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Mathematik · Klasse 5 · Kapitel

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Rechengesetze und Rechenvorteile

EntdeckenDie Frage zum Kapitel

Rechne im Kopf, so schnell du kannst: 25 · 17 · 4. Schreib nichts auf und nimm keinen Taschenrechner.

Schreib eine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Für die Lehrkraft: Die meisten rechnen von links: 25 · 17 und kommen durcheinander. Andere geben auf oder raten. Nur wenige sehen, dass 25 und 4 zusammen 100 ergeben. Beim Malnehmen darf man die Zahlen vertauschen. Dann steht 25 · 4 · 17 da, also 100 · 17. Das Ergebnis ist 1700, in einer Sekunde.

  • Entdecken Frage, Vorstellung, Bild
  • Merken kommt ins Heft
  • Beispiel vorgerechnet, Schritt für Schritt
  • Üben selbst rechnen
  • Achtung typischer Fehler
  • Weiterdenken zum Knobeln und Vernetzen

○ mit Starthilfe, ● für alle, ★ zum Weiterdenken. Du wählst mindestens eine ★-Aufgabe. Du rechnest ins Heft.

Fit für das Kapitel?

Das brauchst du aus früheren Themen. Klappt es nicht, frag nach, bevor es losgeht.

ÜbenWeißt du das noch?

Punkt vor Strich und Klammer zuerst – so steht es seit Klasse 4 im Heft.

  1. ●39
    Rechne: 6 + 2 · 2
    Lösung zeigen
    1. Punkt vor Strich: erst 2 · 2 = 4
    2. 6 + 4 = 10
    Ergebnis:
    10
  2. ●40
    Rechne: (4 + 4) · 2
    Lösung zeigen
    1. Die Klammer zuerst: 4 + 4 = 8
    2. 8 · 2 = 16
    Ergebnis:
    16

ÜbenWeißt du das noch?

Punkt vor Strich und Klammer zuerst – die Reihenfolge entscheidet über das Ergebnis.

  1. ●41
    Berechne: 4 + 2 · 7
    Lösung zeigen
    1. Punkt vor Strich: erst 2 · 7 = 14
    2. 4 + 14 = 18
    Ergebnis:
    18
  2. ●42
    Ich denke mir eine Zahl, addiere 11 und erhalte 30. Welche Zahl war es? (Umkehraufgabe)
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    19

So kannst du es dir vorstellen

EntdeckenZahlen umbauen, ohne den Wert zu ändern

Eine Rechnung lässt sich umbauen, ohne dass sich ihr Wert ändert. Zahlen tauschen die Plätze, bilden neue Gruppen oder werden zerlegt. Wer das sieht, rechnet mit glatten Zahlen statt mit krummen.

17 plus 38 plus 3: Erst 17 und 3 zu 20 zusammenfassen, dann 20 plus 38 sind 5817 + 38 + 317 + 3 = 20= 20 + 38 = 58

WeiterdenkenDenk nach

Warum darf man bei 25 + 38 + 75 zuerst 25 und 75 addieren, bei 50 − 20 − 10 aber nicht zuerst 20 − 10?

1Ich rechne Plusaufgaben und Malaufgaben geschickt durch Vertauschen und Zusammenfassen.

EntdeckenFrage

Wie konnte der neunjährige Carl Friedrich Gauß die Zahlen von 1 bis 100 in wenigen Minuten addieren?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Er hat die Zahlen in Paare umsortiert: 1 und 100, 2 und 99, 3 und 98. Jedes Paar ergibt 101, und es sind 50 Paare. Also 50 · 101 = 5050. Er hat nur vertauscht und neu zusammengefasst.

MerkenVertauschen und zusammenfassen

Beim Plus und beim Mal darf man die Zahlen vertauschen und anders zusammenfassen.

Erst die Zahlen nehmen, die zusammen glatt werden.

BeispielPlusaufgaben geschickt: vertauschen und zusammenfassen

Rechne geschickt: 35 + 38 + 5
35385
Schritt für Schritt
  1. Vertauschen: 35 + 5 + 38
  2. 35 + 5 = 40
  3. 40 + 38 = 78
  1. Vertauschen: 35 + 5 + 38
  2. 35 + 5 = 40
  3. 40 + 38 = 78
Ergebnis:
78

AchtungBeim Minus oder Geteilt vertauscht

So nicht
50 − 20 − 10: erst 20 − 10 = 10, dann 50 − 10 = 40
So richtig
50 − 20 − 10 = 30 − 10 = 20

Vertauschen ist nur beim Plus und beim Mal erlaubt. 20 − 5 ist nicht 5 − 20.

ÜbenJetzt du

  1. ○1
    Welche Zahlen fasst du bei 33 + 73 + 17 zuerst zusammen? Begründe und rechne.
    337317
    So fängst du an:
    Vertauschen: 33 + 17 + 73
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 33 + 17 + 73
    2. 33 + 17 = 50
    3. Zusammen glatt, der Rest ist leicht: 50 + 73 = 123
    Ergebnis:
    123
  2. ●2
    Zeynep rechnet 8 + 38 + 22 von links nach rechts. Zeige einen schnelleren Weg mit einem Rechenvorteil.
    83822
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 8 + 22 + 38
    2. 8 + 22 = 30
    3. 30 + 38 = 68
    Ergebnis:
    68
  3. ★3
    Rechne geschickt: 24 + 267 + 76
    2426776
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 24 + 76 + 267
    2. 24 + 76 = 100
    3. 100 + 267 = 367
    Ergebnis:
    367

2Ich verändere Summen gegensinnig und Differenzen gleichsinnig.

EntdeckenFrage

Warum rechnen Kassiererinnen 3,99 € mal 4 schneller als ein Kunde mit Papier?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Sie rechnen 4 mal 4 € und ziehen dann 4 Cent ab: 16,00 € − 0,04 € = 15,96 €. Das ist Zerlegen: 3,99 ist 4 minus 1 Cent. Der Rechenweg ist kurz, weil er über die glatte Zahl geht.

MerkenGegensinnig und gleichsinnig

Bei einer Summe gibt ein Summand ab, was der andere bekommt.

Bei einer Differenz ändern sich beide Zahlen gleich, der Abstand bleibt.

BeispielSummen gegensinnig verändern

Rechne geschickt durch gegensinniges Verändern: 199 + 83
19983
Schritt für Schritt
  1. 199 bekommt 1 dazu, 83 gibt 1 ab.
  2. 199 + 83 = 200 + 82
  3. 200 + 82 = 282
  1. 199 bekommt 1 dazu, 83 gibt 1 ab.
  2. 199 + 83 = 200 + 82
  3. 200 + 82 = 282
Ergebnis:
282

AchtungNur eine Zahl verändert

So nicht
143 − 97: 143 − 100 = 43
So richtig
143 − 97 = 146 − 100 = 46

Bei der Summe gegensinnig, bei der Differenz gleichsinnig: Immer beide Zahlen verändern.

ÜbenJetzt du

  1. ○4
    Paul rechnet 48 + 73 als 50 + 73. Was muss Paul danach noch tun? Was kommt heraus?
    4873
    So fängst du an:
    Paul hat 48 um 2 vergrößert.
    Lösung zeigen
    1. Paul hat 48 um 2 vergrößert.
    2. Die Summe ist dadurch um 2 zu groß: 50 + 73 = 123.
    3. 2 wieder abziehen: 123 − 2 = 121
    Ergebnis:
    121
  2. ●5
    Noah rechnet 299 + 79 als 300 + 79. Was muss Noah danach noch tun? Was kommt heraus?
    29979
    Lösung zeigen
    1. Noah hat 299 um 1 vergrößert.
    2. Die Summe ist dadurch um 1 zu groß: 300 + 79 = 379.
    3. 1 wieder abziehen: 379 − 1 = 378
    Ergebnis:
    378
  3. ★6
    Ergänze so, dass die Summe gleich bleibt: 398 + 689 = 400 + ___
    398689
    Lösung zeigen
    1. 398 wird zu 400: 2 mehr.
    2. Also muss 689 um 2 kleiner werden: 689 − 2 = 687
    3. 400 + 687 = 1087
    Ergebnis:
    687

3Ich nehme halbschriftlich mal, indem ich einen Faktor zerlege.

EntdeckenFrage

Wie haben Bauern in Russland früher ohne Einmaleins multipliziert?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Sie haben eine Zahl immer halbiert und die andere verdoppelt, bis links eine 1 stand. Dann addierten sie die rechten Zahlen der Zeilen mit ungerader linker Zahl. Das Verfahren heißt russische Bauernmultiplikation und nutzt, dass Verdoppeln und Halbieren das Produkt nicht ändert.

MerkenMalnehmen mit Zerlegen

Einen Faktor zerlegen, jeden Teil malnehmen und die Teilergebnisse addieren.

So wird 7 · 48 zu 7 · 40 + 7 · 8.

BeispielHalbschriftlich malnehmen mit Zerlegen

Es gibt 9 Tüten mit je 18 Bonbons. Wie viele Bonbons sind es? Rechne halbschriftlich.
Schritt für Schritt
  1. 9 · 18
  2. 18 = 10 + 8
  3. 9 · 10 = 90 und 9 · 8 = 72
  4. 90 + 72 = 162
  1. 9 · 18
  2. 18 = 10 + 8
  3. 9 · 10 = 90 und 9 · 8 = 72
  4. 90 + 72 = 162
Ergebnis:
162 Bonbons

AchtungBeim Zerlegen einen Teil vergessen

So nicht
7 · 48: 7 · 40 + 8 = 288
So richtig
7 · 48 = 7 · 40 + 7 · 8 = 280 + 56 = 336

Jeder Teil des zerlegten Faktors wird malgenommen, nicht nur der erste.

ÜbenJetzt du

  1. ○7
    Rechne halbschriftlich: Zerlege den zweiten Faktor. 3 · 57
    So fängst du an:
    57 = 50 + 7
    Lösung zeigen
    1. 57 = 50 + 7
    2. 3 · 50 = 150 und 3 · 7 = 21
    3. 150 + 21 = 171
    Ergebnis:
    171
  2. ●8
    Rechne halbschriftlich: Zerlege den zweiten Faktor. 3 · 37
    Lösung zeigen
    1. 37 = 30 + 7
    2. 3 · 30 = 90 und 3 · 7 = 21
    3. 90 + 21 = 111
    Ergebnis:
    111
  3. ★9
    Es gibt 8 Hefte mit je 39 Hefte. Wie viele Hefte sind es? Rechne halbschriftlich.
    Lösung zeigen
    1. 8 · 39
    2. 39 = 30 + 9
    3. 8 · 30 = 240 und 8 · 9 = 72
    4. 240 + 72 = 312
    Ergebnis:
    312 Hefte

4Ich dividiere halbschriftlich, indem ich die Zahl geschickt zerlege.

EntdeckenFrage

Warum ist 25 mal 4 ein Lieblingspaar beim Kopfrechnen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

25 mal 4 ergibt genau 100. Kommen 25 und 4 in einer Malaufgabe vor, fasst man sie zuerst zusammen. Aus 25 · 37 · 4 wird dann 100 · 37 = 3700, ganz ohne schriftliches Rechnen.

MerkenTeilen mit Zerlegen

Die Zahl so zerlegen, dass jeder Teil glatt aufgeht. So wird 385 : 7 zu 350 : 7 + 35 : 7.

BeispielHalbschriftlich dividieren

Rechne halbschriftlich: 80 : 5
Schritt für Schritt
  1. 80 = 50 + 30
  2. 50 : 5 = 10 und 30 : 5 = 6
  3. 10 + 6 = 16
  1. 80 = 50 + 30
  2. 50 : 5 = 10 und 30 : 5 = 6
  3. 10 + 6 = 16
Ergebnis:
16

AchtungBeim Teilen nicht passend zerlegt

So nicht
385 : 7: 300 : 7 geht nicht glatt → aufgegeben
So richtig
385 : 7 = 350 : 7 + 35 : 7 = 50 + 5 = 55

Jeder Teil muss sich glatt teilen lassen. Erst ein großes Vielfaches abspalten.

ÜbenJetzt du

  1. ○10
    98 Murmeln werden gleichmäßig auf 7 Säckchen aufgeteilt. Wie viele bekommt jeder Teil? Rechne halbschriftlich.
    So fängst du an:
    98 : 7
    Lösung zeigen
    1. 98 : 7
    2. 98 = 70 + 28
    3. 70 : 7 = 10 und 28 : 7 = 4
    4. 10 + 4 = 14
    Ergebnis:
    14 Murmeln
  2. ●11
    Zerlege 306 so in zwei Zahlen, dass du beide leicht durch 9 dividieren kannst. Was ergibt 306 : 9?
    306: 9
    Lösung zeigen
    1. 306 = 270 + 36
    2. 270 : 9 = 30 und 36 : 9 = 4
    3. 30 + 4 = 34
    Ergebnis:
    34
  3. ★12
    Zerlege 873 so in zwei Zahlen, dass du beide leicht durch 9 dividieren kannst. Was ergibt 873 : 9?
    873: 9
    Lösung zeigen
    1. 873 = 810 + 63
    2. 810 : 9 = 90 und 63 : 9 = 7
    3. 90 + 7 = 97
    Ergebnis:
    97

5Ich finde Aufgaben mit gleichem Ergebnis und vergleiche Rechenausdrücke.

EntdeckenFrage

Warum stimmt der Trick „mal 9 ist mal 10 minus einmal“ immer?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Neunmal eine Zahl ist zehnmal die Zahl minus einmal die Zahl. So wird 9 · 47 zu 470 − 47 = 423. Das ist das Verteilungsgesetz: 9 ist 10 minus 1.

MerkenAusdrücke mit gleichem Wert

Verschiedene Rechenausdrücke können denselben Wert haben.

Wer die Rechengesetze nutzt, sieht das oft ohne Ausrechnen.

BeispielAufgaben mit gleichem Ergebnis

Finde die fehlende Zahl mit einem Rechengesetz: 73 + 68 = 70 + ___
73 + 68=70 + ?
Schritt für Schritt
  1. 73 wird zu 70: 3 weniger.
  2. Damit die Summe gleich bleibt, wird 68 um 3 größer.
  3. 68 + 3 = 71
  1. 73 wird zu 70: 3 weniger.
  2. Damit die Summe gleich bleibt, wird 68 um 3 größer.
  3. 68 + 3 = 71
Ergebnis:
71

AchtungPunkt vor Strich missachtet

So nicht
9 + 5 · 7 = 14 · 7 = 98
So richtig
9 + 5 · 7 = 9 + 35 = 44

Klammer zuerst, dann Mal und Geteilt, dann Plus und Minus.

ÜbenJetzt du

  1. ○13
    Ergänze die Lücke: 62 − 30 = ___ − 35
    So fängst du an:
    30 wird zu 35: 5 mehr.
    Lösung zeigen
    1. 30 wird zu 35: 5 mehr.
    2. Damit der Abstand bleibt, wird auch 62 um 5 größer.
    3. 62 + 5 = 67
    Ergebnis:
    67
  2. ●14
    Ergänze die Lücke: 8 · 13 = 4 · ___
    8 · 13=4 · ?
    Lösung zeigen
    1. 8 wird halb so groß: 4.
    2. Damit das Ergebnis gleich bleibt, wird 13 doppelt so groß.
    3. 13 · 2 = 26
    Ergebnis:
    26
  3. ★15
    Ergänze die Lücke: 14 · 15 = 7 · ___
    14 · 15=7 · ?
    Lösung zeigen
    1. 14 wird halb so groß: 7.
    2. Damit das Ergebnis gleich bleibt, wird 15 doppelt so groß.
    3. 15 · 2 = 30
    Ergebnis:
    30

6Ich rechne mit Verdoppeln und Halbieren und prüfe, ob das Ergebnis gleich bleibt.

EntdeckenFrage

Wie merkt man in Sekunden, dass 98 · 102 nicht 99.960 sein kann?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Man rechnet nicht, man überschlägt: 100 · 100 = 10.000. Das Ergebnis muss also in der Nähe von 10.000 liegen. 99.960 ist fast zehnmal so groß und kann nicht stimmen. Richtig ist 9996.

MerkenVerdoppeln und halbieren

Wird ein Faktor verdoppelt und der andere halbiert, bleibt das Produkt gleich.

Werden beide verdoppelt, wird es viermal so groß.

BeispielVerdoppeln und Halbieren

Rechne geschickt: Halbiere den einen Faktor und verdopple den anderen. 16 · 5
Schritt für Schritt
  1. 16 · 5 = 8 · 10
  2. 8 · 10 = 80
  1. 16 · 5 = 8 · 10
  2. 8 · 10 = 80
Ergebnis:
80

AchtungBeide Faktoren verdoppelt

So nicht
8 · 25 → 16 · 50 = 800
So richtig
8 · 25 → 4 · 50 = 200

Nur einer wird verdoppelt, der andere halbiert. Sonst ändert sich das Ergebnis.

ÜbenJetzt du

  1. ○16
    Tom verdoppelt bei 14 · 5 beide Faktoren und rechnet 28 · 10. Bleibt das Ergebnis gleich?
    So fängst du an:
    Einmal verdoppeln macht das Ergebnis doppelt so groß, zweimal viermal so groß.
    Lösung zeigen
    1. Einmal verdoppeln macht das Ergebnis doppelt so groß, zweimal viermal so groß.
    2. 28 · 10 = 280, aber 14 · 5 = 70
    3. Richtig ist: einen verdoppeln, den anderen halbieren.
    Ergebnis:
    Nein, viermal so groß; richtig ist 70
  2. ●17
    Warum ist 14 · 15 dasselbe wie 7 · 30? Rechne dann geschickt.
    Lösung zeigen
    1. Halb so viele Reihen, jede doppelt so lang: gleich viele Kästchen.
    2. 14 · 15 = 7 · 30
    3. 7 · 30 = 210
    Ergebnis:
    210
  3. ★18
    Hanna verdoppelt bei 22 · 15 beide Faktoren und rechnet 44 · 30. Bleibt das Ergebnis gleich?
    Lösung zeigen
    1. Einmal verdoppeln macht das Ergebnis doppelt so groß, zweimal viermal so groß.
    2. 44 · 30 = 1320, aber 22 · 15 = 330
    3. Richtig ist: einen verdoppeln, den anderen halbieren.
    Ergebnis:
    Nein, viermal so groß; richtig ist 330

7Ich wähle zu einer Aufgabe den passenden Rechenweg.

EntdeckenFrage

Wie rechnen Darts-Profis blitzschnell aus, wie viele Punkte ihnen von 501 noch fehlen, wenn sie 140 geworfen haben?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Der geschickte Weg nimmt erst eine runde Zahl. 500 − 140 = 360, und der eine Extrapunkt kommt dazu: 361. Das geht schneller als 501 − 140 Stelle für Stelle. Am Ergebnis ändert der Weg nichts.

MerkenDen passenden Weg wählen

Vor dem Rechnen die Zahlen ansehen.

Liegt eine Zahl nahe an einer glatten, lohnt sich ein Vorteil, sonst rechnet man schriftlich.

BeispielDen passenden Rechenweg wählen

Wie rechnest du am schnellsten: 16 · 5? Nenne ihn und rechne.
Schritt für Schritt
  1. 5 wird verdoppelt glatt: halbieren und verdoppeln.
  2. 16 · 5 = 8 · 10
  3. 8 · 10 = 80
  1. 5 wird verdoppelt glatt: halbieren und verdoppeln.
  2. 16 · 5 = 8 · 10
  3. 8 · 10 = 80
Ergebnis:
halbieren und verdoppeln, 80

AchtungUmständlichen Weg gewählt

So nicht
299 + 158 schriftlich untereinander gerechnet, dabei verrechnet: 447
So richtig
299 + 158 = 300 + 157 = 457

Erst die Zahlen ansehen: Liegt eine nahe an einer glatten Zahl?

ÜbenJetzt du

  1. ○19
    Wie rechnest du am schnellsten: 36 + 28 + 64? Nenne ihn und rechne.
    So fängst du an:
    Zwei Zahlen ergeben zusammen 100: vertauschen und zusammenfassen.
    Lösung zeigen
    1. Zwei Zahlen ergeben zusammen 100: vertauschen und zusammenfassen.
    2. 36 + 64 = 100
    3. 100 + 28 = 128
    Ergebnis:
    vertauschen, 128
  2. ●20
    Welcher Weg passt zu 9 · 21? Nenne ihn und rechne.
    9 · 21zerlegenhalbieren und verdoppelnschriftlich
    Lösung zeigen
    1. Den zweiten Faktor zerlegen: 21 = 20 + 1.
    2. 9 · 20 = 180 und 9 · 1 = 9
    3. Zusammen: 189
    Ergebnis:
    zerlegen, 189
  3. ★21
    Welcher Weg passt zu 6826 − 3897? Nenne ihn und rechne.
    6826 − 3897zerlegenhalbieren und verdoppelnschriftlich
    Lösung zeigen
    1. Keine Zahl liegt nahe an einer glatten Zahl: schriftlich rechnen.
    2. 6826 − 3897 = 2929
    Ergebnis:
    schriftlich, 2929

8Ich finde Rechenfehler mit Überschlag und Umkehraufgabe.

EntdeckenFrage

Warum zählt man Rückgeld vom Preis aus nach oben, statt abzuziehen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Wer 13,40 € zahlen muss und 20 € gibt, bekommt 20 − 13,40 = 6,60 € zurück. Beim Hochzählen rechnet man die Umkehraufgabe: 13,40 + 6,60 = 20. Kommt man genau auf den gegebenen Betrag, stimmt das Rückgeld.

MerkenÜberschlag und Umkehraufgabe

Ein Überschlag mit runden Zahlen zeigt, ob ein Ergebnis stimmen kann.

Die Umkehraufgabe prüft es genau.

BeispielRechenfehler mit Überschlag und Umkehraufgabe finden

Jonas erhält für 64 · 31 das Ergebnis 2984. Prüfe mit einem Überschlag.
Schritt für Schritt
  1. Überschlag: 60 · 30 = 1800
  2. 2984 liegt zu weit weg. Genau: 64 · 31 = 1984
  3. Das Ergebnis ist falsch.
  1. Überschlag: 60 · 30 = 1800
  2. 2984 liegt zu weit weg. Genau: 64 · 31 = 1984
  3. Das Ergebnis ist falsch.
Ergebnis:
falsch, richtig ist 1984

AchtungErgebnis nicht geprüft

So nicht
425 : 5 = 805, ohne Probe ins Heft
So richtig
425 : 5 → Überschlag 400 : 5 = 80 → 85, Probe 85 · 5 = 425

Mit einem Überschlag prüfen, ob die Größenordnung stimmt, dann mit der Umkehraufgabe.

ÜbenJetzt du

  1. ○22
    Zeynep erhält für 44 · 34 das Ergebnis 2496. Prüfe mit einem Überschlag.
    So fängst du an:
    Überschlag: 40 · 30 = 1200
    Lösung zeigen
    1. Überschlag: 40 · 30 = 1200
    2. 2496 liegt zu weit weg. Genau: 44 · 34 = 1496
    3. Das Ergebnis ist falsch.
    Ergebnis:
    falsch, richtig ist 1496
  2. ●23
    Lea rechnet 778 − 300 und erhält 498. Prüfe mit der Umkehraufgabe.
    Lösung zeigen
    1. Umkehraufgabe: 498 + 300 = 798
    2. 798 ist nicht 778: Es ist falsch.
    3. 778 − 300 = 478
    Ergebnis:
    falsch, richtig ist 478
  3. ★24
    Noah rechnet 4568 : 8 und erhält 571. Prüfe mit der Umkehraufgabe.
    4568 : 8Ergebnis 571?
    Lösung zeigen
    1. Umkehraufgabe: 571 · 8 = 4568
    2. 4568 ist genau 4568: Es stimmt.
    3. 4568 : 8 = 571
    Ergebnis:
    stimmt, 571

Vermischte Übungen

Alles durcheinander – wie in der Arbeit. Überleg bei jeder Aufgabe zuerst: Welches Ziel ist das?

Üben

  1. ●25
    Welche Zahlen fasst du bei 13 + 66 + 17 zuerst zusammen? Begründe und rechne.
    136617
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 13 + 17 + 66
    2. 13 + 17 = 30
    3. Zusammen glatt, der Rest ist leicht: 30 + 66 = 96
    Ergebnis:
    96
  2. ●26
    Welche zwei Zahlen ergeben bei 7 · 2 · 50 zusammen eine glatte Zahl? Rechne damit.
    7250
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 50 · 2 · 7
    2. 50 · 2 = 100
    3. 100 · 7 = 700
    Ergebnis:
    700
  3. ●27
    Rechne geschickt durch gegensinniges Verändern: 99 + 26
    9926
    Lösung zeigen
    1. 99 bekommt 1 dazu, 26 gibt 1 ab.
    2. 99 + 26 = 100 + 25
    3. 100 + 25 = 125
    Ergebnis:
    125
  4. ●28
    Rechne geschickt durch gleichsinniges Verändern: 184 − 29
    Lösung zeigen
    1. Beide Zahlen um 1 vergrößern: Der Abstand bleibt gleich.
    2. 184 − 29 = 185 − 30
    3. 185 − 30 = 155
    Ergebnis:
    155
  5. ●29
    Rechne geschickt über die glatte Zahl: 8 · 49
    Lösung zeigen
    1. 49 = 50 − 1
    2. 8 · 50 = 400 und 8 · 1 = 8
    3. 400 − 8 = 392
    Ergebnis:
    392
  6. ●30
    Welche zwei Malaufgaben zeigen die beiden Teile des Rechtecks? Was ergibt 7 · 27?
    2077
    Lösung zeigen
    1. Links: 7 · 20 = 140
    2. Rechts: 7 · 7 = 49
    3. 7 · 27 = 140 + 49 = 189
    Ergebnis:
    7 · 20 und 7 · 7, zusammen 189

Auf einen Blick

MerkenDas Wichtigste

Vertauschen und zusammenfassen
Beim Plus und beim Mal darf man die Zahlen vertauschen und anders zusammenfassen.
Gegensinnig und gleichsinnig
Bei einer Summe gibt ein Summand ab, was der andere bekommt.
Malnehmen mit Zerlegen
Einen Faktor zerlegen, jeden Teil malnehmen und die Teilergebnisse addieren.
Teilen mit Zerlegen
Die Zahl so zerlegen, dass jeder Teil glatt aufgeht. So wird 385 : 7 zu 350 : 7 + 35 : 7.
Ausdrücke mit gleichem Wert
Verschiedene Rechenausdrücke können denselben Wert haben.
Verdoppeln und halbieren
Wird ein Faktor verdoppelt und der andere halbiert, bleibt das Produkt gleich.
Den passenden Weg wählen
Vor dem Rechnen die Zahlen ansehen.
Überschlag und Umkehraufgabe
Ein Überschlag mit runden Zahlen zeigt, ob ein Ergebnis stimmen kann.

Kannst du das?

Je Ziel eine Aufgabe. Rechne sie ins Heft, dann kreuz ehrlich an. Keine Punkte, keine Note – der Test ist für dich.

ÜbenSelbsttest

  1. Ich rechne Plusaufgaben und Malaufgaben geschickt durch Vertauschen und Zusammenfassen.

    31
    Rechne geschickt: 42 + 43 + 18
    424318
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    103

  2. Ich verändere Summen gegensinnig und Differenzen gleichsinnig.

    32
    Ben rechnet 97 + 48 als 100 + 48. Was muss Ben danach noch tun? Was kommt heraus?
    9748
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    145

  3. Ich nehme halbschriftlich mal, indem ich einen Faktor zerlege.

    33
    Rechne geschickt über die glatte Zahl: 7 · 59
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    413

  4. Ich dividiere halbschriftlich, indem ich die Zahl geschickt zerlege.

    34
    Rechne halbschriftlich: 432 : 8
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    54

  5. Ich finde Aufgaben mit gleichem Ergebnis und vergleiche Rechenausdrücke.

    35
    Finde die fehlende Zahl mit einem Rechengesetz: 79 + 34 = 89 + ___
    79 + 34=89 + ?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    24

  6. Ich rechne mit Verdoppeln und Halbieren und prüfe, ob das Ergebnis gleich bleibt.

    36
    Tom verdoppelt bei 14 · 5 beide Faktoren und rechnet 28 · 10. Bleibt das Ergebnis gleich?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    Nein, viermal so groß; richtig ist 70

  7. Ich wähle zu einer Aufgabe den passenden Rechenweg.

    37
    Welcher Weg passt zu 18 + 75 + 82? Nenne ihn und rechne.
    18 + 75 + 82zerlegenhalbieren und verdoppelnschriftlich
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    vertauschen, 175

  8. Ich finde Rechenfehler mit Überschlag und Umkehraufgabe.

    38
    Elias rechnet 198 : 6 und erhält 33. Prüfe mit der Umkehraufgabe.
    198 : 6Ergebnis 33?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    stimmt, 33

Bei „unsicher“ oder „noch nicht“: Lies den Abschnitt zum Ziel noch einmal und rechne seine drei Aufgaben.

Die Frage vom Anfang

EntdeckenRückschau

Rechne im Kopf, so schnell du kannst: 25 · 17 · 4. Schreib nichts auf und nimm keinen Taschenrechner.

Lies deine Vermutung vom Anfang. Kannst du die Frage jetzt mit dem Kapitel beantworten?

Auflösung

Mit dem Werkzeug aus diesem Kapitel: Vertauschen und Zusammenfassen: erst die Zahlen, die zusammen glatt werden.

Wo brauchst du das?

Entdecken

Preise im Kopf addieren, Rückgeld überschlagen, Mengen für ein Fest ausrechnen. Beruf: Kasse und Verkauf, Handwerk beim Materialberechnen, Lager und Versand.

Wörter

Differenz
was übrig bleibt, wenn man abzieht
Gleichung
zwei Rechnungen, die gleich viel wert sind
Produkt
was herauskommt, wenn man malnimmt
Summe
was herauskommt, wenn man zusammenzählt
Teiler
eine Zahl, durch die es ohne Rest aufgeht

Wie es zusammenhängt

Das brauchst du vorher: Rechenregeln, Teiler und Vielfache, Natürliche Zahlen und Stellenwert

Darauf baut auf: Sachaufgaben lösen

Lösungen

  1. 123
  2. 68
  3. 367
  4. 121
  5. 378
  6. 687
  7. 171
  8. 111
  9. 312 Hefte
  10. 14 Murmeln
  11. 34
  12. 97
  13. 67
  14. 26
  15. 30
  16. Nein, viermal so groß; richtig ist 70
  17. 210
  18. Nein, viermal so groß; richtig ist 330
  19. vertauschen, 128
  20. zerlegen, 189
  21. schriftlich, 2929
  22. falsch, richtig ist 1496
  23. falsch, richtig ist 478
  24. stimmt, 571
  25. 96
  26. 700
  27. 125
  28. 155
  29. 392
  30. 7 · 20 und 7 · 7, zusammen 189
  31. 103
  32. 145
  33. 413
  34. 54
  35. 24
  36. Nein, viermal so groß; richtig ist 70
  37. vertauschen, 175
  38. stimmt, 33
  39. 10
  40. 16
  41. 18
  42. 19