Mathematik · Klasse 5 · Kapitel

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Rechengesetze und Rechenvorteile

EntdeckenDie Frage zum Kapitel

Rechne im Kopf, so schnell du kannst: 25 · 17 · 4. Schreib nichts auf und nimm keinen Taschenrechner.

Schreib eine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Für die Lehrkraft: Die meisten rechnen von links: 25 · 17 und kommen durcheinander. Andere geben auf oder raten. Nur wenige sehen, dass 25 und 4 zusammen 100 ergeben. Beim Malnehmen darf man die Zahlen vertauschen. Dann steht 25 · 4 · 17 da, also 100 · 17. Das Ergebnis ist 1700, in einer Sekunde.

Entdecken Frage, Vorstellung, Bild
Merken kommt ins Heft
Beispiel vorgerechnet, Schritt für Schritt
Üben selbst rechnen
Achtung typischer Fehler
Weiterdenken zum Knobeln und Vernetzen

○ mit Starthilfe, ● für alle, ★ zum Weiterdenken. Du wählst mindestens eine ★-Aufgabe. Du rechnest ins Heft.

Fit für das Kapitel?

Das brauchst du aus früheren Themen. Klappt es nicht, frag nach, bevor es losgeht.

ÜbenWeißt du das noch?

Punkt vor Strich und Klammer zuerst – so steht es seit Klasse 4 im Heft.

●39
Rechne: 52 − 3 · 7
Lösung zeigen
1. Punkt vor Strich: erst 3 · 7 = 21
2. 52 − 21 = 31
Ergebnis:
31
●40
Rechne: (9 + 2) · 4
Lösung zeigen
1. Die Klammer zuerst: 9 + 2 = 11
2. 11 · 4 = 44
Ergebnis:
44

ÜbenWeißt du das noch?

Punkt vor Strich und Klammer zuerst – die Reihenfolge entscheidet über das Ergebnis.

●41
Berechne: 6 + 9 · 5
Lösung zeigen
1. Punkt vor Strich: erst 9 · 5 = 45
2. 6 + 45 = 51
Ergebnis:
51
●42
Ich denke mir eine Zahl, addiere 37 und erhalte 87. Welche Zahl war es? (Umkehraufgabe)
Lösung zeigen
Ergebnis:
50

So kannst du es dir vorstellen

EntdeckenZahlen umbauen, ohne den Wert zu ändern

Eine Rechnung lässt sich umbauen, ohne dass sich ihr Wert ändert. Zahlen tauschen die Plätze, bilden neue Gruppen oder werden zerlegt. Wer das sieht, rechnet mit glatten Zahlen statt mit krummen.

WeiterdenkenDenk nach

Warum darf man bei 25 + 38 + 75 zuerst 25 und 75 addieren, bei 50 − 20 − 10 aber nicht zuerst 20 − 10?

1Ich rechne Plusaufgaben und Malaufgaben geschickt durch Vertauschen und Zusammenfassen.

EntdeckenFrage

Wie konnte der neunjährige Carl Friedrich Gauß die Zahlen von 1 bis 100 in wenigen Minuten addieren?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Er hat die Zahlen in Paare umsortiert: 1 und 100, 2 und 99, 3 und 98. Jedes Paar ergibt 101, und es sind 50 Paare. Also 50 · 101 = 5050. Er hat nur vertauscht und neu zusammengefasst.

MerkenVertauschen und zusammenfassen

Beim Plus und beim Mal darf man die Zahlen vertauschen und anders zusammenfassen.

Erst die Zahlen nehmen, die zusammen glatt werden.

BeispielPlusaufgaben geschickt: vertauschen und zusammenfassen

Welche Zahlen fasst du bei 41 + 14 + 19 zuerst zusammen? Begründe. Rechne danach.

Schritt für Schritt

Vertauschen: 41 + 19 + 14
41 + 19 = 60
Zusammen glatt, der Rest ist leicht: 60 + 14 = 74

Vertauschen: 41 + 19 + 14
41 + 19 = 60
Zusammen glatt, der Rest ist leicht: 60 + 14 = 74

Ergebnis:

AchtungBeim Minus oder Geteilt vertauscht

So nicht

50 − 20 − 10: erst 20 − 10 = 10, dann 50 − 10 = 40

So richtig

50 − 20 − 10 = 30 − 10 = 20

Vertauschen ist nur beim Plus und beim Mal erlaubt. 20 − 5 ist nicht 5 − 20.

ÜbenJetzt du

○1
Lina rechnet 4 + 69 + 16 von links nach rechts. Zeige einen schnelleren Weg mit einem Rechenvorteil.
So fängst du an:
Vertauschen: 4 + 16 + 69
Lösung zeigen
1. Vertauschen: 4 + 16 + 69
2. 4 + 16 = 20
3. 20 + 69 = 89
Ergebnis:
89
●2
Rechne geschickt: 54 + 71 + 6
Lösung zeigen
1. Vertauschen: 54 + 6 + 71
2. 54 + 6 = 60
3. 60 + 71 = 131
Ergebnis:
131
★3
Welche Zahlen fasst du bei 66 + 807 + 234 zuerst zusammen? Begründe. Rechne danach.
Lösung zeigen
1. Vertauschen: 66 + 234 + 807
2. 66 + 234 = 300
3. Zusammen glatt, der Rest ist leicht: 300 + 807 = 1107
Ergebnis:
1107

2Ich verändere Summen gegensinnig und Differenzen gleichsinnig.

EntdeckenFrage

Warum rechnen Kassiererinnen 3,99 € mal 4 schneller als ein Kunde mit Papier?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Sie rechnen 4 mal 4 € und ziehen dann 4 Cent ab: 16,00 € − 0,04 € = 15,96 €. Das ist Zerlegen: 3,99 ist 4 minus 1 Cent. Der Rechenweg ist kurz, weil er über die glatte Zahl geht.

MerkenGegensinnig und gleichsinnig

Bei einer Summe gibt ein Summand ab, was der andere bekommt.

Bei einer Differenz ändern sich beide Zahlen gleich, der Abstand bleibt.

BeispielSummen gegensinnig verändern

Rechne geschickt durch gegensinniges Verändern: 298 + 47

Schritt für Schritt

298 bekommt 2 dazu, 47 gibt 2 ab.
298 + 47 = 300 + 45
300 + 45 = 345

298 bekommt 2 dazu, 47 gibt 2 ab.
298 + 47 = 300 + 45
300 + 45 = 345

Ergebnis:

345

AchtungNur eine Zahl verändert

So nicht

143 − 97: 143 − 100 = 43

So richtig

143 − 97 = 146 − 100 = 46

Bei der Summe gegensinnig, bei der Differenz gleichsinnig: Immer beide Zahlen verändern.

ÜbenJetzt du

○4
Ergänze so, dass die Summe gleich bleibt: 47 + 47 = 50 + ___
So fängst du an:
47 wird zu 50: 3 mehr.
Lösung zeigen
1. 47 wird zu 50: 3 mehr.
2. Also muss 47 um 3 kleiner werden: 47 − 3 = 44
3. 50 + 44 = 94
Ergebnis:
44
●5
Lina rechnet 297 + 85 als 300 + 85. Was muss Lina danach noch tun? Was kommt heraus?
Lösung zeigen
1. Lina hat 297 um 3 vergrößert.
2. Die Summe ist dadurch um 3 zu groß: 300 + 85 = 385.
3. 3 wieder abziehen: 385 − 3 = 382
Ergebnis:
382
★6
Ergänze so, dass die Summe gleich bleibt: 497 + 528 = 500 + ___
Lösung zeigen
1. 497 wird zu 500: 3 mehr.
2. Also muss 528 um 3 kleiner werden: 528 − 3 = 525
3. 500 + 525 = 1025
Ergebnis:
525

3Ich nehme halbschriftlich mal, indem ich einen Faktor zerlege.

EntdeckenFrage

Wie haben Bauern in Russland früher ohne Einmaleins multipliziert?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Sie haben eine Zahl immer halbiert und die andere verdoppelt, bis links eine 1 stand. Dann addierten sie die rechten Zahlen der Zeilen mit ungerader linker Zahl. Das Verfahren heißt russische Bauernmultiplikation und nutzt, dass Verdoppeln und Halbieren das Produkt nicht ändert.

Ausprobieren: Malnehmen am Rechteck

Länge und Höhe in Teile zerlegen – das Rechteck zerfällt in Teilrechtecke, und jedes ist eine leichte Malaufgabe.

MerkenMalnehmen mit Zerlegen

Einen Faktor zerlegen, jeden Teil malnehmen und die Teilergebnisse addieren.

So wird 7 · 48 zu 7 · 40 + 7 · 8.

BeispielHalbschriftlich malnehmen mit Zerlegen

Es gibt 3 Tüten mit je 59 Bonbons. Wie viele Bonbons sind es? Rechne halbschriftlich.

Schritt für Schritt

3 · 59
59 = 50 + 9
3 · 50 = 150 und 3 · 9 = 27
150 + 27 = 177

3 · 59
59 = 50 + 9
3 · 50 = 150 und 3 · 9 = 27
150 + 27 = 177

Ergebnis:

177 Bonbons

AchtungBeim Zerlegen einen Teil vergessen

So nicht

7 · 48: 7 · 40 + 8 = 288

So richtig

7 · 48 = 7 · 40 + 7 · 8 = 280 + 56 = 336

Jeder Teil des zerlegten Faktors wird malgenommen, nicht nur der erste.

ÜbenJetzt du

○7
Rechne halbschriftlich: Zerlege den zweiten Faktor. 4 · 26
So fängst du an:
26 = 20 + 6
Lösung zeigen
1. 26 = 20 + 6
2. 4 · 20 = 80 und 4 · 6 = 24
3. 80 + 24 = 104
Ergebnis:
104
●8
Es gibt 5 Reihen mit je 29 Stühle. Wie viele Stühle sind es? Rechne halbschriftlich.
Lösung zeigen
1. 5 · 29
2. 29 = 20 + 9
3. 5 · 20 = 100 und 5 · 9 = 45
4. 100 + 45 = 145
Ergebnis:
145 Stühle
★9
Rechne halbschriftlich: Zerlege den zweiten Faktor. 9 · 18
Lösung zeigen
1. 18 = 10 + 8
2. 9 · 10 = 90 und 9 · 8 = 72
3. 90 + 72 = 162
Ergebnis:
162

4Ich dividiere halbschriftlich, indem ich die Zahl geschickt zerlege.

EntdeckenFrage

Warum ist 25 mal 4 ein Lieblingspaar beim Kopfrechnen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

25 mal 4 ergibt genau 100. Kommen 25 und 4 in einer Malaufgabe vor, fasst man sie zuerst zusammen. Aus 25 · 37 · 4 wird dann 100 · 37 = 3700, ganz ohne schriftliches Rechnen.

MerkenTeilen mit Zerlegen

Die Zahl so zerlegen, dass jeder Teil glatt aufgeht. So wird 385 : 7 zu 350 : 7 + 35 : 7.

BeispielHalbschriftlich dividieren

504 Bücher werden gleichmäßig auf 8 Regalböden aufgeteilt. Wie viele bekommt jeder Teil? Rechne halbschriftlich.

Schritt für Schritt

504 : 8
504 = 480 + 24
480 : 8 = 60 und 24 : 8 = 3
60 + 3 = 63

504 : 8
504 = 480 + 24
480 : 8 = 60 und 24 : 8 = 3
60 + 3 = 63

Ergebnis:

63 Bücher

AchtungBeim Teilen nicht passend zerlegt

So nicht

385 : 7: 300 : 7 geht nicht glatt → aufgegeben

So richtig

385 : 7 = 350 : 7 + 35 : 7 = 50 + 5 = 55

Jeder Teil muss sich glatt teilen lassen. Erst ein großes Vielfaches abspalten.

ÜbenJetzt du

○10
246 Murmeln werden gleichmäßig auf 6 Säckchen aufgeteilt. Wie viele bekommt jeder Teil? Rechne halbschriftlich.
So fängst du an:
246 : 6
Lösung zeigen
1. 246 : 6
2. 246 = 240 + 6
3. 240 : 6 = 40 und 6 : 6 = 1
4. 40 + 1 = 41
Ergebnis:
41 Murmeln
●11
366 Bücher werden gleichmäßig auf 6 Regalböden aufgeteilt. Wie viele bekommt jeder Teil? Rechne halbschriftlich.
Lösung zeigen
1. 366 : 6
2. 366 = 360 + 6
3. 360 : 6 = 60 und 6 : 6 = 1
4. 60 + 1 = 61
Ergebnis:
61 Bücher
★12
Zerlege 312 so in zwei Zahlen, dass du beide leicht durch 4 dividieren kannst. Was ergibt 312 : 4?
Lösung zeigen
1. 312 = 280 + 32
2. 280 : 4 = 70 und 32 : 4 = 8
3. 70 + 8 = 78
Ergebnis:
78

5Ich finde Aufgaben mit gleichem Ergebnis und vergleiche Rechenausdrücke.

EntdeckenFrage

Warum stimmt der Trick „mal 9 ist mal 10 minus einmal“ immer?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Neunmal eine Zahl ist zehnmal die Zahl minus einmal die Zahl. So wird 9 · 47 zu 470 − 47 = 423. Das ist das Verteilungsgesetz: 9 ist 10 minus 1.

MerkenAusdrücke mit gleichem Wert

Verschiedene Rechenausdrücke können denselben Wert haben.

Wer die Rechengesetze nutzt, sieht das oft ohne Ausrechnen.

BeispielAufgaben mit gleichem Ergebnis

Ergänze die Lücke: 88 − 32 = ___ − 42

Schritt für Schritt

32 wird zu 42: 10 mehr.
Damit der Abstand bleibt, wird auch 88 um 10 größer.
88 + 10 = 98

32 wird zu 42: 10 mehr.
Damit der Abstand bleibt, wird auch 88 um 10 größer.
88 + 10 = 98

Ergebnis:

AchtungPunkt vor Strich missachtet

So nicht

9 + 5 · 7 = 14 · 7 = 98

So richtig

9 + 5 · 7 = 9 + 35 = 44

Klammer zuerst, dann Mal und Geteilt, dann Plus und Minus.

ÜbenJetzt du

○13
Ergänze die Lücke: 83 + 39 = 81 + ___
So fängst du an:
83 wird zu 81: 2 weniger.
Lösung zeigen
1. 83 wird zu 81: 2 weniger.
2. Damit die Summe gleich bleibt, wird 39 um 2 größer.
3. 39 + 2 = 41
Ergebnis:
41
●14
Finde die fehlende Zahl mit einem Rechengesetz: 4 · 11 = 2 · ___
Lösung zeigen
1. 4 wird halb so groß: 2.
2. Damit das Ergebnis gleich bleibt, wird 11 doppelt so groß.
3. 11 · 2 = 22
Ergebnis:
22
★15
Ergänze die Lücke: 98 − 52 = ___ − 54
Lösung zeigen
1. 52 wird zu 54: 2 mehr.
2. Damit der Abstand bleibt, wird auch 98 um 2 größer.
3. 98 + 2 = 100
Ergebnis:
100

6Ich rechne mit Verdoppeln und Halbieren und prüfe, ob das Ergebnis gleich bleibt.

EntdeckenFrage

Wie merkt man in Sekunden, dass 98 · 102 nicht 99.960 sein kann?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Man rechnet nicht, man überschlägt: 100 · 100 = 10.000. Das Ergebnis muss also in der Nähe von 10.000 liegen. 99.960 ist fast zehnmal so groß und kann nicht stimmen. Richtig ist 9996.

MerkenVerdoppeln und halbieren

Wird ein Faktor verdoppelt und der andere halbiert, bleibt das Produkt gleich.

Werden beide verdoppelt, wird es viermal so groß.

BeispielVerdoppeln und Halbieren

Rechne geschickt: Halbiere den einen Faktor und verdopple den anderen. 16 · 5

Schritt für Schritt

16 · 5 = 8 · 10
8 · 10 = 80

16 · 5 = 8 · 10
8 · 10 = 80

Ergebnis:

AchtungBeide Faktoren verdoppelt

So nicht

8 · 25 → 16 · 50 = 800

So richtig

8 · 25 → 4 · 50 = 200

Nur einer wird verdoppelt, der andere halbiert. Sonst ändert sich das Ergebnis.

ÜbenJetzt du

○16
Rechne geschickt: Halbiere den einen Faktor und verdopple den anderen. 16 · 25
So fängst du an:
16 · 25 = 8 · 50
Lösung zeigen
1. 16 · 25 = 8 · 50
2. 8 · 50 = 400
Ergebnis:
400
●17
Rechne geschickt: Halbiere den einen Faktor und verdopple den anderen. 14 · 15
Lösung zeigen
1. 14 · 15 = 7 · 30
2. 7 · 30 = 210
Ergebnis:
210
★18
Warum ist 14 · 35 dasselbe wie 7 · 70? Rechne dann geschickt.
Lösung zeigen
1. Halb so viele Reihen, jede doppelt so lang: gleich viele Kästchen.
2. 14 · 35 = 7 · 70
3. 7 · 70 = 490
Ergebnis:
490

7Ich wähle zu einer Aufgabe den passenden Rechenweg.

EntdeckenFrage

Wie rechnen Darts-Profis blitzschnell aus, wie viele Punkte ihnen von 501 noch fehlen, wenn sie 140 geworfen haben?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Der geschickte Weg nimmt erst eine runde Zahl. 500 − 140 = 360, und der eine Extrapunkt kommt dazu: 361. Das geht schneller als 501 − 140 Stelle für Stelle. Am Ergebnis ändert der Weg nichts.

MerkenDen passenden Weg wählen

Vor dem Rechnen die Zahlen ansehen.

Liegt eine Zahl nahe an einer glatten, lohnt sich ein Vorteil, sonst rechnet man schriftlich.

BeispielDen passenden Rechenweg wählen

Welcher Weg passt zu 14 + 27 + 86? Nenne ihn. Rechne danach.

Schritt für Schritt

Zwei Zahlen ergeben zusammen 100: vertauschen und zusammenfassen.
14 + 86 = 100
100 + 27 = 127

Zwei Zahlen ergeben zusammen 100: vertauschen und zusammenfassen.
14 + 86 = 100
100 + 27 = 127

Ergebnis:

vertauschen, 127

AchtungUmständlichen Weg gewählt

So nicht

299 + 158 schriftlich untereinander gerechnet, dabei verrechnet: 447

So richtig

299 + 158 = 300 + 157 = 457

Erst die Zahlen ansehen: Liegt eine nahe an einer glatten Zahl?

ÜbenJetzt du

○19
Welchen Rechenvorteil nutzt du bei 43 + 31 + 57? Nenne ihn. Rechne danach.
So fängst du an:
Zwei Zahlen ergeben zusammen 100: vertauschen und zusammenfassen.
Lösung zeigen
1. Zwei Zahlen ergeben zusammen 100: vertauschen und zusammenfassen.
2. 43 + 57 = 100
3. 100 + 31 = 131
Ergebnis:
vertauschen, 131
●20
Wie rechnest du am schnellsten: 206 + 598? Nenne ihn. Rechne danach.
Lösung zeigen
1. 598 liegt knapp unter 600: gegensinnig verändern.
2. 206 + 598 = 204 + 600
3. 204 + 600 = 804
Ergebnis:
gegensinnig verändern, 804
★21
Welcher Weg passt zu 159 + 497? Nenne ihn. Rechne danach.
Lösung zeigen
1. 497 liegt knapp unter 500: gegensinnig verändern.
2. 159 + 497 = 156 + 500
3. 156 + 500 = 656
Ergebnis:
gegensinnig verändern, 656

8Ich finde Rechenfehler mit Überschlag und Umkehraufgabe.

EntdeckenFrage

Warum zählt man Rückgeld vom Preis aus nach oben, statt abzuziehen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Wer 13,40 € zahlen muss und 20 € gibt, bekommt 20 − 13,40 = 6,60 € zurück. Beim Hochzählen rechnet man die Umkehraufgabe: 13,40 + 6,60 = 20. Kommt man genau auf den gegebenen Betrag, stimmt das Rückgeld.

MerkenÜberschlag und Umkehraufgabe

Ein Überschlag mit runden Zahlen zeigt, ob ein Ergebnis stimmen kann.

Die Umkehraufgabe prüft es genau.

BeispielRechenfehler mit Überschlag und Umkehraufgabe finden

Emma erhält für 89 · 21 das Ergebnis 1969. Prüfe mit einem Überschlag.

Schritt für Schritt

Überschlag: 90 · 20 = 1800
1969 liegt zu weit weg. Genau: 89 · 21 = 1869
Das Ergebnis ist falsch.

Überschlag: 90 · 20 = 1800
1969 liegt zu weit weg. Genau: 89 · 21 = 1869
Das Ergebnis ist falsch.

Ergebnis:

falsch, richtig ist 1869

AchtungErgebnis nicht geprüft

So nicht

425 : 5 = 805, ohne Probe ins Heft

So richtig

425 : 5 → Überschlag 400 : 5 = 80 → 85, Probe 85 · 5 = 425

Mit einem Überschlag prüfen, ob die Größenordnung stimmt, dann mit der Umkehraufgabe.

ÜbenJetzt du

○22
Jonas rechnet 630 : 9 und erhält 71. Prüfe mit der Umkehraufgabe.
So fängst du an:
Umkehraufgabe: 71 · 9 = 639
Lösung zeigen
1. Umkehraufgabe: 71 · 9 = 639
2. 639 ist nicht 630: Es ist falsch.
3. 630 : 9 = 70
Ergebnis:
falsch, richtig ist 70
●23
Zeynep rechnet 735 − 438 und erhält 307. Prüfe mit der Umkehraufgabe.
Lösung zeigen
1. Umkehraufgabe: 307 + 438 = 745
2. 745 ist nicht 735: Es ist falsch.
3. 735 − 438 = 297
Ergebnis:
falsch, richtig ist 297
★24
Paul rechnet 9703 − 5269 und erhält 4434. Prüfe mit der Umkehraufgabe.
Lösung zeigen
1. Umkehraufgabe: 4434 + 5269 = 9703
2. 9703 ist genau 9703: Es stimmt.
3. 9703 − 5269 = 4434
Ergebnis:
stimmt, 4434

Vermischte Übungen

Alles durcheinander – wie in der Arbeit. Überleg bei jeder Aufgabe zuerst: Welches Ziel ist das?

Üben

●25
Hanna rechnet 25 + 76 + 15 von links nach rechts. Zeige einen schnelleren Weg mit einem Rechenvorteil.
Lösung zeigen
1. Vertauschen: 25 + 15 + 76
2. 25 + 15 = 40
3. 40 + 76 = 116
Ergebnis:
116
●26
In einem Lager stehen 50 Regale mit je 2 Packungen. In jeder Packung sind 14 Bälle. Wie viele Bälle sind es? Rechne geschickt.
Lösung zeigen
1. Bälle: 50 · 2 · 14
2. 50 · 2 = 100
3. 100 · 14 = 1400
Ergebnis:
1400 Bälle
●27
Rechne geschickt durch gegensinniges Verändern: 297 + 94
Lösung zeigen
1. 297 bekommt 3 dazu, 94 gibt 3 ab.
2. 297 + 94 = 300 + 91
3. 300 + 91 = 391
Ergebnis:
391
●28
Ergänze so, dass die Differenz gleich bleibt: 179 − 28 = ___ − 30
Lösung zeigen
1. 28 wird zu 30: 2 mehr.
2. Damit der Abstand bleibt, wird auch 179 um 2 größer: 181.
3. 181 − 30 = 151
Ergebnis:
181
●29
Es gibt 8 Tüten mit je 37 Bonbons. Wie viele Bonbons sind es? Rechne halbschriftlich.
Lösung zeigen
1. 8 · 37
2. 37 = 30 + 7
3. 8 · 30 = 240 und 8 · 7 = 56
4. 240 + 56 = 296
Ergebnis:
296 Bonbons
●30
Milan rechnet 6 · 15 so: erst 6 · 10, dann 5 dazu. Milan erhält 65. Zeige am Bild, was fehlt.
Lösung zeigen
1. Der rechte Teil hat 6 Reihen mit je 5 Kästchen, nicht nur 5.
2. Rechter Teil: 6 · 5 = 30
3. 60 + 30 = 90
Ergebnis:
90

Auf einen Blick

MerkenDas Wichtigste

Vertauschen und zusammenfassen: Beim Plus und beim Mal darf man die Zahlen vertauschen und anders zusammenfassen.
Gegensinnig und gleichsinnig: Bei einer Summe gibt ein Summand ab, was der andere bekommt.
Malnehmen mit Zerlegen: Einen Faktor zerlegen, jeden Teil malnehmen und die Teilergebnisse addieren.
Teilen mit Zerlegen: Die Zahl so zerlegen, dass jeder Teil glatt aufgeht. So wird 385 : 7 zu 350 : 7 + 35 : 7.
Ausdrücke mit gleichem Wert: Verschiedene Rechenausdrücke können denselben Wert haben.
Verdoppeln und halbieren: Wird ein Faktor verdoppelt und der andere halbiert, bleibt das Produkt gleich.
Den passenden Weg wählen: Vor dem Rechnen die Zahlen ansehen.
Überschlag und Umkehraufgabe: Ein Überschlag mit runden Zahlen zeigt, ob ein Ergebnis stimmen kann.

Kannst du das?

Je Ziel eine Aufgabe. Rechne sie ins Heft, dann kreuz ehrlich an. Keine Punkte, keine Note – der Test ist für dich.

ÜbenSelbsttest

Ich rechne Plusaufgaben und Malaufgaben geschickt durch Vertauschen und Zusammenfassen.
31
Aylin rechnet 4 + 68 + 26 von links nach rechts. Zeige einen schnelleren Weg mit einem Rechenvorteil.
Lösung zeigen
Ergebnis:
98
Ich verändere Summen gegensinnig und Differenzen gleichsinnig.
32
Hanna rechnet 47 + 54 als 50 + 54. Was muss Hanna danach noch tun? Was kommt heraus?
Lösung zeigen
Ergebnis:
101
Ich nehme halbschriftlich mal, indem ich einen Faktor zerlege.
33
Rechne geschickt über die glatte Zahl: 8 · 59
Lösung zeigen
Ergebnis:
472
Ich dividiere halbschriftlich, indem ich die Zahl geschickt zerlege.
34
105 Sticker werden gleichmäßig auf 5 Kinder aufgeteilt. Wie viele bekommt jeder Teil? Rechne halbschriftlich.
Lösung zeigen
Ergebnis:
21 Sticker
Ich finde Aufgaben mit gleichem Ergebnis und vergleiche Rechenausdrücke.
35
Welche Zahl fehlt? Rechne nicht beide Seiten aus. 88 + 87 = 90 + ___
Lösung zeigen
Ergebnis:
85
Ich rechne mit Verdoppeln und Halbieren und prüfe, ob das Ergebnis gleich bleibt.
36
Ben verdoppelt bei 8 · 25 beide Faktoren und rechnet 16 · 50. Bleibt das Ergebnis gleich?
Lösung zeigen
Ergebnis:
Nein, viermal so groß; richtig ist 200
Ich wähle zu einer Aufgabe den passenden Rechenweg.
37
Welchen Rechenvorteil nutzt du bei 379 + 299? Nenne ihn. Rechne danach.
Lösung zeigen
Ergebnis:
gegensinnig verändern, 678
Ich finde Rechenfehler mit Überschlag und Umkehraufgabe.
38
Jonas rechnet 601 − 152 und erhält 449. Prüfe mit der Umkehraufgabe.
Lösung zeigen
Ergebnis:
stimmt, 449

Bei „unsicher“ oder „noch nicht“: Lies den Abschnitt zum Ziel noch einmal und rechne seine drei Aufgaben.

Die Frage vom Anfang

EntdeckenRückschau

Rechne im Kopf, so schnell du kannst: 25 · 17 · 4. Schreib nichts auf und nimm keinen Taschenrechner.

Lies deine Vermutung vom Anfang. Kannst du die Frage jetzt mit dem Kapitel beantworten?

Auflösung

Mit dem Werkzeug aus diesem Kapitel: Vertauschen und Zusammenfassen: erst die Zahlen, die zusammen glatt werden.

Wo brauchst du das?

Entdecken

Preise im Kopf addieren, Rückgeld überschlagen, Mengen für ein Fest ausrechnen. Beruf: Kasse und Verkauf, Handwerk beim Materialberechnen, Lager und Versand.

Wörter

Differenz: was übrig bleibt, wenn man abzieht
Gleichung: zwei Rechnungen, die gleich viel wert sind
Produkt: was herauskommt, wenn man malnimmt
Summe: was herauskommt, wenn man zusammenzählt
Teiler: eine Zahl, durch die es ohne Rest aufgeht

Wie es zusammenhängt

Das brauchst du vorher: Rechenregeln, Teiler und Vielfache, Natürliche Zahlen und Stellenwert

Darauf baut auf: Sachaufgaben lösen

Lösungen

89
131
1107
44
382
525
104
145 Stühle
162
41 Murmeln
61 Bücher
78
41
22
100
400
210
490
vertauschen, 131
gegensinnig verändern, 804
gegensinnig verändern, 656
falsch, richtig ist 70
falsch, richtig ist 297
stimmt, 4434
116
1400 Bälle
391
181
296 Bonbons
90
98
101
472
21 Sticker
85
Nein, viermal so groß; richtig ist 200
gegensinnig verändern, 678
stimmt, 449
31
44
51
50