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Mathematik · Klasse 5 · Kapitel

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Rechengesetze und Rechenvorteile

EntdeckenDie Frage zum Kapitel

Rechne im Kopf, so schnell du kannst: 25 · 17 · 4. Schreib nichts auf und nimm keinen Taschenrechner.

Schreib eine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Für die Lehrkraft: Die meisten rechnen von links: 25 · 17 und kommen durcheinander. Andere geben auf oder raten. Nur wenige sehen, dass 25 und 4 zusammen 100 ergeben. Beim Malnehmen darf man die Zahlen vertauschen. Dann steht 25 · 4 · 17 da, also 100 · 17. Das Ergebnis ist 1700, in einer Sekunde.

  • Entdecken Frage, Vorstellung, Bild
  • Merken kommt ins Heft
  • Beispiel vorgerechnet, Schritt für Schritt
  • Üben selbst rechnen
  • Achtung typischer Fehler
  • Weiterdenken zum Knobeln und Vernetzen

○ mit Starthilfe, ● für alle, ★ zum Weiterdenken. Du wählst mindestens eine ★-Aufgabe. Du rechnest ins Heft.

Fit für das Kapitel?

Das brauchst du aus früheren Themen. Klappt es nicht, frag nach, bevor es losgeht.

ÜbenWeißt du das noch?

Punkt vor Strich und Klammer zuerst – so steht es seit Klasse 4 im Heft.

  1. ●39
    Rechne: 27 − 2 · 3
    Lösung zeigen
    1. Punkt vor Strich: erst 2 · 3 = 6
    2. 27 − 6 = 21
    Ergebnis:
    21
  2. ●40
    Rechne: (6 + 3) · 6
    Lösung zeigen
    1. Die Klammer zuerst: 6 + 3 = 9
    2. 9 · 6 = 54
    Ergebnis:
    54

ÜbenWeißt du das noch?

Punkt vor Strich und Klammer zuerst – die Reihenfolge entscheidet über das Ergebnis.

  1. ●41
    Berechne: 2 + 2 · 8
    Lösung zeigen
    1. Punkt vor Strich: erst 2 · 8 = 16
    2. 2 + 16 = 18
    Ergebnis:
    18
  2. ●42
    Ich denke mir eine Zahl, addiere 25 und erhalte 80. Welche Zahl war es? (Umkehraufgabe)
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    55

So kannst du es dir vorstellen

EntdeckenZahlen umbauen, ohne den Wert zu ändern

Eine Rechnung lässt sich umbauen, ohne dass sich ihr Wert ändert. Zahlen tauschen die Plätze, bilden neue Gruppen oder werden zerlegt. Wer das sieht, rechnet mit glatten Zahlen statt mit krummen.

17 plus 38 plus 3: Erst 17 und 3 zu 20 zusammenfassen, dann 20 plus 38 sind 5817 + 38 + 317 + 3 = 20= 20 + 38 = 58

WeiterdenkenDenk nach

Warum darf man bei 25 + 38 + 75 zuerst 25 und 75 addieren, bei 50 − 20 − 10 aber nicht zuerst 20 − 10?

1Ich rechne Plusaufgaben und Malaufgaben geschickt durch Vertauschen und Zusammenfassen.

EntdeckenFrage

Wie konnte der neunjährige Carl Friedrich Gauß die Zahlen von 1 bis 100 in wenigen Minuten addieren?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Er hat die Zahlen in Paare umsortiert: 1 und 100, 2 und 99, 3 und 98. Jedes Paar ergibt 101, und es sind 50 Paare. Also 50 · 101 = 5050. Er hat nur vertauscht und neu zusammengefasst.

MerkenVertauschen und zusammenfassen

Beim Plus und beim Mal darf man die Zahlen vertauschen und anders zusammenfassen.

Erst die Zahlen nehmen, die zusammen glatt werden.

BeispielPlusaufgaben geschickt: vertauschen und zusammenfassen

Rechne geschickt: 71 + 64 + 29
716429
Schritt für Schritt
  1. Vertauschen: 71 + 29 + 64
  2. 71 + 29 = 100
  3. 100 + 64 = 164
  1. Vertauschen: 71 + 29 + 64
  2. 71 + 29 = 100
  3. 100 + 64 = 164
Ergebnis:
164

AchtungBeim Minus oder Geteilt vertauscht

So nicht
50 − 20 − 10: erst 20 − 10 = 10, dann 50 − 10 = 40
So richtig
50 − 20 − 10 = 30 − 10 = 20

Vertauschen ist nur beim Plus und beim Mal erlaubt. 20 − 5 ist nicht 5 − 20.

ÜbenJetzt du

  1. ○1
    Tom rechnet 35 + 88 + 5 von links nach rechts. Zeige einen schnelleren Weg mit einem Rechenvorteil.
    35885
    So fängst du an:
    Vertauschen: 35 + 5 + 88
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 35 + 5 + 88
    2. 35 + 5 = 40
    3. 40 + 88 = 128
    Ergebnis:
    128
  2. ●2
    Lina rechnet 17 + 62 + 83 von links nach rechts. Zeige einen schnelleren Weg mit einem Rechenvorteil.
    176283
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 17 + 83 + 62
    2. 17 + 83 = 100
    3. 100 + 62 = 162
    Ergebnis:
    162
  3. ★3
    Aylin rechnet 265 + 467 + 735 von links nach rechts. Zeige einen schnelleren Weg mit einem Rechenvorteil.
    265467735
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 265 + 735 + 467
    2. 265 + 735 = 1000
    3. 1000 + 467 = 1467
    Ergebnis:
    1467

2Ich verändere Summen gegensinnig und Differenzen gleichsinnig.

EntdeckenFrage

Warum rechnen Kassiererinnen 3,99 € mal 4 schneller als ein Kunde mit Papier?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Sie rechnen 4 mal 4 € und ziehen dann 4 Cent ab: 16,00 € − 0,04 € = 15,96 €. Das ist Zerlegen: 3,99 ist 4 minus 1 Cent. Der Rechenweg ist kurz, weil er über die glatte Zahl geht.

MerkenGegensinnig und gleichsinnig

Bei einer Summe gibt ein Summand ab, was der andere bekommt.

Bei einer Differenz ändern sich beide Zahlen gleich, der Abstand bleibt.

BeispielSummen gegensinnig verändern

Rechne geschickt durch gegensinniges Verändern: 197 + 39
19739
Schritt für Schritt
  1. 197 bekommt 3 dazu, 39 gibt 3 ab.
  2. 197 + 39 = 200 + 36
  3. 200 + 36 = 236
  1. 197 bekommt 3 dazu, 39 gibt 3 ab.
  2. 197 + 39 = 200 + 36
  3. 200 + 36 = 236
Ergebnis:
236

AchtungNur eine Zahl verändert

So nicht
143 − 97: 143 − 100 = 43
So richtig
143 − 97 = 146 − 100 = 46

Bei der Summe gegensinnig, bei der Differenz gleichsinnig: Immer beide Zahlen verändern.

ÜbenJetzt du

  1. ○4
    Rechne geschickt durch gegensinniges Verändern: 47 + 87
    4787
    So fängst du an:
    47 bekommt 3 dazu, 87 gibt 3 ab.
    Lösung zeigen
    1. 47 bekommt 3 dazu, 87 gibt 3 ab.
    2. 47 + 87 = 50 + 84
    3. 50 + 84 = 134
    Ergebnis:
    134
  2. ●5
    Ergänze so, dass die Summe gleich bleibt: 67 + 89 = 70 + ___
    6789
    Lösung zeigen
    1. 67 wird zu 70: 3 mehr.
    2. Also muss 89 um 3 kleiner werden: 89 − 3 = 86
    3. 70 + 86 = 156
    Ergebnis:
    86
  3. ★6
    Rechne geschickt durch gegensinniges Verändern: 1998 + 946
    1998946
    Lösung zeigen
    1. 1998 bekommt 2 dazu, 946 gibt 2 ab.
    2. 1998 + 946 = 2000 + 944
    3. 2000 + 944 = 2944
    Ergebnis:
    2944

3Ich nehme halbschriftlich mal, indem ich einen Faktor zerlege.

EntdeckenFrage

Wie haben Bauern in Russland früher ohne Einmaleins multipliziert?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Sie haben eine Zahl immer halbiert und die andere verdoppelt, bis links eine 1 stand. Dann addierten sie die rechten Zahlen der Zeilen mit ungerader linker Zahl. Das Verfahren heißt russische Bauernmultiplikation und nutzt, dass Verdoppeln und Halbieren das Produkt nicht ändert.

MerkenMalnehmen mit Zerlegen

Einen Faktor zerlegen, jeden Teil malnehmen und die Teilergebnisse addieren.

So wird 7 · 48 zu 7 · 40 + 7 · 8.

BeispielHalbschriftlich malnehmen mit Zerlegen

Rechne halbschriftlich: Zerlege den zweiten Faktor. 6 · 28
Schritt für Schritt
  1. 28 = 20 + 8
  2. 6 · 20 = 120 und 6 · 8 = 48
  3. 120 + 48 = 168
  1. 28 = 20 + 8
  2. 6 · 20 = 120 und 6 · 8 = 48
  3. 120 + 48 = 168
Ergebnis:
168

AchtungBeim Zerlegen einen Teil vergessen

So nicht
7 · 48: 7 · 40 + 8 = 288
So richtig
7 · 48 = 7 · 40 + 7 · 8 = 280 + 56 = 336

Jeder Teil des zerlegten Faktors wird malgenommen, nicht nur der erste.

ÜbenJetzt du

  1. ○7
    Rechne geschickt über die glatte Zahl: 5 · 29
    So fängst du an:
    29 = 30 − 1
    Lösung zeigen
    1. 29 = 30 − 1
    2. 5 · 30 = 150 und 5 · 1 = 5
    3. 150 − 5 = 145
    Ergebnis:
    145
  2. ●8
    Rechne halbschriftlich: Zerlege den zweiten Faktor. 5 · 29
    Lösung zeigen
    1. 29 = 20 + 9
    2. 5 · 20 = 100 und 5 · 9 = 45
    3. 100 + 45 = 145
    Ergebnis:
    145
  3. ★9
    Rechne halbschriftlich mit Stellenwerten: 5 · 415
    Lösung zeigen
    1. 415 = 400 + 10 + 5
    2. 5 · 400 = 2000; 5 · 10 = 50; 5 · 5 = 25
    3. 2000 + 50 + 25 = 2075
    Ergebnis:
    2075

4Ich dividiere halbschriftlich, indem ich die Zahl geschickt zerlege.

EntdeckenFrage

Warum ist 25 mal 4 ein Lieblingspaar beim Kopfrechnen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

25 mal 4 ergibt genau 100. Kommen 25 und 4 in einer Malaufgabe vor, fasst man sie zuerst zusammen. Aus 25 · 37 · 4 wird dann 100 · 37 = 3700, ganz ohne schriftliches Rechnen.

MerkenTeilen mit Zerlegen

Die Zahl so zerlegen, dass jeder Teil glatt aufgeht. So wird 385 : 7 zu 350 : 7 + 35 : 7.

BeispielHalbschriftlich dividieren

Rechne halbschriftlich: 288 : 9
Schritt für Schritt
  1. 288 = 270 + 18
  2. 270 : 9 = 30 und 18 : 9 = 2
  3. 30 + 2 = 32
  1. 288 = 270 + 18
  2. 270 : 9 = 30 und 18 : 9 = 2
  3. 30 + 2 = 32
Ergebnis:
32

AchtungBeim Teilen nicht passend zerlegt

So nicht
385 : 7: 300 : 7 geht nicht glatt → aufgegeben
So richtig
385 : 7 = 350 : 7 + 35 : 7 = 50 + 5 = 55

Jeder Teil muss sich glatt teilen lassen. Erst ein großes Vielfaches abspalten.

ÜbenJetzt du

  1. ○10
    Zerlege 96 so in zwei Zahlen, dass du beide leicht durch 6 dividieren kannst. Was ergibt 96 : 6?
    96: 6
    So fängst du an:
    96 = 60 + 36
    Lösung zeigen
    1. 96 = 60 + 36
    2. 60 : 6 = 10 und 36 : 6 = 6
    3. 10 + 6 = 16
    Ergebnis:
    16
  2. ●11
    231 Sticker werden gleichmäßig auf 7 Kinder aufgeteilt. Wie viele bekommt jeder Teil? Rechne halbschriftlich.
    Lösung zeigen
    1. 231 : 7
    2. 231 = 210 + 21
    3. 210 : 7 = 30 und 21 : 7 = 3
    4. 30 + 3 = 33
    Ergebnis:
    33 Sticker
  3. ★12
    954 Murmeln werden gleichmäßig auf 6 Säckchen aufgeteilt. Wie viele bekommt jeder Teil? Rechne halbschriftlich.
    Lösung zeigen
    1. 954 : 6
    2. 954 = 900 + 54
    3. 900 : 6 = 150 und 54 : 6 = 9
    4. 150 + 9 = 159
    Ergebnis:
    159 Murmeln

5Ich finde Aufgaben mit gleichem Ergebnis und vergleiche Rechenausdrücke.

EntdeckenFrage

Warum stimmt der Trick „mal 9 ist mal 10 minus einmal“ immer?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Neunmal eine Zahl ist zehnmal die Zahl minus einmal die Zahl. So wird 9 · 47 zu 470 − 47 = 423. Das ist das Verteilungsgesetz: 9 ist 10 minus 1.

MerkenAusdrücke mit gleichem Wert

Verschiedene Rechenausdrücke können denselben Wert haben.

Wer die Rechengesetze nutzt, sieht das oft ohne Ausrechnen.

BeispielAufgaben mit gleichem Ergebnis

Welche Zahl fehlt? Rechne nicht beide Seiten aus. 66 + 26 = 69 + ___
Schritt für Schritt
  1. 66 wird zu 69: 3 mehr.
  2. Damit die Summe gleich bleibt, wird 26 um 3 kleiner.
  3. 26 − 3 = 23
  1. 66 wird zu 69: 3 mehr.
  2. Damit die Summe gleich bleibt, wird 26 um 3 kleiner.
  3. 26 − 3 = 23
Ergebnis:
23

AchtungPunkt vor Strich missachtet

So nicht
9 + 5 · 7 = 14 · 7 = 98
So richtig
9 + 5 · 7 = 9 + 35 = 44

Klammer zuerst, dann Mal und Geteilt, dann Plus und Minus.

ÜbenJetzt du

  1. ○13
    Ergänze die Lücke: 14 · 8 = 7 · ___
    14 · 8=7 · ?
    So fängst du an:
    14 wird halb so groß: 7.
    Lösung zeigen
    1. 14 wird halb so groß: 7.
    2. Damit das Ergebnis gleich bleibt, wird 8 doppelt so groß.
    3. 8 · 2 = 16
    Ergebnis:
    16
  2. ●14
    Finde die fehlende Zahl mit einem Rechengesetz: 26 + 63 = 27 + ___
    26 + 63=27 + ?
    Lösung zeigen
    1. 26 wird zu 27: 1 mehr.
    2. Damit die Summe gleich bleibt, wird 63 um 1 kleiner.
    3. 63 − 1 = 62
    Ergebnis:
    62
  3. ★15
    Ergänze die Lücke: 12 · 5 = 6 · ___
    12 · 5=6 · ?
    Lösung zeigen
    1. 12 wird halb so groß: 6.
    2. Damit das Ergebnis gleich bleibt, wird 5 doppelt so groß.
    3. 5 · 2 = 10
    Ergebnis:
    10

6Ich rechne mit Verdoppeln und Halbieren und prüfe, ob das Ergebnis gleich bleibt.

EntdeckenFrage

Wie merkt man in Sekunden, dass 98 · 102 nicht 99.960 sein kann?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Man rechnet nicht, man überschlägt: 100 · 100 = 10.000. Das Ergebnis muss also in der Nähe von 10.000 liegen. 99.960 ist fast zehnmal so groß und kann nicht stimmen. Richtig ist 9996.

MerkenVerdoppeln und halbieren

Wird ein Faktor verdoppelt und der andere halbiert, bleibt das Produkt gleich.

Werden beide verdoppelt, wird es viermal so groß.

BeispielVerdoppeln und Halbieren

Warum ist 12 · 15 dasselbe wie 6 · 30? Rechne dann geschickt.
Schritt für Schritt
  1. Halb so viele Reihen, jede doppelt so lang: gleich viele Kästchen.
  2. 12 · 15 = 6 · 30
  3. 6 · 30 = 180
  1. Halb so viele Reihen, jede doppelt so lang: gleich viele Kästchen.
  2. 12 · 15 = 6 · 30
  3. 6 · 30 = 180
Ergebnis:
180

AchtungBeide Faktoren verdoppelt

So nicht
8 · 25 → 16 · 50 = 800
So richtig
8 · 25 → 4 · 50 = 200

Nur einer wird verdoppelt, der andere halbiert. Sonst ändert sich das Ergebnis.

ÜbenJetzt du

  1. ○16
    Warum ist 16 · 25 dasselbe wie 8 · 50? Rechne dann geschickt.
    So fängst du an:
    Halb so viele Reihen, jede doppelt so lang: gleich viele Kästchen.
    Lösung zeigen
    1. Halb so viele Reihen, jede doppelt so lang: gleich viele Kästchen.
    2. 16 · 25 = 8 · 50
    3. 8 · 50 = 400
    Ergebnis:
    400
  2. ●17
    Rechne geschickt: Halbiere den einen Faktor und verdopple den anderen. 16 · 25
    Lösung zeigen
    1. 16 · 25 = 8 · 50
    2. 8 · 50 = 400
    Ergebnis:
    400
  3. ★18
    Warum ist 32 · 25 dasselbe wie 16 · 50? Rechne dann geschickt.
    Lösung zeigen
    1. Halb so viele Reihen, jede doppelt so lang: gleich viele Kästchen.
    2. 32 · 25 = 16 · 50
    3. 16 · 50 = 800
    Ergebnis:
    800

7Ich wähle zu einer Aufgabe den passenden Rechenweg.

EntdeckenFrage

Wie rechnen Darts-Profis blitzschnell aus, wie viele Punkte ihnen von 501 noch fehlen, wenn sie 140 geworfen haben?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Der geschickte Weg nimmt erst eine runde Zahl. 500 − 140 = 360, und der eine Extrapunkt kommt dazu: 361. Das geht schneller als 501 − 140 Stelle für Stelle. Am Ergebnis ändert der Weg nichts.

MerkenDen passenden Weg wählen

Vor dem Rechnen die Zahlen ansehen.

Liegt eine Zahl nahe an einer glatten, lohnt sich ein Vorteil, sonst rechnet man schriftlich.

BeispielDen passenden Rechenweg wählen

Wie rechnest du am schnellsten: 9 · 33? Nenne ihn und rechne.
Schritt für Schritt
  1. Den zweiten Faktor zerlegen: 33 = 30 + 3.
  2. 9 · 30 = 270 und 9 · 3 = 27
  3. Zusammen: 297
  1. Den zweiten Faktor zerlegen: 33 = 30 + 3.
  2. 9 · 30 = 270 und 9 · 3 = 27
  3. Zusammen: 297
Ergebnis:
zerlegen, 297

AchtungUmständlichen Weg gewählt

So nicht
299 + 158 schriftlich untereinander gerechnet, dabei verrechnet: 447
So richtig
299 + 158 = 300 + 157 = 457

Erst die Zahlen ansehen: Liegt eine nahe an einer glatten Zahl?

ÜbenJetzt du

  1. ○19
    Welcher Weg passt zu 8 · 25? Nenne ihn und rechne.
    8 · 25zerlegenhalbieren und verdoppelnschriftlich
    So fängst du an:
    25 wird verdoppelt glatt: halbieren und verdoppeln.
    Lösung zeigen
    1. 25 wird verdoppelt glatt: halbieren und verdoppeln.
    2. 8 · 25 = 4 · 50
    3. 4 · 50 = 200
    Ergebnis:
    halbieren und verdoppeln, 200
  2. ●20
    Welchen Rechenvorteil nutzt du bei 15 + 53 + 85? Nenne ihn und rechne.
    15 + 53 + 85zerlegenhalbieren und verdoppelnschriftlich
    Lösung zeigen
    1. Zwei Zahlen ergeben zusammen 100: vertauschen und zusammenfassen.
    2. 15 + 85 = 100
    3. 100 + 53 = 153
    Ergebnis:
    vertauschen, 153
  3. ★21
    Wie rechnest du am schnellsten: 16 · 25? Nenne ihn und rechne.
    Lösung zeigen
    1. 25 wird verdoppelt glatt: halbieren und verdoppeln.
    2. 16 · 25 = 8 · 50
    3. 8 · 50 = 400
    Ergebnis:
    halbieren und verdoppeln, 400

8Ich finde Rechenfehler mit Überschlag und Umkehraufgabe.

EntdeckenFrage

Warum zählt man Rückgeld vom Preis aus nach oben, statt abzuziehen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Wer 13,40 € zahlen muss und 20 € gibt, bekommt 20 − 13,40 = 6,60 € zurück. Beim Hochzählen rechnet man die Umkehraufgabe: 13,40 + 6,60 = 20. Kommt man genau auf den gegebenen Betrag, stimmt das Rückgeld.

MerkenÜberschlag und Umkehraufgabe

Ein Überschlag mit runden Zahlen zeigt, ob ein Ergebnis stimmen kann.

Die Umkehraufgabe prüft es genau.

BeispielRechenfehler mit Überschlag und Umkehraufgabe finden

Ben rechnet 985 − 520 und erhält 455. Prüfe mit der Umkehraufgabe.
Schritt für Schritt
  1. Umkehraufgabe: 455 + 520 = 975
  2. 975 ist nicht 985: Es ist falsch.
  3. 985 − 520 = 465
  1. Umkehraufgabe: 455 + 520 = 975
  2. 975 ist nicht 985: Es ist falsch.
  3. 985 − 520 = 465
Ergebnis:
falsch, richtig ist 465

AchtungErgebnis nicht geprüft

So nicht
425 : 5 = 805, ohne Probe ins Heft
So richtig
425 : 5 → Überschlag 400 : 5 = 80 → 85, Probe 85 · 5 = 425

Mit einem Überschlag prüfen, ob die Größenordnung stimmt, dann mit der Umkehraufgabe.

ÜbenJetzt du

  1. ○22
    Paul rechnet 898 − 592 und erhält 406. Prüfe mit der Umkehraufgabe.
    So fängst du an:
    Umkehraufgabe: 406 + 592 = 998
    Lösung zeigen
    1. Umkehraufgabe: 406 + 592 = 998
    2. 998 ist nicht 898: Es ist falsch.
    3. 898 − 592 = 306
    Ergebnis:
    falsch, richtig ist 306
  2. ●23
    Elias erhält für 71 · 23 das Ergebnis 1533. Prüfe mit einem Überschlag.
    Lösung zeigen
    1. Überschlag: 70 · 20 = 1400
    2. 1533 liegt in der Nähe. Genau rechnen: 71 · 23 = 1633
    3. Das Ergebnis ist falsch.
    Ergebnis:
    falsch, richtig ist 1633
  3. ★24
    Zeynep rechnet 2570 : 5 und erhält 516. Prüfe mit der Umkehraufgabe.
    2570 : 5Ergebnis 516?
    Lösung zeigen
    1. Umkehraufgabe: 516 · 5 = 2580
    2. 2580 ist nicht 2570: Es ist falsch.
    3. 2570 : 5 = 514
    Ergebnis:
    falsch, richtig ist 514

Vermischte Übungen

Alles durcheinander – wie in der Arbeit. Überleg bei jeder Aufgabe zuerst: Welches Ziel ist das?

Üben

  1. ●25
    Welche Zahlen fasst du bei 31 + 54 + 19 zuerst zusammen? Begründe und rechne.
    315419
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 31 + 19 + 54
    2. 31 + 19 = 50
    3. Zusammen glatt, der Rest ist leicht: 50 + 54 = 104
    Ergebnis:
    104
  2. ●26
    In einem Lager stehen 20 Regale mit je 5 Kartons. In jedem Karton sind 12 Bälle. Wie viele Bälle sind es? Rechne geschickt.
    20 Regale5 Kartons12 Bälle
    Lösung zeigen
    1. Bälle: 20 · 5 · 12
    2. 20 · 5 = 100
    3. 100 · 12 = 1200
    Ergebnis:
    1200 Bälle
  3. ●27
    Aylin rechnet 99 + 45 als 100 + 45. Was muss Aylin danach noch tun? Was kommt heraus?
    9945
    Lösung zeigen
    1. Aylin hat 99 um 1 vergrößert.
    2. Die Summe ist dadurch um 1 zu groß: 100 + 45 = 145.
    3. 1 wieder abziehen: 145 − 1 = 144
    Ergebnis:
    144
  4. ●28
    Rechne geschickt durch gleichsinniges Verändern: 76 − 49
    Lösung zeigen
    1. Beide Zahlen um 1 vergrößern: Der Abstand bleibt gleich.
    2. 76 − 49 = 77 − 50
    3. 77 − 50 = 27
    Ergebnis:
    27
  5. ●29
    Es gibt 7 Reihen mit je 55 Stühle. Wie viele Stühle sind es? Rechne halbschriftlich.
    Lösung zeigen
    1. 7 · 55
    2. 55 = 50 + 5
    3. 7 · 50 = 350 und 7 · 5 = 35
    4. 350 + 35 = 385
    Ergebnis:
    385 Stühle
  6. ●30
    Lina rechnet 3 · 14 so: erst 3 · 10, dann 4 dazu. Lina erhält 34. Zeige am Bild, was fehlt.
    1043
    Lösung zeigen
    1. Der rechte Teil hat 3 Reihen mit je 4 Kästchen, nicht nur 4.
    2. Rechter Teil: 3 · 4 = 12
    3. 30 + 12 = 42
    Ergebnis:
    42

Auf einen Blick

MerkenDas Wichtigste

Vertauschen und zusammenfassen
Beim Plus und beim Mal darf man die Zahlen vertauschen und anders zusammenfassen.
Gegensinnig und gleichsinnig
Bei einer Summe gibt ein Summand ab, was der andere bekommt.
Malnehmen mit Zerlegen
Einen Faktor zerlegen, jeden Teil malnehmen und die Teilergebnisse addieren.
Teilen mit Zerlegen
Die Zahl so zerlegen, dass jeder Teil glatt aufgeht. So wird 385 : 7 zu 350 : 7 + 35 : 7.
Ausdrücke mit gleichem Wert
Verschiedene Rechenausdrücke können denselben Wert haben.
Verdoppeln und halbieren
Wird ein Faktor verdoppelt und der andere halbiert, bleibt das Produkt gleich.
Den passenden Weg wählen
Vor dem Rechnen die Zahlen ansehen.
Überschlag und Umkehraufgabe
Ein Überschlag mit runden Zahlen zeigt, ob ein Ergebnis stimmen kann.

Kannst du das?

Je Ziel eine Aufgabe. Rechne sie ins Heft, dann kreuz ehrlich an. Keine Punkte, keine Note – der Test ist für dich.

ÜbenSelbsttest

  1. Ich rechne Plusaufgaben und Malaufgaben geschickt durch Vertauschen und Zusammenfassen.

    31
    Lea rechnet 12 + 43 + 18 von links nach rechts. Zeige einen schnelleren Weg mit einem Rechenvorteil.
    124318
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    73

  2. Ich verändere Summen gegensinnig und Differenzen gleichsinnig.

    32
    Hanna rechnet 299 + 82 als 300 + 82. Was muss Hanna danach noch tun? Was kommt heraus?
    29982
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    381

  3. Ich nehme halbschriftlich mal, indem ich einen Faktor zerlege.

    33
    Rechne geschickt über die glatte Zahl: 8 · 49
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    392

  4. Ich dividiere halbschriftlich, indem ich die Zahl geschickt zerlege.

    34
    147 Bücher werden gleichmäßig auf 3 Regalböden aufgeteilt. Wie viele bekommt jeder Teil? Rechne halbschriftlich.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    49 Bücher

  5. Ich finde Aufgaben mit gleichem Ergebnis und vergleiche Rechenausdrücke.

    35
    Finde die fehlende Zahl mit einem Rechengesetz: 38 + 73 = 41 + ___
    38 + 73=41 + ?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    70

  6. Ich rechne mit Verdoppeln und Halbieren und prüfe, ob das Ergebnis gleich bleibt.

    36
    Aylin verdoppelt bei 12 · 15 beide Faktoren und rechnet 24 · 30. Bleibt das Ergebnis gleich?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    Nein, viermal so groß; richtig ist 180

  7. Ich wähle zu einer Aufgabe den passenden Rechenweg.

    37
    Welcher Weg passt zu 18 · 5? Nenne ihn und rechne.
    18 · 5zerlegenhalbieren und verdoppelnschriftlich
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    halbieren und verdoppeln, 90

  8. Ich finde Rechenfehler mit Überschlag und Umkehraufgabe.

    38
    Noah rechnet 332 : 4 und erhält 82. Prüfe mit der Umkehraufgabe.
    332 : 4Ergebnis 82?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    falsch, richtig ist 83

Bei „unsicher“ oder „noch nicht“: Lies den Abschnitt zum Ziel noch einmal und rechne seine drei Aufgaben.

Die Frage vom Anfang

EntdeckenRückschau

Rechne im Kopf, so schnell du kannst: 25 · 17 · 4. Schreib nichts auf und nimm keinen Taschenrechner.

Lies deine Vermutung vom Anfang. Kannst du die Frage jetzt mit dem Kapitel beantworten?

Auflösung

Mit dem Werkzeug aus diesem Kapitel: Vertauschen und Zusammenfassen: erst die Zahlen, die zusammen glatt werden.

Wo brauchst du das?

Entdecken

Preise im Kopf addieren, Rückgeld überschlagen, Mengen für ein Fest ausrechnen. Beruf: Kasse und Verkauf, Handwerk beim Materialberechnen, Lager und Versand.

Wörter

Differenz
was übrig bleibt, wenn man abzieht
Gleichung
zwei Rechnungen, die gleich viel wert sind
Produkt
was herauskommt, wenn man malnimmt
Summe
was herauskommt, wenn man zusammenzählt
Teiler
eine Zahl, durch die es ohne Rest aufgeht

Wie es zusammenhängt

Das brauchst du vorher: Rechenregeln, Teiler und Vielfache, Natürliche Zahlen und Stellenwert

Darauf baut auf: Sachaufgaben lösen

Lösungen

  1. 128
  2. 162
  3. 1467
  4. 134
  5. 86
  6. 2944
  7. 145
  8. 145
  9. 2075
  10. 16
  11. 33 Sticker
  12. 159 Murmeln
  13. 16
  14. 62
  15. 10
  16. 400
  17. 400
  18. 800
  19. halbieren und verdoppeln, 200
  20. vertauschen, 153
  21. halbieren und verdoppeln, 400
  22. falsch, richtig ist 306
  23. falsch, richtig ist 1633
  24. falsch, richtig ist 514
  25. 104
  26. 1200 Bälle
  27. 144
  28. 27
  29. 385 Stühle
  30. 42
  31. 73
  32. 381
  33. 392
  34. 49 Bücher
  35. 70
  36. Nein, viermal so groß; richtig ist 180
  37. halbieren und verdoppeln, 90
  38. falsch, richtig ist 83
  39. 21
  40. 54
  41. 18
  42. 55