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Mathematik · Klasse 5 · Kapitel

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Rechengesetze und Rechenvorteile

EntdeckenDie Frage zum Kapitel

Rechne im Kopf, so schnell du kannst: 25 · 17 · 4. Schreib nichts auf und nimm keinen Taschenrechner.

Schreib eine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Für die Lehrkraft: Die meisten rechnen von links: 25 · 17 und kommen durcheinander. Andere geben auf oder raten. Nur wenige sehen, dass 25 und 4 zusammen 100 ergeben. Beim Malnehmen darf man die Zahlen vertauschen. Dann steht 25 · 4 · 17 da, also 100 · 17. Das Ergebnis ist 1700, in einer Sekunde.

  • Entdecken Frage, Vorstellung, Bild
  • Merken kommt ins Heft
  • Beispiel vorgerechnet, Schritt für Schritt
  • Üben selbst rechnen
  • Achtung typischer Fehler
  • Weiterdenken zum Knobeln und Vernetzen

○ mit Starthilfe, ● für alle, ★ zum Weiterdenken. Du wählst mindestens eine ★-Aufgabe. Du rechnest ins Heft.

Fit für das Kapitel?

Das brauchst du aus früheren Themen. Klappt es nicht, frag nach, bevor es losgeht.

ÜbenWeißt du das noch?

Punkt vor Strich und Klammer zuerst – so steht es seit Klasse 4 im Heft.

  1. ●39
    Rechne: 8 + 3 · 8
    Lösung zeigen
    1. Punkt vor Strich: erst 3 · 8 = 24
    2. 8 + 24 = 32
    Ergebnis:
    32
  2. ●40
    Rechne: (9 + 6) · 6
    Lösung zeigen
    1. Die Klammer zuerst: 9 + 6 = 15
    2. 15 · 6 = 90
    Ergebnis:
    90

ÜbenWeißt du das noch?

Punkt vor Strich und Klammer zuerst – die Reihenfolge entscheidet über das Ergebnis.

  1. ●41
    Berechne: 7 + 7 · 3
    Lösung zeigen
    1. Punkt vor Strich: erst 7 · 3 = 21
    2. 7 + 21 = 28
    Ergebnis:
    28
  2. ●42
    Ich denke mir eine Zahl, addiere 10 und erhalte 41. Welche Zahl war es? (Umkehraufgabe)
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    31

So kannst du es dir vorstellen

EntdeckenZahlen umbauen, ohne den Wert zu ändern

Eine Rechnung lässt sich umbauen, ohne dass sich ihr Wert ändert. Zahlen tauschen die Plätze, bilden neue Gruppen oder werden zerlegt. Wer das sieht, rechnet mit glatten Zahlen statt mit krummen.

17 plus 38 plus 3: Erst 17 und 3 zu 20 zusammenfassen, dann 20 plus 38 sind 5817 + 38 + 317 + 3 = 20= 20 + 38 = 58

WeiterdenkenDenk nach

Warum darf man bei 25 + 38 + 75 zuerst 25 und 75 addieren, bei 50 − 20 − 10 aber nicht zuerst 20 − 10?

1Ich rechne Plusaufgaben und Malaufgaben geschickt durch Vertauschen und Zusammenfassen.

EntdeckenFrage

Wie konnte der neunjährige Carl Friedrich Gauß die Zahlen von 1 bis 100 in wenigen Minuten addieren?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Er hat die Zahlen in Paare umsortiert: 1 und 100, 2 und 99, 3 und 98. Jedes Paar ergibt 101, und es sind 50 Paare. Also 50 · 101 = 5050. Er hat nur vertauscht und neu zusammengefasst.

MerkenVertauschen und zusammenfassen

Beim Plus und beim Mal darf man die Zahlen vertauschen und anders zusammenfassen.

Erst die Zahlen nehmen, die zusammen glatt werden.

BeispielPlusaufgaben geschickt: vertauschen und zusammenfassen

Jonas rechnet 6 + 25 + 34 von links nach rechts. Zeige einen schnelleren Weg mit einem Rechenvorteil.
62534
Schritt für Schritt
  1. Vertauschen: 6 + 34 + 25
  2. 6 + 34 = 40
  3. 40 + 25 = 65
  1. Vertauschen: 6 + 34 + 25
  2. 6 + 34 = 40
  3. 40 + 25 = 65
Ergebnis:
65

AchtungBeim Minus oder Geteilt vertauscht

So nicht
50 − 20 − 10: erst 20 − 10 = 10, dann 50 − 10 = 40
So richtig
50 − 20 − 10 = 30 − 10 = 20

Vertauschen ist nur beim Plus und beim Mal erlaubt. 20 − 5 ist nicht 5 − 20.

ÜbenJetzt du

  1. ○1
    Lea rechnet 75 + 13 + 25 von links nach rechts. Zeige einen schnelleren Weg mit einem Rechenvorteil.
    751325
    So fängst du an:
    Vertauschen: 75 + 25 + 13
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 75 + 25 + 13
    2. 75 + 25 = 100
    3. 100 + 13 = 113
    Ergebnis:
    113
  2. ●2
    Welche Zahlen fasst du bei 25 + 54 + 35 zuerst zusammen? Begründe und rechne.
    255435
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 25 + 35 + 54
    2. 25 + 35 = 60
    3. Zusammen glatt, der Rest ist leicht: 60 + 54 = 114
    Ergebnis:
    114
  3. ★3
    Tom rechnet 117 + 735 + 83 von links nach rechts. Zeige einen schnelleren Weg mit einem Rechenvorteil.
    11773583
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 117 + 83 + 735
    2. 117 + 83 = 200
    3. 200 + 735 = 935
    Ergebnis:
    935

2Ich verändere Summen gegensinnig und Differenzen gleichsinnig.

EntdeckenFrage

Warum rechnen Kassiererinnen 3,99 € mal 4 schneller als ein Kunde mit Papier?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Sie rechnen 4 mal 4 € und ziehen dann 4 Cent ab: 16,00 € − 0,04 € = 15,96 €. Das ist Zerlegen: 3,99 ist 4 minus 1 Cent. Der Rechenweg ist kurz, weil er über die glatte Zahl geht.

MerkenGegensinnig und gleichsinnig

Bei einer Summe gibt ein Summand ab, was der andere bekommt.

Bei einer Differenz ändern sich beide Zahlen gleich, der Abstand bleibt.

BeispielSummen gegensinnig verändern

Rechne geschickt durch gegensinniges Verändern: 68 + 56
6856
Schritt für Schritt
  1. 68 bekommt 2 dazu, 56 gibt 2 ab.
  2. 68 + 56 = 70 + 54
  3. 70 + 54 = 124
  1. 68 bekommt 2 dazu, 56 gibt 2 ab.
  2. 68 + 56 = 70 + 54
  3. 70 + 54 = 124
Ergebnis:
124

AchtungNur eine Zahl verändert

So nicht
143 − 97: 143 − 100 = 43
So richtig
143 − 97 = 146 − 100 = 46

Bei der Summe gegensinnig, bei der Differenz gleichsinnig: Immer beide Zahlen verändern.

ÜbenJetzt du

  1. ○4
    Ergänze so, dass die Summe gleich bleibt: 98 + 93 = 100 + ___
    9893
    So fängst du an:
    98 wird zu 100: 2 mehr.
    Lösung zeigen
    1. 98 wird zu 100: 2 mehr.
    2. Also muss 93 um 2 kleiner werden: 93 − 2 = 91
    3. 100 + 91 = 191
    Ergebnis:
    91
  2. ●5
    Ergänze so, dass die Summe gleich bleibt: 99 + 42 = 100 + ___
    9942
    Lösung zeigen
    1. 99 wird zu 100: 1 mehr.
    2. Also muss 42 um 1 kleiner werden: 42 − 1 = 41
    3. 100 + 41 = 141
    Ergebnis:
    41
  3. ★6
    Hanna rechnet 1998 + 434 als 2000 + 434. Was muss Hanna danach noch tun? Was kommt heraus?
    1998434
    Lösung zeigen
    1. Hanna hat 1998 um 2 vergrößert.
    2. Die Summe ist dadurch um 2 zu groß: 2000 + 434 = 2434.
    3. 2 wieder abziehen: 2434 − 2 = 2432
    Ergebnis:
    2432

3Ich nehme halbschriftlich mal, indem ich einen Faktor zerlege.

EntdeckenFrage

Wie haben Bauern in Russland früher ohne Einmaleins multipliziert?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Sie haben eine Zahl immer halbiert und die andere verdoppelt, bis links eine 1 stand. Dann addierten sie die rechten Zahlen der Zeilen mit ungerader linker Zahl. Das Verfahren heißt russische Bauernmultiplikation und nutzt, dass Verdoppeln und Halbieren das Produkt nicht ändert.

MerkenMalnehmen mit Zerlegen

Einen Faktor zerlegen, jeden Teil malnehmen und die Teilergebnisse addieren.

So wird 7 · 48 zu 7 · 40 + 7 · 8.

BeispielHalbschriftlich malnehmen mit Zerlegen

Es gibt 5 Reihen mit je 42 Stühle. Wie viele Stühle sind es? Rechne halbschriftlich.
Schritt für Schritt
  1. 5 · 42
  2. 42 = 40 + 2
  3. 5 · 40 = 200 und 5 · 2 = 10
  4. 200 + 10 = 210
  1. 5 · 42
  2. 42 = 40 + 2
  3. 5 · 40 = 200 und 5 · 2 = 10
  4. 200 + 10 = 210
Ergebnis:
210 Stühle

AchtungBeim Zerlegen einen Teil vergessen

So nicht
7 · 48: 7 · 40 + 8 = 288
So richtig
7 · 48 = 7 · 40 + 7 · 8 = 280 + 56 = 336

Jeder Teil des zerlegten Faktors wird malgenommen, nicht nur der erste.

ÜbenJetzt du

  1. ○7
    Es gibt 6 Tüten mit je 24 Bonbons. Wie viele Bonbons sind es? Rechne halbschriftlich.
    So fängst du an:
    6 · 24
    Lösung zeigen
    1. 6 · 24
    2. 24 = 20 + 4
    3. 6 · 20 = 120 und 6 · 4 = 24
    4. 120 + 24 = 144
    Ergebnis:
    144 Bonbons
  2. ●8
    Rechne geschickt über die glatte Zahl: 5 · 49
    Lösung zeigen
    1. 49 = 50 − 1
    2. 5 · 50 = 250 und 5 · 1 = 5
    3. 250 − 5 = 245
    Ergebnis:
    245
  3. ★9
    Rechne halbschriftlich: Zerlege den zweiten Faktor. 4 · 41
    Lösung zeigen
    1. 41 = 40 + 1
    2. 4 · 40 = 160 und 4 · 1 = 4
    3. 160 + 4 = 164
    Ergebnis:
    164

4Ich dividiere halbschriftlich, indem ich die Zahl geschickt zerlege.

EntdeckenFrage

Warum ist 25 mal 4 ein Lieblingspaar beim Kopfrechnen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

25 mal 4 ergibt genau 100. Kommen 25 und 4 in einer Malaufgabe vor, fasst man sie zuerst zusammen. Aus 25 · 37 · 4 wird dann 100 · 37 = 3700, ganz ohne schriftliches Rechnen.

MerkenTeilen mit Zerlegen

Die Zahl so zerlegen, dass jeder Teil glatt aufgeht. So wird 385 : 7 zu 350 : 7 + 35 : 7.

BeispielHalbschriftlich dividieren

Zerlege 276 so in zwei Zahlen, dass du beide leicht durch 4 dividieren kannst. Was ergibt 276 : 4?
276: 4
Schritt für Schritt
  1. 276 = 240 + 36
  2. 240 : 4 = 60 und 36 : 4 = 9
  3. 60 + 9 = 69
  1. 276 = 240 + 36
  2. 240 : 4 = 60 und 36 : 4 = 9
  3. 60 + 9 = 69
Ergebnis:
69

AchtungBeim Teilen nicht passend zerlegt

So nicht
385 : 7: 300 : 7 geht nicht glatt → aufgegeben
So richtig
385 : 7 = 350 : 7 + 35 : 7 = 50 + 5 = 55

Jeder Teil muss sich glatt teilen lassen. Erst ein großes Vielfaches abspalten.

ÜbenJetzt du

  1. ○10
    246 Sticker werden gleichmäßig auf 6 Kinder aufgeteilt. Wie viele bekommt jeder Teil? Rechne halbschriftlich.
    So fängst du an:
    246 : 6
    Lösung zeigen
    1. 246 : 6
    2. 246 = 240 + 6
    3. 240 : 6 = 40 und 6 : 6 = 1
    4. 40 + 1 = 41
    Ergebnis:
    41 Sticker
  2. ●11
    Rechne halbschriftlich: 330 : 5
    Lösung zeigen
    1. 330 = 300 + 30
    2. 300 : 5 = 60 und 30 : 5 = 6
    3. 60 + 6 = 66
    Ergebnis:
    66
  3. ★12
    Rechne halbschriftlich: 905 : 5
    Lösung zeigen
    1. 905 = 900 + 5
    2. 900 : 5 = 180 und 5 : 5 = 1
    3. 180 + 1 = 181
    Ergebnis:
    181

5Ich finde Aufgaben mit gleichem Ergebnis und vergleiche Rechenausdrücke.

EntdeckenFrage

Warum stimmt der Trick „mal 9 ist mal 10 minus einmal“ immer?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Neunmal eine Zahl ist zehnmal die Zahl minus einmal die Zahl. So wird 9 · 47 zu 470 − 47 = 423. Das ist das Verteilungsgesetz: 9 ist 10 minus 1.

MerkenAusdrücke mit gleichem Wert

Verschiedene Rechenausdrücke können denselben Wert haben.

Wer die Rechengesetze nutzt, sieht das oft ohne Ausrechnen.

BeispielAufgaben mit gleichem Ergebnis

Finde die fehlende Zahl mit einem Rechengesetz: 12 · 4 = 6 · ___
12 · 4=6 · ?
Schritt für Schritt
  1. 12 wird halb so groß: 6.
  2. Damit das Ergebnis gleich bleibt, wird 4 doppelt so groß.
  3. 4 · 2 = 8
  1. 12 wird halb so groß: 6.
  2. Damit das Ergebnis gleich bleibt, wird 4 doppelt so groß.
  3. 4 · 2 = 8
Ergebnis:
8

AchtungPunkt vor Strich missachtet

So nicht
9 + 5 · 7 = 14 · 7 = 98
So richtig
9 + 5 · 7 = 9 + 35 = 44

Klammer zuerst, dann Mal und Geteilt, dann Plus und Minus.

ÜbenJetzt du

  1. ○13
    Welche Zahl fehlt? Rechne nicht beide Seiten aus. 76 − 47 = ___ − 57
    So fängst du an:
    47 wird zu 57: 10 mehr.
    Lösung zeigen
    1. 47 wird zu 57: 10 mehr.
    2. Damit der Abstand bleibt, wird auch 76 um 10 größer.
    3. 76 + 10 = 86
    Ergebnis:
    86
  2. ●14
    Ergänze die Lücke: 47 − 16 = ___ − 26
    Lösung zeigen
    1. 16 wird zu 26: 10 mehr.
    2. Damit der Abstand bleibt, wird auch 47 um 10 größer.
    3. 47 + 10 = 57
    Ergebnis:
    57
  3. ★15
    Finde die fehlende Zahl mit einem Rechengesetz: 56 − 40 = ___ − 41
    Lösung zeigen
    1. 40 wird zu 41: 1 mehr.
    2. Damit der Abstand bleibt, wird auch 56 um 1 größer.
    3. 56 + 1 = 57
    Ergebnis:
    57

6Ich rechne mit Verdoppeln und Halbieren und prüfe, ob das Ergebnis gleich bleibt.

EntdeckenFrage

Wie merkt man in Sekunden, dass 98 · 102 nicht 99.960 sein kann?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Man rechnet nicht, man überschlägt: 100 · 100 = 10.000. Das Ergebnis muss also in der Nähe von 10.000 liegen. 99.960 ist fast zehnmal so groß und kann nicht stimmen. Richtig ist 9996.

MerkenVerdoppeln und halbieren

Wird ein Faktor verdoppelt und der andere halbiert, bleibt das Produkt gleich.

Werden beide verdoppelt, wird es viermal so groß.

BeispielVerdoppeln und Halbieren

Rechne geschickt: Halbiere den einen Faktor und verdopple den anderen. 16 · 5
Schritt für Schritt
  1. 16 · 5 = 8 · 10
  2. 8 · 10 = 80
  1. 16 · 5 = 8 · 10
  2. 8 · 10 = 80
Ergebnis:
80

AchtungBeide Faktoren verdoppelt

So nicht
8 · 25 → 16 · 50 = 800
So richtig
8 · 25 → 4 · 50 = 200

Nur einer wird verdoppelt, der andere halbiert. Sonst ändert sich das Ergebnis.

ÜbenJetzt du

  1. ○16
    Elias verdoppelt bei 14 · 15 beide Faktoren und rechnet 28 · 30. Bleibt das Ergebnis gleich?
    So fängst du an:
    Einmal verdoppeln macht das Ergebnis doppelt so groß, zweimal viermal so groß.
    Lösung zeigen
    1. Einmal verdoppeln macht das Ergebnis doppelt so groß, zweimal viermal so groß.
    2. 28 · 30 = 840, aber 14 · 15 = 210
    3. Richtig ist: einen verdoppeln, den anderen halbieren.
    Ergebnis:
    Nein, viermal so groß; richtig ist 210
  2. ●17
    Zeynep verdoppelt bei 16 · 5 beide Faktoren und rechnet 32 · 10. Bleibt das Ergebnis gleich?
    Lösung zeigen
    1. Einmal verdoppeln macht das Ergebnis doppelt so groß, zweimal viermal so groß.
    2. 32 · 10 = 320, aber 16 · 5 = 80
    3. Richtig ist: einen verdoppeln, den anderen halbieren.
    Ergebnis:
    Nein, viermal so groß; richtig ist 80
  3. ★18
    Warum ist 18 · 45 dasselbe wie 9 · 90? Rechne dann geschickt.
    Lösung zeigen
    1. Halb so viele Reihen, jede doppelt so lang: gleich viele Kästchen.
    2. 18 · 45 = 9 · 90
    3. 9 · 90 = 810
    Ergebnis:
    810

7Ich wähle zu einer Aufgabe den passenden Rechenweg.

EntdeckenFrage

Wie rechnen Darts-Profis blitzschnell aus, wie viele Punkte ihnen von 501 noch fehlen, wenn sie 140 geworfen haben?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Der geschickte Weg nimmt erst eine runde Zahl. 500 − 140 = 360, und der eine Extrapunkt kommt dazu: 361. Das geht schneller als 501 − 140 Stelle für Stelle. Am Ergebnis ändert der Weg nichts.

MerkenDen passenden Weg wählen

Vor dem Rechnen die Zahlen ansehen.

Liegt eine Zahl nahe an einer glatten, lohnt sich ein Vorteil, sonst rechnet man schriftlich.

BeispielDen passenden Rechenweg wählen

Welchen Rechenvorteil nutzt du bei 4 · 59? Nenne ihn und rechne.
4 · 59zerlegenhalbieren und verdoppelnschriftlich
Schritt für Schritt
  1. Den zweiten Faktor zerlegen: 59 = 50 + 9.
  2. 4 · 50 = 200 und 4 · 9 = 36
  3. Zusammen: 236
  1. Den zweiten Faktor zerlegen: 59 = 50 + 9.
  2. 4 · 50 = 200 und 4 · 9 = 36
  3. Zusammen: 236
Ergebnis:
zerlegen, 236

AchtungUmständlichen Weg gewählt

So nicht
299 + 158 schriftlich untereinander gerechnet, dabei verrechnet: 447
So richtig
299 + 158 = 300 + 157 = 457

Erst die Zahlen ansehen: Liegt eine nahe an einer glatten Zahl?

ÜbenJetzt du

  1. ○19
    Wie rechnest du am schnellsten: 168 + 497? Nenne ihn und rechne.
    So fängst du an:
    497 liegt knapp unter 500: gegensinnig verändern.
    Lösung zeigen
    1. 497 liegt knapp unter 500: gegensinnig verändern.
    2. 168 + 497 = 165 + 500
    3. 165 + 500 = 665
    Ergebnis:
    gegensinnig verändern, 665
  2. ●20
    Welchen Rechenvorteil nutzt du bei 6 · 76? Nenne ihn und rechne.
    6 · 76zerlegenhalbieren und verdoppelnschriftlich
    Lösung zeigen
    1. Den zweiten Faktor zerlegen: 76 = 70 + 6.
    2. 6 · 70 = 420 und 6 · 6 = 36
    3. Zusammen: 456
    Ergebnis:
    zerlegen, 456
  3. ★21
    Welcher Weg passt zu 4 · 81? Nenne ihn und rechne.
    4 · 81zerlegenhalbieren und verdoppelnschriftlich
    Lösung zeigen
    1. Den zweiten Faktor zerlegen: 81 = 80 + 1.
    2. 4 · 80 = 320 und 4 · 1 = 4
    3. Zusammen: 324
    Ergebnis:
    zerlegen, 324

8Ich finde Rechenfehler mit Überschlag und Umkehraufgabe.

EntdeckenFrage

Warum zählt man Rückgeld vom Preis aus nach oben, statt abzuziehen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Wer 13,40 € zahlen muss und 20 € gibt, bekommt 20 − 13,40 = 6,60 € zurück. Beim Hochzählen rechnet man die Umkehraufgabe: 13,40 + 6,60 = 20. Kommt man genau auf den gegebenen Betrag, stimmt das Rückgeld.

MerkenÜberschlag und Umkehraufgabe

Ein Überschlag mit runden Zahlen zeigt, ob ein Ergebnis stimmen kann.

Die Umkehraufgabe prüft es genau.

BeispielRechenfehler mit Überschlag und Umkehraufgabe finden

Ben rechnet 203 : 7 und erhält 31. Prüfe mit der Umkehraufgabe.
203 : 7Ergebnis 31?
Schritt für Schritt
  1. Umkehraufgabe: 31 · 7 = 217
  2. 217 ist nicht 203: Es ist falsch.
  3. 203 : 7 = 29
  1. Umkehraufgabe: 31 · 7 = 217
  2. 217 ist nicht 203: Es ist falsch.
  3. 203 : 7 = 29
Ergebnis:
falsch, richtig ist 29

AchtungErgebnis nicht geprüft

So nicht
425 : 5 = 805, ohne Probe ins Heft
So richtig
425 : 5 → Überschlag 400 : 5 = 80 → 85, Probe 85 · 5 = 425

Mit einem Überschlag prüfen, ob die Größenordnung stimmt, dann mit der Umkehraufgabe.

ÜbenJetzt du

  1. ○22
    Noah rechnet 190 : 5 und erhält 37. Prüfe mit der Umkehraufgabe.
    190 : 5Ergebnis 37?
    So fängst du an:
    Umkehraufgabe: 37 · 5 = 185
    Lösung zeigen
    1. Umkehraufgabe: 37 · 5 = 185
    2. 185 ist nicht 190: Es ist falsch.
    3. 190 : 5 = 38
    Ergebnis:
    falsch, richtig ist 38
  2. ●23
    Noah rechnet 488 : 8 und erhält 71. Prüfe mit der Umkehraufgabe.
    488 : 8Ergebnis 71?
    Lösung zeigen
    1. Umkehraufgabe: 71 · 8 = 568
    2. 568 ist nicht 488: Es ist falsch.
    3. 488 : 8 = 61
    Ergebnis:
    falsch, richtig ist 61
  3. ★24
    Lea rechnet 1734 : 6 und erhält 291. Prüfe mit der Umkehraufgabe.
    1734 : 6Ergebnis 291?
    Lösung zeigen
    1. Umkehraufgabe: 291 · 6 = 1746
    2. 1746 ist nicht 1734: Es ist falsch.
    3. 1734 : 6 = 289
    Ergebnis:
    falsch, richtig ist 289

Vermischte Übungen

Alles durcheinander – wie in der Arbeit. Überleg bei jeder Aufgabe zuerst: Welches Ziel ist das?

Üben

  1. ●25
    Welche Zahlen fasst du bei 18 + 79 + 32 zuerst zusammen? Begründe und rechne.
    187932
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 18 + 32 + 79
    2. 18 + 32 = 50
    3. Zusammen glatt, der Rest ist leicht: 50 + 79 = 129
    Ergebnis:
    129
  2. ●26
    Rechne geschickt: 7 · 20 · 5
    7205
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 20 · 5 · 7
    2. 20 · 5 = 100
    3. 100 · 7 = 700
    Ergebnis:
    700
  3. ●27
    Mia rechnet 299 + 43 als 300 + 43. Was muss Mia danach noch tun? Was kommt heraus?
    29943
    Lösung zeigen
    1. Mia hat 299 um 1 vergrößert.
    2. Die Summe ist dadurch um 1 zu groß: 300 + 43 = 343.
    3. 1 wieder abziehen: 343 − 1 = 342
    Ergebnis:
    342
  4. ●28
    Ergänze so, dass die Differenz gleich bleibt: 38 − 17 = ___ − 20
    Lösung zeigen
    1. 17 wird zu 20: 3 mehr.
    2. Damit der Abstand bleibt, wird auch 38 um 3 größer: 41.
    3. 41 − 20 = 21
    Ergebnis:
    41
  5. ●29
    Rechne geschickt über die glatte Zahl: 5 · 59
    Lösung zeigen
    1. 59 = 60 − 1
    2. 5 · 60 = 300 und 5 · 1 = 5
    3. 300 − 5 = 295
    Ergebnis:
    295
  6. ●30
    Aylin rechnet 7 · 19 so: erst 7 · 10, dann 9 dazu. Aylin erhält 79. Zeige am Bild, was fehlt.
    1097
    Lösung zeigen
    1. Der rechte Teil hat 7 Reihen mit je 9 Kästchen, nicht nur 9.
    2. Rechter Teil: 7 · 9 = 63
    3. 70 + 63 = 133
    Ergebnis:
    133

Auf einen Blick

MerkenDas Wichtigste

Vertauschen und zusammenfassen
Beim Plus und beim Mal darf man die Zahlen vertauschen und anders zusammenfassen.
Gegensinnig und gleichsinnig
Bei einer Summe gibt ein Summand ab, was der andere bekommt.
Malnehmen mit Zerlegen
Einen Faktor zerlegen, jeden Teil malnehmen und die Teilergebnisse addieren.
Teilen mit Zerlegen
Die Zahl so zerlegen, dass jeder Teil glatt aufgeht. So wird 385 : 7 zu 350 : 7 + 35 : 7.
Ausdrücke mit gleichem Wert
Verschiedene Rechenausdrücke können denselben Wert haben.
Verdoppeln und halbieren
Wird ein Faktor verdoppelt und der andere halbiert, bleibt das Produkt gleich.
Den passenden Weg wählen
Vor dem Rechnen die Zahlen ansehen.
Überschlag und Umkehraufgabe
Ein Überschlag mit runden Zahlen zeigt, ob ein Ergebnis stimmen kann.

Kannst du das?

Je Ziel eine Aufgabe. Rechne sie ins Heft, dann kreuz ehrlich an. Keine Punkte, keine Note – der Test ist für dich.

ÜbenSelbsttest

  1. Ich rechne Plusaufgaben und Malaufgaben geschickt durch Vertauschen und Zusammenfassen.

    31
    Rechne geschickt: 48 + 66 + 52
    486652
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    166

  2. Ich verändere Summen gegensinnig und Differenzen gleichsinnig.

    32
    Paul rechnet 199 + 73 als 200 + 73. Was muss Paul danach noch tun? Was kommt heraus?
    19973
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    272

  3. Ich nehme halbschriftlich mal, indem ich einen Faktor zerlege.

    33
    Es gibt 9 Reihen mit je 22 Stühle. Wie viele Stühle sind es? Rechne halbschriftlich.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    198 Stühle

  4. Ich dividiere halbschriftlich, indem ich die Zahl geschickt zerlege.

    34
    Rechne halbschriftlich: 336 : 7
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    48

  5. Ich finde Aufgaben mit gleichem Ergebnis und vergleiche Rechenausdrücke.

    35
    Ergänze die Lücke: 14 · 5 = 7 · ___
    14 · 5=7 · ?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    10

  6. Ich rechne mit Verdoppeln und Halbieren und prüfe, ob das Ergebnis gleich bleibt.

    36
    Rechne geschickt: Halbiere den einen Faktor und verdopple den anderen. 14 · 5
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    70

  7. Ich wähle zu einer Aufgabe den passenden Rechenweg.

    37
    Welchen Rechenvorteil nutzt du bei 5 · 22? Nenne ihn und rechne.
    5 · 22zerlegenhalbieren und verdoppelnschriftlich
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    zerlegen, 110

  8. Ich finde Rechenfehler mit Überschlag und Umkehraufgabe.

    38
    Aylin rechnet 336 : 7 und erhält 48. Prüfe mit der Umkehraufgabe.
    336 : 7Ergebnis 48?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    stimmt, 48

Bei „unsicher“ oder „noch nicht“: Lies den Abschnitt zum Ziel noch einmal und rechne seine drei Aufgaben.

Die Frage vom Anfang

EntdeckenRückschau

Rechne im Kopf, so schnell du kannst: 25 · 17 · 4. Schreib nichts auf und nimm keinen Taschenrechner.

Lies deine Vermutung vom Anfang. Kannst du die Frage jetzt mit dem Kapitel beantworten?

Auflösung

Mit dem Werkzeug aus diesem Kapitel: Vertauschen und Zusammenfassen: erst die Zahlen, die zusammen glatt werden.

Wo brauchst du das?

Entdecken

Preise im Kopf addieren, Rückgeld überschlagen, Mengen für ein Fest ausrechnen. Beruf: Kasse und Verkauf, Handwerk beim Materialberechnen, Lager und Versand.

Wörter

Differenz
was übrig bleibt, wenn man abzieht
Gleichung
zwei Rechnungen, die gleich viel wert sind
Produkt
was herauskommt, wenn man malnimmt
Summe
was herauskommt, wenn man zusammenzählt
Teiler
eine Zahl, durch die es ohne Rest aufgeht

Wie es zusammenhängt

Das brauchst du vorher: Rechenregeln, Teiler und Vielfache, Natürliche Zahlen und Stellenwert

Darauf baut auf: Sachaufgaben lösen

Lösungen

  1. 113
  2. 114
  3. 935
  4. 91
  5. 41
  6. 2432
  7. 144 Bonbons
  8. 245
  9. 164
  10. 41 Sticker
  11. 66
  12. 181
  13. 86
  14. 57
  15. 57
  16. Nein, viermal so groß; richtig ist 210
  17. Nein, viermal so groß; richtig ist 80
  18. 810
  19. gegensinnig verändern, 665
  20. zerlegen, 456
  21. zerlegen, 324
  22. falsch, richtig ist 38
  23. falsch, richtig ist 61
  24. falsch, richtig ist 289
  25. 129
  26. 700
  27. 342
  28. 41
  29. 295
  30. 133
  31. 166
  32. 272
  33. 198 Stühle
  34. 48
  35. 10
  36. 70
  37. zerlegen, 110
  38. stimmt, 48
  39. 32
  40. 90
  41. 28
  42. 31