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Mathematik · Klasse 5 · Kapitel

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Rechengesetze und Rechenvorteile

EntdeckenDie Frage zum Kapitel

Rechne im Kopf, so schnell du kannst: 25 · 17 · 4. Schreib nichts auf und nimm keinen Taschenrechner.

Schreib eine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Für die Lehrkraft: Die meisten rechnen von links: 25 · 17 und kommen durcheinander. Andere geben auf oder raten. Nur wenige sehen, dass 25 und 4 zusammen 100 ergeben. Beim Malnehmen darf man die Zahlen vertauschen. Dann steht 25 · 4 · 17 da, also 100 · 17. Das Ergebnis ist 1700, in einer Sekunde.

  • Entdecken Frage, Vorstellung, Bild
  • Merken kommt ins Heft
  • Beispiel vorgerechnet, Schritt für Schritt
  • Üben selbst rechnen
  • Achtung typischer Fehler
  • Weiterdenken zum Knobeln und Vernetzen

○ mit Starthilfe, ● für alle, ★ zum Weiterdenken. Du wählst mindestens eine ★-Aufgabe. Du rechnest ins Heft.

Fit für das Kapitel?

Das brauchst du aus früheren Themen. Klappt es nicht, frag nach, bevor es losgeht.

ÜbenWeißt du das noch?

Punkt vor Strich und Klammer zuerst – so steht es seit Klasse 4 im Heft.

  1. ●39
    Rechne: 37 − 3 · 4
    Lösung zeigen
    1. Punkt vor Strich: erst 3 · 4 = 12
    2. 37 − 12 = 25
    Ergebnis:
    25
  2. ●40
    Rechne: (8 + 7) · 7
    Lösung zeigen
    1. Die Klammer zuerst: 8 + 7 = 15
    2. 15 · 7 = 105
    Ergebnis:
    105

ÜbenWeißt du das noch?

Punkt vor Strich und Klammer zuerst – die Reihenfolge entscheidet über das Ergebnis.

  1. ●41
    Berechne: 10 + 6 · 2
    Lösung zeigen
    1. Punkt vor Strich: erst 6 · 2 = 12
    2. 10 + 12 = 22
    Ergebnis:
    22
  2. ●42
    Ich denke mir eine Zahl, addiere 4 und erhalte 42. Welche Zahl war es? (Umkehraufgabe)
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    38

So kannst du es dir vorstellen

EntdeckenZahlen umbauen, ohne den Wert zu ändern

Eine Rechnung lässt sich umbauen, ohne dass sich ihr Wert ändert. Zahlen tauschen die Plätze, bilden neue Gruppen oder werden zerlegt. Wer das sieht, rechnet mit glatten Zahlen statt mit krummen.

17 plus 38 plus 3: Erst 17 und 3 zu 20 zusammenfassen, dann 20 plus 38 sind 5817 + 38 + 317 + 3 = 20= 20 + 38 = 58

WeiterdenkenDenk nach

Warum darf man bei 25 + 38 + 75 zuerst 25 und 75 addieren, bei 50 − 20 − 10 aber nicht zuerst 20 − 10?

1Ich rechne Plusaufgaben und Malaufgaben geschickt durch Vertauschen und Zusammenfassen.

EntdeckenFrage

Wie konnte der neunjährige Carl Friedrich Gauß die Zahlen von 1 bis 100 in wenigen Minuten addieren?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Er hat die Zahlen in Paare umsortiert: 1 und 100, 2 und 99, 3 und 98. Jedes Paar ergibt 101, und es sind 50 Paare. Also 50 · 101 = 5050. Er hat nur vertauscht und neu zusammengefasst.

MerkenVertauschen und zusammenfassen

Beim Plus und beim Mal darf man die Zahlen vertauschen und anders zusammenfassen.

Erst die Zahlen nehmen, die zusammen glatt werden.

BeispielPlusaufgaben geschickt: vertauschen und zusammenfassen

Welche Zahlen fasst du bei 15 + 17 + 5 zuerst zusammen? Begründe. Rechne danach.
15175
Schritt für Schritt
  1. Vertauschen: 15 + 5 + 17
  2. 15 + 5 = 20
  3. Zusammen glatt, der Rest ist leicht: 20 + 17 = 37
  1. Vertauschen: 15 + 5 + 17
  2. 15 + 5 = 20
  3. Zusammen glatt, der Rest ist leicht: 20 + 17 = 37
Ergebnis:
37

AchtungBeim Minus oder Geteilt vertauscht

So nicht
50 − 20 − 10: erst 20 − 10 = 10, dann 50 − 10 = 40
So richtig
50 − 20 − 10 = 30 − 10 = 20

Vertauschen ist nur beim Plus und beim Mal erlaubt. 20 − 5 ist nicht 5 − 20.

ÜbenJetzt du

  1. ○1
    Rechne geschickt: 14 + 21 + 6
    14216
    So fängst du an:
    Vertauschen: 14 + 6 + 21
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 14 + 6 + 21
    2. 14 + 6 = 20
    3. 20 + 21 = 41
    Ergebnis:
    41
  2. ●2
    Welche Zahlen fasst du bei 34 + 18 + 6 zuerst zusammen? Begründe. Rechne danach.
    34186
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 34 + 6 + 18
    2. 34 + 6 = 40
    3. Zusammen glatt, der Rest ist leicht: 40 + 18 = 58
    Ergebnis:
    58
  3. ★3
    Welche Zahlen fasst du bei 183 + 671 + 71 + 117 + 29 zuerst zusammen? Begründe. Rechne danach.
    1836717111729
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 183 + 117 + 71 + 29 + 671
    2. 183 + 117 = 300 und 71 + 29 = 100
    3. Zusammen glatt, der Rest ist leicht: 300 + 100 + 671 = 1071
    Ergebnis:
    1071

2Ich verändere Summen gegensinnig und Differenzen gleichsinnig.

EntdeckenFrage

Warum rechnen Kassiererinnen 3,99 € mal 4 schneller als ein Kunde mit Papier?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Sie rechnen 4 mal 4 € und ziehen dann 4 Cent ab: 16,00 € − 0,04 € = 15,96 €. Das ist Zerlegen: 3,99 ist 4 minus 1 Cent. Der Rechenweg ist kurz, weil er über die glatte Zahl geht.

MerkenGegensinnig und gleichsinnig

Bei einer Summe gibt ein Summand ab, was der andere bekommt.

Bei einer Differenz ändern sich beide Zahlen gleich, der Abstand bleibt.

BeispielSummen gegensinnig verändern

Rechne geschickt durch gegensinniges Verändern: 69 + 38
6938
Schritt für Schritt
  1. 69 bekommt 1 dazu, 38 gibt 1 ab.
  2. 69 + 38 = 70 + 37
  3. 70 + 37 = 107
  1. 69 bekommt 1 dazu, 38 gibt 1 ab.
  2. 69 + 38 = 70 + 37
  3. 70 + 37 = 107
Ergebnis:
107

AchtungNur eine Zahl verändert

So nicht
143 − 97: 143 − 100 = 43
So richtig
143 − 97 = 146 − 100 = 46

Bei der Summe gegensinnig, bei der Differenz gleichsinnig: Immer beide Zahlen verändern.

ÜbenJetzt du

  1. ○4
    Rechne geschickt durch gegensinniges Verändern: 69 + 55
    6955
    So fängst du an:
    69 bekommt 1 dazu, 55 gibt 1 ab.
    Lösung zeigen
    1. 69 bekommt 1 dazu, 55 gibt 1 ab.
    2. 69 + 55 = 70 + 54
    3. 70 + 54 = 124
    Ergebnis:
    124
  2. ●5
    Ergänze so, dass die Summe gleich bleibt: 99 + 95 = 100 + ___
    9995
    Lösung zeigen
    1. 99 wird zu 100: 1 mehr.
    2. Also muss 95 um 1 kleiner werden: 95 − 1 = 94
    3. 100 + 94 = 194
    Ergebnis:
    94
  3. ★6
    Rechne geschickt durch gegensinniges Verändern: 397 + 887
    397887
    Lösung zeigen
    1. 397 bekommt 3 dazu, 887 gibt 3 ab.
    2. 397 + 887 = 400 + 884
    3. 400 + 884 = 1284
    Ergebnis:
    1284

3Ich nehme halbschriftlich mal, indem ich einen Faktor zerlege.

EntdeckenFrage

Wie haben Bauern in Russland früher ohne Einmaleins multipliziert?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Sie haben eine Zahl immer halbiert und die andere verdoppelt, bis links eine 1 stand. Dann addierten sie die rechten Zahlen der Zeilen mit ungerader linker Zahl. Das Verfahren heißt russische Bauernmultiplikation und nutzt, dass Verdoppeln und Halbieren das Produkt nicht ändert.

Ausprobieren: Malnehmen am Rechteck

Länge und Höhe in Teile zerlegen – das Rechteck zerfällt in Teilrechtecke, und jedes ist eine leichte Malaufgabe.

MerkenMalnehmen mit Zerlegen

Einen Faktor zerlegen, jeden Teil malnehmen und die Teilergebnisse addieren.

So wird 7 · 48 zu 7 · 40 + 7 · 8.

BeispielHalbschriftlich malnehmen mit Zerlegen

Rechne geschickt über die glatte Zahl: 9 · 49
Schritt für Schritt
  1. 49 = 50 − 1
  2. 9 · 50 = 450 und 9 · 1 = 9
  3. 450 − 9 = 441
  1. 49 = 50 − 1
  2. 9 · 50 = 450 und 9 · 1 = 9
  3. 450 − 9 = 441
Ergebnis:
441

AchtungBeim Zerlegen einen Teil vergessen

So nicht
7 · 48: 7 · 40 + 8 = 288
So richtig
7 · 48 = 7 · 40 + 7 · 8 = 280 + 56 = 336

Jeder Teil des zerlegten Faktors wird malgenommen, nicht nur der erste.

ÜbenJetzt du

  1. ○7
    Es gibt 6 Tüten mit je 27 Bonbons. Wie viele Bonbons sind es? Rechne halbschriftlich.
    So fängst du an:
    6 · 27
    Lösung zeigen
    1. 6 · 27
    2. 27 = 20 + 7
    3. 6 · 20 = 120 und 6 · 7 = 42
    4. 120 + 42 = 162
    Ergebnis:
    162 Bonbons
  2. ●8
    Rechne geschickt über die glatte Zahl: 4 · 39
    Lösung zeigen
    1. 39 = 40 − 1
    2. 4 · 40 = 160 und 4 · 1 = 4
    3. 160 − 4 = 156
    Ergebnis:
    156
  3. ★9
    Rechne halbschriftlich mit Stellenwerten: 8 · 198
    Lösung zeigen
    1. 198 = 100 + 90 + 8
    2. 8 · 100 = 800; 8 · 90 = 720; 8 · 8 = 64
    3. 800 + 720 + 64 = 1584
    Ergebnis:
    1584

4Ich dividiere halbschriftlich, indem ich die Zahl geschickt zerlege.

EntdeckenFrage

Warum ist 25 mal 4 ein Lieblingspaar beim Kopfrechnen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

25 mal 4 ergibt genau 100. Kommen 25 und 4 in einer Malaufgabe vor, fasst man sie zuerst zusammen. Aus 25 · 37 · 4 wird dann 100 · 37 = 3700, ganz ohne schriftliches Rechnen.

MerkenTeilen mit Zerlegen

Die Zahl so zerlegen, dass jeder Teil glatt aufgeht. So wird 385 : 7 zu 350 : 7 + 35 : 7.

BeispielHalbschriftlich dividieren

144 Bücher werden gleichmäßig auf 9 Regalböden aufgeteilt. Wie viele bekommt jeder Teil? Rechne halbschriftlich.
Schritt für Schritt
  1. 144 : 9
  2. 144 = 90 + 54
  3. 90 : 9 = 10 und 54 : 9 = 6
  4. 10 + 6 = 16
  1. 144 : 9
  2. 144 = 90 + 54
  3. 90 : 9 = 10 und 54 : 9 = 6
  4. 10 + 6 = 16
Ergebnis:
16 Bücher

AchtungBeim Teilen nicht passend zerlegt

So nicht
385 : 7: 300 : 7 geht nicht glatt → aufgegeben
So richtig
385 : 7 = 350 : 7 + 35 : 7 = 50 + 5 = 55

Jeder Teil muss sich glatt teilen lassen. Erst ein großes Vielfaches abspalten.

ÜbenJetzt du

  1. ○10
    Zerlege 216 so in zwei Zahlen, dass du beide leicht durch 9 dividieren kannst. Was ergibt 216 : 9?
    216: 9
    So fängst du an:
    216 = 180 + 36
    Lösung zeigen
    1. 216 = 180 + 36
    2. 180 : 9 = 20 und 36 : 9 = 4
    3. 20 + 4 = 24
    Ergebnis:
    24
  2. ●11
    Rechne halbschriftlich: 124 : 4
    Lösung zeigen
    1. 124 = 120 + 4
    2. 120 : 4 = 30 und 4 : 4 = 1
    3. 30 + 1 = 31
    Ergebnis:
    31
  3. ★12
    Zerlege 408 so in zwei Zahlen, dass du beide leicht durch 6 dividieren kannst. Was ergibt 408 : 6?
    408: 6
    Lösung zeigen
    1. 408 = 360 + 48
    2. 360 : 6 = 60 und 48 : 6 = 8
    3. 60 + 8 = 68
    Ergebnis:
    68

5Ich finde Aufgaben mit gleichem Ergebnis und vergleiche Rechenausdrücke.

EntdeckenFrage

Warum stimmt der Trick „mal 9 ist mal 10 minus einmal“ immer?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Neunmal eine Zahl ist zehnmal die Zahl minus einmal die Zahl. So wird 9 · 47 zu 470 − 47 = 423. Das ist das Verteilungsgesetz: 9 ist 10 minus 1.

MerkenAusdrücke mit gleichem Wert

Verschiedene Rechenausdrücke können denselben Wert haben.

Wer die Rechengesetze nutzt, sieht das oft ohne Ausrechnen.

BeispielAufgaben mit gleichem Ergebnis

Welche Zahl fehlt? Rechne nicht beide Seiten aus. 64 + 89 = 61 + ___
Schritt für Schritt
  1. 64 wird zu 61: 3 weniger.
  2. Damit die Summe gleich bleibt, wird 89 um 3 größer.
  3. 89 + 3 = 92
  1. 64 wird zu 61: 3 weniger.
  2. Damit die Summe gleich bleibt, wird 89 um 3 größer.
  3. 89 + 3 = 92
Ergebnis:
92

AchtungPunkt vor Strich missachtet

So nicht
9 + 5 · 7 = 14 · 7 = 98
So richtig
9 + 5 · 7 = 9 + 35 = 44

Klammer zuerst, dann Mal und Geteilt, dann Plus und Minus.

ÜbenJetzt du

  1. ○13
    Finde die fehlende Zahl mit einem Rechengesetz: 73 + 45 = 70 + ___
    73 + 45=70 + ?
    So fängst du an:
    73 wird zu 70: 3 weniger.
    Lösung zeigen
    1. 73 wird zu 70: 3 weniger.
    2. Damit die Summe gleich bleibt, wird 45 um 3 größer.
    3. 45 + 3 = 48
    Ergebnis:
    48
  2. ●14
    Finde die fehlende Zahl mit einem Rechengesetz: 8 · 6 = 4 · ___
    8 · 6=4 · ?
    Lösung zeigen
    1. 8 wird halb so groß: 4.
    2. Damit das Ergebnis gleich bleibt, wird 6 doppelt so groß.
    3. 6 · 2 = 12
    Ergebnis:
    12
  3. ★15
    Finde die fehlende Zahl mit einem Rechengesetz: 52 + 63 = 42 + ___
    52 + 63=42 + ?
    Lösung zeigen
    1. 52 wird zu 42: 10 weniger.
    2. Damit die Summe gleich bleibt, wird 63 um 10 größer.
    3. 63 + 10 = 73
    Ergebnis:
    73

6Ich rechne mit Verdoppeln und Halbieren und prüfe, ob das Ergebnis gleich bleibt.

EntdeckenFrage

Wie merkt man in Sekunden, dass 98 · 102 nicht 99.960 sein kann?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Man rechnet nicht, man überschlägt: 100 · 100 = 10.000. Das Ergebnis muss also in der Nähe von 10.000 liegen. 99.960 ist fast zehnmal so groß und kann nicht stimmen. Richtig ist 9996.

MerkenVerdoppeln und halbieren

Wird ein Faktor verdoppelt und der andere halbiert, bleibt das Produkt gleich.

Werden beide verdoppelt, wird es viermal so groß.

BeispielVerdoppeln und Halbieren

Rechne geschickt: Halbiere den einen Faktor und verdopple den anderen. 16 · 25
Schritt für Schritt
  1. 16 · 25 = 8 · 50
  2. 8 · 50 = 400
  1. 16 · 25 = 8 · 50
  2. 8 · 50 = 400
Ergebnis:
400

AchtungBeide Faktoren verdoppelt

So nicht
8 · 25 → 16 · 50 = 800
So richtig
8 · 25 → 4 · 50 = 200

Nur einer wird verdoppelt, der andere halbiert. Sonst ändert sich das Ergebnis.

ÜbenJetzt du

  1. ○16
    Rechne geschickt: Halbiere den einen Faktor und verdopple den anderen. 16 · 5
    So fängst du an:
    16 · 5 = 8 · 10
    Lösung zeigen
    1. 16 · 5 = 8 · 10
    2. 8 · 10 = 80
    Ergebnis:
    80
  2. ●17
    Warum ist 14 · 5 dasselbe wie 7 · 10? Rechne dann geschickt.
    Lösung zeigen
    1. Halb so viele Reihen, jede doppelt so lang: gleich viele Kästchen.
    2. 14 · 5 = 7 · 10
    3. 7 · 10 = 70
    Ergebnis:
    70
  3. ★18
    Warum ist 36 · 5 dasselbe wie 18 · 10? Rechne dann geschickt.
    Lösung zeigen
    1. Halb so viele Reihen, jede doppelt so lang: gleich viele Kästchen.
    2. 36 · 5 = 18 · 10
    3. 18 · 10 = 180
    Ergebnis:
    180

7Ich wähle zu einer Aufgabe den passenden Rechenweg.

EntdeckenFrage

Wie rechnen Darts-Profis blitzschnell aus, wie viele Punkte ihnen von 501 noch fehlen, wenn sie 140 geworfen haben?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Der geschickte Weg nimmt erst eine runde Zahl. 500 − 140 = 360, und der eine Extrapunkt kommt dazu: 361. Das geht schneller als 501 − 140 Stelle für Stelle. Am Ergebnis ändert der Weg nichts.

MerkenDen passenden Weg wählen

Vor dem Rechnen die Zahlen ansehen.

Liegt eine Zahl nahe an einer glatten, lohnt sich ein Vorteil, sonst rechnet man schriftlich.

BeispielDen passenden Rechenweg wählen

Welchen Rechenvorteil nutzt du bei 14 · 5? Nenne ihn. Rechne danach.
14 · 5zerlegenhalbieren und verdoppelnschriftlich
Schritt für Schritt
  1. 5 wird verdoppelt glatt: halbieren und verdoppeln.
  2. 14 · 5 = 7 · 10
  3. 7 · 10 = 70
  1. 5 wird verdoppelt glatt: halbieren und verdoppeln.
  2. 14 · 5 = 7 · 10
  3. 7 · 10 = 70
Ergebnis:
halbieren und verdoppeln, 70

AchtungUmständlichen Weg gewählt

So nicht
299 + 158 schriftlich untereinander gerechnet, dabei verrechnet: 447
So richtig
299 + 158 = 300 + 157 = 457

Erst die Zahlen ansehen: Liegt eine nahe an einer glatten Zahl?

ÜbenJetzt du

  1. ○19
    Welcher Weg passt zu 189 + 299? Nenne ihn. Rechne danach.
    189 + 299zerlegenhalbieren und verdoppelnschriftlich
    So fängst du an:
    299 liegt knapp unter 300: gegensinnig verändern.
    Lösung zeigen
    1. 299 liegt knapp unter 300: gegensinnig verändern.
    2. 189 + 299 = 188 + 300
    3. 188 + 300 = 488
    Ergebnis:
    gegensinnig verändern, 488
  2. ●20
    Welcher Weg passt zu 14 · 5? Nenne ihn. Rechne danach.
    14 · 5zerlegenhalbieren und verdoppelnschriftlich
    Lösung zeigen
    1. 5 wird verdoppelt glatt: halbieren und verdoppeln.
    2. 14 · 5 = 7 · 10
    3. 7 · 10 = 70
    Ergebnis:
    halbieren und verdoppeln, 70
  3. ★21
    Welchen Rechenvorteil nutzt du bei 6 · 52? Nenne ihn. Rechne danach.
    6 · 52zerlegenhalbieren und verdoppelnschriftlich
    Lösung zeigen
    1. Den zweiten Faktor zerlegen: 52 = 50 + 2.
    2. 6 · 50 = 300 und 6 · 2 = 12
    3. Zusammen: 312
    Ergebnis:
    zerlegen, 312

8Ich finde Rechenfehler mit Überschlag und Umkehraufgabe.

EntdeckenFrage

Warum zählt man Rückgeld vom Preis aus nach oben, statt abzuziehen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Wer 13,40 € zahlen muss und 20 € gibt, bekommt 20 − 13,40 = 6,60 € zurück. Beim Hochzählen rechnet man die Umkehraufgabe: 13,40 + 6,60 = 20. Kommt man genau auf den gegebenen Betrag, stimmt das Rückgeld.

MerkenÜberschlag und Umkehraufgabe

Ein Überschlag mit runden Zahlen zeigt, ob ein Ergebnis stimmen kann.

Die Umkehraufgabe prüft es genau.

BeispielRechenfehler mit Überschlag und Umkehraufgabe finden

Sofia rechnet 594 : 6 und erhält 109. Prüfe mit der Umkehraufgabe.
594 : 6Ergebnis 109?
Schritt für Schritt
  1. Umkehraufgabe: 109 · 6 = 654
  2. 654 ist nicht 594: Es ist falsch.
  3. 594 : 6 = 99
  1. Umkehraufgabe: 109 · 6 = 654
  2. 654 ist nicht 594: Es ist falsch.
  3. 594 : 6 = 99
Ergebnis:
falsch, richtig ist 99

AchtungErgebnis nicht geprüft

So nicht
425 : 5 = 805, ohne Probe ins Heft
So richtig
425 : 5 → Überschlag 400 : 5 = 80 → 85, Probe 85 · 5 = 425

Mit einem Überschlag prüfen, ob die Größenordnung stimmt, dann mit der Umkehraufgabe.

ÜbenJetzt du

  1. ○22
    Aylin rechnet 763 − 701 und erhält 82. Prüfe mit der Umkehraufgabe.
    So fängst du an:
    Umkehraufgabe: 82 + 701 = 783
    Lösung zeigen
    1. Umkehraufgabe: 82 + 701 = 783
    2. 783 ist nicht 763: Es ist falsch.
    3. 763 − 701 = 62
    Ergebnis:
    falsch, richtig ist 62
  2. ●23
    Elias rechnet 574 − 151 und erhält 423. Prüfe mit der Umkehraufgabe.
    Lösung zeigen
    1. Umkehraufgabe: 423 + 151 = 574
    2. 574 ist genau 574: Es stimmt.
    3. 574 − 151 = 423
    Ergebnis:
    stimmt, 423
  3. ★24
    Elias erhält für 139 · 32 das Ergebnis 4648. Prüfe mit einem Überschlag.
    Lösung zeigen
    1. Überschlag: 100 · 30 = 3000
    2. 4648 liegt in der Nähe. Genau rechnen: 139 · 32 = 4448
    3. Das Ergebnis ist falsch.
    Ergebnis:
    falsch, richtig ist 4448

Vermischte Übungen

Alles durcheinander – wie in der Arbeit. Überleg bei jeder Aufgabe zuerst: Welches Ziel ist das?

Üben

  1. ●25
    Sofia rechnet 28 + 74 + 22 von links nach rechts. Zeige einen schnelleren Weg mit einem Rechenvorteil.
    287422
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 28 + 22 + 74
    2. 28 + 22 = 50
    3. 50 + 74 = 124
    Ergebnis:
    124
  2. ●26
    Welche zwei Zahlen ergeben bei 20 · 12 · 5 zusammen eine glatte Zahl? Rechne damit.
    20125
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 20 · 5 · 12
    2. 20 · 5 = 100
    3. 100 · 12 = 1200
    Ergebnis:
    1200
  3. ●27
    Rechne geschickt durch gegensinniges Verändern: 297 + 25
    29725
    Lösung zeigen
    1. 297 bekommt 3 dazu, 25 gibt 3 ab.
    2. 297 + 25 = 300 + 22
    3. 300 + 22 = 322
    Ergebnis:
    322
  4. ●28
    Ergänze so, dass die Differenz gleich bleibt: 145 − 97 = ___ − 100
    Lösung zeigen
    1. 97 wird zu 100: 3 mehr.
    2. Damit der Abstand bleibt, wird auch 145 um 3 größer: 148.
    3. 148 − 100 = 48
    Ergebnis:
    148
  5. ●29
    Rechne halbschriftlich: Zerlege den zweiten Faktor. 9 · 67
    Lösung zeigen
    1. 67 = 60 + 7
    2. 9 · 60 = 540 und 9 · 7 = 63
    3. 540 + 63 = 603
    Ergebnis:
    603
  6. ●30
    Paul rechnet 3 · 13 so: erst 3 · 10, dann 3 dazu. Paul erhält 33. Zeige am Bild, was fehlt.
    1033
    Lösung zeigen
    1. Der rechte Teil hat 3 Reihen mit je 3 Kästchen, nicht nur 3.
    2. Rechter Teil: 3 · 3 = 9
    3. 30 + 9 = 39
    Ergebnis:
    39

Auf einen Blick

MerkenDas Wichtigste

Vertauschen und zusammenfassen
Beim Plus und beim Mal darf man die Zahlen vertauschen und anders zusammenfassen.
Gegensinnig und gleichsinnig
Bei einer Summe gibt ein Summand ab, was der andere bekommt.
Malnehmen mit Zerlegen
Einen Faktor zerlegen, jeden Teil malnehmen und die Teilergebnisse addieren.
Teilen mit Zerlegen
Die Zahl so zerlegen, dass jeder Teil glatt aufgeht. So wird 385 : 7 zu 350 : 7 + 35 : 7.
Ausdrücke mit gleichem Wert
Verschiedene Rechenausdrücke können denselben Wert haben.
Verdoppeln und halbieren
Wird ein Faktor verdoppelt und der andere halbiert, bleibt das Produkt gleich.
Den passenden Weg wählen
Vor dem Rechnen die Zahlen ansehen.
Überschlag und Umkehraufgabe
Ein Überschlag mit runden Zahlen zeigt, ob ein Ergebnis stimmen kann.

Kannst du das?

Je Ziel eine Aufgabe. Rechne sie ins Heft, dann kreuz ehrlich an. Keine Punkte, keine Note – der Test ist für dich.

ÜbenSelbsttest

  1. Ich rechne Plusaufgaben und Malaufgaben geschickt durch Vertauschen und Zusammenfassen.

    31
    Elias rechnet 27 + 35 + 23 von links nach rechts. Zeige einen schnelleren Weg mit einem Rechenvorteil.
    273523
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    85

  2. Ich verändere Summen gegensinnig und Differenzen gleichsinnig.

    32
    Ergänze so, dass die Summe gleich bleibt: 47 + 57 = 50 + ___
    4757
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    54

  3. Ich nehme halbschriftlich mal, indem ich einen Faktor zerlege.

    33
    Es gibt 3 Hefte mit je 67 Hefte. Wie viele Hefte sind es? Rechne halbschriftlich.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    201 Hefte

  4. Ich dividiere halbschriftlich, indem ich die Zahl geschickt zerlege.

    34
    84 Bücher werden gleichmäßig auf 3 Regalböden aufgeteilt. Wie viele bekommt jeder Teil? Rechne halbschriftlich.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    28 Bücher

  5. Ich finde Aufgaben mit gleichem Ergebnis und vergleiche Rechenausdrücke.

    35
    Ergänze die Lücke: 20 + 15 = 10 + ___
    20 + 15=10 + ?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    25

  6. Ich rechne mit Verdoppeln und Halbieren und prüfe, ob das Ergebnis gleich bleibt.

    36
    Rechne geschickt: Halbiere den einen Faktor und verdopple den anderen. 18 · 5
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    90

  7. Ich wähle zu einer Aufgabe den passenden Rechenweg.

    37
    Welchen Rechenvorteil nutzt du bei 4 · 26? Nenne ihn. Rechne danach.
    4 · 26zerlegenhalbieren und verdoppelnschriftlich
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    zerlegen, 104

  8. Ich finde Rechenfehler mit Überschlag und Umkehraufgabe.

    38
    Can rechnet 756 : 9 und erhält 83. Prüfe mit der Umkehraufgabe.
    756 : 9Ergebnis 83?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    falsch, richtig ist 84

Bei „unsicher“ oder „noch nicht“: Lies den Abschnitt zum Ziel noch einmal und rechne seine drei Aufgaben.

Die Frage vom Anfang

EntdeckenRückschau

Rechne im Kopf, so schnell du kannst: 25 · 17 · 4. Schreib nichts auf und nimm keinen Taschenrechner.

Lies deine Vermutung vom Anfang. Kannst du die Frage jetzt mit dem Kapitel beantworten?

Auflösung

Mit dem Werkzeug aus diesem Kapitel: Vertauschen und Zusammenfassen: erst die Zahlen, die zusammen glatt werden.

Wo brauchst du das?

Entdecken

Preise im Kopf addieren, Rückgeld überschlagen, Mengen für ein Fest ausrechnen. Beruf: Kasse und Verkauf, Handwerk beim Materialberechnen, Lager und Versand.

Wörter

Differenz
was übrig bleibt, wenn man abzieht
Gleichung
zwei Rechnungen, die gleich viel wert sind
Produkt
was herauskommt, wenn man malnimmt
Summe
was herauskommt, wenn man zusammenzählt
Teiler
eine Zahl, durch die es ohne Rest aufgeht

Wie es zusammenhängt

Das brauchst du vorher: Rechenregeln, Teiler und Vielfache, Natürliche Zahlen und Stellenwert

Darauf baut auf: Sachaufgaben lösen

Lösungen

  1. 41
  2. 58
  3. 1071
  4. 124
  5. 94
  6. 1284
  7. 162 Bonbons
  8. 156
  9. 1584
  10. 24
  11. 31
  12. 68
  13. 48
  14. 12
  15. 73
  16. 80
  17. 70
  18. 180
  19. gegensinnig verändern, 488
  20. halbieren und verdoppeln, 70
  21. zerlegen, 312
  22. falsch, richtig ist 62
  23. stimmt, 423
  24. falsch, richtig ist 4448
  25. 124
  26. 1200
  27. 322
  28. 148
  29. 603
  30. 39
  31. 85
  32. 54
  33. 201 Hefte
  34. 28 Bücher
  35. 25
  36. 90
  37. zerlegen, 104
  38. falsch, richtig ist 84
  39. 25
  40. 105
  41. 22
  42. 38