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Mathematik · Klasse 5 · Kapitel

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Rechengesetze und Rechenvorteile

EntdeckenDie Frage zum Kapitel

Rechne im Kopf, so schnell du kannst: 25 · 17 · 4. Schreib nichts auf und nimm keinen Taschenrechner.

Schreib eine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Für die Lehrkraft: Die meisten rechnen von links: 25 · 17 und kommen durcheinander. Andere geben auf oder raten. Nur wenige sehen, dass 25 und 4 zusammen 100 ergeben. Beim Malnehmen darf man die Zahlen vertauschen. Dann steht 25 · 4 · 17 da, also 100 · 17. Das Ergebnis ist 1700, in einer Sekunde.

  • Entdecken Frage, Vorstellung, Bild
  • Merken kommt ins Heft
  • Beispiel vorgerechnet, Schritt für Schritt
  • Üben selbst rechnen
  • Achtung typischer Fehler
  • Weiterdenken zum Knobeln und Vernetzen

○ mit Starthilfe, ● für alle, ★ zum Weiterdenken. Du wählst mindestens eine ★-Aufgabe. Du rechnest ins Heft.

Fit für das Kapitel?

Das brauchst du aus früheren Themen. Klappt es nicht, frag nach, bevor es losgeht.

ÜbenWeißt du das noch?

Punkt vor Strich und Klammer zuerst – so steht es seit Klasse 4 im Heft.

  1. ●39
    Rechne: 54 − 3 · 9
    Lösung zeigen
    1. Punkt vor Strich: erst 3 · 9 = 27
    2. 54 − 27 = 27
    Ergebnis:
    27
  2. ●40
    Rechne: (4 + 8) · 9
    Lösung zeigen
    1. Die Klammer zuerst: 4 + 8 = 12
    2. 12 · 9 = 108
    Ergebnis:
    108

ÜbenWeißt du das noch?

Punkt vor Strich und Klammer zuerst – die Reihenfolge entscheidet über das Ergebnis.

  1. ●41
    Berechne: 9 + 9 · 9
    Lösung zeigen
    1. Punkt vor Strich: erst 9 · 9 = 81
    2. 9 + 81 = 90
    Ergebnis:
    90
  2. ●42
    Ich denke mir eine Zahl, addiere 18 und erhalte 56. Welche Zahl war es? (Umkehraufgabe)
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    38

So kannst du es dir vorstellen

EntdeckenZahlen umbauen, ohne den Wert zu ändern

Eine Rechnung lässt sich umbauen, ohne dass sich ihr Wert ändert. Zahlen tauschen die Plätze, bilden neue Gruppen oder werden zerlegt. Wer das sieht, rechnet mit glatten Zahlen statt mit krummen.

17 plus 38 plus 3: Erst 17 und 3 zu 20 zusammenfassen, dann 20 plus 38 sind 5817 + 38 + 317 + 3 = 20= 20 + 38 = 58

WeiterdenkenDenk nach

Warum darf man bei 25 + 38 + 75 zuerst 25 und 75 addieren, bei 50 − 20 − 10 aber nicht zuerst 20 − 10?

1Ich rechne Plusaufgaben und Malaufgaben geschickt durch Vertauschen und Zusammenfassen.

EntdeckenFrage

Wie konnte der neunjährige Carl Friedrich Gauß die Zahlen von 1 bis 100 in wenigen Minuten addieren?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Er hat die Zahlen in Paare umsortiert: 1 und 100, 2 und 99, 3 und 98. Jedes Paar ergibt 101, und es sind 50 Paare. Also 50 · 101 = 5050. Er hat nur vertauscht und neu zusammengefasst.

MerkenVertauschen und zusammenfassen

Beim Plus und beim Mal darf man die Zahlen vertauschen und anders zusammenfassen.

Erst die Zahlen nehmen, die zusammen glatt werden.

BeispielPlusaufgaben geschickt: vertauschen und zusammenfassen

Sofia rechnet 13 + 49 + 37 von links nach rechts. Zeige einen schnelleren Weg mit einem Rechenvorteil.
134937
Schritt für Schritt
  1. Vertauschen: 13 + 37 + 49
  2. 13 + 37 = 50
  3. 50 + 49 = 99
  1. Vertauschen: 13 + 37 + 49
  2. 13 + 37 = 50
  3. 50 + 49 = 99
Ergebnis:
99

AchtungBeim Minus oder Geteilt vertauscht

So nicht
50 − 20 − 10: erst 20 − 10 = 10, dann 50 − 10 = 40
So richtig
50 − 20 − 10 = 30 − 10 = 20

Vertauschen ist nur beim Plus und beim Mal erlaubt. 20 − 5 ist nicht 5 − 20.

ÜbenJetzt du

  1. ○1
    Rechne geschickt: 9 + 86 + 41
    98641
    So fängst du an:
    Vertauschen: 9 + 41 + 86
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 9 + 41 + 86
    2. 9 + 41 = 50
    3. 50 + 86 = 136
    Ergebnis:
    136
  2. ●2
    Welche Zahlen fasst du bei 14 + 37 + 16 zuerst zusammen? Begründe und rechne.
    143716
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 14 + 16 + 37
    2. 14 + 16 = 30
    3. Zusammen glatt, der Rest ist leicht: 30 + 37 = 67
    Ergebnis:
    67
  3. ★3
    Rechne geschickt: 778 + 327 + 79 + 222 + 21
    7783277922221
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 778 + 222 + 79 + 21 + 327
    2. 778 + 222 = 1000 und 79 + 21 = 100
    3. 1000 + 100 + 327 = 1427
    Ergebnis:
    1427

2Ich verändere Summen gegensinnig und Differenzen gleichsinnig.

EntdeckenFrage

Warum rechnen Kassiererinnen 3,99 € mal 4 schneller als ein Kunde mit Papier?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Sie rechnen 4 mal 4 € und ziehen dann 4 Cent ab: 16,00 € − 0,04 € = 15,96 €. Das ist Zerlegen: 3,99 ist 4 minus 1 Cent. Der Rechenweg ist kurz, weil er über die glatte Zahl geht.

MerkenGegensinnig und gleichsinnig

Bei einer Summe gibt ein Summand ab, was der andere bekommt.

Bei einer Differenz ändern sich beide Zahlen gleich, der Abstand bleibt.

BeispielSummen gegensinnig verändern

Zeynep rechnet 38 + 47 als 40 + 47. Was muss Zeynep danach noch tun? Was kommt heraus?
3847
Schritt für Schritt
  1. Zeynep hat 38 um 2 vergrößert.
  2. Die Summe ist dadurch um 2 zu groß: 40 + 47 = 87.
  3. 2 wieder abziehen: 87 − 2 = 85
  1. Zeynep hat 38 um 2 vergrößert.
  2. Die Summe ist dadurch um 2 zu groß: 40 + 47 = 87.
  3. 2 wieder abziehen: 87 − 2 = 85
Ergebnis:
85

AchtungNur eine Zahl verändert

So nicht
143 − 97: 143 − 100 = 43
So richtig
143 − 97 = 146 − 100 = 46

Bei der Summe gegensinnig, bei der Differenz gleichsinnig: Immer beide Zahlen verändern.

ÜbenJetzt du

  1. ○4
    Can rechnet 198 + 28 als 200 + 28. Was muss Can danach noch tun? Was kommt heraus?
    19828
    So fängst du an:
    Can hat 198 um 2 vergrößert.
    Lösung zeigen
    1. Can hat 198 um 2 vergrößert.
    2. Die Summe ist dadurch um 2 zu groß: 200 + 28 = 228.
    3. 2 wieder abziehen: 228 − 2 = 226
    Ergebnis:
    226
  2. ●5
    Ergänze so, dass die Summe gleich bleibt: 49 + 36 = 50 + ___
    4936
    Lösung zeigen
    1. 49 wird zu 50: 1 mehr.
    2. Also muss 36 um 1 kleiner werden: 36 − 1 = 35
    3. 50 + 35 = 85
    Ergebnis:
    35
  3. ★6
    Rechne geschickt durch gegensinniges Verändern: 996 + 446
    996446
    Lösung zeigen
    1. 996 bekommt 4 dazu, 446 gibt 4 ab.
    2. 996 + 446 = 1000 + 442
    3. 1000 + 442 = 1442
    Ergebnis:
    1442

3Ich nehme halbschriftlich mal, indem ich einen Faktor zerlege.

EntdeckenFrage

Wie haben Bauern in Russland früher ohne Einmaleins multipliziert?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Sie haben eine Zahl immer halbiert und die andere verdoppelt, bis links eine 1 stand. Dann addierten sie die rechten Zahlen der Zeilen mit ungerader linker Zahl. Das Verfahren heißt russische Bauernmultiplikation und nutzt, dass Verdoppeln und Halbieren das Produkt nicht ändert.

MerkenMalnehmen mit Zerlegen

Einen Faktor zerlegen, jeden Teil malnehmen und die Teilergebnisse addieren.

So wird 7 · 48 zu 7 · 40 + 7 · 8.

BeispielHalbschriftlich malnehmen mit Zerlegen

Rechne geschickt über die glatte Zahl: 7 · 59
Schritt für Schritt
  1. 59 = 60 − 1
  2. 7 · 60 = 420 und 7 · 1 = 7
  3. 420 − 7 = 413
  1. 59 = 60 − 1
  2. 7 · 60 = 420 und 7 · 1 = 7
  3. 420 − 7 = 413
Ergebnis:
413

AchtungBeim Zerlegen einen Teil vergessen

So nicht
7 · 48: 7 · 40 + 8 = 288
So richtig
7 · 48 = 7 · 40 + 7 · 8 = 280 + 56 = 336

Jeder Teil des zerlegten Faktors wird malgenommen, nicht nur der erste.

ÜbenJetzt du

  1. ○7
    Rechne halbschriftlich: Zerlege den zweiten Faktor. 4 · 14
    So fängst du an:
    14 = 10 + 4
    Lösung zeigen
    1. 14 = 10 + 4
    2. 4 · 10 = 40 und 4 · 4 = 16
    3. 40 + 16 = 56
    Ergebnis:
    56
  2. ●8
    Rechne geschickt über die glatte Zahl: 3 · 29
    Lösung zeigen
    1. 29 = 30 − 1
    2. 3 · 30 = 90 und 3 · 1 = 3
    3. 90 − 3 = 87
    Ergebnis:
    87
  3. ★9
    Rechne halbschriftlich: Zerlege den zweiten Faktor. 5 · 27
    Lösung zeigen
    1. 27 = 20 + 7
    2. 5 · 20 = 100 und 5 · 7 = 35
    3. 100 + 35 = 135
    Ergebnis:
    135

4Ich dividiere halbschriftlich, indem ich die Zahl geschickt zerlege.

EntdeckenFrage

Warum ist 25 mal 4 ein Lieblingspaar beim Kopfrechnen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

25 mal 4 ergibt genau 100. Kommen 25 und 4 in einer Malaufgabe vor, fasst man sie zuerst zusammen. Aus 25 · 37 · 4 wird dann 100 · 37 = 3700, ganz ohne schriftliches Rechnen.

MerkenTeilen mit Zerlegen

Die Zahl so zerlegen, dass jeder Teil glatt aufgeht. So wird 385 : 7 zu 350 : 7 + 35 : 7.

BeispielHalbschriftlich dividieren

Rechne halbschriftlich: 189 : 3
Schritt für Schritt
  1. 189 = 180 + 9
  2. 180 : 3 = 60 und 9 : 3 = 3
  3. 60 + 3 = 63
  1. 189 = 180 + 9
  2. 180 : 3 = 60 und 9 : 3 = 3
  3. 60 + 3 = 63
Ergebnis:
63

AchtungBeim Teilen nicht passend zerlegt

So nicht
385 : 7: 300 : 7 geht nicht glatt → aufgegeben
So richtig
385 : 7 = 350 : 7 + 35 : 7 = 50 + 5 = 55

Jeder Teil muss sich glatt teilen lassen. Erst ein großes Vielfaches abspalten.

ÜbenJetzt du

  1. ○10
    Rechne halbschriftlich: 36 : 3
    So fängst du an:
    36 = 30 + 6
    Lösung zeigen
    1. 36 = 30 + 6
    2. 30 : 3 = 10 und 6 : 3 = 2
    3. 10 + 2 = 12
    Ergebnis:
    12
  2. ●11
    Rechne halbschriftlich: 402 : 6
    Lösung zeigen
    1. 402 = 360 + 42
    2. 360 : 6 = 60 und 42 : 6 = 7
    3. 60 + 7 = 67
    Ergebnis:
    67
  3. ★12
    Rechne halbschriftlich: 498 : 6
    Lösung zeigen
    1. 498 = 480 + 18
    2. 480 : 6 = 80 und 18 : 6 = 3
    3. 80 + 3 = 83
    Ergebnis:
    83

5Ich finde Aufgaben mit gleichem Ergebnis und vergleiche Rechenausdrücke.

EntdeckenFrage

Warum stimmt der Trick „mal 9 ist mal 10 minus einmal“ immer?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Neunmal eine Zahl ist zehnmal die Zahl minus einmal die Zahl. So wird 9 · 47 zu 470 − 47 = 423. Das ist das Verteilungsgesetz: 9 ist 10 minus 1.

MerkenAusdrücke mit gleichem Wert

Verschiedene Rechenausdrücke können denselben Wert haben.

Wer die Rechengesetze nutzt, sieht das oft ohne Ausrechnen.

BeispielAufgaben mit gleichem Ergebnis

Ergänze die Lücke: 14 · 14 = 7 · ___
14 · 14=7 · ?
Schritt für Schritt
  1. 14 wird halb so groß: 7.
  2. Damit das Ergebnis gleich bleibt, wird 14 doppelt so groß.
  3. 14 · 2 = 28
  1. 14 wird halb so groß: 7.
  2. Damit das Ergebnis gleich bleibt, wird 14 doppelt so groß.
  3. 14 · 2 = 28
Ergebnis:
28

AchtungPunkt vor Strich missachtet

So nicht
9 + 5 · 7 = 14 · 7 = 98
So richtig
9 + 5 · 7 = 9 + 35 = 44

Klammer zuerst, dann Mal und Geteilt, dann Plus und Minus.

ÜbenJetzt du

  1. ○13
    Finde die fehlende Zahl mit einem Rechengesetz: 12 · 9 = 6 · ___
    12 · 9=6 · ?
    So fängst du an:
    12 wird halb so groß: 6.
    Lösung zeigen
    1. 12 wird halb so groß: 6.
    2. Damit das Ergebnis gleich bleibt, wird 9 doppelt so groß.
    3. 9 · 2 = 18
    Ergebnis:
    18
  2. ●14
    Ergänze die Lücke: 17 + 64 = 20 + ___
    17 + 64=20 + ?
    Lösung zeigen
    1. 17 wird zu 20: 3 mehr.
    2. Damit die Summe gleich bleibt, wird 64 um 3 kleiner.
    3. 64 − 3 = 61
    Ergebnis:
    61
  3. ★15
    Welche Zahl fehlt? Rechne nicht beide Seiten aus. 70 − 16 = ___ − 26
    Lösung zeigen
    1. 16 wird zu 26: 10 mehr.
    2. Damit der Abstand bleibt, wird auch 70 um 10 größer.
    3. 70 + 10 = 80
    Ergebnis:
    80

6Ich rechne mit Verdoppeln und Halbieren und prüfe, ob das Ergebnis gleich bleibt.

EntdeckenFrage

Wie merkt man in Sekunden, dass 98 · 102 nicht 99.960 sein kann?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Man rechnet nicht, man überschlägt: 100 · 100 = 10.000. Das Ergebnis muss also in der Nähe von 10.000 liegen. 99.960 ist fast zehnmal so groß und kann nicht stimmen. Richtig ist 9996.

MerkenVerdoppeln und halbieren

Wird ein Faktor verdoppelt und der andere halbiert, bleibt das Produkt gleich.

Werden beide verdoppelt, wird es viermal so groß.

BeispielVerdoppeln und Halbieren

Rechne geschickt: Halbiere den einen Faktor und verdopple den anderen. 14 · 5
Schritt für Schritt
  1. 14 · 5 = 7 · 10
  2. 7 · 10 = 70
  1. 14 · 5 = 7 · 10
  2. 7 · 10 = 70
Ergebnis:
70

AchtungBeide Faktoren verdoppelt

So nicht
8 · 25 → 16 · 50 = 800
So richtig
8 · 25 → 4 · 50 = 200

Nur einer wird verdoppelt, der andere halbiert. Sonst ändert sich das Ergebnis.

ÜbenJetzt du

  1. ○16
    Warum ist 12 · 15 dasselbe wie 6 · 30? Rechne dann geschickt.
    So fängst du an:
    Halb so viele Reihen, jede doppelt so lang: gleich viele Kästchen.
    Lösung zeigen
    1. Halb so viele Reihen, jede doppelt so lang: gleich viele Kästchen.
    2. 12 · 15 = 6 · 30
    3. 6 · 30 = 180
    Ergebnis:
    180
  2. ●17
    Warum ist 18 · 5 dasselbe wie 9 · 10? Rechne dann geschickt.
    Lösung zeigen
    1. Halb so viele Reihen, jede doppelt so lang: gleich viele Kästchen.
    2. 18 · 5 = 9 · 10
    3. 9 · 10 = 90
    Ergebnis:
    90
  3. ★18
    Tom verdoppelt bei 16 · 25 beide Faktoren und rechnet 32 · 50. Bleibt das Ergebnis gleich?
    Lösung zeigen
    1. Einmal verdoppeln macht das Ergebnis doppelt so groß, zweimal viermal so groß.
    2. 32 · 50 = 1600, aber 16 · 25 = 400
    3. Richtig ist: einen verdoppeln, den anderen halbieren.
    Ergebnis:
    Nein, viermal so groß; richtig ist 400

7Ich wähle zu einer Aufgabe den passenden Rechenweg.

EntdeckenFrage

Wie rechnen Darts-Profis blitzschnell aus, wie viele Punkte ihnen von 501 noch fehlen, wenn sie 140 geworfen haben?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Der geschickte Weg nimmt erst eine runde Zahl. 500 − 140 = 360, und der eine Extrapunkt kommt dazu: 361. Das geht schneller als 501 − 140 Stelle für Stelle. Am Ergebnis ändert der Weg nichts.

MerkenDen passenden Weg wählen

Vor dem Rechnen die Zahlen ansehen.

Liegt eine Zahl nahe an einer glatten, lohnt sich ein Vorteil, sonst rechnet man schriftlich.

BeispielDen passenden Rechenweg wählen

Welcher Weg passt zu 20 + 35 + 80? Nenne ihn und rechne.
20 + 35 + 80zerlegenhalbieren und verdoppelnschriftlich
Schritt für Schritt
  1. Zwei Zahlen ergeben zusammen 100: vertauschen und zusammenfassen.
  2. 20 + 80 = 100
  3. 100 + 35 = 135
  1. Zwei Zahlen ergeben zusammen 100: vertauschen und zusammenfassen.
  2. 20 + 80 = 100
  3. 100 + 35 = 135
Ergebnis:
vertauschen, 135

AchtungUmständlichen Weg gewählt

So nicht
299 + 158 schriftlich untereinander gerechnet, dabei verrechnet: 447
So richtig
299 + 158 = 300 + 157 = 457

Erst die Zahlen ansehen: Liegt eine nahe an einer glatten Zahl?

ÜbenJetzt du

  1. ○19
    Wie rechnest du am schnellsten: 6 · 34? Nenne ihn und rechne.
    So fängst du an:
    Den zweiten Faktor zerlegen: 34 = 30 + 4.
    Lösung zeigen
    1. Den zweiten Faktor zerlegen: 34 = 30 + 4.
    2. 6 · 30 = 180 und 6 · 4 = 24
    3. Zusammen: 204
    Ergebnis:
    zerlegen, 204
  2. ●20
    Welcher Weg passt zu 36 + 76 + 64? Nenne ihn und rechne.
    36 + 76 + 64zerlegenhalbieren und verdoppelnschriftlich
    Lösung zeigen
    1. Zwei Zahlen ergeben zusammen 100: vertauschen und zusammenfassen.
    2. 36 + 64 = 100
    3. 100 + 76 = 176
    Ergebnis:
    vertauschen, 176
  3. ★21
    Wie rechnest du am schnellsten: 46 + 29 + 54? Nenne ihn und rechne.
    Lösung zeigen
    1. Zwei Zahlen ergeben zusammen 100: vertauschen und zusammenfassen.
    2. 46 + 54 = 100
    3. 100 + 29 = 129
    Ergebnis:
    vertauschen, 129

8Ich finde Rechenfehler mit Überschlag und Umkehraufgabe.

EntdeckenFrage

Warum zählt man Rückgeld vom Preis aus nach oben, statt abzuziehen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Wer 13,40 € zahlen muss und 20 € gibt, bekommt 20 − 13,40 = 6,60 € zurück. Beim Hochzählen rechnet man die Umkehraufgabe: 13,40 + 6,60 = 20. Kommt man genau auf den gegebenen Betrag, stimmt das Rückgeld.

MerkenÜberschlag und Umkehraufgabe

Ein Überschlag mit runden Zahlen zeigt, ob ein Ergebnis stimmen kann.

Die Umkehraufgabe prüft es genau.

BeispielRechenfehler mit Überschlag und Umkehraufgabe finden

Paul erhält für 44 · 22 das Ergebnis 1068. Prüfe mit einem Überschlag.
Schritt für Schritt
  1. Überschlag: 40 · 20 = 800
  2. 1068 liegt zu weit weg. Genau: 44 · 22 = 968
  3. Das Ergebnis ist falsch.
  1. Überschlag: 40 · 20 = 800
  2. 1068 liegt zu weit weg. Genau: 44 · 22 = 968
  3. Das Ergebnis ist falsch.
Ergebnis:
falsch, richtig ist 968

AchtungErgebnis nicht geprüft

So nicht
425 : 5 = 805, ohne Probe ins Heft
So richtig
425 : 5 → Überschlag 400 : 5 = 80 → 85, Probe 85 · 5 = 425

Mit einem Überschlag prüfen, ob die Größenordnung stimmt, dann mit der Umkehraufgabe.

ÜbenJetzt du

  1. ○22
    Lina erhält für 54 · 16 das Ergebnis 864. Prüfe mit einem Überschlag.
    So fängst du an:
    Überschlag: 50 · 20 = 1000
    Lösung zeigen
    1. Überschlag: 50 · 20 = 1000
    2. 864 liegt in der Nähe. Genau rechnen: 54 · 16 = 864
    3. Das Ergebnis stimmt.
    Ergebnis:
    stimmt, 864
  2. ●23
    Can rechnet 342 : 9 und erhält 37. Prüfe mit der Umkehraufgabe.
    342 : 9Ergebnis 37?
    Lösung zeigen
    1. Umkehraufgabe: 37 · 9 = 333
    2. 333 ist nicht 342: Es ist falsch.
    3. 342 : 9 = 38
    Ergebnis:
    falsch, richtig ist 38
  3. ★24
    Zeynep erhält für 316 · 49 das Ergebnis 16.484. Prüfe mit einem Überschlag.
    Lösung zeigen
    1. Überschlag: 300 · 50 = 15.000
    2. 16.484 liegt zu weit weg. Genau: 316 · 49 = 15.484
    3. Das Ergebnis ist falsch.
    Ergebnis:
    falsch, richtig ist 15.484

Vermischte Übungen

Alles durcheinander – wie in der Arbeit. Überleg bei jeder Aufgabe zuerst: Welches Ziel ist das?

Üben

  1. ●25
    Welche Zahlen fasst du bei 19 + 56 + 81 zuerst zusammen? Begründe und rechne.
    195681
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 19 + 81 + 56
    2. 19 + 81 = 100
    3. Zusammen glatt, der Rest ist leicht: 100 + 56 = 156
    Ergebnis:
    156
  2. ●26
    Welche zwei Zahlen ergeben bei 2 · 11 · 5 zusammen eine glatte Zahl? Rechne damit.
    2115
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 2 · 5 · 11
    2. 2 · 5 = 10
    3. 10 · 11 = 110
    Ergebnis:
    110
  3. ●27
    Ergänze so, dass die Summe gleich bleibt: 68 + 94 = 70 + ___
    6894
    Lösung zeigen
    1. 68 wird zu 70: 2 mehr.
    2. Also muss 94 um 2 kleiner werden: 94 − 2 = 92
    3. 70 + 92 = 162
    Ergebnis:
    92
  4. ●28
    Rechne geschickt durch gleichsinniges Verändern: 217 − 198
    Lösung zeigen
    1. Beide Zahlen um 2 vergrößern: Der Abstand bleibt gleich.
    2. 217 − 198 = 219 − 200
    3. 219 − 200 = 19
    Ergebnis:
    19
  5. ●29
    Rechne halbschriftlich: Zerlege den zweiten Faktor. 8 · 31
    Lösung zeigen
    1. 31 = 30 + 1
    2. 8 · 30 = 240 und 8 · 1 = 8
    3. 240 + 8 = 248
    Ergebnis:
    248
  6. ●30
    Welche zwei Malaufgaben zeigen die beiden Teile des Rechtecks? Was ergibt 7 · 12?
    1027
    Lösung zeigen
    1. Links: 7 · 10 = 70
    2. Rechts: 7 · 2 = 14
    3. 7 · 12 = 70 + 14 = 84
    Ergebnis:
    7 · 10 und 7 · 2, zusammen 84

Auf einen Blick

MerkenDas Wichtigste

Vertauschen und zusammenfassen
Beim Plus und beim Mal darf man die Zahlen vertauschen und anders zusammenfassen.
Gegensinnig und gleichsinnig
Bei einer Summe gibt ein Summand ab, was der andere bekommt.
Malnehmen mit Zerlegen
Einen Faktor zerlegen, jeden Teil malnehmen und die Teilergebnisse addieren.
Teilen mit Zerlegen
Die Zahl so zerlegen, dass jeder Teil glatt aufgeht. So wird 385 : 7 zu 350 : 7 + 35 : 7.
Ausdrücke mit gleichem Wert
Verschiedene Rechenausdrücke können denselben Wert haben.
Verdoppeln und halbieren
Wird ein Faktor verdoppelt und der andere halbiert, bleibt das Produkt gleich.
Den passenden Weg wählen
Vor dem Rechnen die Zahlen ansehen.
Überschlag und Umkehraufgabe
Ein Überschlag mit runden Zahlen zeigt, ob ein Ergebnis stimmen kann.

Kannst du das?

Je Ziel eine Aufgabe. Rechne sie ins Heft, dann kreuz ehrlich an. Keine Punkte, keine Note – der Test ist für dich.

ÜbenSelbsttest

  1. Ich rechne Plusaufgaben und Malaufgaben geschickt durch Vertauschen und Zusammenfassen.

    31
    Welche Zahlen fasst du bei 8 + 64 + 12 zuerst zusammen? Begründe und rechne.
    86412
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    84

  2. Ich verändere Summen gegensinnig und Differenzen gleichsinnig.

    32
    Rechne geschickt durch gegensinniges Verändern: 39 + 54
    3954
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    93

  3. Ich nehme halbschriftlich mal, indem ich einen Faktor zerlege.

    33
    Rechne geschickt über die glatte Zahl: 6 · 59
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    354

  4. Ich dividiere halbschriftlich, indem ich die Zahl geschickt zerlege.

    34
    Rechne halbschriftlich: 392 : 7
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    56

  5. Ich finde Aufgaben mit gleichem Ergebnis und vergleiche Rechenausdrücke.

    35
    Finde die fehlende Zahl mit einem Rechengesetz: 4 · 12 = 2 · ___
    4 · 12=2 · ?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    24

  6. Ich rechne mit Verdoppeln und Halbieren und prüfe, ob das Ergebnis gleich bleibt.

    36
    Warum ist 14 · 5 dasselbe wie 7 · 10? Rechne dann geschickt.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    70

  7. Ich wähle zu einer Aufgabe den passenden Rechenweg.

    37
    Wie rechnest du am schnellsten: 7 · 25? Nenne ihn und rechne.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    zerlegen, 175

  8. Ich finde Rechenfehler mit Überschlag und Umkehraufgabe.

    38
    Jonas erhält für 73 · 44 das Ergebnis 3412. Prüfe mit einem Überschlag.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    falsch, richtig ist 3212

Bei „unsicher“ oder „noch nicht“: Lies den Abschnitt zum Ziel noch einmal und rechne seine drei Aufgaben.

Die Frage vom Anfang

EntdeckenRückschau

Rechne im Kopf, so schnell du kannst: 25 · 17 · 4. Schreib nichts auf und nimm keinen Taschenrechner.

Lies deine Vermutung vom Anfang. Kannst du die Frage jetzt mit dem Kapitel beantworten?

Auflösung

Mit dem Werkzeug aus diesem Kapitel: Vertauschen und Zusammenfassen: erst die Zahlen, die zusammen glatt werden.

Wo brauchst du das?

Entdecken

Preise im Kopf addieren, Rückgeld überschlagen, Mengen für ein Fest ausrechnen. Beruf: Kasse und Verkauf, Handwerk beim Materialberechnen, Lager und Versand.

Wörter

Differenz
was übrig bleibt, wenn man abzieht
Gleichung
zwei Rechnungen, die gleich viel wert sind
Produkt
was herauskommt, wenn man malnimmt
Summe
was herauskommt, wenn man zusammenzählt
Teiler
eine Zahl, durch die es ohne Rest aufgeht

Wie es zusammenhängt

Das brauchst du vorher: Rechenregeln, Teiler und Vielfache, Natürliche Zahlen und Stellenwert

Darauf baut auf: Sachaufgaben lösen

Lösungen

  1. 136
  2. 67
  3. 1427
  4. 226
  5. 35
  6. 1442
  7. 56
  8. 87
  9. 135
  10. 12
  11. 67
  12. 83
  13. 18
  14. 61
  15. 80
  16. 180
  17. 90
  18. Nein, viermal so groß; richtig ist 400
  19. zerlegen, 204
  20. vertauschen, 176
  21. vertauschen, 129
  22. stimmt, 864
  23. falsch, richtig ist 38
  24. falsch, richtig ist 15.484
  25. 156
  26. 110
  27. 92
  28. 19
  29. 248
  30. 7 · 10 und 7 · 2, zusammen 84
  31. 84
  32. 93
  33. 354
  34. 56
  35. 24
  36. 70
  37. zerlegen, 175
  38. falsch, richtig ist 3212
  39. 27
  40. 108
  41. 90
  42. 38