Mathematik · Klasse 5 · Kapitel

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Rechengesetze und Rechenvorteile

EntdeckenDie Frage zum Kapitel

Rechne im Kopf, so schnell du kannst: 25 · 17 · 4. Schreib nichts auf und nimm keinen Taschenrechner.

Schreib eine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Für die Lehrkraft: Die meisten rechnen von links: 25 · 17 und kommen durcheinander. Andere geben auf oder raten. Nur wenige sehen, dass 25 und 4 zusammen 100 ergeben. Beim Malnehmen darf man die Zahlen vertauschen. Dann steht 25 · 4 · 17 da, also 100 · 17. Das Ergebnis ist 1700, in einer Sekunde.

Entdecken Frage, Vorstellung, Bild
Merken kommt ins Heft
Beispiel vorgerechnet, Schritt für Schritt
Üben selbst rechnen
Achtung typischer Fehler
Weiterdenken zum Knobeln und Vernetzen

○ mit Starthilfe, ● für alle, ★ zum Weiterdenken. Du wählst mindestens eine ★-Aufgabe. Du rechnest ins Heft.

Fit für das Kapitel?

Das brauchst du aus früheren Themen. Klappt es nicht, frag nach, bevor es losgeht.

ÜbenWeißt du das noch?

Punkt vor Strich und Klammer zuerst – so steht es seit Klasse 4 im Heft.

●39
Rechne: 9 + 3 · 9
Lösung zeigen
1. Punkt vor Strich: erst 3 · 9 = 27
2. 9 + 27 = 36
Ergebnis:
36
●40
Rechne: (3 + 8) · 7
Lösung zeigen
1. Die Klammer zuerst: 3 + 8 = 11
2. 11 · 7 = 77
Ergebnis:
77

ÜbenWeißt du das noch?

Punkt vor Strich und Klammer zuerst – die Reihenfolge entscheidet über das Ergebnis.

●41
Berechne: 11 + 7 · 2
Lösung zeigen
1. Punkt vor Strich: erst 7 · 2 = 14
2. 11 + 14 = 25
Ergebnis:
25
●42
Ich denke mir eine Zahl, addiere 16 und erhalte 70. Welche Zahl war es? (Umkehraufgabe)
Lösung zeigen
Ergebnis:
54

So kannst du es dir vorstellen

EntdeckenZahlen umbauen, ohne den Wert zu ändern

Eine Rechnung lässt sich umbauen, ohne dass sich ihr Wert ändert. Zahlen tauschen die Plätze, bilden neue Gruppen oder werden zerlegt. Wer das sieht, rechnet mit glatten Zahlen statt mit krummen.

WeiterdenkenDenk nach

Warum darf man bei 25 + 38 + 75 zuerst 25 und 75 addieren, bei 50 − 20 − 10 aber nicht zuerst 20 − 10?

1Ich rechne Plusaufgaben und Malaufgaben geschickt durch Vertauschen und Zusammenfassen.

EntdeckenFrage

Wie konnte der neunjährige Carl Friedrich Gauß die Zahlen von 1 bis 100 in wenigen Minuten addieren?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Er hat die Zahlen in Paare umsortiert: 1 und 100, 2 und 99, 3 und 98. Jedes Paar ergibt 101, und es sind 50 Paare. Also 50 · 101 = 5050. Er hat nur vertauscht und neu zusammengefasst.

MerkenVertauschen und zusammenfassen

Beim Plus und beim Mal darf man die Zahlen vertauschen und anders zusammenfassen.

Erst die Zahlen nehmen, die zusammen glatt werden.

BeispielPlusaufgaben geschickt: vertauschen und zusammenfassen

Welche Zahlen fasst du bei 3 + 13 + 27 zuerst zusammen? Begründe. Rechne danach.

Schritt für Schritt

Vertauschen: 3 + 27 + 13
3 + 27 = 30
Zusammen glatt, der Rest ist leicht: 30 + 13 = 43

Vertauschen: 3 + 27 + 13
3 + 27 = 30
Zusammen glatt, der Rest ist leicht: 30 + 13 = 43

Ergebnis:

AchtungBeim Minus oder Geteilt vertauscht

So nicht

50 − 20 − 10: erst 20 − 10 = 10, dann 50 − 10 = 40

So richtig

50 − 20 − 10 = 30 − 10 = 20

Vertauschen ist nur beim Plus und beim Mal erlaubt. 20 − 5 ist nicht 5 − 20.

ÜbenJetzt du

○1
Rechne geschickt: 12 + 65 + 18
So fängst du an:
Vertauschen: 12 + 18 + 65
Lösung zeigen
1. Vertauschen: 12 + 18 + 65
2. 12 + 18 = 30
3. 30 + 65 = 95
Ergebnis:
95
●2
Welche Zahlen fasst du bei 36 + 19 + 4 zuerst zusammen? Begründe. Rechne danach.
Lösung zeigen
1. Vertauschen: 36 + 4 + 19
2. 36 + 4 = 40
3. Zusammen glatt, der Rest ist leicht: 40 + 19 = 59
Ergebnis:
59
★3
Rechne geschickt: 146 + 708 + 54
Lösung zeigen
1. Vertauschen: 146 + 54 + 708
2. 146 + 54 = 200
3. 200 + 708 = 908
Ergebnis:
908

2Ich verändere Summen gegensinnig und Differenzen gleichsinnig.

EntdeckenFrage

Warum rechnen Kassiererinnen 3,99 € mal 4 schneller als ein Kunde mit Papier?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Sie rechnen 4 mal 4 € und ziehen dann 4 Cent ab: 16,00 € − 0,04 € = 15,96 €. Das ist Zerlegen: 3,99 ist 4 minus 1 Cent. Der Rechenweg ist kurz, weil er über die glatte Zahl geht.

MerkenGegensinnig und gleichsinnig

Bei einer Summe gibt ein Summand ab, was der andere bekommt.

Bei einer Differenz ändern sich beide Zahlen gleich, der Abstand bleibt.

BeispielSummen gegensinnig verändern

Ergänze so, dass die Summe gleich bleibt: 48 + 44 = 50 + ___

Schritt für Schritt

48 wird zu 50: 2 mehr.
Also muss 44 um 2 kleiner werden: 44 − 2 = 42
50 + 42 = 92

48 wird zu 50: 2 mehr.
Also muss 44 um 2 kleiner werden: 44 − 2 = 42
50 + 42 = 92

Ergebnis:

AchtungNur eine Zahl verändert

So nicht

143 − 97: 143 − 100 = 43

So richtig

143 − 97 = 146 − 100 = 46

Bei der Summe gegensinnig, bei der Differenz gleichsinnig: Immer beide Zahlen verändern.

ÜbenJetzt du

○4
Ergänze so, dass die Summe gleich bleibt: 99 + 43 = 100 + ___
So fängst du an:
99 wird zu 100: 1 mehr.
Lösung zeigen
1. 99 wird zu 100: 1 mehr.
2. Also muss 43 um 1 kleiner werden: 43 − 1 = 42
3. 100 + 42 = 142
Ergebnis:
42
●5
Ergänze so, dass die Summe gleich bleibt: 49 + 73 = 50 + ___
Lösung zeigen
1. 49 wird zu 50: 1 mehr.
2. Also muss 73 um 1 kleiner werden: 73 − 1 = 72
3. 50 + 72 = 122
Ergebnis:
72
★6
Ergänze so, dass die Summe gleich bleibt: 997 + 648 = 1000 + ___
Lösung zeigen
1. 997 wird zu 1000: 3 mehr.
2. Also muss 648 um 3 kleiner werden: 648 − 3 = 645
3. 1000 + 645 = 1645
Ergebnis:
645

3Ich nehme halbschriftlich mal, indem ich einen Faktor zerlege.

EntdeckenFrage

Wie haben Bauern in Russland früher ohne Einmaleins multipliziert?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Sie haben eine Zahl immer halbiert und die andere verdoppelt, bis links eine 1 stand. Dann addierten sie die rechten Zahlen der Zeilen mit ungerader linker Zahl. Das Verfahren heißt russische Bauernmultiplikation und nutzt, dass Verdoppeln und Halbieren das Produkt nicht ändert.

Ausprobieren: Malnehmen am Rechteck

Länge und Höhe in Teile zerlegen – das Rechteck zerfällt in Teilrechtecke, und jedes ist eine leichte Malaufgabe.

MerkenMalnehmen mit Zerlegen

Einen Faktor zerlegen, jeden Teil malnehmen und die Teilergebnisse addieren.

So wird 7 · 48 zu 7 · 40 + 7 · 8.

BeispielHalbschriftlich malnehmen mit Zerlegen

Rechne geschickt über die glatte Zahl: 5 · 59

Schritt für Schritt

59 = 60 − 1
5 · 60 = 300 und 5 · 1 = 5
300 − 5 = 295

59 = 60 − 1
5 · 60 = 300 und 5 · 1 = 5
300 − 5 = 295

Ergebnis:

295

AchtungBeim Zerlegen einen Teil vergessen

So nicht

7 · 48: 7 · 40 + 8 = 288

So richtig

7 · 48 = 7 · 40 + 7 · 8 = 280 + 56 = 336

Jeder Teil des zerlegten Faktors wird malgenommen, nicht nur der erste.

ÜbenJetzt du

○7
Es gibt 6 Reihen mit je 18 Stühle. Wie viele Stühle sind es? Rechne halbschriftlich.
So fängst du an:
6 · 18
Lösung zeigen
1. 6 · 18
2. 18 = 10 + 8
3. 6 · 10 = 60 und 6 · 8 = 48
4. 60 + 48 = 108
Ergebnis:
108 Stühle
●8
Rechne halbschriftlich: Zerlege den zweiten Faktor. 6 · 42
Lösung zeigen
1. 42 = 40 + 2
2. 6 · 40 = 240 und 6 · 2 = 12
3. 240 + 12 = 252
Ergebnis:
252
★9
Rechne halbschriftlich mit Stellenwerten: 6 · 447
Lösung zeigen
1. 447 = 400 + 40 + 7
2. 6 · 400 = 2400; 6 · 40 = 240; 6 · 7 = 42
3. 2400 + 240 + 42 = 2682
Ergebnis:
2682

4Ich dividiere halbschriftlich, indem ich die Zahl geschickt zerlege.

EntdeckenFrage

Warum ist 25 mal 4 ein Lieblingspaar beim Kopfrechnen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

25 mal 4 ergibt genau 100. Kommen 25 und 4 in einer Malaufgabe vor, fasst man sie zuerst zusammen. Aus 25 · 37 · 4 wird dann 100 · 37 = 3700, ganz ohne schriftliches Rechnen.

MerkenTeilen mit Zerlegen

Die Zahl so zerlegen, dass jeder Teil glatt aufgeht. So wird 385 : 7 zu 350 : 7 + 35 : 7.

BeispielHalbschriftlich dividieren

252 Sticker werden gleichmäßig auf 6 Kinder aufgeteilt. Wie viele bekommt jeder Teil? Rechne halbschriftlich.

Schritt für Schritt

252 : 6
252 = 240 + 12
240 : 6 = 40 und 12 : 6 = 2
40 + 2 = 42

252 : 6
252 = 240 + 12
240 : 6 = 40 und 12 : 6 = 2
40 + 2 = 42

Ergebnis:

42 Sticker

AchtungBeim Teilen nicht passend zerlegt

So nicht

385 : 7: 300 : 7 geht nicht glatt → aufgegeben

So richtig

385 : 7 = 350 : 7 + 35 : 7 = 50 + 5 = 55

Jeder Teil muss sich glatt teilen lassen. Erst ein großes Vielfaches abspalten.

ÜbenJetzt du

○10
Rechne halbschriftlich: 216 : 6
So fängst du an:
216 = 180 + 36
Lösung zeigen
1. 216 = 180 + 36
2. 180 : 6 = 30 und 36 : 6 = 6
3. 30 + 6 = 36
Ergebnis:
36
●11
Zerlege 102 so in zwei Zahlen, dass du beide leicht durch 6 dividieren kannst. Was ergibt 102 : 6?
Lösung zeigen
1. 102 = 60 + 42
2. 60 : 6 = 10 und 42 : 6 = 7
3. 10 + 7 = 17
Ergebnis:
17
★12
Rechne halbschriftlich: 1204 : 7
Lösung zeigen
1. 1204 = 1190 + 14
2. 1190 : 7 = 170 und 14 : 7 = 2
3. 170 + 2 = 172
Ergebnis:
172

5Ich finde Aufgaben mit gleichem Ergebnis und vergleiche Rechenausdrücke.

EntdeckenFrage

Warum stimmt der Trick „mal 9 ist mal 10 minus einmal“ immer?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Neunmal eine Zahl ist zehnmal die Zahl minus einmal die Zahl. So wird 9 · 47 zu 470 − 47 = 423. Das ist das Verteilungsgesetz: 9 ist 10 minus 1.

MerkenAusdrücke mit gleichem Wert

Verschiedene Rechenausdrücke können denselben Wert haben.

Wer die Rechengesetze nutzt, sieht das oft ohne Ausrechnen.

BeispielAufgaben mit gleichem Ergebnis

Welche Zahl fehlt? Rechne nicht beide Seiten aus. 12 · 12 = 6 · ___

Schritt für Schritt

12 wird halb so groß: 6.
Damit das Ergebnis gleich bleibt, wird 12 doppelt so groß.
12 · 2 = 24

12 wird halb so groß: 6.
Damit das Ergebnis gleich bleibt, wird 12 doppelt so groß.
12 · 2 = 24

Ergebnis:

AchtungPunkt vor Strich missachtet

So nicht

9 + 5 · 7 = 14 · 7 = 98

So richtig

9 + 5 · 7 = 9 + 35 = 44

Klammer zuerst, dann Mal und Geteilt, dann Plus und Minus.

ÜbenJetzt du

○13
Finde die fehlende Zahl mit einem Rechengesetz: 85 − 36 = ___ − 38
So fängst du an:
36 wird zu 38: 2 mehr.
Lösung zeigen
1. 36 wird zu 38: 2 mehr.
2. Damit der Abstand bleibt, wird auch 85 um 2 größer.
3. 85 + 2 = 87
Ergebnis:
87
●14
Welche Zahl fehlt? Rechne nicht beide Seiten aus. 34 + 21 = 33 + ___
Lösung zeigen
1. 34 wird zu 33: 1 weniger.
2. Damit die Summe gleich bleibt, wird 21 um 1 größer.
3. 21 + 1 = 22
Ergebnis:
22
★15
Finde die fehlende Zahl mit einem Rechengesetz: 9 · 37 + 9 · 4 = 9 · ___
Lösung zeigen
1. Beide Produkte haben den Faktor 9.
2. 9 mal 37 und 9 mal 4 sind zusammen 9 mal (37 + 4).
3. 37 + 4 = 41
Ergebnis:
41

6Ich rechne mit Verdoppeln und Halbieren und prüfe, ob das Ergebnis gleich bleibt.

EntdeckenFrage

Wie merkt man in Sekunden, dass 98 · 102 nicht 99.960 sein kann?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Man rechnet nicht, man überschlägt: 100 · 100 = 10.000. Das Ergebnis muss also in der Nähe von 10.000 liegen. 99.960 ist fast zehnmal so groß und kann nicht stimmen. Richtig ist 9996.

MerkenVerdoppeln und halbieren

Wird ein Faktor verdoppelt und der andere halbiert, bleibt das Produkt gleich.

Werden beide verdoppelt, wird es viermal so groß.

BeispielVerdoppeln und Halbieren

Rechne geschickt: Halbiere den einen Faktor und verdopple den anderen. 14 · 15

Schritt für Schritt

14 · 15 = 7 · 30
7 · 30 = 210

14 · 15 = 7 · 30
7 · 30 = 210

Ergebnis:

210

AchtungBeide Faktoren verdoppelt

So nicht

8 · 25 → 16 · 50 = 800

So richtig

8 · 25 → 4 · 50 = 200

Nur einer wird verdoppelt, der andere halbiert. Sonst ändert sich das Ergebnis.

ÜbenJetzt du

○16
Warum ist 14 · 5 dasselbe wie 7 · 10? Rechne dann geschickt.
So fängst du an:
Halb so viele Reihen, jede doppelt so lang: gleich viele Kästchen.
Lösung zeigen
1. Halb so viele Reihen, jede doppelt so lang: gleich viele Kästchen.
2. 14 · 5 = 7 · 10
3. 7 · 10 = 70
Ergebnis:
70
●17
Lina verdoppelt bei 16 · 25 beide Faktoren und rechnet 32 · 50. Bleibt das Ergebnis gleich?
Lösung zeigen
1. Einmal verdoppeln macht das Ergebnis doppelt so groß, zweimal viermal so groß.
2. 32 · 50 = 1600, aber 16 · 25 = 400
3. Richtig ist: einen verdoppeln, den anderen halbieren.
Ergebnis:
Nein, viermal so groß; richtig ist 400
★18
Warum ist 24 · 125 dasselbe wie 12 · 250? Rechne dann geschickt.
Lösung zeigen
1. Halb so viele Reihen, jede doppelt so lang: gleich viele Kästchen.
2. 24 · 125 = 12 · 250
3. 12 · 250 = 3000
Ergebnis:
3000

7Ich wähle zu einer Aufgabe den passenden Rechenweg.

EntdeckenFrage

Wie rechnen Darts-Profis blitzschnell aus, wie viele Punkte ihnen von 501 noch fehlen, wenn sie 140 geworfen haben?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Der geschickte Weg nimmt erst eine runde Zahl. 500 − 140 = 360, und der eine Extrapunkt kommt dazu: 361. Das geht schneller als 501 − 140 Stelle für Stelle. Am Ergebnis ändert der Weg nichts.

MerkenDen passenden Weg wählen

Vor dem Rechnen die Zahlen ansehen.

Liegt eine Zahl nahe an einer glatten, lohnt sich ein Vorteil, sonst rechnet man schriftlich.

BeispielDen passenden Rechenweg wählen

Welcher Weg passt zu 16 · 5? Nenne ihn. Rechne danach.

Schritt für Schritt

5 wird verdoppelt glatt: halbieren und verdoppeln.
16 · 5 = 8 · 10
8 · 10 = 80

5 wird verdoppelt glatt: halbieren und verdoppeln.
16 · 5 = 8 · 10
8 · 10 = 80

Ergebnis:

halbieren und verdoppeln, 80

AchtungUmständlichen Weg gewählt

So nicht

299 + 158 schriftlich untereinander gerechnet, dabei verrechnet: 447

So richtig

299 + 158 = 300 + 157 = 457

Erst die Zahlen ansehen: Liegt eine nahe an einer glatten Zahl?

ÜbenJetzt du

○19
Wie rechnest du am schnellsten: 244 + 598? Nenne ihn. Rechne danach.
So fängst du an:
598 liegt knapp unter 600: gegensinnig verändern.
Lösung zeigen
1. 598 liegt knapp unter 600: gegensinnig verändern.
2. 244 + 598 = 242 + 600
3. 242 + 600 = 842
Ergebnis:
gegensinnig verändern, 842
●20
Welcher Weg passt zu 4 · 86? Nenne ihn. Rechne danach.
Lösung zeigen
1. Den zweiten Faktor zerlegen: 86 = 80 + 6.
2. 4 · 80 = 320 und 4 · 6 = 24
3. Zusammen: 344
Ergebnis:
zerlegen, 344
★21
Welchen Rechenvorteil nutzt du bei 8 · 39? Nenne ihn. Rechne danach.
Lösung zeigen
1. Den zweiten Faktor zerlegen: 39 = 30 + 9.
2. 8 · 30 = 240 und 8 · 9 = 72
3. Zusammen: 312
Ergebnis:
zerlegen, 312

8Ich finde Rechenfehler mit Überschlag und Umkehraufgabe.

EntdeckenFrage

Warum zählt man Rückgeld vom Preis aus nach oben, statt abzuziehen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Wer 13,40 € zahlen muss und 20 € gibt, bekommt 20 − 13,40 = 6,60 € zurück. Beim Hochzählen rechnet man die Umkehraufgabe: 13,40 + 6,60 = 20. Kommt man genau auf den gegebenen Betrag, stimmt das Rückgeld.

MerkenÜberschlag und Umkehraufgabe

Ein Überschlag mit runden Zahlen zeigt, ob ein Ergebnis stimmen kann.

Die Umkehraufgabe prüft es genau.

BeispielRechenfehler mit Überschlag und Umkehraufgabe finden

Lina rechnet 342 : 6 und erhält 57. Prüfe mit der Umkehraufgabe.

Schritt für Schritt

Umkehraufgabe: 57 · 6 = 342
342 ist genau 342: Es stimmt.
342 : 6 = 57

Umkehraufgabe: 57 · 6 = 342
342 ist genau 342: Es stimmt.
342 : 6 = 57

Ergebnis:

stimmt, 57

AchtungErgebnis nicht geprüft

So nicht

425 : 5 = 805, ohne Probe ins Heft

So richtig

425 : 5 → Überschlag 400 : 5 = 80 → 85, Probe 85 · 5 = 425

Mit einem Überschlag prüfen, ob die Größenordnung stimmt, dann mit der Umkehraufgabe.

ÜbenJetzt du

○22
Noah rechnet 438 − 229 und erhält 209. Prüfe mit der Umkehraufgabe.
So fängst du an:
Umkehraufgabe: 209 + 229 = 438
Lösung zeigen
1. Umkehraufgabe: 209 + 229 = 438
2. 438 ist genau 438: Es stimmt.
3. 438 − 229 = 209
Ergebnis:
stimmt, 209
●23
Ben rechnet 608 − 203 und erhält 415. Prüfe mit der Umkehraufgabe.
Lösung zeigen
1. Umkehraufgabe: 415 + 203 = 618
2. 618 ist nicht 608: Es ist falsch.
3. 608 − 203 = 405
Ergebnis:
falsch, richtig ist 405
★24
Emma erhält für 314 · 41 das Ergebnis 12.974. Prüfe mit einem Überschlag.
Lösung zeigen
1. Überschlag: 300 · 40 = 12.000
2. 12.974 liegt in der Nähe. Genau rechnen: 314 · 41 = 12.874
3. Das Ergebnis ist falsch.
Ergebnis:
falsch, richtig ist 12.874

Vermischte Übungen

Alles durcheinander – wie in der Arbeit. Überleg bei jeder Aufgabe zuerst: Welches Ziel ist das?

Üben

●25
Tom rechnet 43 + 62 + 17 von links nach rechts. Zeige einen schnelleren Weg mit einem Rechenvorteil.
Lösung zeigen
1. Vertauschen: 43 + 17 + 62
2. 43 + 17 = 60
3. 60 + 62 = 122
Ergebnis:
122
●26
In einem Lager stehen 25 Regale mit je 4 Kisten. In jeder Kiste sind 7 Bälle. Wie viele Bälle sind es? Rechne geschickt.
Lösung zeigen
1. Bälle: 25 · 4 · 7
2. 25 · 4 = 100
3. 100 · 7 = 700
Ergebnis:
700 Bälle
●27
Rechne geschickt durch gegensinniges Verändern: 199 + 75
Lösung zeigen
1. 199 bekommt 1 dazu, 75 gibt 1 ab.
2. 199 + 75 = 200 + 74
3. 200 + 74 = 274
Ergebnis:
274
●28
Ergänze so, dass die Differenz gleich bleibt: 168 − 27 = ___ − 30
Lösung zeigen
1. 27 wird zu 30: 3 mehr.
2. Damit der Abstand bleibt, wird auch 168 um 3 größer: 171.
3. 171 − 30 = 141
Ergebnis:
171
●29
Rechne halbschriftlich: Zerlege den zweiten Faktor. 7 · 23
Lösung zeigen
1. 23 = 20 + 3
2. 7 · 20 = 140 und 7 · 3 = 21
3. 140 + 21 = 161
Ergebnis:
161
●30
Lina rechnet 5 · 28 so: erst 5 · 20, dann 8 dazu. Lina erhält 108. Zeige am Bild, was fehlt.
Lösung zeigen
1. Der rechte Teil hat 5 Reihen mit je 8 Kästchen, nicht nur 8.
2. Rechter Teil: 5 · 8 = 40
3. 100 + 40 = 140
Ergebnis:
140

Auf einen Blick

MerkenDas Wichtigste

Vertauschen und zusammenfassen: Beim Plus und beim Mal darf man die Zahlen vertauschen und anders zusammenfassen.
Gegensinnig und gleichsinnig: Bei einer Summe gibt ein Summand ab, was der andere bekommt.
Malnehmen mit Zerlegen: Einen Faktor zerlegen, jeden Teil malnehmen und die Teilergebnisse addieren.
Teilen mit Zerlegen: Die Zahl so zerlegen, dass jeder Teil glatt aufgeht. So wird 385 : 7 zu 350 : 7 + 35 : 7.
Ausdrücke mit gleichem Wert: Verschiedene Rechenausdrücke können denselben Wert haben.
Verdoppeln und halbieren: Wird ein Faktor verdoppelt und der andere halbiert, bleibt das Produkt gleich.
Den passenden Weg wählen: Vor dem Rechnen die Zahlen ansehen.
Überschlag und Umkehraufgabe: Ein Überschlag mit runden Zahlen zeigt, ob ein Ergebnis stimmen kann.

Kannst du das?

Je Ziel eine Aufgabe. Rechne sie ins Heft, dann kreuz ehrlich an. Keine Punkte, keine Note – der Test ist für dich.

ÜbenSelbsttest

Ich rechne Plusaufgaben und Malaufgaben geschickt durch Vertauschen und Zusammenfassen.
31
Tom rechnet 7 + 58 + 33 von links nach rechts. Zeige einen schnelleren Weg mit einem Rechenvorteil.
Lösung zeigen
Ergebnis:
98
Ich verändere Summen gegensinnig und Differenzen gleichsinnig.
32
Rechne geschickt durch gegensinniges Verändern: 67 + 85
Lösung zeigen
Ergebnis:
152
Ich nehme halbschriftlich mal, indem ich einen Faktor zerlege.
33
Rechne halbschriftlich: Zerlege den zweiten Faktor. 9 · 57
Lösung zeigen
Ergebnis:
513
Ich dividiere halbschriftlich, indem ich die Zahl geschickt zerlege.
34
384 Bücher werden gleichmäßig auf 6 Regalböden aufgeteilt. Wie viele bekommt jeder Teil? Rechne halbschriftlich.
Lösung zeigen
Ergebnis:
64 Bücher
Ich finde Aufgaben mit gleichem Ergebnis und vergleiche Rechenausdrücke.
35
Welche Zahl fehlt? Rechne nicht beide Seiten aus. 17 + 53 = 18 + ___
Lösung zeigen
Ergebnis:
52
Ich rechne mit Verdoppeln und Halbieren und prüfe, ob das Ergebnis gleich bleibt.
36
Emma verdoppelt bei 16 · 25 beide Faktoren und rechnet 32 · 50. Bleibt das Ergebnis gleich?
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Ergebnis:
Nein, viermal so groß; richtig ist 400
Ich wähle zu einer Aufgabe den passenden Rechenweg.
37
Wie rechnest du am schnellsten: 4 · 25? Nenne ihn. Rechne danach.
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Ergebnis:
zerlegen, 100
Ich finde Rechenfehler mit Überschlag und Umkehraufgabe.
38
Ben erhält für 25 · 31 das Ergebnis 675. Prüfe mit einem Überschlag.
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Ergebnis:
falsch, richtig ist 775

Bei „unsicher“ oder „noch nicht“: Lies den Abschnitt zum Ziel noch einmal und rechne seine drei Aufgaben.

Die Frage vom Anfang

EntdeckenRückschau

Rechne im Kopf, so schnell du kannst: 25 · 17 · 4. Schreib nichts auf und nimm keinen Taschenrechner.

Lies deine Vermutung vom Anfang. Kannst du die Frage jetzt mit dem Kapitel beantworten?

Auflösung

Mit dem Werkzeug aus diesem Kapitel: Vertauschen und Zusammenfassen: erst die Zahlen, die zusammen glatt werden.

Wo brauchst du das?

Entdecken

Preise im Kopf addieren, Rückgeld überschlagen, Mengen für ein Fest ausrechnen. Beruf: Kasse und Verkauf, Handwerk beim Materialberechnen, Lager und Versand.

Wörter

Differenz: was übrig bleibt, wenn man abzieht
Gleichung: zwei Rechnungen, die gleich viel wert sind
Produkt: was herauskommt, wenn man malnimmt
Summe: was herauskommt, wenn man zusammenzählt
Teiler: eine Zahl, durch die es ohne Rest aufgeht

Wie es zusammenhängt

Das brauchst du vorher: Rechenregeln, Teiler und Vielfache, Natürliche Zahlen und Stellenwert

Darauf baut auf: Sachaufgaben lösen

Lösungen

95
59
908
42
72
645
108 Stühle
252
2682
36
17
172
87
22
41
70
Nein, viermal so groß; richtig ist 400
3000
gegensinnig verändern, 842
zerlegen, 344
zerlegen, 312
stimmt, 209
falsch, richtig ist 405
falsch, richtig ist 12.874
122
700 Bälle
274
171
161
140
98
152
513
64 Bücher
52
Nein, viermal so groß; richtig ist 400
zerlegen, 100
falsch, richtig ist 775
36
77
25
54