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Mathematik · Klasse 5 · Kapitel

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Rechengesetze und Rechenvorteile

EntdeckenDie Frage zum Kapitel

Rechne im Kopf, so schnell du kannst: 25 · 17 · 4. Schreib nichts auf und nimm keinen Taschenrechner.

Schreib eine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Für die Lehrkraft: Die meisten rechnen von links: 25 · 17 und kommen durcheinander. Andere geben auf oder raten. Nur wenige sehen, dass 25 und 4 zusammen 100 ergeben. Beim Malnehmen darf man die Zahlen vertauschen. Dann steht 25 · 4 · 17 da, also 100 · 17. Das Ergebnis ist 1700, in einer Sekunde.

  • Entdecken Frage, Vorstellung, Bild
  • Merken kommt ins Heft
  • Beispiel vorgerechnet, Schritt für Schritt
  • Üben selbst rechnen
  • Achtung typischer Fehler
  • Weiterdenken zum Knobeln und Vernetzen

○ mit Starthilfe, ● für alle, ★ zum Weiterdenken. Du wählst mindestens eine ★-Aufgabe. Du rechnest ins Heft.

Fit für das Kapitel?

Das brauchst du aus früheren Themen. Klappt es nicht, frag nach, bevor es losgeht.

ÜbenWeißt du das noch?

Punkt vor Strich und Klammer zuerst – so steht es seit Klasse 4 im Heft.

  1. ●39
    Rechne: 43 − 2 · 3
    Lösung zeigen
    1. Punkt vor Strich: erst 2 · 3 = 6
    2. 43 − 6 = 37
    Ergebnis:
    37
  2. ●40
    Rechne: (2 + 7) · 3
    Lösung zeigen
    1. Die Klammer zuerst: 2 + 7 = 9
    2. 9 · 3 = 27
    Ergebnis:
    27

ÜbenWeißt du das noch?

Punkt vor Strich und Klammer zuerst – die Reihenfolge entscheidet über das Ergebnis.

  1. ●41
    Berechne: 4 + 9 · 7
    Lösung zeigen
    1. Punkt vor Strich: erst 9 · 7 = 63
    2. 4 + 63 = 67
    Ergebnis:
    67
  2. ●42
    Ich denke mir eine Zahl, addiere 25 und erhalte 37. Welche Zahl war es? (Umkehraufgabe)
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    12

So kannst du es dir vorstellen

EntdeckenZahlen umbauen, ohne den Wert zu ändern

Eine Rechnung lässt sich umbauen, ohne dass sich ihr Wert ändert. Zahlen tauschen die Plätze, bilden neue Gruppen oder werden zerlegt. Wer das sieht, rechnet mit glatten Zahlen statt mit krummen.

17 plus 38 plus 3: Erst 17 und 3 zu 20 zusammenfassen, dann 20 plus 38 sind 5817 + 38 + 317 + 3 = 20= 20 + 38 = 58

WeiterdenkenDenk nach

Warum darf man bei 25 + 38 + 75 zuerst 25 und 75 addieren, bei 50 − 20 − 10 aber nicht zuerst 20 − 10?

1Ich rechne Plusaufgaben und Malaufgaben geschickt durch Vertauschen und Zusammenfassen.

EntdeckenFrage

Wie konnte der neunjährige Carl Friedrich Gauß die Zahlen von 1 bis 100 in wenigen Minuten addieren?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Er hat die Zahlen in Paare umsortiert: 1 und 100, 2 und 99, 3 und 98. Jedes Paar ergibt 101, und es sind 50 Paare. Also 50 · 101 = 5050. Er hat nur vertauscht und neu zusammengefasst.

MerkenVertauschen und zusammenfassen

Beim Plus und beim Mal darf man die Zahlen vertauschen und anders zusammenfassen.

Erst die Zahlen nehmen, die zusammen glatt werden.

BeispielPlusaufgaben geschickt: vertauschen und zusammenfassen

Rechne geschickt: 13 + 66 + 17
136617
Schritt für Schritt
  1. Vertauschen: 13 + 17 + 66
  2. 13 + 17 = 30
  3. 30 + 66 = 96
  1. Vertauschen: 13 + 17 + 66
  2. 13 + 17 = 30
  3. 30 + 66 = 96
Ergebnis:
96

AchtungBeim Minus oder Geteilt vertauscht

So nicht
50 − 20 − 10: erst 20 − 10 = 10, dann 50 − 10 = 40
So richtig
50 − 20 − 10 = 30 − 10 = 20

Vertauschen ist nur beim Plus und beim Mal erlaubt. 20 − 5 ist nicht 5 − 20.

ÜbenJetzt du

  1. ○1
    Rechne geschickt: 6 + 19 + 24
    61924
    So fängst du an:
    Vertauschen: 6 + 24 + 19
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 6 + 24 + 19
    2. 6 + 24 = 30
    3. 30 + 19 = 49
    Ergebnis:
    49
  2. ●2
    Welche Zahlen fasst du bei 8 + 85 + 12 zuerst zusammen? Begründe und rechne.
    88512
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 8 + 12 + 85
    2. 8 + 12 = 20
    3. Zusammen glatt, der Rest ist leicht: 20 + 85 = 105
    Ergebnis:
    105
  3. ★3
    Rechne geschickt: 732 + 485 + 56 + 268 + 44
    7324855626844
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 732 + 268 + 56 + 44 + 485
    2. 732 + 268 = 1000 und 56 + 44 = 100
    3. 1000 + 100 + 485 = 1585
    Ergebnis:
    1585

2Ich verändere Summen gegensinnig und Differenzen gleichsinnig.

EntdeckenFrage

Warum rechnen Kassiererinnen 3,99 € mal 4 schneller als ein Kunde mit Papier?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Sie rechnen 4 mal 4 € und ziehen dann 4 Cent ab: 16,00 € − 0,04 € = 15,96 €. Das ist Zerlegen: 3,99 ist 4 minus 1 Cent. Der Rechenweg ist kurz, weil er über die glatte Zahl geht.

MerkenGegensinnig und gleichsinnig

Bei einer Summe gibt ein Summand ab, was der andere bekommt.

Bei einer Differenz ändern sich beide Zahlen gleich, der Abstand bleibt.

BeispielSummen gegensinnig verändern

Rechne geschickt durch gegensinniges Verändern: 37 + 77
3777
Schritt für Schritt
  1. 37 bekommt 3 dazu, 77 gibt 3 ab.
  2. 37 + 77 = 40 + 74
  3. 40 + 74 = 114
  1. 37 bekommt 3 dazu, 77 gibt 3 ab.
  2. 37 + 77 = 40 + 74
  3. 40 + 74 = 114
Ergebnis:
114

AchtungNur eine Zahl verändert

So nicht
143 − 97: 143 − 100 = 43
So richtig
143 − 97 = 146 − 100 = 46

Bei der Summe gegensinnig, bei der Differenz gleichsinnig: Immer beide Zahlen verändern.

ÜbenJetzt du

  1. ○4
    Elias rechnet 297 + 68 als 300 + 68. Was muss Elias danach noch tun? Was kommt heraus?
    29768
    So fängst du an:
    Elias hat 297 um 3 vergrößert.
    Lösung zeigen
    1. Elias hat 297 um 3 vergrößert.
    2. Die Summe ist dadurch um 3 zu groß: 300 + 68 = 368.
    3. 3 wieder abziehen: 368 − 3 = 365
    Ergebnis:
    365
  2. ●5
    Rechne geschickt durch gegensinniges Verändern: 99 + 82
    9982
    Lösung zeigen
    1. 99 bekommt 1 dazu, 82 gibt 1 ab.
    2. 99 + 82 = 100 + 81
    3. 100 + 81 = 181
    Ergebnis:
    181
  3. ★6
    Milan rechnet 1997 + 686 als 2000 + 686. Was muss Milan danach noch tun? Was kommt heraus?
    1997686
    Lösung zeigen
    1. Milan hat 1997 um 3 vergrößert.
    2. Die Summe ist dadurch um 3 zu groß: 2000 + 686 = 2686.
    3. 3 wieder abziehen: 2686 − 3 = 2683
    Ergebnis:
    2683

3Ich nehme halbschriftlich mal, indem ich einen Faktor zerlege.

EntdeckenFrage

Wie haben Bauern in Russland früher ohne Einmaleins multipliziert?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Sie haben eine Zahl immer halbiert und die andere verdoppelt, bis links eine 1 stand. Dann addierten sie die rechten Zahlen der Zeilen mit ungerader linker Zahl. Das Verfahren heißt russische Bauernmultiplikation und nutzt, dass Verdoppeln und Halbieren das Produkt nicht ändert.

MerkenMalnehmen mit Zerlegen

Einen Faktor zerlegen, jeden Teil malnehmen und die Teilergebnisse addieren.

So wird 7 · 48 zu 7 · 40 + 7 · 8.

BeispielHalbschriftlich malnehmen mit Zerlegen

Rechne geschickt über die glatte Zahl: 6 · 29
Schritt für Schritt
  1. 29 = 30 − 1
  2. 6 · 30 = 180 und 6 · 1 = 6
  3. 180 − 6 = 174
  1. 29 = 30 − 1
  2. 6 · 30 = 180 und 6 · 1 = 6
  3. 180 − 6 = 174
Ergebnis:
174

AchtungBeim Zerlegen einen Teil vergessen

So nicht
7 · 48: 7 · 40 + 8 = 288
So richtig
7 · 48 = 7 · 40 + 7 · 8 = 280 + 56 = 336

Jeder Teil des zerlegten Faktors wird malgenommen, nicht nur der erste.

ÜbenJetzt du

  1. ○7
    Rechne halbschriftlich: Zerlege den zweiten Faktor. 5 · 38
    So fängst du an:
    38 = 30 + 8
    Lösung zeigen
    1. 38 = 30 + 8
    2. 5 · 30 = 150 und 5 · 8 = 40
    3. 150 + 40 = 190
    Ergebnis:
    190
  2. ●8
    Rechne halbschriftlich: Zerlege den zweiten Faktor. 9 · 28
    Lösung zeigen
    1. 28 = 20 + 8
    2. 9 · 20 = 180 und 9 · 8 = 72
    3. 180 + 72 = 252
    Ergebnis:
    252
  3. ★9
    Es gibt 8 Reihen mit je 39 Stühle. Wie viele Stühle sind es? Rechne halbschriftlich.
    Lösung zeigen
    1. 8 · 39
    2. 39 = 30 + 9
    3. 8 · 30 = 240 und 8 · 9 = 72
    4. 240 + 72 = 312
    Ergebnis:
    312 Stühle

4Ich dividiere halbschriftlich, indem ich die Zahl geschickt zerlege.

EntdeckenFrage

Warum ist 25 mal 4 ein Lieblingspaar beim Kopfrechnen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

25 mal 4 ergibt genau 100. Kommen 25 und 4 in einer Malaufgabe vor, fasst man sie zuerst zusammen. Aus 25 · 37 · 4 wird dann 100 · 37 = 3700, ganz ohne schriftliches Rechnen.

MerkenTeilen mit Zerlegen

Die Zahl so zerlegen, dass jeder Teil glatt aufgeht. So wird 385 : 7 zu 350 : 7 + 35 : 7.

BeispielHalbschriftlich dividieren

Zerlege 126 so in zwei Zahlen, dass du beide leicht durch 6 dividieren kannst. Was ergibt 126 : 6?
126: 6
Schritt für Schritt
  1. 126 = 120 + 6
  2. 120 : 6 = 20 und 6 : 6 = 1
  3. 20 + 1 = 21
  1. 126 = 120 + 6
  2. 120 : 6 = 20 und 6 : 6 = 1
  3. 20 + 1 = 21
Ergebnis:
21

AchtungBeim Teilen nicht passend zerlegt

So nicht
385 : 7: 300 : 7 geht nicht glatt → aufgegeben
So richtig
385 : 7 = 350 : 7 + 35 : 7 = 50 + 5 = 55

Jeder Teil muss sich glatt teilen lassen. Erst ein großes Vielfaches abspalten.

ÜbenJetzt du

  1. ○10
    Zerlege 182 so in zwei Zahlen, dass du beide leicht durch 7 dividieren kannst. Was ergibt 182 : 7?
    182: 7
    So fängst du an:
    182 = 140 + 42
    Lösung zeigen
    1. 182 = 140 + 42
    2. 140 : 7 = 20 und 42 : 7 = 6
    3. 20 + 6 = 26
    Ergebnis:
    26
  2. ●11
    318 Bücher werden gleichmäßig auf 6 Regalböden aufgeteilt. Wie viele bekommt jeder Teil? Rechne halbschriftlich.
    Lösung zeigen
    1. 318 : 6
    2. 318 = 300 + 18
    3. 300 : 6 = 50 und 18 : 6 = 3
    4. 50 + 3 = 53
    Ergebnis:
    53 Bücher
  3. ★12
    Rechne halbschriftlich: 776 : 8
    Lösung zeigen
    1. 776 = 720 + 56
    2. 720 : 8 = 90 und 56 : 8 = 7
    3. 90 + 7 = 97
    Ergebnis:
    97

5Ich finde Aufgaben mit gleichem Ergebnis und vergleiche Rechenausdrücke.

EntdeckenFrage

Warum stimmt der Trick „mal 9 ist mal 10 minus einmal“ immer?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Neunmal eine Zahl ist zehnmal die Zahl minus einmal die Zahl. So wird 9 · 47 zu 470 − 47 = 423. Das ist das Verteilungsgesetz: 9 ist 10 minus 1.

MerkenAusdrücke mit gleichem Wert

Verschiedene Rechenausdrücke können denselben Wert haben.

Wer die Rechengesetze nutzt, sieht das oft ohne Ausrechnen.

BeispielAufgaben mit gleichem Ergebnis

Welche Zahl fehlt? Rechne nicht beide Seiten aus. 66 − 30 = ___ − 35
Schritt für Schritt
  1. 30 wird zu 35: 5 mehr.
  2. Damit der Abstand bleibt, wird auch 66 um 5 größer.
  3. 66 + 5 = 71
  1. 30 wird zu 35: 5 mehr.
  2. Damit der Abstand bleibt, wird auch 66 um 5 größer.
  3. 66 + 5 = 71
Ergebnis:
71

AchtungPunkt vor Strich missachtet

So nicht
9 + 5 · 7 = 14 · 7 = 98
So richtig
9 + 5 · 7 = 9 + 35 = 44

Klammer zuerst, dann Mal und Geteilt, dann Plus und Minus.

ÜbenJetzt du

  1. ○13
    Finde die fehlende Zahl mit einem Rechengesetz: 56 − 35 = ___ − 45
    So fängst du an:
    35 wird zu 45: 10 mehr.
    Lösung zeigen
    1. 35 wird zu 45: 10 mehr.
    2. Damit der Abstand bleibt, wird auch 56 um 10 größer.
    3. 56 + 10 = 66
    Ergebnis:
    66
  2. ●14
    Welche Zahl fehlt? Rechne nicht beide Seiten aus. 14 · 13 = 7 · ___
    Lösung zeigen
    1. 14 wird halb so groß: 7.
    2. Damit das Ergebnis gleich bleibt, wird 13 doppelt so groß.
    3. 13 · 2 = 26
    Ergebnis:
    26
  3. ★15
    Finde die fehlende Zahl mit einem Rechengesetz: 78 + 61 = 79 + ___
    78 + 61=79 + ?
    Lösung zeigen
    1. 78 wird zu 79: 1 mehr.
    2. Damit die Summe gleich bleibt, wird 61 um 1 kleiner.
    3. 61 − 1 = 60
    Ergebnis:
    60

6Ich rechne mit Verdoppeln und Halbieren und prüfe, ob das Ergebnis gleich bleibt.

EntdeckenFrage

Wie merkt man in Sekunden, dass 98 · 102 nicht 99.960 sein kann?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Man rechnet nicht, man überschlägt: 100 · 100 = 10.000. Das Ergebnis muss also in der Nähe von 10.000 liegen. 99.960 ist fast zehnmal so groß und kann nicht stimmen. Richtig ist 9996.

MerkenVerdoppeln und halbieren

Wird ein Faktor verdoppelt und der andere halbiert, bleibt das Produkt gleich.

Werden beide verdoppelt, wird es viermal so groß.

BeispielVerdoppeln und Halbieren

Mia verdoppelt bei 16 · 5 beide Faktoren und rechnet 32 · 10. Bleibt das Ergebnis gleich?
Schritt für Schritt
  1. Einmal verdoppeln macht das Ergebnis doppelt so groß, zweimal viermal so groß.
  2. 32 · 10 = 320, aber 16 · 5 = 80
  3. Richtig ist: einen verdoppeln, den anderen halbieren.
  1. Einmal verdoppeln macht das Ergebnis doppelt so groß, zweimal viermal so groß.
  2. 32 · 10 = 320, aber 16 · 5 = 80
  3. Richtig ist: einen verdoppeln, den anderen halbieren.
Ergebnis:
Nein, viermal so groß; richtig ist 80

AchtungBeide Faktoren verdoppelt

So nicht
8 · 25 → 16 · 50 = 800
So richtig
8 · 25 → 4 · 50 = 200

Nur einer wird verdoppelt, der andere halbiert. Sonst ändert sich das Ergebnis.

ÜbenJetzt du

  1. ○16
    Mia verdoppelt bei 8 · 25 beide Faktoren und rechnet 16 · 50. Bleibt das Ergebnis gleich?
    So fängst du an:
    Einmal verdoppeln macht das Ergebnis doppelt so groß, zweimal viermal so groß.
    Lösung zeigen
    1. Einmal verdoppeln macht das Ergebnis doppelt so groß, zweimal viermal so groß.
    2. 16 · 50 = 800, aber 8 · 25 = 200
    3. Richtig ist: einen verdoppeln, den anderen halbieren.
    Ergebnis:
    Nein, viermal so groß; richtig ist 200
  2. ●17
    Paul verdoppelt bei 16 · 5 beide Faktoren und rechnet 32 · 10. Bleibt das Ergebnis gleich?
    Lösung zeigen
    1. Einmal verdoppeln macht das Ergebnis doppelt so groß, zweimal viermal so groß.
    2. 32 · 10 = 320, aber 16 · 5 = 80
    3. Richtig ist: einen verdoppeln, den anderen halbieren.
    Ergebnis:
    Nein, viermal so groß; richtig ist 80
  3. ★18
    Warum ist 16 · 25 dasselbe wie 8 · 50? Rechne dann geschickt.
    Lösung zeigen
    1. Halb so viele Reihen, jede doppelt so lang: gleich viele Kästchen.
    2. 16 · 25 = 8 · 50
    3. 8 · 50 = 400
    Ergebnis:
    400

7Ich wähle zu einer Aufgabe den passenden Rechenweg.

EntdeckenFrage

Wie rechnen Darts-Profis blitzschnell aus, wie viele Punkte ihnen von 501 noch fehlen, wenn sie 140 geworfen haben?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Der geschickte Weg nimmt erst eine runde Zahl. 500 − 140 = 360, und der eine Extrapunkt kommt dazu: 361. Das geht schneller als 501 − 140 Stelle für Stelle. Am Ergebnis ändert der Weg nichts.

MerkenDen passenden Weg wählen

Vor dem Rechnen die Zahlen ansehen.

Liegt eine Zahl nahe an einer glatten, lohnt sich ein Vorteil, sonst rechnet man schriftlich.

BeispielDen passenden Rechenweg wählen

Welcher Weg passt zu 283 + 497? Nenne ihn und rechne.
283 + 497zerlegenhalbieren und verdoppelnschriftlich
Schritt für Schritt
  1. 497 liegt knapp unter 500: gegensinnig verändern.
  2. 283 + 497 = 280 + 500
  3. 280 + 500 = 780
  1. 497 liegt knapp unter 500: gegensinnig verändern.
  2. 283 + 497 = 280 + 500
  3. 280 + 500 = 780
Ergebnis:
gegensinnig verändern, 780

AchtungUmständlichen Weg gewählt

So nicht
299 + 158 schriftlich untereinander gerechnet, dabei verrechnet: 447
So richtig
299 + 158 = 300 + 157 = 457

Erst die Zahlen ansehen: Liegt eine nahe an einer glatten Zahl?

ÜbenJetzt du

  1. ○19
    Wie rechnest du am schnellsten: 18 · 5? Nenne ihn und rechne.
    So fängst du an:
    5 wird verdoppelt glatt: halbieren und verdoppeln.
    Lösung zeigen
    1. 5 wird verdoppelt glatt: halbieren und verdoppeln.
    2. 18 · 5 = 9 · 10
    3. 9 · 10 = 90
    Ergebnis:
    halbieren und verdoppeln, 90
  2. ●20
    Wie rechnest du am schnellsten: 141 + 399? Nenne ihn und rechne.
    Lösung zeigen
    1. 399 liegt knapp unter 400: gegensinnig verändern.
    2. 141 + 399 = 140 + 400
    3. 140 + 400 = 540
    Ergebnis:
    gegensinnig verändern, 540
  3. ★21
    Wie rechnest du am schnellsten: 5 · 25? Nenne ihn und rechne.
    Lösung zeigen
    1. Den zweiten Faktor zerlegen: 25 = 20 + 5.
    2. 5 · 20 = 100 und 5 · 5 = 25
    3. Zusammen: 125
    Ergebnis:
    zerlegen, 125

8Ich finde Rechenfehler mit Überschlag und Umkehraufgabe.

EntdeckenFrage

Warum zählt man Rückgeld vom Preis aus nach oben, statt abzuziehen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Wer 13,40 € zahlen muss und 20 € gibt, bekommt 20 − 13,40 = 6,60 € zurück. Beim Hochzählen rechnet man die Umkehraufgabe: 13,40 + 6,60 = 20. Kommt man genau auf den gegebenen Betrag, stimmt das Rückgeld.

MerkenÜberschlag und Umkehraufgabe

Ein Überschlag mit runden Zahlen zeigt, ob ein Ergebnis stimmen kann.

Die Umkehraufgabe prüft es genau.

BeispielRechenfehler mit Überschlag und Umkehraufgabe finden

Aylin erhält für 61 · 35 das Ergebnis 2235. Prüfe mit einem Überschlag.
Schritt für Schritt
  1. Überschlag: 60 · 40 = 2400
  2. 2235 liegt in der Nähe. Genau rechnen: 61 · 35 = 2135
  3. Das Ergebnis ist falsch.
  1. Überschlag: 60 · 40 = 2400
  2. 2235 liegt in der Nähe. Genau rechnen: 61 · 35 = 2135
  3. Das Ergebnis ist falsch.
Ergebnis:
falsch, richtig ist 2135

AchtungErgebnis nicht geprüft

So nicht
425 : 5 = 805, ohne Probe ins Heft
So richtig
425 : 5 → Überschlag 400 : 5 = 80 → 85, Probe 85 · 5 = 425

Mit einem Überschlag prüfen, ob die Größenordnung stimmt, dann mit der Umkehraufgabe.

ÜbenJetzt du

  1. ○22
    Emma erhält für 81 · 14 das Ergebnis 2134. Prüfe mit einem Überschlag.
    So fängst du an:
    Überschlag: 80 · 10 = 800
    Lösung zeigen
    1. Überschlag: 80 · 10 = 800
    2. 2134 liegt zu weit weg. Genau: 81 · 14 = 1134
    3. Das Ergebnis ist falsch.
    Ergebnis:
    falsch, richtig ist 1134
  2. ●23
    Hanna rechnet 756 : 9 und erhält 83. Prüfe mit der Umkehraufgabe.
    756 : 9Ergebnis 83?
    Lösung zeigen
    1. Umkehraufgabe: 83 · 9 = 747
    2. 747 ist nicht 756: Es ist falsch.
    3. 756 : 9 = 84
    Ergebnis:
    falsch, richtig ist 84
  3. ★24
    Can rechnet 1137 : 3 und erhält 389. Prüfe mit der Umkehraufgabe.
    1137 : 3Ergebnis 389?
    Lösung zeigen
    1. Umkehraufgabe: 389 · 3 = 1167
    2. 1167 ist nicht 1137: Es ist falsch.
    3. 1137 : 3 = 379
    Ergebnis:
    falsch, richtig ist 379

Vermischte Übungen

Alles durcheinander – wie in der Arbeit. Überleg bei jeder Aufgabe zuerst: Welches Ziel ist das?

Üben

  1. ●25
    Paul rechnet 8 + 87 + 32 von links nach rechts. Zeige einen schnelleren Weg mit einem Rechenvorteil.
    88732
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 8 + 32 + 87
    2. 8 + 32 = 40
    3. 40 + 87 = 127
    Ergebnis:
    127
  2. ●26
    In einem Lager stehen 5 Regale mit je 2 Kartons. In jedem Karton sind 14 Bälle. Wie viele Bälle sind es? Rechne geschickt.
    5 Regale2 Kartons14 Bälle
    Lösung zeigen
    1. Bälle: 5 · 2 · 14
    2. 5 · 2 = 10
    3. 10 · 14 = 140
    Ergebnis:
    140 Bälle
  3. ●27
    Lina rechnet 69 + 59 als 70 + 59. Was muss Lina danach noch tun? Was kommt heraus?
    6959
    Lösung zeigen
    1. Lina hat 69 um 1 vergrößert.
    2. Die Summe ist dadurch um 1 zu groß: 70 + 59 = 129.
    3. 1 wieder abziehen: 129 − 1 = 128
    Ergebnis:
    128
  4. ●28
    Rechne geschickt durch gleichsinniges Verändern: 96 − 49
    Lösung zeigen
    1. Beide Zahlen um 1 vergrößern: Der Abstand bleibt gleich.
    2. 96 − 49 = 97 − 50
    3. 97 − 50 = 47
    Ergebnis:
    47
  5. ●29
    Rechne geschickt über die glatte Zahl: 8 · 49
    Lösung zeigen
    1. 49 = 50 − 1
    2. 8 · 50 = 400 und 8 · 1 = 8
    3. 400 − 8 = 392
    Ergebnis:
    392
  6. ●30
    Welche zwei Malaufgaben zeigen die beiden Teile des Rechtecks? Was ergibt 7 · 22?
    2027
    Lösung zeigen
    1. Links: 7 · 20 = 140
    2. Rechts: 7 · 2 = 14
    3. 7 · 22 = 140 + 14 = 154
    Ergebnis:
    7 · 20 und 7 · 2, zusammen 154

Auf einen Blick

MerkenDas Wichtigste

Vertauschen und zusammenfassen
Beim Plus und beim Mal darf man die Zahlen vertauschen und anders zusammenfassen.
Gegensinnig und gleichsinnig
Bei einer Summe gibt ein Summand ab, was der andere bekommt.
Malnehmen mit Zerlegen
Einen Faktor zerlegen, jeden Teil malnehmen und die Teilergebnisse addieren.
Teilen mit Zerlegen
Die Zahl so zerlegen, dass jeder Teil glatt aufgeht. So wird 385 : 7 zu 350 : 7 + 35 : 7.
Ausdrücke mit gleichem Wert
Verschiedene Rechenausdrücke können denselben Wert haben.
Verdoppeln und halbieren
Wird ein Faktor verdoppelt und der andere halbiert, bleibt das Produkt gleich.
Den passenden Weg wählen
Vor dem Rechnen die Zahlen ansehen.
Überschlag und Umkehraufgabe
Ein Überschlag mit runden Zahlen zeigt, ob ein Ergebnis stimmen kann.

Kannst du das?

Je Ziel eine Aufgabe. Rechne sie ins Heft, dann kreuz ehrlich an. Keine Punkte, keine Note – der Test ist für dich.

ÜbenSelbsttest

  1. Ich rechne Plusaufgaben und Malaufgaben geschickt durch Vertauschen und Zusammenfassen.

    31
    Lina rechnet 23 + 19 + 7 von links nach rechts. Zeige einen schnelleren Weg mit einem Rechenvorteil.
    23197
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    49

  2. Ich verändere Summen gegensinnig und Differenzen gleichsinnig.

    32
    Rechne geschickt durch gegensinniges Verändern: 297 + 44
    29744
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    341

  3. Ich nehme halbschriftlich mal, indem ich einen Faktor zerlege.

    33
    Es gibt 9 Reihen mit je 15 Stühle. Wie viele Stühle sind es? Rechne halbschriftlich.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    135 Stühle

  4. Ich dividiere halbschriftlich, indem ich die Zahl geschickt zerlege.

    34
    Rechne halbschriftlich: 207 : 3
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    69

  5. Ich finde Aufgaben mit gleichem Ergebnis und vergleiche Rechenausdrücke.

    35
    Finde die fehlende Zahl mit einem Rechengesetz: 15 + 76 = 17 + ___
    15 + 76=17 + ?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    74

  6. Ich rechne mit Verdoppeln und Halbieren und prüfe, ob das Ergebnis gleich bleibt.

    36
    Warum ist 8 · 25 dasselbe wie 4 · 50? Rechne dann geschickt.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    200

  7. Ich wähle zu einer Aufgabe den passenden Rechenweg.

    37
    Welchen Rechenvorteil nutzt du bei 14 · 5? Nenne ihn und rechne.
    14 · 5zerlegenhalbieren und verdoppelnschriftlich
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    halbieren und verdoppeln, 70

  8. Ich finde Rechenfehler mit Überschlag und Umkehraufgabe.

    38
    Jonas rechnet 280 : 8 und erhält 35. Prüfe mit der Umkehraufgabe.
    280 : 8Ergebnis 35?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    stimmt, 35

Bei „unsicher“ oder „noch nicht“: Lies den Abschnitt zum Ziel noch einmal und rechne seine drei Aufgaben.

Die Frage vom Anfang

EntdeckenRückschau

Rechne im Kopf, so schnell du kannst: 25 · 17 · 4. Schreib nichts auf und nimm keinen Taschenrechner.

Lies deine Vermutung vom Anfang. Kannst du die Frage jetzt mit dem Kapitel beantworten?

Auflösung

Mit dem Werkzeug aus diesem Kapitel: Vertauschen und Zusammenfassen: erst die Zahlen, die zusammen glatt werden.

Wo brauchst du das?

Entdecken

Preise im Kopf addieren, Rückgeld überschlagen, Mengen für ein Fest ausrechnen. Beruf: Kasse und Verkauf, Handwerk beim Materialberechnen, Lager und Versand.

Wörter

Differenz
was übrig bleibt, wenn man abzieht
Gleichung
zwei Rechnungen, die gleich viel wert sind
Produkt
was herauskommt, wenn man malnimmt
Summe
was herauskommt, wenn man zusammenzählt
Teiler
eine Zahl, durch die es ohne Rest aufgeht

Wie es zusammenhängt

Das brauchst du vorher: Rechenregeln, Teiler und Vielfache, Natürliche Zahlen und Stellenwert

Darauf baut auf: Sachaufgaben lösen

Lösungen

  1. 49
  2. 105
  3. 1585
  4. 365
  5. 181
  6. 2683
  7. 190
  8. 252
  9. 312 Stühle
  10. 26
  11. 53 Bücher
  12. 97
  13. 66
  14. 26
  15. 60
  16. Nein, viermal so groß; richtig ist 200
  17. Nein, viermal so groß; richtig ist 80
  18. 400
  19. halbieren und verdoppeln, 90
  20. gegensinnig verändern, 540
  21. zerlegen, 125
  22. falsch, richtig ist 1134
  23. falsch, richtig ist 84
  24. falsch, richtig ist 379
  25. 127
  26. 140 Bälle
  27. 128
  28. 47
  29. 392
  30. 7 · 20 und 7 · 2, zusammen 154
  31. 49
  32. 341
  33. 135 Stühle
  34. 69
  35. 74
  36. 200
  37. halbieren und verdoppeln, 70
  38. stimmt, 35
  39. 37
  40. 27
  41. 67
  42. 12