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Mathematik · Klasse 5 · Kapitel

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Rechengesetze und Rechenvorteile

EntdeckenDie Frage zum Kapitel

Rechne im Kopf, so schnell du kannst: 25 · 17 · 4. Schreib nichts auf und nimm keinen Taschenrechner.

Schreib eine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Für die Lehrkraft: Die meisten rechnen von links: 25 · 17 und kommen durcheinander. Andere geben auf oder raten. Nur wenige sehen, dass 25 und 4 zusammen 100 ergeben. Beim Malnehmen darf man die Zahlen vertauschen. Dann steht 25 · 4 · 17 da, also 100 · 17. Das Ergebnis ist 1700, in einer Sekunde.

  • Entdecken Frage, Vorstellung, Bild
  • Merken kommt ins Heft
  • Beispiel vorgerechnet, Schritt für Schritt
  • Üben selbst rechnen
  • Achtung typischer Fehler
  • Weiterdenken zum Knobeln und Vernetzen

○ mit Starthilfe, ● für alle, ★ zum Weiterdenken. Du wählst mindestens eine ★-Aufgabe. Du rechnest ins Heft.

Fit für das Kapitel?

Das brauchst du aus früheren Themen. Klappt es nicht, frag nach, bevor es losgeht.

ÜbenWeißt du das noch?

Punkt vor Strich und Klammer zuerst – so steht es seit Klasse 4 im Heft.

  1. ●39
    Rechne: 47 − 2 · 5
    Lösung zeigen
    1. Punkt vor Strich: erst 2 · 5 = 10
    2. 47 − 10 = 37
    Ergebnis:
    37
  2. ●40
    Rechne: (7 + 9) · 2
    Lösung zeigen
    1. Die Klammer zuerst: 7 + 9 = 16
    2. 16 · 2 = 32
    Ergebnis:
    32

ÜbenWeißt du das noch?

Punkt vor Strich und Klammer zuerst – die Reihenfolge entscheidet über das Ergebnis.

  1. ●41
    Berechne: 9 + 2 · 3
    Lösung zeigen
    1. Punkt vor Strich: erst 2 · 3 = 6
    2. 9 + 6 = 15
    Ergebnis:
    15
  2. ●42
    Ich denke mir eine Zahl, addiere 12 und erhalte 52. Welche Zahl war es? (Umkehraufgabe)
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    40

So kannst du es dir vorstellen

EntdeckenZahlen umbauen, ohne den Wert zu ändern

Eine Rechnung lässt sich umbauen, ohne dass sich ihr Wert ändert. Zahlen tauschen die Plätze, bilden neue Gruppen oder werden zerlegt. Wer das sieht, rechnet mit glatten Zahlen statt mit krummen.

17 plus 38 plus 3: Erst 17 und 3 zu 20 zusammenfassen, dann 20 plus 38 sind 5817 + 38 + 317 + 3 = 20= 20 + 38 = 58

WeiterdenkenDenk nach

Warum darf man bei 25 + 38 + 75 zuerst 25 und 75 addieren, bei 50 − 20 − 10 aber nicht zuerst 20 − 10?

1Ich rechne Plusaufgaben und Malaufgaben geschickt durch Vertauschen und Zusammenfassen.

EntdeckenFrage

Wie konnte der neunjährige Carl Friedrich Gauß die Zahlen von 1 bis 100 in wenigen Minuten addieren?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Er hat die Zahlen in Paare umsortiert: 1 und 100, 2 und 99, 3 und 98. Jedes Paar ergibt 101, und es sind 50 Paare. Also 50 · 101 = 5050. Er hat nur vertauscht und neu zusammengefasst.

MerkenVertauschen und zusammenfassen

Beim Plus und beim Mal darf man die Zahlen vertauschen und anders zusammenfassen.

Erst die Zahlen nehmen, die zusammen glatt werden.

BeispielPlusaufgaben geschickt: vertauschen und zusammenfassen

Welche Zahlen fasst du bei 11 + 45 + 19 zuerst zusammen? Begründe und rechne.
114519
Schritt für Schritt
  1. Vertauschen: 11 + 19 + 45
  2. 11 + 19 = 30
  3. Zusammen glatt, der Rest ist leicht: 30 + 45 = 75
  1. Vertauschen: 11 + 19 + 45
  2. 11 + 19 = 30
  3. Zusammen glatt, der Rest ist leicht: 30 + 45 = 75
Ergebnis:
75

AchtungBeim Minus oder Geteilt vertauscht

So nicht
50 − 20 − 10: erst 20 − 10 = 10, dann 50 − 10 = 40
So richtig
50 − 20 − 10 = 30 − 10 = 20

Vertauschen ist nur beim Plus und beim Mal erlaubt. 20 − 5 ist nicht 5 − 20.

ÜbenJetzt du

  1. ○1
    Welche Zahlen fasst du bei 34 + 75 + 26 zuerst zusammen? Begründe und rechne.
    347526
    So fängst du an:
    Vertauschen: 34 + 26 + 75
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 34 + 26 + 75
    2. 34 + 26 = 60
    3. Zusammen glatt, der Rest ist leicht: 60 + 75 = 135
    Ergebnis:
    135
  2. ●2
    Welche Zahlen fasst du bei 9 + 27 + 51 zuerst zusammen? Begründe und rechne.
    92751
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 9 + 51 + 27
    2. 9 + 51 = 60
    3. Zusammen glatt, der Rest ist leicht: 60 + 27 = 87
    Ergebnis:
    87
  3. ★3
    Welche Zahlen fasst du bei 345 + 407 + 655 zuerst zusammen? Begründe und rechne.
    345407655
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 345 + 655 + 407
    2. 345 + 655 = 1000
    3. Zusammen glatt, der Rest ist leicht: 1000 + 407 = 1407
    Ergebnis:
    1407

2Ich verändere Summen gegensinnig und Differenzen gleichsinnig.

EntdeckenFrage

Warum rechnen Kassiererinnen 3,99 € mal 4 schneller als ein Kunde mit Papier?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Sie rechnen 4 mal 4 € und ziehen dann 4 Cent ab: 16,00 € − 0,04 € = 15,96 €. Das ist Zerlegen: 3,99 ist 4 minus 1 Cent. Der Rechenweg ist kurz, weil er über die glatte Zahl geht.

MerkenGegensinnig und gleichsinnig

Bei einer Summe gibt ein Summand ab, was der andere bekommt.

Bei einer Differenz ändern sich beide Zahlen gleich, der Abstand bleibt.

BeispielSummen gegensinnig verändern

Noah rechnet 299 + 57 als 300 + 57. Was muss Noah danach noch tun? Was kommt heraus?
29957
Schritt für Schritt
  1. Noah hat 299 um 1 vergrößert.
  2. Die Summe ist dadurch um 1 zu groß: 300 + 57 = 357.
  3. 1 wieder abziehen: 357 − 1 = 356
  1. Noah hat 299 um 1 vergrößert.
  2. Die Summe ist dadurch um 1 zu groß: 300 + 57 = 357.
  3. 1 wieder abziehen: 357 − 1 = 356
Ergebnis:
356

AchtungNur eine Zahl verändert

So nicht
143 − 97: 143 − 100 = 43
So richtig
143 − 97 = 146 − 100 = 46

Bei der Summe gegensinnig, bei der Differenz gleichsinnig: Immer beide Zahlen verändern.

ÜbenJetzt du

  1. ○4
    Ergänze so, dass die Summe gleich bleibt: 299 + 89 = 300 + ___
    29989
    So fängst du an:
    299 wird zu 300: 1 mehr.
    Lösung zeigen
    1. 299 wird zu 300: 1 mehr.
    2. Also muss 89 um 1 kleiner werden: 89 − 1 = 88
    3. 300 + 88 = 388
    Ergebnis:
    88
  2. ●5
    Ergänze so, dass die Summe gleich bleibt: 38 + 44 = 40 + ___
    3844
    Lösung zeigen
    1. 38 wird zu 40: 2 mehr.
    2. Also muss 44 um 2 kleiner werden: 44 − 2 = 42
    3. 40 + 42 = 82
    Ergebnis:
    42
  3. ★6
    Ergänze so, dass die Summe gleich bleibt: 697 + 906 = 700 + ___
    697906
    Lösung zeigen
    1. 697 wird zu 700: 3 mehr.
    2. Also muss 906 um 3 kleiner werden: 906 − 3 = 903
    3. 700 + 903 = 1603
    Ergebnis:
    903

3Ich nehme halbschriftlich mal, indem ich einen Faktor zerlege.

EntdeckenFrage

Wie haben Bauern in Russland früher ohne Einmaleins multipliziert?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Sie haben eine Zahl immer halbiert und die andere verdoppelt, bis links eine 1 stand. Dann addierten sie die rechten Zahlen der Zeilen mit ungerader linker Zahl. Das Verfahren heißt russische Bauernmultiplikation und nutzt, dass Verdoppeln und Halbieren das Produkt nicht ändert.

MerkenMalnehmen mit Zerlegen

Einen Faktor zerlegen, jeden Teil malnehmen und die Teilergebnisse addieren.

So wird 7 · 48 zu 7 · 40 + 7 · 8.

BeispielHalbschriftlich malnehmen mit Zerlegen

Rechne halbschriftlich: Zerlege den zweiten Faktor. 4 · 62
Schritt für Schritt
  1. 62 = 60 + 2
  2. 4 · 60 = 240 und 4 · 2 = 8
  3. 240 + 8 = 248
  1. 62 = 60 + 2
  2. 4 · 60 = 240 und 4 · 2 = 8
  3. 240 + 8 = 248
Ergebnis:
248

AchtungBeim Zerlegen einen Teil vergessen

So nicht
7 · 48: 7 · 40 + 8 = 288
So richtig
7 · 48 = 7 · 40 + 7 · 8 = 280 + 56 = 336

Jeder Teil des zerlegten Faktors wird malgenommen, nicht nur der erste.

ÜbenJetzt du

  1. ○7
    Rechne halbschriftlich: Zerlege den zweiten Faktor. 5 · 65
    So fängst du an:
    65 = 60 + 5
    Lösung zeigen
    1. 65 = 60 + 5
    2. 5 · 60 = 300 und 5 · 5 = 25
    3. 300 + 25 = 325
    Ergebnis:
    325
  2. ●8
    Es gibt 3 Tüten mit je 39 Bonbons. Wie viele Bonbons sind es? Rechne halbschriftlich.
    Lösung zeigen
    1. 3 · 39
    2. 39 = 30 + 9
    3. 3 · 30 = 90 und 3 · 9 = 27
    4. 90 + 27 = 117
    Ergebnis:
    117 Bonbons
  3. ★9
    Rechne halbschriftlich mit Stellenwerten: 7 · 395
    Lösung zeigen
    1. 395 = 300 + 90 + 5
    2. 7 · 300 = 2100; 7 · 90 = 630; 7 · 5 = 35
    3. 2100 + 630 + 35 = 2765
    Ergebnis:
    2765

4Ich dividiere halbschriftlich, indem ich die Zahl geschickt zerlege.

EntdeckenFrage

Warum ist 25 mal 4 ein Lieblingspaar beim Kopfrechnen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

25 mal 4 ergibt genau 100. Kommen 25 und 4 in einer Malaufgabe vor, fasst man sie zuerst zusammen. Aus 25 · 37 · 4 wird dann 100 · 37 = 3700, ganz ohne schriftliches Rechnen.

MerkenTeilen mit Zerlegen

Die Zahl so zerlegen, dass jeder Teil glatt aufgeht. So wird 385 : 7 zu 350 : 7 + 35 : 7.

BeispielHalbschriftlich dividieren

Zerlege 234 so in zwei Zahlen, dass du beide leicht durch 6 dividieren kannst. Was ergibt 234 : 6?
234: 6
Schritt für Schritt
  1. 234 = 180 + 54
  2. 180 : 6 = 30 und 54 : 6 = 9
  3. 30 + 9 = 39
  1. 234 = 180 + 54
  2. 180 : 6 = 30 und 54 : 6 = 9
  3. 30 + 9 = 39
Ergebnis:
39

AchtungBeim Teilen nicht passend zerlegt

So nicht
385 : 7: 300 : 7 geht nicht glatt → aufgegeben
So richtig
385 : 7 = 350 : 7 + 35 : 7 = 50 + 5 = 55

Jeder Teil muss sich glatt teilen lassen. Erst ein großes Vielfaches abspalten.

ÜbenJetzt du

  1. ○10
    Rechne halbschriftlich: 140 : 5
    So fängst du an:
    140 = 100 + 40
    Lösung zeigen
    1. 140 = 100 + 40
    2. 100 : 5 = 20 und 40 : 5 = 8
    3. 20 + 8 = 28
    Ergebnis:
    28
  2. ●11
    Zerlege 185 so in zwei Zahlen, dass du beide leicht durch 5 dividieren kannst. Was ergibt 185 : 5?
    185: 5
    Lösung zeigen
    1. 185 = 150 + 35
    2. 150 : 5 = 30 und 35 : 5 = 7
    3. 30 + 7 = 37
    Ergebnis:
    37
  3. ★12
    508 Bücher werden gleichmäßig auf 4 Regalböden aufgeteilt. Wie viele bekommt jeder Teil? Rechne halbschriftlich.
    Lösung zeigen
    1. 508 : 4
    2. 508 = 480 + 28
    3. 480 : 4 = 120 und 28 : 4 = 7
    4. 120 + 7 = 127
    Ergebnis:
    127 Bücher

5Ich finde Aufgaben mit gleichem Ergebnis und vergleiche Rechenausdrücke.

EntdeckenFrage

Warum stimmt der Trick „mal 9 ist mal 10 minus einmal“ immer?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Neunmal eine Zahl ist zehnmal die Zahl minus einmal die Zahl. So wird 9 · 47 zu 470 − 47 = 423. Das ist das Verteilungsgesetz: 9 ist 10 minus 1.

MerkenAusdrücke mit gleichem Wert

Verschiedene Rechenausdrücke können denselben Wert haben.

Wer die Rechengesetze nutzt, sieht das oft ohne Ausrechnen.

BeispielAufgaben mit gleichem Ergebnis

Finde die fehlende Zahl mit einem Rechengesetz: 24 + 14 = 22 + ___
24 + 14=22 + ?
Schritt für Schritt
  1. 24 wird zu 22: 2 weniger.
  2. Damit die Summe gleich bleibt, wird 14 um 2 größer.
  3. 14 + 2 = 16
  1. 24 wird zu 22: 2 weniger.
  2. Damit die Summe gleich bleibt, wird 14 um 2 größer.
  3. 14 + 2 = 16
Ergebnis:
16

AchtungPunkt vor Strich missachtet

So nicht
9 + 5 · 7 = 14 · 7 = 98
So richtig
9 + 5 · 7 = 9 + 35 = 44

Klammer zuerst, dann Mal und Geteilt, dann Plus und Minus.

ÜbenJetzt du

  1. ○13
    Finde die fehlende Zahl mit einem Rechengesetz: 36 + 46 = 38 + ___
    36 + 46=38 + ?
    So fängst du an:
    36 wird zu 38: 2 mehr.
    Lösung zeigen
    1. 36 wird zu 38: 2 mehr.
    2. Damit die Summe gleich bleibt, wird 46 um 2 kleiner.
    3. 46 − 2 = 44
    Ergebnis:
    44
  2. ●14
    Finde die fehlende Zahl mit einem Rechengesetz: 57 − 34 = ___ − 39
    Lösung zeigen
    1. 34 wird zu 39: 5 mehr.
    2. Damit der Abstand bleibt, wird auch 57 um 5 größer.
    3. 57 + 5 = 62
    Ergebnis:
    62
  3. ★15
    Welche Zahl fehlt? Rechne nicht beide Seiten aus. 42 + 25 = 41 + ___
    Lösung zeigen
    1. 42 wird zu 41: 1 weniger.
    2. Damit die Summe gleich bleibt, wird 25 um 1 größer.
    3. 25 + 1 = 26
    Ergebnis:
    26

6Ich rechne mit Verdoppeln und Halbieren und prüfe, ob das Ergebnis gleich bleibt.

EntdeckenFrage

Wie merkt man in Sekunden, dass 98 · 102 nicht 99.960 sein kann?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Man rechnet nicht, man überschlägt: 100 · 100 = 10.000. Das Ergebnis muss also in der Nähe von 10.000 liegen. 99.960 ist fast zehnmal so groß und kann nicht stimmen. Richtig ist 9996.

MerkenVerdoppeln und halbieren

Wird ein Faktor verdoppelt und der andere halbiert, bleibt das Produkt gleich.

Werden beide verdoppelt, wird es viermal so groß.

BeispielVerdoppeln und Halbieren

Warum ist 18 · 5 dasselbe wie 9 · 10? Rechne dann geschickt.
Schritt für Schritt
  1. Halb so viele Reihen, jede doppelt so lang: gleich viele Kästchen.
  2. 18 · 5 = 9 · 10
  3. 9 · 10 = 90
  1. Halb so viele Reihen, jede doppelt so lang: gleich viele Kästchen.
  2. 18 · 5 = 9 · 10
  3. 9 · 10 = 90
Ergebnis:
90

AchtungBeide Faktoren verdoppelt

So nicht
8 · 25 → 16 · 50 = 800
So richtig
8 · 25 → 4 · 50 = 200

Nur einer wird verdoppelt, der andere halbiert. Sonst ändert sich das Ergebnis.

ÜbenJetzt du

  1. ○16
    Rechne geschickt: Halbiere den einen Faktor und verdopple den anderen. 14 · 5
    So fängst du an:
    14 · 5 = 7 · 10
    Lösung zeigen
    1. 14 · 5 = 7 · 10
    2. 7 · 10 = 70
    Ergebnis:
    70
  2. ●17
    Elias verdoppelt bei 16 · 5 beide Faktoren und rechnet 32 · 10. Bleibt das Ergebnis gleich?
    Lösung zeigen
    1. Einmal verdoppeln macht das Ergebnis doppelt so groß, zweimal viermal so groß.
    2. 32 · 10 = 320, aber 16 · 5 = 80
    3. Richtig ist: einen verdoppeln, den anderen halbieren.
    Ergebnis:
    Nein, viermal so groß; richtig ist 80
  3. ★18
    Warum ist 12 · 75 dasselbe wie 6 · 150? Rechne dann geschickt.
    Lösung zeigen
    1. Halb so viele Reihen, jede doppelt so lang: gleich viele Kästchen.
    2. 12 · 75 = 6 · 150
    3. 6 · 150 = 900
    Ergebnis:
    900

7Ich wähle zu einer Aufgabe den passenden Rechenweg.

EntdeckenFrage

Wie rechnen Darts-Profis blitzschnell aus, wie viele Punkte ihnen von 501 noch fehlen, wenn sie 140 geworfen haben?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Der geschickte Weg nimmt erst eine runde Zahl. 500 − 140 = 360, und der eine Extrapunkt kommt dazu: 361. Das geht schneller als 501 − 140 Stelle für Stelle. Am Ergebnis ändert der Weg nichts.

MerkenDen passenden Weg wählen

Vor dem Rechnen die Zahlen ansehen.

Liegt eine Zahl nahe an einer glatten, lohnt sich ein Vorteil, sonst rechnet man schriftlich.

BeispielDen passenden Rechenweg wählen

Wie rechnest du am schnellsten: 261 + 198? Nenne ihn und rechne.
Schritt für Schritt
  1. 198 liegt knapp unter 200: gegensinnig verändern.
  2. 261 + 198 = 259 + 200
  3. 259 + 200 = 459
  1. 198 liegt knapp unter 200: gegensinnig verändern.
  2. 261 + 198 = 259 + 200
  3. 259 + 200 = 459
Ergebnis:
gegensinnig verändern, 459

AchtungUmständlichen Weg gewählt

So nicht
299 + 158 schriftlich untereinander gerechnet, dabei verrechnet: 447
So richtig
299 + 158 = 300 + 157 = 457

Erst die Zahlen ansehen: Liegt eine nahe an einer glatten Zahl?

ÜbenJetzt du

  1. ○19
    Welcher Weg passt zu 8 · 25? Nenne ihn und rechne.
    8 · 25zerlegenhalbieren und verdoppelnschriftlich
    So fängst du an:
    25 wird verdoppelt glatt: halbieren und verdoppeln.
    Lösung zeigen
    1. 25 wird verdoppelt glatt: halbieren und verdoppeln.
    2. 8 · 25 = 4 · 50
    3. 4 · 50 = 200
    Ergebnis:
    halbieren und verdoppeln, 200
  2. ●20
    Wie rechnest du am schnellsten: 9 · 82? Nenne ihn und rechne.
    Lösung zeigen
    1. Den zweiten Faktor zerlegen: 82 = 80 + 2.
    2. 9 · 80 = 720 und 9 · 2 = 18
    3. Zusammen: 738
    Ergebnis:
    zerlegen, 738
  3. ★21
    Welchen Rechenvorteil nutzt du bei 3587 − 2307? Nenne ihn und rechne.
    3587 − 2307zerlegenhalbieren und verdoppelnschriftlich
    Lösung zeigen
    1. Keine Zahl liegt nahe an einer glatten Zahl: schriftlich rechnen.
    2. 3587 − 2307 = 1280
    Ergebnis:
    schriftlich, 1280

8Ich finde Rechenfehler mit Überschlag und Umkehraufgabe.

EntdeckenFrage

Warum zählt man Rückgeld vom Preis aus nach oben, statt abzuziehen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Wer 13,40 € zahlen muss und 20 € gibt, bekommt 20 − 13,40 = 6,60 € zurück. Beim Hochzählen rechnet man die Umkehraufgabe: 13,40 + 6,60 = 20. Kommt man genau auf den gegebenen Betrag, stimmt das Rückgeld.

MerkenÜberschlag und Umkehraufgabe

Ein Überschlag mit runden Zahlen zeigt, ob ein Ergebnis stimmen kann.

Die Umkehraufgabe prüft es genau.

BeispielRechenfehler mit Überschlag und Umkehraufgabe finden

Paul rechnet 424 − 203 und erhält 211. Prüfe mit der Umkehraufgabe.
Schritt für Schritt
  1. Umkehraufgabe: 211 + 203 = 414
  2. 414 ist nicht 424: Es ist falsch.
  3. 424 − 203 = 221
  1. Umkehraufgabe: 211 + 203 = 414
  2. 414 ist nicht 424: Es ist falsch.
  3. 424 − 203 = 221
Ergebnis:
falsch, richtig ist 221

AchtungErgebnis nicht geprüft

So nicht
425 : 5 = 805, ohne Probe ins Heft
So richtig
425 : 5 → Überschlag 400 : 5 = 80 → 85, Probe 85 · 5 = 425

Mit einem Überschlag prüfen, ob die Größenordnung stimmt, dann mit der Umkehraufgabe.

ÜbenJetzt du

  1. ○22
    Can rechnet 255 : 3 und erhält 87. Prüfe mit der Umkehraufgabe.
    255 : 3Ergebnis 87?
    So fängst du an:
    Umkehraufgabe: 87 · 3 = 261
    Lösung zeigen
    1. Umkehraufgabe: 87 · 3 = 261
    2. 261 ist nicht 255: Es ist falsch.
    3. 255 : 3 = 85
    Ergebnis:
    falsch, richtig ist 85
  2. ●23
    Paul rechnet 565 − 442 und erhält 123. Prüfe mit der Umkehraufgabe.
    Lösung zeigen
    1. Umkehraufgabe: 123 + 442 = 565
    2. 565 ist genau 565: Es stimmt.
    3. 565 − 442 = 123
    Ergebnis:
    stimmt, 123
  3. ★24
    Emma rechnet 4160 : 8 und erhält 522. Prüfe mit der Umkehraufgabe.
    4160 : 8Ergebnis 522?
    Lösung zeigen
    1. Umkehraufgabe: 522 · 8 = 4176
    2. 4176 ist nicht 4160: Es ist falsch.
    3. 4160 : 8 = 520
    Ergebnis:
    falsch, richtig ist 520

Vermischte Übungen

Alles durcheinander – wie in der Arbeit. Überleg bei jeder Aufgabe zuerst: Welches Ziel ist das?

Üben

  1. ●25
    Rechne geschickt: 85 + 84 + 15
    858415
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 85 + 15 + 84
    2. 85 + 15 = 100
    3. 100 + 84 = 184
    Ergebnis:
    184
  2. ●26
    Welche zwei Zahlen ergeben bei 3 · 25 · 4 zusammen eine glatte Zahl? Rechne damit.
    3254
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 25 · 4 · 3
    2. 25 · 4 = 100
    3. 100 · 3 = 300
    Ergebnis:
    300
  3. ●27
    Ergänze so, dass die Summe gleich bleibt: 38 + 48 = 40 + ___
    3848
    Lösung zeigen
    1. 38 wird zu 40: 2 mehr.
    2. Also muss 48 um 2 kleiner werden: 48 − 2 = 46
    3. 40 + 46 = 86
    Ergebnis:
    46
  4. ●28
    Ergänze so, dass die Differenz gleich bleibt: 65 − 48 = ___ − 50
    Lösung zeigen
    1. 48 wird zu 50: 2 mehr.
    2. Damit der Abstand bleibt, wird auch 65 um 2 größer: 67.
    3. 67 − 50 = 17
    Ergebnis:
    67
  5. ●29
    Es gibt 9 Tüten mit je 13 Bonbons. Wie viele Bonbons sind es? Rechne halbschriftlich.
    Lösung zeigen
    1. 9 · 13
    2. 13 = 10 + 3
    3. 9 · 10 = 90 und 9 · 3 = 27
    4. 90 + 27 = 117
    Ergebnis:
    117 Bonbons
  6. ●30
    Welche zwei Malaufgaben zeigen die beiden Teile des Rechtecks? Was ergibt 6 · 13?
    1036
    Lösung zeigen
    1. Links: 6 · 10 = 60
    2. Rechts: 6 · 3 = 18
    3. 6 · 13 = 60 + 18 = 78
    Ergebnis:
    6 · 10 und 6 · 3, zusammen 78

Auf einen Blick

MerkenDas Wichtigste

Vertauschen und zusammenfassen
Beim Plus und beim Mal darf man die Zahlen vertauschen und anders zusammenfassen.
Gegensinnig und gleichsinnig
Bei einer Summe gibt ein Summand ab, was der andere bekommt.
Malnehmen mit Zerlegen
Einen Faktor zerlegen, jeden Teil malnehmen und die Teilergebnisse addieren.
Teilen mit Zerlegen
Die Zahl so zerlegen, dass jeder Teil glatt aufgeht. So wird 385 : 7 zu 350 : 7 + 35 : 7.
Ausdrücke mit gleichem Wert
Verschiedene Rechenausdrücke können denselben Wert haben.
Verdoppeln und halbieren
Wird ein Faktor verdoppelt und der andere halbiert, bleibt das Produkt gleich.
Den passenden Weg wählen
Vor dem Rechnen die Zahlen ansehen.
Überschlag und Umkehraufgabe
Ein Überschlag mit runden Zahlen zeigt, ob ein Ergebnis stimmen kann.

Kannst du das?

Je Ziel eine Aufgabe. Rechne sie ins Heft, dann kreuz ehrlich an. Keine Punkte, keine Note – der Test ist für dich.

ÜbenSelbsttest

  1. Ich rechne Plusaufgaben und Malaufgaben geschickt durch Vertauschen und Zusammenfassen.

    31
    Can rechnet 33 + 12 + 27 von links nach rechts. Zeige einen schnelleren Weg mit einem Rechenvorteil.
    331227
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    72

  2. Ich verändere Summen gegensinnig und Differenzen gleichsinnig.

    32
    Jonas rechnet 198 + 96 als 200 + 96. Was muss Jonas danach noch tun? Was kommt heraus?
    19896
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    294

  3. Ich nehme halbschriftlich mal, indem ich einen Faktor zerlege.

    33
    Es gibt 4 Hefte mit je 18 Hefte. Wie viele Hefte sind es? Rechne halbschriftlich.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    72 Hefte

  4. Ich dividiere halbschriftlich, indem ich die Zahl geschickt zerlege.

    34
    Rechne halbschriftlich: 232 : 4
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    58

  5. Ich finde Aufgaben mit gleichem Ergebnis und vergleiche Rechenausdrücke.

    35
    Finde die fehlende Zahl mit einem Rechengesetz: 8 · 11 = 4 · ___
    8 · 11=4 · ?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    22

  6. Ich rechne mit Verdoppeln und Halbieren und prüfe, ob das Ergebnis gleich bleibt.

    36
    Rechne geschickt: Halbiere den einen Faktor und verdopple den anderen. 12 · 15
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    180

  7. Ich wähle zu einer Aufgabe den passenden Rechenweg.

    37
    Wie rechnest du am schnellsten: 5 · 81? Nenne ihn und rechne.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    zerlegen, 405

  8. Ich finde Rechenfehler mit Überschlag und Umkehraufgabe.

    38
    Tom rechnet 425 : 5 und erhält 86. Prüfe mit der Umkehraufgabe.
    425 : 5Ergebnis 86?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    falsch, richtig ist 85

Bei „unsicher“ oder „noch nicht“: Lies den Abschnitt zum Ziel noch einmal und rechne seine drei Aufgaben.

Die Frage vom Anfang

EntdeckenRückschau

Rechne im Kopf, so schnell du kannst: 25 · 17 · 4. Schreib nichts auf und nimm keinen Taschenrechner.

Lies deine Vermutung vom Anfang. Kannst du die Frage jetzt mit dem Kapitel beantworten?

Auflösung

Mit dem Werkzeug aus diesem Kapitel: Vertauschen und Zusammenfassen: erst die Zahlen, die zusammen glatt werden.

Wo brauchst du das?

Entdecken

Preise im Kopf addieren, Rückgeld überschlagen, Mengen für ein Fest ausrechnen. Beruf: Kasse und Verkauf, Handwerk beim Materialberechnen, Lager und Versand.

Wörter

Differenz
was übrig bleibt, wenn man abzieht
Gleichung
zwei Rechnungen, die gleich viel wert sind
Produkt
was herauskommt, wenn man malnimmt
Summe
was herauskommt, wenn man zusammenzählt
Teiler
eine Zahl, durch die es ohne Rest aufgeht

Wie es zusammenhängt

Das brauchst du vorher: Rechenregeln, Teiler und Vielfache, Natürliche Zahlen und Stellenwert

Darauf baut auf: Sachaufgaben lösen

Lösungen

  1. 135
  2. 87
  3. 1407
  4. 88
  5. 42
  6. 903
  7. 325
  8. 117 Bonbons
  9. 2765
  10. 28
  11. 37
  12. 127 Bücher
  13. 44
  14. 62
  15. 26
  16. 70
  17. Nein, viermal so groß; richtig ist 80
  18. 900
  19. halbieren und verdoppeln, 200
  20. zerlegen, 738
  21. schriftlich, 1280
  22. falsch, richtig ist 85
  23. stimmt, 123
  24. falsch, richtig ist 520
  25. 184
  26. 300
  27. 46
  28. 67
  29. 117 Bonbons
  30. 6 · 10 und 6 · 3, zusammen 78
  31. 72
  32. 294
  33. 72 Hefte
  34. 58
  35. 22
  36. 180
  37. zerlegen, 405
  38. falsch, richtig ist 85
  39. 37
  40. 32
  41. 15
  42. 40