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Mathematik · Klasse 5 · Kapitel

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Rechengesetze und Rechenvorteile

EntdeckenDie Frage zum Kapitel

Rechne im Kopf, so schnell du kannst: 25 · 17 · 4. Schreib nichts auf und nimm keinen Taschenrechner.

Schreib eine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Für die Lehrkraft: Die meisten rechnen von links: 25 · 17 und kommen durcheinander. Andere geben auf oder raten. Nur wenige sehen, dass 25 und 4 zusammen 100 ergeben. Beim Malnehmen darf man die Zahlen vertauschen. Dann steht 25 · 4 · 17 da, also 100 · 17. Das Ergebnis ist 1700, in einer Sekunde.

  • Entdecken Frage, Vorstellung, Bild
  • Merken kommt ins Heft
  • Beispiel vorgerechnet, Schritt für Schritt
  • Üben selbst rechnen
  • Achtung typischer Fehler
  • Weiterdenken zum Knobeln und Vernetzen

○ mit Starthilfe, ● für alle, ★ zum Weiterdenken. Du wählst mindestens eine ★-Aufgabe. Du rechnest ins Heft.

Fit für das Kapitel?

Das brauchst du aus früheren Themen. Klappt es nicht, frag nach, bevor es losgeht.

ÜbenWeißt du das noch?

Punkt vor Strich und Klammer zuerst – so steht es seit Klasse 4 im Heft.

  1. ●39
    Rechne: 6 + 2 · 4
    Lösung zeigen
    1. Punkt vor Strich: erst 2 · 4 = 8
    2. 6 + 8 = 14
    Ergebnis:
    14
  2. ●40
    Rechne: (2 + 6) · 7
    Lösung zeigen
    1. Die Klammer zuerst: 2 + 6 = 8
    2. 8 · 7 = 56
    Ergebnis:
    56

ÜbenWeißt du das noch?

Punkt vor Strich und Klammer zuerst – die Reihenfolge entscheidet über das Ergebnis.

  1. ●41
    Berechne: 12 + 6 · 6
    Lösung zeigen
    1. Punkt vor Strich: erst 6 · 6 = 36
    2. 12 + 36 = 48
    Ergebnis:
    48
  2. ●42
    Ich denke mir eine Zahl, addiere 39 und erhalte 94. Welche Zahl war es? (Umkehraufgabe)
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    55

So kannst du es dir vorstellen

EntdeckenZahlen umbauen, ohne den Wert zu ändern

Eine Rechnung lässt sich umbauen, ohne dass sich ihr Wert ändert. Zahlen tauschen die Plätze, bilden neue Gruppen oder werden zerlegt. Wer das sieht, rechnet mit glatten Zahlen statt mit krummen.

17 plus 38 plus 3: Erst 17 und 3 zu 20 zusammenfassen, dann 20 plus 38 sind 5817 + 38 + 317 + 3 = 20= 20 + 38 = 58

WeiterdenkenDenk nach

Warum darf man bei 25 + 38 + 75 zuerst 25 und 75 addieren, bei 50 − 20 − 10 aber nicht zuerst 20 − 10?

1Ich rechne Plusaufgaben und Malaufgaben geschickt durch Vertauschen und Zusammenfassen.

EntdeckenFrage

Wie konnte der neunjährige Carl Friedrich Gauß die Zahlen von 1 bis 100 in wenigen Minuten addieren?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Er hat die Zahlen in Paare umsortiert: 1 und 100, 2 und 99, 3 und 98. Jedes Paar ergibt 101, und es sind 50 Paare. Also 50 · 101 = 5050. Er hat nur vertauscht und neu zusammengefasst.

MerkenVertauschen und zusammenfassen

Beim Plus und beim Mal darf man die Zahlen vertauschen und anders zusammenfassen.

Erst die Zahlen nehmen, die zusammen glatt werden.

BeispielPlusaufgaben geschickt: vertauschen und zusammenfassen

Rechne geschickt: 24 + 44 + 36
244436
Schritt für Schritt
  1. Vertauschen: 24 + 36 + 44
  2. 24 + 36 = 60
  3. 60 + 44 = 104
  1. Vertauschen: 24 + 36 + 44
  2. 24 + 36 = 60
  3. 60 + 44 = 104
Ergebnis:
104

AchtungBeim Minus oder Geteilt vertauscht

So nicht
50 − 20 − 10: erst 20 − 10 = 10, dann 50 − 10 = 40
So richtig
50 − 20 − 10 = 30 − 10 = 20

Vertauschen ist nur beim Plus und beim Mal erlaubt. 20 − 5 ist nicht 5 − 20.

ÜbenJetzt du

  1. ○1
    Rechne geschickt: 17 + 26 + 33
    172633
    So fängst du an:
    Vertauschen: 17 + 33 + 26
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 17 + 33 + 26
    2. 17 + 33 = 50
    3. 50 + 26 = 76
    Ergebnis:
    76
  2. ●2
    Paul rechnet 15 + 84 + 35 von links nach rechts. Zeige einen schnelleren Weg mit einem Rechenvorteil.
    158435
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 15 + 35 + 84
    2. 15 + 35 = 50
    3. 50 + 84 = 134
    Ergebnis:
    134
  3. ★3
    Welche Zahlen fasst du bei 128 + 628 + 172 zuerst zusammen? Begründe. Rechne danach.
    128628172
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 128 + 172 + 628
    2. 128 + 172 = 300
    3. Zusammen glatt, der Rest ist leicht: 300 + 628 = 928
    Ergebnis:
    928

2Ich verändere Summen gegensinnig und Differenzen gleichsinnig.

EntdeckenFrage

Warum rechnen Kassiererinnen 3,99 € mal 4 schneller als ein Kunde mit Papier?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Sie rechnen 4 mal 4 € und ziehen dann 4 Cent ab: 16,00 € − 0,04 € = 15,96 €. Das ist Zerlegen: 3,99 ist 4 minus 1 Cent. Der Rechenweg ist kurz, weil er über die glatte Zahl geht.

MerkenGegensinnig und gleichsinnig

Bei einer Summe gibt ein Summand ab, was der andere bekommt.

Bei einer Differenz ändern sich beide Zahlen gleich, der Abstand bleibt.

BeispielSummen gegensinnig verändern

Noah rechnet 98 + 45 als 100 + 45. Was muss Noah danach noch tun? Was kommt heraus?
9845
Schritt für Schritt
  1. Noah hat 98 um 2 vergrößert.
  2. Die Summe ist dadurch um 2 zu groß: 100 + 45 = 145.
  3. 2 wieder abziehen: 145 − 2 = 143
  1. Noah hat 98 um 2 vergrößert.
  2. Die Summe ist dadurch um 2 zu groß: 100 + 45 = 145.
  3. 2 wieder abziehen: 145 − 2 = 143
Ergebnis:
143

AchtungNur eine Zahl verändert

So nicht
143 − 97: 143 − 100 = 43
So richtig
143 − 97 = 146 − 100 = 46

Bei der Summe gegensinnig, bei der Differenz gleichsinnig: Immer beide Zahlen verändern.

ÜbenJetzt du

  1. ○4
    Ergänze so, dass die Summe gleich bleibt: 49 + 36 = 50 + ___
    4936
    So fängst du an:
    49 wird zu 50: 1 mehr.
    Lösung zeigen
    1. 49 wird zu 50: 1 mehr.
    2. Also muss 36 um 1 kleiner werden: 36 − 1 = 35
    3. 50 + 35 = 85
    Ergebnis:
    35
  2. ●5
    Ergänze so, dass die Summe gleich bleibt: 39 + 82 = 40 + ___
    3982
    Lösung zeigen
    1. 39 wird zu 40: 1 mehr.
    2. Also muss 82 um 1 kleiner werden: 82 − 1 = 81
    3. 40 + 81 = 121
    Ergebnis:
    81
  3. ★6
    Ergänze so, dass die Summe gleich bleibt: 498 + 245 = 500 + ___
    498245
    Lösung zeigen
    1. 498 wird zu 500: 2 mehr.
    2. Also muss 245 um 2 kleiner werden: 245 − 2 = 243
    3. 500 + 243 = 743
    Ergebnis:
    243

3Ich nehme halbschriftlich mal, indem ich einen Faktor zerlege.

EntdeckenFrage

Wie haben Bauern in Russland früher ohne Einmaleins multipliziert?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Sie haben eine Zahl immer halbiert und die andere verdoppelt, bis links eine 1 stand. Dann addierten sie die rechten Zahlen der Zeilen mit ungerader linker Zahl. Das Verfahren heißt russische Bauernmultiplikation und nutzt, dass Verdoppeln und Halbieren das Produkt nicht ändert.

Ausprobieren: Malnehmen am Rechteck

Länge und Höhe in Teile zerlegen – das Rechteck zerfällt in Teilrechtecke, und jedes ist eine leichte Malaufgabe.

MerkenMalnehmen mit Zerlegen

Einen Faktor zerlegen, jeden Teil malnehmen und die Teilergebnisse addieren.

So wird 7 · 48 zu 7 · 40 + 7 · 8.

BeispielHalbschriftlich malnehmen mit Zerlegen

Rechne halbschriftlich: Zerlege den zweiten Faktor. 3 · 54
Schritt für Schritt
  1. 54 = 50 + 4
  2. 3 · 50 = 150 und 3 · 4 = 12
  3. 150 + 12 = 162
  1. 54 = 50 + 4
  2. 3 · 50 = 150 und 3 · 4 = 12
  3. 150 + 12 = 162
Ergebnis:
162

AchtungBeim Zerlegen einen Teil vergessen

So nicht
7 · 48: 7 · 40 + 8 = 288
So richtig
7 · 48 = 7 · 40 + 7 · 8 = 280 + 56 = 336

Jeder Teil des zerlegten Faktors wird malgenommen, nicht nur der erste.

ÜbenJetzt du

  1. ○7
    Rechne geschickt über die glatte Zahl: 7 · 29
    So fängst du an:
    29 = 30 − 1
    Lösung zeigen
    1. 29 = 30 − 1
    2. 7 · 30 = 210 und 7 · 1 = 7
    3. 210 − 7 = 203
    Ergebnis:
    203
  2. ●8
    Rechne halbschriftlich: Zerlege den zweiten Faktor. 3 · 18
    Lösung zeigen
    1. 18 = 10 + 8
    2. 3 · 10 = 30 und 3 · 8 = 24
    3. 30 + 24 = 54
    Ergebnis:
    54
  3. ★9
    Rechne geschickt über die glatte Zahl: 6 · 98
    Lösung zeigen
    1. 98 = 100 − 2
    2. 6 · 100 = 600 und 6 · 2 = 12
    3. 600 − 12 = 588
    Ergebnis:
    588

4Ich dividiere halbschriftlich, indem ich die Zahl geschickt zerlege.

EntdeckenFrage

Warum ist 25 mal 4 ein Lieblingspaar beim Kopfrechnen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

25 mal 4 ergibt genau 100. Kommen 25 und 4 in einer Malaufgabe vor, fasst man sie zuerst zusammen. Aus 25 · 37 · 4 wird dann 100 · 37 = 3700, ganz ohne schriftliches Rechnen.

MerkenTeilen mit Zerlegen

Die Zahl so zerlegen, dass jeder Teil glatt aufgeht. So wird 385 : 7 zu 350 : 7 + 35 : 7.

BeispielHalbschriftlich dividieren

Rechne halbschriftlich: 63 : 3
Schritt für Schritt
  1. 63 = 60 + 3
  2. 60 : 3 = 20 und 3 : 3 = 1
  3. 20 + 1 = 21
  1. 63 = 60 + 3
  2. 60 : 3 = 20 und 3 : 3 = 1
  3. 20 + 1 = 21
Ergebnis:
21

AchtungBeim Teilen nicht passend zerlegt

So nicht
385 : 7: 300 : 7 geht nicht glatt → aufgegeben
So richtig
385 : 7 = 350 : 7 + 35 : 7 = 50 + 5 = 55

Jeder Teil muss sich glatt teilen lassen. Erst ein großes Vielfaches abspalten.

ÜbenJetzt du

  1. ○10
    36 Sticker werden gleichmäßig auf 3 Kinder aufgeteilt. Wie viele bekommt jeder Teil? Rechne halbschriftlich.
    So fängst du an:
    36 : 3
    Lösung zeigen
    1. 36 : 3
    2. 36 = 30 + 6
    3. 30 : 3 = 10 und 6 : 3 = 2
    4. 10 + 2 = 12
    Ergebnis:
    12 Sticker
  2. ●11
    Rechne halbschriftlich: 464 : 8
    Lösung zeigen
    1. 464 = 400 + 64
    2. 400 : 8 = 50 und 64 : 8 = 8
    3. 50 + 8 = 58
    Ergebnis:
    58
  3. ★12
    Zerlege 740 so in zwei Zahlen, dass du beide leicht durch 4 dividieren kannst. Was ergibt 740 : 4?
    740: 4
    Lösung zeigen
    1. 740 = 720 + 20
    2. 720 : 4 = 180 und 20 : 4 = 5
    3. 180 + 5 = 185
    Ergebnis:
    185

5Ich finde Aufgaben mit gleichem Ergebnis und vergleiche Rechenausdrücke.

EntdeckenFrage

Warum stimmt der Trick „mal 9 ist mal 10 minus einmal“ immer?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Neunmal eine Zahl ist zehnmal die Zahl minus einmal die Zahl. So wird 9 · 47 zu 470 − 47 = 423. Das ist das Verteilungsgesetz: 9 ist 10 minus 1.

MerkenAusdrücke mit gleichem Wert

Verschiedene Rechenausdrücke können denselben Wert haben.

Wer die Rechengesetze nutzt, sieht das oft ohne Ausrechnen.

BeispielAufgaben mit gleichem Ergebnis

Welche Zahl fehlt? Rechne nicht beide Seiten aus. 23 + 58 = 22 + ___
Schritt für Schritt
  1. 23 wird zu 22: 1 weniger.
  2. Damit die Summe gleich bleibt, wird 58 um 1 größer.
  3. 58 + 1 = 59
  1. 23 wird zu 22: 1 weniger.
  2. Damit die Summe gleich bleibt, wird 58 um 1 größer.
  3. 58 + 1 = 59
Ergebnis:
59

AchtungPunkt vor Strich missachtet

So nicht
9 + 5 · 7 = 14 · 7 = 98
So richtig
9 + 5 · 7 = 9 + 35 = 44

Klammer zuerst, dann Mal und Geteilt, dann Plus und Minus.

ÜbenJetzt du

  1. ○13
    Ergänze die Lücke: 79 − 54 = ___ − 55
    So fängst du an:
    54 wird zu 55: 1 mehr.
    Lösung zeigen
    1. 54 wird zu 55: 1 mehr.
    2. Damit der Abstand bleibt, wird auch 79 um 1 größer.
    3. 79 + 1 = 80
    Ergebnis:
    80
  2. ●14
    Ergänze die Lücke: 6 · 11 = 3 · ___
    6 · 11=3 · ?
    Lösung zeigen
    1. 6 wird halb so groß: 3.
    2. Damit das Ergebnis gleich bleibt, wird 11 doppelt so groß.
    3. 11 · 2 = 22
    Ergebnis:
    22
  3. ★15
    Welche Zahl fehlt? Rechne nicht beide Seiten aus. 4 · 37 + 4 · 4 = 4 · ___
    Lösung zeigen
    1. Beide Produkte haben den Faktor 4.
    2. 4 mal 37 und 4 mal 4 sind zusammen 4 mal (37 + 4).
    3. 37 + 4 = 41
    Ergebnis:
    41

6Ich rechne mit Verdoppeln und Halbieren und prüfe, ob das Ergebnis gleich bleibt.

EntdeckenFrage

Wie merkt man in Sekunden, dass 98 · 102 nicht 99.960 sein kann?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Man rechnet nicht, man überschlägt: 100 · 100 = 10.000. Das Ergebnis muss also in der Nähe von 10.000 liegen. 99.960 ist fast zehnmal so groß und kann nicht stimmen. Richtig ist 9996.

MerkenVerdoppeln und halbieren

Wird ein Faktor verdoppelt und der andere halbiert, bleibt das Produkt gleich.

Werden beide verdoppelt, wird es viermal so groß.

BeispielVerdoppeln und Halbieren

Jonas verdoppelt bei 12 · 15 beide Faktoren und rechnet 24 · 30. Bleibt das Ergebnis gleich?
Schritt für Schritt
  1. Einmal verdoppeln macht das Ergebnis doppelt so groß, zweimal viermal so groß.
  2. 24 · 30 = 720, aber 12 · 15 = 180
  3. Richtig ist: einen verdoppeln, den anderen halbieren.
  1. Einmal verdoppeln macht das Ergebnis doppelt so groß, zweimal viermal so groß.
  2. 24 · 30 = 720, aber 12 · 15 = 180
  3. Richtig ist: einen verdoppeln, den anderen halbieren.
Ergebnis:
Nein, viermal so groß; richtig ist 180

AchtungBeide Faktoren verdoppelt

So nicht
8 · 25 → 16 · 50 = 800
So richtig
8 · 25 → 4 · 50 = 200

Nur einer wird verdoppelt, der andere halbiert. Sonst ändert sich das Ergebnis.

ÜbenJetzt du

  1. ○16
    Emma verdoppelt bei 16 · 25 beide Faktoren und rechnet 32 · 50. Bleibt das Ergebnis gleich?
    So fängst du an:
    Einmal verdoppeln macht das Ergebnis doppelt so groß, zweimal viermal so groß.
    Lösung zeigen
    1. Einmal verdoppeln macht das Ergebnis doppelt so groß, zweimal viermal so groß.
    2. 32 · 50 = 1600, aber 16 · 25 = 400
    3. Richtig ist: einen verdoppeln, den anderen halbieren.
    Ergebnis:
    Nein, viermal so groß; richtig ist 400
  2. ●17
    Paul verdoppelt bei 16 · 25 beide Faktoren und rechnet 32 · 50. Bleibt das Ergebnis gleich?
    Lösung zeigen
    1. Einmal verdoppeln macht das Ergebnis doppelt so groß, zweimal viermal so groß.
    2. 32 · 50 = 1600, aber 16 · 25 = 400
    3. Richtig ist: einen verdoppeln, den anderen halbieren.
    Ergebnis:
    Nein, viermal so groß; richtig ist 400
  3. ★18
    Milan verdoppelt bei 12 · 75 beide Faktoren und rechnet 24 · 150. Bleibt das Ergebnis gleich?
    Lösung zeigen
    1. Einmal verdoppeln macht das Ergebnis doppelt so groß, zweimal viermal so groß.
    2. 24 · 150 = 3600, aber 12 · 75 = 900
    3. Richtig ist: einen verdoppeln, den anderen halbieren.
    Ergebnis:
    Nein, viermal so groß; richtig ist 900

7Ich wähle zu einer Aufgabe den passenden Rechenweg.

EntdeckenFrage

Wie rechnen Darts-Profis blitzschnell aus, wie viele Punkte ihnen von 501 noch fehlen, wenn sie 140 geworfen haben?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Der geschickte Weg nimmt erst eine runde Zahl. 500 − 140 = 360, und der eine Extrapunkt kommt dazu: 361. Das geht schneller als 501 − 140 Stelle für Stelle. Am Ergebnis ändert der Weg nichts.

MerkenDen passenden Weg wählen

Vor dem Rechnen die Zahlen ansehen.

Liegt eine Zahl nahe an einer glatten, lohnt sich ein Vorteil, sonst rechnet man schriftlich.

BeispielDen passenden Rechenweg wählen

Welchen Rechenvorteil nutzt du bei 6 · 38? Nenne ihn. Rechne danach.
6 · 38zerlegenhalbieren und verdoppelnschriftlich
Schritt für Schritt
  1. Den zweiten Faktor zerlegen: 38 = 30 + 8.
  2. 6 · 30 = 180 und 6 · 8 = 48
  3. Zusammen: 228
  1. Den zweiten Faktor zerlegen: 38 = 30 + 8.
  2. 6 · 30 = 180 und 6 · 8 = 48
  3. Zusammen: 228
Ergebnis:
zerlegen, 228

AchtungUmständlichen Weg gewählt

So nicht
299 + 158 schriftlich untereinander gerechnet, dabei verrechnet: 447
So richtig
299 + 158 = 300 + 157 = 457

Erst die Zahlen ansehen: Liegt eine nahe an einer glatten Zahl?

ÜbenJetzt du

  1. ○19
    Welcher Weg passt zu 5 · 87? Nenne ihn. Rechne danach.
    5 · 87zerlegenhalbieren und verdoppelnschriftlich
    So fängst du an:
    Den zweiten Faktor zerlegen: 87 = 80 + 7.
    Lösung zeigen
    1. Den zweiten Faktor zerlegen: 87 = 80 + 7.
    2. 5 · 80 = 400 und 5 · 7 = 35
    3. Zusammen: 435
    Ergebnis:
    zerlegen, 435
  2. ●20
    Wie rechnest du am schnellsten: 8 · 84? Nenne ihn. Rechne danach.
    Lösung zeigen
    1. Den zweiten Faktor zerlegen: 84 = 80 + 4.
    2. 8 · 80 = 640 und 8 · 4 = 32
    3. Zusammen: 672
    Ergebnis:
    zerlegen, 672
  3. ★21
    Welcher Weg passt zu 254 + 299? Nenne ihn. Rechne danach.
    254 + 299zerlegenhalbieren und verdoppelnschriftlich
    Lösung zeigen
    1. 299 liegt knapp unter 300: gegensinnig verändern.
    2. 254 + 299 = 253 + 300
    3. 253 + 300 = 553
    Ergebnis:
    gegensinnig verändern, 553

8Ich finde Rechenfehler mit Überschlag und Umkehraufgabe.

EntdeckenFrage

Warum zählt man Rückgeld vom Preis aus nach oben, statt abzuziehen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Wer 13,40 € zahlen muss und 20 € gibt, bekommt 20 − 13,40 = 6,60 € zurück. Beim Hochzählen rechnet man die Umkehraufgabe: 13,40 + 6,60 = 20. Kommt man genau auf den gegebenen Betrag, stimmt das Rückgeld.

MerkenÜberschlag und Umkehraufgabe

Ein Überschlag mit runden Zahlen zeigt, ob ein Ergebnis stimmen kann.

Die Umkehraufgabe prüft es genau.

BeispielRechenfehler mit Überschlag und Umkehraufgabe finden

Tom rechnet 696 − 236 und erhält 560. Prüfe mit der Umkehraufgabe.
Schritt für Schritt
  1. Umkehraufgabe: 560 + 236 = 796
  2. 796 ist nicht 696: Es ist falsch.
  3. 696 − 236 = 460
  1. Umkehraufgabe: 560 + 236 = 796
  2. 796 ist nicht 696: Es ist falsch.
  3. 696 − 236 = 460
Ergebnis:
falsch, richtig ist 460

AchtungErgebnis nicht geprüft

So nicht
425 : 5 = 805, ohne Probe ins Heft
So richtig
425 : 5 → Überschlag 400 : 5 = 80 → 85, Probe 85 · 5 = 425

Mit einem Überschlag prüfen, ob die Größenordnung stimmt, dann mit der Umkehraufgabe.

ÜbenJetzt du

  1. ○22
    Elias erhält für 72 · 40 das Ergebnis 2880. Prüfe mit einem Überschlag.
    So fängst du an:
    Überschlag: 70 · 40 = 2800
    Lösung zeigen
    1. Überschlag: 70 · 40 = 2800
    2. 2880 liegt in der Nähe. Genau rechnen: 72 · 40 = 2880
    3. Das Ergebnis stimmt.
    Ergebnis:
    stimmt, 2880
  2. ●23
    Aylin erhält für 39 · 42 das Ergebnis 1538. Prüfe mit einem Überschlag.
    Lösung zeigen
    1. Überschlag: 40 · 40 = 1600
    2. 1538 liegt in der Nähe. Genau rechnen: 39 · 42 = 1638
    3. Das Ergebnis ist falsch.
    Ergebnis:
    falsch, richtig ist 1638
  3. ★24
    Aylin rechnet 4122 : 6 und erhält 686. Prüfe mit der Umkehraufgabe.
    4122 : 6Ergebnis 686?
    Lösung zeigen
    1. Umkehraufgabe: 686 · 6 = 4116
    2. 4116 ist nicht 4122: Es ist falsch.
    3. 4122 : 6 = 687
    Ergebnis:
    falsch, richtig ist 687

Vermischte Übungen

Alles durcheinander – wie in der Arbeit. Überleg bei jeder Aufgabe zuerst: Welches Ziel ist das?

Üben

  1. ●25
    Rechne geschickt: 12 + 37 + 18
    123718
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 12 + 18 + 37
    2. 12 + 18 = 30
    3. 30 + 37 = 67
    Ergebnis:
    67
  2. ●26
    In einem Lager stehen 2 Regale mit je 5 Kartons. In jedem Karton sind 4 Bälle. Wie viele Bälle sind es? Rechne geschickt.
    2 Regale5 Kartons4 Bälle
    Lösung zeigen
    1. Bälle: 2 · 5 · 4
    2. 2 · 5 = 10
    3. 10 · 4 = 40
    Ergebnis:
    40 Bälle
  3. ●27
    Aylin rechnet 47 + 67 als 50 + 67. Was muss Aylin danach noch tun? Was kommt heraus?
    4767
    Lösung zeigen
    1. Aylin hat 47 um 3 vergrößert.
    2. Die Summe ist dadurch um 3 zu groß: 50 + 67 = 117.
    3. 3 wieder abziehen: 117 − 3 = 114
    Ergebnis:
    114
  4. ●28
    Ergänze so, dass die Differenz gleich bleibt: 117 − 29 = ___ − 30
    Lösung zeigen
    1. 29 wird zu 30: 1 mehr.
    2. Damit der Abstand bleibt, wird auch 117 um 1 größer: 118.
    3. 118 − 30 = 88
    Ergebnis:
    118
  5. ●29
    Es gibt 6 Hefte mit je 39 Hefte. Wie viele Hefte sind es? Rechne halbschriftlich.
    Lösung zeigen
    1. 6 · 39
    2. 39 = 30 + 9
    3. 6 · 30 = 180 und 6 · 9 = 54
    4. 180 + 54 = 234
    Ergebnis:
    234 Hefte
  6. ●30
    Sofia rechnet 4 · 26 so: erst 4 · 20, dann 6 dazu. Sofia erhält 86. Zeige am Bild, was fehlt.
    2064
    Lösung zeigen
    1. Der rechte Teil hat 4 Reihen mit je 6 Kästchen, nicht nur 6.
    2. Rechter Teil: 4 · 6 = 24
    3. 80 + 24 = 104
    Ergebnis:
    104

Auf einen Blick

MerkenDas Wichtigste

Vertauschen und zusammenfassen
Beim Plus und beim Mal darf man die Zahlen vertauschen und anders zusammenfassen.
Gegensinnig und gleichsinnig
Bei einer Summe gibt ein Summand ab, was der andere bekommt.
Malnehmen mit Zerlegen
Einen Faktor zerlegen, jeden Teil malnehmen und die Teilergebnisse addieren.
Teilen mit Zerlegen
Die Zahl so zerlegen, dass jeder Teil glatt aufgeht. So wird 385 : 7 zu 350 : 7 + 35 : 7.
Ausdrücke mit gleichem Wert
Verschiedene Rechenausdrücke können denselben Wert haben.
Verdoppeln und halbieren
Wird ein Faktor verdoppelt und der andere halbiert, bleibt das Produkt gleich.
Den passenden Weg wählen
Vor dem Rechnen die Zahlen ansehen.
Überschlag und Umkehraufgabe
Ein Überschlag mit runden Zahlen zeigt, ob ein Ergebnis stimmen kann.

Kannst du das?

Je Ziel eine Aufgabe. Rechne sie ins Heft, dann kreuz ehrlich an. Keine Punkte, keine Note – der Test ist für dich.

ÜbenSelbsttest

  1. Ich rechne Plusaufgaben und Malaufgaben geschickt durch Vertauschen und Zusammenfassen.

    31
    Emma rechnet 37 + 14 + 13 von links nach rechts. Zeige einen schnelleren Weg mit einem Rechenvorteil.
    371413
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    64

  2. Ich verändere Summen gegensinnig und Differenzen gleichsinnig.

    32
    Sofia rechnet 99 + 66 als 100 + 66. Was muss Sofia danach noch tun? Was kommt heraus?
    9966
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    165

  3. Ich nehme halbschriftlich mal, indem ich einen Faktor zerlege.

    33
    Rechne geschickt über die glatte Zahl: 3 · 19
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    57

  4. Ich dividiere halbschriftlich, indem ich die Zahl geschickt zerlege.

    34
    432 Bücher werden gleichmäßig auf 9 Regalböden aufgeteilt. Wie viele bekommt jeder Teil? Rechne halbschriftlich.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    48 Bücher

  5. Ich finde Aufgaben mit gleichem Ergebnis und vergleiche Rechenausdrücke.

    35
    Welche Zahl fehlt? Rechne nicht beide Seiten aus. 18 · 14 = 9 · ___
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    28

  6. Ich rechne mit Verdoppeln und Halbieren und prüfe, ob das Ergebnis gleich bleibt.

    36
    Rechne geschickt: Halbiere den einen Faktor und verdopple den anderen. 14 · 5
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    70

  7. Ich wähle zu einer Aufgabe den passenden Rechenweg.

    37
    Welchen Rechenvorteil nutzt du bei 243 + 497? Nenne ihn. Rechne danach.
    243 + 497zerlegenhalbieren und verdoppelnschriftlich
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    gegensinnig verändern, 740

  8. Ich finde Rechenfehler mit Überschlag und Umkehraufgabe.

    38
    Sofia rechnet 482 − 234 und erhält 348. Prüfe mit der Umkehraufgabe.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    falsch, richtig ist 248

Bei „unsicher“ oder „noch nicht“: Lies den Abschnitt zum Ziel noch einmal und rechne seine drei Aufgaben.

Die Frage vom Anfang

EntdeckenRückschau

Rechne im Kopf, so schnell du kannst: 25 · 17 · 4. Schreib nichts auf und nimm keinen Taschenrechner.

Lies deine Vermutung vom Anfang. Kannst du die Frage jetzt mit dem Kapitel beantworten?

Auflösung

Mit dem Werkzeug aus diesem Kapitel: Vertauschen und Zusammenfassen: erst die Zahlen, die zusammen glatt werden.

Wo brauchst du das?

Entdecken

Preise im Kopf addieren, Rückgeld überschlagen, Mengen für ein Fest ausrechnen. Beruf: Kasse und Verkauf, Handwerk beim Materialberechnen, Lager und Versand.

Wörter

Differenz
was übrig bleibt, wenn man abzieht
Gleichung
zwei Rechnungen, die gleich viel wert sind
Produkt
was herauskommt, wenn man malnimmt
Summe
was herauskommt, wenn man zusammenzählt
Teiler
eine Zahl, durch die es ohne Rest aufgeht

Wie es zusammenhängt

Das brauchst du vorher: Rechenregeln, Teiler und Vielfache, Natürliche Zahlen und Stellenwert

Darauf baut auf: Sachaufgaben lösen

Lösungen

  1. 76
  2. 134
  3. 928
  4. 35
  5. 81
  6. 243
  7. 203
  8. 54
  9. 588
  10. 12 Sticker
  11. 58
  12. 185
  13. 80
  14. 22
  15. 41
  16. Nein, viermal so groß; richtig ist 400
  17. Nein, viermal so groß; richtig ist 400
  18. Nein, viermal so groß; richtig ist 900
  19. zerlegen, 435
  20. zerlegen, 672
  21. gegensinnig verändern, 553
  22. stimmt, 2880
  23. falsch, richtig ist 1638
  24. falsch, richtig ist 687
  25. 67
  26. 40 Bälle
  27. 114
  28. 118
  29. 234 Hefte
  30. 104
  31. 64
  32. 165
  33. 57
  34. 48 Bücher
  35. 28
  36. 70
  37. gegensinnig verändern, 740
  38. falsch, richtig ist 248
  39. 14
  40. 56
  41. 48
  42. 55