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Mathematik · Klasse 5 · Kapitel

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Rechengesetze und Rechenvorteile

EntdeckenDie Frage zum Kapitel

Rechne im Kopf, so schnell du kannst: 25 · 17 · 4. Schreib nichts auf und nimm keinen Taschenrechner.

Schreib eine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Für die Lehrkraft: Die meisten rechnen von links: 25 · 17 und kommen durcheinander. Andere geben auf oder raten. Nur wenige sehen, dass 25 und 4 zusammen 100 ergeben. Beim Malnehmen darf man die Zahlen vertauschen. Dann steht 25 · 4 · 17 da, also 100 · 17. Das Ergebnis ist 1700, in einer Sekunde.

  • Entdecken Frage, Vorstellung, Bild
  • Merken kommt ins Heft
  • Beispiel vorgerechnet, Schritt für Schritt
  • Üben selbst rechnen
  • Achtung typischer Fehler
  • Weiterdenken zum Knobeln und Vernetzen

○ mit Starthilfe, ● für alle, ★ zum Weiterdenken. Du wählst mindestens eine ★-Aufgabe. Du rechnest ins Heft.

Fit für das Kapitel?

Das brauchst du aus früheren Themen. Klappt es nicht, frag nach, bevor es losgeht.

ÜbenWeißt du das noch?

Punkt vor Strich und Klammer zuerst – so steht es seit Klasse 4 im Heft.

  1. ●39
    Rechne: 3 + 2 · 5
    Lösung zeigen
    1. Punkt vor Strich: erst 2 · 5 = 10
    2. 3 + 10 = 13
    Ergebnis:
    13
  2. ●40
    Rechne: (8 + 6) · 4
    Lösung zeigen
    1. Die Klammer zuerst: 8 + 6 = 14
    2. 14 · 4 = 56
    Ergebnis:
    56

ÜbenWeißt du das noch?

Punkt vor Strich und Klammer zuerst – die Reihenfolge entscheidet über das Ergebnis.

  1. ●41
    Berechne: 4 + 8 · 2
    Lösung zeigen
    1. Punkt vor Strich: erst 8 · 2 = 16
    2. 4 + 16 = 20
    Ergebnis:
    20
  2. ●42
    Ich denke mir eine Zahl, addiere 3 und erhalte 25. Welche Zahl war es? (Umkehraufgabe)
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    22

So kannst du es dir vorstellen

EntdeckenZahlen umbauen, ohne den Wert zu ändern

Eine Rechnung lässt sich umbauen, ohne dass sich ihr Wert ändert. Zahlen tauschen die Plätze, bilden neue Gruppen oder werden zerlegt. Wer das sieht, rechnet mit glatten Zahlen statt mit krummen.

17 plus 38 plus 3: Erst 17 und 3 zu 20 zusammenfassen, dann 20 plus 38 sind 5817 + 38 + 317 + 3 = 20= 20 + 38 = 58

WeiterdenkenDenk nach

Warum darf man bei 25 + 38 + 75 zuerst 25 und 75 addieren, bei 50 − 20 − 10 aber nicht zuerst 20 − 10?

1Ich rechne Plusaufgaben und Malaufgaben geschickt durch Vertauschen und Zusammenfassen.

EntdeckenFrage

Wie konnte der neunjährige Carl Friedrich Gauß die Zahlen von 1 bis 100 in wenigen Minuten addieren?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Er hat die Zahlen in Paare umsortiert: 1 und 100, 2 und 99, 3 und 98. Jedes Paar ergibt 101, und es sind 50 Paare. Also 50 · 101 = 5050. Er hat nur vertauscht und neu zusammengefasst.

MerkenVertauschen und zusammenfassen

Beim Plus und beim Mal darf man die Zahlen vertauschen und anders zusammenfassen.

Erst die Zahlen nehmen, die zusammen glatt werden.

BeispielPlusaufgaben geschickt: vertauschen und zusammenfassen

Rechne geschickt: 16 + 12 + 44
161244
Schritt für Schritt
  1. Vertauschen: 16 + 44 + 12
  2. 16 + 44 = 60
  3. 60 + 12 = 72
  1. Vertauschen: 16 + 44 + 12
  2. 16 + 44 = 60
  3. 60 + 12 = 72
Ergebnis:
72

AchtungBeim Minus oder Geteilt vertauscht

So nicht
50 − 20 − 10: erst 20 − 10 = 10, dann 50 − 10 = 40
So richtig
50 − 20 − 10 = 30 − 10 = 20

Vertauschen ist nur beim Plus und beim Mal erlaubt. 20 − 5 ist nicht 5 − 20.

ÜbenJetzt du

  1. ○1
    Rechne geschickt: 54 + 28 + 46
    542846
    So fängst du an:
    Vertauschen: 54 + 46 + 28
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 54 + 46 + 28
    2. 54 + 46 = 100
    3. 100 + 28 = 128
    Ergebnis:
    128
  2. ●2
    Welche Zahlen fasst du bei 14 + 84 + 6 zuerst zusammen? Begründe. Rechne danach.
    14846
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 14 + 6 + 84
    2. 14 + 6 = 20
    3. Zusammen glatt, der Rest ist leicht: 20 + 84 = 104
    Ergebnis:
    104
  3. ★3
    Rechne geschickt: 107 + 714 + 18 + 893 + 82
    1077141889382
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 107 + 893 + 18 + 82 + 714
    2. 107 + 893 = 1000 und 18 + 82 = 100
    3. 1000 + 100 + 714 = 1814
    Ergebnis:
    1814

2Ich verändere Summen gegensinnig und Differenzen gleichsinnig.

EntdeckenFrage

Warum rechnen Kassiererinnen 3,99 € mal 4 schneller als ein Kunde mit Papier?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Sie rechnen 4 mal 4 € und ziehen dann 4 Cent ab: 16,00 € − 0,04 € = 15,96 €. Das ist Zerlegen: 3,99 ist 4 minus 1 Cent. Der Rechenweg ist kurz, weil er über die glatte Zahl geht.

MerkenGegensinnig und gleichsinnig

Bei einer Summe gibt ein Summand ab, was der andere bekommt.

Bei einer Differenz ändern sich beide Zahlen gleich, der Abstand bleibt.

BeispielSummen gegensinnig verändern

Rechne geschickt durch gegensinniges Verändern: 68 + 83
6883
Schritt für Schritt
  1. 68 bekommt 2 dazu, 83 gibt 2 ab.
  2. 68 + 83 = 70 + 81
  3. 70 + 81 = 151
  1. 68 bekommt 2 dazu, 83 gibt 2 ab.
  2. 68 + 83 = 70 + 81
  3. 70 + 81 = 151
Ergebnis:
151

AchtungNur eine Zahl verändert

So nicht
143 − 97: 143 − 100 = 43
So richtig
143 − 97 = 146 − 100 = 46

Bei der Summe gegensinnig, bei der Differenz gleichsinnig: Immer beide Zahlen verändern.

ÜbenJetzt du

  1. ○4
    Rechne geschickt durch gegensinniges Verändern: 38 + 89
    3889
    So fängst du an:
    38 bekommt 2 dazu, 89 gibt 2 ab.
    Lösung zeigen
    1. 38 bekommt 2 dazu, 89 gibt 2 ab.
    2. 38 + 89 = 40 + 87
    3. 40 + 87 = 127
    Ergebnis:
    127
  2. ●5
    Rechne geschickt durch gegensinniges Verändern: 199 + 37
    19937
    Lösung zeigen
    1. 199 bekommt 1 dazu, 37 gibt 1 ab.
    2. 199 + 37 = 200 + 36
    3. 200 + 36 = 236
    Ergebnis:
    236
  3. ★6
    Ergänze so, dass die Summe gleich bleibt: 999 + 878 = 1000 + ___
    999878
    Lösung zeigen
    1. 999 wird zu 1000: 1 mehr.
    2. Also muss 878 um 1 kleiner werden: 878 − 1 = 877
    3. 1000 + 877 = 1877
    Ergebnis:
    877

3Ich nehme halbschriftlich mal, indem ich einen Faktor zerlege.

EntdeckenFrage

Wie haben Bauern in Russland früher ohne Einmaleins multipliziert?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Sie haben eine Zahl immer halbiert und die andere verdoppelt, bis links eine 1 stand. Dann addierten sie die rechten Zahlen der Zeilen mit ungerader linker Zahl. Das Verfahren heißt russische Bauernmultiplikation und nutzt, dass Verdoppeln und Halbieren das Produkt nicht ändert.

Ausprobieren: Malnehmen am Rechteck

Länge und Höhe in Teile zerlegen – das Rechteck zerfällt in Teilrechtecke, und jedes ist eine leichte Malaufgabe.

MerkenMalnehmen mit Zerlegen

Einen Faktor zerlegen, jeden Teil malnehmen und die Teilergebnisse addieren.

So wird 7 · 48 zu 7 · 40 + 7 · 8.

BeispielHalbschriftlich malnehmen mit Zerlegen

Rechne halbschriftlich: Zerlege den zweiten Faktor. 8 · 69
Schritt für Schritt
  1. 69 = 60 + 9
  2. 8 · 60 = 480 und 8 · 9 = 72
  3. 480 + 72 = 552
  1. 69 = 60 + 9
  2. 8 · 60 = 480 und 8 · 9 = 72
  3. 480 + 72 = 552
Ergebnis:
552

AchtungBeim Zerlegen einen Teil vergessen

So nicht
7 · 48: 7 · 40 + 8 = 288
So richtig
7 · 48 = 7 · 40 + 7 · 8 = 280 + 56 = 336

Jeder Teil des zerlegten Faktors wird malgenommen, nicht nur der erste.

ÜbenJetzt du

  1. ○7
    Rechne halbschriftlich: Zerlege den zweiten Faktor. 8 · 31
    So fängst du an:
    31 = 30 + 1
    Lösung zeigen
    1. 31 = 30 + 1
    2. 8 · 30 = 240 und 8 · 1 = 8
    3. 240 + 8 = 248
    Ergebnis:
    248
  2. ●8
    Rechne halbschriftlich: Zerlege den zweiten Faktor. 5 · 39
    Lösung zeigen
    1. 39 = 30 + 9
    2. 5 · 30 = 150 und 5 · 9 = 45
    3. 150 + 45 = 195
    Ergebnis:
    195
  3. ★9
    Rechne halbschriftlich: Zerlege den zweiten Faktor. 5 · 56
    Lösung zeigen
    1. 56 = 50 + 6
    2. 5 · 50 = 250 und 5 · 6 = 30
    3. 250 + 30 = 280
    Ergebnis:
    280

4Ich dividiere halbschriftlich, indem ich die Zahl geschickt zerlege.

EntdeckenFrage

Warum ist 25 mal 4 ein Lieblingspaar beim Kopfrechnen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

25 mal 4 ergibt genau 100. Kommen 25 und 4 in einer Malaufgabe vor, fasst man sie zuerst zusammen. Aus 25 · 37 · 4 wird dann 100 · 37 = 3700, ganz ohne schriftliches Rechnen.

MerkenTeilen mit Zerlegen

Die Zahl so zerlegen, dass jeder Teil glatt aufgeht. So wird 385 : 7 zu 350 : 7 + 35 : 7.

BeispielHalbschriftlich dividieren

Zerlege 117 so in zwei Zahlen, dass du beide leicht durch 9 dividieren kannst. Was ergibt 117 : 9?
117: 9
Schritt für Schritt
  1. 117 = 90 + 27
  2. 90 : 9 = 10 und 27 : 9 = 3
  3. 10 + 3 = 13
  1. 117 = 90 + 27
  2. 90 : 9 = 10 und 27 : 9 = 3
  3. 10 + 3 = 13
Ergebnis:
13

AchtungBeim Teilen nicht passend zerlegt

So nicht
385 : 7: 300 : 7 geht nicht glatt → aufgegeben
So richtig
385 : 7 = 350 : 7 + 35 : 7 = 50 + 5 = 55

Jeder Teil muss sich glatt teilen lassen. Erst ein großes Vielfaches abspalten.

ÜbenJetzt du

  1. ○10
    196 Sticker werden gleichmäßig auf 4 Kinder aufgeteilt. Wie viele bekommt jeder Teil? Rechne halbschriftlich.
    So fängst du an:
    196 : 4
    Lösung zeigen
    1. 196 : 4
    2. 196 = 160 + 36
    3. 160 : 4 = 40 und 36 : 4 = 9
    4. 40 + 9 = 49
    Ergebnis:
    49 Sticker
  2. ●11
    Zerlege 90 so in zwei Zahlen, dass du beide leicht durch 6 dividieren kannst. Was ergibt 90 : 6?
    90: 6
    Lösung zeigen
    1. 90 = 60 + 30
    2. 60 : 6 = 10 und 30 : 6 = 5
    3. 10 + 5 = 15
    Ergebnis:
    15
  3. ★12
    665 Sticker werden gleichmäßig auf 7 Kinder aufgeteilt. Wie viele bekommt jeder Teil? Rechne halbschriftlich.
    Lösung zeigen
    1. 665 : 7
    2. 665 = 630 + 35
    3. 630 : 7 = 90 und 35 : 7 = 5
    4. 90 + 5 = 95
    Ergebnis:
    95 Sticker

5Ich finde Aufgaben mit gleichem Ergebnis und vergleiche Rechenausdrücke.

EntdeckenFrage

Warum stimmt der Trick „mal 9 ist mal 10 minus einmal“ immer?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Neunmal eine Zahl ist zehnmal die Zahl minus einmal die Zahl. So wird 9 · 47 zu 470 − 47 = 423. Das ist das Verteilungsgesetz: 9 ist 10 minus 1.

MerkenAusdrücke mit gleichem Wert

Verschiedene Rechenausdrücke können denselben Wert haben.

Wer die Rechengesetze nutzt, sieht das oft ohne Ausrechnen.

BeispielAufgaben mit gleichem Ergebnis

Welche Zahl fehlt? Rechne nicht beide Seiten aus. 60 + 75 = 50 + ___
Schritt für Schritt
  1. 60 wird zu 50: 10 weniger.
  2. Damit die Summe gleich bleibt, wird 75 um 10 größer.
  3. 75 + 10 = 85
  1. 60 wird zu 50: 10 weniger.
  2. Damit die Summe gleich bleibt, wird 75 um 10 größer.
  3. 75 + 10 = 85
Ergebnis:
85

AchtungPunkt vor Strich missachtet

So nicht
9 + 5 · 7 = 14 · 7 = 98
So richtig
9 + 5 · 7 = 9 + 35 = 44

Klammer zuerst, dann Mal und Geteilt, dann Plus und Minus.

ÜbenJetzt du

  1. ○13
    Welche Zahl fehlt? Rechne nicht beide Seiten aus. 41 + 57 = 40 + ___
    So fängst du an:
    41 wird zu 40: 1 weniger.
    Lösung zeigen
    1. 41 wird zu 40: 1 weniger.
    2. Damit die Summe gleich bleibt, wird 57 um 1 größer.
    3. 57 + 1 = 58
    Ergebnis:
    58
  2. ●14
    Ergänze die Lücke: 14 + 74 = 12 + ___
    14 + 74=12 + ?
    Lösung zeigen
    1. 14 wird zu 12: 2 weniger.
    2. Damit die Summe gleich bleibt, wird 74 um 2 größer.
    3. 74 + 2 = 76
    Ergebnis:
    76
  3. ★15
    Welche Zahl fehlt? Rechne nicht beide Seiten aus. 16 · 15 = 8 · ___
    Lösung zeigen
    1. 16 wird halb so groß: 8.
    2. Damit das Ergebnis gleich bleibt, wird 15 doppelt so groß.
    3. 15 · 2 = 30
    Ergebnis:
    30

6Ich rechne mit Verdoppeln und Halbieren und prüfe, ob das Ergebnis gleich bleibt.

EntdeckenFrage

Wie merkt man in Sekunden, dass 98 · 102 nicht 99.960 sein kann?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Man rechnet nicht, man überschlägt: 100 · 100 = 10.000. Das Ergebnis muss also in der Nähe von 10.000 liegen. 99.960 ist fast zehnmal so groß und kann nicht stimmen. Richtig ist 9996.

MerkenVerdoppeln und halbieren

Wird ein Faktor verdoppelt und der andere halbiert, bleibt das Produkt gleich.

Werden beide verdoppelt, wird es viermal so groß.

BeispielVerdoppeln und Halbieren

Warum ist 14 · 5 dasselbe wie 7 · 10? Rechne dann geschickt.
Schritt für Schritt
  1. Halb so viele Reihen, jede doppelt so lang: gleich viele Kästchen.
  2. 14 · 5 = 7 · 10
  3. 7 · 10 = 70
  1. Halb so viele Reihen, jede doppelt so lang: gleich viele Kästchen.
  2. 14 · 5 = 7 · 10
  3. 7 · 10 = 70
Ergebnis:
70

AchtungBeide Faktoren verdoppelt

So nicht
8 · 25 → 16 · 50 = 800
So richtig
8 · 25 → 4 · 50 = 200

Nur einer wird verdoppelt, der andere halbiert. Sonst ändert sich das Ergebnis.

ÜbenJetzt du

  1. ○16
    Rechne geschickt: Halbiere den einen Faktor und verdopple den anderen. 16 · 25
    So fängst du an:
    16 · 25 = 8 · 50
    Lösung zeigen
    1. 16 · 25 = 8 · 50
    2. 8 · 50 = 400
    Ergebnis:
    400
  2. ●17
    Warum ist 12 · 15 dasselbe wie 6 · 30? Rechne dann geschickt.
    Lösung zeigen
    1. Halb so viele Reihen, jede doppelt so lang: gleich viele Kästchen.
    2. 12 · 15 = 6 · 30
    3. 6 · 30 = 180
    Ergebnis:
    180
  3. ★18
    Rechne geschickt: Halbiere den einen Faktor und verdopple den anderen. 12 · 75
    Lösung zeigen
    1. 12 · 75 = 6 · 150
    2. 6 · 150 = 900
    Ergebnis:
    900

7Ich wähle zu einer Aufgabe den passenden Rechenweg.

EntdeckenFrage

Wie rechnen Darts-Profis blitzschnell aus, wie viele Punkte ihnen von 501 noch fehlen, wenn sie 140 geworfen haben?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Der geschickte Weg nimmt erst eine runde Zahl. 500 − 140 = 360, und der eine Extrapunkt kommt dazu: 361. Das geht schneller als 501 − 140 Stelle für Stelle. Am Ergebnis ändert der Weg nichts.

MerkenDen passenden Weg wählen

Vor dem Rechnen die Zahlen ansehen.

Liegt eine Zahl nahe an einer glatten, lohnt sich ein Vorteil, sonst rechnet man schriftlich.

BeispielDen passenden Rechenweg wählen

Welchen Rechenvorteil nutzt du bei 16 · 5? Nenne ihn. Rechne danach.
16 · 5zerlegenhalbieren und verdoppelnschriftlich
Schritt für Schritt
  1. 5 wird verdoppelt glatt: halbieren und verdoppeln.
  2. 16 · 5 = 8 · 10
  3. 8 · 10 = 80
  1. 5 wird verdoppelt glatt: halbieren und verdoppeln.
  2. 16 · 5 = 8 · 10
  3. 8 · 10 = 80
Ergebnis:
halbieren und verdoppeln, 80

AchtungUmständlichen Weg gewählt

So nicht
299 + 158 schriftlich untereinander gerechnet, dabei verrechnet: 447
So richtig
299 + 158 = 300 + 157 = 457

Erst die Zahlen ansehen: Liegt eine nahe an einer glatten Zahl?

ÜbenJetzt du

  1. ○19
    Wie rechnest du am schnellsten: 35 + 72 + 65? Nenne ihn. Rechne danach.
    So fängst du an:
    Zwei Zahlen ergeben zusammen 100: vertauschen und zusammenfassen.
    Lösung zeigen
    1. Zwei Zahlen ergeben zusammen 100: vertauschen und zusammenfassen.
    2. 35 + 65 = 100
    3. 100 + 72 = 172
    Ergebnis:
    vertauschen, 172
  2. ●20
    Welcher Weg passt zu 12 · 25? Nenne ihn. Rechne danach.
    12 · 25zerlegenhalbieren und verdoppelnschriftlich
    Lösung zeigen
    1. 25 wird verdoppelt glatt: halbieren und verdoppeln.
    2. 12 · 25 = 6 · 50
    3. 6 · 50 = 300
    Ergebnis:
    halbieren und verdoppeln, 300
  3. ★21
    Welchen Rechenvorteil nutzt du bei 12 · 25? Nenne ihn. Rechne danach.
    12 · 25zerlegenhalbieren und verdoppelnschriftlich
    Lösung zeigen
    1. 25 wird verdoppelt glatt: halbieren und verdoppeln.
    2. 12 · 25 = 6 · 50
    3. 6 · 50 = 300
    Ergebnis:
    halbieren und verdoppeln, 300

8Ich finde Rechenfehler mit Überschlag und Umkehraufgabe.

EntdeckenFrage

Warum zählt man Rückgeld vom Preis aus nach oben, statt abzuziehen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Wer 13,40 € zahlen muss und 20 € gibt, bekommt 20 − 13,40 = 6,60 € zurück. Beim Hochzählen rechnet man die Umkehraufgabe: 13,40 + 6,60 = 20. Kommt man genau auf den gegebenen Betrag, stimmt das Rückgeld.

MerkenÜberschlag und Umkehraufgabe

Ein Überschlag mit runden Zahlen zeigt, ob ein Ergebnis stimmen kann.

Die Umkehraufgabe prüft es genau.

BeispielRechenfehler mit Überschlag und Umkehraufgabe finden

Sofia erhält für 82 · 46 das Ergebnis 3572. Prüfe mit einem Überschlag.
Schritt für Schritt
  1. Überschlag: 80 · 50 = 4000
  2. 3572 liegt zu weit weg. Genau: 82 · 46 = 3772
  3. Das Ergebnis ist falsch.
  1. Überschlag: 80 · 50 = 4000
  2. 3572 liegt zu weit weg. Genau: 82 · 46 = 3772
  3. Das Ergebnis ist falsch.
Ergebnis:
falsch, richtig ist 3772

AchtungErgebnis nicht geprüft

So nicht
425 : 5 = 805, ohne Probe ins Heft
So richtig
425 : 5 → Überschlag 400 : 5 = 80 → 85, Probe 85 · 5 = 425

Mit einem Überschlag prüfen, ob die Größenordnung stimmt, dann mit der Umkehraufgabe.

ÜbenJetzt du

  1. ○22
    Noah erhält für 88 · 13 das Ergebnis 2144. Prüfe mit einem Überschlag.
    So fängst du an:
    Überschlag: 90 · 10 = 900
    Lösung zeigen
    1. Überschlag: 90 · 10 = 900
    2. 2144 liegt zu weit weg. Genau: 88 · 13 = 1144
    3. Das Ergebnis ist falsch.
    Ergebnis:
    falsch, richtig ist 1144
  2. ●23
    Paul rechnet 984 − 264 und erhält 710. Prüfe mit der Umkehraufgabe.
    Lösung zeigen
    1. Umkehraufgabe: 710 + 264 = 974
    2. 974 ist nicht 984: Es ist falsch.
    3. 984 − 264 = 720
    Ergebnis:
    falsch, richtig ist 720
  3. ★24
    Aylin rechnet 4242 − 795 und erhält 3437. Prüfe mit der Umkehraufgabe.
    Lösung zeigen
    1. Umkehraufgabe: 3437 + 795 = 4232
    2. 4232 ist nicht 4242: Es ist falsch.
    3. 4242 − 795 = 3447
    Ergebnis:
    falsch, richtig ist 3447

Vermischte Übungen

Alles durcheinander – wie in der Arbeit. Überleg bei jeder Aufgabe zuerst: Welches Ziel ist das?

Üben

  1. ●25
    Lea rechnet 38 + 81 + 62 von links nach rechts. Zeige einen schnelleren Weg mit einem Rechenvorteil.
    388162
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 38 + 62 + 81
    2. 38 + 62 = 100
    3. 100 + 81 = 181
    Ergebnis:
    181
  2. ●26
    Rechne geschickt: 14 · 4 · 25
    14425
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 25 · 4 · 14
    2. 25 · 4 = 100
    3. 100 · 14 = 1400
    Ergebnis:
    1400
  3. ●27
    Rechne geschickt durch gegensinniges Verändern: 98 + 44
    9844
    Lösung zeigen
    1. 98 bekommt 2 dazu, 44 gibt 2 ab.
    2. 98 + 44 = 100 + 42
    3. 100 + 42 = 142
    Ergebnis:
    142
  4. ●28
    Jonas rechnet 73 − 49 als 73 − 50 und erhält 23. Ist das schon das Ergebnis?
    73 − 4973 − 50
    Lösung zeigen
    1. Jonas hat 1 mehr abgezogen als verlangt.
    2. Beim Minus muss dieser Rest wieder dazu.
    3. 23 + 1 = 24
    Ergebnis:
    Nein, 24
  5. ●29
    Es gibt 5 Reihen mit je 31 Stühle. Wie viele Stühle sind es? Rechne halbschriftlich.
    Lösung zeigen
    1. 5 · 31
    2. 31 = 30 + 1
    3. 5 · 30 = 150 und 5 · 1 = 5
    4. 150 + 5 = 155
    Ergebnis:
    155 Stühle
  6. ●30
    Welche zwei Malaufgaben zeigen die beiden Teile des Rechtecks? Was ergibt 5 · 17?
    1075
    Lösung zeigen
    1. Links: 5 · 10 = 50
    2. Rechts: 5 · 7 = 35
    3. 5 · 17 = 50 + 35 = 85
    Ergebnis:
    5 · 10 und 5 · 7, zusammen 85

Auf einen Blick

MerkenDas Wichtigste

Vertauschen und zusammenfassen
Beim Plus und beim Mal darf man die Zahlen vertauschen und anders zusammenfassen.
Gegensinnig und gleichsinnig
Bei einer Summe gibt ein Summand ab, was der andere bekommt.
Malnehmen mit Zerlegen
Einen Faktor zerlegen, jeden Teil malnehmen und die Teilergebnisse addieren.
Teilen mit Zerlegen
Die Zahl so zerlegen, dass jeder Teil glatt aufgeht. So wird 385 : 7 zu 350 : 7 + 35 : 7.
Ausdrücke mit gleichem Wert
Verschiedene Rechenausdrücke können denselben Wert haben.
Verdoppeln und halbieren
Wird ein Faktor verdoppelt und der andere halbiert, bleibt das Produkt gleich.
Den passenden Weg wählen
Vor dem Rechnen die Zahlen ansehen.
Überschlag und Umkehraufgabe
Ein Überschlag mit runden Zahlen zeigt, ob ein Ergebnis stimmen kann.

Kannst du das?

Je Ziel eine Aufgabe. Rechne sie ins Heft, dann kreuz ehrlich an. Keine Punkte, keine Note – der Test ist für dich.

ÜbenSelbsttest

  1. Ich rechne Plusaufgaben und Malaufgaben geschickt durch Vertauschen und Zusammenfassen.

    31
    Sofia rechnet 19 + 83 + 41 von links nach rechts. Zeige einen schnelleren Weg mit einem Rechenvorteil.
    198341
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    143

  2. Ich verändere Summen gegensinnig und Differenzen gleichsinnig.

    32
    Rechne geschickt durch gegensinniges Verändern: 69 + 67
    6967
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    136

  3. Ich nehme halbschriftlich mal, indem ich einen Faktor zerlege.

    33
    Es gibt 3 Reihen mit je 48 Stühle. Wie viele Stühle sind es? Rechne halbschriftlich.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    144 Stühle

  4. Ich dividiere halbschriftlich, indem ich die Zahl geschickt zerlege.

    34
    Zerlege 216 so in zwei Zahlen, dass du beide leicht durch 9 dividieren kannst. Was ergibt 216 : 9?
    216: 9
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    24

  5. Ich finde Aufgaben mit gleichem Ergebnis und vergleiche Rechenausdrücke.

    35
    Finde die fehlende Zahl mit einem Rechengesetz: 58 − 37 = ___ − 42
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    63

  6. Ich rechne mit Verdoppeln und Halbieren und prüfe, ob das Ergebnis gleich bleibt.

    36
    Warum ist 18 · 5 dasselbe wie 9 · 10? Rechne dann geschickt.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    90

  7. Ich wähle zu einer Aufgabe den passenden Rechenweg.

    37
    Welcher Weg passt zu 14 · 5? Nenne ihn. Rechne danach.
    14 · 5zerlegenhalbieren und verdoppelnschriftlich
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    halbieren und verdoppeln, 70

  8. Ich finde Rechenfehler mit Überschlag und Umkehraufgabe.

    38
    Mia rechnet 183 : 3 und erhält 61. Prüfe mit der Umkehraufgabe.
    183 : 3Ergebnis 61?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    stimmt, 61

Bei „unsicher“ oder „noch nicht“: Lies den Abschnitt zum Ziel noch einmal und rechne seine drei Aufgaben.

Die Frage vom Anfang

EntdeckenRückschau

Rechne im Kopf, so schnell du kannst: 25 · 17 · 4. Schreib nichts auf und nimm keinen Taschenrechner.

Lies deine Vermutung vom Anfang. Kannst du die Frage jetzt mit dem Kapitel beantworten?

Auflösung

Mit dem Werkzeug aus diesem Kapitel: Vertauschen und Zusammenfassen: erst die Zahlen, die zusammen glatt werden.

Wo brauchst du das?

Entdecken

Preise im Kopf addieren, Rückgeld überschlagen, Mengen für ein Fest ausrechnen. Beruf: Kasse und Verkauf, Handwerk beim Materialberechnen, Lager und Versand.

Wörter

Differenz
was übrig bleibt, wenn man abzieht
Gleichung
zwei Rechnungen, die gleich viel wert sind
Produkt
was herauskommt, wenn man malnimmt
Summe
was herauskommt, wenn man zusammenzählt
Teiler
eine Zahl, durch die es ohne Rest aufgeht

Wie es zusammenhängt

Das brauchst du vorher: Rechenregeln, Teiler und Vielfache, Natürliche Zahlen und Stellenwert

Darauf baut auf: Sachaufgaben lösen

Lösungen

  1. 128
  2. 104
  3. 1814
  4. 127
  5. 236
  6. 877
  7. 248
  8. 195
  9. 280
  10. 49 Sticker
  11. 15
  12. 95 Sticker
  13. 58
  14. 76
  15. 30
  16. 400
  17. 180
  18. 900
  19. vertauschen, 172
  20. halbieren und verdoppeln, 300
  21. halbieren und verdoppeln, 300
  22. falsch, richtig ist 1144
  23. falsch, richtig ist 720
  24. falsch, richtig ist 3447
  25. 181
  26. 1400
  27. 142
  28. Nein, 24
  29. 155 Stühle
  30. 5 · 10 und 5 · 7, zusammen 85
  31. 143
  32. 136
  33. 144 Stühle
  34. 24
  35. 63
  36. 90
  37. halbieren und verdoppeln, 70
  38. stimmt, 61
  39. 13
  40. 56
  41. 20
  42. 22