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Mathematik · Klasse 5 · Kapitel

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Rechengesetze und Rechenvorteile

EntdeckenDie Frage zum Kapitel

Rechne im Kopf, so schnell du kannst: 25 · 17 · 4. Schreib nichts auf und nimm keinen Taschenrechner.

Schreib eine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Für die Lehrkraft: Die meisten rechnen von links: 25 · 17 und kommen durcheinander. Andere geben auf oder raten. Nur wenige sehen, dass 25 und 4 zusammen 100 ergeben. Beim Malnehmen darf man die Zahlen vertauschen. Dann steht 25 · 4 · 17 da, also 100 · 17. Das Ergebnis ist 1700, in einer Sekunde.

  • Entdecken Frage, Vorstellung, Bild
  • Merken kommt ins Heft
  • Beispiel vorgerechnet, Schritt für Schritt
  • Üben selbst rechnen
  • Achtung typischer Fehler
  • Weiterdenken zum Knobeln und Vernetzen

○ mit Starthilfe, ● für alle, ★ zum Weiterdenken. Du wählst mindestens eine ★-Aufgabe. Du rechnest ins Heft.

Fit für das Kapitel?

Das brauchst du aus früheren Themen. Klappt es nicht, frag nach, bevor es losgeht.

ÜbenWeißt du das noch?

Punkt vor Strich und Klammer zuerst – so steht es seit Klasse 4 im Heft.

  1. ●39
    Rechne: 5 + 2 · 6
    Lösung zeigen
    1. Punkt vor Strich: erst 2 · 6 = 12
    2. 5 + 12 = 17
    Ergebnis:
    17
  2. ●40
    Rechne: (8 + 2) · 5
    Lösung zeigen
    1. Die Klammer zuerst: 8 + 2 = 10
    2. 10 · 5 = 50
    Ergebnis:
    50

ÜbenWeißt du das noch?

Punkt vor Strich und Klammer zuerst – die Reihenfolge entscheidet über das Ergebnis.

  1. ●41
    Berechne: 11 + 4 · 8
    Lösung zeigen
    1. Punkt vor Strich: erst 4 · 8 = 32
    2. 11 + 32 = 43
    Ergebnis:
    43
  2. ●42
    Ich denke mir eine Zahl, addiere 30 und erhalte 69. Welche Zahl war es? (Umkehraufgabe)
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    39

So kannst du es dir vorstellen

EntdeckenZahlen umbauen, ohne den Wert zu ändern

Eine Rechnung lässt sich umbauen, ohne dass sich ihr Wert ändert. Zahlen tauschen die Plätze, bilden neue Gruppen oder werden zerlegt. Wer das sieht, rechnet mit glatten Zahlen statt mit krummen.

17 plus 38 plus 3: Erst 17 und 3 zu 20 zusammenfassen, dann 20 plus 38 sind 5817 + 38 + 317 + 3 = 20= 20 + 38 = 58

WeiterdenkenDenk nach

Warum darf man bei 25 + 38 + 75 zuerst 25 und 75 addieren, bei 50 − 20 − 10 aber nicht zuerst 20 − 10?

1Ich rechne Plusaufgaben und Malaufgaben geschickt durch Vertauschen und Zusammenfassen.

EntdeckenFrage

Wie konnte der neunjährige Carl Friedrich Gauß die Zahlen von 1 bis 100 in wenigen Minuten addieren?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Er hat die Zahlen in Paare umsortiert: 1 und 100, 2 und 99, 3 und 98. Jedes Paar ergibt 101, und es sind 50 Paare. Also 50 · 101 = 5050. Er hat nur vertauscht und neu zusammengefasst.

MerkenVertauschen und zusammenfassen

Beim Plus und beim Mal darf man die Zahlen vertauschen und anders zusammenfassen.

Erst die Zahlen nehmen, die zusammen glatt werden.

BeispielPlusaufgaben geschickt: vertauschen und zusammenfassen

Lea rechnet 27 + 58 + 23 von links nach rechts. Zeige einen schnelleren Weg mit einem Rechenvorteil.
275823
Schritt für Schritt
  1. Vertauschen: 27 + 23 + 58
  2. 27 + 23 = 50
  3. 50 + 58 = 108
  1. Vertauschen: 27 + 23 + 58
  2. 27 + 23 = 50
  3. 50 + 58 = 108
Ergebnis:
108

AchtungBeim Minus oder Geteilt vertauscht

So nicht
50 − 20 − 10: erst 20 − 10 = 10, dann 50 − 10 = 40
So richtig
50 − 20 − 10 = 30 − 10 = 20

Vertauschen ist nur beim Plus und beim Mal erlaubt. 20 − 5 ist nicht 5 − 20.

ÜbenJetzt du

  1. ○1
    Welche Zahlen fasst du bei 21 + 76 + 39 zuerst zusammen? Begründe. Rechne danach.
    217639
    So fängst du an:
    Vertauschen: 21 + 39 + 76
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 21 + 39 + 76
    2. 21 + 39 = 60
    3. Zusammen glatt, der Rest ist leicht: 60 + 76 = 136
    Ergebnis:
    136
  2. ●2
    Rechne geschickt: 47 + 56 + 13
    475613
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 47 + 13 + 56
    2. 47 + 13 = 60
    3. 60 + 56 = 116
    Ergebnis:
    116
  3. ★3
    Rechne geschickt: 65 + 321 + 35
    6532135
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 65 + 35 + 321
    2. 65 + 35 = 100
    3. 100 + 321 = 421
    Ergebnis:
    421

2Ich verändere Summen gegensinnig und Differenzen gleichsinnig.

EntdeckenFrage

Warum rechnen Kassiererinnen 3,99 € mal 4 schneller als ein Kunde mit Papier?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Sie rechnen 4 mal 4 € und ziehen dann 4 Cent ab: 16,00 € − 0,04 € = 15,96 €. Das ist Zerlegen: 3,99 ist 4 minus 1 Cent. Der Rechenweg ist kurz, weil er über die glatte Zahl geht.

MerkenGegensinnig und gleichsinnig

Bei einer Summe gibt ein Summand ab, was der andere bekommt.

Bei einer Differenz ändern sich beide Zahlen gleich, der Abstand bleibt.

BeispielSummen gegensinnig verändern

Ben rechnet 199 + 92 als 200 + 92. Was muss Ben danach noch tun? Was kommt heraus?
19992
Schritt für Schritt
  1. Ben hat 199 um 1 vergrößert.
  2. Die Summe ist dadurch um 1 zu groß: 200 + 92 = 292.
  3. 1 wieder abziehen: 292 − 1 = 291
  1. Ben hat 199 um 1 vergrößert.
  2. Die Summe ist dadurch um 1 zu groß: 200 + 92 = 292.
  3. 1 wieder abziehen: 292 − 1 = 291
Ergebnis:
291

AchtungNur eine Zahl verändert

So nicht
143 − 97: 143 − 100 = 43
So richtig
143 − 97 = 146 − 100 = 46

Bei der Summe gegensinnig, bei der Differenz gleichsinnig: Immer beide Zahlen verändern.

ÜbenJetzt du

  1. ○4
    Elias rechnet 97 + 65 als 100 + 65. Was muss Elias danach noch tun? Was kommt heraus?
    9765
    So fängst du an:
    Elias hat 97 um 3 vergrößert.
    Lösung zeigen
    1. Elias hat 97 um 3 vergrößert.
    2. Die Summe ist dadurch um 3 zu groß: 100 + 65 = 165.
    3. 3 wieder abziehen: 165 − 3 = 162
    Ergebnis:
    162
  2. ●5
    Ergänze so, dass die Summe gleich bleibt: 199 + 92 = 200 + ___
    19992
    Lösung zeigen
    1. 199 wird zu 200: 1 mehr.
    2. Also muss 92 um 1 kleiner werden: 92 − 1 = 91
    3. 200 + 91 = 291
    Ergebnis:
    91
  3. ★6
    Ergänze so, dass die Summe gleich bleibt: 1998 + 268 = 2000 + ___
    1998268
    Lösung zeigen
    1. 1998 wird zu 2000: 2 mehr.
    2. Also muss 268 um 2 kleiner werden: 268 − 2 = 266
    3. 2000 + 266 = 2266
    Ergebnis:
    266

3Ich nehme halbschriftlich mal, indem ich einen Faktor zerlege.

EntdeckenFrage

Wie haben Bauern in Russland früher ohne Einmaleins multipliziert?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Sie haben eine Zahl immer halbiert und die andere verdoppelt, bis links eine 1 stand. Dann addierten sie die rechten Zahlen der Zeilen mit ungerader linker Zahl. Das Verfahren heißt russische Bauernmultiplikation und nutzt, dass Verdoppeln und Halbieren das Produkt nicht ändert.

Ausprobieren: Malnehmen am Rechteck

Länge und Höhe in Teile zerlegen – das Rechteck zerfällt in Teilrechtecke, und jedes ist eine leichte Malaufgabe.

MerkenMalnehmen mit Zerlegen

Einen Faktor zerlegen, jeden Teil malnehmen und die Teilergebnisse addieren.

So wird 7 · 48 zu 7 · 40 + 7 · 8.

BeispielHalbschriftlich malnehmen mit Zerlegen

Rechne geschickt über die glatte Zahl: 7 · 59
Schritt für Schritt
  1. 59 = 60 − 1
  2. 7 · 60 = 420 und 7 · 1 = 7
  3. 420 − 7 = 413
  1. 59 = 60 − 1
  2. 7 · 60 = 420 und 7 · 1 = 7
  3. 420 − 7 = 413
Ergebnis:
413

AchtungBeim Zerlegen einen Teil vergessen

So nicht
7 · 48: 7 · 40 + 8 = 288
So richtig
7 · 48 = 7 · 40 + 7 · 8 = 280 + 56 = 336

Jeder Teil des zerlegten Faktors wird malgenommen, nicht nur der erste.

ÜbenJetzt du

  1. ○7
    Rechne geschickt über die glatte Zahl: 3 · 19
    So fängst du an:
    19 = 20 − 1
    Lösung zeigen
    1. 19 = 20 − 1
    2. 3 · 20 = 60 und 3 · 1 = 3
    3. 60 − 3 = 57
    Ergebnis:
    57
  2. ●8
    Rechne halbschriftlich: Zerlege den zweiten Faktor. 9 · 35
    Lösung zeigen
    1. 35 = 30 + 5
    2. 9 · 30 = 270 und 9 · 5 = 45
    3. 270 + 45 = 315
    Ergebnis:
    315
  3. ★9
    Rechne halbschriftlich: Zerlege den zweiten Faktor. 5 · 55
    Lösung zeigen
    1. 55 = 50 + 5
    2. 5 · 50 = 250 und 5 · 5 = 25
    3. 250 + 25 = 275
    Ergebnis:
    275

4Ich dividiere halbschriftlich, indem ich die Zahl geschickt zerlege.

EntdeckenFrage

Warum ist 25 mal 4 ein Lieblingspaar beim Kopfrechnen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

25 mal 4 ergibt genau 100. Kommen 25 und 4 in einer Malaufgabe vor, fasst man sie zuerst zusammen. Aus 25 · 37 · 4 wird dann 100 · 37 = 3700, ganz ohne schriftliches Rechnen.

MerkenTeilen mit Zerlegen

Die Zahl so zerlegen, dass jeder Teil glatt aufgeht. So wird 385 : 7 zu 350 : 7 + 35 : 7.

BeispielHalbschriftlich dividieren

Zerlege 304 so in zwei Zahlen, dass du beide leicht durch 8 dividieren kannst. Was ergibt 304 : 8?
304: 8
Schritt für Schritt
  1. 304 = 240 + 64
  2. 240 : 8 = 30 und 64 : 8 = 8
  3. 30 + 8 = 38
  1. 304 = 240 + 64
  2. 240 : 8 = 30 und 64 : 8 = 8
  3. 30 + 8 = 38
Ergebnis:
38

AchtungBeim Teilen nicht passend zerlegt

So nicht
385 : 7: 300 : 7 geht nicht glatt → aufgegeben
So richtig
385 : 7 = 350 : 7 + 35 : 7 = 50 + 5 = 55

Jeder Teil muss sich glatt teilen lassen. Erst ein großes Vielfaches abspalten.

ÜbenJetzt du

  1. ○10
    Rechne halbschriftlich: 45 : 3
    So fängst du an:
    45 = 30 + 15
    Lösung zeigen
    1. 45 = 30 + 15
    2. 30 : 3 = 10 und 15 : 3 = 5
    3. 10 + 5 = 15
    Ergebnis:
    15
  2. ●11
    372 Sticker werden gleichmäßig auf 6 Kinder aufgeteilt. Wie viele bekommt jeder Teil? Rechne halbschriftlich.
    Lösung zeigen
    1. 372 : 6
    2. 372 = 360 + 12
    3. 360 : 6 = 60 und 12 : 6 = 2
    4. 60 + 2 = 62
    Ergebnis:
    62 Sticker
  3. ★12
    1022 Murmeln werden gleichmäßig auf 7 Säckchen aufgeteilt. Wie viele bekommt jeder Teil? Rechne halbschriftlich.
    Lösung zeigen
    1. 1022 : 7
    2. 1022 = 980 + 42
    3. 980 : 7 = 140 und 42 : 7 = 6
    4. 140 + 6 = 146
    Ergebnis:
    146 Murmeln

5Ich finde Aufgaben mit gleichem Ergebnis und vergleiche Rechenausdrücke.

EntdeckenFrage

Warum stimmt der Trick „mal 9 ist mal 10 minus einmal“ immer?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Neunmal eine Zahl ist zehnmal die Zahl minus einmal die Zahl. So wird 9 · 47 zu 470 − 47 = 423. Das ist das Verteilungsgesetz: 9 ist 10 minus 1.

MerkenAusdrücke mit gleichem Wert

Verschiedene Rechenausdrücke können denselben Wert haben.

Wer die Rechengesetze nutzt, sieht das oft ohne Ausrechnen.

BeispielAufgaben mit gleichem Ergebnis

Welche Zahl fehlt? Rechne nicht beide Seiten aus. 19 + 27 = 21 + ___
Schritt für Schritt
  1. 19 wird zu 21: 2 mehr.
  2. Damit die Summe gleich bleibt, wird 27 um 2 kleiner.
  3. 27 − 2 = 25
  1. 19 wird zu 21: 2 mehr.
  2. Damit die Summe gleich bleibt, wird 27 um 2 kleiner.
  3. 27 − 2 = 25
Ergebnis:
25

AchtungPunkt vor Strich missachtet

So nicht
9 + 5 · 7 = 14 · 7 = 98
So richtig
9 + 5 · 7 = 9 + 35 = 44

Klammer zuerst, dann Mal und Geteilt, dann Plus und Minus.

ÜbenJetzt du

  1. ○13
    Finde die fehlende Zahl mit einem Rechengesetz: 16 · 15 = 8 · ___
    16 · 15=8 · ?
    So fängst du an:
    16 wird halb so groß: 8.
    Lösung zeigen
    1. 16 wird halb so groß: 8.
    2. Damit das Ergebnis gleich bleibt, wird 15 doppelt so groß.
    3. 15 · 2 = 30
    Ergebnis:
    30
  2. ●14
    Ergänze die Lücke: 6 · 7 = 3 · ___
    6 · 7=3 · ?
    Lösung zeigen
    1. 6 wird halb so groß: 3.
    2. Damit das Ergebnis gleich bleibt, wird 7 doppelt so groß.
    3. 7 · 2 = 14
    Ergebnis:
    14
  3. ★15
    Ergänze die Lücke: 73 − 57 = ___ − 62
    Lösung zeigen
    1. 57 wird zu 62: 5 mehr.
    2. Damit der Abstand bleibt, wird auch 73 um 5 größer.
    3. 73 + 5 = 78
    Ergebnis:
    78

6Ich rechne mit Verdoppeln und Halbieren und prüfe, ob das Ergebnis gleich bleibt.

EntdeckenFrage

Wie merkt man in Sekunden, dass 98 · 102 nicht 99.960 sein kann?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Man rechnet nicht, man überschlägt: 100 · 100 = 10.000. Das Ergebnis muss also in der Nähe von 10.000 liegen. 99.960 ist fast zehnmal so groß und kann nicht stimmen. Richtig ist 9996.

MerkenVerdoppeln und halbieren

Wird ein Faktor verdoppelt und der andere halbiert, bleibt das Produkt gleich.

Werden beide verdoppelt, wird es viermal so groß.

BeispielVerdoppeln und Halbieren

Warum ist 18 · 5 dasselbe wie 9 · 10? Rechne dann geschickt.
Schritt für Schritt
  1. Halb so viele Reihen, jede doppelt so lang: gleich viele Kästchen.
  2. 18 · 5 = 9 · 10
  3. 9 · 10 = 90
  1. Halb so viele Reihen, jede doppelt so lang: gleich viele Kästchen.
  2. 18 · 5 = 9 · 10
  3. 9 · 10 = 90
Ergebnis:
90

AchtungBeide Faktoren verdoppelt

So nicht
8 · 25 → 16 · 50 = 800
So richtig
8 · 25 → 4 · 50 = 200

Nur einer wird verdoppelt, der andere halbiert. Sonst ändert sich das Ergebnis.

ÜbenJetzt du

  1. ○16
    Can verdoppelt bei 16 · 25 beide Faktoren und rechnet 32 · 50. Bleibt das Ergebnis gleich?
    So fängst du an:
    Einmal verdoppeln macht das Ergebnis doppelt so groß, zweimal viermal so groß.
    Lösung zeigen
    1. Einmal verdoppeln macht das Ergebnis doppelt so groß, zweimal viermal so groß.
    2. 32 · 50 = 1600, aber 16 · 25 = 400
    3. Richtig ist: einen verdoppeln, den anderen halbieren.
    Ergebnis:
    Nein, viermal so groß; richtig ist 400
  2. ●17
    Warum ist 8 · 25 dasselbe wie 4 · 50? Rechne dann geschickt.
    Lösung zeigen
    1. Halb so viele Reihen, jede doppelt so lang: gleich viele Kästchen.
    2. 8 · 25 = 4 · 50
    3. 4 · 50 = 200
    Ergebnis:
    200
  3. ★18
    Warum ist 18 · 45 dasselbe wie 9 · 90? Rechne dann geschickt.
    Lösung zeigen
    1. Halb so viele Reihen, jede doppelt so lang: gleich viele Kästchen.
    2. 18 · 45 = 9 · 90
    3. 9 · 90 = 810
    Ergebnis:
    810

7Ich wähle zu einer Aufgabe den passenden Rechenweg.

EntdeckenFrage

Wie rechnen Darts-Profis blitzschnell aus, wie viele Punkte ihnen von 501 noch fehlen, wenn sie 140 geworfen haben?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Der geschickte Weg nimmt erst eine runde Zahl. 500 − 140 = 360, und der eine Extrapunkt kommt dazu: 361. Das geht schneller als 501 − 140 Stelle für Stelle. Am Ergebnis ändert der Weg nichts.

MerkenDen passenden Weg wählen

Vor dem Rechnen die Zahlen ansehen.

Liegt eine Zahl nahe an einer glatten, lohnt sich ein Vorteil, sonst rechnet man schriftlich.

BeispielDen passenden Rechenweg wählen

Welchen Rechenvorteil nutzt du bei 128 + 299? Nenne ihn. Rechne danach.
128 + 299zerlegenhalbieren und verdoppelnschriftlich
Schritt für Schritt
  1. 299 liegt knapp unter 300: gegensinnig verändern.
  2. 128 + 299 = 127 + 300
  3. 127 + 300 = 427
  1. 299 liegt knapp unter 300: gegensinnig verändern.
  2. 128 + 299 = 127 + 300
  3. 127 + 300 = 427
Ergebnis:
gegensinnig verändern, 427

AchtungUmständlichen Weg gewählt

So nicht
299 + 158 schriftlich untereinander gerechnet, dabei verrechnet: 447
So richtig
299 + 158 = 300 + 157 = 457

Erst die Zahlen ansehen: Liegt eine nahe an einer glatten Zahl?

ÜbenJetzt du

  1. ○19
    Welcher Weg passt zu 126 + 399? Nenne ihn. Rechne danach.
    126 + 399zerlegenhalbieren und verdoppelnschriftlich
    So fängst du an:
    399 liegt knapp unter 400: gegensinnig verändern.
    Lösung zeigen
    1. 399 liegt knapp unter 400: gegensinnig verändern.
    2. 126 + 399 = 125 + 400
    3. 125 + 400 = 525
    Ergebnis:
    gegensinnig verändern, 525
  2. ●20
    Welcher Weg passt zu 8 · 83? Nenne ihn. Rechne danach.
    8 · 83zerlegenhalbieren und verdoppelnschriftlich
    Lösung zeigen
    1. Den zweiten Faktor zerlegen: 83 = 80 + 3.
    2. 8 · 80 = 640 und 8 · 3 = 24
    3. Zusammen: 664
    Ergebnis:
    zerlegen, 664
  3. ★21
    Welcher Weg passt zu 24 + 78 + 76? Nenne ihn. Rechne danach.
    24 + 78 + 76zerlegenhalbieren und verdoppelnschriftlich
    Lösung zeigen
    1. Zwei Zahlen ergeben zusammen 100: vertauschen und zusammenfassen.
    2. 24 + 76 = 100
    3. 100 + 78 = 178
    Ergebnis:
    vertauschen, 178

8Ich finde Rechenfehler mit Überschlag und Umkehraufgabe.

EntdeckenFrage

Warum zählt man Rückgeld vom Preis aus nach oben, statt abzuziehen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Wer 13,40 € zahlen muss und 20 € gibt, bekommt 20 − 13,40 = 6,60 € zurück. Beim Hochzählen rechnet man die Umkehraufgabe: 13,40 + 6,60 = 20. Kommt man genau auf den gegebenen Betrag, stimmt das Rückgeld.

MerkenÜberschlag und Umkehraufgabe

Ein Überschlag mit runden Zahlen zeigt, ob ein Ergebnis stimmen kann.

Die Umkehraufgabe prüft es genau.

BeispielRechenfehler mit Überschlag und Umkehraufgabe finden

Can erhält für 21 · 26 das Ergebnis 646. Prüfe mit einem Überschlag.
Schritt für Schritt
  1. Überschlag: 20 · 30 = 600
  2. 646 liegt in der Nähe. Genau rechnen: 21 · 26 = 546
  3. Das Ergebnis ist falsch.
  1. Überschlag: 20 · 30 = 600
  2. 646 liegt in der Nähe. Genau rechnen: 21 · 26 = 546
  3. Das Ergebnis ist falsch.
Ergebnis:
falsch, richtig ist 546

AchtungErgebnis nicht geprüft

So nicht
425 : 5 = 805, ohne Probe ins Heft
So richtig
425 : 5 → Überschlag 400 : 5 = 80 → 85, Probe 85 · 5 = 425

Mit einem Überschlag prüfen, ob die Größenordnung stimmt, dann mit der Umkehraufgabe.

ÜbenJetzt du

  1. ○22
    Lina rechnet 336 : 8 und erhält 42. Prüfe mit der Umkehraufgabe.
    336 : 8Ergebnis 42?
    So fängst du an:
    Umkehraufgabe: 42 · 8 = 336
    Lösung zeigen
    1. Umkehraufgabe: 42 · 8 = 336
    2. 336 ist genau 336: Es stimmt.
    3. 336 : 8 = 42
    Ergebnis:
    stimmt, 42
  2. ●23
    Emma rechnet 280 : 5 und erhält 56. Prüfe mit der Umkehraufgabe.
    280 : 5Ergebnis 56?
    Lösung zeigen
    1. Umkehraufgabe: 56 · 5 = 280
    2. 280 ist genau 280: Es stimmt.
    3. 280 : 5 = 56
    Ergebnis:
    stimmt, 56
  3. ★24
    Mia erhält für 144 · 48 das Ergebnis 7112. Prüfe mit einem Überschlag.
    Lösung zeigen
    1. Überschlag: 100 · 50 = 5000
    2. 7112 liegt in der Nähe. Genau rechnen: 144 · 48 = 6912
    3. Das Ergebnis ist falsch.
    Ergebnis:
    falsch, richtig ist 6912

Vermischte Übungen

Alles durcheinander – wie in der Arbeit. Überleg bei jeder Aufgabe zuerst: Welches Ziel ist das?

Üben

  1. ●25
    Ben rechnet 78 + 48 + 22 von links nach rechts. Zeige einen schnelleren Weg mit einem Rechenvorteil.
    784822
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 78 + 22 + 48
    2. 78 + 22 = 100
    3. 100 + 48 = 148
    Ergebnis:
    148
  2. ●26
    In einem Lager stehen 50 Regale mit je 2 Kisten. In jeder Kiste sind 17 Bälle. Wie viele Bälle sind es? Rechne geschickt.
    50 Regale2 Kisten17 Bälle
    Lösung zeigen
    1. Bälle: 50 · 2 · 17
    2. 50 · 2 = 100
    3. 100 · 17 = 1700
    Ergebnis:
    1700 Bälle
  3. ●27
    Paul rechnet 98 + 49 als 100 + 49. Was muss Paul danach noch tun? Was kommt heraus?
    9849
    Lösung zeigen
    1. Paul hat 98 um 2 vergrößert.
    2. Die Summe ist dadurch um 2 zu groß: 100 + 49 = 149.
    3. 2 wieder abziehen: 149 − 2 = 147
    Ergebnis:
    147
  4. ●28
    Milan rechnet 163 − 38 als 163 − 40 und erhält 123. Ist das schon das Ergebnis?
    163 − 38163 − 40
    Lösung zeigen
    1. Milan hat 2 mehr abgezogen als verlangt.
    2. Beim Minus muss dieser Rest wieder dazu.
    3. 123 + 2 = 125
    Ergebnis:
    Nein, 125
  5. ●29
    Rechne halbschriftlich: Zerlege den zweiten Faktor. 3 · 62
    Lösung zeigen
    1. 62 = 60 + 2
    2. 3 · 60 = 180 und 3 · 2 = 6
    3. 180 + 6 = 186
    Ergebnis:
    186
  6. ●30
    Noah rechnet 6 · 18 so: erst 6 · 10, dann 8 dazu. Noah erhält 68. Zeige am Bild, was fehlt.
    1086
    Lösung zeigen
    1. Der rechte Teil hat 6 Reihen mit je 8 Kästchen, nicht nur 8.
    2. Rechter Teil: 6 · 8 = 48
    3. 60 + 48 = 108
    Ergebnis:
    108

Auf einen Blick

MerkenDas Wichtigste

Vertauschen und zusammenfassen
Beim Plus und beim Mal darf man die Zahlen vertauschen und anders zusammenfassen.
Gegensinnig und gleichsinnig
Bei einer Summe gibt ein Summand ab, was der andere bekommt.
Malnehmen mit Zerlegen
Einen Faktor zerlegen, jeden Teil malnehmen und die Teilergebnisse addieren.
Teilen mit Zerlegen
Die Zahl so zerlegen, dass jeder Teil glatt aufgeht. So wird 385 : 7 zu 350 : 7 + 35 : 7.
Ausdrücke mit gleichem Wert
Verschiedene Rechenausdrücke können denselben Wert haben.
Verdoppeln und halbieren
Wird ein Faktor verdoppelt und der andere halbiert, bleibt das Produkt gleich.
Den passenden Weg wählen
Vor dem Rechnen die Zahlen ansehen.
Überschlag und Umkehraufgabe
Ein Überschlag mit runden Zahlen zeigt, ob ein Ergebnis stimmen kann.

Kannst du das?

Je Ziel eine Aufgabe. Rechne sie ins Heft, dann kreuz ehrlich an. Keine Punkte, keine Note – der Test ist für dich.

ÜbenSelbsttest

  1. Ich rechne Plusaufgaben und Malaufgaben geschickt durch Vertauschen und Zusammenfassen.

    31
    Milan rechnet 15 + 52 + 5 von links nach rechts. Zeige einen schnelleren Weg mit einem Rechenvorteil.
    15525
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    72

  2. Ich verändere Summen gegensinnig und Differenzen gleichsinnig.

    32
    Ergänze so, dass die Summe gleich bleibt: 299 + 52 = 300 + ___
    29952
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    51

  3. Ich nehme halbschriftlich mal, indem ich einen Faktor zerlege.

    33
    Rechne halbschriftlich: Zerlege den zweiten Faktor. 8 · 19
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    152

  4. Ich dividiere halbschriftlich, indem ich die Zahl geschickt zerlege.

    34
    384 Murmeln werden gleichmäßig auf 8 Säckchen aufgeteilt. Wie viele bekommt jeder Teil? Rechne halbschriftlich.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    48 Murmeln

  5. Ich finde Aufgaben mit gleichem Ergebnis und vergleiche Rechenausdrücke.

    35
    Welche Zahl fehlt? Rechne nicht beide Seiten aus. 27 + 77 = 29 + ___
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    75

  6. Ich rechne mit Verdoppeln und Halbieren und prüfe, ob das Ergebnis gleich bleibt.

    36
    Rechne geschickt: Halbiere den einen Faktor und verdopple den anderen. 16 · 25
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    400

  7. Ich wähle zu einer Aufgabe den passenden Rechenweg.

    37
    Welchen Rechenvorteil nutzt du bei 16 · 25? Nenne ihn. Rechne danach.
    16 · 25zerlegenhalbieren und verdoppelnschriftlich
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    halbieren und verdoppeln, 400

  8. Ich finde Rechenfehler mit Überschlag und Umkehraufgabe.

    38
    Noah erhält für 54 · 42 das Ergebnis 2068. Prüfe mit einem Überschlag.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    falsch, richtig ist 2268

Bei „unsicher“ oder „noch nicht“: Lies den Abschnitt zum Ziel noch einmal und rechne seine drei Aufgaben.

Die Frage vom Anfang

EntdeckenRückschau

Rechne im Kopf, so schnell du kannst: 25 · 17 · 4. Schreib nichts auf und nimm keinen Taschenrechner.

Lies deine Vermutung vom Anfang. Kannst du die Frage jetzt mit dem Kapitel beantworten?

Auflösung

Mit dem Werkzeug aus diesem Kapitel: Vertauschen und Zusammenfassen: erst die Zahlen, die zusammen glatt werden.

Wo brauchst du das?

Entdecken

Preise im Kopf addieren, Rückgeld überschlagen, Mengen für ein Fest ausrechnen. Beruf: Kasse und Verkauf, Handwerk beim Materialberechnen, Lager und Versand.

Wörter

Differenz
was übrig bleibt, wenn man abzieht
Gleichung
zwei Rechnungen, die gleich viel wert sind
Produkt
was herauskommt, wenn man malnimmt
Summe
was herauskommt, wenn man zusammenzählt
Teiler
eine Zahl, durch die es ohne Rest aufgeht

Wie es zusammenhängt

Das brauchst du vorher: Rechenregeln, Teiler und Vielfache, Natürliche Zahlen und Stellenwert

Darauf baut auf: Sachaufgaben lösen

Lösungen

  1. 136
  2. 116
  3. 421
  4. 162
  5. 91
  6. 266
  7. 57
  8. 315
  9. 275
  10. 15
  11. 62 Sticker
  12. 146 Murmeln
  13. 30
  14. 14
  15. 78
  16. Nein, viermal so groß; richtig ist 400
  17. 200
  18. 810
  19. gegensinnig verändern, 525
  20. zerlegen, 664
  21. vertauschen, 178
  22. stimmt, 42
  23. stimmt, 56
  24. falsch, richtig ist 6912
  25. 148
  26. 1700 Bälle
  27. 147
  28. Nein, 125
  29. 186
  30. 108
  31. 72
  32. 51
  33. 152
  34. 48 Murmeln
  35. 75
  36. 400
  37. halbieren und verdoppeln, 400
  38. falsch, richtig ist 2268
  39. 17
  40. 50
  41. 43
  42. 39