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Mathematik · Klasse 5 · Kapitel

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Rechengesetze und Rechenvorteile

EntdeckenDie Frage zum Kapitel

Rechne im Kopf, so schnell du kannst: 25 · 17 · 4. Schreib nichts auf und nimm keinen Taschenrechner.

Schreib eine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Für die Lehrkraft: Die meisten rechnen von links: 25 · 17 und kommen durcheinander. Andere geben auf oder raten. Nur wenige sehen, dass 25 und 4 zusammen 100 ergeben. Beim Malnehmen darf man die Zahlen vertauschen. Dann steht 25 · 4 · 17 da, also 100 · 17. Das Ergebnis ist 1700, in einer Sekunde.

  • Entdecken Frage, Vorstellung, Bild
  • Merken kommt ins Heft
  • Beispiel vorgerechnet, Schritt für Schritt
  • Üben selbst rechnen
  • Achtung typischer Fehler
  • Weiterdenken zum Knobeln und Vernetzen

○ mit Starthilfe, ● für alle, ★ zum Weiterdenken. Du wählst mindestens eine ★-Aufgabe. Du rechnest ins Heft.

Fit für das Kapitel?

Das brauchst du aus früheren Themen. Klappt es nicht, frag nach, bevor es losgeht.

ÜbenWeißt du das noch?

Punkt vor Strich und Klammer zuerst – so steht es seit Klasse 4 im Heft.

  1. ●39
    Rechne: 7 + 2 · 8
    Lösung zeigen
    1. Punkt vor Strich: erst 2 · 8 = 16
    2. 7 + 16 = 23
    Ergebnis:
    23
  2. ●40
    Rechne: (5 + 2) · 6
    Lösung zeigen
    1. Die Klammer zuerst: 5 + 2 = 7
    2. 7 · 6 = 42
    Ergebnis:
    42

ÜbenWeißt du das noch?

Punkt vor Strich und Klammer zuerst – die Reihenfolge entscheidet über das Ergebnis.

  1. ●41
    Berechne: 7 + 3 · 9
    Lösung zeigen
    1. Punkt vor Strich: erst 3 · 9 = 27
    2. 7 + 27 = 34
    Ergebnis:
    34
  2. ●42
    Ich denke mir eine Zahl, addiere 39 und erhalte 49. Welche Zahl war es? (Umkehraufgabe)
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    10

So kannst du es dir vorstellen

EntdeckenZahlen umbauen, ohne den Wert zu ändern

Eine Rechnung lässt sich umbauen, ohne dass sich ihr Wert ändert. Zahlen tauschen die Plätze, bilden neue Gruppen oder werden zerlegt. Wer das sieht, rechnet mit glatten Zahlen statt mit krummen.

17 plus 38 plus 3: Erst 17 und 3 zu 20 zusammenfassen, dann 20 plus 38 sind 5817 + 38 + 317 + 3 = 20= 20 + 38 = 58

WeiterdenkenDenk nach

Warum darf man bei 25 + 38 + 75 zuerst 25 und 75 addieren, bei 50 − 20 − 10 aber nicht zuerst 20 − 10?

1Ich rechne Plusaufgaben und Malaufgaben geschickt durch Vertauschen und Zusammenfassen.

EntdeckenFrage

Wie konnte der neunjährige Carl Friedrich Gauß die Zahlen von 1 bis 100 in wenigen Minuten addieren?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Er hat die Zahlen in Paare umsortiert: 1 und 100, 2 und 99, 3 und 98. Jedes Paar ergibt 101, und es sind 50 Paare. Also 50 · 101 = 5050. Er hat nur vertauscht und neu zusammengefasst.

MerkenVertauschen und zusammenfassen

Beim Plus und beim Mal darf man die Zahlen vertauschen und anders zusammenfassen.

Erst die Zahlen nehmen, die zusammen glatt werden.

BeispielPlusaufgaben geschickt: vertauschen und zusammenfassen

Welche Zahlen fasst du bei 29 + 77 + 31 zuerst zusammen? Begründe. Rechne danach.
297731
Schritt für Schritt
  1. Vertauschen: 29 + 31 + 77
  2. 29 + 31 = 60
  3. Zusammen glatt, der Rest ist leicht: 60 + 77 = 137
  1. Vertauschen: 29 + 31 + 77
  2. 29 + 31 = 60
  3. Zusammen glatt, der Rest ist leicht: 60 + 77 = 137
Ergebnis:
137

AchtungBeim Minus oder Geteilt vertauscht

So nicht
50 − 20 − 10: erst 20 − 10 = 10, dann 50 − 10 = 40
So richtig
50 − 20 − 10 = 30 − 10 = 20

Vertauschen ist nur beim Plus und beim Mal erlaubt. 20 − 5 ist nicht 5 − 20.

ÜbenJetzt du

  1. ○1
    Lea rechnet 17 + 88 + 13 von links nach rechts. Zeige einen schnelleren Weg mit einem Rechenvorteil.
    178813
    So fängst du an:
    Vertauschen: 17 + 13 + 88
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 17 + 13 + 88
    2. 17 + 13 = 30
    3. 30 + 88 = 118
    Ergebnis:
    118
  2. ●2
    Welche Zahlen fasst du bei 71 + 51 + 29 zuerst zusammen? Begründe. Rechne danach.
    715129
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 71 + 29 + 51
    2. 71 + 29 = 100
    3. Zusammen glatt, der Rest ist leicht: 100 + 51 = 151
    Ergebnis:
    151
  3. ★3
    Welche Zahlen fasst du bei 777 + 382 + 223 zuerst zusammen? Begründe. Rechne danach.
    777382223
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 777 + 223 + 382
    2. 777 + 223 = 1000
    3. Zusammen glatt, der Rest ist leicht: 1000 + 382 = 1382
    Ergebnis:
    1382

2Ich verändere Summen gegensinnig und Differenzen gleichsinnig.

EntdeckenFrage

Warum rechnen Kassiererinnen 3,99 € mal 4 schneller als ein Kunde mit Papier?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Sie rechnen 4 mal 4 € und ziehen dann 4 Cent ab: 16,00 € − 0,04 € = 15,96 €. Das ist Zerlegen: 3,99 ist 4 minus 1 Cent. Der Rechenweg ist kurz, weil er über die glatte Zahl geht.

MerkenGegensinnig und gleichsinnig

Bei einer Summe gibt ein Summand ab, was der andere bekommt.

Bei einer Differenz ändern sich beide Zahlen gleich, der Abstand bleibt.

BeispielSummen gegensinnig verändern

Ergänze so, dass die Summe gleich bleibt: 38 + 97 = 40 + ___
3897
Schritt für Schritt
  1. 38 wird zu 40: 2 mehr.
  2. Also muss 97 um 2 kleiner werden: 97 − 2 = 95
  3. 40 + 95 = 135
  1. 38 wird zu 40: 2 mehr.
  2. Also muss 97 um 2 kleiner werden: 97 − 2 = 95
  3. 40 + 95 = 135
Ergebnis:
95

AchtungNur eine Zahl verändert

So nicht
143 − 97: 143 − 100 = 43
So richtig
143 − 97 = 146 − 100 = 46

Bei der Summe gegensinnig, bei der Differenz gleichsinnig: Immer beide Zahlen verändern.

ÜbenJetzt du

  1. ○4
    Ergänze so, dass die Summe gleich bleibt: 298 + 97 = 300 + ___
    29897
    So fängst du an:
    298 wird zu 300: 2 mehr.
    Lösung zeigen
    1. 298 wird zu 300: 2 mehr.
    2. Also muss 97 um 2 kleiner werden: 97 − 2 = 95
    3. 300 + 95 = 395
    Ergebnis:
    95
  2. ●5
    Elias rechnet 298 + 35 als 300 + 35. Was muss Elias danach noch tun? Was kommt heraus?
    29835
    Lösung zeigen
    1. Elias hat 298 um 2 vergrößert.
    2. Die Summe ist dadurch um 2 zu groß: 300 + 35 = 335.
    3. 2 wieder abziehen: 335 − 2 = 333
    Ergebnis:
    333
  3. ★6
    Ergänze so, dass die Summe gleich bleibt: 998 + 465 = 1000 + ___
    998465
    Lösung zeigen
    1. 998 wird zu 1000: 2 mehr.
    2. Also muss 465 um 2 kleiner werden: 465 − 2 = 463
    3. 1000 + 463 = 1463
    Ergebnis:
    463

3Ich nehme halbschriftlich mal, indem ich einen Faktor zerlege.

EntdeckenFrage

Wie haben Bauern in Russland früher ohne Einmaleins multipliziert?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Sie haben eine Zahl immer halbiert und die andere verdoppelt, bis links eine 1 stand. Dann addierten sie die rechten Zahlen der Zeilen mit ungerader linker Zahl. Das Verfahren heißt russische Bauernmultiplikation und nutzt, dass Verdoppeln und Halbieren das Produkt nicht ändert.

Ausprobieren: Malnehmen am Rechteck

Länge und Höhe in Teile zerlegen – das Rechteck zerfällt in Teilrechtecke, und jedes ist eine leichte Malaufgabe.

MerkenMalnehmen mit Zerlegen

Einen Faktor zerlegen, jeden Teil malnehmen und die Teilergebnisse addieren.

So wird 7 · 48 zu 7 · 40 + 7 · 8.

BeispielHalbschriftlich malnehmen mit Zerlegen

Es gibt 6 Reihen mit je 59 Stühle. Wie viele Stühle sind es? Rechne halbschriftlich.
Schritt für Schritt
  1. 6 · 59
  2. 59 = 50 + 9
  3. 6 · 50 = 300 und 6 · 9 = 54
  4. 300 + 54 = 354
  1. 6 · 59
  2. 59 = 50 + 9
  3. 6 · 50 = 300 und 6 · 9 = 54
  4. 300 + 54 = 354
Ergebnis:
354 Stühle

AchtungBeim Zerlegen einen Teil vergessen

So nicht
7 · 48: 7 · 40 + 8 = 288
So richtig
7 · 48 = 7 · 40 + 7 · 8 = 280 + 56 = 336

Jeder Teil des zerlegten Faktors wird malgenommen, nicht nur der erste.

ÜbenJetzt du

  1. ○7
    Es gibt 5 Hefte mit je 31 Hefte. Wie viele Hefte sind es? Rechne halbschriftlich.
    So fängst du an:
    5 · 31
    Lösung zeigen
    1. 5 · 31
    2. 31 = 30 + 1
    3. 5 · 30 = 150 und 5 · 1 = 5
    4. 150 + 5 = 155
    Ergebnis:
    155 Hefte
  2. ●8
    Es gibt 8 Reihen mit je 38 Stühle. Wie viele Stühle sind es? Rechne halbschriftlich.
    Lösung zeigen
    1. 8 · 38
    2. 38 = 30 + 8
    3. 8 · 30 = 240 und 8 · 8 = 64
    4. 240 + 64 = 304
    Ergebnis:
    304 Stühle
  3. ★9
    Rechne halbschriftlich mit Stellenwerten: 3 · 163
    Lösung zeigen
    1. 163 = 100 + 60 + 3
    2. 3 · 100 = 300; 3 · 60 = 180; 3 · 3 = 9
    3. 300 + 180 + 9 = 489
    Ergebnis:
    489

4Ich dividiere halbschriftlich, indem ich die Zahl geschickt zerlege.

EntdeckenFrage

Warum ist 25 mal 4 ein Lieblingspaar beim Kopfrechnen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

25 mal 4 ergibt genau 100. Kommen 25 und 4 in einer Malaufgabe vor, fasst man sie zuerst zusammen. Aus 25 · 37 · 4 wird dann 100 · 37 = 3700, ganz ohne schriftliches Rechnen.

MerkenTeilen mit Zerlegen

Die Zahl so zerlegen, dass jeder Teil glatt aufgeht. So wird 385 : 7 zu 350 : 7 + 35 : 7.

BeispielHalbschriftlich dividieren

162 Sticker werden gleichmäßig auf 9 Kinder aufgeteilt. Wie viele bekommt jeder Teil? Rechne halbschriftlich.
Schritt für Schritt
  1. 162 : 9
  2. 162 = 90 + 72
  3. 90 : 9 = 10 und 72 : 9 = 8
  4. 10 + 8 = 18
  1. 162 : 9
  2. 162 = 90 + 72
  3. 90 : 9 = 10 und 72 : 9 = 8
  4. 10 + 8 = 18
Ergebnis:
18 Sticker

AchtungBeim Teilen nicht passend zerlegt

So nicht
385 : 7: 300 : 7 geht nicht glatt → aufgegeben
So richtig
385 : 7 = 350 : 7 + 35 : 7 = 50 + 5 = 55

Jeder Teil muss sich glatt teilen lassen. Erst ein großes Vielfaches abspalten.

ÜbenJetzt du

  1. ○10
    168 Sticker werden gleichmäßig auf 8 Kinder aufgeteilt. Wie viele bekommt jeder Teil? Rechne halbschriftlich.
    So fängst du an:
    168 : 8
    Lösung zeigen
    1. 168 : 8
    2. 168 = 160 + 8
    3. 160 : 8 = 20 und 8 : 8 = 1
    4. 20 + 1 = 21
    Ergebnis:
    21 Sticker
  2. ●11
    Rechne halbschriftlich: 318 : 6
    Lösung zeigen
    1. 318 = 300 + 18
    2. 300 : 6 = 50 und 18 : 6 = 3
    3. 50 + 3 = 53
    Ergebnis:
    53
  3. ★12
    Zerlege 828 so in zwei Zahlen, dass du beide leicht durch 6 dividieren kannst. Was ergibt 828 : 6?
    828: 6
    Lösung zeigen
    1. 828 = 780 + 48
    2. 780 : 6 = 130 und 48 : 6 = 8
    3. 130 + 8 = 138
    Ergebnis:
    138

5Ich finde Aufgaben mit gleichem Ergebnis und vergleiche Rechenausdrücke.

EntdeckenFrage

Warum stimmt der Trick „mal 9 ist mal 10 minus einmal“ immer?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Neunmal eine Zahl ist zehnmal die Zahl minus einmal die Zahl. So wird 9 · 47 zu 470 − 47 = 423. Das ist das Verteilungsgesetz: 9 ist 10 minus 1.

MerkenAusdrücke mit gleichem Wert

Verschiedene Rechenausdrücke können denselben Wert haben.

Wer die Rechengesetze nutzt, sieht das oft ohne Ausrechnen.

BeispielAufgaben mit gleichem Ergebnis

Finde die fehlende Zahl mit einem Rechengesetz: 21 + 63 = 20 + ___
21 + 63=20 + ?
Schritt für Schritt
  1. 21 wird zu 20: 1 weniger.
  2. Damit die Summe gleich bleibt, wird 63 um 1 größer.
  3. 63 + 1 = 64
  1. 21 wird zu 20: 1 weniger.
  2. Damit die Summe gleich bleibt, wird 63 um 1 größer.
  3. 63 + 1 = 64
Ergebnis:
64

AchtungPunkt vor Strich missachtet

So nicht
9 + 5 · 7 = 14 · 7 = 98
So richtig
9 + 5 · 7 = 9 + 35 = 44

Klammer zuerst, dann Mal und Geteilt, dann Plus und Minus.

ÜbenJetzt du

  1. ○13
    Ergänze die Lücke: 89 − 16 = ___ − 21
    So fängst du an:
    16 wird zu 21: 5 mehr.
    Lösung zeigen
    1. 16 wird zu 21: 5 mehr.
    2. Damit der Abstand bleibt, wird auch 89 um 5 größer.
    3. 89 + 5 = 94
    Ergebnis:
    94
  2. ●14
    Welche Zahl fehlt? Rechne nicht beide Seiten aus. 56 + 36 = 66 + ___
    Lösung zeigen
    1. 56 wird zu 66: 10 mehr.
    2. Damit die Summe gleich bleibt, wird 36 um 10 kleiner.
    3. 36 − 10 = 26
    Ergebnis:
    26
  3. ★15
    Ergänze die Lücke: 7 · 62 + 7 · 5 = 7 · ___
    7 · 62 + 7 · 5=7 · ?
    Lösung zeigen
    1. Beide Produkte haben den Faktor 7.
    2. 7 mal 62 und 7 mal 5 sind zusammen 7 mal (62 + 5).
    3. 62 + 5 = 67
    Ergebnis:
    67

6Ich rechne mit Verdoppeln und Halbieren und prüfe, ob das Ergebnis gleich bleibt.

EntdeckenFrage

Wie merkt man in Sekunden, dass 98 · 102 nicht 99.960 sein kann?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Man rechnet nicht, man überschlägt: 100 · 100 = 10.000. Das Ergebnis muss also in der Nähe von 10.000 liegen. 99.960 ist fast zehnmal so groß und kann nicht stimmen. Richtig ist 9996.

MerkenVerdoppeln und halbieren

Wird ein Faktor verdoppelt und der andere halbiert, bleibt das Produkt gleich.

Werden beide verdoppelt, wird es viermal so groß.

BeispielVerdoppeln und Halbieren

Jonas verdoppelt bei 8 · 25 beide Faktoren und rechnet 16 · 50. Bleibt das Ergebnis gleich?
Schritt für Schritt
  1. Einmal verdoppeln macht das Ergebnis doppelt so groß, zweimal viermal so groß.
  2. 16 · 50 = 800, aber 8 · 25 = 200
  3. Richtig ist: einen verdoppeln, den anderen halbieren.
  1. Einmal verdoppeln macht das Ergebnis doppelt so groß, zweimal viermal so groß.
  2. 16 · 50 = 800, aber 8 · 25 = 200
  3. Richtig ist: einen verdoppeln, den anderen halbieren.
Ergebnis:
Nein, viermal so groß; richtig ist 200

AchtungBeide Faktoren verdoppelt

So nicht
8 · 25 → 16 · 50 = 800
So richtig
8 · 25 → 4 · 50 = 200

Nur einer wird verdoppelt, der andere halbiert. Sonst ändert sich das Ergebnis.

ÜbenJetzt du

  1. ○16
    Zeynep verdoppelt bei 8 · 25 beide Faktoren und rechnet 16 · 50. Bleibt das Ergebnis gleich?
    So fängst du an:
    Einmal verdoppeln macht das Ergebnis doppelt so groß, zweimal viermal so groß.
    Lösung zeigen
    1. Einmal verdoppeln macht das Ergebnis doppelt so groß, zweimal viermal so groß.
    2. 16 · 50 = 800, aber 8 · 25 = 200
    3. Richtig ist: einen verdoppeln, den anderen halbieren.
    Ergebnis:
    Nein, viermal so groß; richtig ist 200
  2. ●17
    Rechne geschickt: Halbiere den einen Faktor und verdopple den anderen. 16 · 25
    Lösung zeigen
    1. 16 · 25 = 8 · 50
    2. 8 · 50 = 400
    Ergebnis:
    400
  3. ★18
    Warum ist 14 · 35 dasselbe wie 7 · 70? Rechne dann geschickt.
    Lösung zeigen
    1. Halb so viele Reihen, jede doppelt so lang: gleich viele Kästchen.
    2. 14 · 35 = 7 · 70
    3. 7 · 70 = 490
    Ergebnis:
    490

7Ich wähle zu einer Aufgabe den passenden Rechenweg.

EntdeckenFrage

Wie rechnen Darts-Profis blitzschnell aus, wie viele Punkte ihnen von 501 noch fehlen, wenn sie 140 geworfen haben?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Der geschickte Weg nimmt erst eine runde Zahl. 500 − 140 = 360, und der eine Extrapunkt kommt dazu: 361. Das geht schneller als 501 − 140 Stelle für Stelle. Am Ergebnis ändert der Weg nichts.

MerkenDen passenden Weg wählen

Vor dem Rechnen die Zahlen ansehen.

Liegt eine Zahl nahe an einer glatten, lohnt sich ein Vorteil, sonst rechnet man schriftlich.

BeispielDen passenden Rechenweg wählen

Welcher Weg passt zu 37 + 32 + 63? Nenne ihn. Rechne danach.
37 + 32 + 63zerlegenhalbieren und verdoppelnschriftlich
Schritt für Schritt
  1. Zwei Zahlen ergeben zusammen 100: vertauschen und zusammenfassen.
  2. 37 + 63 = 100
  3. 100 + 32 = 132
  1. Zwei Zahlen ergeben zusammen 100: vertauschen und zusammenfassen.
  2. 37 + 63 = 100
  3. 100 + 32 = 132
Ergebnis:
vertauschen, 132

AchtungUmständlichen Weg gewählt

So nicht
299 + 158 schriftlich untereinander gerechnet, dabei verrechnet: 447
So richtig
299 + 158 = 300 + 157 = 457

Erst die Zahlen ansehen: Liegt eine nahe an einer glatten Zahl?

ÜbenJetzt du

  1. ○19
    Wie rechnest du am schnellsten: 23 + 73 + 77? Nenne ihn. Rechne danach.
    So fängst du an:
    Zwei Zahlen ergeben zusammen 100: vertauschen und zusammenfassen.
    Lösung zeigen
    1. Zwei Zahlen ergeben zusammen 100: vertauschen und zusammenfassen.
    2. 23 + 77 = 100
    3. 100 + 73 = 173
    Ergebnis:
    vertauschen, 173
  2. ●20
    Welchen Rechenvorteil nutzt du bei 16 + 77 + 84? Nenne ihn. Rechne danach.
    16 + 77 + 84zerlegenhalbieren und verdoppelnschriftlich
    Lösung zeigen
    1. Zwei Zahlen ergeben zusammen 100: vertauschen und zusammenfassen.
    2. 16 + 84 = 100
    3. 100 + 77 = 177
    Ergebnis:
    vertauschen, 177
  3. ★21
    Welchen Rechenvorteil nutzt du bei 206 + 399? Nenne ihn. Rechne danach.
    206 + 399zerlegenhalbieren und verdoppelnschriftlich
    Lösung zeigen
    1. 399 liegt knapp unter 400: gegensinnig verändern.
    2. 206 + 399 = 205 + 400
    3. 205 + 400 = 605
    Ergebnis:
    gegensinnig verändern, 605

8Ich finde Rechenfehler mit Überschlag und Umkehraufgabe.

EntdeckenFrage

Warum zählt man Rückgeld vom Preis aus nach oben, statt abzuziehen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Wer 13,40 € zahlen muss und 20 € gibt, bekommt 20 − 13,40 = 6,60 € zurück. Beim Hochzählen rechnet man die Umkehraufgabe: 13,40 + 6,60 = 20. Kommt man genau auf den gegebenen Betrag, stimmt das Rückgeld.

MerkenÜberschlag und Umkehraufgabe

Ein Überschlag mit runden Zahlen zeigt, ob ein Ergebnis stimmen kann.

Die Umkehraufgabe prüft es genau.

BeispielRechenfehler mit Überschlag und Umkehraufgabe finden

Elias erhält für 85 · 40 das Ergebnis 3200. Prüfe mit einem Überschlag.
Schritt für Schritt
  1. Überschlag: 90 · 40 = 3600
  2. 3200 liegt zu weit weg. Genau: 85 · 40 = 3400
  3. Das Ergebnis ist falsch.
  1. Überschlag: 90 · 40 = 3600
  2. 3200 liegt zu weit weg. Genau: 85 · 40 = 3400
  3. Das Ergebnis ist falsch.
Ergebnis:
falsch, richtig ist 3400

AchtungErgebnis nicht geprüft

So nicht
425 : 5 = 805, ohne Probe ins Heft
So richtig
425 : 5 → Überschlag 400 : 5 = 80 → 85, Probe 85 · 5 = 425

Mit einem Überschlag prüfen, ob die Größenordnung stimmt, dann mit der Umkehraufgabe.

ÜbenJetzt du

  1. ○22
    Ben rechnet 660 − 284 und erhält 476. Prüfe mit der Umkehraufgabe.
    So fängst du an:
    Umkehraufgabe: 476 + 284 = 760
    Lösung zeigen
    1. Umkehraufgabe: 476 + 284 = 760
    2. 760 ist nicht 660: Es ist falsch.
    3. 660 − 284 = 376
    Ergebnis:
    falsch, richtig ist 376
  2. ●23
    Tom rechnet 546 − 390 und erhält 156. Prüfe mit der Umkehraufgabe.
    Lösung zeigen
    1. Umkehraufgabe: 156 + 390 = 546
    2. 546 ist genau 546: Es stimmt.
    3. 546 − 390 = 156
    Ergebnis:
    stimmt, 156
  3. ★24
    Noah rechnet 3119 − 1256 und erhält 1863. Prüfe mit der Umkehraufgabe.
    Lösung zeigen
    1. Umkehraufgabe: 1863 + 1256 = 3119
    2. 3119 ist genau 3119: Es stimmt.
    3. 3119 − 1256 = 1863
    Ergebnis:
    stimmt, 1863

Vermischte Übungen

Alles durcheinander – wie in der Arbeit. Überleg bei jeder Aufgabe zuerst: Welches Ziel ist das?

Üben

  1. ●25
    Welche Zahlen fasst du bei 4 + 84 + 16 zuerst zusammen? Begründe. Rechne danach.
    48416
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 4 + 16 + 84
    2. 4 + 16 = 20
    3. Zusammen glatt, der Rest ist leicht: 20 + 84 = 104
    Ergebnis:
    104
  2. ●26
    In einem Lager stehen 2 Regale mit je 5 Kisten. In jeder Kiste sind 15 Bälle. Wie viele Bälle sind es? Rechne geschickt.
    2 Regale5 Kisten15 Bälle
    Lösung zeigen
    1. Bälle: 2 · 5 · 15
    2. 2 · 5 = 10
    3. 10 · 15 = 150
    Ergebnis:
    150 Bälle
  3. ●27
    Rechne geschickt durch gegensinniges Verändern: 48 + 54
    4854
    Lösung zeigen
    1. 48 bekommt 2 dazu, 54 gibt 2 ab.
    2. 48 + 54 = 50 + 52
    3. 50 + 52 = 102
    Ergebnis:
    102
  4. ●28
    Ergänze so, dass die Differenz gleich bleibt: 98 − 39 = ___ − 40
    Lösung zeigen
    1. 39 wird zu 40: 1 mehr.
    2. Damit der Abstand bleibt, wird auch 98 um 1 größer: 99.
    3. 99 − 40 = 59
    Ergebnis:
    99
  5. ●29
    Rechne halbschriftlich: Zerlege den zweiten Faktor. 6 · 25
    Lösung zeigen
    1. 25 = 20 + 5
    2. 6 · 20 = 120 und 6 · 5 = 30
    3. 120 + 30 = 150
    Ergebnis:
    150
  6. ●30
    Ein Rechteck hat 3 Reihen mit je 18 Kästchen. Die rote Linie teilt es. Wie viele Kästchen sind es?
    1083
    Lösung zeigen
    1. Linker Teil: 3 · 10 = 30
    2. Rechter Teil: 3 · 8 = 24
    3. Zusammen: 30 + 24 = 54
    Ergebnis:
    54 Kästchen

Auf einen Blick

MerkenDas Wichtigste

Vertauschen und zusammenfassen
Beim Plus und beim Mal darf man die Zahlen vertauschen und anders zusammenfassen.
Gegensinnig und gleichsinnig
Bei einer Summe gibt ein Summand ab, was der andere bekommt.
Malnehmen mit Zerlegen
Einen Faktor zerlegen, jeden Teil malnehmen und die Teilergebnisse addieren.
Teilen mit Zerlegen
Die Zahl so zerlegen, dass jeder Teil glatt aufgeht. So wird 385 : 7 zu 350 : 7 + 35 : 7.
Ausdrücke mit gleichem Wert
Verschiedene Rechenausdrücke können denselben Wert haben.
Verdoppeln und halbieren
Wird ein Faktor verdoppelt und der andere halbiert, bleibt das Produkt gleich.
Den passenden Weg wählen
Vor dem Rechnen die Zahlen ansehen.
Überschlag und Umkehraufgabe
Ein Überschlag mit runden Zahlen zeigt, ob ein Ergebnis stimmen kann.

Kannst du das?

Je Ziel eine Aufgabe. Rechne sie ins Heft, dann kreuz ehrlich an. Keine Punkte, keine Note – der Test ist für dich.

ÜbenSelbsttest

  1. Ich rechne Plusaufgaben und Malaufgaben geschickt durch Vertauschen und Zusammenfassen.

    31
    Welche Zahlen fasst du bei 43 + 13 + 7 zuerst zusammen? Begründe. Rechne danach.
    43137
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    63

  2. Ich verändere Summen gegensinnig und Differenzen gleichsinnig.

    32
    Lea rechnet 48 + 37 als 50 + 37. Was muss Lea danach noch tun? Was kommt heraus?
    4837
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    85

  3. Ich nehme halbschriftlich mal, indem ich einen Faktor zerlege.

    33
    Es gibt 7 Tüten mit je 52 Bonbons. Wie viele Bonbons sind es? Rechne halbschriftlich.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    364 Bonbons

  4. Ich dividiere halbschriftlich, indem ich die Zahl geschickt zerlege.

    34
    Zerlege 252 so in zwei Zahlen, dass du beide leicht durch 7 dividieren kannst. Was ergibt 252 : 7?
    252: 7
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    36

  5. Ich finde Aufgaben mit gleichem Ergebnis und vergleiche Rechenausdrücke.

    35
    Ergänze die Lücke: 63 + 63 = 60 + ___
    63 + 63=60 + ?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    66

  6. Ich rechne mit Verdoppeln und Halbieren und prüfe, ob das Ergebnis gleich bleibt.

    36
    Warum ist 14 · 5 dasselbe wie 7 · 10? Rechne dann geschickt.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    70

  7. Ich wähle zu einer Aufgabe den passenden Rechenweg.

    37
    Welchen Rechenvorteil nutzt du bei 16 · 5? Nenne ihn. Rechne danach.
    16 · 5zerlegenhalbieren und verdoppelnschriftlich
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    halbieren und verdoppeln, 80

  8. Ich finde Rechenfehler mit Überschlag und Umkehraufgabe.

    38
    Hanna erhält für 78 · 22 das Ergebnis 1616. Prüfe mit einem Überschlag.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    falsch, richtig ist 1716

Bei „unsicher“ oder „noch nicht“: Lies den Abschnitt zum Ziel noch einmal und rechne seine drei Aufgaben.

Die Frage vom Anfang

EntdeckenRückschau

Rechne im Kopf, so schnell du kannst: 25 · 17 · 4. Schreib nichts auf und nimm keinen Taschenrechner.

Lies deine Vermutung vom Anfang. Kannst du die Frage jetzt mit dem Kapitel beantworten?

Auflösung

Mit dem Werkzeug aus diesem Kapitel: Vertauschen und Zusammenfassen: erst die Zahlen, die zusammen glatt werden.

Wo brauchst du das?

Entdecken

Preise im Kopf addieren, Rückgeld überschlagen, Mengen für ein Fest ausrechnen. Beruf: Kasse und Verkauf, Handwerk beim Materialberechnen, Lager und Versand.

Wörter

Differenz
was übrig bleibt, wenn man abzieht
Gleichung
zwei Rechnungen, die gleich viel wert sind
Produkt
was herauskommt, wenn man malnimmt
Summe
was herauskommt, wenn man zusammenzählt
Teiler
eine Zahl, durch die es ohne Rest aufgeht

Wie es zusammenhängt

Das brauchst du vorher: Rechenregeln, Teiler und Vielfache, Natürliche Zahlen und Stellenwert

Darauf baut auf: Sachaufgaben lösen

Lösungen

  1. 118
  2. 151
  3. 1382
  4. 95
  5. 333
  6. 463
  7. 155 Hefte
  8. 304 Stühle
  9. 489
  10. 21 Sticker
  11. 53
  12. 138
  13. 94
  14. 26
  15. 67
  16. Nein, viermal so groß; richtig ist 200
  17. 400
  18. 490
  19. vertauschen, 173
  20. vertauschen, 177
  21. gegensinnig verändern, 605
  22. falsch, richtig ist 376
  23. stimmt, 156
  24. stimmt, 1863
  25. 104
  26. 150 Bälle
  27. 102
  28. 99
  29. 150
  30. 54 Kästchen
  31. 63
  32. 85
  33. 364 Bonbons
  34. 36
  35. 66
  36. 70
  37. halbieren und verdoppeln, 80
  38. falsch, richtig ist 1716
  39. 23
  40. 42
  41. 34
  42. 10