Zum Inhalt springen
Anmelden

Mathematik · Klasse 5 · Kapitel

Andere ZahlenBasiswissenAlle Kapitel

Rechengesetze und Rechenvorteile

EntdeckenDie Frage zum Kapitel

Rechne im Kopf, so schnell du kannst: 25 · 17 · 4. Schreib nichts auf und nimm keinen Taschenrechner.

Schreib eine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Für die Lehrkraft: Die meisten rechnen von links: 25 · 17 und kommen durcheinander. Andere geben auf oder raten. Nur wenige sehen, dass 25 und 4 zusammen 100 ergeben. Beim Malnehmen darf man die Zahlen vertauschen. Dann steht 25 · 4 · 17 da, also 100 · 17. Das Ergebnis ist 1700, in einer Sekunde.

  • Entdecken Frage, Vorstellung, Bild
  • Merken kommt ins Heft
  • Beispiel vorgerechnet, Schritt für Schritt
  • Üben selbst rechnen
  • Achtung typischer Fehler
  • Weiterdenken zum Knobeln und Vernetzen

○ mit Starthilfe, ● für alle, ★ zum Weiterdenken. Du wählst mindestens eine ★-Aufgabe. Du rechnest ins Heft.

Fit für das Kapitel?

Das brauchst du aus früheren Themen. Klappt es nicht, frag nach, bevor es losgeht.

ÜbenWeißt du das noch?

Punkt vor Strich und Klammer zuerst – so steht es seit Klasse 4 im Heft.

  1. ●39
    Rechne: 51 − 4 · 5
    Lösung zeigen
    1. Punkt vor Strich: erst 4 · 5 = 20
    2. 51 − 20 = 31
    Ergebnis:
    31
  2. ●40
    Rechne: (8 + 4) · 6
    Lösung zeigen
    1. Die Klammer zuerst: 8 + 4 = 12
    2. 12 · 6 = 72
    Ergebnis:
    72

ÜbenWeißt du das noch?

Punkt vor Strich und Klammer zuerst – die Reihenfolge entscheidet über das Ergebnis.

  1. ●41
    Berechne: 6 + 2 · 7
    Lösung zeigen
    1. Punkt vor Strich: erst 2 · 7 = 14
    2. 6 + 14 = 20
    Ergebnis:
    20
  2. ●42
    Ich denke mir eine Zahl, addiere 20 und erhalte 76. Welche Zahl war es? (Umkehraufgabe)
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    56

So kannst du es dir vorstellen

EntdeckenZahlen umbauen, ohne den Wert zu ändern

Eine Rechnung lässt sich umbauen, ohne dass sich ihr Wert ändert. Zahlen tauschen die Plätze, bilden neue Gruppen oder werden zerlegt. Wer das sieht, rechnet mit glatten Zahlen statt mit krummen.

17 plus 38 plus 3: Erst 17 und 3 zu 20 zusammenfassen, dann 20 plus 38 sind 5817 + 38 + 317 + 3 = 20= 20 + 38 = 58

WeiterdenkenDenk nach

Warum darf man bei 25 + 38 + 75 zuerst 25 und 75 addieren, bei 50 − 20 − 10 aber nicht zuerst 20 − 10?

1Ich rechne Plusaufgaben und Malaufgaben geschickt durch Vertauschen und Zusammenfassen.

EntdeckenFrage

Wie konnte der neunjährige Carl Friedrich Gauß die Zahlen von 1 bis 100 in wenigen Minuten addieren?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Er hat die Zahlen in Paare umsortiert: 1 und 100, 2 und 99, 3 und 98. Jedes Paar ergibt 101, und es sind 50 Paare. Also 50 · 101 = 5050. Er hat nur vertauscht und neu zusammengefasst.

MerkenVertauschen und zusammenfassen

Beim Plus und beim Mal darf man die Zahlen vertauschen und anders zusammenfassen.

Erst die Zahlen nehmen, die zusammen glatt werden.

BeispielPlusaufgaben geschickt: vertauschen und zusammenfassen

Ben rechnet 17 + 25 + 13 von links nach rechts. Zeige einen schnelleren Weg mit einem Rechenvorteil.
172513
Schritt für Schritt
  1. Vertauschen: 17 + 13 + 25
  2. 17 + 13 = 30
  3. 30 + 25 = 55
  1. Vertauschen: 17 + 13 + 25
  2. 17 + 13 = 30
  3. 30 + 25 = 55
Ergebnis:
55

AchtungBeim Minus oder Geteilt vertauscht

So nicht
50 − 20 − 10: erst 20 − 10 = 10, dann 50 − 10 = 40
So richtig
50 − 20 − 10 = 30 − 10 = 20

Vertauschen ist nur beim Plus und beim Mal erlaubt. 20 − 5 ist nicht 5 − 20.

ÜbenJetzt du

  1. ○1
    Rechne geschickt: 81 + 22 + 19
    812219
    So fängst du an:
    Vertauschen: 81 + 19 + 22
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 81 + 19 + 22
    2. 81 + 19 = 100
    3. 100 + 22 = 122
    Ergebnis:
    122
  2. ●2
    Rechne geschickt: 21 + 83 + 9
    21839
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 21 + 9 + 83
    2. 21 + 9 = 30
    3. 30 + 83 = 113
    Ergebnis:
    113
  3. ★3
    Welche Zahlen fasst du bei 69 + 314 + 31 zuerst zusammen? Begründe und rechne.
    6931431
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 69 + 31 + 314
    2. 69 + 31 = 100
    3. Zusammen glatt, der Rest ist leicht: 100 + 314 = 414
    Ergebnis:
    414

2Ich verändere Summen gegensinnig und Differenzen gleichsinnig.

EntdeckenFrage

Warum rechnen Kassiererinnen 3,99 € mal 4 schneller als ein Kunde mit Papier?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Sie rechnen 4 mal 4 € und ziehen dann 4 Cent ab: 16,00 € − 0,04 € = 15,96 €. Das ist Zerlegen: 3,99 ist 4 minus 1 Cent. Der Rechenweg ist kurz, weil er über die glatte Zahl geht.

MerkenGegensinnig und gleichsinnig

Bei einer Summe gibt ein Summand ab, was der andere bekommt.

Bei einer Differenz ändern sich beide Zahlen gleich, der Abstand bleibt.

BeispielSummen gegensinnig verändern

Ergänze so, dass die Summe gleich bleibt: 68 + 78 = 70 + ___
6878
Schritt für Schritt
  1. 68 wird zu 70: 2 mehr.
  2. Also muss 78 um 2 kleiner werden: 78 − 2 = 76
  3. 70 + 76 = 146
  1. 68 wird zu 70: 2 mehr.
  2. Also muss 78 um 2 kleiner werden: 78 − 2 = 76
  3. 70 + 76 = 146
Ergebnis:
76

AchtungNur eine Zahl verändert

So nicht
143 − 97: 143 − 100 = 43
So richtig
143 − 97 = 146 − 100 = 46

Bei der Summe gegensinnig, bei der Differenz gleichsinnig: Immer beide Zahlen verändern.

ÜbenJetzt du

  1. ○4
    Jonas rechnet 197 + 79 als 200 + 79. Was muss Jonas danach noch tun? Was kommt heraus?
    19779
    So fängst du an:
    Jonas hat 197 um 3 vergrößert.
    Lösung zeigen
    1. Jonas hat 197 um 3 vergrößert.
    2. Die Summe ist dadurch um 3 zu groß: 200 + 79 = 279.
    3. 3 wieder abziehen: 279 − 3 = 276
    Ergebnis:
    276
  2. ●5
    Rechne geschickt durch gegensinniges Verändern: 99 + 25
    9925
    Lösung zeigen
    1. 99 bekommt 1 dazu, 25 gibt 1 ab.
    2. 99 + 25 = 100 + 24
    3. 100 + 24 = 124
    Ergebnis:
    124
  3. ★6
    Mia rechnet 496 + 687 als 500 + 687. Was muss Mia danach noch tun? Was kommt heraus?
    496687
    Lösung zeigen
    1. Mia hat 496 um 4 vergrößert.
    2. Die Summe ist dadurch um 4 zu groß: 500 + 687 = 1187.
    3. 4 wieder abziehen: 1187 − 4 = 1183
    Ergebnis:
    1183

3Ich nehme halbschriftlich mal, indem ich einen Faktor zerlege.

EntdeckenFrage

Wie haben Bauern in Russland früher ohne Einmaleins multipliziert?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Sie haben eine Zahl immer halbiert und die andere verdoppelt, bis links eine 1 stand. Dann addierten sie die rechten Zahlen der Zeilen mit ungerader linker Zahl. Das Verfahren heißt russische Bauernmultiplikation und nutzt, dass Verdoppeln und Halbieren das Produkt nicht ändert.

MerkenMalnehmen mit Zerlegen

Einen Faktor zerlegen, jeden Teil malnehmen und die Teilergebnisse addieren.

So wird 7 · 48 zu 7 · 40 + 7 · 8.

BeispielHalbschriftlich malnehmen mit Zerlegen

Rechne halbschriftlich: Zerlege den zweiten Faktor. 5 · 14
Schritt für Schritt
  1. 14 = 10 + 4
  2. 5 · 10 = 50 und 5 · 4 = 20
  3. 50 + 20 = 70
  1. 14 = 10 + 4
  2. 5 · 10 = 50 und 5 · 4 = 20
  3. 50 + 20 = 70
Ergebnis:
70

AchtungBeim Zerlegen einen Teil vergessen

So nicht
7 · 48: 7 · 40 + 8 = 288
So richtig
7 · 48 = 7 · 40 + 7 · 8 = 280 + 56 = 336

Jeder Teil des zerlegten Faktors wird malgenommen, nicht nur der erste.

ÜbenJetzt du

  1. ○7
    Es gibt 4 Hefte mit je 66 Hefte. Wie viele Hefte sind es? Rechne halbschriftlich.
    So fängst du an:
    4 · 66
    Lösung zeigen
    1. 4 · 66
    2. 66 = 60 + 6
    3. 4 · 60 = 240 und 4 · 6 = 24
    4. 240 + 24 = 264
    Ergebnis:
    264 Hefte
  2. ●8
    Rechne geschickt über die glatte Zahl: 7 · 59
    Lösung zeigen
    1. 59 = 60 − 1
    2. 7 · 60 = 420 und 7 · 1 = 7
    3. 420 − 7 = 413
    Ergebnis:
    413
  3. ★9
    Es gibt 3 Reihen mit je 58 Stühle. Wie viele Stühle sind es? Rechne halbschriftlich.
    Lösung zeigen
    1. 3 · 58
    2. 58 = 50 + 8
    3. 3 · 50 = 150 und 3 · 8 = 24
    4. 150 + 24 = 174
    Ergebnis:
    174 Stühle

4Ich dividiere halbschriftlich, indem ich die Zahl geschickt zerlege.

EntdeckenFrage

Warum ist 25 mal 4 ein Lieblingspaar beim Kopfrechnen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

25 mal 4 ergibt genau 100. Kommen 25 und 4 in einer Malaufgabe vor, fasst man sie zuerst zusammen. Aus 25 · 37 · 4 wird dann 100 · 37 = 3700, ganz ohne schriftliches Rechnen.

MerkenTeilen mit Zerlegen

Die Zahl so zerlegen, dass jeder Teil glatt aufgeht. So wird 385 : 7 zu 350 : 7 + 35 : 7.

BeispielHalbschriftlich dividieren

Zerlege 248 so in zwei Zahlen, dass du beide leicht durch 4 dividieren kannst. Was ergibt 248 : 4?
248: 4
Schritt für Schritt
  1. 248 = 240 + 8
  2. 240 : 4 = 60 und 8 : 4 = 2
  3. 60 + 2 = 62
  1. 248 = 240 + 8
  2. 240 : 4 = 60 und 8 : 4 = 2
  3. 60 + 2 = 62
Ergebnis:
62

AchtungBeim Teilen nicht passend zerlegt

So nicht
385 : 7: 300 : 7 geht nicht glatt → aufgegeben
So richtig
385 : 7 = 350 : 7 + 35 : 7 = 50 + 5 = 55

Jeder Teil muss sich glatt teilen lassen. Erst ein großes Vielfaches abspalten.

ÜbenJetzt du

  1. ○10
    Zerlege 405 so in zwei Zahlen, dass du beide leicht durch 9 dividieren kannst. Was ergibt 405 : 9?
    405: 9
    So fängst du an:
    405 = 360 + 45
    Lösung zeigen
    1. 405 = 360 + 45
    2. 360 : 9 = 40 und 45 : 9 = 5
    3. 40 + 5 = 45
    Ergebnis:
    45
  2. ●11
    Zerlege 112 so in zwei Zahlen, dass du beide leicht durch 8 dividieren kannst. Was ergibt 112 : 8?
    112: 8
    Lösung zeigen
    1. 112 = 80 + 32
    2. 80 : 8 = 10 und 32 : 8 = 4
    3. 10 + 4 = 14
    Ergebnis:
    14
  3. ★12
    Rechne halbschriftlich: 1074 : 6
    Lösung zeigen
    1. 1074 = 1020 + 54
    2. 1020 : 6 = 170 und 54 : 6 = 9
    3. 170 + 9 = 179
    Ergebnis:
    179

5Ich finde Aufgaben mit gleichem Ergebnis und vergleiche Rechenausdrücke.

EntdeckenFrage

Warum stimmt der Trick „mal 9 ist mal 10 minus einmal“ immer?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Neunmal eine Zahl ist zehnmal die Zahl minus einmal die Zahl. So wird 9 · 47 zu 470 − 47 = 423. Das ist das Verteilungsgesetz: 9 ist 10 minus 1.

MerkenAusdrücke mit gleichem Wert

Verschiedene Rechenausdrücke können denselben Wert haben.

Wer die Rechengesetze nutzt, sieht das oft ohne Ausrechnen.

BeispielAufgaben mit gleichem Ergebnis

Welche Zahl fehlt? Rechne nicht beide Seiten aus. 23 + 55 = 20 + ___
Schritt für Schritt
  1. 23 wird zu 20: 3 weniger.
  2. Damit die Summe gleich bleibt, wird 55 um 3 größer.
  3. 55 + 3 = 58
  1. 23 wird zu 20: 3 weniger.
  2. Damit die Summe gleich bleibt, wird 55 um 3 größer.
  3. 55 + 3 = 58
Ergebnis:
58

AchtungPunkt vor Strich missachtet

So nicht
9 + 5 · 7 = 14 · 7 = 98
So richtig
9 + 5 · 7 = 9 + 35 = 44

Klammer zuerst, dann Mal und Geteilt, dann Plus und Minus.

ÜbenJetzt du

  1. ○13
    Finde die fehlende Zahl mit einem Rechengesetz: 27 + 60 = 37 + ___
    27 + 60=37 + ?
    So fängst du an:
    27 wird zu 37: 10 mehr.
    Lösung zeigen
    1. 27 wird zu 37: 10 mehr.
    2. Damit die Summe gleich bleibt, wird 60 um 10 kleiner.
    3. 60 − 10 = 50
    Ergebnis:
    50
  2. ●14
    Ergänze die Lücke: 50 + 36 = 48 + ___
    50 + 36=48 + ?
    Lösung zeigen
    1. 50 wird zu 48: 2 weniger.
    2. Damit die Summe gleich bleibt, wird 36 um 2 größer.
    3. 36 + 2 = 38
    Ergebnis:
    38
  3. ★15
    Welche Zahl fehlt? Rechne nicht beide Seiten aus. 44 + 65 = 34 + ___
    Lösung zeigen
    1. 44 wird zu 34: 10 weniger.
    2. Damit die Summe gleich bleibt, wird 65 um 10 größer.
    3. 65 + 10 = 75
    Ergebnis:
    75

6Ich rechne mit Verdoppeln und Halbieren und prüfe, ob das Ergebnis gleich bleibt.

EntdeckenFrage

Wie merkt man in Sekunden, dass 98 · 102 nicht 99.960 sein kann?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Man rechnet nicht, man überschlägt: 100 · 100 = 10.000. Das Ergebnis muss also in der Nähe von 10.000 liegen. 99.960 ist fast zehnmal so groß und kann nicht stimmen. Richtig ist 9996.

MerkenVerdoppeln und halbieren

Wird ein Faktor verdoppelt und der andere halbiert, bleibt das Produkt gleich.

Werden beide verdoppelt, wird es viermal so groß.

BeispielVerdoppeln und Halbieren

Warum ist 16 · 5 dasselbe wie 8 · 10? Rechne dann geschickt.
Schritt für Schritt
  1. Halb so viele Reihen, jede doppelt so lang: gleich viele Kästchen.
  2. 16 · 5 = 8 · 10
  3. 8 · 10 = 80
  1. Halb so viele Reihen, jede doppelt so lang: gleich viele Kästchen.
  2. 16 · 5 = 8 · 10
  3. 8 · 10 = 80
Ergebnis:
80

AchtungBeide Faktoren verdoppelt

So nicht
8 · 25 → 16 · 50 = 800
So richtig
8 · 25 → 4 · 50 = 200

Nur einer wird verdoppelt, der andere halbiert. Sonst ändert sich das Ergebnis.

ÜbenJetzt du

  1. ○16
    Rechne geschickt: Halbiere den einen Faktor und verdopple den anderen. 16 · 25
    So fängst du an:
    16 · 25 = 8 · 50
    Lösung zeigen
    1. 16 · 25 = 8 · 50
    2. 8 · 50 = 400
    Ergebnis:
    400
  2. ●17
    Warum ist 18 · 5 dasselbe wie 9 · 10? Rechne dann geschickt.
    Lösung zeigen
    1. Halb so viele Reihen, jede doppelt so lang: gleich viele Kästchen.
    2. 18 · 5 = 9 · 10
    3. 9 · 10 = 90
    Ergebnis:
    90
  3. ★18
    Emma verdoppelt bei 36 · 5 beide Faktoren und rechnet 72 · 10. Bleibt das Ergebnis gleich?
    Lösung zeigen
    1. Einmal verdoppeln macht das Ergebnis doppelt so groß, zweimal viermal so groß.
    2. 72 · 10 = 720, aber 36 · 5 = 180
    3. Richtig ist: einen verdoppeln, den anderen halbieren.
    Ergebnis:
    Nein, viermal so groß; richtig ist 180

7Ich wähle zu einer Aufgabe den passenden Rechenweg.

EntdeckenFrage

Wie rechnen Darts-Profis blitzschnell aus, wie viele Punkte ihnen von 501 noch fehlen, wenn sie 140 geworfen haben?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Der geschickte Weg nimmt erst eine runde Zahl. 500 − 140 = 360, und der eine Extrapunkt kommt dazu: 361. Das geht schneller als 501 − 140 Stelle für Stelle. Am Ergebnis ändert der Weg nichts.

MerkenDen passenden Weg wählen

Vor dem Rechnen die Zahlen ansehen.

Liegt eine Zahl nahe an einer glatten, lohnt sich ein Vorteil, sonst rechnet man schriftlich.

BeispielDen passenden Rechenweg wählen

Welcher Weg passt zu 14 · 5? Nenne ihn und rechne.
14 · 5zerlegenhalbieren und verdoppelnschriftlich
Schritt für Schritt
  1. 5 wird verdoppelt glatt: halbieren und verdoppeln.
  2. 14 · 5 = 7 · 10
  3. 7 · 10 = 70
  1. 5 wird verdoppelt glatt: halbieren und verdoppeln.
  2. 14 · 5 = 7 · 10
  3. 7 · 10 = 70
Ergebnis:
halbieren und verdoppeln, 70

AchtungUmständlichen Weg gewählt

So nicht
299 + 158 schriftlich untereinander gerechnet, dabei verrechnet: 447
So richtig
299 + 158 = 300 + 157 = 457

Erst die Zahlen ansehen: Liegt eine nahe an einer glatten Zahl?

ÜbenJetzt du

  1. ○19
    Welchen Rechenvorteil nutzt du bei 357 + 497? Nenne ihn und rechne.
    357 + 497zerlegenhalbieren und verdoppelnschriftlich
    So fängst du an:
    497 liegt knapp unter 500: gegensinnig verändern.
    Lösung zeigen
    1. 497 liegt knapp unter 500: gegensinnig verändern.
    2. 357 + 497 = 354 + 500
    3. 354 + 500 = 854
    Ergebnis:
    gegensinnig verändern, 854
  2. ●20
    Welcher Weg passt zu 172 + 198? Nenne ihn und rechne.
    172 + 198zerlegenhalbieren und verdoppelnschriftlich
    Lösung zeigen
    1. 198 liegt knapp unter 200: gegensinnig verändern.
    2. 172 + 198 = 170 + 200
    3. 170 + 200 = 370
    Ergebnis:
    gegensinnig verändern, 370
  3. ★21
    Welchen Rechenvorteil nutzt du bei 317 + 399? Nenne ihn und rechne.
    317 + 399zerlegenhalbieren und verdoppelnschriftlich
    Lösung zeigen
    1. 399 liegt knapp unter 400: gegensinnig verändern.
    2. 317 + 399 = 316 + 400
    3. 316 + 400 = 716
    Ergebnis:
    gegensinnig verändern, 716

8Ich finde Rechenfehler mit Überschlag und Umkehraufgabe.

EntdeckenFrage

Warum zählt man Rückgeld vom Preis aus nach oben, statt abzuziehen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Wer 13,40 € zahlen muss und 20 € gibt, bekommt 20 − 13,40 = 6,60 € zurück. Beim Hochzählen rechnet man die Umkehraufgabe: 13,40 + 6,60 = 20. Kommt man genau auf den gegebenen Betrag, stimmt das Rückgeld.

MerkenÜberschlag und Umkehraufgabe

Ein Überschlag mit runden Zahlen zeigt, ob ein Ergebnis stimmen kann.

Die Umkehraufgabe prüft es genau.

BeispielRechenfehler mit Überschlag und Umkehraufgabe finden

Zeynep rechnet 220 : 4 und erhält 56. Prüfe mit der Umkehraufgabe.
220 : 4Ergebnis 56?
Schritt für Schritt
  1. Umkehraufgabe: 56 · 4 = 224
  2. 224 ist nicht 220: Es ist falsch.
  3. 220 : 4 = 55
  1. Umkehraufgabe: 56 · 4 = 224
  2. 224 ist nicht 220: Es ist falsch.
  3. 220 : 4 = 55
Ergebnis:
falsch, richtig ist 55

AchtungErgebnis nicht geprüft

So nicht
425 : 5 = 805, ohne Probe ins Heft
So richtig
425 : 5 → Überschlag 400 : 5 = 80 → 85, Probe 85 · 5 = 425

Mit einem Überschlag prüfen, ob die Größenordnung stimmt, dann mit der Umkehraufgabe.

ÜbenJetzt du

  1. ○22
    Noah rechnet 319 − 190 und erhält 229. Prüfe mit der Umkehraufgabe.
    So fängst du an:
    Umkehraufgabe: 229 + 190 = 419
    Lösung zeigen
    1. Umkehraufgabe: 229 + 190 = 419
    2. 419 ist nicht 319: Es ist falsch.
    3. 319 − 190 = 129
    Ergebnis:
    falsch, richtig ist 129
  2. ●23
    Milan erhält für 58 · 34 das Ergebnis 2172. Prüfe mit einem Überschlag.
    Lösung zeigen
    1. Überschlag: 60 · 30 = 1800
    2. 2172 liegt zu weit weg. Genau: 58 · 34 = 1972
    3. Das Ergebnis ist falsch.
    Ergebnis:
    falsch, richtig ist 1972
  3. ★24
    Tom erhält für 345 · 40 das Ergebnis 13.700. Prüfe mit einem Überschlag.
    Lösung zeigen
    1. Überschlag: 300 · 40 = 12.000
    2. 13.700 liegt in der Nähe. Genau rechnen: 345 · 40 = 13.800
    3. Das Ergebnis ist falsch.
    Ergebnis:
    falsch, richtig ist 13.800

Vermischte Übungen

Alles durcheinander – wie in der Arbeit. Überleg bei jeder Aufgabe zuerst: Welches Ziel ist das?

Üben

  1. ●25
    Sofia rechnet 17 + 42 + 13 von links nach rechts. Zeige einen schnelleren Weg mit einem Rechenvorteil.
    174213
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 17 + 13 + 42
    2. 17 + 13 = 30
    3. 30 + 42 = 72
    Ergebnis:
    72
  2. ●26
    In einem Lager stehen 5 Regale mit je 2 Kisten. In jeder Kiste sind 3 Bälle. Wie viele Bälle sind es? Rechne geschickt.
    5 Regale2 Kisten3 Bälle
    Lösung zeigen
    1. Bälle: 5 · 2 · 3
    2. 5 · 2 = 10
    3. 10 · 3 = 30
    Ergebnis:
    30 Bälle
  3. ●27
    Sofia rechnet 37 + 37 als 40 + 37. Was muss Sofia danach noch tun? Was kommt heraus?
    3737
    Lösung zeigen
    1. Sofia hat 37 um 3 vergrößert.
    2. Die Summe ist dadurch um 3 zu groß: 40 + 37 = 77.
    3. 3 wieder abziehen: 77 − 3 = 74
    Ergebnis:
    74
  4. ●28
    Tom rechnet 70 − 47 als 70 − 50 und erhält 20. Ist das schon das Ergebnis?
    70 − 4770 − 50
    Lösung zeigen
    1. Tom hat 3 mehr abgezogen als verlangt.
    2. Beim Minus muss dieser Rest wieder dazu.
    3. 20 + 3 = 23
    Ergebnis:
    Nein, 23
  5. ●29
    Es gibt 6 Reihen mit je 48 Stühle. Wie viele Stühle sind es? Rechne halbschriftlich.
    Lösung zeigen
    1. 6 · 48
    2. 48 = 40 + 8
    3. 6 · 40 = 240 und 6 · 8 = 48
    4. 240 + 48 = 288
    Ergebnis:
    288 Stühle
  6. ●30
    Ein Rechteck hat 3 Reihen mit je 19 Kästchen. Die rote Linie teilt es. Wie viele Kästchen sind es?
    1093
    Lösung zeigen
    1. Linker Teil: 3 · 10 = 30
    2. Rechter Teil: 3 · 9 = 27
    3. Zusammen: 30 + 27 = 57
    Ergebnis:
    57 Kästchen

Auf einen Blick

MerkenDas Wichtigste

Vertauschen und zusammenfassen
Beim Plus und beim Mal darf man die Zahlen vertauschen und anders zusammenfassen.
Gegensinnig und gleichsinnig
Bei einer Summe gibt ein Summand ab, was der andere bekommt.
Malnehmen mit Zerlegen
Einen Faktor zerlegen, jeden Teil malnehmen und die Teilergebnisse addieren.
Teilen mit Zerlegen
Die Zahl so zerlegen, dass jeder Teil glatt aufgeht. So wird 385 : 7 zu 350 : 7 + 35 : 7.
Ausdrücke mit gleichem Wert
Verschiedene Rechenausdrücke können denselben Wert haben.
Verdoppeln und halbieren
Wird ein Faktor verdoppelt und der andere halbiert, bleibt das Produkt gleich.
Den passenden Weg wählen
Vor dem Rechnen die Zahlen ansehen.
Überschlag und Umkehraufgabe
Ein Überschlag mit runden Zahlen zeigt, ob ein Ergebnis stimmen kann.

Kannst du das?

Je Ziel eine Aufgabe. Rechne sie ins Heft, dann kreuz ehrlich an. Keine Punkte, keine Note – der Test ist für dich.

ÜbenSelbsttest

  1. Ich rechne Plusaufgaben und Malaufgaben geschickt durch Vertauschen und Zusammenfassen.

    31
    Emma rechnet 8 + 84 + 32 von links nach rechts. Zeige einen schnelleren Weg mit einem Rechenvorteil.
    88432
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    124

  2. Ich verändere Summen gegensinnig und Differenzen gleichsinnig.

    32
    Hanna rechnet 98 + 38 als 100 + 38. Was muss Hanna danach noch tun? Was kommt heraus?
    9838
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    136

  3. Ich nehme halbschriftlich mal, indem ich einen Faktor zerlege.

    33
    Rechne halbschriftlich: Zerlege den zweiten Faktor. 6 · 38
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    228

  4. Ich dividiere halbschriftlich, indem ich die Zahl geschickt zerlege.

    34
    Zerlege 208 so in zwei Zahlen, dass du beide leicht durch 4 dividieren kannst. Was ergibt 208 : 4?
    208: 4
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    52

  5. Ich finde Aufgaben mit gleichem Ergebnis und vergleiche Rechenausdrücke.

    35
    Finde die fehlende Zahl mit einem Rechengesetz: 91 − 36 = ___ − 38
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    93

  6. Ich rechne mit Verdoppeln und Halbieren und prüfe, ob das Ergebnis gleich bleibt.

    36
    Hanna verdoppelt bei 8 · 25 beide Faktoren und rechnet 16 · 50. Bleibt das Ergebnis gleich?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    Nein, viermal so groß; richtig ist 200

  7. Ich wähle zu einer Aufgabe den passenden Rechenweg.

    37
    Wie rechnest du am schnellsten: 183 + 198? Nenne ihn und rechne.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    gegensinnig verändern, 381

  8. Ich finde Rechenfehler mit Überschlag und Umkehraufgabe.

    38
    Ben rechnet 554 − 490 und erhält 164. Prüfe mit der Umkehraufgabe.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    falsch, richtig ist 64

Bei „unsicher“ oder „noch nicht“: Lies den Abschnitt zum Ziel noch einmal und rechne seine drei Aufgaben.

Die Frage vom Anfang

EntdeckenRückschau

Rechne im Kopf, so schnell du kannst: 25 · 17 · 4. Schreib nichts auf und nimm keinen Taschenrechner.

Lies deine Vermutung vom Anfang. Kannst du die Frage jetzt mit dem Kapitel beantworten?

Auflösung

Mit dem Werkzeug aus diesem Kapitel: Vertauschen und Zusammenfassen: erst die Zahlen, die zusammen glatt werden.

Wo brauchst du das?

Entdecken

Preise im Kopf addieren, Rückgeld überschlagen, Mengen für ein Fest ausrechnen. Beruf: Kasse und Verkauf, Handwerk beim Materialberechnen, Lager und Versand.

Wörter

Differenz
was übrig bleibt, wenn man abzieht
Gleichung
zwei Rechnungen, die gleich viel wert sind
Produkt
was herauskommt, wenn man malnimmt
Summe
was herauskommt, wenn man zusammenzählt
Teiler
eine Zahl, durch die es ohne Rest aufgeht

Wie es zusammenhängt

Das brauchst du vorher: Rechenregeln, Teiler und Vielfache, Natürliche Zahlen und Stellenwert

Darauf baut auf: Sachaufgaben lösen

Lösungen

  1. 122
  2. 113
  3. 414
  4. 276
  5. 124
  6. 1183
  7. 264 Hefte
  8. 413
  9. 174 Stühle
  10. 45
  11. 14
  12. 179
  13. 50
  14. 38
  15. 75
  16. 400
  17. 90
  18. Nein, viermal so groß; richtig ist 180
  19. gegensinnig verändern, 854
  20. gegensinnig verändern, 370
  21. gegensinnig verändern, 716
  22. falsch, richtig ist 129
  23. falsch, richtig ist 1972
  24. falsch, richtig ist 13.800
  25. 72
  26. 30 Bälle
  27. 74
  28. Nein, 23
  29. 288 Stühle
  30. 57 Kästchen
  31. 124
  32. 136
  33. 228
  34. 52
  35. 93
  36. Nein, viermal so groß; richtig ist 200
  37. gegensinnig verändern, 381
  38. falsch, richtig ist 64
  39. 31
  40. 72
  41. 20
  42. 56