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Mathematik · Klasse 5 · Kapitel

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Rechengesetze und Rechenvorteile

EntdeckenDie Frage zum Kapitel

Rechne im Kopf, so schnell du kannst: 25 · 17 · 4. Schreib nichts auf und nimm keinen Taschenrechner.

Schreib eine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Für die Lehrkraft: Die meisten rechnen von links: 25 · 17 und kommen durcheinander. Andere geben auf oder raten. Nur wenige sehen, dass 25 und 4 zusammen 100 ergeben. Beim Malnehmen darf man die Zahlen vertauschen. Dann steht 25 · 4 · 17 da, also 100 · 17. Das Ergebnis ist 1700, in einer Sekunde.

  • Entdecken Frage, Vorstellung, Bild
  • Merken kommt ins Heft
  • Beispiel vorgerechnet, Schritt für Schritt
  • Üben selbst rechnen
  • Achtung typischer Fehler
  • Weiterdenken zum Knobeln und Vernetzen

○ mit Starthilfe, ● für alle, ★ zum Weiterdenken. Du wählst mindestens eine ★-Aufgabe. Du rechnest ins Heft.

Fit für das Kapitel?

Das brauchst du aus früheren Themen. Klappt es nicht, frag nach, bevor es losgeht.

ÜbenWeißt du das noch?

Punkt vor Strich und Klammer zuerst – so steht es seit Klasse 4 im Heft.

  1. ●39
    Rechne: 34 − 2 · 6
    Lösung zeigen
    1. Punkt vor Strich: erst 2 · 6 = 12
    2. 34 − 12 = 22
    Ergebnis:
    22
  2. ●40
    Rechne: (8 + 2) · 8
    Lösung zeigen
    1. Die Klammer zuerst: 8 + 2 = 10
    2. 10 · 8 = 80
    Ergebnis:
    80

ÜbenWeißt du das noch?

Punkt vor Strich und Klammer zuerst – die Reihenfolge entscheidet über das Ergebnis.

  1. ●41
    Berechne: 10 + 2 · 9
    Lösung zeigen
    1. Punkt vor Strich: erst 2 · 9 = 18
    2. 10 + 18 = 28
    Ergebnis:
    28
  2. ●42
    Ich denke mir eine Zahl, addiere 32 und erhalte 83. Welche Zahl war es? (Umkehraufgabe)
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    51

So kannst du es dir vorstellen

EntdeckenZahlen umbauen, ohne den Wert zu ändern

Eine Rechnung lässt sich umbauen, ohne dass sich ihr Wert ändert. Zahlen tauschen die Plätze, bilden neue Gruppen oder werden zerlegt. Wer das sieht, rechnet mit glatten Zahlen statt mit krummen.

17 plus 38 plus 3: Erst 17 und 3 zu 20 zusammenfassen, dann 20 plus 38 sind 5817 + 38 + 317 + 3 = 20= 20 + 38 = 58

WeiterdenkenDenk nach

Warum darf man bei 25 + 38 + 75 zuerst 25 und 75 addieren, bei 50 − 20 − 10 aber nicht zuerst 20 − 10?

1Ich rechne Plusaufgaben und Malaufgaben geschickt durch Vertauschen und Zusammenfassen.

EntdeckenFrage

Wie konnte der neunjährige Carl Friedrich Gauß die Zahlen von 1 bis 100 in wenigen Minuten addieren?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Er hat die Zahlen in Paare umsortiert: 1 und 100, 2 und 99, 3 und 98. Jedes Paar ergibt 101, und es sind 50 Paare. Also 50 · 101 = 5050. Er hat nur vertauscht und neu zusammengefasst.

MerkenVertauschen und zusammenfassen

Beim Plus und beim Mal darf man die Zahlen vertauschen und anders zusammenfassen.

Erst die Zahlen nehmen, die zusammen glatt werden.

BeispielPlusaufgaben geschickt: vertauschen und zusammenfassen

Welche Zahlen fasst du bei 33 + 21 + 7 zuerst zusammen? Begründe. Rechne danach.
33217
Schritt für Schritt
  1. Vertauschen: 33 + 7 + 21
  2. 33 + 7 = 40
  3. Zusammen glatt, der Rest ist leicht: 40 + 21 = 61
  1. Vertauschen: 33 + 7 + 21
  2. 33 + 7 = 40
  3. Zusammen glatt, der Rest ist leicht: 40 + 21 = 61
Ergebnis:
61

AchtungBeim Minus oder Geteilt vertauscht

So nicht
50 − 20 − 10: erst 20 − 10 = 10, dann 50 − 10 = 40
So richtig
50 − 20 − 10 = 30 − 10 = 20

Vertauschen ist nur beim Plus und beim Mal erlaubt. 20 − 5 ist nicht 5 − 20.

ÜbenJetzt du

  1. ○1
    Rechne geschickt: 34 + 88 + 16
    348816
    So fängst du an:
    Vertauschen: 34 + 16 + 88
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 34 + 16 + 88
    2. 34 + 16 = 50
    3. 50 + 88 = 138
    Ergebnis:
    138
  2. ●2
    Welche Zahlen fasst du bei 8 + 51 + 12 zuerst zusammen? Begründe. Rechne danach.
    85112
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 8 + 12 + 51
    2. 8 + 12 = 20
    3. Zusammen glatt, der Rest ist leicht: 20 + 51 = 71
    Ergebnis:
    71
  3. ★3
    Welche Zahlen fasst du bei 44 + 535 + 256 zuerst zusammen? Begründe. Rechne danach.
    44535256
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 44 + 256 + 535
    2. 44 + 256 = 300
    3. Zusammen glatt, der Rest ist leicht: 300 + 535 = 835
    Ergebnis:
    835

2Ich verändere Summen gegensinnig und Differenzen gleichsinnig.

EntdeckenFrage

Warum rechnen Kassiererinnen 3,99 € mal 4 schneller als ein Kunde mit Papier?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Sie rechnen 4 mal 4 € und ziehen dann 4 Cent ab: 16,00 € − 0,04 € = 15,96 €. Das ist Zerlegen: 3,99 ist 4 minus 1 Cent. Der Rechenweg ist kurz, weil er über die glatte Zahl geht.

MerkenGegensinnig und gleichsinnig

Bei einer Summe gibt ein Summand ab, was der andere bekommt.

Bei einer Differenz ändern sich beide Zahlen gleich, der Abstand bleibt.

BeispielSummen gegensinnig verändern

Milan rechnet 197 + 95 als 200 + 95. Was muss Milan danach noch tun? Was kommt heraus?
19795
Schritt für Schritt
  1. Milan hat 197 um 3 vergrößert.
  2. Die Summe ist dadurch um 3 zu groß: 200 + 95 = 295.
  3. 3 wieder abziehen: 295 − 3 = 292
  1. Milan hat 197 um 3 vergrößert.
  2. Die Summe ist dadurch um 3 zu groß: 200 + 95 = 295.
  3. 3 wieder abziehen: 295 − 3 = 292
Ergebnis:
292

AchtungNur eine Zahl verändert

So nicht
143 − 97: 143 − 100 = 43
So richtig
143 − 97 = 146 − 100 = 46

Bei der Summe gegensinnig, bei der Differenz gleichsinnig: Immer beide Zahlen verändern.

ÜbenJetzt du

  1. ○4
    Milan rechnet 298 + 59 als 300 + 59. Was muss Milan danach noch tun? Was kommt heraus?
    29859
    So fängst du an:
    Milan hat 298 um 2 vergrößert.
    Lösung zeigen
    1. Milan hat 298 um 2 vergrößert.
    2. Die Summe ist dadurch um 2 zu groß: 300 + 59 = 359.
    3. 2 wieder abziehen: 359 − 2 = 357
    Ergebnis:
    357
  2. ●5
    Rechne geschickt durch gegensinniges Verändern: 68 + 45
    6845
    Lösung zeigen
    1. 68 bekommt 2 dazu, 45 gibt 2 ab.
    2. 68 + 45 = 70 + 43
    3. 70 + 43 = 113
    Ergebnis:
    113
  3. ★6
    Ergänze so, dass die Summe gleich bleibt: 396 + 656 = 400 + ___
    396656
    Lösung zeigen
    1. 396 wird zu 400: 4 mehr.
    2. Also muss 656 um 4 kleiner werden: 656 − 4 = 652
    3. 400 + 652 = 1052
    Ergebnis:
    652

3Ich nehme halbschriftlich mal, indem ich einen Faktor zerlege.

EntdeckenFrage

Wie haben Bauern in Russland früher ohne Einmaleins multipliziert?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Sie haben eine Zahl immer halbiert und die andere verdoppelt, bis links eine 1 stand. Dann addierten sie die rechten Zahlen der Zeilen mit ungerader linker Zahl. Das Verfahren heißt russische Bauernmultiplikation und nutzt, dass Verdoppeln und Halbieren das Produkt nicht ändert.

Ausprobieren: Malnehmen am Rechteck

Länge und Höhe in Teile zerlegen – das Rechteck zerfällt in Teilrechtecke, und jedes ist eine leichte Malaufgabe.

MerkenMalnehmen mit Zerlegen

Einen Faktor zerlegen, jeden Teil malnehmen und die Teilergebnisse addieren.

So wird 7 · 48 zu 7 · 40 + 7 · 8.

BeispielHalbschriftlich malnehmen mit Zerlegen

Rechne geschickt über die glatte Zahl: 3 · 29
Schritt für Schritt
  1. 29 = 30 − 1
  2. 3 · 30 = 90 und 3 · 1 = 3
  3. 90 − 3 = 87
  1. 29 = 30 − 1
  2. 3 · 30 = 90 und 3 · 1 = 3
  3. 90 − 3 = 87
Ergebnis:
87

AchtungBeim Zerlegen einen Teil vergessen

So nicht
7 · 48: 7 · 40 + 8 = 288
So richtig
7 · 48 = 7 · 40 + 7 · 8 = 280 + 56 = 336

Jeder Teil des zerlegten Faktors wird malgenommen, nicht nur der erste.

ÜbenJetzt du

  1. ○7
    Rechne geschickt über die glatte Zahl: 8 · 39
    So fängst du an:
    39 = 40 − 1
    Lösung zeigen
    1. 39 = 40 − 1
    2. 8 · 40 = 320 und 8 · 1 = 8
    3. 320 − 8 = 312
    Ergebnis:
    312
  2. ●8
    Rechne geschickt über die glatte Zahl: 4 · 29
    Lösung zeigen
    1. 29 = 30 − 1
    2. 4 · 30 = 120 und 4 · 1 = 4
    3. 120 − 4 = 116
    Ergebnis:
    116
  3. ★9
    Rechne geschickt über die glatte Zahl: 7 · 59
    Lösung zeigen
    1. 59 = 60 − 1
    2. 7 · 60 = 420 und 7 · 1 = 7
    3. 420 − 7 = 413
    Ergebnis:
    413

4Ich dividiere halbschriftlich, indem ich die Zahl geschickt zerlege.

EntdeckenFrage

Warum ist 25 mal 4 ein Lieblingspaar beim Kopfrechnen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

25 mal 4 ergibt genau 100. Kommen 25 und 4 in einer Malaufgabe vor, fasst man sie zuerst zusammen. Aus 25 · 37 · 4 wird dann 100 · 37 = 3700, ganz ohne schriftliches Rechnen.

MerkenTeilen mit Zerlegen

Die Zahl so zerlegen, dass jeder Teil glatt aufgeht. So wird 385 : 7 zu 350 : 7 + 35 : 7.

BeispielHalbschriftlich dividieren

Rechne halbschriftlich: 51 : 3
Schritt für Schritt
  1. 51 = 30 + 21
  2. 30 : 3 = 10 und 21 : 3 = 7
  3. 10 + 7 = 17
  1. 51 = 30 + 21
  2. 30 : 3 = 10 und 21 : 3 = 7
  3. 10 + 7 = 17
Ergebnis:
17

AchtungBeim Teilen nicht passend zerlegt

So nicht
385 : 7: 300 : 7 geht nicht glatt → aufgegeben
So richtig
385 : 7 = 350 : 7 + 35 : 7 = 50 + 5 = 55

Jeder Teil muss sich glatt teilen lassen. Erst ein großes Vielfaches abspalten.

ÜbenJetzt du

  1. ○10
    Zerlege 260 so in zwei Zahlen, dass du beide leicht durch 4 dividieren kannst. Was ergibt 260 : 4?
    260: 4
    So fängst du an:
    260 = 240 + 20
    Lösung zeigen
    1. 260 = 240 + 20
    2. 240 : 4 = 60 und 20 : 4 = 5
    3. 60 + 5 = 65
    Ergebnis:
    65
  2. ●11
    Rechne halbschriftlich: 189 : 9
    Lösung zeigen
    1. 189 = 180 + 9
    2. 180 : 9 = 20 und 9 : 9 = 1
    3. 20 + 1 = 21
    Ergebnis:
    21
  3. ★12
    Rechne halbschriftlich: 348 : 6
    Lösung zeigen
    1. 348 = 300 + 48
    2. 300 : 6 = 50 und 48 : 6 = 8
    3. 50 + 8 = 58
    Ergebnis:
    58

5Ich finde Aufgaben mit gleichem Ergebnis und vergleiche Rechenausdrücke.

EntdeckenFrage

Warum stimmt der Trick „mal 9 ist mal 10 minus einmal“ immer?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Neunmal eine Zahl ist zehnmal die Zahl minus einmal die Zahl. So wird 9 · 47 zu 470 − 47 = 423. Das ist das Verteilungsgesetz: 9 ist 10 minus 1.

MerkenAusdrücke mit gleichem Wert

Verschiedene Rechenausdrücke können denselben Wert haben.

Wer die Rechengesetze nutzt, sieht das oft ohne Ausrechnen.

BeispielAufgaben mit gleichem Ergebnis

Welche Zahl fehlt? Rechne nicht beide Seiten aus. 54 − 38 = ___ − 48
Schritt für Schritt
  1. 38 wird zu 48: 10 mehr.
  2. Damit der Abstand bleibt, wird auch 54 um 10 größer.
  3. 54 + 10 = 64
  1. 38 wird zu 48: 10 mehr.
  2. Damit der Abstand bleibt, wird auch 54 um 10 größer.
  3. 54 + 10 = 64
Ergebnis:
64

AchtungPunkt vor Strich missachtet

So nicht
9 + 5 · 7 = 14 · 7 = 98
So richtig
9 + 5 · 7 = 9 + 35 = 44

Klammer zuerst, dann Mal und Geteilt, dann Plus und Minus.

ÜbenJetzt du

  1. ○13
    Ergänze die Lücke: 55 − 15 = ___ − 17
    So fängst du an:
    15 wird zu 17: 2 mehr.
    Lösung zeigen
    1. 15 wird zu 17: 2 mehr.
    2. Damit der Abstand bleibt, wird auch 55 um 2 größer.
    3. 55 + 2 = 57
    Ergebnis:
    57
  2. ●14
    Welche Zahl fehlt? Rechne nicht beide Seiten aus. 16 · 13 = 8 · ___
    Lösung zeigen
    1. 16 wird halb so groß: 8.
    2. Damit das Ergebnis gleich bleibt, wird 13 doppelt so groß.
    3. 13 · 2 = 26
    Ergebnis:
    26
  3. ★15
    Finde die fehlende Zahl mit einem Rechengesetz: 29 + 59 = 31 + ___
    29 + 59=31 + ?
    Lösung zeigen
    1. 29 wird zu 31: 2 mehr.
    2. Damit die Summe gleich bleibt, wird 59 um 2 kleiner.
    3. 59 − 2 = 57
    Ergebnis:
    57

6Ich rechne mit Verdoppeln und Halbieren und prüfe, ob das Ergebnis gleich bleibt.

EntdeckenFrage

Wie merkt man in Sekunden, dass 98 · 102 nicht 99.960 sein kann?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Man rechnet nicht, man überschlägt: 100 · 100 = 10.000. Das Ergebnis muss also in der Nähe von 10.000 liegen. 99.960 ist fast zehnmal so groß und kann nicht stimmen. Richtig ist 9996.

MerkenVerdoppeln und halbieren

Wird ein Faktor verdoppelt und der andere halbiert, bleibt das Produkt gleich.

Werden beide verdoppelt, wird es viermal so groß.

BeispielVerdoppeln und Halbieren

Rechne geschickt: Halbiere den einen Faktor und verdopple den anderen. 16 · 25
Schritt für Schritt
  1. 16 · 25 = 8 · 50
  2. 8 · 50 = 400
  1. 16 · 25 = 8 · 50
  2. 8 · 50 = 400
Ergebnis:
400

AchtungBeide Faktoren verdoppelt

So nicht
8 · 25 → 16 · 50 = 800
So richtig
8 · 25 → 4 · 50 = 200

Nur einer wird verdoppelt, der andere halbiert. Sonst ändert sich das Ergebnis.

ÜbenJetzt du

  1. ○16
    Warum ist 14 · 15 dasselbe wie 7 · 30? Rechne dann geschickt.
    So fängst du an:
    Halb so viele Reihen, jede doppelt so lang: gleich viele Kästchen.
    Lösung zeigen
    1. Halb so viele Reihen, jede doppelt so lang: gleich viele Kästchen.
    2. 14 · 15 = 7 · 30
    3. 7 · 30 = 210
    Ergebnis:
    210
  2. ●17
    Milan verdoppelt bei 14 · 5 beide Faktoren und rechnet 28 · 10. Bleibt das Ergebnis gleich?
    Lösung zeigen
    1. Einmal verdoppeln macht das Ergebnis doppelt so groß, zweimal viermal so groß.
    2. 28 · 10 = 280, aber 14 · 5 = 70
    3. Richtig ist: einen verdoppeln, den anderen halbieren.
    Ergebnis:
    Nein, viermal so groß; richtig ist 70
  3. ★18
    Zeynep verdoppelt bei 36 · 5 beide Faktoren und rechnet 72 · 10. Bleibt das Ergebnis gleich?
    Lösung zeigen
    1. Einmal verdoppeln macht das Ergebnis doppelt so groß, zweimal viermal so groß.
    2. 72 · 10 = 720, aber 36 · 5 = 180
    3. Richtig ist: einen verdoppeln, den anderen halbieren.
    Ergebnis:
    Nein, viermal so groß; richtig ist 180

7Ich wähle zu einer Aufgabe den passenden Rechenweg.

EntdeckenFrage

Wie rechnen Darts-Profis blitzschnell aus, wie viele Punkte ihnen von 501 noch fehlen, wenn sie 140 geworfen haben?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Der geschickte Weg nimmt erst eine runde Zahl. 500 − 140 = 360, und der eine Extrapunkt kommt dazu: 361. Das geht schneller als 501 − 140 Stelle für Stelle. Am Ergebnis ändert der Weg nichts.

MerkenDen passenden Weg wählen

Vor dem Rechnen die Zahlen ansehen.

Liegt eine Zahl nahe an einer glatten, lohnt sich ein Vorteil, sonst rechnet man schriftlich.

BeispielDen passenden Rechenweg wählen

Wie rechnest du am schnellsten: 9 · 45? Nenne ihn. Rechne danach.
Schritt für Schritt
  1. Den zweiten Faktor zerlegen: 45 = 40 + 5.
  2. 9 · 40 = 360 und 9 · 5 = 45
  3. Zusammen: 405
  1. Den zweiten Faktor zerlegen: 45 = 40 + 5.
  2. 9 · 40 = 360 und 9 · 5 = 45
  3. Zusammen: 405
Ergebnis:
zerlegen, 405

AchtungUmständlichen Weg gewählt

So nicht
299 + 158 schriftlich untereinander gerechnet, dabei verrechnet: 447
So richtig
299 + 158 = 300 + 157 = 457

Erst die Zahlen ansehen: Liegt eine nahe an einer glatten Zahl?

ÜbenJetzt du

  1. ○19
    Welcher Weg passt zu 8 · 25? Nenne ihn. Rechne danach.
    8 · 25zerlegenhalbieren und verdoppelnschriftlich
    So fängst du an:
    25 wird verdoppelt glatt: halbieren und verdoppeln.
    Lösung zeigen
    1. 25 wird verdoppelt glatt: halbieren und verdoppeln.
    2. 8 · 25 = 4 · 50
    3. 4 · 50 = 200
    Ergebnis:
    halbieren und verdoppeln, 200
  2. ●20
    Wie rechnest du am schnellsten: 7 · 83? Nenne ihn. Rechne danach.
    Lösung zeigen
    1. Den zweiten Faktor zerlegen: 83 = 80 + 3.
    2. 7 · 80 = 560 und 7 · 3 = 21
    3. Zusammen: 581
    Ergebnis:
    zerlegen, 581
  3. ★21
    Wie rechnest du am schnellsten: 4308 − 2042? Nenne ihn. Rechne danach.
    Lösung zeigen
    1. Keine Zahl liegt nahe an einer glatten Zahl: schriftlich rechnen.
    2. 4308 − 2042 = 2266
    Ergebnis:
    schriftlich, 2266

8Ich finde Rechenfehler mit Überschlag und Umkehraufgabe.

EntdeckenFrage

Warum zählt man Rückgeld vom Preis aus nach oben, statt abzuziehen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Wer 13,40 € zahlen muss und 20 € gibt, bekommt 20 − 13,40 = 6,60 € zurück. Beim Hochzählen rechnet man die Umkehraufgabe: 13,40 + 6,60 = 20. Kommt man genau auf den gegebenen Betrag, stimmt das Rückgeld.

MerkenÜberschlag und Umkehraufgabe

Ein Überschlag mit runden Zahlen zeigt, ob ein Ergebnis stimmen kann.

Die Umkehraufgabe prüft es genau.

BeispielRechenfehler mit Überschlag und Umkehraufgabe finden

Elias erhält für 42 · 33 das Ergebnis 1486. Prüfe mit einem Überschlag.
Schritt für Schritt
  1. Überschlag: 40 · 30 = 1200
  2. 1486 liegt zu weit weg. Genau: 42 · 33 = 1386
  3. Das Ergebnis ist falsch.
  1. Überschlag: 40 · 30 = 1200
  2. 1486 liegt zu weit weg. Genau: 42 · 33 = 1386
  3. Das Ergebnis ist falsch.
Ergebnis:
falsch, richtig ist 1386

AchtungErgebnis nicht geprüft

So nicht
425 : 5 = 805, ohne Probe ins Heft
So richtig
425 : 5 → Überschlag 400 : 5 = 80 → 85, Probe 85 · 5 = 425

Mit einem Überschlag prüfen, ob die Größenordnung stimmt, dann mit der Umkehraufgabe.

ÜbenJetzt du

  1. ○22
    Lea erhält für 62 · 32 das Ergebnis 2984. Prüfe mit einem Überschlag.
    So fängst du an:
    Überschlag: 60 · 30 = 1800
    Lösung zeigen
    1. Überschlag: 60 · 30 = 1800
    2. 2984 liegt zu weit weg. Genau: 62 · 32 = 1984
    3. Das Ergebnis ist falsch.
    Ergebnis:
    falsch, richtig ist 1984
  2. ●23
    Hanna rechnet 432 − 313 und erhält 139. Prüfe mit der Umkehraufgabe.
    Lösung zeigen
    1. Umkehraufgabe: 139 + 313 = 452
    2. 452 ist nicht 432: Es ist falsch.
    3. 432 − 313 = 119
    Ergebnis:
    falsch, richtig ist 119
  3. ★24
    Lina rechnet 1932 : 6 und erhält 332. Prüfe mit der Umkehraufgabe.
    1932 : 6Ergebnis 332?
    Lösung zeigen
    1. Umkehraufgabe: 332 · 6 = 1992
    2. 1992 ist nicht 1932: Es ist falsch.
    3. 1932 : 6 = 322
    Ergebnis:
    falsch, richtig ist 322

Vermischte Übungen

Alles durcheinander – wie in der Arbeit. Überleg bei jeder Aufgabe zuerst: Welches Ziel ist das?

Üben

  1. ●25
    Welche Zahlen fasst du bei 42 + 83 + 58 zuerst zusammen? Begründe. Rechne danach.
    428358
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 42 + 58 + 83
    2. 42 + 58 = 100
    3. Zusammen glatt, der Rest ist leicht: 100 + 83 = 183
    Ergebnis:
    183
  2. ●26
    In einem Lager stehen 2 Regale mit je 5 Kisten. In jeder Kiste sind 15 Bälle. Wie viele Bälle sind es? Rechne geschickt.
    2 Regale5 Kisten15 Bälle
    Lösung zeigen
    1. Bälle: 2 · 5 · 15
    2. 2 · 5 = 10
    3. 10 · 15 = 150
    Ergebnis:
    150 Bälle
  3. ●27
    Rechne geschickt durch gegensinniges Verändern: 67 + 86
    6786
    Lösung zeigen
    1. 67 bekommt 3 dazu, 86 gibt 3 ab.
    2. 67 + 86 = 70 + 83
    3. 70 + 83 = 153
    Ergebnis:
    153
  4. ●28
    Tom rechnet 89 − 37 als 89 − 40 und erhält 49. Ist das schon das Ergebnis?
    89 − 3789 − 40
    Lösung zeigen
    1. Tom hat 3 mehr abgezogen als verlangt.
    2. Beim Minus muss dieser Rest wieder dazu.
    3. 49 + 3 = 52
    Ergebnis:
    Nein, 52
  5. ●29
    Rechne geschickt über die glatte Zahl: 6 · 19
    Lösung zeigen
    1. 19 = 20 − 1
    2. 6 · 20 = 120 und 6 · 1 = 6
    3. 120 − 6 = 114
    Ergebnis:
    114
  6. ●30
    Ein Rechteck hat 6 Reihen mit je 24 Kästchen. Die rote Linie teilt es. Wie viele Kästchen sind es?
    2046
    Lösung zeigen
    1. Linker Teil: 6 · 20 = 120
    2. Rechter Teil: 6 · 4 = 24
    3. Zusammen: 120 + 24 = 144
    Ergebnis:
    144 Kästchen

Auf einen Blick

MerkenDas Wichtigste

Vertauschen und zusammenfassen
Beim Plus und beim Mal darf man die Zahlen vertauschen und anders zusammenfassen.
Gegensinnig und gleichsinnig
Bei einer Summe gibt ein Summand ab, was der andere bekommt.
Malnehmen mit Zerlegen
Einen Faktor zerlegen, jeden Teil malnehmen und die Teilergebnisse addieren.
Teilen mit Zerlegen
Die Zahl so zerlegen, dass jeder Teil glatt aufgeht. So wird 385 : 7 zu 350 : 7 + 35 : 7.
Ausdrücke mit gleichem Wert
Verschiedene Rechenausdrücke können denselben Wert haben.
Verdoppeln und halbieren
Wird ein Faktor verdoppelt und der andere halbiert, bleibt das Produkt gleich.
Den passenden Weg wählen
Vor dem Rechnen die Zahlen ansehen.
Überschlag und Umkehraufgabe
Ein Überschlag mit runden Zahlen zeigt, ob ein Ergebnis stimmen kann.

Kannst du das?

Je Ziel eine Aufgabe. Rechne sie ins Heft, dann kreuz ehrlich an. Keine Punkte, keine Note – der Test ist für dich.

ÜbenSelbsttest

  1. Ich rechne Plusaufgaben und Malaufgaben geschickt durch Vertauschen und Zusammenfassen.

    31
    Tom rechnet 33 + 49 + 7 von links nach rechts. Zeige einen schnelleren Weg mit einem Rechenvorteil.
    33497
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    89

  2. Ich verändere Summen gegensinnig und Differenzen gleichsinnig.

    32
    Rechne geschickt durch gegensinniges Verändern: 298 + 39
    29839
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    337

  3. Ich nehme halbschriftlich mal, indem ich einen Faktor zerlege.

    33
    Rechne geschickt über die glatte Zahl: 5 · 49
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    245

  4. Ich dividiere halbschriftlich, indem ich die Zahl geschickt zerlege.

    34
    270 Bücher werden gleichmäßig auf 5 Regalböden aufgeteilt. Wie viele bekommt jeder Teil? Rechne halbschriftlich.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    54 Bücher

  5. Ich finde Aufgaben mit gleichem Ergebnis und vergleiche Rechenausdrücke.

    35
    Finde die fehlende Zahl mit einem Rechengesetz: 97 − 52 = ___ − 53
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    98

  6. Ich rechne mit Verdoppeln und Halbieren und prüfe, ob das Ergebnis gleich bleibt.

    36
    Tom verdoppelt bei 18 · 5 beide Faktoren und rechnet 36 · 10. Bleibt das Ergebnis gleich?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    Nein, viermal so groß; richtig ist 90

  7. Ich wähle zu einer Aufgabe den passenden Rechenweg.

    37
    Wie rechnest du am schnellsten: 8 · 58? Nenne ihn. Rechne danach.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    zerlegen, 464

  8. Ich finde Rechenfehler mit Überschlag und Umkehraufgabe.

    38
    Jonas rechnet 72 : 3 und erhält 25. Prüfe mit der Umkehraufgabe.
    72 : 3Ergebnis 25?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    falsch, richtig ist 24

Bei „unsicher“ oder „noch nicht“: Lies den Abschnitt zum Ziel noch einmal und rechne seine drei Aufgaben.

Die Frage vom Anfang

EntdeckenRückschau

Rechne im Kopf, so schnell du kannst: 25 · 17 · 4. Schreib nichts auf und nimm keinen Taschenrechner.

Lies deine Vermutung vom Anfang. Kannst du die Frage jetzt mit dem Kapitel beantworten?

Auflösung

Mit dem Werkzeug aus diesem Kapitel: Vertauschen und Zusammenfassen: erst die Zahlen, die zusammen glatt werden.

Wo brauchst du das?

Entdecken

Preise im Kopf addieren, Rückgeld überschlagen, Mengen für ein Fest ausrechnen. Beruf: Kasse und Verkauf, Handwerk beim Materialberechnen, Lager und Versand.

Wörter

Differenz
was übrig bleibt, wenn man abzieht
Gleichung
zwei Rechnungen, die gleich viel wert sind
Produkt
was herauskommt, wenn man malnimmt
Summe
was herauskommt, wenn man zusammenzählt
Teiler
eine Zahl, durch die es ohne Rest aufgeht

Wie es zusammenhängt

Das brauchst du vorher: Rechenregeln, Teiler und Vielfache, Natürliche Zahlen und Stellenwert

Darauf baut auf: Sachaufgaben lösen

Lösungen

  1. 138
  2. 71
  3. 835
  4. 357
  5. 113
  6. 652
  7. 312
  8. 116
  9. 413
  10. 65
  11. 21
  12. 58
  13. 57
  14. 26
  15. 57
  16. 210
  17. Nein, viermal so groß; richtig ist 70
  18. Nein, viermal so groß; richtig ist 180
  19. halbieren und verdoppeln, 200
  20. zerlegen, 581
  21. schriftlich, 2266
  22. falsch, richtig ist 1984
  23. falsch, richtig ist 119
  24. falsch, richtig ist 322
  25. 183
  26. 150 Bälle
  27. 153
  28. Nein, 52
  29. 114
  30. 144 Kästchen
  31. 89
  32. 337
  33. 245
  34. 54 Bücher
  35. 98
  36. Nein, viermal so groß; richtig ist 90
  37. zerlegen, 464
  38. falsch, richtig ist 24
  39. 22
  40. 80
  41. 28
  42. 51