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Mathematik · Klasse 5 · Kapitel

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Rechengesetze und Rechenvorteile

EntdeckenDie Frage zum Kapitel

Rechne im Kopf, so schnell du kannst: 25 · 17 · 4. Schreib nichts auf und nimm keinen Taschenrechner.

Schreib eine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Für die Lehrkraft: Die meisten rechnen von links: 25 · 17 und kommen durcheinander. Andere geben auf oder raten. Nur wenige sehen, dass 25 und 4 zusammen 100 ergeben. Beim Malnehmen darf man die Zahlen vertauschen. Dann steht 25 · 4 · 17 da, also 100 · 17. Das Ergebnis ist 1700, in einer Sekunde.

  • Entdecken Frage, Vorstellung, Bild
  • Merken kommt ins Heft
  • Beispiel vorgerechnet, Schritt für Schritt
  • Üben selbst rechnen
  • Achtung typischer Fehler
  • Weiterdenken zum Knobeln und Vernetzen

○ mit Starthilfe, ● für alle, ★ zum Weiterdenken. Du wählst mindestens eine ★-Aufgabe. Du rechnest ins Heft.

Fit für das Kapitel?

Das brauchst du aus früheren Themen. Klappt es nicht, frag nach, bevor es losgeht.

ÜbenWeißt du das noch?

Punkt vor Strich und Klammer zuerst – so steht es seit Klasse 4 im Heft.

  1. ●39
    Rechne: 45 − 3 · 5
    Lösung zeigen
    1. Punkt vor Strich: erst 3 · 5 = 15
    2. 45 − 15 = 30
    Ergebnis:
    30
  2. ●40
    Rechne: (7 + 6) · 9
    Lösung zeigen
    1. Die Klammer zuerst: 7 + 6 = 13
    2. 13 · 9 = 117
    Ergebnis:
    117

ÜbenWeißt du das noch?

Punkt vor Strich und Klammer zuerst – die Reihenfolge entscheidet über das Ergebnis.

  1. ●41
    Berechne: 12 + 2 · 2
    Lösung zeigen
    1. Punkt vor Strich: erst 2 · 2 = 4
    2. 12 + 4 = 16
    Ergebnis:
    16
  2. ●42
    Ich denke mir eine Zahl, addiere 17 und erhalte 29. Welche Zahl war es? (Umkehraufgabe)
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    12

So kannst du es dir vorstellen

EntdeckenZahlen umbauen, ohne den Wert zu ändern

Eine Rechnung lässt sich umbauen, ohne dass sich ihr Wert ändert. Zahlen tauschen die Plätze, bilden neue Gruppen oder werden zerlegt. Wer das sieht, rechnet mit glatten Zahlen statt mit krummen.

17 plus 38 plus 3: Erst 17 und 3 zu 20 zusammenfassen, dann 20 plus 38 sind 5817 + 38 + 317 + 3 = 20= 20 + 38 = 58

WeiterdenkenDenk nach

Warum darf man bei 25 + 38 + 75 zuerst 25 und 75 addieren, bei 50 − 20 − 10 aber nicht zuerst 20 − 10?

1Ich rechne Plusaufgaben und Malaufgaben geschickt durch Vertauschen und Zusammenfassen.

EntdeckenFrage

Wie konnte der neunjährige Carl Friedrich Gauß die Zahlen von 1 bis 100 in wenigen Minuten addieren?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Er hat die Zahlen in Paare umsortiert: 1 und 100, 2 und 99, 3 und 98. Jedes Paar ergibt 101, und es sind 50 Paare. Also 50 · 101 = 5050. Er hat nur vertauscht und neu zusammengefasst.

MerkenVertauschen und zusammenfassen

Beim Plus und beim Mal darf man die Zahlen vertauschen und anders zusammenfassen.

Erst die Zahlen nehmen, die zusammen glatt werden.

BeispielPlusaufgaben geschickt: vertauschen und zusammenfassen

Welche Zahlen fasst du bei 24 + 45 + 26 zuerst zusammen? Begründe und rechne.
244526
Schritt für Schritt
  1. Vertauschen: 24 + 26 + 45
  2. 24 + 26 = 50
  3. Zusammen glatt, der Rest ist leicht: 50 + 45 = 95
  1. Vertauschen: 24 + 26 + 45
  2. 24 + 26 = 50
  3. Zusammen glatt, der Rest ist leicht: 50 + 45 = 95
Ergebnis:
95

AchtungBeim Minus oder Geteilt vertauscht

So nicht
50 − 20 − 10: erst 20 − 10 = 10, dann 50 − 10 = 40
So richtig
50 − 20 − 10 = 30 − 10 = 20

Vertauschen ist nur beim Plus und beim Mal erlaubt. 20 − 5 ist nicht 5 − 20.

ÜbenJetzt du

  1. ○1
    Rechne geschickt: 11 + 48 + 9
    11489
    So fängst du an:
    Vertauschen: 11 + 9 + 48
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 11 + 9 + 48
    2. 11 + 9 = 20
    3. 20 + 48 = 68
    Ergebnis:
    68
  2. ●2
    Lea rechnet 18 + 61 + 42 von links nach rechts. Zeige einen schnelleren Weg mit einem Rechenvorteil.
    186142
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 18 + 42 + 61
    2. 18 + 42 = 60
    3. 60 + 61 = 121
    Ergebnis:
    121
  3. ★3
    Welche Zahlen fasst du bei 14 + 228 + 48 + 86 + 52 zuerst zusammen? Begründe und rechne.
    14228488652
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 14 + 86 + 48 + 52 + 228
    2. 14 + 86 = 100 und 48 + 52 = 100
    3. Zusammen glatt, der Rest ist leicht: 100 + 100 + 228 = 428
    Ergebnis:
    428

2Ich verändere Summen gegensinnig und Differenzen gleichsinnig.

EntdeckenFrage

Warum rechnen Kassiererinnen 3,99 € mal 4 schneller als ein Kunde mit Papier?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Sie rechnen 4 mal 4 € und ziehen dann 4 Cent ab: 16,00 € − 0,04 € = 15,96 €. Das ist Zerlegen: 3,99 ist 4 minus 1 Cent. Der Rechenweg ist kurz, weil er über die glatte Zahl geht.

MerkenGegensinnig und gleichsinnig

Bei einer Summe gibt ein Summand ab, was der andere bekommt.

Bei einer Differenz ändern sich beide Zahlen gleich, der Abstand bleibt.

BeispielSummen gegensinnig verändern

Lea rechnet 197 + 57 als 200 + 57. Was muss Lea danach noch tun? Was kommt heraus?
19757
Schritt für Schritt
  1. Lea hat 197 um 3 vergrößert.
  2. Die Summe ist dadurch um 3 zu groß: 200 + 57 = 257.
  3. 3 wieder abziehen: 257 − 3 = 254
  1. Lea hat 197 um 3 vergrößert.
  2. Die Summe ist dadurch um 3 zu groß: 200 + 57 = 257.
  3. 3 wieder abziehen: 257 − 3 = 254
Ergebnis:
254

AchtungNur eine Zahl verändert

So nicht
143 − 97: 143 − 100 = 43
So richtig
143 − 97 = 146 − 100 = 46

Bei der Summe gegensinnig, bei der Differenz gleichsinnig: Immer beide Zahlen verändern.

ÜbenJetzt du

  1. ○4
    Rechne geschickt durch gegensinniges Verändern: 197 + 48
    19748
    So fängst du an:
    197 bekommt 3 dazu, 48 gibt 3 ab.
    Lösung zeigen
    1. 197 bekommt 3 dazu, 48 gibt 3 ab.
    2. 197 + 48 = 200 + 45
    3. 200 + 45 = 245
    Ergebnis:
    245
  2. ●5
    Milan rechnet 198 + 47 als 200 + 47. Was muss Milan danach noch tun? Was kommt heraus?
    19847
    Lösung zeigen
    1. Milan hat 198 um 2 vergrößert.
    2. Die Summe ist dadurch um 2 zu groß: 200 + 47 = 247.
    3. 2 wieder abziehen: 247 − 2 = 245
    Ergebnis:
    245
  3. ★6
    Rechne geschickt durch gegensinniges Verändern: 998 + 485
    998485
    Lösung zeigen
    1. 998 bekommt 2 dazu, 485 gibt 2 ab.
    2. 998 + 485 = 1000 + 483
    3. 1000 + 483 = 1483
    Ergebnis:
    1483

3Ich nehme halbschriftlich mal, indem ich einen Faktor zerlege.

EntdeckenFrage

Wie haben Bauern in Russland früher ohne Einmaleins multipliziert?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Sie haben eine Zahl immer halbiert und die andere verdoppelt, bis links eine 1 stand. Dann addierten sie die rechten Zahlen der Zeilen mit ungerader linker Zahl. Das Verfahren heißt russische Bauernmultiplikation und nutzt, dass Verdoppeln und Halbieren das Produkt nicht ändert.

MerkenMalnehmen mit Zerlegen

Einen Faktor zerlegen, jeden Teil malnehmen und die Teilergebnisse addieren.

So wird 7 · 48 zu 7 · 40 + 7 · 8.

BeispielHalbschriftlich malnehmen mit Zerlegen

Rechne geschickt über die glatte Zahl: 6 · 49
Schritt für Schritt
  1. 49 = 50 − 1
  2. 6 · 50 = 300 und 6 · 1 = 6
  3. 300 − 6 = 294
  1. 49 = 50 − 1
  2. 6 · 50 = 300 und 6 · 1 = 6
  3. 300 − 6 = 294
Ergebnis:
294

AchtungBeim Zerlegen einen Teil vergessen

So nicht
7 · 48: 7 · 40 + 8 = 288
So richtig
7 · 48 = 7 · 40 + 7 · 8 = 280 + 56 = 336

Jeder Teil des zerlegten Faktors wird malgenommen, nicht nur der erste.

ÜbenJetzt du

  1. ○7
    Es gibt 8 Hefte mit je 16 Hefte. Wie viele Hefte sind es? Rechne halbschriftlich.
    So fängst du an:
    8 · 16
    Lösung zeigen
    1. 8 · 16
    2. 16 = 10 + 6
    3. 8 · 10 = 80 und 8 · 6 = 48
    4. 80 + 48 = 128
    Ergebnis:
    128 Hefte
  2. ●8
    Rechne geschickt über die glatte Zahl: 7 · 19
    Lösung zeigen
    1. 19 = 20 − 1
    2. 7 · 20 = 140 und 7 · 1 = 7
    3. 140 − 7 = 133
    Ergebnis:
    133
  3. ★9
    Rechne halbschriftlich mit Stellenwerten: 7 · 481
    Lösung zeigen
    1. 481 = 400 + 80 + 1
    2. 7 · 400 = 2800; 7 · 80 = 560; 7 · 1 = 7
    3. 2800 + 560 + 7 = 3367
    Ergebnis:
    3367

4Ich dividiere halbschriftlich, indem ich die Zahl geschickt zerlege.

EntdeckenFrage

Warum ist 25 mal 4 ein Lieblingspaar beim Kopfrechnen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

25 mal 4 ergibt genau 100. Kommen 25 und 4 in einer Malaufgabe vor, fasst man sie zuerst zusammen. Aus 25 · 37 · 4 wird dann 100 · 37 = 3700, ganz ohne schriftliches Rechnen.

MerkenTeilen mit Zerlegen

Die Zahl so zerlegen, dass jeder Teil glatt aufgeht. So wird 385 : 7 zu 350 : 7 + 35 : 7.

BeispielHalbschriftlich dividieren

Zerlege 204 so in zwei Zahlen, dass du beide leicht durch 6 dividieren kannst. Was ergibt 204 : 6?
204: 6
Schritt für Schritt
  1. 204 = 180 + 24
  2. 180 : 6 = 30 und 24 : 6 = 4
  3. 30 + 4 = 34
  1. 204 = 180 + 24
  2. 180 : 6 = 30 und 24 : 6 = 4
  3. 30 + 4 = 34
Ergebnis:
34

AchtungBeim Teilen nicht passend zerlegt

So nicht
385 : 7: 300 : 7 geht nicht glatt → aufgegeben
So richtig
385 : 7 = 350 : 7 + 35 : 7 = 50 + 5 = 55

Jeder Teil muss sich glatt teilen lassen. Erst ein großes Vielfaches abspalten.

ÜbenJetzt du

  1. ○10
    Zerlege 175 so in zwei Zahlen, dass du beide leicht durch 7 dividieren kannst. Was ergibt 175 : 7?
    175: 7
    So fängst du an:
    175 = 140 + 35
    Lösung zeigen
    1. 175 = 140 + 35
    2. 140 : 7 = 20 und 35 : 7 = 5
    3. 20 + 5 = 25
    Ergebnis:
    25
  2. ●11
    Rechne halbschriftlich: 78 : 3
    Lösung zeigen
    1. 78 = 60 + 18
    2. 60 : 3 = 20 und 18 : 3 = 6
    3. 20 + 6 = 26
    Ergebnis:
    26
  3. ★12
    Rechne halbschriftlich: 540 : 5
    Lösung zeigen
    1. 540 = 500 + 40
    2. 500 : 5 = 100 und 40 : 5 = 8
    3. 100 + 8 = 108
    Ergebnis:
    108

5Ich finde Aufgaben mit gleichem Ergebnis und vergleiche Rechenausdrücke.

EntdeckenFrage

Warum stimmt der Trick „mal 9 ist mal 10 minus einmal“ immer?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Neunmal eine Zahl ist zehnmal die Zahl minus einmal die Zahl. So wird 9 · 47 zu 470 − 47 = 423. Das ist das Verteilungsgesetz: 9 ist 10 minus 1.

MerkenAusdrücke mit gleichem Wert

Verschiedene Rechenausdrücke können denselben Wert haben.

Wer die Rechengesetze nutzt, sieht das oft ohne Ausrechnen.

BeispielAufgaben mit gleichem Ergebnis

Ergänze die Lücke: 17 + 89 = 27 + ___
17 + 89=27 + ?
Schritt für Schritt
  1. 17 wird zu 27: 10 mehr.
  2. Damit die Summe gleich bleibt, wird 89 um 10 kleiner.
  3. 89 − 10 = 79
  1. 17 wird zu 27: 10 mehr.
  2. Damit die Summe gleich bleibt, wird 89 um 10 kleiner.
  3. 89 − 10 = 79
Ergebnis:
79

AchtungPunkt vor Strich missachtet

So nicht
9 + 5 · 7 = 14 · 7 = 98
So richtig
9 + 5 · 7 = 9 + 35 = 44

Klammer zuerst, dann Mal und Geteilt, dann Plus und Minus.

ÜbenJetzt du

  1. ○13
    Finde die fehlende Zahl mit einem Rechengesetz: 71 − 35 = ___ − 45
    So fängst du an:
    35 wird zu 45: 10 mehr.
    Lösung zeigen
    1. 35 wird zu 45: 10 mehr.
    2. Damit der Abstand bleibt, wird auch 71 um 10 größer.
    3. 71 + 10 = 81
    Ergebnis:
    81
  2. ●14
    Finde die fehlende Zahl mit einem Rechengesetz: 14 · 8 = 7 · ___
    14 · 8=7 · ?
    Lösung zeigen
    1. 14 wird halb so groß: 7.
    2. Damit das Ergebnis gleich bleibt, wird 8 doppelt so groß.
    3. 8 · 2 = 16
    Ergebnis:
    16
  3. ★15
    Ergänze die Lücke: 6 · 21 + 6 · 9 = 6 · ___
    6 · 21 + 6 · 9=6 · ?
    Lösung zeigen
    1. Beide Produkte haben den Faktor 6.
    2. 6 mal 21 und 6 mal 9 sind zusammen 6 mal (21 + 9).
    3. 21 + 9 = 30
    Ergebnis:
    30

6Ich rechne mit Verdoppeln und Halbieren und prüfe, ob das Ergebnis gleich bleibt.

EntdeckenFrage

Wie merkt man in Sekunden, dass 98 · 102 nicht 99.960 sein kann?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Man rechnet nicht, man überschlägt: 100 · 100 = 10.000. Das Ergebnis muss also in der Nähe von 10.000 liegen. 99.960 ist fast zehnmal so groß und kann nicht stimmen. Richtig ist 9996.

MerkenVerdoppeln und halbieren

Wird ein Faktor verdoppelt und der andere halbiert, bleibt das Produkt gleich.

Werden beide verdoppelt, wird es viermal so groß.

BeispielVerdoppeln und Halbieren

Mia verdoppelt bei 14 · 5 beide Faktoren und rechnet 28 · 10. Bleibt das Ergebnis gleich?
Schritt für Schritt
  1. Einmal verdoppeln macht das Ergebnis doppelt so groß, zweimal viermal so groß.
  2. 28 · 10 = 280, aber 14 · 5 = 70
  3. Richtig ist: einen verdoppeln, den anderen halbieren.
  1. Einmal verdoppeln macht das Ergebnis doppelt so groß, zweimal viermal so groß.
  2. 28 · 10 = 280, aber 14 · 5 = 70
  3. Richtig ist: einen verdoppeln, den anderen halbieren.
Ergebnis:
Nein, viermal so groß; richtig ist 70

AchtungBeide Faktoren verdoppelt

So nicht
8 · 25 → 16 · 50 = 800
So richtig
8 · 25 → 4 · 50 = 200

Nur einer wird verdoppelt, der andere halbiert. Sonst ändert sich das Ergebnis.

ÜbenJetzt du

  1. ○16
    Mia verdoppelt bei 12 · 15 beide Faktoren und rechnet 24 · 30. Bleibt das Ergebnis gleich?
    So fängst du an:
    Einmal verdoppeln macht das Ergebnis doppelt so groß, zweimal viermal so groß.
    Lösung zeigen
    1. Einmal verdoppeln macht das Ergebnis doppelt so groß, zweimal viermal so groß.
    2. 24 · 30 = 720, aber 12 · 15 = 180
    3. Richtig ist: einen verdoppeln, den anderen halbieren.
    Ergebnis:
    Nein, viermal so groß; richtig ist 180
  2. ●17
    Ben verdoppelt bei 14 · 15 beide Faktoren und rechnet 28 · 30. Bleibt das Ergebnis gleich?
    Lösung zeigen
    1. Einmal verdoppeln macht das Ergebnis doppelt so groß, zweimal viermal so groß.
    2. 28 · 30 = 840, aber 14 · 15 = 210
    3. Richtig ist: einen verdoppeln, den anderen halbieren.
    Ergebnis:
    Nein, viermal so groß; richtig ist 210
  3. ★18
    Warum ist 12 · 75 dasselbe wie 6 · 150? Rechne dann geschickt.
    Lösung zeigen
    1. Halb so viele Reihen, jede doppelt so lang: gleich viele Kästchen.
    2. 12 · 75 = 6 · 150
    3. 6 · 150 = 900
    Ergebnis:
    900

7Ich wähle zu einer Aufgabe den passenden Rechenweg.

EntdeckenFrage

Wie rechnen Darts-Profis blitzschnell aus, wie viele Punkte ihnen von 501 noch fehlen, wenn sie 140 geworfen haben?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Der geschickte Weg nimmt erst eine runde Zahl. 500 − 140 = 360, und der eine Extrapunkt kommt dazu: 361. Das geht schneller als 501 − 140 Stelle für Stelle. Am Ergebnis ändert der Weg nichts.

MerkenDen passenden Weg wählen

Vor dem Rechnen die Zahlen ansehen.

Liegt eine Zahl nahe an einer glatten, lohnt sich ein Vorteil, sonst rechnet man schriftlich.

BeispielDen passenden Rechenweg wählen

Welcher Weg passt zu 18 · 5? Nenne ihn und rechne.
18 · 5zerlegenhalbieren und verdoppelnschriftlich
Schritt für Schritt
  1. 5 wird verdoppelt glatt: halbieren und verdoppeln.
  2. 18 · 5 = 9 · 10
  3. 9 · 10 = 90
  1. 5 wird verdoppelt glatt: halbieren und verdoppeln.
  2. 18 · 5 = 9 · 10
  3. 9 · 10 = 90
Ergebnis:
halbieren und verdoppeln, 90

AchtungUmständlichen Weg gewählt

So nicht
299 + 158 schriftlich untereinander gerechnet, dabei verrechnet: 447
So richtig
299 + 158 = 300 + 157 = 457

Erst die Zahlen ansehen: Liegt eine nahe an einer glatten Zahl?

ÜbenJetzt du

  1. ○19
    Welcher Weg passt zu 4 · 77? Nenne ihn und rechne.
    4 · 77zerlegenhalbieren und verdoppelnschriftlich
    So fängst du an:
    Den zweiten Faktor zerlegen: 77 = 70 + 7.
    Lösung zeigen
    1. Den zweiten Faktor zerlegen: 77 = 70 + 7.
    2. 4 · 70 = 280 und 4 · 7 = 28
    3. Zusammen: 308
    Ergebnis:
    zerlegen, 308
  2. ●20
    Wie rechnest du am schnellsten: 7 · 89? Nenne ihn und rechne.
    Lösung zeigen
    1. Den zweiten Faktor zerlegen: 89 = 80 + 9.
    2. 7 · 80 = 560 und 7 · 9 = 63
    3. Zusammen: 623
    Ergebnis:
    zerlegen, 623
  3. ★21
    Wie rechnest du am schnellsten: 9 · 44? Nenne ihn und rechne.
    Lösung zeigen
    1. Den zweiten Faktor zerlegen: 44 = 40 + 4.
    2. 9 · 40 = 360 und 9 · 4 = 36
    3. Zusammen: 396
    Ergebnis:
    zerlegen, 396

8Ich finde Rechenfehler mit Überschlag und Umkehraufgabe.

EntdeckenFrage

Warum zählt man Rückgeld vom Preis aus nach oben, statt abzuziehen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Wer 13,40 € zahlen muss und 20 € gibt, bekommt 20 − 13,40 = 6,60 € zurück. Beim Hochzählen rechnet man die Umkehraufgabe: 13,40 + 6,60 = 20. Kommt man genau auf den gegebenen Betrag, stimmt das Rückgeld.

MerkenÜberschlag und Umkehraufgabe

Ein Überschlag mit runden Zahlen zeigt, ob ein Ergebnis stimmen kann.

Die Umkehraufgabe prüft es genau.

BeispielRechenfehler mit Überschlag und Umkehraufgabe finden

Emma rechnet 828 : 9 und erhält 93. Prüfe mit der Umkehraufgabe.
828 : 9Ergebnis 93?
Schritt für Schritt
  1. Umkehraufgabe: 93 · 9 = 837
  2. 837 ist nicht 828: Es ist falsch.
  3. 828 : 9 = 92
  1. Umkehraufgabe: 93 · 9 = 837
  2. 837 ist nicht 828: Es ist falsch.
  3. 828 : 9 = 92
Ergebnis:
falsch, richtig ist 92

AchtungErgebnis nicht geprüft

So nicht
425 : 5 = 805, ohne Probe ins Heft
So richtig
425 : 5 → Überschlag 400 : 5 = 80 → 85, Probe 85 · 5 = 425

Mit einem Überschlag prüfen, ob die Größenordnung stimmt, dann mit der Umkehraufgabe.

ÜbenJetzt du

  1. ○22
    Tom rechnet 366 − 140 und erhält 216. Prüfe mit der Umkehraufgabe.
    So fängst du an:
    Umkehraufgabe: 216 + 140 = 356
    Lösung zeigen
    1. Umkehraufgabe: 216 + 140 = 356
    2. 356 ist nicht 366: Es ist falsch.
    3. 366 − 140 = 226
    Ergebnis:
    falsch, richtig ist 226
  2. ●23
    Lina rechnet 324 : 4 und erhält 81. Prüfe mit der Umkehraufgabe.
    324 : 4Ergebnis 81?
    Lösung zeigen
    1. Umkehraufgabe: 81 · 4 = 324
    2. 324 ist genau 324: Es stimmt.
    3. 324 : 4 = 81
    Ergebnis:
    stimmt, 81
  3. ★24
    Hanna erhält für 147 · 39 das Ergebnis 5633. Prüfe mit einem Überschlag.
    Lösung zeigen
    1. Überschlag: 100 · 40 = 4000
    2. 5633 liegt in der Nähe. Genau rechnen: 147 · 39 = 5733
    3. Das Ergebnis ist falsch.
    Ergebnis:
    falsch, richtig ist 5733

Vermischte Übungen

Alles durcheinander – wie in der Arbeit. Überleg bei jeder Aufgabe zuerst: Welches Ziel ist das?

Üben

  1. ●25
    Rechne geschickt: 12 + 72 + 38
    127238
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 12 + 38 + 72
    2. 12 + 38 = 50
    3. 50 + 72 = 122
    Ergebnis:
    122
  2. ●26
    Welche zwei Zahlen ergeben bei 25 · 15 · 4 zusammen eine glatte Zahl? Rechne damit.
    25154
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 25 · 4 · 15
    2. 25 · 4 = 100
    3. 100 · 15 = 1500
    Ergebnis:
    1500
  3. ●27
    Ergänze so, dass die Summe gleich bleibt: 198 + 58 = 200 + ___
    19858
    Lösung zeigen
    1. 198 wird zu 200: 2 mehr.
    2. Also muss 58 um 2 kleiner werden: 58 − 2 = 56
    3. 200 + 56 = 256
    Ergebnis:
    56
  4. ●28
    Rechne geschickt durch gleichsinniges Verändern: 85 − 37
    Lösung zeigen
    1. Beide Zahlen um 3 vergrößern: Der Abstand bleibt gleich.
    2. 85 − 37 = 88 − 40
    3. 88 − 40 = 48
    Ergebnis:
    48
  5. ●29
    Rechne halbschriftlich: Zerlege den zweiten Faktor. 9 · 39
    Lösung zeigen
    1. 39 = 30 + 9
    2. 9 · 30 = 270 und 9 · 9 = 81
    3. 270 + 81 = 351
    Ergebnis:
    351
  6. ●30
    Welche zwei Malaufgaben zeigen die beiden Teile des Rechtecks? Was ergibt 4 · 22?
    2024
    Lösung zeigen
    1. Links: 4 · 20 = 80
    2. Rechts: 4 · 2 = 8
    3. 4 · 22 = 80 + 8 = 88
    Ergebnis:
    4 · 20 und 4 · 2, zusammen 88

Auf einen Blick

MerkenDas Wichtigste

Vertauschen und zusammenfassen
Beim Plus und beim Mal darf man die Zahlen vertauschen und anders zusammenfassen.
Gegensinnig und gleichsinnig
Bei einer Summe gibt ein Summand ab, was der andere bekommt.
Malnehmen mit Zerlegen
Einen Faktor zerlegen, jeden Teil malnehmen und die Teilergebnisse addieren.
Teilen mit Zerlegen
Die Zahl so zerlegen, dass jeder Teil glatt aufgeht. So wird 385 : 7 zu 350 : 7 + 35 : 7.
Ausdrücke mit gleichem Wert
Verschiedene Rechenausdrücke können denselben Wert haben.
Verdoppeln und halbieren
Wird ein Faktor verdoppelt und der andere halbiert, bleibt das Produkt gleich.
Den passenden Weg wählen
Vor dem Rechnen die Zahlen ansehen.
Überschlag und Umkehraufgabe
Ein Überschlag mit runden Zahlen zeigt, ob ein Ergebnis stimmen kann.

Kannst du das?

Je Ziel eine Aufgabe. Rechne sie ins Heft, dann kreuz ehrlich an. Keine Punkte, keine Note – der Test ist für dich.

ÜbenSelbsttest

  1. Ich rechne Plusaufgaben und Malaufgaben geschickt durch Vertauschen und Zusammenfassen.

    31
    Welche Zahlen fasst du bei 95 + 12 + 5 zuerst zusammen? Begründe und rechne.
    95125
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    112

  2. Ich verändere Summen gegensinnig und Differenzen gleichsinnig.

    32
    Ergänze so, dass die Summe gleich bleibt: 69 + 73 = 70 + ___
    6973
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    72

  3. Ich nehme halbschriftlich mal, indem ich einen Faktor zerlege.

    33
    Rechne halbschriftlich: Zerlege den zweiten Faktor. 7 · 45
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    315

  4. Ich dividiere halbschriftlich, indem ich die Zahl geschickt zerlege.

    34
    288 Bücher werden gleichmäßig auf 9 Regalböden aufgeteilt. Wie viele bekommt jeder Teil? Rechne halbschriftlich.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    32 Bücher

  5. Ich finde Aufgaben mit gleichem Ergebnis und vergleiche Rechenausdrücke.

    35
    Ergänze die Lücke: 6 · 9 = 3 · ___
    6 · 9=3 · ?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    18

  6. Ich rechne mit Verdoppeln und Halbieren und prüfe, ob das Ergebnis gleich bleibt.

    36
    Jonas verdoppelt bei 8 · 25 beide Faktoren und rechnet 16 · 50. Bleibt das Ergebnis gleich?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    Nein, viermal so groß; richtig ist 200

  7. Ich wähle zu einer Aufgabe den passenden Rechenweg.

    37
    Welchen Rechenvorteil nutzt du bei 9 · 44? Nenne ihn und rechne.
    9 · 44zerlegenhalbieren und verdoppelnschriftlich
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    zerlegen, 396

  8. Ich finde Rechenfehler mit Überschlag und Umkehraufgabe.

    38
    Jonas rechnet 352 : 8 und erhält 46. Prüfe mit der Umkehraufgabe.
    352 : 8Ergebnis 46?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    falsch, richtig ist 44

Bei „unsicher“ oder „noch nicht“: Lies den Abschnitt zum Ziel noch einmal und rechne seine drei Aufgaben.

Die Frage vom Anfang

EntdeckenRückschau

Rechne im Kopf, so schnell du kannst: 25 · 17 · 4. Schreib nichts auf und nimm keinen Taschenrechner.

Lies deine Vermutung vom Anfang. Kannst du die Frage jetzt mit dem Kapitel beantworten?

Auflösung

Mit dem Werkzeug aus diesem Kapitel: Vertauschen und Zusammenfassen: erst die Zahlen, die zusammen glatt werden.

Wo brauchst du das?

Entdecken

Preise im Kopf addieren, Rückgeld überschlagen, Mengen für ein Fest ausrechnen. Beruf: Kasse und Verkauf, Handwerk beim Materialberechnen, Lager und Versand.

Wörter

Differenz
was übrig bleibt, wenn man abzieht
Gleichung
zwei Rechnungen, die gleich viel wert sind
Produkt
was herauskommt, wenn man malnimmt
Summe
was herauskommt, wenn man zusammenzählt
Teiler
eine Zahl, durch die es ohne Rest aufgeht

Wie es zusammenhängt

Das brauchst du vorher: Rechenregeln, Teiler und Vielfache, Natürliche Zahlen und Stellenwert

Darauf baut auf: Sachaufgaben lösen

Lösungen

  1. 68
  2. 121
  3. 428
  4. 245
  5. 245
  6. 1483
  7. 128 Hefte
  8. 133
  9. 3367
  10. 25
  11. 26
  12. 108
  13. 81
  14. 16
  15. 30
  16. Nein, viermal so groß; richtig ist 180
  17. Nein, viermal so groß; richtig ist 210
  18. 900
  19. zerlegen, 308
  20. zerlegen, 623
  21. zerlegen, 396
  22. falsch, richtig ist 226
  23. stimmt, 81
  24. falsch, richtig ist 5733
  25. 122
  26. 1500
  27. 56
  28. 48
  29. 351
  30. 4 · 20 und 4 · 2, zusammen 88
  31. 112
  32. 72
  33. 315
  34. 32 Bücher
  35. 18
  36. Nein, viermal so groß; richtig ist 200
  37. zerlegen, 396
  38. falsch, richtig ist 44
  39. 30
  40. 117
  41. 16
  42. 12