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Mathematik · Klasse 5 · Kapitel

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Rechengesetze und Rechenvorteile

EntdeckenDie Frage zum Kapitel

Rechne im Kopf, so schnell du kannst: 25 · 17 · 4. Schreib nichts auf und nimm keinen Taschenrechner.

Schreib eine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Für die Lehrkraft: Die meisten rechnen von links: 25 · 17 und kommen durcheinander. Andere geben auf oder raten. Nur wenige sehen, dass 25 und 4 zusammen 100 ergeben. Beim Malnehmen darf man die Zahlen vertauschen. Dann steht 25 · 4 · 17 da, also 100 · 17. Das Ergebnis ist 1700, in einer Sekunde.

  • Entdecken Frage, Vorstellung, Bild
  • Merken kommt ins Heft
  • Beispiel vorgerechnet, Schritt für Schritt
  • Üben selbst rechnen
  • Achtung typischer Fehler
  • Weiterdenken zum Knobeln und Vernetzen

○ mit Starthilfe, ● für alle, ★ zum Weiterdenken. Du wählst mindestens eine ★-Aufgabe. Du rechnest ins Heft.

Fit für das Kapitel?

Das brauchst du aus früheren Themen. Klappt es nicht, frag nach, bevor es losgeht.

ÜbenWeißt du das noch?

Punkt vor Strich und Klammer zuerst – so steht es seit Klasse 4 im Heft.

  1. ●39
    Rechne: 34 − 4 · 4
    Lösung zeigen
    1. Punkt vor Strich: erst 4 · 4 = 16
    2. 34 − 16 = 18
    Ergebnis:
    18
  2. ●40
    Rechne: (8 + 7) · 5
    Lösung zeigen
    1. Die Klammer zuerst: 8 + 7 = 15
    2. 15 · 5 = 75
    Ergebnis:
    75

ÜbenWeißt du das noch?

Punkt vor Strich und Klammer zuerst – die Reihenfolge entscheidet über das Ergebnis.

  1. ●41
    Berechne: 2 + 9 · 5
    Lösung zeigen
    1. Punkt vor Strich: erst 9 · 5 = 45
    2. 2 + 45 = 47
    Ergebnis:
    47
  2. ●42
    Ich denke mir eine Zahl, addiere 12 und erhalte 31. Welche Zahl war es? (Umkehraufgabe)
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    19

So kannst du es dir vorstellen

EntdeckenZahlen umbauen, ohne den Wert zu ändern

Eine Rechnung lässt sich umbauen, ohne dass sich ihr Wert ändert. Zahlen tauschen die Plätze, bilden neue Gruppen oder werden zerlegt. Wer das sieht, rechnet mit glatten Zahlen statt mit krummen.

17 plus 38 plus 3: Erst 17 und 3 zu 20 zusammenfassen, dann 20 plus 38 sind 5817 + 38 + 317 + 3 = 20= 20 + 38 = 58

WeiterdenkenDenk nach

Warum darf man bei 25 + 38 + 75 zuerst 25 und 75 addieren, bei 50 − 20 − 10 aber nicht zuerst 20 − 10?

1Ich rechne Plusaufgaben und Malaufgaben geschickt durch Vertauschen und Zusammenfassen.

EntdeckenFrage

Wie konnte der neunjährige Carl Friedrich Gauß die Zahlen von 1 bis 100 in wenigen Minuten addieren?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Er hat die Zahlen in Paare umsortiert: 1 und 100, 2 und 99, 3 und 98. Jedes Paar ergibt 101, und es sind 50 Paare. Also 50 · 101 = 5050. Er hat nur vertauscht und neu zusammengefasst.

MerkenVertauschen und zusammenfassen

Beim Plus und beim Mal darf man die Zahlen vertauschen und anders zusammenfassen.

Erst die Zahlen nehmen, die zusammen glatt werden.

BeispielPlusaufgaben geschickt: vertauschen und zusammenfassen

Milan rechnet 54 + 49 + 46 von links nach rechts. Zeige einen schnelleren Weg mit einem Rechenvorteil.
544946
Schritt für Schritt
  1. Vertauschen: 54 + 46 + 49
  2. 54 + 46 = 100
  3. 100 + 49 = 149
  1. Vertauschen: 54 + 46 + 49
  2. 54 + 46 = 100
  3. 100 + 49 = 149
Ergebnis:
149

AchtungBeim Minus oder Geteilt vertauscht

So nicht
50 − 20 − 10: erst 20 − 10 = 10, dann 50 − 10 = 40
So richtig
50 − 20 − 10 = 30 − 10 = 20

Vertauschen ist nur beim Plus und beim Mal erlaubt. 20 − 5 ist nicht 5 − 20.

ÜbenJetzt du

  1. ○1
    Welche Zahlen fasst du bei 26 + 68 + 4 zuerst zusammen? Begründe. Rechne danach.
    26684
    So fängst du an:
    Vertauschen: 26 + 4 + 68
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 26 + 4 + 68
    2. 26 + 4 = 30
    3. Zusammen glatt, der Rest ist leicht: 30 + 68 = 98
    Ergebnis:
    98
  2. ●2
    Can rechnet 34 + 77 + 6 von links nach rechts. Zeige einen schnelleren Weg mit einem Rechenvorteil.
    34776
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 34 + 6 + 77
    2. 34 + 6 = 40
    3. 40 + 77 = 117
    Ergebnis:
    117
  3. ★3
    Mia rechnet 196 + 242 + 4 von links nach rechts. Zeige einen schnelleren Weg mit einem Rechenvorteil.
    1962424
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 196 + 4 + 242
    2. 196 + 4 = 200
    3. 200 + 242 = 442
    Ergebnis:
    442

2Ich verändere Summen gegensinnig und Differenzen gleichsinnig.

EntdeckenFrage

Warum rechnen Kassiererinnen 3,99 € mal 4 schneller als ein Kunde mit Papier?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Sie rechnen 4 mal 4 € und ziehen dann 4 Cent ab: 16,00 € − 0,04 € = 15,96 €. Das ist Zerlegen: 3,99 ist 4 minus 1 Cent. Der Rechenweg ist kurz, weil er über die glatte Zahl geht.

MerkenGegensinnig und gleichsinnig

Bei einer Summe gibt ein Summand ab, was der andere bekommt.

Bei einer Differenz ändern sich beide Zahlen gleich, der Abstand bleibt.

BeispielSummen gegensinnig verändern

Rechne geschickt durch gegensinniges Verändern: 97 + 86
9786
Schritt für Schritt
  1. 97 bekommt 3 dazu, 86 gibt 3 ab.
  2. 97 + 86 = 100 + 83
  3. 100 + 83 = 183
  1. 97 bekommt 3 dazu, 86 gibt 3 ab.
  2. 97 + 86 = 100 + 83
  3. 100 + 83 = 183
Ergebnis:
183

AchtungNur eine Zahl verändert

So nicht
143 − 97: 143 − 100 = 43
So richtig
143 − 97 = 146 − 100 = 46

Bei der Summe gegensinnig, bei der Differenz gleichsinnig: Immer beide Zahlen verändern.

ÜbenJetzt du

  1. ○4
    Lea rechnet 298 + 23 als 300 + 23. Was muss Lea danach noch tun? Was kommt heraus?
    29823
    So fängst du an:
    Lea hat 298 um 2 vergrößert.
    Lösung zeigen
    1. Lea hat 298 um 2 vergrößert.
    2. Die Summe ist dadurch um 2 zu groß: 300 + 23 = 323.
    3. 2 wieder abziehen: 323 − 2 = 321
    Ergebnis:
    321
  2. ●5
    Ergänze so, dass die Summe gleich bleibt: 97 + 37 = 100 + ___
    9737
    Lösung zeigen
    1. 97 wird zu 100: 3 mehr.
    2. Also muss 37 um 3 kleiner werden: 37 − 3 = 34
    3. 100 + 34 = 134
    Ergebnis:
    34
  3. ★6
    Rechne geschickt durch gegensinniges Verändern: 1998 + 974
    1998974
    Lösung zeigen
    1. 1998 bekommt 2 dazu, 974 gibt 2 ab.
    2. 1998 + 974 = 2000 + 972
    3. 2000 + 972 = 2972
    Ergebnis:
    2972

3Ich nehme halbschriftlich mal, indem ich einen Faktor zerlege.

EntdeckenFrage

Wie haben Bauern in Russland früher ohne Einmaleins multipliziert?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Sie haben eine Zahl immer halbiert und die andere verdoppelt, bis links eine 1 stand. Dann addierten sie die rechten Zahlen der Zeilen mit ungerader linker Zahl. Das Verfahren heißt russische Bauernmultiplikation und nutzt, dass Verdoppeln und Halbieren das Produkt nicht ändert.

Ausprobieren: Malnehmen am Rechteck

Länge und Höhe in Teile zerlegen – das Rechteck zerfällt in Teilrechtecke, und jedes ist eine leichte Malaufgabe.

MerkenMalnehmen mit Zerlegen

Einen Faktor zerlegen, jeden Teil malnehmen und die Teilergebnisse addieren.

So wird 7 · 48 zu 7 · 40 + 7 · 8.

BeispielHalbschriftlich malnehmen mit Zerlegen

Es gibt 6 Tüten mit je 21 Bonbons. Wie viele Bonbons sind es? Rechne halbschriftlich.
Schritt für Schritt
  1. 6 · 21
  2. 21 = 20 + 1
  3. 6 · 20 = 120 und 6 · 1 = 6
  4. 120 + 6 = 126
  1. 6 · 21
  2. 21 = 20 + 1
  3. 6 · 20 = 120 und 6 · 1 = 6
  4. 120 + 6 = 126
Ergebnis:
126 Bonbons

AchtungBeim Zerlegen einen Teil vergessen

So nicht
7 · 48: 7 · 40 + 8 = 288
So richtig
7 · 48 = 7 · 40 + 7 · 8 = 280 + 56 = 336

Jeder Teil des zerlegten Faktors wird malgenommen, nicht nur der erste.

ÜbenJetzt du

  1. ○7
    Rechne halbschriftlich: Zerlege den zweiten Faktor. 4 · 59
    So fängst du an:
    59 = 50 + 9
    Lösung zeigen
    1. 59 = 50 + 9
    2. 4 · 50 = 200 und 4 · 9 = 36
    3. 200 + 36 = 236
    Ergebnis:
    236
  2. ●8
    Rechne halbschriftlich: Zerlege den zweiten Faktor. 8 · 64
    Lösung zeigen
    1. 64 = 60 + 4
    2. 8 · 60 = 480 und 8 · 4 = 32
    3. 480 + 32 = 512
    Ergebnis:
    512
  3. ★9
    Rechne geschickt über die glatte Zahl: 9 · 39
    Lösung zeigen
    1. 39 = 40 − 1
    2. 9 · 40 = 360 und 9 · 1 = 9
    3. 360 − 9 = 351
    Ergebnis:
    351

4Ich dividiere halbschriftlich, indem ich die Zahl geschickt zerlege.

EntdeckenFrage

Warum ist 25 mal 4 ein Lieblingspaar beim Kopfrechnen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

25 mal 4 ergibt genau 100. Kommen 25 und 4 in einer Malaufgabe vor, fasst man sie zuerst zusammen. Aus 25 · 37 · 4 wird dann 100 · 37 = 3700, ganz ohne schriftliches Rechnen.

MerkenTeilen mit Zerlegen

Die Zahl so zerlegen, dass jeder Teil glatt aufgeht. So wird 385 : 7 zu 350 : 7 + 35 : 7.

BeispielHalbschriftlich dividieren

462 Murmeln werden gleichmäßig auf 7 Säckchen aufgeteilt. Wie viele bekommt jeder Teil? Rechne halbschriftlich.
Schritt für Schritt
  1. 462 : 7
  2. 462 = 420 + 42
  3. 420 : 7 = 60 und 42 : 7 = 6
  4. 60 + 6 = 66
  1. 462 : 7
  2. 462 = 420 + 42
  3. 420 : 7 = 60 und 42 : 7 = 6
  4. 60 + 6 = 66
Ergebnis:
66 Murmeln

AchtungBeim Teilen nicht passend zerlegt

So nicht
385 : 7: 300 : 7 geht nicht glatt → aufgegeben
So richtig
385 : 7 = 350 : 7 + 35 : 7 = 50 + 5 = 55

Jeder Teil muss sich glatt teilen lassen. Erst ein großes Vielfaches abspalten.

ÜbenJetzt du

  1. ○10
    Rechne halbschriftlich: 75 : 5
    So fängst du an:
    75 = 50 + 25
    Lösung zeigen
    1. 75 = 50 + 25
    2. 50 : 5 = 10 und 25 : 5 = 5
    3. 10 + 5 = 15
    Ergebnis:
    15
  2. ●11
    Zerlege 232 so in zwei Zahlen, dass du beide leicht durch 8 dividieren kannst. Was ergibt 232 : 8?
    232: 8
    Lösung zeigen
    1. 232 = 160 + 72
    2. 160 : 8 = 20 und 72 : 8 = 9
    3. 20 + 9 = 29
    Ergebnis:
    29
  3. ★12
    Zerlege 740 so in zwei Zahlen, dass du beide leicht durch 5 dividieren kannst. Was ergibt 740 : 5?
    740: 5
    Lösung zeigen
    1. 740 = 700 + 40
    2. 700 : 5 = 140 und 40 : 5 = 8
    3. 140 + 8 = 148
    Ergebnis:
    148

5Ich finde Aufgaben mit gleichem Ergebnis und vergleiche Rechenausdrücke.

EntdeckenFrage

Warum stimmt der Trick „mal 9 ist mal 10 minus einmal“ immer?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Neunmal eine Zahl ist zehnmal die Zahl minus einmal die Zahl. So wird 9 · 47 zu 470 − 47 = 423. Das ist das Verteilungsgesetz: 9 ist 10 minus 1.

MerkenAusdrücke mit gleichem Wert

Verschiedene Rechenausdrücke können denselben Wert haben.

Wer die Rechengesetze nutzt, sieht das oft ohne Ausrechnen.

BeispielAufgaben mit gleichem Ergebnis

Ergänze die Lücke: 12 · 7 = 6 · ___
12 · 7=6 · ?
Schritt für Schritt
  1. 12 wird halb so groß: 6.
  2. Damit das Ergebnis gleich bleibt, wird 7 doppelt so groß.
  3. 7 · 2 = 14
  1. 12 wird halb so groß: 6.
  2. Damit das Ergebnis gleich bleibt, wird 7 doppelt so groß.
  3. 7 · 2 = 14
Ergebnis:
14

AchtungPunkt vor Strich missachtet

So nicht
9 + 5 · 7 = 14 · 7 = 98
So richtig
9 + 5 · 7 = 9 + 35 = 44

Klammer zuerst, dann Mal und Geteilt, dann Plus und Minus.

ÜbenJetzt du

  1. ○13
    Welche Zahl fehlt? Rechne nicht beide Seiten aus. 88 − 58 = ___ − 63
    So fängst du an:
    58 wird zu 63: 5 mehr.
    Lösung zeigen
    1. 58 wird zu 63: 5 mehr.
    2. Damit der Abstand bleibt, wird auch 88 um 5 größer.
    3. 88 + 5 = 93
    Ergebnis:
    93
  2. ●14
    Finde die fehlende Zahl mit einem Rechengesetz: 4 · 11 = 2 · ___
    4 · 11=2 · ?
    Lösung zeigen
    1. 4 wird halb so groß: 2.
    2. Damit das Ergebnis gleich bleibt, wird 11 doppelt so groß.
    3. 11 · 2 = 22
    Ergebnis:
    22
  3. ★15
    Ergänze die Lücke: 89 − 81 = ___ − 83
    Lösung zeigen
    1. 81 wird zu 83: 2 mehr.
    2. Damit der Abstand bleibt, wird auch 89 um 2 größer.
    3. 89 + 2 = 91
    Ergebnis:
    91

6Ich rechne mit Verdoppeln und Halbieren und prüfe, ob das Ergebnis gleich bleibt.

EntdeckenFrage

Wie merkt man in Sekunden, dass 98 · 102 nicht 99.960 sein kann?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Man rechnet nicht, man überschlägt: 100 · 100 = 10.000. Das Ergebnis muss also in der Nähe von 10.000 liegen. 99.960 ist fast zehnmal so groß und kann nicht stimmen. Richtig ist 9996.

MerkenVerdoppeln und halbieren

Wird ein Faktor verdoppelt und der andere halbiert, bleibt das Produkt gleich.

Werden beide verdoppelt, wird es viermal so groß.

BeispielVerdoppeln und Halbieren

Warum ist 16 · 25 dasselbe wie 8 · 50? Rechne dann geschickt.
Schritt für Schritt
  1. Halb so viele Reihen, jede doppelt so lang: gleich viele Kästchen.
  2. 16 · 25 = 8 · 50
  3. 8 · 50 = 400
  1. Halb so viele Reihen, jede doppelt so lang: gleich viele Kästchen.
  2. 16 · 25 = 8 · 50
  3. 8 · 50 = 400
Ergebnis:
400

AchtungBeide Faktoren verdoppelt

So nicht
8 · 25 → 16 · 50 = 800
So richtig
8 · 25 → 4 · 50 = 200

Nur einer wird verdoppelt, der andere halbiert. Sonst ändert sich das Ergebnis.

ÜbenJetzt du

  1. ○16
    Can verdoppelt bei 8 · 25 beide Faktoren und rechnet 16 · 50. Bleibt das Ergebnis gleich?
    So fängst du an:
    Einmal verdoppeln macht das Ergebnis doppelt so groß, zweimal viermal so groß.
    Lösung zeigen
    1. Einmal verdoppeln macht das Ergebnis doppelt so groß, zweimal viermal so groß.
    2. 16 · 50 = 800, aber 8 · 25 = 200
    3. Richtig ist: einen verdoppeln, den anderen halbieren.
    Ergebnis:
    Nein, viermal so groß; richtig ist 200
  2. ●17
    Emma verdoppelt bei 8 · 25 beide Faktoren und rechnet 16 · 50. Bleibt das Ergebnis gleich?
    Lösung zeigen
    1. Einmal verdoppeln macht das Ergebnis doppelt so groß, zweimal viermal so groß.
    2. 16 · 50 = 800, aber 8 · 25 = 200
    3. Richtig ist: einen verdoppeln, den anderen halbieren.
    Ergebnis:
    Nein, viermal so groß; richtig ist 200
  3. ★18
    Warum ist 32 · 25 dasselbe wie 16 · 50? Rechne dann geschickt.
    Lösung zeigen
    1. Halb so viele Reihen, jede doppelt so lang: gleich viele Kästchen.
    2. 32 · 25 = 16 · 50
    3. 16 · 50 = 800
    Ergebnis:
    800

7Ich wähle zu einer Aufgabe den passenden Rechenweg.

EntdeckenFrage

Wie rechnen Darts-Profis blitzschnell aus, wie viele Punkte ihnen von 501 noch fehlen, wenn sie 140 geworfen haben?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Der geschickte Weg nimmt erst eine runde Zahl. 500 − 140 = 360, und der eine Extrapunkt kommt dazu: 361. Das geht schneller als 501 − 140 Stelle für Stelle. Am Ergebnis ändert der Weg nichts.

MerkenDen passenden Weg wählen

Vor dem Rechnen die Zahlen ansehen.

Liegt eine Zahl nahe an einer glatten, lohnt sich ein Vorteil, sonst rechnet man schriftlich.

BeispielDen passenden Rechenweg wählen

Wie rechnest du am schnellsten: 8 · 25? Nenne ihn. Rechne danach.
Schritt für Schritt
  1. 25 wird verdoppelt glatt: halbieren und verdoppeln.
  2. 8 · 25 = 4 · 50
  3. 4 · 50 = 200
  1. 25 wird verdoppelt glatt: halbieren und verdoppeln.
  2. 8 · 25 = 4 · 50
  3. 4 · 50 = 200
Ergebnis:
halbieren und verdoppeln, 200

AchtungUmständlichen Weg gewählt

So nicht
299 + 158 schriftlich untereinander gerechnet, dabei verrechnet: 447
So richtig
299 + 158 = 300 + 157 = 457

Erst die Zahlen ansehen: Liegt eine nahe an einer glatten Zahl?

ÜbenJetzt du

  1. ○19
    Welchen Rechenvorteil nutzt du bei 12 · 25? Nenne ihn. Rechne danach.
    12 · 25zerlegenhalbieren und verdoppelnschriftlich
    So fängst du an:
    25 wird verdoppelt glatt: halbieren und verdoppeln.
    Lösung zeigen
    1. 25 wird verdoppelt glatt: halbieren und verdoppeln.
    2. 12 · 25 = 6 · 50
    3. 6 · 50 = 300
    Ergebnis:
    halbieren und verdoppeln, 300
  2. ●20
    Welcher Weg passt zu 5 · 63? Nenne ihn. Rechne danach.
    5 · 63zerlegenhalbieren und verdoppelnschriftlich
    Lösung zeigen
    1. Den zweiten Faktor zerlegen: 63 = 60 + 3.
    2. 5 · 60 = 300 und 5 · 3 = 15
    3. Zusammen: 315
    Ergebnis:
    zerlegen, 315
  3. ★21
    Welcher Weg passt zu 18 · 5? Nenne ihn. Rechne danach.
    18 · 5zerlegenhalbieren und verdoppelnschriftlich
    Lösung zeigen
    1. 5 wird verdoppelt glatt: halbieren und verdoppeln.
    2. 18 · 5 = 9 · 10
    3. 9 · 10 = 90
    Ergebnis:
    halbieren und verdoppeln, 90

8Ich finde Rechenfehler mit Überschlag und Umkehraufgabe.

EntdeckenFrage

Warum zählt man Rückgeld vom Preis aus nach oben, statt abzuziehen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Wer 13,40 € zahlen muss und 20 € gibt, bekommt 20 − 13,40 = 6,60 € zurück. Beim Hochzählen rechnet man die Umkehraufgabe: 13,40 + 6,60 = 20. Kommt man genau auf den gegebenen Betrag, stimmt das Rückgeld.

MerkenÜberschlag und Umkehraufgabe

Ein Überschlag mit runden Zahlen zeigt, ob ein Ergebnis stimmen kann.

Die Umkehraufgabe prüft es genau.

BeispielRechenfehler mit Überschlag und Umkehraufgabe finden

Ben rechnet 112 : 4 und erhält 27. Prüfe mit der Umkehraufgabe.
112 : 4Ergebnis 27?
Schritt für Schritt
  1. Umkehraufgabe: 27 · 4 = 108
  2. 108 ist nicht 112: Es ist falsch.
  3. 112 : 4 = 28
  1. Umkehraufgabe: 27 · 4 = 108
  2. 108 ist nicht 112: Es ist falsch.
  3. 112 : 4 = 28
Ergebnis:
falsch, richtig ist 28

AchtungErgebnis nicht geprüft

So nicht
425 : 5 = 805, ohne Probe ins Heft
So richtig
425 : 5 → Überschlag 400 : 5 = 80 → 85, Probe 85 · 5 = 425

Mit einem Überschlag prüfen, ob die Größenordnung stimmt, dann mit der Umkehraufgabe.

ÜbenJetzt du

  1. ○22
    Emma erhält für 55 · 26 das Ergebnis 1630. Prüfe mit einem Überschlag.
    So fängst du an:
    Überschlag: 60 · 30 = 1800
    Lösung zeigen
    1. Überschlag: 60 · 30 = 1800
    2. 1630 liegt in der Nähe. Genau rechnen: 55 · 26 = 1430
    3. Das Ergebnis ist falsch.
    Ergebnis:
    falsch, richtig ist 1430
  2. ●23
    Lina rechnet 951 − 127 und erhält 834. Prüfe mit der Umkehraufgabe.
    Lösung zeigen
    1. Umkehraufgabe: 834 + 127 = 961
    2. 961 ist nicht 951: Es ist falsch.
    3. 951 − 127 = 824
    Ergebnis:
    falsch, richtig ist 824
  3. ★24
    Paul rechnet 7184 − 2675 und erhält 4609. Prüfe mit der Umkehraufgabe.
    Lösung zeigen
    1. Umkehraufgabe: 4609 + 2675 = 7284
    2. 7284 ist nicht 7184: Es ist falsch.
    3. 7184 − 2675 = 4509
    Ergebnis:
    falsch, richtig ist 4509

Vermischte Übungen

Alles durcheinander – wie in der Arbeit. Überleg bei jeder Aufgabe zuerst: Welches Ziel ist das?

Üben

  1. ●25
    Zeynep rechnet 11 + 31 + 29 von links nach rechts. Zeige einen schnelleren Weg mit einem Rechenvorteil.
    113129
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 11 + 29 + 31
    2. 11 + 29 = 40
    3. 40 + 31 = 71
    Ergebnis:
    71
  2. ●26
    Rechne geschickt: 11 · 50 · 2
    11502
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 50 · 2 · 11
    2. 50 · 2 = 100
    3. 100 · 11 = 1100
    Ergebnis:
    1100
  3. ●27
    Mia rechnet 97 + 39 als 100 + 39. Was muss Mia danach noch tun? Was kommt heraus?
    9739
    Lösung zeigen
    1. Mia hat 97 um 3 vergrößert.
    2. Die Summe ist dadurch um 3 zu groß: 100 + 39 = 139.
    3. 3 wieder abziehen: 139 − 3 = 136
    Ergebnis:
    136
  4. ●28
    Ergänze so, dass die Differenz gleich bleibt: 137 − 27 = ___ − 30
    Lösung zeigen
    1. 27 wird zu 30: 3 mehr.
    2. Damit der Abstand bleibt, wird auch 137 um 3 größer: 140.
    3. 140 − 30 = 110
    Ergebnis:
    140
  5. ●29
    Rechne halbschriftlich: Zerlege den zweiten Faktor. 5 · 48
    Lösung zeigen
    1. 48 = 40 + 8
    2. 5 · 40 = 200 und 5 · 8 = 40
    3. 200 + 40 = 240
    Ergebnis:
    240
  6. ●30
    Welche zwei Malaufgaben zeigen die beiden Teile des Rechtecks? Was ergibt 6 · 26?
    2066
    Lösung zeigen
    1. Links: 6 · 20 = 120
    2. Rechts: 6 · 6 = 36
    3. 6 · 26 = 120 + 36 = 156
    Ergebnis:
    6 · 20 und 6 · 6, zusammen 156

Auf einen Blick

MerkenDas Wichtigste

Vertauschen und zusammenfassen
Beim Plus und beim Mal darf man die Zahlen vertauschen und anders zusammenfassen.
Gegensinnig und gleichsinnig
Bei einer Summe gibt ein Summand ab, was der andere bekommt.
Malnehmen mit Zerlegen
Einen Faktor zerlegen, jeden Teil malnehmen und die Teilergebnisse addieren.
Teilen mit Zerlegen
Die Zahl so zerlegen, dass jeder Teil glatt aufgeht. So wird 385 : 7 zu 350 : 7 + 35 : 7.
Ausdrücke mit gleichem Wert
Verschiedene Rechenausdrücke können denselben Wert haben.
Verdoppeln und halbieren
Wird ein Faktor verdoppelt und der andere halbiert, bleibt das Produkt gleich.
Den passenden Weg wählen
Vor dem Rechnen die Zahlen ansehen.
Überschlag und Umkehraufgabe
Ein Überschlag mit runden Zahlen zeigt, ob ein Ergebnis stimmen kann.

Kannst du das?

Je Ziel eine Aufgabe. Rechne sie ins Heft, dann kreuz ehrlich an. Keine Punkte, keine Note – der Test ist für dich.

ÜbenSelbsttest

  1. Ich rechne Plusaufgaben und Malaufgaben geschickt durch Vertauschen und Zusammenfassen.

    31
    Ben rechnet 3 + 74 + 17 von links nach rechts. Zeige einen schnelleren Weg mit einem Rechenvorteil.
    37417
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    94

  2. Ich verändere Summen gegensinnig und Differenzen gleichsinnig.

    32
    Can rechnet 47 + 54 als 50 + 54. Was muss Can danach noch tun? Was kommt heraus?
    4754
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    101

  3. Ich nehme halbschriftlich mal, indem ich einen Faktor zerlege.

    33
    Rechne halbschriftlich: Zerlege den zweiten Faktor. 4 · 69
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    276

  4. Ich dividiere halbschriftlich, indem ich die Zahl geschickt zerlege.

    34
    Rechne halbschriftlich: 504 : 8
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    63

  5. Ich finde Aufgaben mit gleichem Ergebnis und vergleiche Rechenausdrücke.

    35
    Ergänze die Lücke: 62 − 37 = ___ − 38
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    63

  6. Ich rechne mit Verdoppeln und Halbieren und prüfe, ob das Ergebnis gleich bleibt.

    36
    Ben verdoppelt bei 16 · 25 beide Faktoren und rechnet 32 · 50. Bleibt das Ergebnis gleich?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    Nein, viermal so groß; richtig ist 400

  7. Ich wähle zu einer Aufgabe den passenden Rechenweg.

    37
    Welchen Rechenvorteil nutzt du bei 31 + 73 + 69? Nenne ihn. Rechne danach.
    31 + 73 + 69zerlegenhalbieren und verdoppelnschriftlich
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    vertauschen, 173

  8. Ich finde Rechenfehler mit Überschlag und Umkehraufgabe.

    38
    Ben erhält für 41 · 25 das Ergebnis 825. Prüfe mit einem Überschlag.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    falsch, richtig ist 1025

Bei „unsicher“ oder „noch nicht“: Lies den Abschnitt zum Ziel noch einmal und rechne seine drei Aufgaben.

Die Frage vom Anfang

EntdeckenRückschau

Rechne im Kopf, so schnell du kannst: 25 · 17 · 4. Schreib nichts auf und nimm keinen Taschenrechner.

Lies deine Vermutung vom Anfang. Kannst du die Frage jetzt mit dem Kapitel beantworten?

Auflösung

Mit dem Werkzeug aus diesem Kapitel: Vertauschen und Zusammenfassen: erst die Zahlen, die zusammen glatt werden.

Wo brauchst du das?

Entdecken

Preise im Kopf addieren, Rückgeld überschlagen, Mengen für ein Fest ausrechnen. Beruf: Kasse und Verkauf, Handwerk beim Materialberechnen, Lager und Versand.

Wörter

Differenz
was übrig bleibt, wenn man abzieht
Gleichung
zwei Rechnungen, die gleich viel wert sind
Produkt
was herauskommt, wenn man malnimmt
Summe
was herauskommt, wenn man zusammenzählt
Teiler
eine Zahl, durch die es ohne Rest aufgeht

Wie es zusammenhängt

Das brauchst du vorher: Rechenregeln, Teiler und Vielfache, Natürliche Zahlen und Stellenwert

Darauf baut auf: Sachaufgaben lösen

Lösungen

  1. 98
  2. 117
  3. 442
  4. 321
  5. 34
  6. 2972
  7. 236
  8. 512
  9. 351
  10. 15
  11. 29
  12. 148
  13. 93
  14. 22
  15. 91
  16. Nein, viermal so groß; richtig ist 200
  17. Nein, viermal so groß; richtig ist 200
  18. 800
  19. halbieren und verdoppeln, 300
  20. zerlegen, 315
  21. halbieren und verdoppeln, 90
  22. falsch, richtig ist 1430
  23. falsch, richtig ist 824
  24. falsch, richtig ist 4509
  25. 71
  26. 1100
  27. 136
  28. 140
  29. 240
  30. 6 · 20 und 6 · 6, zusammen 156
  31. 94
  32. 101
  33. 276
  34. 63
  35. 63
  36. Nein, viermal so groß; richtig ist 400
  37. vertauschen, 173
  38. falsch, richtig ist 1025
  39. 18
  40. 75
  41. 47
  42. 19