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Mathematik · Klasse 5 · Kapitel

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Rechengesetze und Rechenvorteile

EntdeckenDie Frage zum Kapitel

Rechne im Kopf, so schnell du kannst: 25 · 17 · 4. Schreib nichts auf und nimm keinen Taschenrechner.

Schreib eine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Für die Lehrkraft: Die meisten rechnen von links: 25 · 17 und kommen durcheinander. Andere geben auf oder raten. Nur wenige sehen, dass 25 und 4 zusammen 100 ergeben. Beim Malnehmen darf man die Zahlen vertauschen. Dann steht 25 · 4 · 17 da, also 100 · 17. Das Ergebnis ist 1700, in einer Sekunde.

  • Entdecken Frage, Vorstellung, Bild
  • Merken kommt ins Heft
  • Beispiel vorgerechnet, Schritt für Schritt
  • Üben selbst rechnen
  • Achtung typischer Fehler
  • Weiterdenken zum Knobeln und Vernetzen

○ mit Starthilfe, ● für alle, ★ zum Weiterdenken. Du wählst mindestens eine ★-Aufgabe. Du rechnest ins Heft.

Fit für das Kapitel?

Das brauchst du aus früheren Themen. Klappt es nicht, frag nach, bevor es losgeht.

ÜbenWeißt du das noch?

Punkt vor Strich und Klammer zuerst – so steht es seit Klasse 4 im Heft.

  1. ●39
    Rechne: 56 − 5 · 7
    Lösung zeigen
    1. Punkt vor Strich: erst 5 · 7 = 35
    2. 56 − 35 = 21
    Ergebnis:
    21
  2. ●40
    Rechne: (5 + 3) · 2
    Lösung zeigen
    1. Die Klammer zuerst: 5 + 3 = 8
    2. 8 · 2 = 16
    Ergebnis:
    16

ÜbenWeißt du das noch?

Punkt vor Strich und Klammer zuerst – die Reihenfolge entscheidet über das Ergebnis.

  1. ●41
    Berechne: 12 + 8 · 2
    Lösung zeigen
    1. Punkt vor Strich: erst 8 · 2 = 16
    2. 12 + 16 = 28
    Ergebnis:
    28
  2. ●42
    Ich denke mir eine Zahl, addiere 18 und erhalte 78. Welche Zahl war es? (Umkehraufgabe)
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    60

So kannst du es dir vorstellen

EntdeckenZahlen umbauen, ohne den Wert zu ändern

Eine Rechnung lässt sich umbauen, ohne dass sich ihr Wert ändert. Zahlen tauschen die Plätze, bilden neue Gruppen oder werden zerlegt. Wer das sieht, rechnet mit glatten Zahlen statt mit krummen.

17 plus 38 plus 3: Erst 17 und 3 zu 20 zusammenfassen, dann 20 plus 38 sind 5817 + 38 + 317 + 3 = 20= 20 + 38 = 58

WeiterdenkenDenk nach

Warum darf man bei 25 + 38 + 75 zuerst 25 und 75 addieren, bei 50 − 20 − 10 aber nicht zuerst 20 − 10?

1Ich rechne Plusaufgaben und Malaufgaben geschickt durch Vertauschen und Zusammenfassen.

EntdeckenFrage

Wie konnte der neunjährige Carl Friedrich Gauß die Zahlen von 1 bis 100 in wenigen Minuten addieren?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Er hat die Zahlen in Paare umsortiert: 1 und 100, 2 und 99, 3 und 98. Jedes Paar ergibt 101, und es sind 50 Paare. Also 50 · 101 = 5050. Er hat nur vertauscht und neu zusammengefasst.

MerkenVertauschen und zusammenfassen

Beim Plus und beim Mal darf man die Zahlen vertauschen und anders zusammenfassen.

Erst die Zahlen nehmen, die zusammen glatt werden.

BeispielPlusaufgaben geschickt: vertauschen und zusammenfassen

Can rechnet 7 + 85 + 33 von links nach rechts. Zeige einen schnelleren Weg mit einem Rechenvorteil.
78533
Schritt für Schritt
  1. Vertauschen: 7 + 33 + 85
  2. 7 + 33 = 40
  3. 40 + 85 = 125
  1. Vertauschen: 7 + 33 + 85
  2. 7 + 33 = 40
  3. 40 + 85 = 125
Ergebnis:
125

AchtungBeim Minus oder Geteilt vertauscht

So nicht
50 − 20 − 10: erst 20 − 10 = 10, dann 50 − 10 = 40
So richtig
50 − 20 − 10 = 30 − 10 = 20

Vertauschen ist nur beim Plus und beim Mal erlaubt. 20 − 5 ist nicht 5 − 20.

ÜbenJetzt du

  1. ○1
    Rechne geschickt: 12 + 33 + 8
    12338
    So fängst du an:
    Vertauschen: 12 + 8 + 33
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 12 + 8 + 33
    2. 12 + 8 = 20
    3. 20 + 33 = 53
    Ergebnis:
    53
  2. ●2
    Welche Zahlen fasst du bei 9 + 78 + 51 zuerst zusammen? Begründe und rechne.
    97851
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 9 + 51 + 78
    2. 9 + 51 = 60
    3. Zusammen glatt, der Rest ist leicht: 60 + 78 = 138
    Ergebnis:
    138
  3. ★3
    Sofia rechnet 25 + 644 + 37 + 75 + 63 von links nach rechts. Zeige einen schnelleren Weg mit einem Rechenvorteil.
    25644377563
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 25 + 75 + 37 + 63 + 644
    2. 25 + 75 = 100 und 37 + 63 = 100
    3. 100 + 100 + 644 = 844
    Ergebnis:
    844

2Ich verändere Summen gegensinnig und Differenzen gleichsinnig.

EntdeckenFrage

Warum rechnen Kassiererinnen 3,99 € mal 4 schneller als ein Kunde mit Papier?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Sie rechnen 4 mal 4 € und ziehen dann 4 Cent ab: 16,00 € − 0,04 € = 15,96 €. Das ist Zerlegen: 3,99 ist 4 minus 1 Cent. Der Rechenweg ist kurz, weil er über die glatte Zahl geht.

MerkenGegensinnig und gleichsinnig

Bei einer Summe gibt ein Summand ab, was der andere bekommt.

Bei einer Differenz ändern sich beide Zahlen gleich, der Abstand bleibt.

BeispielSummen gegensinnig verändern

Rechne geschickt durch gegensinniges Verändern: 198 + 78
19878
Schritt für Schritt
  1. 198 bekommt 2 dazu, 78 gibt 2 ab.
  2. 198 + 78 = 200 + 76
  3. 200 + 76 = 276
  1. 198 bekommt 2 dazu, 78 gibt 2 ab.
  2. 198 + 78 = 200 + 76
  3. 200 + 76 = 276
Ergebnis:
276

AchtungNur eine Zahl verändert

So nicht
143 − 97: 143 − 100 = 43
So richtig
143 − 97 = 146 − 100 = 46

Bei der Summe gegensinnig, bei der Differenz gleichsinnig: Immer beide Zahlen verändern.

ÜbenJetzt du

  1. ○4
    Rechne geschickt durch gegensinniges Verändern: 67 + 76
    6776
    So fängst du an:
    67 bekommt 3 dazu, 76 gibt 3 ab.
    Lösung zeigen
    1. 67 bekommt 3 dazu, 76 gibt 3 ab.
    2. 67 + 76 = 70 + 73
    3. 70 + 73 = 143
    Ergebnis:
    143
  2. ●5
    Ergänze so, dass die Summe gleich bleibt: 47 + 67 = 50 + ___
    4767
    Lösung zeigen
    1. 47 wird zu 50: 3 mehr.
    2. Also muss 67 um 3 kleiner werden: 67 − 3 = 64
    3. 50 + 64 = 114
    Ergebnis:
    64
  3. ★6
    Ergänze so, dass die Summe gleich bleibt: 496 + 478 = 500 + ___
    496478
    Lösung zeigen
    1. 496 wird zu 500: 4 mehr.
    2. Also muss 478 um 4 kleiner werden: 478 − 4 = 474
    3. 500 + 474 = 974
    Ergebnis:
    474

3Ich nehme halbschriftlich mal, indem ich einen Faktor zerlege.

EntdeckenFrage

Wie haben Bauern in Russland früher ohne Einmaleins multipliziert?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Sie haben eine Zahl immer halbiert und die andere verdoppelt, bis links eine 1 stand. Dann addierten sie die rechten Zahlen der Zeilen mit ungerader linker Zahl. Das Verfahren heißt russische Bauernmultiplikation und nutzt, dass Verdoppeln und Halbieren das Produkt nicht ändert.

MerkenMalnehmen mit Zerlegen

Einen Faktor zerlegen, jeden Teil malnehmen und die Teilergebnisse addieren.

So wird 7 · 48 zu 7 · 40 + 7 · 8.

BeispielHalbschriftlich malnehmen mit Zerlegen

Rechne halbschriftlich: Zerlege den zweiten Faktor. 8 · 68
Schritt für Schritt
  1. 68 = 60 + 8
  2. 8 · 60 = 480 und 8 · 8 = 64
  3. 480 + 64 = 544
  1. 68 = 60 + 8
  2. 8 · 60 = 480 und 8 · 8 = 64
  3. 480 + 64 = 544
Ergebnis:
544

AchtungBeim Zerlegen einen Teil vergessen

So nicht
7 · 48: 7 · 40 + 8 = 288
So richtig
7 · 48 = 7 · 40 + 7 · 8 = 280 + 56 = 336

Jeder Teil des zerlegten Faktors wird malgenommen, nicht nur der erste.

ÜbenJetzt du

  1. ○7
    Es gibt 4 Hefte mit je 27 Hefte. Wie viele Hefte sind es? Rechne halbschriftlich.
    So fängst du an:
    4 · 27
    Lösung zeigen
    1. 4 · 27
    2. 27 = 20 + 7
    3. 4 · 20 = 80 und 4 · 7 = 28
    4. 80 + 28 = 108
    Ergebnis:
    108 Hefte
  2. ●8
    Es gibt 6 Hefte mit je 64 Hefte. Wie viele Hefte sind es? Rechne halbschriftlich.
    Lösung zeigen
    1. 6 · 64
    2. 64 = 60 + 4
    3. 6 · 60 = 360 und 6 · 4 = 24
    4. 360 + 24 = 384
    Ergebnis:
    384 Hefte
  3. ★9
    Es gibt 3 Tüten mit je 58 Bonbons. Wie viele Bonbons sind es? Rechne halbschriftlich.
    Lösung zeigen
    1. 3 · 58
    2. 58 = 50 + 8
    3. 3 · 50 = 150 und 3 · 8 = 24
    4. 150 + 24 = 174
    Ergebnis:
    174 Bonbons

4Ich dividiere halbschriftlich, indem ich die Zahl geschickt zerlege.

EntdeckenFrage

Warum ist 25 mal 4 ein Lieblingspaar beim Kopfrechnen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

25 mal 4 ergibt genau 100. Kommen 25 und 4 in einer Malaufgabe vor, fasst man sie zuerst zusammen. Aus 25 · 37 · 4 wird dann 100 · 37 = 3700, ganz ohne schriftliches Rechnen.

MerkenTeilen mit Zerlegen

Die Zahl so zerlegen, dass jeder Teil glatt aufgeht. So wird 385 : 7 zu 350 : 7 + 35 : 7.

BeispielHalbschriftlich dividieren

177 Bücher werden gleichmäßig auf 3 Regalböden aufgeteilt. Wie viele bekommt jeder Teil? Rechne halbschriftlich.
Schritt für Schritt
  1. 177 : 3
  2. 177 = 150 + 27
  3. 150 : 3 = 50 und 27 : 3 = 9
  4. 50 + 9 = 59
  1. 177 : 3
  2. 177 = 150 + 27
  3. 150 : 3 = 50 und 27 : 3 = 9
  4. 50 + 9 = 59
Ergebnis:
59 Bücher

AchtungBeim Teilen nicht passend zerlegt

So nicht
385 : 7: 300 : 7 geht nicht glatt → aufgegeben
So richtig
385 : 7 = 350 : 7 + 35 : 7 = 50 + 5 = 55

Jeder Teil muss sich glatt teilen lassen. Erst ein großes Vielfaches abspalten.

ÜbenJetzt du

  1. ○10
    329 Murmeln werden gleichmäßig auf 7 Säckchen aufgeteilt. Wie viele bekommt jeder Teil? Rechne halbschriftlich.
    So fängst du an:
    329 : 7
    Lösung zeigen
    1. 329 : 7
    2. 329 = 280 + 49
    3. 280 : 7 = 40 und 49 : 7 = 7
    4. 40 + 7 = 47
    Ergebnis:
    47 Murmeln
  2. ●11
    Zerlege 312 so in zwei Zahlen, dass du beide leicht durch 6 dividieren kannst. Was ergibt 312 : 6?
    312: 6
    Lösung zeigen
    1. 312 = 300 + 12
    2. 300 : 6 = 50 und 12 : 6 = 2
    3. 50 + 2 = 52
    Ergebnis:
    52
  3. ★12
    Zerlege 395 so in zwei Zahlen, dass du beide leicht durch 5 dividieren kannst. Was ergibt 395 : 5?
    395: 5
    Lösung zeigen
    1. 395 = 350 + 45
    2. 350 : 5 = 70 und 45 : 5 = 9
    3. 70 + 9 = 79
    Ergebnis:
    79

5Ich finde Aufgaben mit gleichem Ergebnis und vergleiche Rechenausdrücke.

EntdeckenFrage

Warum stimmt der Trick „mal 9 ist mal 10 minus einmal“ immer?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Neunmal eine Zahl ist zehnmal die Zahl minus einmal die Zahl. So wird 9 · 47 zu 470 − 47 = 423. Das ist das Verteilungsgesetz: 9 ist 10 minus 1.

MerkenAusdrücke mit gleichem Wert

Verschiedene Rechenausdrücke können denselben Wert haben.

Wer die Rechengesetze nutzt, sieht das oft ohne Ausrechnen.

BeispielAufgaben mit gleichem Ergebnis

Ergänze die Lücke: 53 + 17 = 50 + ___
53 + 17=50 + ?
Schritt für Schritt
  1. 53 wird zu 50: 3 weniger.
  2. Damit die Summe gleich bleibt, wird 17 um 3 größer.
  3. 17 + 3 = 20
  1. 53 wird zu 50: 3 weniger.
  2. Damit die Summe gleich bleibt, wird 17 um 3 größer.
  3. 17 + 3 = 20
Ergebnis:
20

AchtungPunkt vor Strich missachtet

So nicht
9 + 5 · 7 = 14 · 7 = 98
So richtig
9 + 5 · 7 = 9 + 35 = 44

Klammer zuerst, dann Mal und Geteilt, dann Plus und Minus.

ÜbenJetzt du

  1. ○13
    Finde die fehlende Zahl mit einem Rechengesetz: 8 · 12 = 4 · ___
    8 · 12=4 · ?
    So fängst du an:
    8 wird halb so groß: 4.
    Lösung zeigen
    1. 8 wird halb so groß: 4.
    2. Damit das Ergebnis gleich bleibt, wird 12 doppelt so groß.
    3. 12 · 2 = 24
    Ergebnis:
    24
  2. ●14
    Welche Zahl fehlt? Rechne nicht beide Seiten aus. 27 + 74 = 29 + ___
    Lösung zeigen
    1. 27 wird zu 29: 2 mehr.
    2. Damit die Summe gleich bleibt, wird 74 um 2 kleiner.
    3. 74 − 2 = 72
    Ergebnis:
    72
  3. ★15
    Ergänze die Lücke: 89 − 42 = ___ − 43
    Lösung zeigen
    1. 42 wird zu 43: 1 mehr.
    2. Damit der Abstand bleibt, wird auch 89 um 1 größer.
    3. 89 + 1 = 90
    Ergebnis:
    90

6Ich rechne mit Verdoppeln und Halbieren und prüfe, ob das Ergebnis gleich bleibt.

EntdeckenFrage

Wie merkt man in Sekunden, dass 98 · 102 nicht 99.960 sein kann?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Man rechnet nicht, man überschlägt: 100 · 100 = 10.000. Das Ergebnis muss also in der Nähe von 10.000 liegen. 99.960 ist fast zehnmal so groß und kann nicht stimmen. Richtig ist 9996.

MerkenVerdoppeln und halbieren

Wird ein Faktor verdoppelt und der andere halbiert, bleibt das Produkt gleich.

Werden beide verdoppelt, wird es viermal so groß.

BeispielVerdoppeln und Halbieren

Rechne geschickt: Halbiere den einen Faktor und verdopple den anderen. 16 · 25
Schritt für Schritt
  1. 16 · 25 = 8 · 50
  2. 8 · 50 = 400
  1. 16 · 25 = 8 · 50
  2. 8 · 50 = 400
Ergebnis:
400

AchtungBeide Faktoren verdoppelt

So nicht
8 · 25 → 16 · 50 = 800
So richtig
8 · 25 → 4 · 50 = 200

Nur einer wird verdoppelt, der andere halbiert. Sonst ändert sich das Ergebnis.

ÜbenJetzt du

  1. ○16
    Warum ist 14 · 5 dasselbe wie 7 · 10? Rechne dann geschickt.
    So fängst du an:
    Halb so viele Reihen, jede doppelt so lang: gleich viele Kästchen.
    Lösung zeigen
    1. Halb so viele Reihen, jede doppelt so lang: gleich viele Kästchen.
    2. 14 · 5 = 7 · 10
    3. 7 · 10 = 70
    Ergebnis:
    70
  2. ●17
    Rechne geschickt: Halbiere den einen Faktor und verdopple den anderen. 14 · 15
    Lösung zeigen
    1. 14 · 15 = 7 · 30
    2. 7 · 30 = 210
    Ergebnis:
    210
  3. ★18
    Lina verdoppelt bei 16 · 25 beide Faktoren und rechnet 32 · 50. Bleibt das Ergebnis gleich?
    Lösung zeigen
    1. Einmal verdoppeln macht das Ergebnis doppelt so groß, zweimal viermal so groß.
    2. 32 · 50 = 1600, aber 16 · 25 = 400
    3. Richtig ist: einen verdoppeln, den anderen halbieren.
    Ergebnis:
    Nein, viermal so groß; richtig ist 400

7Ich wähle zu einer Aufgabe den passenden Rechenweg.

EntdeckenFrage

Wie rechnen Darts-Profis blitzschnell aus, wie viele Punkte ihnen von 501 noch fehlen, wenn sie 140 geworfen haben?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Der geschickte Weg nimmt erst eine runde Zahl. 500 − 140 = 360, und der eine Extrapunkt kommt dazu: 361. Das geht schneller als 501 − 140 Stelle für Stelle. Am Ergebnis ändert der Weg nichts.

MerkenDen passenden Weg wählen

Vor dem Rechnen die Zahlen ansehen.

Liegt eine Zahl nahe an einer glatten, lohnt sich ein Vorteil, sonst rechnet man schriftlich.

BeispielDen passenden Rechenweg wählen

Welcher Weg passt zu 46 + 62 + 54? Nenne ihn und rechne.
46 + 62 + 54zerlegenhalbieren und verdoppelnschriftlich
Schritt für Schritt
  1. Zwei Zahlen ergeben zusammen 100: vertauschen und zusammenfassen.
  2. 46 + 54 = 100
  3. 100 + 62 = 162
  1. Zwei Zahlen ergeben zusammen 100: vertauschen und zusammenfassen.
  2. 46 + 54 = 100
  3. 100 + 62 = 162
Ergebnis:
vertauschen, 162

AchtungUmständlichen Weg gewählt

So nicht
299 + 158 schriftlich untereinander gerechnet, dabei verrechnet: 447
So richtig
299 + 158 = 300 + 157 = 457

Erst die Zahlen ansehen: Liegt eine nahe an einer glatten Zahl?

ÜbenJetzt du

  1. ○19
    Wie rechnest du am schnellsten: 32 + 59 + 68? Nenne ihn und rechne.
    So fängst du an:
    Zwei Zahlen ergeben zusammen 100: vertauschen und zusammenfassen.
    Lösung zeigen
    1. Zwei Zahlen ergeben zusammen 100: vertauschen und zusammenfassen.
    2. 32 + 68 = 100
    3. 100 + 59 = 159
    Ergebnis:
    vertauschen, 159
  2. ●20
    Welchen Rechenvorteil nutzt du bei 32 + 57 + 68? Nenne ihn und rechne.
    32 + 57 + 68zerlegenhalbieren und verdoppelnschriftlich
    Lösung zeigen
    1. Zwei Zahlen ergeben zusammen 100: vertauschen und zusammenfassen.
    2. 32 + 68 = 100
    3. 100 + 57 = 157
    Ergebnis:
    vertauschen, 157
  3. ★21
    Welchen Rechenvorteil nutzt du bei 20 + 68 + 80? Nenne ihn und rechne.
    20 + 68 + 80zerlegenhalbieren und verdoppelnschriftlich
    Lösung zeigen
    1. Zwei Zahlen ergeben zusammen 100: vertauschen und zusammenfassen.
    2. 20 + 80 = 100
    3. 100 + 68 = 168
    Ergebnis:
    vertauschen, 168

8Ich finde Rechenfehler mit Überschlag und Umkehraufgabe.

EntdeckenFrage

Warum zählt man Rückgeld vom Preis aus nach oben, statt abzuziehen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Wer 13,40 € zahlen muss und 20 € gibt, bekommt 20 − 13,40 = 6,60 € zurück. Beim Hochzählen rechnet man die Umkehraufgabe: 13,40 + 6,60 = 20. Kommt man genau auf den gegebenen Betrag, stimmt das Rückgeld.

MerkenÜberschlag und Umkehraufgabe

Ein Überschlag mit runden Zahlen zeigt, ob ein Ergebnis stimmen kann.

Die Umkehraufgabe prüft es genau.

BeispielRechenfehler mit Überschlag und Umkehraufgabe finden

Hanna rechnet 723 − 472 und erhält 251. Prüfe mit der Umkehraufgabe.
Schritt für Schritt
  1. Umkehraufgabe: 251 + 472 = 723
  2. 723 ist genau 723: Es stimmt.
  3. 723 − 472 = 251
  1. Umkehraufgabe: 251 + 472 = 723
  2. 723 ist genau 723: Es stimmt.
  3. 723 − 472 = 251
Ergebnis:
stimmt, 251

AchtungErgebnis nicht geprüft

So nicht
425 : 5 = 805, ohne Probe ins Heft
So richtig
425 : 5 → Überschlag 400 : 5 = 80 → 85, Probe 85 · 5 = 425

Mit einem Überschlag prüfen, ob die Größenordnung stimmt, dann mit der Umkehraufgabe.

ÜbenJetzt du

  1. ○22
    Hanna rechnet 264 : 3 und erhält 88. Prüfe mit der Umkehraufgabe.
    264 : 3Ergebnis 88?
    So fängst du an:
    Umkehraufgabe: 88 · 3 = 264
    Lösung zeigen
    1. Umkehraufgabe: 88 · 3 = 264
    2. 264 ist genau 264: Es stimmt.
    3. 264 : 3 = 88
    Ergebnis:
    stimmt, 88
  2. ●23
    Sofia erhält für 74 · 30 das Ergebnis 3220. Prüfe mit einem Überschlag.
    Lösung zeigen
    1. Überschlag: 70 · 30 = 2100
    2. 3220 liegt zu weit weg. Genau: 74 · 30 = 2220
    3. Das Ergebnis ist falsch.
    Ergebnis:
    falsch, richtig ist 2220
  3. ★24
    Elias rechnet 5575 − 1294 und erhält 4271. Prüfe mit der Umkehraufgabe.
    Lösung zeigen
    1. Umkehraufgabe: 4271 + 1294 = 5565
    2. 5565 ist nicht 5575: Es ist falsch.
    3. 5575 − 1294 = 4281
    Ergebnis:
    falsch, richtig ist 4281

Vermischte Übungen

Alles durcheinander – wie in der Arbeit. Überleg bei jeder Aufgabe zuerst: Welches Ziel ist das?

Üben

  1. ●25
    Rechne geschickt: 12 + 41 + 28
    124128
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 12 + 28 + 41
    2. 12 + 28 = 40
    3. 40 + 41 = 81
    Ergebnis:
    81
  2. ●26
    Welche zwei Zahlen ergeben bei 2 · 3 · 5 zusammen eine glatte Zahl? Rechne damit.
    235
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 2 · 5 · 3
    2. 2 · 5 = 10
    3. 10 · 3 = 30
    Ergebnis:
    30
  3. ●27
    Ergänze so, dass die Summe gleich bleibt: 199 + 45 = 200 + ___
    19945
    Lösung zeigen
    1. 199 wird zu 200: 1 mehr.
    2. Also muss 45 um 1 kleiner werden: 45 − 1 = 44
    3. 200 + 44 = 244
    Ergebnis:
    44
  4. ●28
    Rechne geschickt durch gleichsinniges Verändern: 60 − 19
    Lösung zeigen
    1. Beide Zahlen um 1 vergrößern: Der Abstand bleibt gleich.
    2. 60 − 19 = 61 − 20
    3. 61 − 20 = 41
    Ergebnis:
    41
  5. ●29
    Es gibt 7 Tüten mit je 55 Bonbons. Wie viele Bonbons sind es? Rechne halbschriftlich.
    Lösung zeigen
    1. 7 · 55
    2. 55 = 50 + 5
    3. 7 · 50 = 350 und 7 · 5 = 35
    4. 350 + 35 = 385
    Ergebnis:
    385 Bonbons
  6. ●30
    Ein Rechteck hat 6 Reihen mit je 21 Kästchen. Die rote Linie teilt es. Wie viele Kästchen sind es?
    2016
    Lösung zeigen
    1. Linker Teil: 6 · 20 = 120
    2. Rechter Teil: 6 · 1 = 6
    3. Zusammen: 120 + 6 = 126
    Ergebnis:
    126 Kästchen

Auf einen Blick

MerkenDas Wichtigste

Vertauschen und zusammenfassen
Beim Plus und beim Mal darf man die Zahlen vertauschen und anders zusammenfassen.
Gegensinnig und gleichsinnig
Bei einer Summe gibt ein Summand ab, was der andere bekommt.
Malnehmen mit Zerlegen
Einen Faktor zerlegen, jeden Teil malnehmen und die Teilergebnisse addieren.
Teilen mit Zerlegen
Die Zahl so zerlegen, dass jeder Teil glatt aufgeht. So wird 385 : 7 zu 350 : 7 + 35 : 7.
Ausdrücke mit gleichem Wert
Verschiedene Rechenausdrücke können denselben Wert haben.
Verdoppeln und halbieren
Wird ein Faktor verdoppelt und der andere halbiert, bleibt das Produkt gleich.
Den passenden Weg wählen
Vor dem Rechnen die Zahlen ansehen.
Überschlag und Umkehraufgabe
Ein Überschlag mit runden Zahlen zeigt, ob ein Ergebnis stimmen kann.

Kannst du das?

Je Ziel eine Aufgabe. Rechne sie ins Heft, dann kreuz ehrlich an. Keine Punkte, keine Note – der Test ist für dich.

ÜbenSelbsttest

  1. Ich rechne Plusaufgaben und Malaufgaben geschickt durch Vertauschen und Zusammenfassen.

    31
    Rechne geschickt: 24 + 74 + 26
    247426
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    124

  2. Ich verändere Summen gegensinnig und Differenzen gleichsinnig.

    32
    Ergänze so, dass die Summe gleich bleibt: 68 + 93 = 70 + ___
    6893
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    91

  3. Ich nehme halbschriftlich mal, indem ich einen Faktor zerlege.

    33
    Es gibt 7 Hefte mit je 27 Hefte. Wie viele Hefte sind es? Rechne halbschriftlich.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    189 Hefte

  4. Ich dividiere halbschriftlich, indem ich die Zahl geschickt zerlege.

    34
    Rechne halbschriftlich: 155 : 5
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    31

  5. Ich finde Aufgaben mit gleichem Ergebnis und vergleiche Rechenausdrücke.

    35
    Welche Zahl fehlt? Rechne nicht beide Seiten aus. 4 · 4 = 2 · ___
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    8

  6. Ich rechne mit Verdoppeln und Halbieren und prüfe, ob das Ergebnis gleich bleibt.

    36
    Noah verdoppelt bei 12 · 15 beide Faktoren und rechnet 24 · 30. Bleibt das Ergebnis gleich?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    Nein, viermal so groß; richtig ist 180

  7. Ich wähle zu einer Aufgabe den passenden Rechenweg.

    37
    Wie rechnest du am schnellsten: 18 · 5? Nenne ihn und rechne.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    halbieren und verdoppeln, 90

  8. Ich finde Rechenfehler mit Überschlag und Umkehraufgabe.

    38
    Paul rechnet 948 − 880 und erhält 68. Prüfe mit der Umkehraufgabe.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    stimmt, 68

Bei „unsicher“ oder „noch nicht“: Lies den Abschnitt zum Ziel noch einmal und rechne seine drei Aufgaben.

Die Frage vom Anfang

EntdeckenRückschau

Rechne im Kopf, so schnell du kannst: 25 · 17 · 4. Schreib nichts auf und nimm keinen Taschenrechner.

Lies deine Vermutung vom Anfang. Kannst du die Frage jetzt mit dem Kapitel beantworten?

Auflösung

Mit dem Werkzeug aus diesem Kapitel: Vertauschen und Zusammenfassen: erst die Zahlen, die zusammen glatt werden.

Wo brauchst du das?

Entdecken

Preise im Kopf addieren, Rückgeld überschlagen, Mengen für ein Fest ausrechnen. Beruf: Kasse und Verkauf, Handwerk beim Materialberechnen, Lager und Versand.

Wörter

Differenz
was übrig bleibt, wenn man abzieht
Gleichung
zwei Rechnungen, die gleich viel wert sind
Produkt
was herauskommt, wenn man malnimmt
Summe
was herauskommt, wenn man zusammenzählt
Teiler
eine Zahl, durch die es ohne Rest aufgeht

Wie es zusammenhängt

Das brauchst du vorher: Rechenregeln, Teiler und Vielfache, Natürliche Zahlen und Stellenwert

Darauf baut auf: Sachaufgaben lösen

Lösungen

  1. 53
  2. 138
  3. 844
  4. 143
  5. 64
  6. 474
  7. 108 Hefte
  8. 384 Hefte
  9. 174 Bonbons
  10. 47 Murmeln
  11. 52
  12. 79
  13. 24
  14. 72
  15. 90
  16. 70
  17. 210
  18. Nein, viermal so groß; richtig ist 400
  19. vertauschen, 159
  20. vertauschen, 157
  21. vertauschen, 168
  22. stimmt, 88
  23. falsch, richtig ist 2220
  24. falsch, richtig ist 4281
  25. 81
  26. 30
  27. 44
  28. 41
  29. 385 Bonbons
  30. 126 Kästchen
  31. 124
  32. 91
  33. 189 Hefte
  34. 31
  35. 8
  36. Nein, viermal so groß; richtig ist 180
  37. halbieren und verdoppeln, 90
  38. stimmt, 68
  39. 21
  40. 16
  41. 28
  42. 60