Zum Inhalt springen
Anmelden

Mathematik · Klasse 5 · Kapitel

Andere ZahlenBasiswissenAlle Kapitel

Rechengesetze und Rechenvorteile

EntdeckenDie Frage zum Kapitel

Rechne im Kopf, so schnell du kannst: 25 · 17 · 4. Schreib nichts auf und nimm keinen Taschenrechner.

Schreib eine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Für die Lehrkraft: Die meisten rechnen von links: 25 · 17 und kommen durcheinander. Andere geben auf oder raten. Nur wenige sehen, dass 25 und 4 zusammen 100 ergeben. Beim Malnehmen darf man die Zahlen vertauschen. Dann steht 25 · 4 · 17 da, also 100 · 17. Das Ergebnis ist 1700, in einer Sekunde.

  • Entdecken Frage, Vorstellung, Bild
  • Merken kommt ins Heft
  • Beispiel vorgerechnet, Schritt für Schritt
  • Üben selbst rechnen
  • Achtung typischer Fehler
  • Weiterdenken zum Knobeln und Vernetzen

○ mit Starthilfe, ● für alle, ★ zum Weiterdenken. Du wählst mindestens eine ★-Aufgabe. Du rechnest ins Heft.

Fit für das Kapitel?

Das brauchst du aus früheren Themen. Klappt es nicht, frag nach, bevor es losgeht.

ÜbenWeißt du das noch?

Punkt vor Strich und Klammer zuerst – so steht es seit Klasse 4 im Heft.

  1. ●39
    Rechne: 3 + 4 · 8
    Lösung zeigen
    1. Punkt vor Strich: erst 4 · 8 = 32
    2. 3 + 32 = 35
    Ergebnis:
    35
  2. ●40
    Rechne: (9 + 9) · 3
    Lösung zeigen
    1. Die Klammer zuerst: 9 + 9 = 18
    2. 18 · 3 = 54
    Ergebnis:
    54

ÜbenWeißt du das noch?

Punkt vor Strich und Klammer zuerst – die Reihenfolge entscheidet über das Ergebnis.

  1. ●41
    Berechne: 4 + 7 · 7
    Lösung zeigen
    1. Punkt vor Strich: erst 7 · 7 = 49
    2. 4 + 49 = 53
    Ergebnis:
    53
  2. ●42
    Ich denke mir eine Zahl, addiere 32 und erhalte 42. Welche Zahl war es? (Umkehraufgabe)
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    10

So kannst du es dir vorstellen

EntdeckenZahlen umbauen, ohne den Wert zu ändern

Eine Rechnung lässt sich umbauen, ohne dass sich ihr Wert ändert. Zahlen tauschen die Plätze, bilden neue Gruppen oder werden zerlegt. Wer das sieht, rechnet mit glatten Zahlen statt mit krummen.

17 plus 38 plus 3: Erst 17 und 3 zu 20 zusammenfassen, dann 20 plus 38 sind 5817 + 38 + 317 + 3 = 20= 20 + 38 = 58

WeiterdenkenDenk nach

Warum darf man bei 25 + 38 + 75 zuerst 25 und 75 addieren, bei 50 − 20 − 10 aber nicht zuerst 20 − 10?

1Ich rechne Plusaufgaben und Malaufgaben geschickt durch Vertauschen und Zusammenfassen.

EntdeckenFrage

Wie konnte der neunjährige Carl Friedrich Gauß die Zahlen von 1 bis 100 in wenigen Minuten addieren?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Er hat die Zahlen in Paare umsortiert: 1 und 100, 2 und 99, 3 und 98. Jedes Paar ergibt 101, und es sind 50 Paare. Also 50 · 101 = 5050. Er hat nur vertauscht und neu zusammengefasst.

MerkenVertauschen und zusammenfassen

Beim Plus und beim Mal darf man die Zahlen vertauschen und anders zusammenfassen.

Erst die Zahlen nehmen, die zusammen glatt werden.

BeispielPlusaufgaben geschickt: vertauschen und zusammenfassen

Tom rechnet 32 + 59 + 18 von links nach rechts. Zeige einen schnelleren Weg mit einem Rechenvorteil.
325918
Schritt für Schritt
  1. Vertauschen: 32 + 18 + 59
  2. 32 + 18 = 50
  3. 50 + 59 = 109
  1. Vertauschen: 32 + 18 + 59
  2. 32 + 18 = 50
  3. 50 + 59 = 109
Ergebnis:
109

AchtungBeim Minus oder Geteilt vertauscht

So nicht
50 − 20 − 10: erst 20 − 10 = 10, dann 50 − 10 = 40
So richtig
50 − 20 − 10 = 30 − 10 = 20

Vertauschen ist nur beim Plus und beim Mal erlaubt. 20 − 5 ist nicht 5 − 20.

ÜbenJetzt du

  1. ○1
    Elias rechnet 14 + 75 + 6 von links nach rechts. Zeige einen schnelleren Weg mit einem Rechenvorteil.
    14756
    So fängst du an:
    Vertauschen: 14 + 6 + 75
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 14 + 6 + 75
    2. 14 + 6 = 20
    3. 20 + 75 = 95
    Ergebnis:
    95
  2. ●2
    Rechne geschickt: 58 + 65 + 42
    586542
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 58 + 42 + 65
    2. 58 + 42 = 100
    3. 100 + 65 = 165
    Ergebnis:
    165
  3. ★3
    Welche Zahlen fasst du bei 222 + 163 + 78 zuerst zusammen? Begründe und rechne.
    22216378
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 222 + 78 + 163
    2. 222 + 78 = 300
    3. Zusammen glatt, der Rest ist leicht: 300 + 163 = 463
    Ergebnis:
    463

2Ich verändere Summen gegensinnig und Differenzen gleichsinnig.

EntdeckenFrage

Warum rechnen Kassiererinnen 3,99 € mal 4 schneller als ein Kunde mit Papier?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Sie rechnen 4 mal 4 € und ziehen dann 4 Cent ab: 16,00 € − 0,04 € = 15,96 €. Das ist Zerlegen: 3,99 ist 4 minus 1 Cent. Der Rechenweg ist kurz, weil er über die glatte Zahl geht.

MerkenGegensinnig und gleichsinnig

Bei einer Summe gibt ein Summand ab, was der andere bekommt.

Bei einer Differenz ändern sich beide Zahlen gleich, der Abstand bleibt.

BeispielSummen gegensinnig verändern

Rechne geschickt durch gegensinniges Verändern: 49 + 29
4929
Schritt für Schritt
  1. 49 bekommt 1 dazu, 29 gibt 1 ab.
  2. 49 + 29 = 50 + 28
  3. 50 + 28 = 78
  1. 49 bekommt 1 dazu, 29 gibt 1 ab.
  2. 49 + 29 = 50 + 28
  3. 50 + 28 = 78
Ergebnis:
78

AchtungNur eine Zahl verändert

So nicht
143 − 97: 143 − 100 = 43
So richtig
143 − 97 = 146 − 100 = 46

Bei der Summe gegensinnig, bei der Differenz gleichsinnig: Immer beide Zahlen verändern.

ÜbenJetzt du

  1. ○4
    Ergänze so, dass die Summe gleich bleibt: 97 + 36 = 100 + ___
    9736
    So fängst du an:
    97 wird zu 100: 3 mehr.
    Lösung zeigen
    1. 97 wird zu 100: 3 mehr.
    2. Also muss 36 um 3 kleiner werden: 36 − 3 = 33
    3. 100 + 33 = 133
    Ergebnis:
    33
  2. ●5
    Ergänze so, dass die Summe gleich bleibt: 199 + 29 = 200 + ___
    19929
    Lösung zeigen
    1. 199 wird zu 200: 1 mehr.
    2. Also muss 29 um 1 kleiner werden: 29 − 1 = 28
    3. 200 + 28 = 228
    Ergebnis:
    28
  3. ★6
    Ergänze so, dass die Summe gleich bleibt: 497 + 594 = 500 + ___
    497594
    Lösung zeigen
    1. 497 wird zu 500: 3 mehr.
    2. Also muss 594 um 3 kleiner werden: 594 − 3 = 591
    3. 500 + 591 = 1091
    Ergebnis:
    591

3Ich nehme halbschriftlich mal, indem ich einen Faktor zerlege.

EntdeckenFrage

Wie haben Bauern in Russland früher ohne Einmaleins multipliziert?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Sie haben eine Zahl immer halbiert und die andere verdoppelt, bis links eine 1 stand. Dann addierten sie die rechten Zahlen der Zeilen mit ungerader linker Zahl. Das Verfahren heißt russische Bauernmultiplikation und nutzt, dass Verdoppeln und Halbieren das Produkt nicht ändert.

MerkenMalnehmen mit Zerlegen

Einen Faktor zerlegen, jeden Teil malnehmen und die Teilergebnisse addieren.

So wird 7 · 48 zu 7 · 40 + 7 · 8.

BeispielHalbschriftlich malnehmen mit Zerlegen

Rechne geschickt über die glatte Zahl: 7 · 29
Schritt für Schritt
  1. 29 = 30 − 1
  2. 7 · 30 = 210 und 7 · 1 = 7
  3. 210 − 7 = 203
  1. 29 = 30 − 1
  2. 7 · 30 = 210 und 7 · 1 = 7
  3. 210 − 7 = 203
Ergebnis:
203

AchtungBeim Zerlegen einen Teil vergessen

So nicht
7 · 48: 7 · 40 + 8 = 288
So richtig
7 · 48 = 7 · 40 + 7 · 8 = 280 + 56 = 336

Jeder Teil des zerlegten Faktors wird malgenommen, nicht nur der erste.

ÜbenJetzt du

  1. ○7
    Es gibt 9 Tüten mit je 54 Bonbons. Wie viele Bonbons sind es? Rechne halbschriftlich.
    So fängst du an:
    9 · 54
    Lösung zeigen
    1. 9 · 54
    2. 54 = 50 + 4
    3. 9 · 50 = 450 und 9 · 4 = 36
    4. 450 + 36 = 486
    Ergebnis:
    486 Bonbons
  2. ●8
    Es gibt 3 Reihen mit je 63 Stühle. Wie viele Stühle sind es? Rechne halbschriftlich.
    Lösung zeigen
    1. 3 · 63
    2. 63 = 60 + 3
    3. 3 · 60 = 180 und 3 · 3 = 9
    4. 180 + 9 = 189
    Ergebnis:
    189 Stühle
  3. ★9
    Rechne geschickt über die glatte Zahl: 8 · 98
    Lösung zeigen
    1. 98 = 100 − 2
    2. 8 · 100 = 800 und 8 · 2 = 16
    3. 800 − 16 = 784
    Ergebnis:
    784

4Ich dividiere halbschriftlich, indem ich die Zahl geschickt zerlege.

EntdeckenFrage

Warum ist 25 mal 4 ein Lieblingspaar beim Kopfrechnen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

25 mal 4 ergibt genau 100. Kommen 25 und 4 in einer Malaufgabe vor, fasst man sie zuerst zusammen. Aus 25 · 37 · 4 wird dann 100 · 37 = 3700, ganz ohne schriftliches Rechnen.

MerkenTeilen mit Zerlegen

Die Zahl so zerlegen, dass jeder Teil glatt aufgeht. So wird 385 : 7 zu 350 : 7 + 35 : 7.

BeispielHalbschriftlich dividieren

Rechne halbschriftlich: 204 : 3
Schritt für Schritt
  1. 204 = 180 + 24
  2. 180 : 3 = 60 und 24 : 3 = 8
  3. 60 + 8 = 68
  1. 204 = 180 + 24
  2. 180 : 3 = 60 und 24 : 3 = 8
  3. 60 + 8 = 68
Ergebnis:
68

AchtungBeim Teilen nicht passend zerlegt

So nicht
385 : 7: 300 : 7 geht nicht glatt → aufgegeben
So richtig
385 : 7 = 350 : 7 + 35 : 7 = 50 + 5 = 55

Jeder Teil muss sich glatt teilen lassen. Erst ein großes Vielfaches abspalten.

ÜbenJetzt du

  1. ○10
    Rechne halbschriftlich: 84 : 4
    So fängst du an:
    84 = 80 + 4
    Lösung zeigen
    1. 84 = 80 + 4
    2. 80 : 4 = 20 und 4 : 4 = 1
    3. 20 + 1 = 21
    Ergebnis:
    21
  2. ●11
    312 Bücher werden gleichmäßig auf 8 Regalböden aufgeteilt. Wie viele bekommt jeder Teil? Rechne halbschriftlich.
    Lösung zeigen
    1. 312 : 8
    2. 312 = 240 + 72
    3. 240 : 8 = 30 und 72 : 8 = 9
    4. 30 + 9 = 39
    Ergebnis:
    39 Bücher
  3. ★12
    Rechne halbschriftlich: 161 : 7
    Lösung zeigen
    1. 161 = 140 + 21
    2. 140 : 7 = 20 und 21 : 7 = 3
    3. 20 + 3 = 23
    Ergebnis:
    23

5Ich finde Aufgaben mit gleichem Ergebnis und vergleiche Rechenausdrücke.

EntdeckenFrage

Warum stimmt der Trick „mal 9 ist mal 10 minus einmal“ immer?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Neunmal eine Zahl ist zehnmal die Zahl minus einmal die Zahl. So wird 9 · 47 zu 470 − 47 = 423. Das ist das Verteilungsgesetz: 9 ist 10 minus 1.

MerkenAusdrücke mit gleichem Wert

Verschiedene Rechenausdrücke können denselben Wert haben.

Wer die Rechengesetze nutzt, sieht das oft ohne Ausrechnen.

BeispielAufgaben mit gleichem Ergebnis

Finde die fehlende Zahl mit einem Rechengesetz: 82 + 53 = 79 + ___
82 + 53=79 + ?
Schritt für Schritt
  1. 82 wird zu 79: 3 weniger.
  2. Damit die Summe gleich bleibt, wird 53 um 3 größer.
  3. 53 + 3 = 56
  1. 82 wird zu 79: 3 weniger.
  2. Damit die Summe gleich bleibt, wird 53 um 3 größer.
  3. 53 + 3 = 56
Ergebnis:
56

AchtungPunkt vor Strich missachtet

So nicht
9 + 5 · 7 = 14 · 7 = 98
So richtig
9 + 5 · 7 = 9 + 35 = 44

Klammer zuerst, dann Mal und Geteilt, dann Plus und Minus.

ÜbenJetzt du

  1. ○13
    Finde die fehlende Zahl mit einem Rechengesetz: 14 · 12 = 7 · ___
    14 · 12=7 · ?
    So fängst du an:
    14 wird halb so groß: 7.
    Lösung zeigen
    1. 14 wird halb so groß: 7.
    2. Damit das Ergebnis gleich bleibt, wird 12 doppelt so groß.
    3. 12 · 2 = 24
    Ergebnis:
    24
  2. ●14
    Welche Zahl fehlt? Rechne nicht beide Seiten aus. 74 + 24 = 72 + ___
    Lösung zeigen
    1. 74 wird zu 72: 2 weniger.
    2. Damit die Summe gleich bleibt, wird 24 um 2 größer.
    3. 24 + 2 = 26
    Ergebnis:
    26
  3. ★15
    Welche Zahl fehlt? Rechne nicht beide Seiten aus. 3 · 34 + 3 · 6 = 3 · ___
    Lösung zeigen
    1. Beide Produkte haben den Faktor 3.
    2. 3 mal 34 und 3 mal 6 sind zusammen 3 mal (34 + 6).
    3. 34 + 6 = 40
    Ergebnis:
    40

6Ich rechne mit Verdoppeln und Halbieren und prüfe, ob das Ergebnis gleich bleibt.

EntdeckenFrage

Wie merkt man in Sekunden, dass 98 · 102 nicht 99.960 sein kann?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Man rechnet nicht, man überschlägt: 100 · 100 = 10.000. Das Ergebnis muss also in der Nähe von 10.000 liegen. 99.960 ist fast zehnmal so groß und kann nicht stimmen. Richtig ist 9996.

MerkenVerdoppeln und halbieren

Wird ein Faktor verdoppelt und der andere halbiert, bleibt das Produkt gleich.

Werden beide verdoppelt, wird es viermal so groß.

BeispielVerdoppeln und Halbieren

Warum ist 12 · 15 dasselbe wie 6 · 30? Rechne dann geschickt.
Schritt für Schritt
  1. Halb so viele Reihen, jede doppelt so lang: gleich viele Kästchen.
  2. 12 · 15 = 6 · 30
  3. 6 · 30 = 180
  1. Halb so viele Reihen, jede doppelt so lang: gleich viele Kästchen.
  2. 12 · 15 = 6 · 30
  3. 6 · 30 = 180
Ergebnis:
180

AchtungBeide Faktoren verdoppelt

So nicht
8 · 25 → 16 · 50 = 800
So richtig
8 · 25 → 4 · 50 = 200

Nur einer wird verdoppelt, der andere halbiert. Sonst ändert sich das Ergebnis.

ÜbenJetzt du

  1. ○16
    Warum ist 16 · 5 dasselbe wie 8 · 10? Rechne dann geschickt.
    So fängst du an:
    Halb so viele Reihen, jede doppelt so lang: gleich viele Kästchen.
    Lösung zeigen
    1. Halb so viele Reihen, jede doppelt so lang: gleich viele Kästchen.
    2. 16 · 5 = 8 · 10
    3. 8 · 10 = 80
    Ergebnis:
    80
  2. ●17
    Rechne geschickt: Halbiere den einen Faktor und verdopple den anderen. 18 · 5
    Lösung zeigen
    1. 18 · 5 = 9 · 10
    2. 9 · 10 = 90
    Ergebnis:
    90
  3. ★18
    Warum ist 22 · 15 dasselbe wie 11 · 30? Rechne dann geschickt.
    Lösung zeigen
    1. Halb so viele Reihen, jede doppelt so lang: gleich viele Kästchen.
    2. 22 · 15 = 11 · 30
    3. 11 · 30 = 330
    Ergebnis:
    330

7Ich wähle zu einer Aufgabe den passenden Rechenweg.

EntdeckenFrage

Wie rechnen Darts-Profis blitzschnell aus, wie viele Punkte ihnen von 501 noch fehlen, wenn sie 140 geworfen haben?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Der geschickte Weg nimmt erst eine runde Zahl. 500 − 140 = 360, und der eine Extrapunkt kommt dazu: 361. Das geht schneller als 501 − 140 Stelle für Stelle. Am Ergebnis ändert der Weg nichts.

MerkenDen passenden Weg wählen

Vor dem Rechnen die Zahlen ansehen.

Liegt eine Zahl nahe an einer glatten, lohnt sich ein Vorteil, sonst rechnet man schriftlich.

BeispielDen passenden Rechenweg wählen

Wie rechnest du am schnellsten: 6 · 71? Nenne ihn und rechne.
Schritt für Schritt
  1. Den zweiten Faktor zerlegen: 71 = 70 + 1.
  2. 6 · 70 = 420 und 6 · 1 = 6
  3. Zusammen: 426
  1. Den zweiten Faktor zerlegen: 71 = 70 + 1.
  2. 6 · 70 = 420 und 6 · 1 = 6
  3. Zusammen: 426
Ergebnis:
zerlegen, 426

AchtungUmständlichen Weg gewählt

So nicht
299 + 158 schriftlich untereinander gerechnet, dabei verrechnet: 447
So richtig
299 + 158 = 300 + 157 = 457

Erst die Zahlen ansehen: Liegt eine nahe an einer glatten Zahl?

ÜbenJetzt du

  1. ○19
    Wie rechnest du am schnellsten: 8 · 39? Nenne ihn und rechne.
    So fängst du an:
    Den zweiten Faktor zerlegen: 39 = 30 + 9.
    Lösung zeigen
    1. Den zweiten Faktor zerlegen: 39 = 30 + 9.
    2. 8 · 30 = 240 und 8 · 9 = 72
    3. Zusammen: 312
    Ergebnis:
    zerlegen, 312
  2. ●20
    Welchen Rechenvorteil nutzt du bei 7 · 62? Nenne ihn und rechne.
    7 · 62zerlegenhalbieren und verdoppelnschriftlich
    Lösung zeigen
    1. Den zweiten Faktor zerlegen: 62 = 60 + 2.
    2. 7 · 60 = 420 und 7 · 2 = 14
    3. Zusammen: 434
    Ergebnis:
    zerlegen, 434
  3. ★21
    Wie rechnest du am schnellsten: 6089 − 5339? Nenne ihn und rechne.
    Lösung zeigen
    1. Keine Zahl liegt nahe an einer glatten Zahl: schriftlich rechnen.
    2. 6089 − 5339 = 750
    Ergebnis:
    schriftlich, 750

8Ich finde Rechenfehler mit Überschlag und Umkehraufgabe.

EntdeckenFrage

Warum zählt man Rückgeld vom Preis aus nach oben, statt abzuziehen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Wer 13,40 € zahlen muss und 20 € gibt, bekommt 20 − 13,40 = 6,60 € zurück. Beim Hochzählen rechnet man die Umkehraufgabe: 13,40 + 6,60 = 20. Kommt man genau auf den gegebenen Betrag, stimmt das Rückgeld.

MerkenÜberschlag und Umkehraufgabe

Ein Überschlag mit runden Zahlen zeigt, ob ein Ergebnis stimmen kann.

Die Umkehraufgabe prüft es genau.

BeispielRechenfehler mit Überschlag und Umkehraufgabe finden

Emma erhält für 28 · 15 das Ergebnis 620. Prüfe mit einem Überschlag.
Schritt für Schritt
  1. Überschlag: 30 · 20 = 600
  2. 620 liegt in der Nähe. Genau rechnen: 28 · 15 = 420
  3. Das Ergebnis ist falsch.
  1. Überschlag: 30 · 20 = 600
  2. 620 liegt in der Nähe. Genau rechnen: 28 · 15 = 420
  3. Das Ergebnis ist falsch.
Ergebnis:
falsch, richtig ist 420

AchtungErgebnis nicht geprüft

So nicht
425 : 5 = 805, ohne Probe ins Heft
So richtig
425 : 5 → Überschlag 400 : 5 = 80 → 85, Probe 85 · 5 = 425

Mit einem Überschlag prüfen, ob die Größenordnung stimmt, dann mit der Umkehraufgabe.

ÜbenJetzt du

  1. ○22
    Tom rechnet 360 : 8 und erhält 55. Prüfe mit der Umkehraufgabe.
    360 : 8Ergebnis 55?
    So fängst du an:
    Umkehraufgabe: 55 · 8 = 440
    Lösung zeigen
    1. Umkehraufgabe: 55 · 8 = 440
    2. 440 ist nicht 360: Es ist falsch.
    3. 360 : 8 = 45
    Ergebnis:
    falsch, richtig ist 45
  2. ●23
    Milan rechnet 568 − 268 und erhält 290. Prüfe mit der Umkehraufgabe.
    Lösung zeigen
    1. Umkehraufgabe: 290 + 268 = 558
    2. 558 ist nicht 568: Es ist falsch.
    3. 568 − 268 = 300
    Ergebnis:
    falsch, richtig ist 300
  3. ★24
    Sofia rechnet 3808 : 8 und erhält 478. Prüfe mit der Umkehraufgabe.
    3808 : 8Ergebnis 478?
    Lösung zeigen
    1. Umkehraufgabe: 478 · 8 = 3824
    2. 3824 ist nicht 3808: Es ist falsch.
    3. 3808 : 8 = 476
    Ergebnis:
    falsch, richtig ist 476

Vermischte Übungen

Alles durcheinander – wie in der Arbeit. Überleg bei jeder Aufgabe zuerst: Welches Ziel ist das?

Üben

  1. ●25
    Rechne geschickt: 31 + 61 + 29
    316129
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 31 + 29 + 61
    2. 31 + 29 = 60
    3. 60 + 61 = 121
    Ergebnis:
    121
  2. ●26
    In einem Lager stehen 2 Regale mit je 5 Kisten. In jeder Kiste sind 12 Bälle. Wie viele Bälle sind es? Rechne geschickt.
    2 Regale5 Kisten12 Bälle
    Lösung zeigen
    1. Bälle: 2 · 5 · 12
    2. 2 · 5 = 10
    3. 10 · 12 = 120
    Ergebnis:
    120 Bälle
  3. ●27
    Mia rechnet 49 + 76 als 50 + 76. Was muss Mia danach noch tun? Was kommt heraus?
    4976
    Lösung zeigen
    1. Mia hat 49 um 1 vergrößert.
    2. Die Summe ist dadurch um 1 zu groß: 50 + 76 = 126.
    3. 1 wieder abziehen: 126 − 1 = 125
    Ergebnis:
    125
  4. ●28
    Noah rechnet 170 − 18 als 170 − 20 und erhält 150. Ist das schon das Ergebnis?
    170 − 18170 − 20
    Lösung zeigen
    1. Noah hat 2 mehr abgezogen als verlangt.
    2. Beim Minus muss dieser Rest wieder dazu.
    3. 150 + 2 = 152
    Ergebnis:
    Nein, 152
  5. ●29
    Rechne halbschriftlich: Zerlege den zweiten Faktor. 8 · 67
    Lösung zeigen
    1. 67 = 60 + 7
    2. 8 · 60 = 480 und 8 · 7 = 56
    3. 480 + 56 = 536
    Ergebnis:
    536
  6. ●30
    Elias rechnet 7 · 12 so: erst 7 · 10, dann 2 dazu. Elias erhält 72. Zeige am Bild, was fehlt.
    1027
    Lösung zeigen
    1. Der rechte Teil hat 7 Reihen mit je 2 Kästchen, nicht nur 2.
    2. Rechter Teil: 7 · 2 = 14
    3. 70 + 14 = 84
    Ergebnis:
    84

Auf einen Blick

MerkenDas Wichtigste

Vertauschen und zusammenfassen
Beim Plus und beim Mal darf man die Zahlen vertauschen und anders zusammenfassen.
Gegensinnig und gleichsinnig
Bei einer Summe gibt ein Summand ab, was der andere bekommt.
Malnehmen mit Zerlegen
Einen Faktor zerlegen, jeden Teil malnehmen und die Teilergebnisse addieren.
Teilen mit Zerlegen
Die Zahl so zerlegen, dass jeder Teil glatt aufgeht. So wird 385 : 7 zu 350 : 7 + 35 : 7.
Ausdrücke mit gleichem Wert
Verschiedene Rechenausdrücke können denselben Wert haben.
Verdoppeln und halbieren
Wird ein Faktor verdoppelt und der andere halbiert, bleibt das Produkt gleich.
Den passenden Weg wählen
Vor dem Rechnen die Zahlen ansehen.
Überschlag und Umkehraufgabe
Ein Überschlag mit runden Zahlen zeigt, ob ein Ergebnis stimmen kann.

Kannst du das?

Je Ziel eine Aufgabe. Rechne sie ins Heft, dann kreuz ehrlich an. Keine Punkte, keine Note – der Test ist für dich.

ÜbenSelbsttest

  1. Ich rechne Plusaufgaben und Malaufgaben geschickt durch Vertauschen und Zusammenfassen.

    31
    Rechne geschickt: 3 + 59 + 17
    35917
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    79

  2. Ich verändere Summen gegensinnig und Differenzen gleichsinnig.

    32
    Ergänze so, dass die Summe gleich bleibt: 199 + 67 = 200 + ___
    19967
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    66

  3. Ich nehme halbschriftlich mal, indem ich einen Faktor zerlege.

    33
    Rechne halbschriftlich: Zerlege den zweiten Faktor. 7 · 57
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    399

  4. Ich dividiere halbschriftlich, indem ich die Zahl geschickt zerlege.

    34
    390 Murmeln werden gleichmäßig auf 6 Säckchen aufgeteilt. Wie viele bekommt jeder Teil? Rechne halbschriftlich.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    65 Murmeln

  5. Ich finde Aufgaben mit gleichem Ergebnis und vergleiche Rechenausdrücke.

    35
    Finde die fehlende Zahl mit einem Rechengesetz: 96 − 37 = ___ − 42
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    101

  6. Ich rechne mit Verdoppeln und Halbieren und prüfe, ob das Ergebnis gleich bleibt.

    36
    Paul verdoppelt bei 12 · 15 beide Faktoren und rechnet 24 · 30. Bleibt das Ergebnis gleich?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    Nein, viermal so groß; richtig ist 180

  7. Ich wähle zu einer Aufgabe den passenden Rechenweg.

    37
    Wie rechnest du am schnellsten: 8 · 25? Nenne ihn und rechne.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    halbieren und verdoppeln, 200

  8. Ich finde Rechenfehler mit Überschlag und Umkehraufgabe.

    38
    Hanna erhält für 74 · 44 das Ergebnis 4256. Prüfe mit einem Überschlag.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    falsch, richtig ist 3256

Bei „unsicher“ oder „noch nicht“: Lies den Abschnitt zum Ziel noch einmal und rechne seine drei Aufgaben.

Die Frage vom Anfang

EntdeckenRückschau

Rechne im Kopf, so schnell du kannst: 25 · 17 · 4. Schreib nichts auf und nimm keinen Taschenrechner.

Lies deine Vermutung vom Anfang. Kannst du die Frage jetzt mit dem Kapitel beantworten?

Auflösung

Mit dem Werkzeug aus diesem Kapitel: Vertauschen und Zusammenfassen: erst die Zahlen, die zusammen glatt werden.

Wo brauchst du das?

Entdecken

Preise im Kopf addieren, Rückgeld überschlagen, Mengen für ein Fest ausrechnen. Beruf: Kasse und Verkauf, Handwerk beim Materialberechnen, Lager und Versand.

Wörter

Differenz
was übrig bleibt, wenn man abzieht
Gleichung
zwei Rechnungen, die gleich viel wert sind
Produkt
was herauskommt, wenn man malnimmt
Summe
was herauskommt, wenn man zusammenzählt
Teiler
eine Zahl, durch die es ohne Rest aufgeht

Wie es zusammenhängt

Das brauchst du vorher: Rechenregeln, Teiler und Vielfache, Natürliche Zahlen und Stellenwert

Darauf baut auf: Sachaufgaben lösen

Lösungen

  1. 95
  2. 165
  3. 463
  4. 33
  5. 28
  6. 591
  7. 486 Bonbons
  8. 189 Stühle
  9. 784
  10. 21
  11. 39 Bücher
  12. 23
  13. 24
  14. 26
  15. 40
  16. 80
  17. 90
  18. 330
  19. zerlegen, 312
  20. zerlegen, 434
  21. schriftlich, 750
  22. falsch, richtig ist 45
  23. falsch, richtig ist 300
  24. falsch, richtig ist 476
  25. 121
  26. 120 Bälle
  27. 125
  28. Nein, 152
  29. 536
  30. 84
  31. 79
  32. 66
  33. 399
  34. 65 Murmeln
  35. 101
  36. Nein, viermal so groß; richtig ist 180
  37. halbieren und verdoppeln, 200
  38. falsch, richtig ist 3256
  39. 35
  40. 54
  41. 53
  42. 10