 100 + 37 = 137
Ergebnis:
vertauschen, 137
★21
Welcher Weg passt zu 5 · 86? Nenne ihn. Rechne danach.
Lösung zeigen
1. Den zweiten Faktor zerlegen: 86 = 80 + 6.
2. 5 · 80 = 400 und 5 · 6 = 30
3. Zusammen: 430
Ergebnis:
zerlegen, 430

8Ich finde Rechenfehler mit Überschlag und Umkehraufgabe.

EntdeckenFrage

Warum zählt man Rückgeld vom Preis aus nach oben, statt abzuziehen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Wer 13,40 € zahlen muss und 20 € gibt, bekommt 20 − 13,40 = 6,60 € zurück. Beim Hochzählen rechnet man die Umkehraufgabe: 13,40 + 6,60 = 20. Kommt man genau auf den gegebenen Betrag, stimmt das Rückgeld.

MerkenÜberschlag und Umkehraufgabe

Ein Überschlag mit runden Zahlen zeigt, ob ein Ergebnis stimmen kann.

Die Umkehraufgabe prüft es genau.

BeispielRechenfehler mit Überschlag und Umkehraufgabe finden

Tom erhält für 82 · 47 das Ergebnis 3654. Prüfe mit einem Überschlag.

Schritt für Schritt

Überschlag: 80 · 50 = 4000
3654 liegt zu weit weg. Genau: 82 · 47 = 3854
Das Ergebnis ist falsch.

Überschlag: 80 · 50 = 4000
3654 liegt zu weit weg. Genau: 82 · 47 = 3854
Das Ergebnis ist falsch.

Ergebnis:

falsch, richtig ist 3854

AchtungErgebnis nicht geprüft

So nicht

425 : 5 = 805, ohne Probe ins Heft

So richtig

425 : 5 → Überschlag 400 : 5 = 80 → 85, Probe 85 · 5 = 425

Mit einem Überschlag prüfen, ob die Größenordnung stimmt, dann mit der Umkehraufgabe.

ÜbenJetzt du

○22
Jonas rechnet 696 : 8 und erhält 89. Prüfe mit der Umkehraufgabe.
So fängst du an:
Umkehraufgabe: 89 · 8 = 712
Lösung zeigen
1. Umkehraufgabe: 89 · 8 = 712
2. 712 ist nicht 696: Es ist falsch.
3. 696 : 8 = 87
Ergebnis:
falsch, richtig ist 87
●23
Emma erhält für 80 · 13 das Ergebnis 1040. Prüfe mit einem Überschlag.
Lösung zeigen
1. Überschlag: 80 · 10 = 800
2. 1040 liegt in der Nähe. Genau rechnen: 80 · 13 = 1040
3. Das Ergebnis stimmt.
Ergebnis:
stimmt, 1040
★24
Tom erhält für 394 · 29 das Ergebnis 11.526. Prüfe mit einem Überschlag.
Lösung zeigen
1. Überschlag: 400 · 30 = 12.000
2. 11.526 liegt in der Nähe. Genau rechnen: 394 · 29 = 11.426
3. Das Ergebnis ist falsch.
Ergebnis:
falsch, richtig ist 11.426

Vermischte Übungen

Alles durcheinander – wie in der Arbeit. Überleg bei jeder Aufgabe zuerst: Welches Ziel ist das?

Üben

●25
Welche Zahlen fasst du bei 9 + 89 + 41 zuerst zusammen? Begründe. Rechne danach.
Lösung zeigen
1. Vertauschen: 9 + 41 + 89
2. 9 + 41 = 50
3. Zusammen glatt, der Rest ist leicht: 50 + 89 = 139
Ergebnis:
139
●26
In einem Lager stehen 5 Regale mit je 2 Kisten. In jeder Kiste sind 18 Bälle. Wie viele Bälle sind es? Rechne geschickt.
Lösung zeigen
1. Bälle: 5 · 2 · 18
2. 5 · 2 = 10
3. 10 · 18 = 180
Ergebnis:
180 Bälle
●27
Ergänze so, dass die Summe gleich bleibt: 37 + 59 = 40 + ___
Lösung zeigen
1. 37 wird zu 40: 3 mehr.
2. Also muss 59 um 3 kleiner werden: 59 − 3 = 56
3. 40 + 56 = 96
Ergebnis:
56
●28
Paul rechnet 196 − 29 als 196 − 30 und erhält 166. Ist das schon das Ergebnis?
Lösung zeigen
1. Paul hat 1 mehr abgezogen als verlangt.
2. Beim Minus muss dieser Rest wieder dazu.
3. 166 + 1 = 167
Ergebnis:
Nein, 167
●29
Rechne geschickt über die glatte Zahl: 8 · 49
Lösung zeigen
1. 49 = 50 − 1
2. 8 · 50 = 400 und 8 · 1 = 8
3. 400 − 8 = 392
Ergebnis:
392
●30
Ein Rechteck hat 3 Reihen mit je 28 Kästchen. Die rote Linie teilt es. Wie viele Kästchen sind es?
Lösung zeigen
1. Linker Teil: 3 · 20 = 60
2. Rechter Teil: 3 · 8 = 24
3. Zusammen: 60 + 24 = 84
Ergebnis:
84 Kästchen

Auf einen Blick

MerkenDas Wichtigste

Vertauschen und zusammenfassen: Beim Plus und beim Mal darf man die Zahlen vertauschen und anders zusammenfassen.
Gegensinnig und gleichsinnig: Bei einer Summe gibt ein Summand ab, was der andere bekommt.
Malnehmen mit Zerlegen: Einen Faktor zerlegen, jeden Teil malnehmen und die Teilergebnisse addieren.
Teilen mit Zerlegen: Die Zahl so zerlegen, dass jeder Teil glatt aufgeht. So wird 385 : 7 zu 350 : 7 + 35 : 7.
Ausdrücke mit gleichem Wert: Verschiedene Rechenausdrücke können denselben Wert haben.
Verdoppeln und halbieren: Wird ein Faktor verdoppelt und der andere halbiert, bleibt das Produkt gleich.
Den passenden Weg wählen: Vor dem Rechnen die Zahlen ansehen.
Überschlag und Umkehraufgabe: Ein Überschlag mit runden Zahlen zeigt, ob ein Ergebnis stimmen kann.

Kannst du das?

Je Ziel eine Aufgabe. Rechne sie ins Heft, dann kreuz ehrlich an. Keine Punkte, keine Note – der Test ist für dich.

ÜbenSelbsttest

Ich rechne Plusaufgaben und Malaufgaben geschickt durch Vertauschen und Zusammenfassen.
31
Jonas rechnet 55 + 17 + 5 von links nach rechts. Zeige einen schnelleren Weg mit einem Rechenvorteil.
Lösung zeigen
Ergebnis:
77
Ich verändere Summen gegensinnig und Differenzen gleichsinnig.
32
Ergänze so, dass die Summe gleich bleibt: 297 + 84 = 300 + ___
Lösung zeigen
Ergebnis:
81
Ich nehme halbschriftlich mal, indem ich einen Faktor zerlege.
33
Rechne halbschriftlich: Zerlege den zweiten Faktor. 9 · 59
Lösung zeigen
Ergebnis:
531
Ich dividiere halbschriftlich, indem ich die Zahl geschickt zerlege.
34
Rechne halbschriftlich: 603 : 9
Lösung zeigen
Ergebnis:
67
Ich finde Aufgaben mit gleichem Ergebnis und vergleiche Rechenausdrücke.
35
Finde die fehlende Zahl mit einem Rechengesetz: 80 + 37 = 79 + ___
Lösung zeigen
Ergebnis:
38
Ich rechne mit Verdoppeln und Halbieren und prüfe, ob das Ergebnis gleich bleibt.
36
Aylin verdoppelt bei 8 · 25 beide Faktoren und rechnet 16 · 50. Bleibt das Ergebnis gleich?
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Ergebnis:
Nein, viermal so groß; richtig ist 200
Ich wähle zu einer Aufgabe den passenden Rechenweg.
37
Wie rechnest du am schnellsten: 196 + 497? Nenne ihn. Rechne danach.
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Ergebnis:
gegensinnig verändern, 693
Ich finde Rechenfehler mit Überschlag und Umkehraufgabe.
38
Sofia erhält für 48 · 30 das Ergebnis 1440. Prüfe mit einem Überschlag.
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Ergebnis:
stimmt, 1440

Bei „unsicher“ oder „noch nicht“: Lies den Abschnitt zum Ziel noch einmal und rechne seine drei Aufgaben.

Die Frage vom Anfang

EntdeckenRückschau

Rechne im Kopf, so schnell du kannst: 25 · 17 · 4. Schreib nichts auf und nimm keinen Taschenrechner.

Lies deine Vermutung vom Anfang. Kannst du die Frage jetzt mit dem Kapitel beantworten?

Auflösung

Mit dem Werkzeug aus diesem Kapitel: Vertauschen und Zusammenfassen: erst die Zahlen, die zusammen glatt werden.

Wo brauchst du das?

Entdecken

Preise im Kopf addieren, Rückgeld überschlagen, Mengen für ein Fest ausrechnen. Beruf: Kasse und Verkauf, Handwerk beim Materialberechnen, Lager und Versand.

Wörter

Differenz: was übrig bleibt, wenn man abzieht
Gleichung: zwei Rechnungen, die gleich viel wert sind
Produkt: was herauskommt, wenn man malnimmt
Summe: was herauskommt, wenn man zusammenzählt
Teiler: eine Zahl, durch die es ohne Rest aufgeht

Wie es zusammenhängt

Das brauchst du vorher: Rechenregeln, Teiler und Vielfache, Natürliche Zahlen und Stellenwert

Darauf baut auf: Sachaufgaben lösen

Lösungen

95
47
1062
47
137
866
552 Bonbons
246
448
12
56
52 Sticker
41
16
32
70
Nein, viermal so groß; richtig ist 400
Nein, viermal so groß; richtig ist 330
halbieren und verdoppeln, 70
vertauschen, 137
zerlegen, 430
falsch, richtig ist 87
stimmt, 1040
falsch, richtig ist 11.426
139
180 Bälle
56
Nein, 167
392
84 Kästchen
77
81
531
67
38
Nein, viermal so groß; richtig ist 200
gegensinnig verändern, 693
stimmt, 1440
26
42
12
56