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Mathematik · Klasse 5 · Kapitel

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Rechengesetze und Rechenvorteile

EntdeckenDie Frage zum Kapitel

Rechne im Kopf, so schnell du kannst: 25 · 17 · 4. Schreib nichts auf und nimm keinen Taschenrechner.

Schreib eine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Für die Lehrkraft: Die meisten rechnen von links: 25 · 17 und kommen durcheinander. Andere geben auf oder raten. Nur wenige sehen, dass 25 und 4 zusammen 100 ergeben. Beim Malnehmen darf man die Zahlen vertauschen. Dann steht 25 · 4 · 17 da, also 100 · 17. Das Ergebnis ist 1700, in einer Sekunde.

  • Entdecken Frage, Vorstellung, Bild
  • Merken kommt ins Heft
  • Beispiel vorgerechnet, Schritt für Schritt
  • Üben selbst rechnen
  • Achtung typischer Fehler
  • Weiterdenken zum Knobeln und Vernetzen

○ mit Starthilfe, ● für alle, ★ zum Weiterdenken. Du wählst mindestens eine ★-Aufgabe. Du rechnest ins Heft.

Fit für das Kapitel?

Das brauchst du aus früheren Themen. Klappt es nicht, frag nach, bevor es losgeht.

ÜbenWeißt du das noch?

Punkt vor Strich und Klammer zuerst – so steht es seit Klasse 4 im Heft.

  1. ●39
    Rechne: 52 − 5 · 7
    Lösung zeigen
    1. Punkt vor Strich: erst 5 · 7 = 35
    2. 52 − 35 = 17
    Ergebnis:
    17
  2. ●40
    Rechne: (6 + 9) · 5
    Lösung zeigen
    1. Die Klammer zuerst: 6 + 9 = 15
    2. 15 · 5 = 75
    Ergebnis:
    75

ÜbenWeißt du das noch?

Punkt vor Strich und Klammer zuerst – die Reihenfolge entscheidet über das Ergebnis.

  1. ●41
    Berechne: 8 + 8 · 3
    Lösung zeigen
    1. Punkt vor Strich: erst 8 · 3 = 24
    2. 8 + 24 = 32
    Ergebnis:
    32
  2. ●42
    Ich denke mir eine Zahl, addiere 17 und erhalte 43. Welche Zahl war es? (Umkehraufgabe)
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    26

So kannst du es dir vorstellen

EntdeckenZahlen umbauen, ohne den Wert zu ändern

Eine Rechnung lässt sich umbauen, ohne dass sich ihr Wert ändert. Zahlen tauschen die Plätze, bilden neue Gruppen oder werden zerlegt. Wer das sieht, rechnet mit glatten Zahlen statt mit krummen.

17 plus 38 plus 3: Erst 17 und 3 zu 20 zusammenfassen, dann 20 plus 38 sind 5817 + 38 + 317 + 3 = 20= 20 + 38 = 58

WeiterdenkenDenk nach

Warum darf man bei 25 + 38 + 75 zuerst 25 und 75 addieren, bei 50 − 20 − 10 aber nicht zuerst 20 − 10?

1Ich rechne Plusaufgaben und Malaufgaben geschickt durch Vertauschen und Zusammenfassen.

EntdeckenFrage

Wie konnte der neunjährige Carl Friedrich Gauß die Zahlen von 1 bis 100 in wenigen Minuten addieren?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Er hat die Zahlen in Paare umsortiert: 1 und 100, 2 und 99, 3 und 98. Jedes Paar ergibt 101, und es sind 50 Paare. Also 50 · 101 = 5050. Er hat nur vertauscht und neu zusammengefasst.

MerkenVertauschen und zusammenfassen

Beim Plus und beim Mal darf man die Zahlen vertauschen und anders zusammenfassen.

Erst die Zahlen nehmen, die zusammen glatt werden.

BeispielPlusaufgaben geschickt: vertauschen und zusammenfassen

Rechne geschickt: 19 + 64 + 21
196421
Schritt für Schritt
  1. Vertauschen: 19 + 21 + 64
  2. 19 + 21 = 40
  3. 40 + 64 = 104
  1. Vertauschen: 19 + 21 + 64
  2. 19 + 21 = 40
  3. 40 + 64 = 104
Ergebnis:
104

AchtungBeim Minus oder Geteilt vertauscht

So nicht
50 − 20 − 10: erst 20 − 10 = 10, dann 50 − 10 = 40
So richtig
50 − 20 − 10 = 30 − 10 = 20

Vertauschen ist nur beim Plus und beim Mal erlaubt. 20 − 5 ist nicht 5 − 20.

ÜbenJetzt du

  1. ○1
    Rechne geschickt: 22 + 69 + 8
    22698
    So fängst du an:
    Vertauschen: 22 + 8 + 69
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 22 + 8 + 69
    2. 22 + 8 = 30
    3. 30 + 69 = 99
    Ergebnis:
    99
  2. ●2
    Hanna rechnet 45 + 48 + 15 von links nach rechts. Zeige einen schnelleren Weg mit einem Rechenvorteil.
    454815
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 45 + 15 + 48
    2. 45 + 15 = 60
    3. 60 + 48 = 108
    Ergebnis:
    108
  3. ★3
    Lina rechnet 734 + 484 + 62 + 266 + 38 von links nach rechts. Zeige einen schnelleren Weg mit einem Rechenvorteil.
    7344846226638
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 734 + 266 + 62 + 38 + 484
    2. 734 + 266 = 1000 und 62 + 38 = 100
    3. 1000 + 100 + 484 = 1584
    Ergebnis:
    1584

2Ich verändere Summen gegensinnig und Differenzen gleichsinnig.

EntdeckenFrage

Warum rechnen Kassiererinnen 3,99 € mal 4 schneller als ein Kunde mit Papier?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Sie rechnen 4 mal 4 € und ziehen dann 4 Cent ab: 16,00 € − 0,04 € = 15,96 €. Das ist Zerlegen: 3,99 ist 4 minus 1 Cent. Der Rechenweg ist kurz, weil er über die glatte Zahl geht.

MerkenGegensinnig und gleichsinnig

Bei einer Summe gibt ein Summand ab, was der andere bekommt.

Bei einer Differenz ändern sich beide Zahlen gleich, der Abstand bleibt.

BeispielSummen gegensinnig verändern

Mia rechnet 199 + 26 als 200 + 26. Was muss Mia danach noch tun? Was kommt heraus?
19926
Schritt für Schritt
  1. Mia hat 199 um 1 vergrößert.
  2. Die Summe ist dadurch um 1 zu groß: 200 + 26 = 226.
  3. 1 wieder abziehen: 226 − 1 = 225
  1. Mia hat 199 um 1 vergrößert.
  2. Die Summe ist dadurch um 1 zu groß: 200 + 26 = 226.
  3. 1 wieder abziehen: 226 − 1 = 225
Ergebnis:
225

AchtungNur eine Zahl verändert

So nicht
143 − 97: 143 − 100 = 43
So richtig
143 − 97 = 146 − 100 = 46

Bei der Summe gegensinnig, bei der Differenz gleichsinnig: Immer beide Zahlen verändern.

ÜbenJetzt du

  1. ○4
    Aylin rechnet 67 + 56 als 70 + 56. Was muss Aylin danach noch tun? Was kommt heraus?
    6756
    So fängst du an:
    Aylin hat 67 um 3 vergrößert.
    Lösung zeigen
    1. Aylin hat 67 um 3 vergrößert.
    2. Die Summe ist dadurch um 3 zu groß: 70 + 56 = 126.
    3. 3 wieder abziehen: 126 − 3 = 123
    Ergebnis:
    123
  2. ●5
    Can rechnet 99 + 42 als 100 + 42. Was muss Can danach noch tun? Was kommt heraus?
    9942
    Lösung zeigen
    1. Can hat 99 um 1 vergrößert.
    2. Die Summe ist dadurch um 1 zu groß: 100 + 42 = 142.
    3. 1 wieder abziehen: 142 − 1 = 141
    Ergebnis:
    141
  3. ★6
    Ergänze so, dass die Summe gleich bleibt: 698 + 414 = 700 + ___
    698414
    Lösung zeigen
    1. 698 wird zu 700: 2 mehr.
    2. Also muss 414 um 2 kleiner werden: 414 − 2 = 412
    3. 700 + 412 = 1112
    Ergebnis:
    412

3Ich nehme halbschriftlich mal, indem ich einen Faktor zerlege.

EntdeckenFrage

Wie haben Bauern in Russland früher ohne Einmaleins multipliziert?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Sie haben eine Zahl immer halbiert und die andere verdoppelt, bis links eine 1 stand. Dann addierten sie die rechten Zahlen der Zeilen mit ungerader linker Zahl. Das Verfahren heißt russische Bauernmultiplikation und nutzt, dass Verdoppeln und Halbieren das Produkt nicht ändert.

Ausprobieren: Malnehmen am Rechteck

Länge und Höhe in Teile zerlegen – das Rechteck zerfällt in Teilrechtecke, und jedes ist eine leichte Malaufgabe.

MerkenMalnehmen mit Zerlegen

Einen Faktor zerlegen, jeden Teil malnehmen und die Teilergebnisse addieren.

So wird 7 · 48 zu 7 · 40 + 7 · 8.

BeispielHalbschriftlich malnehmen mit Zerlegen

Es gibt 8 Reihen mit je 36 Stühle. Wie viele Stühle sind es? Rechne halbschriftlich.
Schritt für Schritt
  1. 8 · 36
  2. 36 = 30 + 6
  3. 8 · 30 = 240 und 8 · 6 = 48
  4. 240 + 48 = 288
  1. 8 · 36
  2. 36 = 30 + 6
  3. 8 · 30 = 240 und 8 · 6 = 48
  4. 240 + 48 = 288
Ergebnis:
288 Stühle

AchtungBeim Zerlegen einen Teil vergessen

So nicht
7 · 48: 7 · 40 + 8 = 288
So richtig
7 · 48 = 7 · 40 + 7 · 8 = 280 + 56 = 336

Jeder Teil des zerlegten Faktors wird malgenommen, nicht nur der erste.

ÜbenJetzt du

  1. ○7
    Es gibt 9 Tüten mit je 18 Bonbons. Wie viele Bonbons sind es? Rechne halbschriftlich.
    So fängst du an:
    9 · 18
    Lösung zeigen
    1. 9 · 18
    2. 18 = 10 + 8
    3. 9 · 10 = 90 und 9 · 8 = 72
    4. 90 + 72 = 162
    Ergebnis:
    162 Bonbons
  2. ●8
    Rechne geschickt über die glatte Zahl: 6 · 19
    Lösung zeigen
    1. 19 = 20 − 1
    2. 6 · 20 = 120 und 6 · 1 = 6
    3. 120 − 6 = 114
    Ergebnis:
    114
  3. ★9
    Rechne halbschriftlich mit Stellenwerten: 7 · 337
    Lösung zeigen
    1. 337 = 300 + 30 + 7
    2. 7 · 300 = 2100; 7 · 30 = 210; 7 · 7 = 49
    3. 2100 + 210 + 49 = 2359
    Ergebnis:
    2359

4Ich dividiere halbschriftlich, indem ich die Zahl geschickt zerlege.

EntdeckenFrage

Warum ist 25 mal 4 ein Lieblingspaar beim Kopfrechnen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

25 mal 4 ergibt genau 100. Kommen 25 und 4 in einer Malaufgabe vor, fasst man sie zuerst zusammen. Aus 25 · 37 · 4 wird dann 100 · 37 = 3700, ganz ohne schriftliches Rechnen.

MerkenTeilen mit Zerlegen

Die Zahl so zerlegen, dass jeder Teil glatt aufgeht. So wird 385 : 7 zu 350 : 7 + 35 : 7.

BeispielHalbschriftlich dividieren

Rechne halbschriftlich: 310 : 5
Schritt für Schritt
  1. 310 = 300 + 10
  2. 300 : 5 = 60 und 10 : 5 = 2
  3. 60 + 2 = 62
  1. 310 = 300 + 10
  2. 300 : 5 = 60 und 10 : 5 = 2
  3. 60 + 2 = 62
Ergebnis:
62

AchtungBeim Teilen nicht passend zerlegt

So nicht
385 : 7: 300 : 7 geht nicht glatt → aufgegeben
So richtig
385 : 7 = 350 : 7 + 35 : 7 = 50 + 5 = 55

Jeder Teil muss sich glatt teilen lassen. Erst ein großes Vielfaches abspalten.

ÜbenJetzt du

  1. ○10
    Zerlege 369 so in zwei Zahlen, dass du beide leicht durch 9 dividieren kannst. Was ergibt 369 : 9?
    369: 9
    So fängst du an:
    369 = 360 + 9
    Lösung zeigen
    1. 369 = 360 + 9
    2. 360 : 9 = 40 und 9 : 9 = 1
    3. 40 + 1 = 41
    Ergebnis:
    41
  2. ●11
    Zerlege 105 so in zwei Zahlen, dass du beide leicht durch 5 dividieren kannst. Was ergibt 105 : 5?
    105: 5
    Lösung zeigen
    1. 105 = 100 + 5
    2. 100 : 5 = 20 und 5 : 5 = 1
    3. 20 + 1 = 21
    Ergebnis:
    21
  3. ★12
    216 Murmeln werden gleichmäßig auf 8 Säckchen aufgeteilt. Wie viele bekommt jeder Teil? Rechne halbschriftlich.
    Lösung zeigen
    1. 216 : 8
    2. 216 = 160 + 56
    3. 160 : 8 = 20 und 56 : 8 = 7
    4. 20 + 7 = 27
    Ergebnis:
    27 Murmeln

5Ich finde Aufgaben mit gleichem Ergebnis und vergleiche Rechenausdrücke.

EntdeckenFrage

Warum stimmt der Trick „mal 9 ist mal 10 minus einmal“ immer?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Neunmal eine Zahl ist zehnmal die Zahl minus einmal die Zahl. So wird 9 · 47 zu 470 − 47 = 423. Das ist das Verteilungsgesetz: 9 ist 10 minus 1.

MerkenAusdrücke mit gleichem Wert

Verschiedene Rechenausdrücke können denselben Wert haben.

Wer die Rechengesetze nutzt, sieht das oft ohne Ausrechnen.

BeispielAufgaben mit gleichem Ergebnis

Ergänze die Lücke: 6 · 5 = 3 · ___
6 · 5=3 · ?
Schritt für Schritt
  1. 6 wird halb so groß: 3.
  2. Damit das Ergebnis gleich bleibt, wird 5 doppelt so groß.
  3. 5 · 2 = 10
  1. 6 wird halb so groß: 3.
  2. Damit das Ergebnis gleich bleibt, wird 5 doppelt so groß.
  3. 5 · 2 = 10
Ergebnis:
10

AchtungPunkt vor Strich missachtet

So nicht
9 + 5 · 7 = 14 · 7 = 98
So richtig
9 + 5 · 7 = 9 + 35 = 44

Klammer zuerst, dann Mal und Geteilt, dann Plus und Minus.

ÜbenJetzt du

  1. ○13
    Ergänze die Lücke: 78 − 70 = ___ − 71
    So fängst du an:
    70 wird zu 71: 1 mehr.
    Lösung zeigen
    1. 70 wird zu 71: 1 mehr.
    2. Damit der Abstand bleibt, wird auch 78 um 1 größer.
    3. 78 + 1 = 79
    Ergebnis:
    79
  2. ●14
    Finde die fehlende Zahl mit einem Rechengesetz: 51 + 80 = 50 + ___
    51 + 80=50 + ?
    Lösung zeigen
    1. 51 wird zu 50: 1 weniger.
    2. Damit die Summe gleich bleibt, wird 80 um 1 größer.
    3. 80 + 1 = 81
    Ergebnis:
    81
  3. ★15
    Finde die fehlende Zahl mit einem Rechengesetz: 84 − 51 = ___ − 61
    Lösung zeigen
    1. 51 wird zu 61: 10 mehr.
    2. Damit der Abstand bleibt, wird auch 84 um 10 größer.
    3. 84 + 10 = 94
    Ergebnis:
    94

6Ich rechne mit Verdoppeln und Halbieren und prüfe, ob das Ergebnis gleich bleibt.

EntdeckenFrage

Wie merkt man in Sekunden, dass 98 · 102 nicht 99.960 sein kann?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Man rechnet nicht, man überschlägt: 100 · 100 = 10.000. Das Ergebnis muss also in der Nähe von 10.000 liegen. 99.960 ist fast zehnmal so groß und kann nicht stimmen. Richtig ist 9996.

MerkenVerdoppeln und halbieren

Wird ein Faktor verdoppelt und der andere halbiert, bleibt das Produkt gleich.

Werden beide verdoppelt, wird es viermal so groß.

BeispielVerdoppeln und Halbieren

Noah verdoppelt bei 12 · 15 beide Faktoren und rechnet 24 · 30. Bleibt das Ergebnis gleich?
Schritt für Schritt
  1. Einmal verdoppeln macht das Ergebnis doppelt so groß, zweimal viermal so groß.
  2. 24 · 30 = 720, aber 12 · 15 = 180
  3. Richtig ist: einen verdoppeln, den anderen halbieren.
  1. Einmal verdoppeln macht das Ergebnis doppelt so groß, zweimal viermal so groß.
  2. 24 · 30 = 720, aber 12 · 15 = 180
  3. Richtig ist: einen verdoppeln, den anderen halbieren.
Ergebnis:
Nein, viermal so groß; richtig ist 180

AchtungBeide Faktoren verdoppelt

So nicht
8 · 25 → 16 · 50 = 800
So richtig
8 · 25 → 4 · 50 = 200

Nur einer wird verdoppelt, der andere halbiert. Sonst ändert sich das Ergebnis.

ÜbenJetzt du

  1. ○16
    Rechne geschickt: Halbiere den einen Faktor und verdopple den anderen. 14 · 5
    So fängst du an:
    14 · 5 = 7 · 10
    Lösung zeigen
    1. 14 · 5 = 7 · 10
    2. 7 · 10 = 70
    Ergebnis:
    70
  2. ●17
    Ben verdoppelt bei 16 · 5 beide Faktoren und rechnet 32 · 10. Bleibt das Ergebnis gleich?
    Lösung zeigen
    1. Einmal verdoppeln macht das Ergebnis doppelt so groß, zweimal viermal so groß.
    2. 32 · 10 = 320, aber 16 · 5 = 80
    3. Richtig ist: einen verdoppeln, den anderen halbieren.
    Ergebnis:
    Nein, viermal so groß; richtig ist 80
  3. ★18
    Rechne geschickt: Halbiere den einen Faktor und verdopple den anderen. 24 · 125
    Lösung zeigen
    1. 24 · 125 = 12 · 250
    2. 12 · 250 = 3000
    Ergebnis:
    3000

7Ich wähle zu einer Aufgabe den passenden Rechenweg.

EntdeckenFrage

Wie rechnen Darts-Profis blitzschnell aus, wie viele Punkte ihnen von 501 noch fehlen, wenn sie 140 geworfen haben?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Der geschickte Weg nimmt erst eine runde Zahl. 500 − 140 = 360, und der eine Extrapunkt kommt dazu: 361. Das geht schneller als 501 − 140 Stelle für Stelle. Am Ergebnis ändert der Weg nichts.

MerkenDen passenden Weg wählen

Vor dem Rechnen die Zahlen ansehen.

Liegt eine Zahl nahe an einer glatten, lohnt sich ein Vorteil, sonst rechnet man schriftlich.

BeispielDen passenden Rechenweg wählen

Welcher Weg passt zu 8 · 83? Nenne ihn. Rechne danach.
8 · 83zerlegenhalbieren und verdoppelnschriftlich
Schritt für Schritt
  1. Den zweiten Faktor zerlegen: 83 = 80 + 3.
  2. 8 · 80 = 640 und 8 · 3 = 24
  3. Zusammen: 664
  1. Den zweiten Faktor zerlegen: 83 = 80 + 3.
  2. 8 · 80 = 640 und 8 · 3 = 24
  3. Zusammen: 664
Ergebnis:
zerlegen, 664

AchtungUmständlichen Weg gewählt

So nicht
299 + 158 schriftlich untereinander gerechnet, dabei verrechnet: 447
So richtig
299 + 158 = 300 + 157 = 457

Erst die Zahlen ansehen: Liegt eine nahe an einer glatten Zahl?

ÜbenJetzt du

  1. ○19
    Welcher Weg passt zu 18 · 5? Nenne ihn. Rechne danach.
    18 · 5zerlegenhalbieren und verdoppelnschriftlich
    So fängst du an:
    5 wird verdoppelt glatt: halbieren und verdoppeln.
    Lösung zeigen
    1. 5 wird verdoppelt glatt: halbieren und verdoppeln.
    2. 18 · 5 = 9 · 10
    3. 9 · 10 = 90
    Ergebnis:
    halbieren und verdoppeln, 90
  2. ●20
    Welchen Rechenvorteil nutzt du bei 16 · 5? Nenne ihn. Rechne danach.
    16 · 5zerlegenhalbieren und verdoppelnschriftlich
    Lösung zeigen
    1. 5 wird verdoppelt glatt: halbieren und verdoppeln.
    2. 16 · 5 = 8 · 10
    3. 8 · 10 = 80
    Ergebnis:
    halbieren und verdoppeln, 80
  3. ★21
    Welcher Weg passt zu 12 · 25? Nenne ihn. Rechne danach.
    12 · 25zerlegenhalbieren und verdoppelnschriftlich
    Lösung zeigen
    1. 25 wird verdoppelt glatt: halbieren und verdoppeln.
    2. 12 · 25 = 6 · 50
    3. 6 · 50 = 300
    Ergebnis:
    halbieren und verdoppeln, 300

8Ich finde Rechenfehler mit Überschlag und Umkehraufgabe.

EntdeckenFrage

Warum zählt man Rückgeld vom Preis aus nach oben, statt abzuziehen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Wer 13,40 € zahlen muss und 20 € gibt, bekommt 20 − 13,40 = 6,60 € zurück. Beim Hochzählen rechnet man die Umkehraufgabe: 13,40 + 6,60 = 20. Kommt man genau auf den gegebenen Betrag, stimmt das Rückgeld.

MerkenÜberschlag und Umkehraufgabe

Ein Überschlag mit runden Zahlen zeigt, ob ein Ergebnis stimmen kann.

Die Umkehraufgabe prüft es genau.

BeispielRechenfehler mit Überschlag und Umkehraufgabe finden

Sofia rechnet 705 − 326 und erhält 479. Prüfe mit der Umkehraufgabe.
Schritt für Schritt
  1. Umkehraufgabe: 479 + 326 = 805
  2. 805 ist nicht 705: Es ist falsch.
  3. 705 − 326 = 379
  1. Umkehraufgabe: 479 + 326 = 805
  2. 805 ist nicht 705: Es ist falsch.
  3. 705 − 326 = 379
Ergebnis:
falsch, richtig ist 379

AchtungErgebnis nicht geprüft

So nicht
425 : 5 = 805, ohne Probe ins Heft
So richtig
425 : 5 → Überschlag 400 : 5 = 80 → 85, Probe 85 · 5 = 425

Mit einem Überschlag prüfen, ob die Größenordnung stimmt, dann mit der Umkehraufgabe.

ÜbenJetzt du

  1. ○22
    Milan rechnet 828 : 9 und erhält 94. Prüfe mit der Umkehraufgabe.
    828 : 9Ergebnis 94?
    So fängst du an:
    Umkehraufgabe: 94 · 9 = 846
    Lösung zeigen
    1. Umkehraufgabe: 94 · 9 = 846
    2. 846 ist nicht 828: Es ist falsch.
    3. 828 : 9 = 92
    Ergebnis:
    falsch, richtig ist 92
  2. ●23
    Lina erhält für 74 · 13 das Ergebnis 962. Prüfe mit einem Überschlag.
    Lösung zeigen
    1. Überschlag: 70 · 10 = 700
    2. 962 liegt in der Nähe. Genau rechnen: 74 · 13 = 962
    3. Das Ergebnis stimmt.
    Ergebnis:
    stimmt, 962
  3. ★24
    Aylin rechnet 3654 : 9 und erhält 406. Prüfe mit der Umkehraufgabe.
    3654 : 9Ergebnis 406?
    Lösung zeigen
    1. Umkehraufgabe: 406 · 9 = 3654
    2. 3654 ist genau 3654: Es stimmt.
    3. 3654 : 9 = 406
    Ergebnis:
    stimmt, 406

Vermischte Übungen

Alles durcheinander – wie in der Arbeit. Überleg bei jeder Aufgabe zuerst: Welches Ziel ist das?

Üben

  1. ●25
    Rechne geschickt: 27 + 44 + 3
    27443
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 27 + 3 + 44
    2. 27 + 3 = 30
    3. 30 + 44 = 74
    Ergebnis:
    74
  2. ●26
    Rechne geschickt: 2 · 13 · 5
    2135
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 2 · 5 · 13
    2. 2 · 5 = 10
    3. 10 · 13 = 130
    Ergebnis:
    130
  3. ●27
    Mia rechnet 48 + 69 als 50 + 69. Was muss Mia danach noch tun? Was kommt heraus?
    4869
    Lösung zeigen
    1. Mia hat 48 um 2 vergrößert.
    2. Die Summe ist dadurch um 2 zu groß: 50 + 69 = 119.
    3. 2 wieder abziehen: 119 − 2 = 117
    Ergebnis:
    117
  4. ●28
    Mia rechnet 215 − 199 als 215 − 200 und erhält 15. Ist das schon das Ergebnis?
    215 − 199215 − 200
    Lösung zeigen
    1. Mia hat 1 mehr abgezogen als verlangt.
    2. Beim Minus muss dieser Rest wieder dazu.
    3. 15 + 1 = 16
    Ergebnis:
    Nein, 16
  5. ●29
    Es gibt 3 Reihen mit je 33 Stühle. Wie viele Stühle sind es? Rechne halbschriftlich.
    Lösung zeigen
    1. 3 · 33
    2. 33 = 30 + 3
    3. 3 · 30 = 90 und 3 · 3 = 9
    4. 90 + 9 = 99
    Ergebnis:
    99 Stühle
  6. ●30
    Ein Rechteck hat 3 Reihen mit je 18 Kästchen. Die rote Linie teilt es. Wie viele Kästchen sind es?
    1083
    Lösung zeigen
    1. Linker Teil: 3 · 10 = 30
    2. Rechter Teil: 3 · 8 = 24
    3. Zusammen: 30 + 24 = 54
    Ergebnis:
    54 Kästchen

Auf einen Blick

MerkenDas Wichtigste

Vertauschen und zusammenfassen
Beim Plus und beim Mal darf man die Zahlen vertauschen und anders zusammenfassen.
Gegensinnig und gleichsinnig
Bei einer Summe gibt ein Summand ab, was der andere bekommt.
Malnehmen mit Zerlegen
Einen Faktor zerlegen, jeden Teil malnehmen und die Teilergebnisse addieren.
Teilen mit Zerlegen
Die Zahl so zerlegen, dass jeder Teil glatt aufgeht. So wird 385 : 7 zu 350 : 7 + 35 : 7.
Ausdrücke mit gleichem Wert
Verschiedene Rechenausdrücke können denselben Wert haben.
Verdoppeln und halbieren
Wird ein Faktor verdoppelt und der andere halbiert, bleibt das Produkt gleich.
Den passenden Weg wählen
Vor dem Rechnen die Zahlen ansehen.
Überschlag und Umkehraufgabe
Ein Überschlag mit runden Zahlen zeigt, ob ein Ergebnis stimmen kann.

Kannst du das?

Je Ziel eine Aufgabe. Rechne sie ins Heft, dann kreuz ehrlich an. Keine Punkte, keine Note – der Test ist für dich.

ÜbenSelbsttest

  1. Ich rechne Plusaufgaben und Malaufgaben geschickt durch Vertauschen und Zusammenfassen.

    31
    Welche Zahlen fasst du bei 14 + 64 + 86 zuerst zusammen? Begründe. Rechne danach.
    146486
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    164

  2. Ich verändere Summen gegensinnig und Differenzen gleichsinnig.

    32
    Can rechnet 48 + 69 als 50 + 69. Was muss Can danach noch tun? Was kommt heraus?
    4869
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    117

  3. Ich nehme halbschriftlich mal, indem ich einen Faktor zerlege.

    33
    Rechne geschickt über die glatte Zahl: 4 · 39
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    156

  4. Ich dividiere halbschriftlich, indem ich die Zahl geschickt zerlege.

    34
    441 Murmeln werden gleichmäßig auf 9 Säckchen aufgeteilt. Wie viele bekommt jeder Teil? Rechne halbschriftlich.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    49 Murmeln

  5. Ich finde Aufgaben mit gleichem Ergebnis und vergleiche Rechenausdrücke.

    35
    Ergänze die Lücke: 16 · 12 = 8 · ___
    16 · 12=8 · ?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    24

  6. Ich rechne mit Verdoppeln und Halbieren und prüfe, ob das Ergebnis gleich bleibt.

    36
    Rechne geschickt: Halbiere den einen Faktor und verdopple den anderen. 16 · 25
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    400

  7. Ich wähle zu einer Aufgabe den passenden Rechenweg.

    37
    Wie rechnest du am schnellsten: 18 · 5? Nenne ihn. Rechne danach.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    halbieren und verdoppeln, 90

  8. Ich finde Rechenfehler mit Überschlag und Umkehraufgabe.

    38
    Mia rechnet 292 : 4 und erhält 75. Prüfe mit der Umkehraufgabe.
    292 : 4Ergebnis 75?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    falsch, richtig ist 73

Bei „unsicher“ oder „noch nicht“: Lies den Abschnitt zum Ziel noch einmal und rechne seine drei Aufgaben.

Die Frage vom Anfang

EntdeckenRückschau

Rechne im Kopf, so schnell du kannst: 25 · 17 · 4. Schreib nichts auf und nimm keinen Taschenrechner.

Lies deine Vermutung vom Anfang. Kannst du die Frage jetzt mit dem Kapitel beantworten?

Auflösung

Mit dem Werkzeug aus diesem Kapitel: Vertauschen und Zusammenfassen: erst die Zahlen, die zusammen glatt werden.

Wo brauchst du das?

Entdecken

Preise im Kopf addieren, Rückgeld überschlagen, Mengen für ein Fest ausrechnen. Beruf: Kasse und Verkauf, Handwerk beim Materialberechnen, Lager und Versand.

Wörter

Differenz
was übrig bleibt, wenn man abzieht
Gleichung
zwei Rechnungen, die gleich viel wert sind
Produkt
was herauskommt, wenn man malnimmt
Summe
was herauskommt, wenn man zusammenzählt
Teiler
eine Zahl, durch die es ohne Rest aufgeht

Wie es zusammenhängt

Das brauchst du vorher: Rechenregeln, Teiler und Vielfache, Natürliche Zahlen und Stellenwert

Darauf baut auf: Sachaufgaben lösen

Lösungen

  1. 99
  2. 108
  3. 1584
  4. 123
  5. 141
  6. 412
  7. 162 Bonbons
  8. 114
  9. 2359
  10. 41
  11. 21
  12. 27 Murmeln
  13. 79
  14. 81
  15. 94
  16. 70
  17. Nein, viermal so groß; richtig ist 80
  18. 3000
  19. halbieren und verdoppeln, 90
  20. halbieren und verdoppeln, 80
  21. halbieren und verdoppeln, 300
  22. falsch, richtig ist 92
  23. stimmt, 962
  24. stimmt, 406
  25. 74
  26. 130
  27. 117
  28. Nein, 16
  29. 99 Stühle
  30. 54 Kästchen
  31. 164
  32. 117
  33. 156
  34. 49 Murmeln
  35. 24
  36. 400
  37. halbieren und verdoppeln, 90
  38. falsch, richtig ist 73
  39. 17
  40. 75
  41. 32
  42. 26