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Mathematik · Klasse 5 · Kapitel

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Rechengesetze und Rechenvorteile

EntdeckenDie Frage zum Kapitel

Rechne im Kopf, so schnell du kannst: 25 · 17 · 4. Schreib nichts auf und nimm keinen Taschenrechner.

Schreib eine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Für die Lehrkraft: Die meisten rechnen von links: 25 · 17 und kommen durcheinander. Andere geben auf oder raten. Nur wenige sehen, dass 25 und 4 zusammen 100 ergeben. Beim Malnehmen darf man die Zahlen vertauschen. Dann steht 25 · 4 · 17 da, also 100 · 17. Das Ergebnis ist 1700, in einer Sekunde.

  • Entdecken Frage, Vorstellung, Bild
  • Merken kommt ins Heft
  • Beispiel vorgerechnet, Schritt für Schritt
  • Üben selbst rechnen
  • Achtung typischer Fehler
  • Weiterdenken zum Knobeln und Vernetzen

○ mit Starthilfe, ● für alle, ★ zum Weiterdenken. Du wählst mindestens eine ★-Aufgabe. Du rechnest ins Heft.

Fit für das Kapitel?

Das brauchst du aus früheren Themen. Klappt es nicht, frag nach, bevor es losgeht.

ÜbenWeißt du das noch?

Punkt vor Strich und Klammer zuerst – so steht es seit Klasse 4 im Heft.

  1. ●39
    Rechne: 34 − 3 · 5
    Lösung zeigen
    1. Punkt vor Strich: erst 3 · 5 = 15
    2. 34 − 15 = 19
    Ergebnis:
    19
  2. ●40
    Rechne: (6 + 4) · 9
    Lösung zeigen
    1. Die Klammer zuerst: 6 + 4 = 10
    2. 10 · 9 = 90
    Ergebnis:
    90

ÜbenWeißt du das noch?

Punkt vor Strich und Klammer zuerst – die Reihenfolge entscheidet über das Ergebnis.

  1. ●41
    Berechne: 11 + 5 · 8
    Lösung zeigen
    1. Punkt vor Strich: erst 5 · 8 = 40
    2. 11 + 40 = 51
    Ergebnis:
    51
  2. ●42
    Ich denke mir eine Zahl, addiere 38 und erhalte 94. Welche Zahl war es? (Umkehraufgabe)
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    56

So kannst du es dir vorstellen

EntdeckenZahlen umbauen, ohne den Wert zu ändern

Eine Rechnung lässt sich umbauen, ohne dass sich ihr Wert ändert. Zahlen tauschen die Plätze, bilden neue Gruppen oder werden zerlegt. Wer das sieht, rechnet mit glatten Zahlen statt mit krummen.

17 plus 38 plus 3: Erst 17 und 3 zu 20 zusammenfassen, dann 20 plus 38 sind 5817 + 38 + 317 + 3 = 20= 20 + 38 = 58

WeiterdenkenDenk nach

Warum darf man bei 25 + 38 + 75 zuerst 25 und 75 addieren, bei 50 − 20 − 10 aber nicht zuerst 20 − 10?

1Ich rechne Plusaufgaben und Malaufgaben geschickt durch Vertauschen und Zusammenfassen.

EntdeckenFrage

Wie konnte der neunjährige Carl Friedrich Gauß die Zahlen von 1 bis 100 in wenigen Minuten addieren?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Er hat die Zahlen in Paare umsortiert: 1 und 100, 2 und 99, 3 und 98. Jedes Paar ergibt 101, und es sind 50 Paare. Also 50 · 101 = 5050. Er hat nur vertauscht und neu zusammengefasst.

MerkenVertauschen und zusammenfassen

Beim Plus und beim Mal darf man die Zahlen vertauschen und anders zusammenfassen.

Erst die Zahlen nehmen, die zusammen glatt werden.

BeispielPlusaufgaben geschickt: vertauschen und zusammenfassen

Welche Zahlen fasst du bei 6 + 11 + 14 zuerst zusammen? Begründe. Rechne danach.
61114
Schritt für Schritt
  1. Vertauschen: 6 + 14 + 11
  2. 6 + 14 = 20
  3. Zusammen glatt, der Rest ist leicht: 20 + 11 = 31
  1. Vertauschen: 6 + 14 + 11
  2. 6 + 14 = 20
  3. Zusammen glatt, der Rest ist leicht: 20 + 11 = 31
Ergebnis:
31

AchtungBeim Minus oder Geteilt vertauscht

So nicht
50 − 20 − 10: erst 20 − 10 = 10, dann 50 − 10 = 40
So richtig
50 − 20 − 10 = 30 − 10 = 20

Vertauschen ist nur beim Plus und beim Mal erlaubt. 20 − 5 ist nicht 5 − 20.

ÜbenJetzt du

  1. ○1
    Welche Zahlen fasst du bei 16 + 85 + 34 zuerst zusammen? Begründe. Rechne danach.
    168534
    So fängst du an:
    Vertauschen: 16 + 34 + 85
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 16 + 34 + 85
    2. 16 + 34 = 50
    3. Zusammen glatt, der Rest ist leicht: 50 + 85 = 135
    Ergebnis:
    135
  2. ●2
    Rechne geschickt: 44 + 73 + 16
    447316
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 44 + 16 + 73
    2. 44 + 16 = 60
    3. 60 + 73 = 133
    Ergebnis:
    133
  3. ★3
    Lina rechnet 124 + 628 + 68 + 76 + 32 von links nach rechts. Zeige einen schnelleren Weg mit einem Rechenvorteil.
    124628687632
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 124 + 76 + 68 + 32 + 628
    2. 124 + 76 = 200 und 68 + 32 = 100
    3. 200 + 100 + 628 = 928
    Ergebnis:
    928

2Ich verändere Summen gegensinnig und Differenzen gleichsinnig.

EntdeckenFrage

Warum rechnen Kassiererinnen 3,99 € mal 4 schneller als ein Kunde mit Papier?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Sie rechnen 4 mal 4 € und ziehen dann 4 Cent ab: 16,00 € − 0,04 € = 15,96 €. Das ist Zerlegen: 3,99 ist 4 minus 1 Cent. Der Rechenweg ist kurz, weil er über die glatte Zahl geht.

MerkenGegensinnig und gleichsinnig

Bei einer Summe gibt ein Summand ab, was der andere bekommt.

Bei einer Differenz ändern sich beide Zahlen gleich, der Abstand bleibt.

BeispielSummen gegensinnig verändern

Rechne geschickt durch gegensinniges Verändern: 37 + 67
3767
Schritt für Schritt
  1. 37 bekommt 3 dazu, 67 gibt 3 ab.
  2. 37 + 67 = 40 + 64
  3. 40 + 64 = 104
  1. 37 bekommt 3 dazu, 67 gibt 3 ab.
  2. 37 + 67 = 40 + 64
  3. 40 + 64 = 104
Ergebnis:
104

AchtungNur eine Zahl verändert

So nicht
143 − 97: 143 − 100 = 43
So richtig
143 − 97 = 146 − 100 = 46

Bei der Summe gegensinnig, bei der Differenz gleichsinnig: Immer beide Zahlen verändern.

ÜbenJetzt du

  1. ○4
    Rechne geschickt durch gegensinniges Verändern: 198 + 47
    19847
    So fängst du an:
    198 bekommt 2 dazu, 47 gibt 2 ab.
    Lösung zeigen
    1. 198 bekommt 2 dazu, 47 gibt 2 ab.
    2. 198 + 47 = 200 + 45
    3. 200 + 45 = 245
    Ergebnis:
    245
  2. ●5
    Rechne geschickt durch gegensinniges Verändern: 199 + 88
    19988
    Lösung zeigen
    1. 199 bekommt 1 dazu, 88 gibt 1 ab.
    2. 199 + 88 = 200 + 87
    3. 200 + 87 = 287
    Ergebnis:
    287
  3. ★6
    Ergänze so, dass die Summe gleich bleibt: 1997 + 368 = 2000 + ___
    1997368
    Lösung zeigen
    1. 1997 wird zu 2000: 3 mehr.
    2. Also muss 368 um 3 kleiner werden: 368 − 3 = 365
    3. 2000 + 365 = 2365
    Ergebnis:
    365

3Ich nehme halbschriftlich mal, indem ich einen Faktor zerlege.

EntdeckenFrage

Wie haben Bauern in Russland früher ohne Einmaleins multipliziert?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Sie haben eine Zahl immer halbiert und die andere verdoppelt, bis links eine 1 stand. Dann addierten sie die rechten Zahlen der Zeilen mit ungerader linker Zahl. Das Verfahren heißt russische Bauernmultiplikation und nutzt, dass Verdoppeln und Halbieren das Produkt nicht ändert.

Ausprobieren: Malnehmen am Rechteck

Länge und Höhe in Teile zerlegen – das Rechteck zerfällt in Teilrechtecke, und jedes ist eine leichte Malaufgabe.

MerkenMalnehmen mit Zerlegen

Einen Faktor zerlegen, jeden Teil malnehmen und die Teilergebnisse addieren.

So wird 7 · 48 zu 7 · 40 + 7 · 8.

BeispielHalbschriftlich malnehmen mit Zerlegen

Rechne halbschriftlich: Zerlege den zweiten Faktor. 9 · 25
Schritt für Schritt
  1. 25 = 20 + 5
  2. 9 · 20 = 180 und 9 · 5 = 45
  3. 180 + 45 = 225
  1. 25 = 20 + 5
  2. 9 · 20 = 180 und 9 · 5 = 45
  3. 180 + 45 = 225
Ergebnis:
225

AchtungBeim Zerlegen einen Teil vergessen

So nicht
7 · 48: 7 · 40 + 8 = 288
So richtig
7 · 48 = 7 · 40 + 7 · 8 = 280 + 56 = 336

Jeder Teil des zerlegten Faktors wird malgenommen, nicht nur der erste.

ÜbenJetzt du

  1. ○7
    Rechne geschickt über die glatte Zahl: 5 · 19
    So fängst du an:
    19 = 20 − 1
    Lösung zeigen
    1. 19 = 20 − 1
    2. 5 · 20 = 100 und 5 · 1 = 5
    3. 100 − 5 = 95
    Ergebnis:
    95
  2. ●8
    Es gibt 7 Hefte mit je 57 Hefte. Wie viele Hefte sind es? Rechne halbschriftlich.
    Lösung zeigen
    1. 7 · 57
    2. 57 = 50 + 7
    3. 7 · 50 = 350 und 7 · 7 = 49
    4. 350 + 49 = 399
    Ergebnis:
    399 Hefte
  3. ★9
    Rechne halbschriftlich mit Stellenwerten: 9 · 136
    Lösung zeigen
    1. 136 = 100 + 30 + 6
    2. 9 · 100 = 900; 9 · 30 = 270; 9 · 6 = 54
    3. 900 + 270 + 54 = 1224
    Ergebnis:
    1224

4Ich dividiere halbschriftlich, indem ich die Zahl geschickt zerlege.

EntdeckenFrage

Warum ist 25 mal 4 ein Lieblingspaar beim Kopfrechnen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

25 mal 4 ergibt genau 100. Kommen 25 und 4 in einer Malaufgabe vor, fasst man sie zuerst zusammen. Aus 25 · 37 · 4 wird dann 100 · 37 = 3700, ganz ohne schriftliches Rechnen.

MerkenTeilen mit Zerlegen

Die Zahl so zerlegen, dass jeder Teil glatt aufgeht. So wird 385 : 7 zu 350 : 7 + 35 : 7.

BeispielHalbschriftlich dividieren

Zerlege 246 so in zwei Zahlen, dass du beide leicht durch 6 dividieren kannst. Was ergibt 246 : 6?
246: 6
Schritt für Schritt
  1. 246 = 240 + 6
  2. 240 : 6 = 40 und 6 : 6 = 1
  3. 40 + 1 = 41
  1. 246 = 240 + 6
  2. 240 : 6 = 40 und 6 : 6 = 1
  3. 40 + 1 = 41
Ergebnis:
41

AchtungBeim Teilen nicht passend zerlegt

So nicht
385 : 7: 300 : 7 geht nicht glatt → aufgegeben
So richtig
385 : 7 = 350 : 7 + 35 : 7 = 50 + 5 = 55

Jeder Teil muss sich glatt teilen lassen. Erst ein großes Vielfaches abspalten.

ÜbenJetzt du

  1. ○10
    204 Murmeln werden gleichmäßig auf 3 Säckchen aufgeteilt. Wie viele bekommt jeder Teil? Rechne halbschriftlich.
    So fängst du an:
    204 : 3
    Lösung zeigen
    1. 204 : 3
    2. 204 = 180 + 24
    3. 180 : 3 = 60 und 24 : 3 = 8
    4. 60 + 8 = 68
    Ergebnis:
    68 Murmeln
  2. ●11
    Rechne halbschriftlich: 116 : 4
    Lösung zeigen
    1. 116 = 80 + 36
    2. 80 : 4 = 20 und 36 : 4 = 9
    3. 20 + 9 = 29
    Ergebnis:
    29
  3. ★12
    1127 Bücher werden gleichmäßig auf 7 Regalböden aufgeteilt. Wie viele bekommt jeder Teil? Rechne halbschriftlich.
    Lösung zeigen
    1. 1127 : 7
    2. 1127 = 1120 + 7
    3. 1120 : 7 = 160 und 7 : 7 = 1
    4. 160 + 1 = 161
    Ergebnis:
    161 Bücher

5Ich finde Aufgaben mit gleichem Ergebnis und vergleiche Rechenausdrücke.

EntdeckenFrage

Warum stimmt der Trick „mal 9 ist mal 10 minus einmal“ immer?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Neunmal eine Zahl ist zehnmal die Zahl minus einmal die Zahl. So wird 9 · 47 zu 470 − 47 = 423. Das ist das Verteilungsgesetz: 9 ist 10 minus 1.

MerkenAusdrücke mit gleichem Wert

Verschiedene Rechenausdrücke können denselben Wert haben.

Wer die Rechengesetze nutzt, sieht das oft ohne Ausrechnen.

BeispielAufgaben mit gleichem Ergebnis

Welche Zahl fehlt? Rechne nicht beide Seiten aus. 61 + 59 = 59 + ___
Schritt für Schritt
  1. 61 wird zu 59: 2 weniger.
  2. Damit die Summe gleich bleibt, wird 59 um 2 größer.
  3. 59 + 2 = 61
  1. 61 wird zu 59: 2 weniger.
  2. Damit die Summe gleich bleibt, wird 59 um 2 größer.
  3. 59 + 2 = 61
Ergebnis:
61

AchtungPunkt vor Strich missachtet

So nicht
9 + 5 · 7 = 14 · 7 = 98
So richtig
9 + 5 · 7 = 9 + 35 = 44

Klammer zuerst, dann Mal und Geteilt, dann Plus und Minus.

ÜbenJetzt du

  1. ○13
    Finde die fehlende Zahl mit einem Rechengesetz: 99 − 21 = ___ − 22
    So fängst du an:
    21 wird zu 22: 1 mehr.
    Lösung zeigen
    1. 21 wird zu 22: 1 mehr.
    2. Damit der Abstand bleibt, wird auch 99 um 1 größer.
    3. 99 + 1 = 100
    Ergebnis:
    100
  2. ●14
    Finde die fehlende Zahl mit einem Rechengesetz: 85 − 67 = ___ − 72
    Lösung zeigen
    1. 67 wird zu 72: 5 mehr.
    2. Damit der Abstand bleibt, wird auch 85 um 5 größer.
    3. 85 + 5 = 90
    Ergebnis:
    90
  3. ★15
    Welche Zahl fehlt? Rechne nicht beide Seiten aus. 41 − 17 = ___ − 18
    Lösung zeigen
    1. 17 wird zu 18: 1 mehr.
    2. Damit der Abstand bleibt, wird auch 41 um 1 größer.
    3. 41 + 1 = 42
    Ergebnis:
    42

6Ich rechne mit Verdoppeln und Halbieren und prüfe, ob das Ergebnis gleich bleibt.

EntdeckenFrage

Wie merkt man in Sekunden, dass 98 · 102 nicht 99.960 sein kann?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Man rechnet nicht, man überschlägt: 100 · 100 = 10.000. Das Ergebnis muss also in der Nähe von 10.000 liegen. 99.960 ist fast zehnmal so groß und kann nicht stimmen. Richtig ist 9996.

MerkenVerdoppeln und halbieren

Wird ein Faktor verdoppelt und der andere halbiert, bleibt das Produkt gleich.

Werden beide verdoppelt, wird es viermal so groß.

BeispielVerdoppeln und Halbieren

Rechne geschickt: Halbiere den einen Faktor und verdopple den anderen. 8 · 25
Schritt für Schritt
  1. 8 · 25 = 4 · 50
  2. 4 · 50 = 200
  1. 8 · 25 = 4 · 50
  2. 4 · 50 = 200
Ergebnis:
200

AchtungBeide Faktoren verdoppelt

So nicht
8 · 25 → 16 · 50 = 800
So richtig
8 · 25 → 4 · 50 = 200

Nur einer wird verdoppelt, der andere halbiert. Sonst ändert sich das Ergebnis.

ÜbenJetzt du

  1. ○16
    Warum ist 16 · 5 dasselbe wie 8 · 10? Rechne dann geschickt.
    So fängst du an:
    Halb so viele Reihen, jede doppelt so lang: gleich viele Kästchen.
    Lösung zeigen
    1. Halb so viele Reihen, jede doppelt so lang: gleich viele Kästchen.
    2. 16 · 5 = 8 · 10
    3. 8 · 10 = 80
    Ergebnis:
    80
  2. ●17
    Rechne geschickt: Halbiere den einen Faktor und verdopple den anderen. 18 · 5
    Lösung zeigen
    1. 18 · 5 = 9 · 10
    2. 9 · 10 = 90
    Ergebnis:
    90
  3. ★18
    Warum ist 18 · 45 dasselbe wie 9 · 90? Rechne dann geschickt.
    Lösung zeigen
    1. Halb so viele Reihen, jede doppelt so lang: gleich viele Kästchen.
    2. 18 · 45 = 9 · 90
    3. 9 · 90 = 810
    Ergebnis:
    810

7Ich wähle zu einer Aufgabe den passenden Rechenweg.

EntdeckenFrage

Wie rechnen Darts-Profis blitzschnell aus, wie viele Punkte ihnen von 501 noch fehlen, wenn sie 140 geworfen haben?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Der geschickte Weg nimmt erst eine runde Zahl. 500 − 140 = 360, und der eine Extrapunkt kommt dazu: 361. Das geht schneller als 501 − 140 Stelle für Stelle. Am Ergebnis ändert der Weg nichts.

MerkenDen passenden Weg wählen

Vor dem Rechnen die Zahlen ansehen.

Liegt eine Zahl nahe an einer glatten, lohnt sich ein Vorteil, sonst rechnet man schriftlich.

BeispielDen passenden Rechenweg wählen

Welchen Rechenvorteil nutzt du bei 5 · 56? Nenne ihn. Rechne danach.
5 · 56zerlegenhalbieren und verdoppelnschriftlich
Schritt für Schritt
  1. Den zweiten Faktor zerlegen: 56 = 50 + 6.
  2. 5 · 50 = 250 und 5 · 6 = 30
  3. Zusammen: 280
  1. Den zweiten Faktor zerlegen: 56 = 50 + 6.
  2. 5 · 50 = 250 und 5 · 6 = 30
  3. Zusammen: 280
Ergebnis:
zerlegen, 280

AchtungUmständlichen Weg gewählt

So nicht
299 + 158 schriftlich untereinander gerechnet, dabei verrechnet: 447
So richtig
299 + 158 = 300 + 157 = 457

Erst die Zahlen ansehen: Liegt eine nahe an einer glatten Zahl?

ÜbenJetzt du

  1. ○19
    Welchen Rechenvorteil nutzt du bei 18 · 5? Nenne ihn. Rechne danach.
    18 · 5zerlegenhalbieren und verdoppelnschriftlich
    So fängst du an:
    5 wird verdoppelt glatt: halbieren und verdoppeln.
    Lösung zeigen
    1. 5 wird verdoppelt glatt: halbieren und verdoppeln.
    2. 18 · 5 = 9 · 10
    3. 9 · 10 = 90
    Ergebnis:
    halbieren und verdoppeln, 90
  2. ●20
    Wie rechnest du am schnellsten: 8 · 76? Nenne ihn. Rechne danach.
    Lösung zeigen
    1. Den zweiten Faktor zerlegen: 76 = 70 + 6.
    2. 8 · 70 = 560 und 8 · 6 = 48
    3. Zusammen: 608
    Ergebnis:
    zerlegen, 608
  3. ★21
    Wie rechnest du am schnellsten: 16 · 5? Nenne ihn. Rechne danach.
    Lösung zeigen
    1. 5 wird verdoppelt glatt: halbieren und verdoppeln.
    2. 16 · 5 = 8 · 10
    3. 8 · 10 = 80
    Ergebnis:
    halbieren und verdoppeln, 80

8Ich finde Rechenfehler mit Überschlag und Umkehraufgabe.

EntdeckenFrage

Warum zählt man Rückgeld vom Preis aus nach oben, statt abzuziehen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Wer 13,40 € zahlen muss und 20 € gibt, bekommt 20 − 13,40 = 6,60 € zurück. Beim Hochzählen rechnet man die Umkehraufgabe: 13,40 + 6,60 = 20. Kommt man genau auf den gegebenen Betrag, stimmt das Rückgeld.

MerkenÜberschlag und Umkehraufgabe

Ein Überschlag mit runden Zahlen zeigt, ob ein Ergebnis stimmen kann.

Die Umkehraufgabe prüft es genau.

BeispielRechenfehler mit Überschlag und Umkehraufgabe finden

Can rechnet 687 − 528 und erhält 159. Prüfe mit der Umkehraufgabe.
Schritt für Schritt
  1. Umkehraufgabe: 159 + 528 = 687
  2. 687 ist genau 687: Es stimmt.
  3. 687 − 528 = 159
  1. Umkehraufgabe: 159 + 528 = 687
  2. 687 ist genau 687: Es stimmt.
  3. 687 − 528 = 159
Ergebnis:
stimmt, 159

AchtungErgebnis nicht geprüft

So nicht
425 : 5 = 805, ohne Probe ins Heft
So richtig
425 : 5 → Überschlag 400 : 5 = 80 → 85, Probe 85 · 5 = 425

Mit einem Überschlag prüfen, ob die Größenordnung stimmt, dann mit der Umkehraufgabe.

ÜbenJetzt du

  1. ○22
    Noah erhält für 69 · 46 das Ergebnis 4174. Prüfe mit einem Überschlag.
    So fängst du an:
    Überschlag: 70 · 50 = 3500
    Lösung zeigen
    1. Überschlag: 70 · 50 = 3500
    2. 4174 liegt zu weit weg. Genau: 69 · 46 = 3174
    3. Das Ergebnis ist falsch.
    Ergebnis:
    falsch, richtig ist 3174
  2. ●23
    Elias rechnet 320 : 5 und erhält 63. Prüfe mit der Umkehraufgabe.
    320 : 5Ergebnis 63?
    Lösung zeigen
    1. Umkehraufgabe: 63 · 5 = 315
    2. 315 ist nicht 320: Es ist falsch.
    3. 320 : 5 = 64
    Ergebnis:
    falsch, richtig ist 64
  3. ★24
    Ben rechnet 1176 : 6 und erhält 196. Prüfe mit der Umkehraufgabe.
    1176 : 6Ergebnis 196?
    Lösung zeigen
    1. Umkehraufgabe: 196 · 6 = 1176
    2. 1176 ist genau 1176: Es stimmt.
    3. 1176 : 6 = 196
    Ergebnis:
    stimmt, 196

Vermischte Übungen

Alles durcheinander – wie in der Arbeit. Überleg bei jeder Aufgabe zuerst: Welches Ziel ist das?

Üben

  1. ●25
    Rechne geschickt: 6 + 69 + 14
    66914
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 6 + 14 + 69
    2. 6 + 14 = 20
    3. 20 + 69 = 89
    Ergebnis:
    89
  2. ●26
    In einem Lager stehen 5 Regale mit je 2 Packungen. In jeder Packung sind 8 Bälle. Wie viele Bälle sind es? Rechne geschickt.
    5 Regale2 Packungen8 Bälle
    Lösung zeigen
    1. Bälle: 5 · 2 · 8
    2. 5 · 2 = 10
    3. 10 · 8 = 80
    Ergebnis:
    80 Bälle
  3. ●27
    Paul rechnet 199 + 68 als 200 + 68. Was muss Paul danach noch tun? Was kommt heraus?
    19968
    Lösung zeigen
    1. Paul hat 199 um 1 vergrößert.
    2. Die Summe ist dadurch um 1 zu groß: 200 + 68 = 268.
    3. 1 wieder abziehen: 268 − 1 = 267
    Ergebnis:
    267
  4. ●28
    Rechne geschickt durch gleichsinniges Verändern: 79 − 37
    Lösung zeigen
    1. Beide Zahlen um 3 vergrößern: Der Abstand bleibt gleich.
    2. 79 − 37 = 82 − 40
    3. 82 − 40 = 42
    Ergebnis:
    42
  5. ●29
    Es gibt 3 Hefte mit je 69 Hefte. Wie viele Hefte sind es? Rechne halbschriftlich.
    Lösung zeigen
    1. 3 · 69
    2. 69 = 60 + 9
    3. 3 · 60 = 180 und 3 · 9 = 27
    4. 180 + 27 = 207
    Ergebnis:
    207 Hefte
  6. ●30
    Ein Rechteck hat 3 Reihen mit je 16 Kästchen. Die rote Linie teilt es. Wie viele Kästchen sind es?
    1063
    Lösung zeigen
    1. Linker Teil: 3 · 10 = 30
    2. Rechter Teil: 3 · 6 = 18
    3. Zusammen: 30 + 18 = 48
    Ergebnis:
    48 Kästchen

Auf einen Blick

MerkenDas Wichtigste

Vertauschen und zusammenfassen
Beim Plus und beim Mal darf man die Zahlen vertauschen und anders zusammenfassen.
Gegensinnig und gleichsinnig
Bei einer Summe gibt ein Summand ab, was der andere bekommt.
Malnehmen mit Zerlegen
Einen Faktor zerlegen, jeden Teil malnehmen und die Teilergebnisse addieren.
Teilen mit Zerlegen
Die Zahl so zerlegen, dass jeder Teil glatt aufgeht. So wird 385 : 7 zu 350 : 7 + 35 : 7.
Ausdrücke mit gleichem Wert
Verschiedene Rechenausdrücke können denselben Wert haben.
Verdoppeln und halbieren
Wird ein Faktor verdoppelt und der andere halbiert, bleibt das Produkt gleich.
Den passenden Weg wählen
Vor dem Rechnen die Zahlen ansehen.
Überschlag und Umkehraufgabe
Ein Überschlag mit runden Zahlen zeigt, ob ein Ergebnis stimmen kann.

Kannst du das?

Je Ziel eine Aufgabe. Rechne sie ins Heft, dann kreuz ehrlich an. Keine Punkte, keine Note – der Test ist für dich.

ÜbenSelbsttest

  1. Ich rechne Plusaufgaben und Malaufgaben geschickt durch Vertauschen und Zusammenfassen.

    31
    Welche Zahlen fasst du bei 14 + 71 + 26 zuerst zusammen? Begründe. Rechne danach.
    147126
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    111

  2. Ich verändere Summen gegensinnig und Differenzen gleichsinnig.

    32
    Ergänze so, dass die Summe gleich bleibt: 197 + 36 = 200 + ___
    19736
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    33

  3. Ich nehme halbschriftlich mal, indem ich einen Faktor zerlege.

    33
    Rechne halbschriftlich: Zerlege den zweiten Faktor. 6 · 54
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    324

  4. Ich dividiere halbschriftlich, indem ich die Zahl geschickt zerlege.

    34
    Rechne halbschriftlich: 324 : 9
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    36

  5. Ich finde Aufgaben mit gleichem Ergebnis und vergleiche Rechenausdrücke.

    35
    Finde die fehlende Zahl mit einem Rechengesetz: 17 + 87 = 20 + ___
    17 + 87=20 + ?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    84

  6. Ich rechne mit Verdoppeln und Halbieren und prüfe, ob das Ergebnis gleich bleibt.

    36
    Rechne geschickt: Halbiere den einen Faktor und verdopple den anderen. 16 · 5
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    80

  7. Ich wähle zu einer Aufgabe den passenden Rechenweg.

    37
    Welchen Rechenvorteil nutzt du bei 385 + 497? Nenne ihn. Rechne danach.
    385 + 497zerlegenhalbieren und verdoppelnschriftlich
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    gegensinnig verändern, 882

  8. Ich finde Rechenfehler mit Überschlag und Umkehraufgabe.

    38
    Ben rechnet 744 − 424 und erhält 340. Prüfe mit der Umkehraufgabe.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    falsch, richtig ist 320

Bei „unsicher“ oder „noch nicht“: Lies den Abschnitt zum Ziel noch einmal und rechne seine drei Aufgaben.

Die Frage vom Anfang

EntdeckenRückschau

Rechne im Kopf, so schnell du kannst: 25 · 17 · 4. Schreib nichts auf und nimm keinen Taschenrechner.

Lies deine Vermutung vom Anfang. Kannst du die Frage jetzt mit dem Kapitel beantworten?

Auflösung

Mit dem Werkzeug aus diesem Kapitel: Vertauschen und Zusammenfassen: erst die Zahlen, die zusammen glatt werden.

Wo brauchst du das?

Entdecken

Preise im Kopf addieren, Rückgeld überschlagen, Mengen für ein Fest ausrechnen. Beruf: Kasse und Verkauf, Handwerk beim Materialberechnen, Lager und Versand.

Wörter

Differenz
was übrig bleibt, wenn man abzieht
Gleichung
zwei Rechnungen, die gleich viel wert sind
Produkt
was herauskommt, wenn man malnimmt
Summe
was herauskommt, wenn man zusammenzählt
Teiler
eine Zahl, durch die es ohne Rest aufgeht

Wie es zusammenhängt

Das brauchst du vorher: Rechenregeln, Teiler und Vielfache, Natürliche Zahlen und Stellenwert

Darauf baut auf: Sachaufgaben lösen

Lösungen

  1. 135
  2. 133
  3. 928
  4. 245
  5. 287
  6. 365
  7. 95
  8. 399 Hefte
  9. 1224
  10. 68 Murmeln
  11. 29
  12. 161 Bücher
  13. 100
  14. 90
  15. 42
  16. 80
  17. 90
  18. 810
  19. halbieren und verdoppeln, 90
  20. zerlegen, 608
  21. halbieren und verdoppeln, 80
  22. falsch, richtig ist 3174
  23. falsch, richtig ist 64
  24. stimmt, 196
  25. 89
  26. 80 Bälle
  27. 267
  28. 42
  29. 207 Hefte
  30. 48 Kästchen
  31. 111
  32. 33
  33. 324
  34. 36
  35. 84
  36. 80
  37. gegensinnig verändern, 882
  38. falsch, richtig ist 320
  39. 19
  40. 90
  41. 51
  42. 56