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Mathematik · Klasse 5 · Kapitel

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Rechengesetze und Rechenvorteile

EntdeckenDie Frage zum Kapitel

Rechne im Kopf, so schnell du kannst: 25 · 17 · 4. Schreib nichts auf und nimm keinen Taschenrechner.

Schreib eine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Für die Lehrkraft: Die meisten rechnen von links: 25 · 17 und kommen durcheinander. Andere geben auf oder raten. Nur wenige sehen, dass 25 und 4 zusammen 100 ergeben. Beim Malnehmen darf man die Zahlen vertauschen. Dann steht 25 · 4 · 17 da, also 100 · 17. Das Ergebnis ist 1700, in einer Sekunde.

  • Entdecken Frage, Vorstellung, Bild
  • Merken kommt ins Heft
  • Beispiel vorgerechnet, Schritt für Schritt
  • Üben selbst rechnen
  • Achtung typischer Fehler
  • Weiterdenken zum Knobeln und Vernetzen

○ mit Starthilfe, ● für alle, ★ zum Weiterdenken. Du wählst mindestens eine ★-Aufgabe. Du rechnest ins Heft.

Fit für das Kapitel?

Das brauchst du aus früheren Themen. Klappt es nicht, frag nach, bevor es losgeht.

ÜbenWeißt du das noch?

Punkt vor Strich und Klammer zuerst – so steht es seit Klasse 4 im Heft.

  1. ●39
    Rechne: 6 + 5 · 4
    Lösung zeigen
    1. Punkt vor Strich: erst 5 · 4 = 20
    2. 6 + 20 = 26
    Ergebnis:
    26
  2. ●40
    Rechne: (9 + 5) · 3
    Lösung zeigen
    1. Die Klammer zuerst: 9 + 5 = 14
    2. 14 · 3 = 42
    Ergebnis:
    42

ÜbenWeißt du das noch?

Punkt vor Strich und Klammer zuerst – die Reihenfolge entscheidet über das Ergebnis.

  1. ●41
    Berechne: 4 + 4 · 2
    Lösung zeigen
    1. Punkt vor Strich: erst 4 · 2 = 8
    2. 4 + 8 = 12
    Ergebnis:
    12
  2. ●42
    Ich denke mir eine Zahl, addiere 30 und erhalte 86. Welche Zahl war es? (Umkehraufgabe)
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    56

So kannst du es dir vorstellen

EntdeckenZahlen umbauen, ohne den Wert zu ändern

Eine Rechnung lässt sich umbauen, ohne dass sich ihr Wert ändert. Zahlen tauschen die Plätze, bilden neue Gruppen oder werden zerlegt. Wer das sieht, rechnet mit glatten Zahlen statt mit krummen.

17 plus 38 plus 3: Erst 17 und 3 zu 20 zusammenfassen, dann 20 plus 38 sind 5817 + 38 + 317 + 3 = 20= 20 + 38 = 58

WeiterdenkenDenk nach

Warum darf man bei 25 + 38 + 75 zuerst 25 und 75 addieren, bei 50 − 20 − 10 aber nicht zuerst 20 − 10?

1Ich rechne Plusaufgaben und Malaufgaben geschickt durch Vertauschen und Zusammenfassen.

EntdeckenFrage

Wie konnte der neunjährige Carl Friedrich Gauß die Zahlen von 1 bis 100 in wenigen Minuten addieren?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Er hat die Zahlen in Paare umsortiert: 1 und 100, 2 und 99, 3 und 98. Jedes Paar ergibt 101, und es sind 50 Paare. Also 50 · 101 = 5050. Er hat nur vertauscht und neu zusammengefasst.

MerkenVertauschen und zusammenfassen

Beim Plus und beim Mal darf man die Zahlen vertauschen und anders zusammenfassen.

Erst die Zahlen nehmen, die zusammen glatt werden.

BeispielPlusaufgaben geschickt: vertauschen und zusammenfassen

Lea rechnet 14 + 63 + 6 von links nach rechts. Zeige einen schnelleren Weg mit einem Rechenvorteil.
14636
Schritt für Schritt
  1. Vertauschen: 14 + 6 + 63
  2. 14 + 6 = 20
  3. 20 + 63 = 83
  1. Vertauschen: 14 + 6 + 63
  2. 14 + 6 = 20
  3. 20 + 63 = 83
Ergebnis:
83

AchtungBeim Minus oder Geteilt vertauscht

So nicht
50 − 20 − 10: erst 20 − 10 = 10, dann 50 − 10 = 40
So richtig
50 − 20 − 10 = 30 − 10 = 20

Vertauschen ist nur beim Plus und beim Mal erlaubt. 20 − 5 ist nicht 5 − 20.

ÜbenJetzt du

  1. ○1
    Rechne geschickt: 58 + 71 + 42
    587142
    So fängst du an:
    Vertauschen: 58 + 42 + 71
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 58 + 42 + 71
    2. 58 + 42 = 100
    3. 100 + 71 = 171
    Ergebnis:
    171
  2. ●2
    Noah rechnet 22 + 54 + 28 von links nach rechts. Zeige einen schnelleren Weg mit einem Rechenvorteil.
    225428
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 22 + 28 + 54
    2. 22 + 28 = 50
    3. 50 + 54 = 104
    Ergebnis:
    104
  3. ★3
    Lea rechnet 81 + 546 + 119 von links nach rechts. Zeige einen schnelleren Weg mit einem Rechenvorteil.
    81546119
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 81 + 119 + 546
    2. 81 + 119 = 200
    3. 200 + 546 = 746
    Ergebnis:
    746

2Ich verändere Summen gegensinnig und Differenzen gleichsinnig.

EntdeckenFrage

Warum rechnen Kassiererinnen 3,99 € mal 4 schneller als ein Kunde mit Papier?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Sie rechnen 4 mal 4 € und ziehen dann 4 Cent ab: 16,00 € − 0,04 € = 15,96 €. Das ist Zerlegen: 3,99 ist 4 minus 1 Cent. Der Rechenweg ist kurz, weil er über die glatte Zahl geht.

MerkenGegensinnig und gleichsinnig

Bei einer Summe gibt ein Summand ab, was der andere bekommt.

Bei einer Differenz ändern sich beide Zahlen gleich, der Abstand bleibt.

BeispielSummen gegensinnig verändern

Paul rechnet 199 + 73 als 200 + 73. Was muss Paul danach noch tun? Was kommt heraus?
19973
Schritt für Schritt
  1. Paul hat 199 um 1 vergrößert.
  2. Die Summe ist dadurch um 1 zu groß: 200 + 73 = 273.
  3. 1 wieder abziehen: 273 − 1 = 272
  1. Paul hat 199 um 1 vergrößert.
  2. Die Summe ist dadurch um 1 zu groß: 200 + 73 = 273.
  3. 1 wieder abziehen: 273 − 1 = 272
Ergebnis:
272

AchtungNur eine Zahl verändert

So nicht
143 − 97: 143 − 100 = 43
So richtig
143 − 97 = 146 − 100 = 46

Bei der Summe gegensinnig, bei der Differenz gleichsinnig: Immer beide Zahlen verändern.

ÜbenJetzt du

  1. ○4
    Rechne geschickt durch gegensinniges Verändern: 39 + 43
    3943
    So fängst du an:
    39 bekommt 1 dazu, 43 gibt 1 ab.
    Lösung zeigen
    1. 39 bekommt 1 dazu, 43 gibt 1 ab.
    2. 39 + 43 = 40 + 42
    3. 40 + 42 = 82
    Ergebnis:
    82
  2. ●5
    Ergänze so, dass die Summe gleich bleibt: 197 + 65 = 200 + ___
    19765
    Lösung zeigen
    1. 197 wird zu 200: 3 mehr.
    2. Also muss 65 um 3 kleiner werden: 65 − 3 = 62
    3. 200 + 62 = 262
    Ergebnis:
    62
  3. ★6
    Zeynep rechnet 497 + 699 als 500 + 699. Was muss Zeynep danach noch tun? Was kommt heraus?
    497699
    Lösung zeigen
    1. Zeynep hat 497 um 3 vergrößert.
    2. Die Summe ist dadurch um 3 zu groß: 500 + 699 = 1199.
    3. 3 wieder abziehen: 1199 − 3 = 1196
    Ergebnis:
    1196

3Ich nehme halbschriftlich mal, indem ich einen Faktor zerlege.

EntdeckenFrage

Wie haben Bauern in Russland früher ohne Einmaleins multipliziert?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Sie haben eine Zahl immer halbiert und die andere verdoppelt, bis links eine 1 stand. Dann addierten sie die rechten Zahlen der Zeilen mit ungerader linker Zahl. Das Verfahren heißt russische Bauernmultiplikation und nutzt, dass Verdoppeln und Halbieren das Produkt nicht ändert.

MerkenMalnehmen mit Zerlegen

Einen Faktor zerlegen, jeden Teil malnehmen und die Teilergebnisse addieren.

So wird 7 · 48 zu 7 · 40 + 7 · 8.

BeispielHalbschriftlich malnehmen mit Zerlegen

Rechne halbschriftlich: Zerlege den zweiten Faktor. 7 · 23
Schritt für Schritt
  1. 23 = 20 + 3
  2. 7 · 20 = 140 und 7 · 3 = 21
  3. 140 + 21 = 161
  1. 23 = 20 + 3
  2. 7 · 20 = 140 und 7 · 3 = 21
  3. 140 + 21 = 161
Ergebnis:
161

AchtungBeim Zerlegen einen Teil vergessen

So nicht
7 · 48: 7 · 40 + 8 = 288
So richtig
7 · 48 = 7 · 40 + 7 · 8 = 280 + 56 = 336

Jeder Teil des zerlegten Faktors wird malgenommen, nicht nur der erste.

ÜbenJetzt du

  1. ○7
    Es gibt 6 Tüten mit je 43 Bonbons. Wie viele Bonbons sind es? Rechne halbschriftlich.
    So fängst du an:
    6 · 43
    Lösung zeigen
    1. 6 · 43
    2. 43 = 40 + 3
    3. 6 · 40 = 240 und 6 · 3 = 18
    4. 240 + 18 = 258
    Ergebnis:
    258 Bonbons
  2. ●8
    Es gibt 5 Reihen mit je 55 Stühle. Wie viele Stühle sind es? Rechne halbschriftlich.
    Lösung zeigen
    1. 5 · 55
    2. 55 = 50 + 5
    3. 5 · 50 = 250 und 5 · 5 = 25
    4. 250 + 25 = 275
    Ergebnis:
    275 Stühle
  3. ★9
    Rechne halbschriftlich: Zerlege den zweiten Faktor. 6 · 34
    Lösung zeigen
    1. 34 = 30 + 4
    2. 6 · 30 = 180 und 6 · 4 = 24
    3. 180 + 24 = 204
    Ergebnis:
    204

4Ich dividiere halbschriftlich, indem ich die Zahl geschickt zerlege.

EntdeckenFrage

Warum ist 25 mal 4 ein Lieblingspaar beim Kopfrechnen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

25 mal 4 ergibt genau 100. Kommen 25 und 4 in einer Malaufgabe vor, fasst man sie zuerst zusammen. Aus 25 · 37 · 4 wird dann 100 · 37 = 3700, ganz ohne schriftliches Rechnen.

MerkenTeilen mit Zerlegen

Die Zahl so zerlegen, dass jeder Teil glatt aufgeht. So wird 385 : 7 zu 350 : 7 + 35 : 7.

BeispielHalbschriftlich dividieren

Zerlege 385 so in zwei Zahlen, dass du beide leicht durch 7 dividieren kannst. Was ergibt 385 : 7?
385: 7
Schritt für Schritt
  1. 385 = 350 + 35
  2. 350 : 7 = 50 und 35 : 7 = 5
  3. 50 + 5 = 55
  1. 385 = 350 + 35
  2. 350 : 7 = 50 und 35 : 7 = 5
  3. 50 + 5 = 55
Ergebnis:
55

AchtungBeim Teilen nicht passend zerlegt

So nicht
385 : 7: 300 : 7 geht nicht glatt → aufgegeben
So richtig
385 : 7 = 350 : 7 + 35 : 7 = 50 + 5 = 55

Jeder Teil muss sich glatt teilen lassen. Erst ein großes Vielfaches abspalten.

ÜbenJetzt du

  1. ○10
    Rechne halbschriftlich: 176 : 4
    So fängst du an:
    176 = 160 + 16
    Lösung zeigen
    1. 176 = 160 + 16
    2. 160 : 4 = 40 und 16 : 4 = 4
    3. 40 + 4 = 44
    Ergebnis:
    44
  2. ●11
    408 Sticker werden gleichmäßig auf 6 Kinder aufgeteilt. Wie viele bekommt jeder Teil? Rechne halbschriftlich.
    Lösung zeigen
    1. 408 : 6
    2. 408 = 360 + 48
    3. 360 : 6 = 60 und 48 : 6 = 8
    4. 60 + 8 = 68
    Ergebnis:
    68 Sticker
  3. ★12
    Zerlege 183 so in zwei Zahlen, dass du beide leicht durch 3 dividieren kannst. Was ergibt 183 : 3?
    183: 3
    Lösung zeigen
    1. 183 = 180 + 3
    2. 180 : 3 = 60 und 3 : 3 = 1
    3. 60 + 1 = 61
    Ergebnis:
    61

5Ich finde Aufgaben mit gleichem Ergebnis und vergleiche Rechenausdrücke.

EntdeckenFrage

Warum stimmt der Trick „mal 9 ist mal 10 minus einmal“ immer?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Neunmal eine Zahl ist zehnmal die Zahl minus einmal die Zahl. So wird 9 · 47 zu 470 − 47 = 423. Das ist das Verteilungsgesetz: 9 ist 10 minus 1.

MerkenAusdrücke mit gleichem Wert

Verschiedene Rechenausdrücke können denselben Wert haben.

Wer die Rechengesetze nutzt, sieht das oft ohne Ausrechnen.

BeispielAufgaben mit gleichem Ergebnis

Welche Zahl fehlt? Rechne nicht beide Seiten aus. 14 · 11 = 7 · ___
Schritt für Schritt
  1. 14 wird halb so groß: 7.
  2. Damit das Ergebnis gleich bleibt, wird 11 doppelt so groß.
  3. 11 · 2 = 22
  1. 14 wird halb so groß: 7.
  2. Damit das Ergebnis gleich bleibt, wird 11 doppelt so groß.
  3. 11 · 2 = 22
Ergebnis:
22

AchtungPunkt vor Strich missachtet

So nicht
9 + 5 · 7 = 14 · 7 = 98
So richtig
9 + 5 · 7 = 9 + 35 = 44

Klammer zuerst, dann Mal und Geteilt, dann Plus und Minus.

ÜbenJetzt du

  1. ○13
    Finde die fehlende Zahl mit einem Rechengesetz: 53 + 89 = 50 + ___
    53 + 89=50 + ?
    So fängst du an:
    53 wird zu 50: 3 weniger.
    Lösung zeigen
    1. 53 wird zu 50: 3 weniger.
    2. Damit die Summe gleich bleibt, wird 89 um 3 größer.
    3. 89 + 3 = 92
    Ergebnis:
    92
  2. ●14
    Finde die fehlende Zahl mit einem Rechengesetz: 63 + 29 = 60 + ___
    63 + 29=60 + ?
    Lösung zeigen
    1. 63 wird zu 60: 3 weniger.
    2. Damit die Summe gleich bleibt, wird 29 um 3 größer.
    3. 29 + 3 = 32
    Ergebnis:
    32
  3. ★15
    Ergänze die Lücke: 18 · 8 = 9 · ___
    18 · 8=9 · ?
    Lösung zeigen
    1. 18 wird halb so groß: 9.
    2. Damit das Ergebnis gleich bleibt, wird 8 doppelt so groß.
    3. 8 · 2 = 16
    Ergebnis:
    16

6Ich rechne mit Verdoppeln und Halbieren und prüfe, ob das Ergebnis gleich bleibt.

EntdeckenFrage

Wie merkt man in Sekunden, dass 98 · 102 nicht 99.960 sein kann?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Man rechnet nicht, man überschlägt: 100 · 100 = 10.000. Das Ergebnis muss also in der Nähe von 10.000 liegen. 99.960 ist fast zehnmal so groß und kann nicht stimmen. Richtig ist 9996.

MerkenVerdoppeln und halbieren

Wird ein Faktor verdoppelt und der andere halbiert, bleibt das Produkt gleich.

Werden beide verdoppelt, wird es viermal so groß.

BeispielVerdoppeln und Halbieren

Rechne geschickt: Halbiere den einen Faktor und verdopple den anderen. 14 · 15
Schritt für Schritt
  1. 14 · 15 = 7 · 30
  2. 7 · 30 = 210
  1. 14 · 15 = 7 · 30
  2. 7 · 30 = 210
Ergebnis:
210

AchtungBeide Faktoren verdoppelt

So nicht
8 · 25 → 16 · 50 = 800
So richtig
8 · 25 → 4 · 50 = 200

Nur einer wird verdoppelt, der andere halbiert. Sonst ändert sich das Ergebnis.

ÜbenJetzt du

  1. ○16
    Warum ist 12 · 15 dasselbe wie 6 · 30? Rechne dann geschickt.
    So fängst du an:
    Halb so viele Reihen, jede doppelt so lang: gleich viele Kästchen.
    Lösung zeigen
    1. Halb so viele Reihen, jede doppelt so lang: gleich viele Kästchen.
    2. 12 · 15 = 6 · 30
    3. 6 · 30 = 180
    Ergebnis:
    180
  2. ●17
    Rechne geschickt: Halbiere den einen Faktor und verdopple den anderen. 18 · 5
    Lösung zeigen
    1. 18 · 5 = 9 · 10
    2. 9 · 10 = 90
    Ergebnis:
    90
  3. ★18
    Tom verdoppelt bei 16 · 25 beide Faktoren und rechnet 32 · 50. Bleibt das Ergebnis gleich?
    Lösung zeigen
    1. Einmal verdoppeln macht das Ergebnis doppelt so groß, zweimal viermal so groß.
    2. 32 · 50 = 1600, aber 16 · 25 = 400
    3. Richtig ist: einen verdoppeln, den anderen halbieren.
    Ergebnis:
    Nein, viermal so groß; richtig ist 400

7Ich wähle zu einer Aufgabe den passenden Rechenweg.

EntdeckenFrage

Wie rechnen Darts-Profis blitzschnell aus, wie viele Punkte ihnen von 501 noch fehlen, wenn sie 140 geworfen haben?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Der geschickte Weg nimmt erst eine runde Zahl. 500 − 140 = 360, und der eine Extrapunkt kommt dazu: 361. Das geht schneller als 501 − 140 Stelle für Stelle. Am Ergebnis ändert der Weg nichts.

MerkenDen passenden Weg wählen

Vor dem Rechnen die Zahlen ansehen.

Liegt eine Zahl nahe an einer glatten, lohnt sich ein Vorteil, sonst rechnet man schriftlich.

BeispielDen passenden Rechenweg wählen

Wie rechnest du am schnellsten: 36 + 27 + 64? Nenne ihn und rechne.
Schritt für Schritt
  1. Zwei Zahlen ergeben zusammen 100: vertauschen und zusammenfassen.
  2. 36 + 64 = 100
  3. 100 + 27 = 127
  1. Zwei Zahlen ergeben zusammen 100: vertauschen und zusammenfassen.
  2. 36 + 64 = 100
  3. 100 + 27 = 127
Ergebnis:
vertauschen, 127

AchtungUmständlichen Weg gewählt

So nicht
299 + 158 schriftlich untereinander gerechnet, dabei verrechnet: 447
So richtig
299 + 158 = 300 + 157 = 457

Erst die Zahlen ansehen: Liegt eine nahe an einer glatten Zahl?

ÜbenJetzt du

  1. ○19
    Welchen Rechenvorteil nutzt du bei 5 · 49? Nenne ihn und rechne.
    5 · 49zerlegenhalbieren und verdoppelnschriftlich
    So fängst du an:
    Den zweiten Faktor zerlegen: 49 = 40 + 9.
    Lösung zeigen
    1. Den zweiten Faktor zerlegen: 49 = 40 + 9.
    2. 5 · 40 = 200 und 5 · 9 = 45
    3. Zusammen: 245
    Ergebnis:
    zerlegen, 245
  2. ●20
    Wie rechnest du am schnellsten: 234 + 598? Nenne ihn und rechne.
    Lösung zeigen
    1. 598 liegt knapp unter 600: gegensinnig verändern.
    2. 234 + 598 = 232 + 600
    3. 232 + 600 = 832
    Ergebnis:
    gegensinnig verändern, 832
  3. ★21
    Welchen Rechenvorteil nutzt du bei 220 + 399? Nenne ihn und rechne.
    220 + 399zerlegenhalbieren und verdoppelnschriftlich
    Lösung zeigen
    1. 399 liegt knapp unter 400: gegensinnig verändern.
    2. 220 + 399 = 219 + 400
    3. 219 + 400 = 619
    Ergebnis:
    gegensinnig verändern, 619

8Ich finde Rechenfehler mit Überschlag und Umkehraufgabe.

EntdeckenFrage

Warum zählt man Rückgeld vom Preis aus nach oben, statt abzuziehen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Wer 13,40 € zahlen muss und 20 € gibt, bekommt 20 − 13,40 = 6,60 € zurück. Beim Hochzählen rechnet man die Umkehraufgabe: 13,40 + 6,60 = 20. Kommt man genau auf den gegebenen Betrag, stimmt das Rückgeld.

MerkenÜberschlag und Umkehraufgabe

Ein Überschlag mit runden Zahlen zeigt, ob ein Ergebnis stimmen kann.

Die Umkehraufgabe prüft es genau.

BeispielRechenfehler mit Überschlag und Umkehraufgabe finden

Aylin rechnet 468 : 6 und erhält 78. Prüfe mit der Umkehraufgabe.
468 : 6Ergebnis 78?
Schritt für Schritt
  1. Umkehraufgabe: 78 · 6 = 468
  2. 468 ist genau 468: Es stimmt.
  3. 468 : 6 = 78
  1. Umkehraufgabe: 78 · 6 = 468
  2. 468 ist genau 468: Es stimmt.
  3. 468 : 6 = 78
Ergebnis:
stimmt, 78

AchtungErgebnis nicht geprüft

So nicht
425 : 5 = 805, ohne Probe ins Heft
So richtig
425 : 5 → Überschlag 400 : 5 = 80 → 85, Probe 85 · 5 = 425

Mit einem Überschlag prüfen, ob die Größenordnung stimmt, dann mit der Umkehraufgabe.

ÜbenJetzt du

  1. ○22
    Tom erhält für 51 · 24 das Ergebnis 1224. Prüfe mit einem Überschlag.
    So fängst du an:
    Überschlag: 50 · 20 = 1000
    Lösung zeigen
    1. Überschlag: 50 · 20 = 1000
    2. 1224 liegt in der Nähe. Genau rechnen: 51 · 24 = 1224
    3. Das Ergebnis stimmt.
    Ergebnis:
    stimmt, 1224
  2. ●23
    Aylin rechnet 322 : 7 und erhält 45. Prüfe mit der Umkehraufgabe.
    322 : 7Ergebnis 45?
    Lösung zeigen
    1. Umkehraufgabe: 45 · 7 = 315
    2. 315 ist nicht 322: Es ist falsch.
    3. 322 : 7 = 46
    Ergebnis:
    falsch, richtig ist 46
  3. ★24
    Sofia rechnet 9351 − 2532 und erhält 6829. Prüfe mit der Umkehraufgabe.
    Lösung zeigen
    1. Umkehraufgabe: 6829 + 2532 = 9361
    2. 9361 ist nicht 9351: Es ist falsch.
    3. 9351 − 2532 = 6819
    Ergebnis:
    falsch, richtig ist 6819

Vermischte Übungen

Alles durcheinander – wie in der Arbeit. Überleg bei jeder Aufgabe zuerst: Welches Ziel ist das?

Üben

  1. ●25
    Welche Zahlen fasst du bei 16 + 26 + 14 zuerst zusammen? Begründe und rechne.
    162614
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 16 + 14 + 26
    2. 16 + 14 = 30
    3. Zusammen glatt, der Rest ist leicht: 30 + 26 = 56
    Ergebnis:
    56
  2. ●26
    Rechne geschickt: 5 · 3 · 2
    532
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 5 · 2 · 3
    2. 5 · 2 = 10
    3. 10 · 3 = 30
    Ergebnis:
    30
  3. ●27
    Ergänze so, dass die Summe gleich bleibt: 67 + 28 = 70 + ___
    6728
    Lösung zeigen
    1. 67 wird zu 70: 3 mehr.
    2. Also muss 28 um 3 kleiner werden: 28 − 3 = 25
    3. 70 + 25 = 95
    Ergebnis:
    25
  4. ●28
    Rechne geschickt durch gleichsinniges Verändern: 219 − 199
    Lösung zeigen
    1. Beide Zahlen um 1 vergrößern: Der Abstand bleibt gleich.
    2. 219 − 199 = 220 − 200
    3. 220 − 200 = 20
    Ergebnis:
    20
  5. ●29
    Rechne halbschriftlich: Zerlege den zweiten Faktor. 6 · 37
    Lösung zeigen
    1. 37 = 30 + 7
    2. 6 · 30 = 180 und 6 · 7 = 42
    3. 180 + 42 = 222
    Ergebnis:
    222
  6. ●30
    Jonas rechnet 4 · 15 so: erst 4 · 10, dann 5 dazu. Jonas erhält 45. Zeige am Bild, was fehlt.
    1054
    Lösung zeigen
    1. Der rechte Teil hat 4 Reihen mit je 5 Kästchen, nicht nur 5.
    2. Rechter Teil: 4 · 5 = 20
    3. 40 + 20 = 60
    Ergebnis:
    60

Auf einen Blick

MerkenDas Wichtigste

Vertauschen und zusammenfassen
Beim Plus und beim Mal darf man die Zahlen vertauschen und anders zusammenfassen.
Gegensinnig und gleichsinnig
Bei einer Summe gibt ein Summand ab, was der andere bekommt.
Malnehmen mit Zerlegen
Einen Faktor zerlegen, jeden Teil malnehmen und die Teilergebnisse addieren.
Teilen mit Zerlegen
Die Zahl so zerlegen, dass jeder Teil glatt aufgeht. So wird 385 : 7 zu 350 : 7 + 35 : 7.
Ausdrücke mit gleichem Wert
Verschiedene Rechenausdrücke können denselben Wert haben.
Verdoppeln und halbieren
Wird ein Faktor verdoppelt und der andere halbiert, bleibt das Produkt gleich.
Den passenden Weg wählen
Vor dem Rechnen die Zahlen ansehen.
Überschlag und Umkehraufgabe
Ein Überschlag mit runden Zahlen zeigt, ob ein Ergebnis stimmen kann.

Kannst du das?

Je Ziel eine Aufgabe. Rechne sie ins Heft, dann kreuz ehrlich an. Keine Punkte, keine Note – der Test ist für dich.

ÜbenSelbsttest

  1. Ich rechne Plusaufgaben und Malaufgaben geschickt durch Vertauschen und Zusammenfassen.

    31
    Welche Zahlen fasst du bei 67 + 56 + 33 zuerst zusammen? Begründe und rechne.
    675633
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    156

  2. Ich verändere Summen gegensinnig und Differenzen gleichsinnig.

    32
    Ergänze so, dass die Summe gleich bleibt: 68 + 87 = 70 + ___
    6887
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    85

  3. Ich nehme halbschriftlich mal, indem ich einen Faktor zerlege.

    33
    Rechne halbschriftlich: Zerlege den zweiten Faktor. 3 · 68
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    204

  4. Ich dividiere halbschriftlich, indem ich die Zahl geschickt zerlege.

    34
    Rechne halbschriftlich: 72 : 4
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    18

  5. Ich finde Aufgaben mit gleichem Ergebnis und vergleiche Rechenausdrücke.

    35
    Welche Zahl fehlt? Rechne nicht beide Seiten aus. 62 + 58 = 59 + ___
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    61

  6. Ich rechne mit Verdoppeln und Halbieren und prüfe, ob das Ergebnis gleich bleibt.

    36
    Warum ist 14 · 15 dasselbe wie 7 · 30? Rechne dann geschickt.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    210

  7. Ich wähle zu einer Aufgabe den passenden Rechenweg.

    37
    Welchen Rechenvorteil nutzt du bei 28 + 27 + 72? Nenne ihn und rechne.
    28 + 27 + 72zerlegenhalbieren und verdoppelnschriftlich
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    vertauschen, 127

  8. Ich finde Rechenfehler mit Überschlag und Umkehraufgabe.

    38
    Milan erhält für 55 · 38 das Ergebnis 1890. Prüfe mit einem Überschlag.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    falsch, richtig ist 2090

Bei „unsicher“ oder „noch nicht“: Lies den Abschnitt zum Ziel noch einmal und rechne seine drei Aufgaben.

Die Frage vom Anfang

EntdeckenRückschau

Rechne im Kopf, so schnell du kannst: 25 · 17 · 4. Schreib nichts auf und nimm keinen Taschenrechner.

Lies deine Vermutung vom Anfang. Kannst du die Frage jetzt mit dem Kapitel beantworten?

Auflösung

Mit dem Werkzeug aus diesem Kapitel: Vertauschen und Zusammenfassen: erst die Zahlen, die zusammen glatt werden.

Wo brauchst du das?

Entdecken

Preise im Kopf addieren, Rückgeld überschlagen, Mengen für ein Fest ausrechnen. Beruf: Kasse und Verkauf, Handwerk beim Materialberechnen, Lager und Versand.

Wörter

Differenz
was übrig bleibt, wenn man abzieht
Gleichung
zwei Rechnungen, die gleich viel wert sind
Produkt
was herauskommt, wenn man malnimmt
Summe
was herauskommt, wenn man zusammenzählt
Teiler
eine Zahl, durch die es ohne Rest aufgeht

Wie es zusammenhängt

Das brauchst du vorher: Rechenregeln, Teiler und Vielfache, Natürliche Zahlen und Stellenwert

Darauf baut auf: Sachaufgaben lösen

Lösungen

  1. 171
  2. 104
  3. 746
  4. 82
  5. 62
  6. 1196
  7. 258 Bonbons
  8. 275 Stühle
  9. 204
  10. 44
  11. 68 Sticker
  12. 61
  13. 92
  14. 32
  15. 16
  16. 180
  17. 90
  18. Nein, viermal so groß; richtig ist 400
  19. zerlegen, 245
  20. gegensinnig verändern, 832
  21. gegensinnig verändern, 619
  22. stimmt, 1224
  23. falsch, richtig ist 46
  24. falsch, richtig ist 6819
  25. 56
  26. 30
  27. 25
  28. 20
  29. 222
  30. 60
  31. 156
  32. 85
  33. 204
  34. 18
  35. 61
  36. 210
  37. vertauschen, 127
  38. falsch, richtig ist 2090
  39. 26
  40. 42
  41. 12
  42. 56