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Mathematik · Klasse 5 · Kapitel

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Rechengesetze und Rechenvorteile

EntdeckenDie Frage zum Kapitel

Rechne im Kopf, so schnell du kannst: 25 · 17 · 4. Schreib nichts auf und nimm keinen Taschenrechner.

Schreib eine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Für die Lehrkraft: Die meisten rechnen von links: 25 · 17 und kommen durcheinander. Andere geben auf oder raten. Nur wenige sehen, dass 25 und 4 zusammen 100 ergeben. Beim Malnehmen darf man die Zahlen vertauschen. Dann steht 25 · 4 · 17 da, also 100 · 17. Das Ergebnis ist 1700, in einer Sekunde.

  • Entdecken Frage, Vorstellung, Bild
  • Merken kommt ins Heft
  • Beispiel vorgerechnet, Schritt für Schritt
  • Üben selbst rechnen
  • Achtung typischer Fehler
  • Weiterdenken zum Knobeln und Vernetzen

○ mit Starthilfe, ● für alle, ★ zum Weiterdenken. Du wählst mindestens eine ★-Aufgabe. Du rechnest ins Heft.

Fit für das Kapitel?

Das brauchst du aus früheren Themen. Klappt es nicht, frag nach, bevor es losgeht.

ÜbenWeißt du das noch?

Punkt vor Strich und Klammer zuerst – so steht es seit Klasse 4 im Heft.

  1. ●39
    Rechne: 21 − 2 · 8
    Lösung zeigen
    1. Punkt vor Strich: erst 2 · 8 = 16
    2. 21 − 16 = 5
    Ergebnis:
    5
  2. ●40
    Rechne: (9 + 7) · 4
    Lösung zeigen
    1. Die Klammer zuerst: 9 + 7 = 16
    2. 16 · 4 = 64
    Ergebnis:
    64

ÜbenWeißt du das noch?

Punkt vor Strich und Klammer zuerst – die Reihenfolge entscheidet über das Ergebnis.

  1. ●41
    Berechne: 7 + 8 · 7
    Lösung zeigen
    1. Punkt vor Strich: erst 8 · 7 = 56
    2. 7 + 56 = 63
    Ergebnis:
    63
  2. ●42
    Ich denke mir eine Zahl, addiere 28 und erhalte 65. Welche Zahl war es? (Umkehraufgabe)
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    37

So kannst du es dir vorstellen

EntdeckenZahlen umbauen, ohne den Wert zu ändern

Eine Rechnung lässt sich umbauen, ohne dass sich ihr Wert ändert. Zahlen tauschen die Plätze, bilden neue Gruppen oder werden zerlegt. Wer das sieht, rechnet mit glatten Zahlen statt mit krummen.

17 plus 38 plus 3: Erst 17 und 3 zu 20 zusammenfassen, dann 20 plus 38 sind 5817 + 38 + 317 + 3 = 20= 20 + 38 = 58

WeiterdenkenDenk nach

Warum darf man bei 25 + 38 + 75 zuerst 25 und 75 addieren, bei 50 − 20 − 10 aber nicht zuerst 20 − 10?

1Ich rechne Plusaufgaben und Malaufgaben geschickt durch Vertauschen und Zusammenfassen.

EntdeckenFrage

Wie konnte der neunjährige Carl Friedrich Gauß die Zahlen von 1 bis 100 in wenigen Minuten addieren?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Er hat die Zahlen in Paare umsortiert: 1 und 100, 2 und 99, 3 und 98. Jedes Paar ergibt 101, und es sind 50 Paare. Also 50 · 101 = 5050. Er hat nur vertauscht und neu zusammengefasst.

MerkenVertauschen und zusammenfassen

Beim Plus und beim Mal darf man die Zahlen vertauschen und anders zusammenfassen.

Erst die Zahlen nehmen, die zusammen glatt werden.

BeispielPlusaufgaben geschickt: vertauschen und zusammenfassen

Welche Zahlen fasst du bei 5 + 72 + 25 zuerst zusammen? Begründe. Rechne danach.
57225
Schritt für Schritt
  1. Vertauschen: 5 + 25 + 72
  2. 5 + 25 = 30
  3. Zusammen glatt, der Rest ist leicht: 30 + 72 = 102
  1. Vertauschen: 5 + 25 + 72
  2. 5 + 25 = 30
  3. Zusammen glatt, der Rest ist leicht: 30 + 72 = 102
Ergebnis:
102

AchtungBeim Minus oder Geteilt vertauscht

So nicht
50 − 20 − 10: erst 20 − 10 = 10, dann 50 − 10 = 40
So richtig
50 − 20 − 10 = 30 − 10 = 20

Vertauschen ist nur beim Plus und beim Mal erlaubt. 20 − 5 ist nicht 5 − 20.

ÜbenJetzt du

  1. ○1
    Ben rechnet 22 + 86 + 8 von links nach rechts. Zeige einen schnelleren Weg mit einem Rechenvorteil.
    22868
    So fängst du an:
    Vertauschen: 22 + 8 + 86
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 22 + 8 + 86
    2. 22 + 8 = 30
    3. 30 + 86 = 116
    Ergebnis:
    116
  2. ●2
    Elias rechnet 17 + 15 + 23 von links nach rechts. Zeige einen schnelleren Weg mit einem Rechenvorteil.
    171523
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 17 + 23 + 15
    2. 17 + 23 = 40
    3. 40 + 15 = 55
    Ergebnis:
    55
  3. ★3
    Rechne geschickt: 112 + 581 + 88
    11258188
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 112 + 88 + 581
    2. 112 + 88 = 200
    3. 200 + 581 = 781
    Ergebnis:
    781

2Ich verändere Summen gegensinnig und Differenzen gleichsinnig.

EntdeckenFrage

Warum rechnen Kassiererinnen 3,99 € mal 4 schneller als ein Kunde mit Papier?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Sie rechnen 4 mal 4 € und ziehen dann 4 Cent ab: 16,00 € − 0,04 € = 15,96 €. Das ist Zerlegen: 3,99 ist 4 minus 1 Cent. Der Rechenweg ist kurz, weil er über die glatte Zahl geht.

MerkenGegensinnig und gleichsinnig

Bei einer Summe gibt ein Summand ab, was der andere bekommt.

Bei einer Differenz ändern sich beide Zahlen gleich, der Abstand bleibt.

BeispielSummen gegensinnig verändern

Aylin rechnet 97 + 47 als 100 + 47. Was muss Aylin danach noch tun? Was kommt heraus?
9747
Schritt für Schritt
  1. Aylin hat 97 um 3 vergrößert.
  2. Die Summe ist dadurch um 3 zu groß: 100 + 47 = 147.
  3. 3 wieder abziehen: 147 − 3 = 144
  1. Aylin hat 97 um 3 vergrößert.
  2. Die Summe ist dadurch um 3 zu groß: 100 + 47 = 147.
  3. 3 wieder abziehen: 147 − 3 = 144
Ergebnis:
144

AchtungNur eine Zahl verändert

So nicht
143 − 97: 143 − 100 = 43
So richtig
143 − 97 = 146 − 100 = 46

Bei der Summe gegensinnig, bei der Differenz gleichsinnig: Immer beide Zahlen verändern.

ÜbenJetzt du

  1. ○4
    Rechne geschickt durch gegensinniges Verändern: 99 + 28
    9928
    So fängst du an:
    99 bekommt 1 dazu, 28 gibt 1 ab.
    Lösung zeigen
    1. 99 bekommt 1 dazu, 28 gibt 1 ab.
    2. 99 + 28 = 100 + 27
    3. 100 + 27 = 127
    Ergebnis:
    127
  2. ●5
    Ergänze so, dass die Summe gleich bleibt: 37 + 35 = 40 + ___
    3735
    Lösung zeigen
    1. 37 wird zu 40: 3 mehr.
    2. Also muss 35 um 3 kleiner werden: 35 − 3 = 32
    3. 40 + 32 = 72
    Ergebnis:
    32
  3. ★6
    Ergänze so, dass die Summe gleich bleibt: 499 + 616 = 500 + ___
    499616
    Lösung zeigen
    1. 499 wird zu 500: 1 mehr.
    2. Also muss 616 um 1 kleiner werden: 616 − 1 = 615
    3. 500 + 615 = 1115
    Ergebnis:
    615

3Ich nehme halbschriftlich mal, indem ich einen Faktor zerlege.

EntdeckenFrage

Wie haben Bauern in Russland früher ohne Einmaleins multipliziert?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Sie haben eine Zahl immer halbiert und die andere verdoppelt, bis links eine 1 stand. Dann addierten sie die rechten Zahlen der Zeilen mit ungerader linker Zahl. Das Verfahren heißt russische Bauernmultiplikation und nutzt, dass Verdoppeln und Halbieren das Produkt nicht ändert.

Ausprobieren: Malnehmen am Rechteck

Länge und Höhe in Teile zerlegen – das Rechteck zerfällt in Teilrechtecke, und jedes ist eine leichte Malaufgabe.

MerkenMalnehmen mit Zerlegen

Einen Faktor zerlegen, jeden Teil malnehmen und die Teilergebnisse addieren.

So wird 7 · 48 zu 7 · 40 + 7 · 8.

BeispielHalbschriftlich malnehmen mit Zerlegen

Es gibt 9 Tüten mit je 65 Bonbons. Wie viele Bonbons sind es? Rechne halbschriftlich.
Schritt für Schritt
  1. 9 · 65
  2. 65 = 60 + 5
  3. 9 · 60 = 540 und 9 · 5 = 45
  4. 540 + 45 = 585
  1. 9 · 65
  2. 65 = 60 + 5
  3. 9 · 60 = 540 und 9 · 5 = 45
  4. 540 + 45 = 585
Ergebnis:
585 Bonbons

AchtungBeim Zerlegen einen Teil vergessen

So nicht
7 · 48: 7 · 40 + 8 = 288
So richtig
7 · 48 = 7 · 40 + 7 · 8 = 280 + 56 = 336

Jeder Teil des zerlegten Faktors wird malgenommen, nicht nur der erste.

ÜbenJetzt du

  1. ○7
    Rechne geschickt über die glatte Zahl: 7 · 49
    So fängst du an:
    49 = 50 − 1
    Lösung zeigen
    1. 49 = 50 − 1
    2. 7 · 50 = 350 und 7 · 1 = 7
    3. 350 − 7 = 343
    Ergebnis:
    343
  2. ●8
    Es gibt 5 Reihen mit je 36 Stühle. Wie viele Stühle sind es? Rechne halbschriftlich.
    Lösung zeigen
    1. 5 · 36
    2. 36 = 30 + 6
    3. 5 · 30 = 150 und 5 · 6 = 30
    4. 150 + 30 = 180
    Ergebnis:
    180 Stühle
  3. ★9
    Rechne halbschriftlich: Zerlege den zweiten Faktor. 3 · 84
    Lösung zeigen
    1. 84 = 80 + 4
    2. 3 · 80 = 240 und 3 · 4 = 12
    3. 240 + 12 = 252
    Ergebnis:
    252

4Ich dividiere halbschriftlich, indem ich die Zahl geschickt zerlege.

EntdeckenFrage

Warum ist 25 mal 4 ein Lieblingspaar beim Kopfrechnen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

25 mal 4 ergibt genau 100. Kommen 25 und 4 in einer Malaufgabe vor, fasst man sie zuerst zusammen. Aus 25 · 37 · 4 wird dann 100 · 37 = 3700, ganz ohne schriftliches Rechnen.

MerkenTeilen mit Zerlegen

Die Zahl so zerlegen, dass jeder Teil glatt aufgeht. So wird 385 : 7 zu 350 : 7 + 35 : 7.

BeispielHalbschriftlich dividieren

Zerlege 190 so in zwei Zahlen, dass du beide leicht durch 5 dividieren kannst. Was ergibt 190 : 5?
190: 5
Schritt für Schritt
  1. 190 = 150 + 40
  2. 150 : 5 = 30 und 40 : 5 = 8
  3. 30 + 8 = 38
  1. 190 = 150 + 40
  2. 150 : 5 = 30 und 40 : 5 = 8
  3. 30 + 8 = 38
Ergebnis:
38

AchtungBeim Teilen nicht passend zerlegt

So nicht
385 : 7: 300 : 7 geht nicht glatt → aufgegeben
So richtig
385 : 7 = 350 : 7 + 35 : 7 = 50 + 5 = 55

Jeder Teil muss sich glatt teilen lassen. Erst ein großes Vielfaches abspalten.

ÜbenJetzt du

  1. ○10
    Zerlege 324 so in zwei Zahlen, dass du beide leicht durch 6 dividieren kannst. Was ergibt 324 : 6?
    324: 6
    So fängst du an:
    324 = 300 + 24
    Lösung zeigen
    1. 324 = 300 + 24
    2. 300 : 6 = 50 und 24 : 6 = 4
    3. 50 + 4 = 54
    Ergebnis:
    54
  2. ●11
    Rechne halbschriftlich: 174 : 3
    Lösung zeigen
    1. 174 = 150 + 24
    2. 150 : 3 = 50 und 24 : 3 = 8
    3. 50 + 8 = 58
    Ergebnis:
    58
  3. ★12
    Zerlege 855 so in zwei Zahlen, dass du beide leicht durch 5 dividieren kannst. Was ergibt 855 : 5?
    855: 5
    Lösung zeigen
    1. 855 = 850 + 5
    2. 850 : 5 = 170 und 5 : 5 = 1
    3. 170 + 1 = 171
    Ergebnis:
    171

5Ich finde Aufgaben mit gleichem Ergebnis und vergleiche Rechenausdrücke.

EntdeckenFrage

Warum stimmt der Trick „mal 9 ist mal 10 minus einmal“ immer?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Neunmal eine Zahl ist zehnmal die Zahl minus einmal die Zahl. So wird 9 · 47 zu 470 − 47 = 423. Das ist das Verteilungsgesetz: 9 ist 10 minus 1.

MerkenAusdrücke mit gleichem Wert

Verschiedene Rechenausdrücke können denselben Wert haben.

Wer die Rechengesetze nutzt, sieht das oft ohne Ausrechnen.

BeispielAufgaben mit gleichem Ergebnis

Finde die fehlende Zahl mit einem Rechengesetz: 46 − 28 = ___ − 38
Schritt für Schritt
  1. 28 wird zu 38: 10 mehr.
  2. Damit der Abstand bleibt, wird auch 46 um 10 größer.
  3. 46 + 10 = 56
  1. 28 wird zu 38: 10 mehr.
  2. Damit der Abstand bleibt, wird auch 46 um 10 größer.
  3. 46 + 10 = 56
Ergebnis:
56

AchtungPunkt vor Strich missachtet

So nicht
9 + 5 · 7 = 14 · 7 = 98
So richtig
9 + 5 · 7 = 9 + 35 = 44

Klammer zuerst, dann Mal und Geteilt, dann Plus und Minus.

ÜbenJetzt du

  1. ○13
    Welche Zahl fehlt? Rechne nicht beide Seiten aus. 59 − 50 = ___ − 52
    So fängst du an:
    50 wird zu 52: 2 mehr.
    Lösung zeigen
    1. 50 wird zu 52: 2 mehr.
    2. Damit der Abstand bleibt, wird auch 59 um 2 größer.
    3. 59 + 2 = 61
    Ergebnis:
    61
  2. ●14
    Welche Zahl fehlt? Rechne nicht beide Seiten aus. 4 · 7 = 2 · ___
    Lösung zeigen
    1. 4 wird halb so groß: 2.
    2. Damit das Ergebnis gleich bleibt, wird 7 doppelt so groß.
    3. 7 · 2 = 14
    Ergebnis:
    14
  3. ★15
    Welche Zahl fehlt? Rechne nicht beide Seiten aus. 83 − 40 = ___ − 45
    Lösung zeigen
    1. 40 wird zu 45: 5 mehr.
    2. Damit der Abstand bleibt, wird auch 83 um 5 größer.
    3. 83 + 5 = 88
    Ergebnis:
    88

6Ich rechne mit Verdoppeln und Halbieren und prüfe, ob das Ergebnis gleich bleibt.

EntdeckenFrage

Wie merkt man in Sekunden, dass 98 · 102 nicht 99.960 sein kann?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Man rechnet nicht, man überschlägt: 100 · 100 = 10.000. Das Ergebnis muss also in der Nähe von 10.000 liegen. 99.960 ist fast zehnmal so groß und kann nicht stimmen. Richtig ist 9996.

MerkenVerdoppeln und halbieren

Wird ein Faktor verdoppelt und der andere halbiert, bleibt das Produkt gleich.

Werden beide verdoppelt, wird es viermal so groß.

BeispielVerdoppeln und Halbieren

Warum ist 16 · 5 dasselbe wie 8 · 10? Rechne dann geschickt.
Schritt für Schritt
  1. Halb so viele Reihen, jede doppelt so lang: gleich viele Kästchen.
  2. 16 · 5 = 8 · 10
  3. 8 · 10 = 80
  1. Halb so viele Reihen, jede doppelt so lang: gleich viele Kästchen.
  2. 16 · 5 = 8 · 10
  3. 8 · 10 = 80
Ergebnis:
80

AchtungBeide Faktoren verdoppelt

So nicht
8 · 25 → 16 · 50 = 800
So richtig
8 · 25 → 4 · 50 = 200

Nur einer wird verdoppelt, der andere halbiert. Sonst ändert sich das Ergebnis.

ÜbenJetzt du

  1. ○16
    Hanna verdoppelt bei 16 · 25 beide Faktoren und rechnet 32 · 50. Bleibt das Ergebnis gleich?
    So fängst du an:
    Einmal verdoppeln macht das Ergebnis doppelt so groß, zweimal viermal so groß.
    Lösung zeigen
    1. Einmal verdoppeln macht das Ergebnis doppelt so groß, zweimal viermal so groß.
    2. 32 · 50 = 1600, aber 16 · 25 = 400
    3. Richtig ist: einen verdoppeln, den anderen halbieren.
    Ergebnis:
    Nein, viermal so groß; richtig ist 400
  2. ●17
    Rechne geschickt: Halbiere den einen Faktor und verdopple den anderen. 14 · 15
    Lösung zeigen
    1. 14 · 15 = 7 · 30
    2. 7 · 30 = 210
    Ergebnis:
    210
  3. ★18
    Aylin verdoppelt bei 18 · 45 beide Faktoren und rechnet 36 · 90. Bleibt das Ergebnis gleich?
    Lösung zeigen
    1. Einmal verdoppeln macht das Ergebnis doppelt so groß, zweimal viermal so groß.
    2. 36 · 90 = 3240, aber 18 · 45 = 810
    3. Richtig ist: einen verdoppeln, den anderen halbieren.
    Ergebnis:
    Nein, viermal so groß; richtig ist 810

7Ich wähle zu einer Aufgabe den passenden Rechenweg.

EntdeckenFrage

Wie rechnen Darts-Profis blitzschnell aus, wie viele Punkte ihnen von 501 noch fehlen, wenn sie 140 geworfen haben?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Der geschickte Weg nimmt erst eine runde Zahl. 500 − 140 = 360, und der eine Extrapunkt kommt dazu: 361. Das geht schneller als 501 − 140 Stelle für Stelle. Am Ergebnis ändert der Weg nichts.

MerkenDen passenden Weg wählen

Vor dem Rechnen die Zahlen ansehen.

Liegt eine Zahl nahe an einer glatten, lohnt sich ein Vorteil, sonst rechnet man schriftlich.

BeispielDen passenden Rechenweg wählen

Welchen Rechenvorteil nutzt du bei 7 · 60? Nenne ihn. Rechne danach.
7 · 60zerlegenhalbieren und verdoppelnschriftlich
Schritt für Schritt
  1. Den zweiten Faktor zerlegen: 60 = 60 + 0.
  2. 7 · 60 = 420 und 7 · 0 = 0
  3. Zusammen: 420
  1. Den zweiten Faktor zerlegen: 60 = 60 + 0.
  2. 7 · 60 = 420 und 7 · 0 = 0
  3. Zusammen: 420
Ergebnis:
zerlegen, 420

AchtungUmständlichen Weg gewählt

So nicht
299 + 158 schriftlich untereinander gerechnet, dabei verrechnet: 447
So richtig
299 + 158 = 300 + 157 = 457

Erst die Zahlen ansehen: Liegt eine nahe an einer glatten Zahl?

ÜbenJetzt du

  1. ○19
    Welcher Weg passt zu 187 + 399? Nenne ihn. Rechne danach.
    187 + 399zerlegenhalbieren und verdoppelnschriftlich
    So fängst du an:
    399 liegt knapp unter 400: gegensinnig verändern.
    Lösung zeigen
    1. 399 liegt knapp unter 400: gegensinnig verändern.
    2. 187 + 399 = 186 + 400
    3. 186 + 400 = 586
    Ergebnis:
    gegensinnig verändern, 586
  2. ●20
    Wie rechnest du am schnellsten: 31 + 38 + 69? Nenne ihn. Rechne danach.
    Lösung zeigen
    1. Zwei Zahlen ergeben zusammen 100: vertauschen und zusammenfassen.
    2. 31 + 69 = 100
    3. 100 + 38 = 138
    Ergebnis:
    vertauschen, 138
  3. ★21
    Welcher Weg passt zu 9 · 26? Nenne ihn. Rechne danach.
    9 · 26zerlegenhalbieren und verdoppelnschriftlich
    Lösung zeigen
    1. Den zweiten Faktor zerlegen: 26 = 20 + 6.
    2. 9 · 20 = 180 und 9 · 6 = 54
    3. Zusammen: 234
    Ergebnis:
    zerlegen, 234

8Ich finde Rechenfehler mit Überschlag und Umkehraufgabe.

EntdeckenFrage

Warum zählt man Rückgeld vom Preis aus nach oben, statt abzuziehen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Wer 13,40 € zahlen muss und 20 € gibt, bekommt 20 − 13,40 = 6,60 € zurück. Beim Hochzählen rechnet man die Umkehraufgabe: 13,40 + 6,60 = 20. Kommt man genau auf den gegebenen Betrag, stimmt das Rückgeld.

MerkenÜberschlag und Umkehraufgabe

Ein Überschlag mit runden Zahlen zeigt, ob ein Ergebnis stimmen kann.

Die Umkehraufgabe prüft es genau.

BeispielRechenfehler mit Überschlag und Umkehraufgabe finden

Tom erhält für 56 · 28 das Ergebnis 1568. Prüfe mit einem Überschlag.
Schritt für Schritt
  1. Überschlag: 60 · 30 = 1800
  2. 1568 liegt in der Nähe. Genau rechnen: 56 · 28 = 1568
  3. Das Ergebnis stimmt.
  1. Überschlag: 60 · 30 = 1800
  2. 1568 liegt in der Nähe. Genau rechnen: 56 · 28 = 1568
  3. Das Ergebnis stimmt.
Ergebnis:
stimmt, 1568

AchtungErgebnis nicht geprüft

So nicht
425 : 5 = 805, ohne Probe ins Heft
So richtig
425 : 5 → Überschlag 400 : 5 = 80 → 85, Probe 85 · 5 = 425

Mit einem Überschlag prüfen, ob die Größenordnung stimmt, dann mit der Umkehraufgabe.

ÜbenJetzt du

  1. ○22
    Milan rechnet 747 : 9 und erhält 84. Prüfe mit der Umkehraufgabe.
    747 : 9Ergebnis 84?
    So fängst du an:
    Umkehraufgabe: 84 · 9 = 756
    Lösung zeigen
    1. Umkehraufgabe: 84 · 9 = 756
    2. 756 ist nicht 747: Es ist falsch.
    3. 747 : 9 = 83
    Ergebnis:
    falsch, richtig ist 83
  2. ●23
    Lina rechnet 651 : 7 und erhält 95. Prüfe mit der Umkehraufgabe.
    651 : 7Ergebnis 95?
    Lösung zeigen
    1. Umkehraufgabe: 95 · 7 = 665
    2. 665 ist nicht 651: Es ist falsch.
    3. 651 : 7 = 93
    Ergebnis:
    falsch, richtig ist 93
  3. ★24
    Sofia rechnet 2552 − 1647 und erhält 895. Prüfe mit der Umkehraufgabe.
    Lösung zeigen
    1. Umkehraufgabe: 895 + 1647 = 2542
    2. 2542 ist nicht 2552: Es ist falsch.
    3. 2552 − 1647 = 905
    Ergebnis:
    falsch, richtig ist 905

Vermischte Übungen

Alles durcheinander – wie in der Arbeit. Überleg bei jeder Aufgabe zuerst: Welches Ziel ist das?

Üben

  1. ●25
    Rechne geschickt: 37 + 78 + 23
    377823
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 37 + 23 + 78
    2. 37 + 23 = 60
    3. 60 + 78 = 138
    Ergebnis:
    138
  2. ●26
    In einem Lager stehen 2 Regale mit je 5 Packungen. In jeder Packung sind 19 Bälle. Wie viele Bälle sind es? Rechne geschickt.
    2 Regale5 Packungen19 Bälle
    Lösung zeigen
    1. Bälle: 2 · 5 · 19
    2. 2 · 5 = 10
    3. 10 · 19 = 190
    Ergebnis:
    190 Bälle
  3. ●27
    Ergänze so, dass die Summe gleich bleibt: 49 + 63 = 50 + ___
    4963
    Lösung zeigen
    1. 49 wird zu 50: 1 mehr.
    2. Also muss 63 um 1 kleiner werden: 63 − 1 = 62
    3. 50 + 62 = 112
    Ergebnis:
    62
  4. ●28
    Ergänze so, dass die Differenz gleich bleibt: 220 − 199 = ___ − 200
    Lösung zeigen
    1. 199 wird zu 200: 1 mehr.
    2. Damit der Abstand bleibt, wird auch 220 um 1 größer: 221.
    3. 221 − 200 = 21
    Ergebnis:
    221
  5. ●29
    Rechne halbschriftlich: Zerlege den zweiten Faktor. 6 · 54
    Lösung zeigen
    1. 54 = 50 + 4
    2. 6 · 50 = 300 und 6 · 4 = 24
    3. 300 + 24 = 324
    Ergebnis:
    324
  6. ●30
    Ein Rechteck hat 5 Reihen mit je 24 Kästchen. Die rote Linie teilt es. Wie viele Kästchen sind es?
    2045
    Lösung zeigen
    1. Linker Teil: 5 · 20 = 100
    2. Rechter Teil: 5 · 4 = 20
    3. Zusammen: 100 + 20 = 120
    Ergebnis:
    120 Kästchen

Auf einen Blick

MerkenDas Wichtigste

Vertauschen und zusammenfassen
Beim Plus und beim Mal darf man die Zahlen vertauschen und anders zusammenfassen.
Gegensinnig und gleichsinnig
Bei einer Summe gibt ein Summand ab, was der andere bekommt.
Malnehmen mit Zerlegen
Einen Faktor zerlegen, jeden Teil malnehmen und die Teilergebnisse addieren.
Teilen mit Zerlegen
Die Zahl so zerlegen, dass jeder Teil glatt aufgeht. So wird 385 : 7 zu 350 : 7 + 35 : 7.
Ausdrücke mit gleichem Wert
Verschiedene Rechenausdrücke können denselben Wert haben.
Verdoppeln und halbieren
Wird ein Faktor verdoppelt und der andere halbiert, bleibt das Produkt gleich.
Den passenden Weg wählen
Vor dem Rechnen die Zahlen ansehen.
Überschlag und Umkehraufgabe
Ein Überschlag mit runden Zahlen zeigt, ob ein Ergebnis stimmen kann.

Kannst du das?

Je Ziel eine Aufgabe. Rechne sie ins Heft, dann kreuz ehrlich an. Keine Punkte, keine Note – der Test ist für dich.

ÜbenSelbsttest

  1. Ich rechne Plusaufgaben und Malaufgaben geschickt durch Vertauschen und Zusammenfassen.

    31
    Welche Zahlen fasst du bei 76 + 32 + 24 zuerst zusammen? Begründe. Rechne danach.
    763224
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    132

  2. Ich verändere Summen gegensinnig und Differenzen gleichsinnig.

    32
    Rechne geschickt durch gegensinniges Verändern: 99 + 34
    9934
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    133

  3. Ich nehme halbschriftlich mal, indem ich einen Faktor zerlege.

    33
    Rechne geschickt über die glatte Zahl: 7 · 39
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    273

  4. Ich dividiere halbschriftlich, indem ich die Zahl geschickt zerlege.

    34
    168 Murmeln werden gleichmäßig auf 4 Säckchen aufgeteilt. Wie viele bekommt jeder Teil? Rechne halbschriftlich.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    42 Murmeln

  5. Ich finde Aufgaben mit gleichem Ergebnis und vergleiche Rechenausdrücke.

    35
    Welche Zahl fehlt? Rechne nicht beide Seiten aus. 4 · 12 = 2 · ___
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    24

  6. Ich rechne mit Verdoppeln und Halbieren und prüfe, ob das Ergebnis gleich bleibt.

    36
    Rechne geschickt: Halbiere den einen Faktor und verdopple den anderen. 12 · 15
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    180

  7. Ich wähle zu einer Aufgabe den passenden Rechenweg.

    37
    Welchen Rechenvorteil nutzt du bei 19 + 52 + 81? Nenne ihn. Rechne danach.
    19 + 52 + 81zerlegenhalbieren und verdoppelnschriftlich
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    vertauschen, 152

  8. Ich finde Rechenfehler mit Überschlag und Umkehraufgabe.

    38
    Sofia erhält für 34 · 30 das Ergebnis 1220. Prüfe mit einem Überschlag.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    falsch, richtig ist 1020

Bei „unsicher“ oder „noch nicht“: Lies den Abschnitt zum Ziel noch einmal und rechne seine drei Aufgaben.

Die Frage vom Anfang

EntdeckenRückschau

Rechne im Kopf, so schnell du kannst: 25 · 17 · 4. Schreib nichts auf und nimm keinen Taschenrechner.

Lies deine Vermutung vom Anfang. Kannst du die Frage jetzt mit dem Kapitel beantworten?

Auflösung

Mit dem Werkzeug aus diesem Kapitel: Vertauschen und Zusammenfassen: erst die Zahlen, die zusammen glatt werden.

Wo brauchst du das?

Entdecken

Preise im Kopf addieren, Rückgeld überschlagen, Mengen für ein Fest ausrechnen. Beruf: Kasse und Verkauf, Handwerk beim Materialberechnen, Lager und Versand.

Wörter

Differenz
was übrig bleibt, wenn man abzieht
Gleichung
zwei Rechnungen, die gleich viel wert sind
Produkt
was herauskommt, wenn man malnimmt
Summe
was herauskommt, wenn man zusammenzählt
Teiler
eine Zahl, durch die es ohne Rest aufgeht

Wie es zusammenhängt

Das brauchst du vorher: Rechenregeln, Teiler und Vielfache, Natürliche Zahlen und Stellenwert

Darauf baut auf: Sachaufgaben lösen

Lösungen

  1. 116
  2. 55
  3. 781
  4. 127
  5. 32
  6. 615
  7. 343
  8. 180 Stühle
  9. 252
  10. 54
  11. 58
  12. 171
  13. 61
  14. 14
  15. 88
  16. Nein, viermal so groß; richtig ist 400
  17. 210
  18. Nein, viermal so groß; richtig ist 810
  19. gegensinnig verändern, 586
  20. vertauschen, 138
  21. zerlegen, 234
  22. falsch, richtig ist 83
  23. falsch, richtig ist 93
  24. falsch, richtig ist 905
  25. 138
  26. 190 Bälle
  27. 62
  28. 221
  29. 324
  30. 120 Kästchen
  31. 132
  32. 133
  33. 273
  34. 42 Murmeln
  35. 24
  36. 180
  37. vertauschen, 152
  38. falsch, richtig ist 1020
  39. 5
  40. 64
  41. 63
  42. 37