Mathematik · Klasse 5 · Kapitel

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Rechengesetze und Rechenvorteile

EntdeckenDie Frage zum Kapitel

Rechne im Kopf, so schnell du kannst: 25 · 17 · 4. Schreib nichts auf und nimm keinen Taschenrechner.

Schreib eine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Für die Lehrkraft: Die meisten rechnen von links: 25 · 17 und kommen durcheinander. Andere geben auf oder raten. Nur wenige sehen, dass 25 und 4 zusammen 100 ergeben. Beim Malnehmen darf man die Zahlen vertauschen. Dann steht 25 · 4 · 17 da, also 100 · 17. Das Ergebnis ist 1700, in einer Sekunde.

Entdecken Frage, Vorstellung, Bild
Merken kommt ins Heft
Beispiel vorgerechnet, Schritt für Schritt
Üben selbst rechnen
Achtung typischer Fehler
Weiterdenken zum Knobeln und Vernetzen

○ mit Starthilfe, ● für alle, ★ zum Weiterdenken. Du wählst mindestens eine ★-Aufgabe. Du rechnest ins Heft.

Fit für das Kapitel?

Das brauchst du aus früheren Themen. Klappt es nicht, frag nach, bevor es losgeht.

ÜbenWeißt du das noch?

Punkt vor Strich und Klammer zuerst – so steht es seit Klasse 4 im Heft.

●39
Rechne: 5 + 4 · 6
Lösung zeigen
1. Punkt vor Strich: erst 4 · 6 = 24
2. 5 + 24 = 29
Ergebnis:
29
●40
Rechne: (8 + 6) · 5
Lösung zeigen
1. Die Klammer zuerst: 8 + 6 = 14
2. 14 · 5 = 70
Ergebnis:
70

ÜbenWeißt du das noch?

Punkt vor Strich und Klammer zuerst – die Reihenfolge entscheidet über das Ergebnis.

●41
Berechne: 6 + 7 · 5
Lösung zeigen
1. Punkt vor Strich: erst 7 · 5 = 35
2. 6 + 35 = 41
Ergebnis:
41
●42
Ich denke mir eine Zahl, addiere 29 und erhalte 66. Welche Zahl war es? (Umkehraufgabe)
Lösung zeigen
Ergebnis:
37

So kannst du es dir vorstellen

EntdeckenZahlen umbauen, ohne den Wert zu ändern

Eine Rechnung lässt sich umbauen, ohne dass sich ihr Wert ändert. Zahlen tauschen die Plätze, bilden neue Gruppen oder werden zerlegt. Wer das sieht, rechnet mit glatten Zahlen statt mit krummen.

WeiterdenkenDenk nach

Warum darf man bei 25 + 38 + 75 zuerst 25 und 75 addieren, bei 50 − 20 − 10 aber nicht zuerst 20 − 10?

1Ich rechne Plusaufgaben und Malaufgaben geschickt durch Vertauschen und Zusammenfassen.

EntdeckenFrage

Wie konnte der neunjährige Carl Friedrich Gauß die Zahlen von 1 bis 100 in wenigen Minuten addieren?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Er hat die Zahlen in Paare umsortiert: 1 und 100, 2 und 99, 3 und 98. Jedes Paar ergibt 101, und es sind 50 Paare. Also 50 · 101 = 5050. Er hat nur vertauscht und neu zusammengefasst.

MerkenVertauschen und zusammenfassen

Beim Plus und beim Mal darf man die Zahlen vertauschen und anders zusammenfassen.

Erst die Zahlen nehmen, die zusammen glatt werden.

BeispielPlusaufgaben geschickt: vertauschen und zusammenfassen

Rechne geschickt: 15 + 12 + 25

Schritt für Schritt

Vertauschen: 15 + 25 + 12
15 + 25 = 40
40 + 12 = 52

Vertauschen: 15 + 25 + 12
15 + 25 = 40
40 + 12 = 52

Ergebnis:

AchtungBeim Minus oder Geteilt vertauscht

So nicht

50 − 20 − 10: erst 20 − 10 = 10, dann 50 − 10 = 40

So richtig

50 − 20 − 10 = 30 − 10 = 20

Vertauschen ist nur beim Plus und beim Mal erlaubt. 20 − 5 ist nicht 5 − 20.

ÜbenJetzt du

○1
Elias rechnet 68 + 85 + 32 von links nach rechts. Zeige einen schnelleren Weg mit einem Rechenvorteil.
So fängst du an:
Vertauschen: 68 + 32 + 85
Lösung zeigen
1. Vertauschen: 68 + 32 + 85
2. 68 + 32 = 100
3. 100 + 85 = 185
Ergebnis:
185
●2
Milan rechnet 19 + 49 + 41 von links nach rechts. Zeige einen schnelleren Weg mit einem Rechenvorteil.
Lösung zeigen
1. Vertauschen: 19 + 41 + 49
2. 19 + 41 = 60
3. 60 + 49 = 109
Ergebnis:
109
★3
Welche Zahlen fasst du bei 281 + 455 + 14 + 19 + 86 zuerst zusammen? Begründe. Rechne danach.
Lösung zeigen
1. Vertauschen: 281 + 19 + 14 + 86 + 455
2. 281 + 19 = 300 und 14 + 86 = 100
3. Zusammen glatt, der Rest ist leicht: 300 + 100 + 455 = 855
Ergebnis:
855

2Ich verändere Summen gegensinnig und Differenzen gleichsinnig.

EntdeckenFrage

Warum rechnen Kassiererinnen 3,99 € mal 4 schneller als ein Kunde mit Papier?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Sie rechnen 4 mal 4 € und ziehen dann 4 Cent ab: 16,00 € − 0,04 € = 15,96 €. Das ist Zerlegen: 3,99 ist 4 minus 1 Cent. Der Rechenweg ist kurz, weil er über die glatte Zahl geht.

MerkenGegensinnig und gleichsinnig

Bei einer Summe gibt ein Summand ab, was der andere bekommt.

Bei einer Differenz ändern sich beide Zahlen gleich, der Abstand bleibt.

BeispielSummen gegensinnig verändern

Rechne geschickt durch gegensinniges Verändern: 199 + 93

Schritt für Schritt

199 bekommt 1 dazu, 93 gibt 1 ab.
199 + 93 = 200 + 92
200 + 92 = 292

199 bekommt 1 dazu, 93 gibt 1 ab.
199 + 93 = 200 + 92
200 + 92 = 292

Ergebnis:

292

AchtungNur eine Zahl verändert

So nicht

143 − 97: 143 − 100 = 43

So richtig

143 − 97 = 146 − 100 = 46

Bei der Summe gegensinnig, bei der Differenz gleichsinnig: Immer beide Zahlen verändern.

ÜbenJetzt du

○4
Ergänze so, dass die Summe gleich bleibt: 298 + 65 = 300 + ___
So fängst du an:
298 wird zu 300: 2 mehr.
Lösung zeigen
1. 298 wird zu 300: 2 mehr.
2. Also muss 65 um 2 kleiner werden: 65 − 2 = 63
3. 300 + 63 = 363
Ergebnis:
63
●5
Jonas rechnet 68 + 34 als 70 + 34. Was muss Jonas danach noch tun? Was kommt heraus?
Lösung zeigen
1. Jonas hat 68 um 2 vergrößert.
2. Die Summe ist dadurch um 2 zu groß: 70 + 34 = 104.
3. 2 wieder abziehen: 104 − 2 = 102
Ergebnis:
102
★6
Rechne geschickt durch gegensinniges Verändern: 399 + 714
Lösung zeigen
1. 399 bekommt 1 dazu, 714 gibt 1 ab.
2. 399 + 714 = 400 + 713
3. 400 + 713 = 1113
Ergebnis:
1113

3Ich nehme halbschriftlich mal, indem ich einen Faktor zerlege.

EntdeckenFrage

Wie haben Bauern in Russland früher ohne Einmaleins multipliziert?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Sie haben eine Zahl immer halbiert und die andere verdoppelt, bis links eine 1 stand. Dann addierten sie die rechten Zahlen der Zeilen mit ungerader linker Zahl. Das Verfahren heißt russische Bauernmultiplikation und nutzt, dass Verdoppeln und Halbieren das Produkt nicht ändert.

Ausprobieren: Malnehmen am Rechteck

Länge und Höhe in Teile zerlegen – das Rechteck zerfällt in Teilrechtecke, und jedes ist eine leichte Malaufgabe.

MerkenMalnehmen mit Zerlegen

Einen Faktor zerlegen, jeden Teil malnehmen und die Teilergebnisse addieren.

So wird 7 · 48 zu 7 · 40 + 7 · 8.

BeispielHalbschriftlich malnehmen mit Zerlegen

Es gibt 3 Reihen mit je 66 Stühle. Wie viele Stühle sind es? Rechne halbschriftlich.

Schritt für Schritt

3 · 66
66 = 60 + 6
3 · 60 = 180 und 3 · 6 = 18
180 + 18 = 198

3 · 66
66 = 60 + 6
3 · 60 = 180 und 3 · 6 = 18
180 + 18 = 198

Ergebnis:

198 Stühle

AchtungBeim Zerlegen einen Teil vergessen

So nicht

7 · 48: 7 · 40 + 8 = 288

So richtig

7 · 48 = 7 · 40 + 7 · 8 = 280 + 56 = 336

Jeder Teil des zerlegten Faktors wird malgenommen, nicht nur der erste.

ÜbenJetzt du

○7
Es gibt 5 Reihen mit je 39 Stühle. Wie viele Stühle sind es? Rechne halbschriftlich.
So fängst du an:
5 · 39
Lösung zeigen
1. 5 · 39
2. 39 = 30 + 9
3. 5 · 30 = 150 und 5 · 9 = 45
4. 150 + 45 = 195
Ergebnis:
195 Stühle
●8
Rechne geschickt über die glatte Zahl: 3 · 49
Lösung zeigen
1. 49 = 50 − 1
2. 3 · 50 = 150 und 3 · 1 = 3
3. 150 − 3 = 147
Ergebnis:
147
★9
Rechne geschickt über die glatte Zahl: 9 · 99
Lösung zeigen
1. 99 = 100 − 1
2. 9 · 100 = 900 und 9 · 1 = 9
3. 900 − 9 = 891
Ergebnis:
891

4Ich dividiere halbschriftlich, indem ich die Zahl geschickt zerlege.

EntdeckenFrage

Warum ist 25 mal 4 ein Lieblingspaar beim Kopfrechnen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

25 mal 4 ergibt genau 100. Kommen 25 und 4 in einer Malaufgabe vor, fasst man sie zuerst zusammen. Aus 25 · 37 · 4 wird dann 100 · 37 = 3700, ganz ohne schriftliches Rechnen.

MerkenTeilen mit Zerlegen

Die Zahl so zerlegen, dass jeder Teil glatt aufgeht. So wird 385 : 7 zu 350 : 7 + 35 : 7.

BeispielHalbschriftlich dividieren

42 Murmeln werden gleichmäßig auf 3 Säckchen aufgeteilt. Wie viele bekommt jeder Teil? Rechne halbschriftlich.

Schritt für Schritt

42 : 3
42 = 30 + 12
30 : 3 = 10 und 12 : 3 = 4
10 + 4 = 14

42 : 3
42 = 30 + 12
30 : 3 = 10 und 12 : 3 = 4
10 + 4 = 14

Ergebnis:

14 Murmeln

AchtungBeim Teilen nicht passend zerlegt

So nicht

385 : 7: 300 : 7 geht nicht glatt → aufgegeben

So richtig

385 : 7 = 350 : 7 + 35 : 7 = 50 + 5 = 55

Jeder Teil muss sich glatt teilen lassen. Erst ein großes Vielfaches abspalten.

ÜbenJetzt du

○10
Rechne halbschriftlich: 621 : 9
So fängst du an:
621 = 540 + 81
Lösung zeigen
1. 621 = 540 + 81
2. 540 : 9 = 60 und 81 : 9 = 9
3. 60 + 9 = 69
Ergebnis:
69
●11
Zerlege 512 so in zwei Zahlen, dass du beide leicht durch 8 dividieren kannst. Was ergibt 512 : 8?
Lösung zeigen
1. 512 = 480 + 32
2. 480 : 8 = 60 und 32 : 8 = 4
3. 60 + 4 = 64
Ergebnis:
64
★12
Rechne halbschriftlich: 855 : 9
Lösung zeigen
1. 855 = 810 + 45
2. 810 : 9 = 90 und 45 : 9 = 5
3. 90 + 5 = 95
Ergebnis:
95

5Ich finde Aufgaben mit gleichem Ergebnis und vergleiche Rechenausdrücke.

EntdeckenFrage

Warum stimmt der Trick „mal 9 ist mal 10 minus einmal“ immer?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Neunmal eine Zahl ist zehnmal die Zahl minus einmal die Zahl. So wird 9 · 47 zu 470 − 47 = 423. Das ist das Verteilungsgesetz: 9 ist 10 minus 1.

MerkenAusdrücke mit gleichem Wert

Verschiedene Rechenausdrücke können denselben Wert haben.

Wer die Rechengesetze nutzt, sieht das oft ohne Ausrechnen.

BeispielAufgaben mit gleichem Ergebnis

Ergänze die Lücke: 89 + 22 = 99 + ___

Schritt für Schritt

89 wird zu 99: 10 mehr.
Damit die Summe gleich bleibt, wird 22 um 10 kleiner.
22 − 10 = 12

89 wird zu 99: 10 mehr.
Damit die Summe gleich bleibt, wird 22 um 10 kleiner.
22 − 10 = 12

Ergebnis:

AchtungPunkt vor Strich missachtet

So nicht

9 + 5 · 7 = 14 · 7 = 98

So richtig

9 + 5 · 7 = 9 + 35 = 44

Klammer zuerst, dann Mal und Geteilt, dann Plus und Minus.

ÜbenJetzt du

○13
Finde die fehlende Zahl mit einem Rechengesetz: 47 − 31 = ___ − 36
So fängst du an:
31 wird zu 36: 5 mehr.
Lösung zeigen
1. 31 wird zu 36: 5 mehr.
2. Damit der Abstand bleibt, wird auch 47 um 5 größer.
3. 47 + 5 = 52
Ergebnis:
52
●14
Welche Zahl fehlt? Rechne nicht beide Seiten aus. 87 − 78 = ___ − 79
Lösung zeigen
1. 78 wird zu 79: 1 mehr.
2. Damit der Abstand bleibt, wird auch 87 um 1 größer.
3. 87 + 1 = 88
Ergebnis:
88
★15
Welche Zahl fehlt? Rechne nicht beide Seiten aus. 58 − 31 = ___ − 41
Lösung zeigen
1. 31 wird zu 41: 10 mehr.
2. Damit der Abstand bleibt, wird auch 58 um 10 größer.
3. 58 + 10 = 68
Ergebnis:
68

6Ich rechne mit Verdoppeln und Halbieren und prüfe, ob das Ergebnis gleich bleibt.

EntdeckenFrage

Wie merkt man in Sekunden, dass 98 · 102 nicht 99.960 sein kann?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Man rechnet nicht, man überschlägt: 100 · 100 = 10.000. Das Ergebnis muss also in der Nähe von 10.000 liegen. 99.960 ist fast zehnmal so groß und kann nicht stimmen. Richtig ist 9996.

MerkenVerdoppeln und halbieren

Wird ein Faktor verdoppelt und der andere halbiert, bleibt das Produkt gleich.

Werden beide verdoppelt, wird es viermal so groß.

BeispielVerdoppeln und Halbieren

Warum ist 16 · 25 dasselbe wie 8 · 50? Rechne dann geschickt.

Schritt für Schritt

Halb so viele Reihen, jede doppelt so lang: gleich viele Kästchen.
16 · 25 = 8 · 50
8 · 50 = 400

Halb so viele Reihen, jede doppelt so lang: gleich viele Kästchen.
16 · 25 = 8 · 50
8 · 50 = 400

Ergebnis:

400

AchtungBeide Faktoren verdoppelt

So nicht

8 · 25 → 16 · 50 = 800

So richtig

8 · 25 → 4 · 50 = 200

Nur einer wird verdoppelt, der andere halbiert. Sonst ändert sich das Ergebnis.

ÜbenJetzt du

○16
Rechne geschickt: Halbiere den einen Faktor und verdopple den anderen. 12 · 15
So fängst du an:
12 · 15 = 6 · 30
Lösung zeigen
1. 12 · 15 = 6 · 30
2. 6 · 30 = 180
Ergebnis:
180
●17
Warum ist 8 · 25 dasselbe wie 4 · 50? Rechne dann geschickt.
Lösung zeigen
1. Halb so viele Reihen, jede doppelt so lang: gleich viele Kästchen.
2. 8 · 25 = 4 · 50
3. 4 · 50 = 200
Ergebnis:
200
★18
Milan verdoppelt bei 14 · 35 beide Faktoren und rechnet 28 · 70. Bleibt das Ergebnis gleich?
Lösung zeigen
1. Einmal verdoppeln macht das Ergebnis doppelt so groß, zweimal viermal so groß.
2. 28 · 70 = 1960, aber 14 · 35 = 490
3. Richtig ist: einen verdoppeln, den anderen halbieren.
Ergebnis:
Nein, viermal so groß; richtig ist 490

7Ich wähle zu einer Aufgabe den passenden Rechenweg.

EntdeckenFrage

Wie rechnen Darts-Profis blitzschnell aus, wie viele Punkte ihnen von 501 noch fehlen, wenn sie 140 geworfen haben?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Der geschickte Weg nimmt erst eine runde Zahl. 500 − 140 = 360, und der eine Extrapunkt kommt dazu: 361. Das geht schneller als 501 − 140 Stelle für Stelle. Am Ergebnis ändert der Weg nichts.

MerkenDen passenden Weg wählen

Vor dem Rechnen die Zahlen ansehen.

Liegt eine Zahl nahe an einer glatten, lohnt sich ein Vorteil, sonst rechnet man schriftlich.

BeispielDen passenden Rechenweg wählen

Welcher Weg passt zu 13 + 79 + 87? Nenne ihn. Rechne danach.

Schritt für Schritt

Zwei Zahlen ergeben zusammen 100: vertauschen und zusammenfassen.
13 + 87 = 100
100 + 79 = 179

Zwei Zahlen ergeben zusammen 100: vertauschen und zusammenfassen.
13 + 87 = 100
100 + 79 = 179

Ergebnis:

vertauschen, 179

AchtungUmständlichen Weg gewählt

So nicht

299 + 158 schriftlich untereinander gerechnet, dabei verrechnet: 447

So richtig

299 + 158 = 300 + 157 = 457

Erst die Zahlen ansehen: Liegt eine nahe an einer glatten Zahl?

ÜbenJetzt du

○19
Wie rechnest du am schnellsten: 14 · 5? Nenne ihn. Rechne danach.
So fängst du an:
5 wird verdoppelt glatt: halbieren und verdoppeln.
Lösung zeigen
1. 5 wird verdoppelt glatt: halbieren und verdoppeln.
2. 14 · 5 = 7 · 10
3. 7 · 10 = 70
Ergebnis:
halbieren und verdoppeln, 70
●20
Wie rechnest du am schnellsten: 8 · 24? Nenne ihn. Rechne danach.
Lösung zeigen
1. Den zweiten Faktor zerlegen: 24 = 20 + 4.
2. 8 · 20 = 160 und 8 · 4 = 32
3. Zusammen: 192
Ergebnis:
zerlegen, 192
★21
Welcher Weg passt zu 5 · 73? Nenne ihn. Rechne danach.
Lösung zeigen
1. Den zweiten Faktor zerlegen: 73 = 70 + 3.
2. 5 · 70 = 350 und 5 · 3 = 15
3. Zusammen: 365
Ergebnis:
zerlegen, 365

8Ich finde Rechenfehler mit Überschlag und Umkehraufgabe.

EntdeckenFrage

Warum zählt man Rückgeld vom Preis aus nach oben, statt abzuziehen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Wer 13,40 € zahlen muss und 20 € gibt, bekommt 20 − 13,40 = 6,60 € zurück. Beim Hochzählen rechnet man die Umkehraufgabe: 13,40 + 6,60 = 20. Kommt man genau auf den gegebenen Betrag, stimmt das Rückgeld.

MerkenÜberschlag und Umkehraufgabe

Ein Überschlag mit runden Zahlen zeigt, ob ein Ergebnis stimmen kann.

Die Umkehraufgabe prüft es genau.

BeispielRechenfehler mit Überschlag und Umkehraufgabe finden

Mia erhält für 22 · 14 das Ergebnis 408. Prüfe mit einem Überschlag.

Schritt für Schritt

Überschlag: 20 · 10 = 200
408 liegt zu weit weg. Genau: 22 · 14 = 308
Das Ergebnis ist falsch.

Überschlag: 20 · 10 = 200
408 liegt zu weit weg. Genau: 22 · 14 = 308
Das Ergebnis ist falsch.

Ergebnis:

falsch, richtig ist 308

AchtungErgebnis nicht geprüft

So nicht

425 : 5 = 805, ohne Probe ins Heft

So richtig

425 : 5 → Überschlag 400 : 5 = 80 → 85, Probe 85 · 5 = 425

Mit einem Überschlag prüfen, ob die Größenordnung stimmt, dann mit der Umkehraufgabe.

ÜbenJetzt du

○22
Paul rechnet 826 − 506 und erhält 420. Prüfe mit der Umkehraufgabe.
So fängst du an:
Umkehraufgabe: 420 + 506 = 926
Lösung zeigen
1. Umkehraufgabe: 420 + 506 = 926
2. 926 ist nicht 826: Es ist falsch.
3. 826 − 506 = 320
Ergebnis:
falsch, richtig ist 320
●23
Aylin erhält für 36 · 14 das Ergebnis 404. Prüfe mit einem Überschlag.
Lösung zeigen
1. Überschlag: 40 · 10 = 400
2. 404 liegt in der Nähe. Genau rechnen: 36 · 14 = 504
3. Das Ergebnis ist falsch.
Ergebnis:
falsch, richtig ist 504
★24
Tom erhält für 186 · 45 das Ergebnis 8270. Prüfe mit einem Überschlag.
Lösung zeigen
1. Überschlag: 200 · 50 = 10.000
2. 8270 liegt in der Nähe. Genau rechnen: 186 · 45 = 8370
3. Das Ergebnis ist falsch.
Ergebnis:
falsch, richtig ist 8370

Vermischte Übungen

Alles durcheinander – wie in der Arbeit. Überleg bei jeder Aufgabe zuerst: Welches Ziel ist das?

Üben

●25
Noah rechnet 48 + 75 + 12 von links nach rechts. Zeige einen schnelleren Weg mit einem Rechenvorteil.
Lösung zeigen
1. Vertauschen: 48 + 12 + 75
2. 48 + 12 = 60
3. 60 + 75 = 135
Ergebnis:
135
●26
Rechne geschickt: 12 · 2 · 5
Lösung zeigen
1. Vertauschen: 5 · 2 · 12
2. 5 · 2 = 10
3. 10 · 12 = 120
Ergebnis:
120
●27
Rechne geschickt durch gegensinniges Verändern: 68 + 79
Lösung zeigen
1. 68 bekommt 2 dazu, 79 gibt 2 ab.
2. 68 + 79 = 70 + 77
3. 70 + 77 = 147
Ergebnis:
147
●28
Ergänze so, dass die Differenz gleich bleibt: 182 − 29 = ___ − 30
Lösung zeigen
1. 29 wird zu 30: 1 mehr.
2. Damit der Abstand bleibt, wird auch 182 um 1 größer: 183.
3. 183 − 30 = 153
Ergebnis:
183
●29
Es gibt 9 Hefte mit je 57 Hefte. Wie viele Hefte sind es? Rechne halbschriftlich.
Lösung zeigen
1. 9 · 57
2. 57 = 50 + 7
3. 9 · 50 = 450 und 9 · 7 = 63
4. 450 + 63 = 513
Ergebnis:
513 Hefte
●30
Welche zwei Malaufgaben zeigen die beiden Teile des Rechtecks? Was ergibt 5 · 23?
Lösung zeigen
1. Links: 5 · 20 = 100
2. Rechts: 5 · 3 = 15
3. 5 · 23 = 100 + 15 = 115
Ergebnis:
5 · 20 und 5 · 3, zusammen 115

Auf einen Blick

MerkenDas Wichtigste

Vertauschen und zusammenfassen: Beim Plus und beim Mal darf man die Zahlen vertauschen und anders zusammenfassen.
Gegensinnig und gleichsinnig: Bei einer Summe gibt ein Summand ab, was der andere bekommt.
Malnehmen mit Zerlegen: Einen Faktor zerlegen, jeden Teil malnehmen und die Teilergebnisse addieren.
Teilen mit Zerlegen: Die Zahl so zerlegen, dass jeder Teil glatt aufgeht. So wird 385 : 7 zu 350 : 7 + 35 : 7.
Ausdrücke mit gleichem Wert: Verschiedene Rechenausdrücke können denselben Wert haben.
Verdoppeln und halbieren: Wird ein Faktor verdoppelt und der andere halbiert, bleibt das Produkt gleich.
Den passenden Weg wählen: Vor dem Rechnen die Zahlen ansehen.
Überschlag und Umkehraufgabe: Ein Überschlag mit runden Zahlen zeigt, ob ein Ergebnis stimmen kann.

Kannst du das?

Je Ziel eine Aufgabe. Rechne sie ins Heft, dann kreuz ehrlich an. Keine Punkte, keine Note – der Test ist für dich.

ÜbenSelbsttest

Ich rechne Plusaufgaben und Malaufgaben geschickt durch Vertauschen und Zusammenfassen.
31
Ben rechnet 8 + 76 + 22 von links nach rechts. Zeige einen schnelleren Weg mit einem Rechenvorteil.
Lösung zeigen
Ergebnis:
106
Ich verändere Summen gegensinnig und Differenzen gleichsinnig.
32
Rechne geschickt durch gegensinniges Verändern: 47 + 57
Lösung zeigen
Ergebnis:
104
Ich nehme halbschriftlich mal, indem ich einen Faktor zerlege.
33
Rechne halbschriftlich: Zerlege den zweiten Faktor. 3 · 43
Lösung zeigen
Ergebnis:
129
Ich dividiere halbschriftlich, indem ich die Zahl geschickt zerlege.
34
Rechne halbschriftlich: 585 : 9
Lösung zeigen
Ergebnis:
65
Ich finde Aufgaben mit gleichem Ergebnis und vergleiche Rechenausdrücke.
35
Welche Zahl fehlt? Rechne nicht beide Seiten aus. 16 · 13 = 8 · ___
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Ergebnis:
26
Ich rechne mit Verdoppeln und Halbieren und prüfe, ob das Ergebnis gleich bleibt.
36
Rechne geschickt: Halbiere den einen Faktor und verdopple den anderen. 18 · 5
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Ergebnis:
90
Ich wähle zu einer Aufgabe den passenden Rechenweg.
37
Welchen Rechenvorteil nutzt du bei 12 · 25? Nenne ihn. Rechne danach.
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Ergebnis:
halbieren und verdoppeln, 300
Ich finde Rechenfehler mit Überschlag und Umkehraufgabe.
38
Elias erhält für 39 · 18 das Ergebnis 902. Prüfe mit einem Überschlag.
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Ergebnis:
falsch, richtig ist 702

Bei „unsicher“ oder „noch nicht“: Lies den Abschnitt zum Ziel noch einmal und rechne seine drei Aufgaben.

Die Frage vom Anfang

EntdeckenRückschau

Rechne im Kopf, so schnell du kannst: 25 · 17 · 4. Schreib nichts auf und nimm keinen Taschenrechner.

Lies deine Vermutung vom Anfang. Kannst du die Frage jetzt mit dem Kapitel beantworten?

Auflösung

Mit dem Werkzeug aus diesem Kapitel: Vertauschen und Zusammenfassen: erst die Zahlen, die zusammen glatt werden.

Wo brauchst du das?

Entdecken

Preise im Kopf addieren, Rückgeld überschlagen, Mengen für ein Fest ausrechnen. Beruf: Kasse und Verkauf, Handwerk beim Materialberechnen, Lager und Versand.

Wörter

Differenz: was übrig bleibt, wenn man abzieht
Gleichung: zwei Rechnungen, die gleich viel wert sind
Produkt: was herauskommt, wenn man malnimmt
Summe: was herauskommt, wenn man zusammenzählt
Teiler: eine Zahl, durch die es ohne Rest aufgeht

Wie es zusammenhängt

Das brauchst du vorher: Rechenregeln, Teiler und Vielfache, Natürliche Zahlen und Stellenwert

Darauf baut auf: Sachaufgaben lösen

Lösungen

185
109
855
63
102
1113
195 Stühle
147
891
69
64
95
52
88
68
180
200
Nein, viermal so groß; richtig ist 490
halbieren und verdoppeln, 70
zerlegen, 192
zerlegen, 365
falsch, richtig ist 320
falsch, richtig ist 504
falsch, richtig ist 8370
135
120
147
183
513 Hefte
5 · 20 und 5 · 3, zusammen 115
106
104
129
65
26
90
halbieren und verdoppeln, 300
falsch, richtig ist 702
29
70
41
37