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Mathematik · Klasse 5 · Kapitel

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Rechengesetze und Rechenvorteile

EntdeckenDie Frage zum Kapitel

Rechne im Kopf, so schnell du kannst: 25 · 17 · 4. Schreib nichts auf und nimm keinen Taschenrechner.

Schreib eine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Für die Lehrkraft: Die meisten rechnen von links: 25 · 17 und kommen durcheinander. Andere geben auf oder raten. Nur wenige sehen, dass 25 und 4 zusammen 100 ergeben. Beim Malnehmen darf man die Zahlen vertauschen. Dann steht 25 · 4 · 17 da, also 100 · 17. Das Ergebnis ist 1700, in einer Sekunde.

  • Entdecken Frage, Vorstellung, Bild
  • Merken kommt ins Heft
  • Beispiel vorgerechnet, Schritt für Schritt
  • Üben selbst rechnen
  • Achtung typischer Fehler
  • Weiterdenken zum Knobeln und Vernetzen

○ mit Starthilfe, ● für alle, ★ zum Weiterdenken. Du wählst mindestens eine ★-Aufgabe. Du rechnest ins Heft.

Fit für das Kapitel?

Das brauchst du aus früheren Themen. Klappt es nicht, frag nach, bevor es losgeht.

ÜbenWeißt du das noch?

Punkt vor Strich und Klammer zuerst – so steht es seit Klasse 4 im Heft.

  1. ●39
    Rechne: 38 − 3 · 6
    Lösung zeigen
    1. Punkt vor Strich: erst 3 · 6 = 18
    2. 38 − 18 = 20
    Ergebnis:
    20
  2. ●40
    Rechne: (4 + 3) · 7
    Lösung zeigen
    1. Die Klammer zuerst: 4 + 3 = 7
    2. 7 · 7 = 49
    Ergebnis:
    49

ÜbenWeißt du das noch?

Punkt vor Strich und Klammer zuerst – die Reihenfolge entscheidet über das Ergebnis.

  1. ●41
    Berechne: 11 + 5 · 6
    Lösung zeigen
    1. Punkt vor Strich: erst 5 · 6 = 30
    2. 11 + 30 = 41
    Ergebnis:
    41
  2. ●42
    Ich denke mir eine Zahl, addiere 27 und erhalte 83. Welche Zahl war es? (Umkehraufgabe)
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    56

So kannst du es dir vorstellen

EntdeckenZahlen umbauen, ohne den Wert zu ändern

Eine Rechnung lässt sich umbauen, ohne dass sich ihr Wert ändert. Zahlen tauschen die Plätze, bilden neue Gruppen oder werden zerlegt. Wer das sieht, rechnet mit glatten Zahlen statt mit krummen.

17 plus 38 plus 3: Erst 17 und 3 zu 20 zusammenfassen, dann 20 plus 38 sind 5817 + 38 + 317 + 3 = 20= 20 + 38 = 58

WeiterdenkenDenk nach

Warum darf man bei 25 + 38 + 75 zuerst 25 und 75 addieren, bei 50 − 20 − 10 aber nicht zuerst 20 − 10?

1Ich rechne Plusaufgaben und Malaufgaben geschickt durch Vertauschen und Zusammenfassen.

EntdeckenFrage

Wie konnte der neunjährige Carl Friedrich Gauß die Zahlen von 1 bis 100 in wenigen Minuten addieren?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Er hat die Zahlen in Paare umsortiert: 1 und 100, 2 und 99, 3 und 98. Jedes Paar ergibt 101, und es sind 50 Paare. Also 50 · 101 = 5050. Er hat nur vertauscht und neu zusammengefasst.

MerkenVertauschen und zusammenfassen

Beim Plus und beim Mal darf man die Zahlen vertauschen und anders zusammenfassen.

Erst die Zahlen nehmen, die zusammen glatt werden.

BeispielPlusaufgaben geschickt: vertauschen und zusammenfassen

Zeynep rechnet 17 + 36 + 33 von links nach rechts. Zeige einen schnelleren Weg mit einem Rechenvorteil.
173633
Schritt für Schritt
  1. Vertauschen: 17 + 33 + 36
  2. 17 + 33 = 50
  3. 50 + 36 = 86
  1. Vertauschen: 17 + 33 + 36
  2. 17 + 33 = 50
  3. 50 + 36 = 86
Ergebnis:
86

AchtungBeim Minus oder Geteilt vertauscht

So nicht
50 − 20 − 10: erst 20 − 10 = 10, dann 50 − 10 = 40
So richtig
50 − 20 − 10 = 30 − 10 = 20

Vertauschen ist nur beim Plus und beim Mal erlaubt. 20 − 5 ist nicht 5 − 20.

ÜbenJetzt du

  1. ○1
    Paul rechnet 24 + 38 + 76 von links nach rechts. Zeige einen schnelleren Weg mit einem Rechenvorteil.
    243876
    So fängst du an:
    Vertauschen: 24 + 76 + 38
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 24 + 76 + 38
    2. 24 + 76 = 100
    3. 100 + 38 = 138
    Ergebnis:
    138
  2. ●2
    Noah rechnet 96 + 72 + 4 von links nach rechts. Zeige einen schnelleren Weg mit einem Rechenvorteil.
    96724
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 96 + 4 + 72
    2. 96 + 4 = 100
    3. 100 + 72 = 172
    Ergebnis:
    172
  3. ★3
    Welche Zahlen fasst du bei 172 + 112 + 128 zuerst zusammen? Begründe. Rechne danach.
    172112128
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 172 + 128 + 112
    2. 172 + 128 = 300
    3. Zusammen glatt, der Rest ist leicht: 300 + 112 = 412
    Ergebnis:
    412

2Ich verändere Summen gegensinnig und Differenzen gleichsinnig.

EntdeckenFrage

Warum rechnen Kassiererinnen 3,99 € mal 4 schneller als ein Kunde mit Papier?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Sie rechnen 4 mal 4 € und ziehen dann 4 Cent ab: 16,00 € − 0,04 € = 15,96 €. Das ist Zerlegen: 3,99 ist 4 minus 1 Cent. Der Rechenweg ist kurz, weil er über die glatte Zahl geht.

MerkenGegensinnig und gleichsinnig

Bei einer Summe gibt ein Summand ab, was der andere bekommt.

Bei einer Differenz ändern sich beide Zahlen gleich, der Abstand bleibt.

BeispielSummen gegensinnig verändern

Rechne geschickt durch gegensinniges Verändern: 47 + 24
4724
Schritt für Schritt
  1. 47 bekommt 3 dazu, 24 gibt 3 ab.
  2. 47 + 24 = 50 + 21
  3. 50 + 21 = 71
  1. 47 bekommt 3 dazu, 24 gibt 3 ab.
  2. 47 + 24 = 50 + 21
  3. 50 + 21 = 71
Ergebnis:
71

AchtungNur eine Zahl verändert

So nicht
143 − 97: 143 − 100 = 43
So richtig
143 − 97 = 146 − 100 = 46

Bei der Summe gegensinnig, bei der Differenz gleichsinnig: Immer beide Zahlen verändern.

ÜbenJetzt du

  1. ○4
    Ergänze so, dass die Summe gleich bleibt: 37 + 54 = 40 + ___
    3754
    So fängst du an:
    37 wird zu 40: 3 mehr.
    Lösung zeigen
    1. 37 wird zu 40: 3 mehr.
    2. Also muss 54 um 3 kleiner werden: 54 − 3 = 51
    3. 40 + 51 = 91
    Ergebnis:
    51
  2. ●5
    Sofia rechnet 48 + 64 als 50 + 64. Was muss Sofia danach noch tun? Was kommt heraus?
    4864
    Lösung zeigen
    1. Sofia hat 48 um 2 vergrößert.
    2. Die Summe ist dadurch um 2 zu groß: 50 + 64 = 114.
    3. 2 wieder abziehen: 114 − 2 = 112
    Ergebnis:
    112
  3. ★6
    Sofia rechnet 1998 + 954 als 2000 + 954. Was muss Sofia danach noch tun? Was kommt heraus?
    1998954
    Lösung zeigen
    1. Sofia hat 1998 um 2 vergrößert.
    2. Die Summe ist dadurch um 2 zu groß: 2000 + 954 = 2954.
    3. 2 wieder abziehen: 2954 − 2 = 2952
    Ergebnis:
    2952

3Ich nehme halbschriftlich mal, indem ich einen Faktor zerlege.

EntdeckenFrage

Wie haben Bauern in Russland früher ohne Einmaleins multipliziert?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Sie haben eine Zahl immer halbiert und die andere verdoppelt, bis links eine 1 stand. Dann addierten sie die rechten Zahlen der Zeilen mit ungerader linker Zahl. Das Verfahren heißt russische Bauernmultiplikation und nutzt, dass Verdoppeln und Halbieren das Produkt nicht ändert.

Ausprobieren: Malnehmen am Rechteck

Länge und Höhe in Teile zerlegen – das Rechteck zerfällt in Teilrechtecke, und jedes ist eine leichte Malaufgabe.

MerkenMalnehmen mit Zerlegen

Einen Faktor zerlegen, jeden Teil malnehmen und die Teilergebnisse addieren.

So wird 7 · 48 zu 7 · 40 + 7 · 8.

BeispielHalbschriftlich malnehmen mit Zerlegen

Rechne halbschriftlich: Zerlege den zweiten Faktor. 7 · 57
Schritt für Schritt
  1. 57 = 50 + 7
  2. 7 · 50 = 350 und 7 · 7 = 49
  3. 350 + 49 = 399
  1. 57 = 50 + 7
  2. 7 · 50 = 350 und 7 · 7 = 49
  3. 350 + 49 = 399
Ergebnis:
399

AchtungBeim Zerlegen einen Teil vergessen

So nicht
7 · 48: 7 · 40 + 8 = 288
So richtig
7 · 48 = 7 · 40 + 7 · 8 = 280 + 56 = 336

Jeder Teil des zerlegten Faktors wird malgenommen, nicht nur der erste.

ÜbenJetzt du

  1. ○7
    Rechne geschickt über die glatte Zahl: 7 · 39
    So fängst du an:
    39 = 40 − 1
    Lösung zeigen
    1. 39 = 40 − 1
    2. 7 · 40 = 280 und 7 · 1 = 7
    3. 280 − 7 = 273
    Ergebnis:
    273
  2. ●8
    Rechne halbschriftlich: Zerlege den zweiten Faktor. 3 · 32
    Lösung zeigen
    1. 32 = 30 + 2
    2. 3 · 30 = 90 und 3 · 2 = 6
    3. 90 + 6 = 96
    Ergebnis:
    96
  3. ★9
    Rechne geschickt über die glatte Zahl: 5 · 59
    Lösung zeigen
    1. 59 = 60 − 1
    2. 5 · 60 = 300 und 5 · 1 = 5
    3. 300 − 5 = 295
    Ergebnis:
    295

4Ich dividiere halbschriftlich, indem ich die Zahl geschickt zerlege.

EntdeckenFrage

Warum ist 25 mal 4 ein Lieblingspaar beim Kopfrechnen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

25 mal 4 ergibt genau 100. Kommen 25 und 4 in einer Malaufgabe vor, fasst man sie zuerst zusammen. Aus 25 · 37 · 4 wird dann 100 · 37 = 3700, ganz ohne schriftliches Rechnen.

MerkenTeilen mit Zerlegen

Die Zahl so zerlegen, dass jeder Teil glatt aufgeht. So wird 385 : 7 zu 350 : 7 + 35 : 7.

BeispielHalbschriftlich dividieren

448 Bücher werden gleichmäßig auf 7 Regalböden aufgeteilt. Wie viele bekommt jeder Teil? Rechne halbschriftlich.
Schritt für Schritt
  1. 448 : 7
  2. 448 = 420 + 28
  3. 420 : 7 = 60 und 28 : 7 = 4
  4. 60 + 4 = 64
  1. 448 : 7
  2. 448 = 420 + 28
  3. 420 : 7 = 60 und 28 : 7 = 4
  4. 60 + 4 = 64
Ergebnis:
64 Bücher

AchtungBeim Teilen nicht passend zerlegt

So nicht
385 : 7: 300 : 7 geht nicht glatt → aufgegeben
So richtig
385 : 7 = 350 : 7 + 35 : 7 = 50 + 5 = 55

Jeder Teil muss sich glatt teilen lassen. Erst ein großes Vielfaches abspalten.

ÜbenJetzt du

  1. ○10
    Zerlege 171 so in zwei Zahlen, dass du beide leicht durch 3 dividieren kannst. Was ergibt 171 : 3?
    171: 3
    So fängst du an:
    171 = 150 + 21
    Lösung zeigen
    1. 171 = 150 + 21
    2. 150 : 3 = 50 und 21 : 3 = 7
    3. 50 + 7 = 57
    Ergebnis:
    57
  2. ●11
    Zerlege 190 so in zwei Zahlen, dass du beide leicht durch 5 dividieren kannst. Was ergibt 190 : 5?
    190: 5
    Lösung zeigen
    1. 190 = 150 + 40
    2. 150 : 5 = 30 und 40 : 5 = 8
    3. 30 + 8 = 38
    Ergebnis:
    38
  3. ★12
    Rechne halbschriftlich: 1480 : 8
    Lösung zeigen
    1. 1480 = 1440 + 40
    2. 1440 : 8 = 180 und 40 : 8 = 5
    3. 180 + 5 = 185
    Ergebnis:
    185

5Ich finde Aufgaben mit gleichem Ergebnis und vergleiche Rechenausdrücke.

EntdeckenFrage

Warum stimmt der Trick „mal 9 ist mal 10 minus einmal“ immer?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Neunmal eine Zahl ist zehnmal die Zahl minus einmal die Zahl. So wird 9 · 47 zu 470 − 47 = 423. Das ist das Verteilungsgesetz: 9 ist 10 minus 1.

MerkenAusdrücke mit gleichem Wert

Verschiedene Rechenausdrücke können denselben Wert haben.

Wer die Rechengesetze nutzt, sieht das oft ohne Ausrechnen.

BeispielAufgaben mit gleichem Ergebnis

Ergänze die Lücke: 13 + 12 = 11 + ___
13 + 12=11 + ?
Schritt für Schritt
  1. 13 wird zu 11: 2 weniger.
  2. Damit die Summe gleich bleibt, wird 12 um 2 größer.
  3. 12 + 2 = 14
  1. 13 wird zu 11: 2 weniger.
  2. Damit die Summe gleich bleibt, wird 12 um 2 größer.
  3. 12 + 2 = 14
Ergebnis:
14

AchtungPunkt vor Strich missachtet

So nicht
9 + 5 · 7 = 14 · 7 = 98
So richtig
9 + 5 · 7 = 9 + 35 = 44

Klammer zuerst, dann Mal und Geteilt, dann Plus und Minus.

ÜbenJetzt du

  1. ○13
    Ergänze die Lücke: 12 · 12 = 6 · ___
    12 · 12=6 · ?
    So fängst du an:
    12 wird halb so groß: 6.
    Lösung zeigen
    1. 12 wird halb so groß: 6.
    2. Damit das Ergebnis gleich bleibt, wird 12 doppelt so groß.
    3. 12 · 2 = 24
    Ergebnis:
    24
  2. ●14
    Finde die fehlende Zahl mit einem Rechengesetz: 29 + 63 = 39 + ___
    29 + 63=39 + ?
    Lösung zeigen
    1. 29 wird zu 39: 10 mehr.
    2. Damit die Summe gleich bleibt, wird 63 um 10 kleiner.
    3. 63 − 10 = 53
    Ergebnis:
    53
  3. ★15
    Finde die fehlende Zahl mit einem Rechengesetz: 4 · 26 + 4 · 5 = 4 · ___
    4 · 26 + 4 · 5=4 · ?
    Lösung zeigen
    1. Beide Produkte haben den Faktor 4.
    2. 4 mal 26 und 4 mal 5 sind zusammen 4 mal (26 + 5).
    3. 26 + 5 = 31
    Ergebnis:
    31

6Ich rechne mit Verdoppeln und Halbieren und prüfe, ob das Ergebnis gleich bleibt.

EntdeckenFrage

Wie merkt man in Sekunden, dass 98 · 102 nicht 99.960 sein kann?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Man rechnet nicht, man überschlägt: 100 · 100 = 10.000. Das Ergebnis muss also in der Nähe von 10.000 liegen. 99.960 ist fast zehnmal so groß und kann nicht stimmen. Richtig ist 9996.

MerkenVerdoppeln und halbieren

Wird ein Faktor verdoppelt und der andere halbiert, bleibt das Produkt gleich.

Werden beide verdoppelt, wird es viermal so groß.

BeispielVerdoppeln und Halbieren

Warum ist 18 · 5 dasselbe wie 9 · 10? Rechne dann geschickt.
Schritt für Schritt
  1. Halb so viele Reihen, jede doppelt so lang: gleich viele Kästchen.
  2. 18 · 5 = 9 · 10
  3. 9 · 10 = 90
  1. Halb so viele Reihen, jede doppelt so lang: gleich viele Kästchen.
  2. 18 · 5 = 9 · 10
  3. 9 · 10 = 90
Ergebnis:
90

AchtungBeide Faktoren verdoppelt

So nicht
8 · 25 → 16 · 50 = 800
So richtig
8 · 25 → 4 · 50 = 200

Nur einer wird verdoppelt, der andere halbiert. Sonst ändert sich das Ergebnis.

ÜbenJetzt du

  1. ○16
    Warum ist 12 · 15 dasselbe wie 6 · 30? Rechne dann geschickt.
    So fängst du an:
    Halb so viele Reihen, jede doppelt so lang: gleich viele Kästchen.
    Lösung zeigen
    1. Halb so viele Reihen, jede doppelt so lang: gleich viele Kästchen.
    2. 12 · 15 = 6 · 30
    3. 6 · 30 = 180
    Ergebnis:
    180
  2. ●17
    Warum ist 16 · 25 dasselbe wie 8 · 50? Rechne dann geschickt.
    Lösung zeigen
    1. Halb so viele Reihen, jede doppelt so lang: gleich viele Kästchen.
    2. 16 · 25 = 8 · 50
    3. 8 · 50 = 400
    Ergebnis:
    400
  3. ★18
    Tom verdoppelt bei 36 · 5 beide Faktoren und rechnet 72 · 10. Bleibt das Ergebnis gleich?
    Lösung zeigen
    1. Einmal verdoppeln macht das Ergebnis doppelt so groß, zweimal viermal so groß.
    2. 72 · 10 = 720, aber 36 · 5 = 180
    3. Richtig ist: einen verdoppeln, den anderen halbieren.
    Ergebnis:
    Nein, viermal so groß; richtig ist 180

7Ich wähle zu einer Aufgabe den passenden Rechenweg.

EntdeckenFrage

Wie rechnen Darts-Profis blitzschnell aus, wie viele Punkte ihnen von 501 noch fehlen, wenn sie 140 geworfen haben?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Der geschickte Weg nimmt erst eine runde Zahl. 500 − 140 = 360, und der eine Extrapunkt kommt dazu: 361. Das geht schneller als 501 − 140 Stelle für Stelle. Am Ergebnis ändert der Weg nichts.

MerkenDen passenden Weg wählen

Vor dem Rechnen die Zahlen ansehen.

Liegt eine Zahl nahe an einer glatten, lohnt sich ein Vorteil, sonst rechnet man schriftlich.

BeispielDen passenden Rechenweg wählen

Welcher Weg passt zu 16 · 5? Nenne ihn. Rechne danach.
16 · 5zerlegenhalbieren und verdoppelnschriftlich
Schritt für Schritt
  1. 5 wird verdoppelt glatt: halbieren und verdoppeln.
  2. 16 · 5 = 8 · 10
  3. 8 · 10 = 80
  1. 5 wird verdoppelt glatt: halbieren und verdoppeln.
  2. 16 · 5 = 8 · 10
  3. 8 · 10 = 80
Ergebnis:
halbieren und verdoppeln, 80

AchtungUmständlichen Weg gewählt

So nicht
299 + 158 schriftlich untereinander gerechnet, dabei verrechnet: 447
So richtig
299 + 158 = 300 + 157 = 457

Erst die Zahlen ansehen: Liegt eine nahe an einer glatten Zahl?

ÜbenJetzt du

  1. ○19
    Wie rechnest du am schnellsten: 148 + 198? Nenne ihn. Rechne danach.
    So fängst du an:
    198 liegt knapp unter 200: gegensinnig verändern.
    Lösung zeigen
    1. 198 liegt knapp unter 200: gegensinnig verändern.
    2. 148 + 198 = 146 + 200
    3. 146 + 200 = 346
    Ergebnis:
    gegensinnig verändern, 346
  2. ●20
    Welchen Rechenvorteil nutzt du bei 33 + 22 + 67? Nenne ihn. Rechne danach.
    33 + 22 + 67zerlegenhalbieren und verdoppelnschriftlich
    Lösung zeigen
    1. Zwei Zahlen ergeben zusammen 100: vertauschen und zusammenfassen.
    2. 33 + 67 = 100
    3. 100 + 22 = 122
    Ergebnis:
    vertauschen, 122
  3. ★21
    Wie rechnest du am schnellsten: 305 + 399? Nenne ihn. Rechne danach.
    Lösung zeigen
    1. 399 liegt knapp unter 400: gegensinnig verändern.
    2. 305 + 399 = 304 + 400
    3. 304 + 400 = 704
    Ergebnis:
    gegensinnig verändern, 704

8Ich finde Rechenfehler mit Überschlag und Umkehraufgabe.

EntdeckenFrage

Warum zählt man Rückgeld vom Preis aus nach oben, statt abzuziehen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Wer 13,40 € zahlen muss und 20 € gibt, bekommt 20 − 13,40 = 6,60 € zurück. Beim Hochzählen rechnet man die Umkehraufgabe: 13,40 + 6,60 = 20. Kommt man genau auf den gegebenen Betrag, stimmt das Rückgeld.

MerkenÜberschlag und Umkehraufgabe

Ein Überschlag mit runden Zahlen zeigt, ob ein Ergebnis stimmen kann.

Die Umkehraufgabe prüft es genau.

BeispielRechenfehler mit Überschlag und Umkehraufgabe finden

Aylin rechnet 504 : 6 und erhält 83. Prüfe mit der Umkehraufgabe.
504 : 6Ergebnis 83?
Schritt für Schritt
  1. Umkehraufgabe: 83 · 6 = 498
  2. 498 ist nicht 504: Es ist falsch.
  3. 504 : 6 = 84
  1. Umkehraufgabe: 83 · 6 = 498
  2. 498 ist nicht 504: Es ist falsch.
  3. 504 : 6 = 84
Ergebnis:
falsch, richtig ist 84

AchtungErgebnis nicht geprüft

So nicht
425 : 5 = 805, ohne Probe ins Heft
So richtig
425 : 5 → Überschlag 400 : 5 = 80 → 85, Probe 85 · 5 = 425

Mit einem Überschlag prüfen, ob die Größenordnung stimmt, dann mit der Umkehraufgabe.

ÜbenJetzt du

  1. ○22
    Paul rechnet 186 : 6 und erhält 33. Prüfe mit der Umkehraufgabe.
    186 : 6Ergebnis 33?
    So fängst du an:
    Umkehraufgabe: 33 · 6 = 198
    Lösung zeigen
    1. Umkehraufgabe: 33 · 6 = 198
    2. 198 ist nicht 186: Es ist falsch.
    3. 186 : 6 = 31
    Ergebnis:
    falsch, richtig ist 31
  2. ●23
    Emma erhält für 21 · 19 das Ergebnis 299. Prüfe mit einem Überschlag.
    Lösung zeigen
    1. Überschlag: 20 · 20 = 400
    2. 299 liegt zu weit weg. Genau: 21 · 19 = 399
    3. Das Ergebnis ist falsch.
    Ergebnis:
    falsch, richtig ist 399
  3. ★24
    Can erhält für 359 · 42 das Ergebnis 15.278. Prüfe mit einem Überschlag.
    Lösung zeigen
    1. Überschlag: 400 · 40 = 16.000
    2. 15.278 liegt in der Nähe. Genau rechnen: 359 · 42 = 15.078
    3. Das Ergebnis ist falsch.
    Ergebnis:
    falsch, richtig ist 15.078

Vermischte Übungen

Alles durcheinander – wie in der Arbeit. Überleg bei jeder Aufgabe zuerst: Welches Ziel ist das?

Üben

  1. ●25
    Welche Zahlen fasst du bei 19 + 84 + 21 zuerst zusammen? Begründe. Rechne danach.
    198421
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 19 + 21 + 84
    2. 19 + 21 = 40
    3. Zusammen glatt, der Rest ist leicht: 40 + 84 = 124
    Ergebnis:
    124
  2. ●26
    In einem Lager stehen 25 Regale mit je 4 Kartons. In jedem Karton sind 14 Bälle. Wie viele Bälle sind es? Rechne geschickt.
    25 Regale4 Kartons14 Bälle
    Lösung zeigen
    1. Bälle: 25 · 4 · 14
    2. 25 · 4 = 100
    3. 100 · 14 = 1400
    Ergebnis:
    1400 Bälle
  3. ●27
    Ergänze so, dass die Summe gleich bleibt: 197 + 35 = 200 + ___
    19735
    Lösung zeigen
    1. 197 wird zu 200: 3 mehr.
    2. Also muss 35 um 3 kleiner werden: 35 − 3 = 32
    3. 200 + 32 = 232
    Ergebnis:
    32
  4. ●28
    Ergänze so, dass die Differenz gleich bleibt: 167 − 38 = ___ − 40
    Lösung zeigen
    1. 38 wird zu 40: 2 mehr.
    2. Damit der Abstand bleibt, wird auch 167 um 2 größer: 169.
    3. 169 − 40 = 129
    Ergebnis:
    169
  5. ●29
    Rechne geschickt über die glatte Zahl: 6 · 49
    Lösung zeigen
    1. 49 = 50 − 1
    2. 6 · 50 = 300 und 6 · 1 = 6
    3. 300 − 6 = 294
    Ergebnis:
    294
  6. ●30
    Ein Rechteck hat 6 Reihen mit je 25 Kästchen. Die rote Linie teilt es. Wie viele Kästchen sind es?
    2056
    Lösung zeigen
    1. Linker Teil: 6 · 20 = 120
    2. Rechter Teil: 6 · 5 = 30
    3. Zusammen: 120 + 30 = 150
    Ergebnis:
    150 Kästchen

Auf einen Blick

MerkenDas Wichtigste

Vertauschen und zusammenfassen
Beim Plus und beim Mal darf man die Zahlen vertauschen und anders zusammenfassen.
Gegensinnig und gleichsinnig
Bei einer Summe gibt ein Summand ab, was der andere bekommt.
Malnehmen mit Zerlegen
Einen Faktor zerlegen, jeden Teil malnehmen und die Teilergebnisse addieren.
Teilen mit Zerlegen
Die Zahl so zerlegen, dass jeder Teil glatt aufgeht. So wird 385 : 7 zu 350 : 7 + 35 : 7.
Ausdrücke mit gleichem Wert
Verschiedene Rechenausdrücke können denselben Wert haben.
Verdoppeln und halbieren
Wird ein Faktor verdoppelt und der andere halbiert, bleibt das Produkt gleich.
Den passenden Weg wählen
Vor dem Rechnen die Zahlen ansehen.
Überschlag und Umkehraufgabe
Ein Überschlag mit runden Zahlen zeigt, ob ein Ergebnis stimmen kann.

Kannst du das?

Je Ziel eine Aufgabe. Rechne sie ins Heft, dann kreuz ehrlich an. Keine Punkte, keine Note – der Test ist für dich.

ÜbenSelbsttest

  1. Ich rechne Plusaufgaben und Malaufgaben geschickt durch Vertauschen und Zusammenfassen.

    31
    Lea rechnet 17 + 45 + 43 von links nach rechts. Zeige einen schnelleren Weg mit einem Rechenvorteil.
    174543
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    105

  2. Ich verändere Summen gegensinnig und Differenzen gleichsinnig.

    32
    Ergänze so, dass die Summe gleich bleibt: 98 + 34 = 100 + ___
    9834
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    32

  3. Ich nehme halbschriftlich mal, indem ich einen Faktor zerlege.

    33
    Rechne halbschriftlich: Zerlege den zweiten Faktor. 8 · 16
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    128

  4. Ich dividiere halbschriftlich, indem ich die Zahl geschickt zerlege.

    34
    Rechne halbschriftlich: 112 : 7
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    16

  5. Ich finde Aufgaben mit gleichem Ergebnis und vergleiche Rechenausdrücke.

    35
    Finde die fehlende Zahl mit einem Rechengesetz: 14 · 11 = 7 · ___
    14 · 11=7 · ?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    22

  6. Ich rechne mit Verdoppeln und Halbieren und prüfe, ob das Ergebnis gleich bleibt.

    36
    Warum ist 16 · 5 dasselbe wie 8 · 10? Rechne dann geschickt.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    80

  7. Ich wähle zu einer Aufgabe den passenden Rechenweg.

    37
    Welchen Rechenvorteil nutzt du bei 156 + 299? Nenne ihn. Rechne danach.
    156 + 299zerlegenhalbieren und verdoppelnschriftlich
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    gegensinnig verändern, 455

  8. Ich finde Rechenfehler mit Überschlag und Umkehraufgabe.

    38
    Emma rechnet 649 − 522 und erhält 127. Prüfe mit der Umkehraufgabe.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    stimmt, 127

Bei „unsicher“ oder „noch nicht“: Lies den Abschnitt zum Ziel noch einmal und rechne seine drei Aufgaben.

Die Frage vom Anfang

EntdeckenRückschau

Rechne im Kopf, so schnell du kannst: 25 · 17 · 4. Schreib nichts auf und nimm keinen Taschenrechner.

Lies deine Vermutung vom Anfang. Kannst du die Frage jetzt mit dem Kapitel beantworten?

Auflösung

Mit dem Werkzeug aus diesem Kapitel: Vertauschen und Zusammenfassen: erst die Zahlen, die zusammen glatt werden.

Wo brauchst du das?

Entdecken

Preise im Kopf addieren, Rückgeld überschlagen, Mengen für ein Fest ausrechnen. Beruf: Kasse und Verkauf, Handwerk beim Materialberechnen, Lager und Versand.

Wörter

Differenz
was übrig bleibt, wenn man abzieht
Gleichung
zwei Rechnungen, die gleich viel wert sind
Produkt
was herauskommt, wenn man malnimmt
Summe
was herauskommt, wenn man zusammenzählt
Teiler
eine Zahl, durch die es ohne Rest aufgeht

Wie es zusammenhängt

Das brauchst du vorher: Rechenregeln, Teiler und Vielfache, Natürliche Zahlen und Stellenwert

Darauf baut auf: Sachaufgaben lösen

Lösungen

  1. 138
  2. 172
  3. 412
  4. 51
  5. 112
  6. 2952
  7. 273
  8. 96
  9. 295
  10. 57
  11. 38
  12. 185
  13. 24
  14. 53
  15. 31
  16. 180
  17. 400
  18. Nein, viermal so groß; richtig ist 180
  19. gegensinnig verändern, 346
  20. vertauschen, 122
  21. gegensinnig verändern, 704
  22. falsch, richtig ist 31
  23. falsch, richtig ist 399
  24. falsch, richtig ist 15.078
  25. 124
  26. 1400 Bälle
  27. 32
  28. 169
  29. 294
  30. 150 Kästchen
  31. 105
  32. 32
  33. 128
  34. 16
  35. 22
  36. 80
  37. gegensinnig verändern, 455
  38. stimmt, 127
  39. 20
  40. 49
  41. 41
  42. 56