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Mathematik · Klasse 5 · Kapitel

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Rechengesetze und Rechenvorteile

EntdeckenDie Frage zum Kapitel

Rechne im Kopf, so schnell du kannst: 25 · 17 · 4. Schreib nichts auf und nimm keinen Taschenrechner.

Schreib eine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Für die Lehrkraft: Die meisten rechnen von links: 25 · 17 und kommen durcheinander. Andere geben auf oder raten. Nur wenige sehen, dass 25 und 4 zusammen 100 ergeben. Beim Malnehmen darf man die Zahlen vertauschen. Dann steht 25 · 4 · 17 da, also 100 · 17. Das Ergebnis ist 1700, in einer Sekunde.

  • Entdecken Frage, Vorstellung, Bild
  • Merken kommt ins Heft
  • Beispiel vorgerechnet, Schritt für Schritt
  • Üben selbst rechnen
  • Achtung typischer Fehler
  • Weiterdenken zum Knobeln und Vernetzen

○ mit Starthilfe, ● für alle, ★ zum Weiterdenken. Du wählst mindestens eine ★-Aufgabe. Du rechnest ins Heft.

Fit für das Kapitel?

Das brauchst du aus früheren Themen. Klappt es nicht, frag nach, bevor es losgeht.

ÜbenWeißt du das noch?

Punkt vor Strich und Klammer zuerst – so steht es seit Klasse 4 im Heft.

  1. ●39
    Rechne: 4 + 4 · 8
    Lösung zeigen
    1. Punkt vor Strich: erst 4 · 8 = 32
    2. 4 + 32 = 36
    Ergebnis:
    36
  2. ●40
    Rechne: (4 + 7) · 8
    Lösung zeigen
    1. Die Klammer zuerst: 4 + 7 = 11
    2. 11 · 8 = 88
    Ergebnis:
    88

ÜbenWeißt du das noch?

Punkt vor Strich und Klammer zuerst – die Reihenfolge entscheidet über das Ergebnis.

  1. ●41
    Berechne: 3 + 6 · 6
    Lösung zeigen
    1. Punkt vor Strich: erst 6 · 6 = 36
    2. 3 + 36 = 39
    Ergebnis:
    39
  2. ●42
    Ich denke mir eine Zahl, addiere 32 und erhalte 52. Welche Zahl war es? (Umkehraufgabe)
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    20

So kannst du es dir vorstellen

EntdeckenZahlen umbauen, ohne den Wert zu ändern

Eine Rechnung lässt sich umbauen, ohne dass sich ihr Wert ändert. Zahlen tauschen die Plätze, bilden neue Gruppen oder werden zerlegt. Wer das sieht, rechnet mit glatten Zahlen statt mit krummen.

17 plus 38 plus 3: Erst 17 und 3 zu 20 zusammenfassen, dann 20 plus 38 sind 5817 + 38 + 317 + 3 = 20= 20 + 38 = 58

WeiterdenkenDenk nach

Warum darf man bei 25 + 38 + 75 zuerst 25 und 75 addieren, bei 50 − 20 − 10 aber nicht zuerst 20 − 10?

1Ich rechne Plusaufgaben und Malaufgaben geschickt durch Vertauschen und Zusammenfassen.

EntdeckenFrage

Wie konnte der neunjährige Carl Friedrich Gauß die Zahlen von 1 bis 100 in wenigen Minuten addieren?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Er hat die Zahlen in Paare umsortiert: 1 und 100, 2 und 99, 3 und 98. Jedes Paar ergibt 101, und es sind 50 Paare. Also 50 · 101 = 5050. Er hat nur vertauscht und neu zusammengefasst.

MerkenVertauschen und zusammenfassen

Beim Plus und beim Mal darf man die Zahlen vertauschen und anders zusammenfassen.

Erst die Zahlen nehmen, die zusammen glatt werden.

BeispielPlusaufgaben geschickt: vertauschen und zusammenfassen

Tom rechnet 3 + 73 + 27 von links nach rechts. Zeige einen schnelleren Weg mit einem Rechenvorteil.
37327
Schritt für Schritt
  1. Vertauschen: 3 + 27 + 73
  2. 3 + 27 = 30
  3. 30 + 73 = 103
  1. Vertauschen: 3 + 27 + 73
  2. 3 + 27 = 30
  3. 30 + 73 = 103
Ergebnis:
103

AchtungBeim Minus oder Geteilt vertauscht

So nicht
50 − 20 − 10: erst 20 − 10 = 10, dann 50 − 10 = 40
So richtig
50 − 20 − 10 = 30 − 10 = 20

Vertauschen ist nur beim Plus und beim Mal erlaubt. 20 − 5 ist nicht 5 − 20.

ÜbenJetzt du

  1. ○1
    Welche Zahlen fasst du bei 17 + 69 + 3 zuerst zusammen? Begründe und rechne.
    17693
    So fängst du an:
    Vertauschen: 17 + 3 + 69
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 17 + 3 + 69
    2. 17 + 3 = 20
    3. Zusammen glatt, der Rest ist leicht: 20 + 69 = 89
    Ergebnis:
    89
  2. ●2
    Welche Zahlen fasst du bei 25 + 42 + 5 zuerst zusammen? Begründe und rechne.
    25425
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 25 + 5 + 42
    2. 25 + 5 = 30
    3. Zusammen glatt, der Rest ist leicht: 30 + 42 = 72
    Ergebnis:
    72
  3. ★3
    Mia rechnet 104 + 359 + 51 + 196 + 49 von links nach rechts. Zeige einen schnelleren Weg mit einem Rechenvorteil.
    1043595119649
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 104 + 196 + 51 + 49 + 359
    2. 104 + 196 = 300 und 51 + 49 = 100
    3. 300 + 100 + 359 = 759
    Ergebnis:
    759

2Ich verändere Summen gegensinnig und Differenzen gleichsinnig.

EntdeckenFrage

Warum rechnen Kassiererinnen 3,99 € mal 4 schneller als ein Kunde mit Papier?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Sie rechnen 4 mal 4 € und ziehen dann 4 Cent ab: 16,00 € − 0,04 € = 15,96 €. Das ist Zerlegen: 3,99 ist 4 minus 1 Cent. Der Rechenweg ist kurz, weil er über die glatte Zahl geht.

MerkenGegensinnig und gleichsinnig

Bei einer Summe gibt ein Summand ab, was der andere bekommt.

Bei einer Differenz ändern sich beide Zahlen gleich, der Abstand bleibt.

BeispielSummen gegensinnig verändern

Tom rechnet 98 + 55 als 100 + 55. Was muss Tom danach noch tun? Was kommt heraus?
9855
Schritt für Schritt
  1. Tom hat 98 um 2 vergrößert.
  2. Die Summe ist dadurch um 2 zu groß: 100 + 55 = 155.
  3. 2 wieder abziehen: 155 − 2 = 153
  1. Tom hat 98 um 2 vergrößert.
  2. Die Summe ist dadurch um 2 zu groß: 100 + 55 = 155.
  3. 2 wieder abziehen: 155 − 2 = 153
Ergebnis:
153

AchtungNur eine Zahl verändert

So nicht
143 − 97: 143 − 100 = 43
So richtig
143 − 97 = 146 − 100 = 46

Bei der Summe gegensinnig, bei der Differenz gleichsinnig: Immer beide Zahlen verändern.

ÜbenJetzt du

  1. ○4
    Rechne geschickt durch gegensinniges Verändern: 37 + 56
    3756
    So fängst du an:
    37 bekommt 3 dazu, 56 gibt 3 ab.
    Lösung zeigen
    1. 37 bekommt 3 dazu, 56 gibt 3 ab.
    2. 37 + 56 = 40 + 53
    3. 40 + 53 = 93
    Ergebnis:
    93
  2. ●5
    Rechne geschickt durch gegensinniges Verändern: 98 + 95
    9895
    Lösung zeigen
    1. 98 bekommt 2 dazu, 95 gibt 2 ab.
    2. 98 + 95 = 100 + 93
    3. 100 + 93 = 193
    Ergebnis:
    193
  3. ★6
    Sofia rechnet 696 + 848 als 700 + 848. Was muss Sofia danach noch tun? Was kommt heraus?
    696848
    Lösung zeigen
    1. Sofia hat 696 um 4 vergrößert.
    2. Die Summe ist dadurch um 4 zu groß: 700 + 848 = 1548.
    3. 4 wieder abziehen: 1548 − 4 = 1544
    Ergebnis:
    1544

3Ich nehme halbschriftlich mal, indem ich einen Faktor zerlege.

EntdeckenFrage

Wie haben Bauern in Russland früher ohne Einmaleins multipliziert?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Sie haben eine Zahl immer halbiert und die andere verdoppelt, bis links eine 1 stand. Dann addierten sie die rechten Zahlen der Zeilen mit ungerader linker Zahl. Das Verfahren heißt russische Bauernmultiplikation und nutzt, dass Verdoppeln und Halbieren das Produkt nicht ändert.

MerkenMalnehmen mit Zerlegen

Einen Faktor zerlegen, jeden Teil malnehmen und die Teilergebnisse addieren.

So wird 7 · 48 zu 7 · 40 + 7 · 8.

BeispielHalbschriftlich malnehmen mit Zerlegen

Es gibt 6 Hefte mit je 61 Hefte. Wie viele Hefte sind es? Rechne halbschriftlich.
Schritt für Schritt
  1. 6 · 61
  2. 61 = 60 + 1
  3. 6 · 60 = 360 und 6 · 1 = 6
  4. 360 + 6 = 366
  1. 6 · 61
  2. 61 = 60 + 1
  3. 6 · 60 = 360 und 6 · 1 = 6
  4. 360 + 6 = 366
Ergebnis:
366 Hefte

AchtungBeim Zerlegen einen Teil vergessen

So nicht
7 · 48: 7 · 40 + 8 = 288
So richtig
7 · 48 = 7 · 40 + 7 · 8 = 280 + 56 = 336

Jeder Teil des zerlegten Faktors wird malgenommen, nicht nur der erste.

ÜbenJetzt du

  1. ○7
    Rechne geschickt über die glatte Zahl: 6 · 29
    So fängst du an:
    29 = 30 − 1
    Lösung zeigen
    1. 29 = 30 − 1
    2. 6 · 30 = 180 und 6 · 1 = 6
    3. 180 − 6 = 174
    Ergebnis:
    174
  2. ●8
    Es gibt 3 Tüten mit je 52 Bonbons. Wie viele Bonbons sind es? Rechne halbschriftlich.
    Lösung zeigen
    1. 3 · 52
    2. 52 = 50 + 2
    3. 3 · 50 = 150 und 3 · 2 = 6
    4. 150 + 6 = 156
    Ergebnis:
    156 Bonbons
  3. ★9
    Rechne halbschriftlich: Zerlege den zweiten Faktor. 4 · 58
    Lösung zeigen
    1. 58 = 50 + 8
    2. 4 · 50 = 200 und 4 · 8 = 32
    3. 200 + 32 = 232
    Ergebnis:
    232

4Ich dividiere halbschriftlich, indem ich die Zahl geschickt zerlege.

EntdeckenFrage

Warum ist 25 mal 4 ein Lieblingspaar beim Kopfrechnen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

25 mal 4 ergibt genau 100. Kommen 25 und 4 in einer Malaufgabe vor, fasst man sie zuerst zusammen. Aus 25 · 37 · 4 wird dann 100 · 37 = 3700, ganz ohne schriftliches Rechnen.

MerkenTeilen mit Zerlegen

Die Zahl so zerlegen, dass jeder Teil glatt aufgeht. So wird 385 : 7 zu 350 : 7 + 35 : 7.

BeispielHalbschriftlich dividieren

Rechne halbschriftlich: 552 : 8
Schritt für Schritt
  1. 552 = 480 + 72
  2. 480 : 8 = 60 und 72 : 8 = 9
  3. 60 + 9 = 69
  1. 552 = 480 + 72
  2. 480 : 8 = 60 und 72 : 8 = 9
  3. 60 + 9 = 69
Ergebnis:
69

AchtungBeim Teilen nicht passend zerlegt

So nicht
385 : 7: 300 : 7 geht nicht glatt → aufgegeben
So richtig
385 : 7 = 350 : 7 + 35 : 7 = 50 + 5 = 55

Jeder Teil muss sich glatt teilen lassen. Erst ein großes Vielfaches abspalten.

ÜbenJetzt du

  1. ○10
    48 Bücher werden gleichmäßig auf 3 Regalböden aufgeteilt. Wie viele bekommt jeder Teil? Rechne halbschriftlich.
    So fängst du an:
    48 : 3
    Lösung zeigen
    1. 48 : 3
    2. 48 = 30 + 18
    3. 30 : 3 = 10 und 18 : 3 = 6
    4. 10 + 6 = 16
    Ergebnis:
    16 Bücher
  2. ●11
    Rechne halbschriftlich: 324 : 9
    Lösung zeigen
    1. 324 = 270 + 54
    2. 270 : 9 = 30 und 54 : 9 = 6
    3. 30 + 6 = 36
    Ergebnis:
    36
  3. ★12
    968 Bücher werden gleichmäßig auf 8 Regalböden aufgeteilt. Wie viele bekommt jeder Teil? Rechne halbschriftlich.
    Lösung zeigen
    1. 968 : 8
    2. 968 = 960 + 8
    3. 960 : 8 = 120 und 8 : 8 = 1
    4. 120 + 1 = 121
    Ergebnis:
    121 Bücher

5Ich finde Aufgaben mit gleichem Ergebnis und vergleiche Rechenausdrücke.

EntdeckenFrage

Warum stimmt der Trick „mal 9 ist mal 10 minus einmal“ immer?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Neunmal eine Zahl ist zehnmal die Zahl minus einmal die Zahl. So wird 9 · 47 zu 470 − 47 = 423. Das ist das Verteilungsgesetz: 9 ist 10 minus 1.

MerkenAusdrücke mit gleichem Wert

Verschiedene Rechenausdrücke können denselben Wert haben.

Wer die Rechengesetze nutzt, sieht das oft ohne Ausrechnen.

BeispielAufgaben mit gleichem Ergebnis

Welche Zahl fehlt? Rechne nicht beide Seiten aus. 14 · 14 = 7 · ___
Schritt für Schritt
  1. 14 wird halb so groß: 7.
  2. Damit das Ergebnis gleich bleibt, wird 14 doppelt so groß.
  3. 14 · 2 = 28
  1. 14 wird halb so groß: 7.
  2. Damit das Ergebnis gleich bleibt, wird 14 doppelt so groß.
  3. 14 · 2 = 28
Ergebnis:
28

AchtungPunkt vor Strich missachtet

So nicht
9 + 5 · 7 = 14 · 7 = 98
So richtig
9 + 5 · 7 = 9 + 35 = 44

Klammer zuerst, dann Mal und Geteilt, dann Plus und Minus.

ÜbenJetzt du

  1. ○13
    Ergänze die Lücke: 92 − 45 = ___ − 46
    So fängst du an:
    45 wird zu 46: 1 mehr.
    Lösung zeigen
    1. 45 wird zu 46: 1 mehr.
    2. Damit der Abstand bleibt, wird auch 92 um 1 größer.
    3. 92 + 1 = 93
    Ergebnis:
    93
  2. ●14
    Welche Zahl fehlt? Rechne nicht beide Seiten aus. 4 · 12 = 2 · ___
    Lösung zeigen
    1. 4 wird halb so groß: 2.
    2. Damit das Ergebnis gleich bleibt, wird 12 doppelt so groß.
    3. 12 · 2 = 24
    Ergebnis:
    24
  3. ★15
    Welche Zahl fehlt? Rechne nicht beide Seiten aus. 61 − 43 = ___ − 45
    Lösung zeigen
    1. 43 wird zu 45: 2 mehr.
    2. Damit der Abstand bleibt, wird auch 61 um 2 größer.
    3. 61 + 2 = 63
    Ergebnis:
    63

6Ich rechne mit Verdoppeln und Halbieren und prüfe, ob das Ergebnis gleich bleibt.

EntdeckenFrage

Wie merkt man in Sekunden, dass 98 · 102 nicht 99.960 sein kann?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Man rechnet nicht, man überschlägt: 100 · 100 = 10.000. Das Ergebnis muss also in der Nähe von 10.000 liegen. 99.960 ist fast zehnmal so groß und kann nicht stimmen. Richtig ist 9996.

MerkenVerdoppeln und halbieren

Wird ein Faktor verdoppelt und der andere halbiert, bleibt das Produkt gleich.

Werden beide verdoppelt, wird es viermal so groß.

BeispielVerdoppeln und Halbieren

Rechne geschickt: Halbiere den einen Faktor und verdopple den anderen. 8 · 25
Schritt für Schritt
  1. 8 · 25 = 4 · 50
  2. 4 · 50 = 200
  1. 8 · 25 = 4 · 50
  2. 4 · 50 = 200
Ergebnis:
200

AchtungBeide Faktoren verdoppelt

So nicht
8 · 25 → 16 · 50 = 800
So richtig
8 · 25 → 4 · 50 = 200

Nur einer wird verdoppelt, der andere halbiert. Sonst ändert sich das Ergebnis.

ÜbenJetzt du

  1. ○16
    Warum ist 14 · 15 dasselbe wie 7 · 30? Rechne dann geschickt.
    So fängst du an:
    Halb so viele Reihen, jede doppelt so lang: gleich viele Kästchen.
    Lösung zeigen
    1. Halb so viele Reihen, jede doppelt so lang: gleich viele Kästchen.
    2. 14 · 15 = 7 · 30
    3. 7 · 30 = 210
    Ergebnis:
    210
  2. ●17
    Warum ist 16 · 25 dasselbe wie 8 · 50? Rechne dann geschickt.
    Lösung zeigen
    1. Halb so viele Reihen, jede doppelt so lang: gleich viele Kästchen.
    2. 16 · 25 = 8 · 50
    3. 8 · 50 = 400
    Ergebnis:
    400
  3. ★18
    Aylin verdoppelt bei 22 · 15 beide Faktoren und rechnet 44 · 30. Bleibt das Ergebnis gleich?
    Lösung zeigen
    1. Einmal verdoppeln macht das Ergebnis doppelt so groß, zweimal viermal so groß.
    2. 44 · 30 = 1320, aber 22 · 15 = 330
    3. Richtig ist: einen verdoppeln, den anderen halbieren.
    Ergebnis:
    Nein, viermal so groß; richtig ist 330

7Ich wähle zu einer Aufgabe den passenden Rechenweg.

EntdeckenFrage

Wie rechnen Darts-Profis blitzschnell aus, wie viele Punkte ihnen von 501 noch fehlen, wenn sie 140 geworfen haben?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Der geschickte Weg nimmt erst eine runde Zahl. 500 − 140 = 360, und der eine Extrapunkt kommt dazu: 361. Das geht schneller als 501 − 140 Stelle für Stelle. Am Ergebnis ändert der Weg nichts.

MerkenDen passenden Weg wählen

Vor dem Rechnen die Zahlen ansehen.

Liegt eine Zahl nahe an einer glatten, lohnt sich ein Vorteil, sonst rechnet man schriftlich.

BeispielDen passenden Rechenweg wählen

Wie rechnest du am schnellsten: 16 · 25? Nenne ihn und rechne.
Schritt für Schritt
  1. 25 wird verdoppelt glatt: halbieren und verdoppeln.
  2. 16 · 25 = 8 · 50
  3. 8 · 50 = 400
  1. 25 wird verdoppelt glatt: halbieren und verdoppeln.
  2. 16 · 25 = 8 · 50
  3. 8 · 50 = 400
Ergebnis:
halbieren und verdoppeln, 400

AchtungUmständlichen Weg gewählt

So nicht
299 + 158 schriftlich untereinander gerechnet, dabei verrechnet: 447
So richtig
299 + 158 = 300 + 157 = 457

Erst die Zahlen ansehen: Liegt eine nahe an einer glatten Zahl?

ÜbenJetzt du

  1. ○19
    Welchen Rechenvorteil nutzt du bei 161 + 198? Nenne ihn und rechne.
    161 + 198zerlegenhalbieren und verdoppelnschriftlich
    So fängst du an:
    198 liegt knapp unter 200: gegensinnig verändern.
    Lösung zeigen
    1. 198 liegt knapp unter 200: gegensinnig verändern.
    2. 161 + 198 = 159 + 200
    3. 159 + 200 = 359
    Ergebnis:
    gegensinnig verändern, 359
  2. ●20
    Welchen Rechenvorteil nutzt du bei 12 · 25? Nenne ihn und rechne.
    12 · 25zerlegenhalbieren und verdoppelnschriftlich
    Lösung zeigen
    1. 25 wird verdoppelt glatt: halbieren und verdoppeln.
    2. 12 · 25 = 6 · 50
    3. 6 · 50 = 300
    Ergebnis:
    halbieren und verdoppeln, 300
  3. ★21
    Welchen Rechenvorteil nutzt du bei 368 + 198? Nenne ihn und rechne.
    368 + 198zerlegenhalbieren und verdoppelnschriftlich
    Lösung zeigen
    1. 198 liegt knapp unter 200: gegensinnig verändern.
    2. 368 + 198 = 366 + 200
    3. 366 + 200 = 566
    Ergebnis:
    gegensinnig verändern, 566

8Ich finde Rechenfehler mit Überschlag und Umkehraufgabe.

EntdeckenFrage

Warum zählt man Rückgeld vom Preis aus nach oben, statt abzuziehen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Wer 13,40 € zahlen muss und 20 € gibt, bekommt 20 − 13,40 = 6,60 € zurück. Beim Hochzählen rechnet man die Umkehraufgabe: 13,40 + 6,60 = 20. Kommt man genau auf den gegebenen Betrag, stimmt das Rückgeld.

MerkenÜberschlag und Umkehraufgabe

Ein Überschlag mit runden Zahlen zeigt, ob ein Ergebnis stimmen kann.

Die Umkehraufgabe prüft es genau.

BeispielRechenfehler mit Überschlag und Umkehraufgabe finden

Emma rechnet 216 : 3 und erhält 71. Prüfe mit der Umkehraufgabe.
216 : 3Ergebnis 71?
Schritt für Schritt
  1. Umkehraufgabe: 71 · 3 = 213
  2. 213 ist nicht 216: Es ist falsch.
  3. 216 : 3 = 72
  1. Umkehraufgabe: 71 · 3 = 213
  2. 213 ist nicht 216: Es ist falsch.
  3. 216 : 3 = 72
Ergebnis:
falsch, richtig ist 72

AchtungErgebnis nicht geprüft

So nicht
425 : 5 = 805, ohne Probe ins Heft
So richtig
425 : 5 → Überschlag 400 : 5 = 80 → 85, Probe 85 · 5 = 425

Mit einem Überschlag prüfen, ob die Größenordnung stimmt, dann mit der Umkehraufgabe.

ÜbenJetzt du

  1. ○22
    Noah rechnet 234 : 9 und erhält 25. Prüfe mit der Umkehraufgabe.
    234 : 9Ergebnis 25?
    So fängst du an:
    Umkehraufgabe: 25 · 9 = 225
    Lösung zeigen
    1. Umkehraufgabe: 25 · 9 = 225
    2. 225 ist nicht 234: Es ist falsch.
    3. 234 : 9 = 26
    Ergebnis:
    falsch, richtig ist 26
  2. ●23
    Ben rechnet 754 − 125 und erhält 619. Prüfe mit der Umkehraufgabe.
    Lösung zeigen
    1. Umkehraufgabe: 619 + 125 = 744
    2. 744 ist nicht 754: Es ist falsch.
    3. 754 − 125 = 629
    Ergebnis:
    falsch, richtig ist 629
  3. ★24
    Mia erhält für 257 · 33 das Ergebnis 8381. Prüfe mit einem Überschlag.
    Lösung zeigen
    1. Überschlag: 300 · 30 = 9000
    2. 8381 liegt in der Nähe. Genau rechnen: 257 · 33 = 8481
    3. Das Ergebnis ist falsch.
    Ergebnis:
    falsch, richtig ist 8481

Vermischte Übungen

Alles durcheinander – wie in der Arbeit. Überleg bei jeder Aufgabe zuerst: Welches Ziel ist das?

Üben

  1. ●25
    Welche Zahlen fasst du bei 7 + 84 + 33 zuerst zusammen? Begründe und rechne.
    78433
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 7 + 33 + 84
    2. 7 + 33 = 40
    3. Zusammen glatt, der Rest ist leicht: 40 + 84 = 124
    Ergebnis:
    124
  2. ●26
    Welche zwei Zahlen ergeben bei 16 · 25 · 4 zusammen eine glatte Zahl? Rechne damit.
    16254
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 25 · 4 · 16
    2. 25 · 4 = 100
    3. 100 · 16 = 1600
    Ergebnis:
    1600
  3. ●27
    Rechne geschickt durch gegensinniges Verändern: 39 + 37
    3937
    Lösung zeigen
    1. 39 bekommt 1 dazu, 37 gibt 1 ab.
    2. 39 + 37 = 40 + 36
    3. 40 + 36 = 76
    Ergebnis:
    76
  4. ●28
    Rechne geschickt durch gleichsinniges Verändern: 187 − 38
    Lösung zeigen
    1. Beide Zahlen um 2 vergrößern: Der Abstand bleibt gleich.
    2. 187 − 38 = 189 − 40
    3. 189 − 40 = 149
    Ergebnis:
    149
  5. ●29
    Rechne geschickt über die glatte Zahl: 8 · 29
    Lösung zeigen
    1. 29 = 30 − 1
    2. 8 · 30 = 240 und 8 · 1 = 8
    3. 240 − 8 = 232
    Ergebnis:
    232
  6. ●30
    Welche zwei Malaufgaben zeigen die beiden Teile des Rechtecks? Was ergibt 3 · 19?
    1093
    Lösung zeigen
    1. Links: 3 · 10 = 30
    2. Rechts: 3 · 9 = 27
    3. 3 · 19 = 30 + 27 = 57
    Ergebnis:
    3 · 10 und 3 · 9, zusammen 57

Auf einen Blick

MerkenDas Wichtigste

Vertauschen und zusammenfassen
Beim Plus und beim Mal darf man die Zahlen vertauschen und anders zusammenfassen.
Gegensinnig und gleichsinnig
Bei einer Summe gibt ein Summand ab, was der andere bekommt.
Malnehmen mit Zerlegen
Einen Faktor zerlegen, jeden Teil malnehmen und die Teilergebnisse addieren.
Teilen mit Zerlegen
Die Zahl so zerlegen, dass jeder Teil glatt aufgeht. So wird 385 : 7 zu 350 : 7 + 35 : 7.
Ausdrücke mit gleichem Wert
Verschiedene Rechenausdrücke können denselben Wert haben.
Verdoppeln und halbieren
Wird ein Faktor verdoppelt und der andere halbiert, bleibt das Produkt gleich.
Den passenden Weg wählen
Vor dem Rechnen die Zahlen ansehen.
Überschlag und Umkehraufgabe
Ein Überschlag mit runden Zahlen zeigt, ob ein Ergebnis stimmen kann.

Kannst du das?

Je Ziel eine Aufgabe. Rechne sie ins Heft, dann kreuz ehrlich an. Keine Punkte, keine Note – der Test ist für dich.

ÜbenSelbsttest

  1. Ich rechne Plusaufgaben und Malaufgaben geschickt durch Vertauschen und Zusammenfassen.

    31
    Can rechnet 26 + 75 + 24 von links nach rechts. Zeige einen schnelleren Weg mit einem Rechenvorteil.
    267524
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    125

  2. Ich verändere Summen gegensinnig und Differenzen gleichsinnig.

    32
    Rechne geschickt durch gegensinniges Verändern: 69 + 66
    6966
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    135

  3. Ich nehme halbschriftlich mal, indem ich einen Faktor zerlege.

    33
    Rechne halbschriftlich: Zerlege den zweiten Faktor. 6 · 22
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    132

  4. Ich dividiere halbschriftlich, indem ich die Zahl geschickt zerlege.

    34
    Rechne halbschriftlich: 105 : 5
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    21

  5. Ich finde Aufgaben mit gleichem Ergebnis und vergleiche Rechenausdrücke.

    35
    Welche Zahl fehlt? Rechne nicht beide Seiten aus. 74 + 33 = 71 + ___
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    36

  6. Ich rechne mit Verdoppeln und Halbieren und prüfe, ob das Ergebnis gleich bleibt.

    36
    Lina verdoppelt bei 16 · 25 beide Faktoren und rechnet 32 · 50. Bleibt das Ergebnis gleich?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    Nein, viermal so groß; richtig ist 400

  7. Ich wähle zu einer Aufgabe den passenden Rechenweg.

    37
    Wie rechnest du am schnellsten: 9 · 56? Nenne ihn und rechne.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    zerlegen, 504

  8. Ich finde Rechenfehler mit Überschlag und Umkehraufgabe.

    38
    Elias rechnet 314 − 174 und erhält 150. Prüfe mit der Umkehraufgabe.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    falsch, richtig ist 140

Bei „unsicher“ oder „noch nicht“: Lies den Abschnitt zum Ziel noch einmal und rechne seine drei Aufgaben.

Die Frage vom Anfang

EntdeckenRückschau

Rechne im Kopf, so schnell du kannst: 25 · 17 · 4. Schreib nichts auf und nimm keinen Taschenrechner.

Lies deine Vermutung vom Anfang. Kannst du die Frage jetzt mit dem Kapitel beantworten?

Auflösung

Mit dem Werkzeug aus diesem Kapitel: Vertauschen und Zusammenfassen: erst die Zahlen, die zusammen glatt werden.

Wo brauchst du das?

Entdecken

Preise im Kopf addieren, Rückgeld überschlagen, Mengen für ein Fest ausrechnen. Beruf: Kasse und Verkauf, Handwerk beim Materialberechnen, Lager und Versand.

Wörter

Differenz
was übrig bleibt, wenn man abzieht
Gleichung
zwei Rechnungen, die gleich viel wert sind
Produkt
was herauskommt, wenn man malnimmt
Summe
was herauskommt, wenn man zusammenzählt
Teiler
eine Zahl, durch die es ohne Rest aufgeht

Wie es zusammenhängt

Das brauchst du vorher: Rechenregeln, Teiler und Vielfache, Natürliche Zahlen und Stellenwert

Darauf baut auf: Sachaufgaben lösen

Lösungen

  1. 89
  2. 72
  3. 759
  4. 93
  5. 193
  6. 1544
  7. 174
  8. 156 Bonbons
  9. 232
  10. 16 Bücher
  11. 36
  12. 121 Bücher
  13. 93
  14. 24
  15. 63
  16. 210
  17. 400
  18. Nein, viermal so groß; richtig ist 330
  19. gegensinnig verändern, 359
  20. halbieren und verdoppeln, 300
  21. gegensinnig verändern, 566
  22. falsch, richtig ist 26
  23. falsch, richtig ist 629
  24. falsch, richtig ist 8481
  25. 124
  26. 1600
  27. 76
  28. 149
  29. 232
  30. 3 · 10 und 3 · 9, zusammen 57
  31. 125
  32. 135
  33. 132
  34. 21
  35. 36
  36. Nein, viermal so groß; richtig ist 400
  37. zerlegen, 504
  38. falsch, richtig ist 140
  39. 36
  40. 88
  41. 39
  42. 20