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Mathematik · Klasse 5 · Kapitel

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Rechengesetze und Rechenvorteile

EntdeckenDie Frage zum Kapitel

Rechne im Kopf, so schnell du kannst: 25 · 17 · 4. Schreib nichts auf und nimm keinen Taschenrechner.

Schreib eine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Für die Lehrkraft: Die meisten rechnen von links: 25 · 17 und kommen durcheinander. Andere geben auf oder raten. Nur wenige sehen, dass 25 und 4 zusammen 100 ergeben. Beim Malnehmen darf man die Zahlen vertauschen. Dann steht 25 · 4 · 17 da, also 100 · 17. Das Ergebnis ist 1700, in einer Sekunde.

  • Entdecken Frage, Vorstellung, Bild
  • Merken kommt ins Heft
  • Beispiel vorgerechnet, Schritt für Schritt
  • Üben selbst rechnen
  • Achtung typischer Fehler
  • Weiterdenken zum Knobeln und Vernetzen

○ mit Starthilfe, ● für alle, ★ zum Weiterdenken. Du wählst mindestens eine ★-Aufgabe. Du rechnest ins Heft.

Fit für das Kapitel?

Das brauchst du aus früheren Themen. Klappt es nicht, frag nach, bevor es losgeht.

ÜbenWeißt du das noch?

Punkt vor Strich und Klammer zuerst – so steht es seit Klasse 4 im Heft.

  1. ●39
    Rechne: 22 − 4 · 3
    Lösung zeigen
    1. Punkt vor Strich: erst 4 · 3 = 12
    2. 22 − 12 = 10
    Ergebnis:
    10
  2. ●40
    Rechne: (8 + 7) · 4
    Lösung zeigen
    1. Die Klammer zuerst: 8 + 7 = 15
    2. 15 · 4 = 60
    Ergebnis:
    60

ÜbenWeißt du das noch?

Punkt vor Strich und Klammer zuerst – die Reihenfolge entscheidet über das Ergebnis.

  1. ●41
    Berechne: 12 + 6 · 5
    Lösung zeigen
    1. Punkt vor Strich: erst 6 · 5 = 30
    2. 12 + 30 = 42
    Ergebnis:
    42
  2. ●42
    Ich denke mir eine Zahl, addiere 21 und erhalte 75. Welche Zahl war es? (Umkehraufgabe)
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    54

So kannst du es dir vorstellen

EntdeckenZahlen umbauen, ohne den Wert zu ändern

Eine Rechnung lässt sich umbauen, ohne dass sich ihr Wert ändert. Zahlen tauschen die Plätze, bilden neue Gruppen oder werden zerlegt. Wer das sieht, rechnet mit glatten Zahlen statt mit krummen.

17 plus 38 plus 3: Erst 17 und 3 zu 20 zusammenfassen, dann 20 plus 38 sind 5817 + 38 + 317 + 3 = 20= 20 + 38 = 58

WeiterdenkenDenk nach

Warum darf man bei 25 + 38 + 75 zuerst 25 und 75 addieren, bei 50 − 20 − 10 aber nicht zuerst 20 − 10?

1Ich rechne Plusaufgaben und Malaufgaben geschickt durch Vertauschen und Zusammenfassen.

EntdeckenFrage

Wie konnte der neunjährige Carl Friedrich Gauß die Zahlen von 1 bis 100 in wenigen Minuten addieren?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Er hat die Zahlen in Paare umsortiert: 1 und 100, 2 und 99, 3 und 98. Jedes Paar ergibt 101, und es sind 50 Paare. Also 50 · 101 = 5050. Er hat nur vertauscht und neu zusammengefasst.

MerkenVertauschen und zusammenfassen

Beim Plus und beim Mal darf man die Zahlen vertauschen und anders zusammenfassen.

Erst die Zahlen nehmen, die zusammen glatt werden.

BeispielPlusaufgaben geschickt: vertauschen und zusammenfassen

Lina rechnet 95 + 73 + 5 von links nach rechts. Zeige einen schnelleren Weg mit einem Rechenvorteil.
95735
Schritt für Schritt
  1. Vertauschen: 95 + 5 + 73
  2. 95 + 5 = 100
  3. 100 + 73 = 173
  1. Vertauschen: 95 + 5 + 73
  2. 95 + 5 = 100
  3. 100 + 73 = 173
Ergebnis:
173

AchtungBeim Minus oder Geteilt vertauscht

So nicht
50 − 20 − 10: erst 20 − 10 = 10, dann 50 − 10 = 40
So richtig
50 − 20 − 10 = 30 − 10 = 20

Vertauschen ist nur beim Plus und beim Mal erlaubt. 20 − 5 ist nicht 5 − 20.

ÜbenJetzt du

  1. ○1
    Welche Zahlen fasst du bei 12 + 39 + 8 zuerst zusammen? Begründe und rechne.
    12398
    So fängst du an:
    Vertauschen: 12 + 8 + 39
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 12 + 8 + 39
    2. 12 + 8 = 20
    3. Zusammen glatt, der Rest ist leicht: 20 + 39 = 59
    Ergebnis:
    59
  2. ●2
    Tom rechnet 9 + 22 + 31 von links nach rechts. Zeige einen schnelleren Weg mit einem Rechenvorteil.
    92231
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 9 + 31 + 22
    2. 9 + 31 = 40
    3. 40 + 22 = 62
    Ergebnis:
    62
  3. ★3
    Milan rechnet 276 + 565 + 24 von links nach rechts. Zeige einen schnelleren Weg mit einem Rechenvorteil.
    27656524
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 276 + 24 + 565
    2. 276 + 24 = 300
    3. 300 + 565 = 865
    Ergebnis:
    865

2Ich verändere Summen gegensinnig und Differenzen gleichsinnig.

EntdeckenFrage

Warum rechnen Kassiererinnen 3,99 € mal 4 schneller als ein Kunde mit Papier?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Sie rechnen 4 mal 4 € und ziehen dann 4 Cent ab: 16,00 € − 0,04 € = 15,96 €. Das ist Zerlegen: 3,99 ist 4 minus 1 Cent. Der Rechenweg ist kurz, weil er über die glatte Zahl geht.

MerkenGegensinnig und gleichsinnig

Bei einer Summe gibt ein Summand ab, was der andere bekommt.

Bei einer Differenz ändern sich beide Zahlen gleich, der Abstand bleibt.

BeispielSummen gegensinnig verändern

Ergänze so, dass die Summe gleich bleibt: 67 + 95 = 70 + ___
6795
Schritt für Schritt
  1. 67 wird zu 70: 3 mehr.
  2. Also muss 95 um 3 kleiner werden: 95 − 3 = 92
  3. 70 + 92 = 162
  1. 67 wird zu 70: 3 mehr.
  2. Also muss 95 um 3 kleiner werden: 95 − 3 = 92
  3. 70 + 92 = 162
Ergebnis:
92

AchtungNur eine Zahl verändert

So nicht
143 − 97: 143 − 100 = 43
So richtig
143 − 97 = 146 − 100 = 46

Bei der Summe gegensinnig, bei der Differenz gleichsinnig: Immer beide Zahlen verändern.

ÜbenJetzt du

  1. ○4
    Ergänze so, dass die Summe gleich bleibt: 38 + 54 = 40 + ___
    3854
    So fängst du an:
    38 wird zu 40: 2 mehr.
    Lösung zeigen
    1. 38 wird zu 40: 2 mehr.
    2. Also muss 54 um 2 kleiner werden: 54 − 2 = 52
    3. 40 + 52 = 92
    Ergebnis:
    52
  2. ●5
    Ergänze so, dass die Summe gleich bleibt: 99 + 74 = 100 + ___
    9974
    Lösung zeigen
    1. 99 wird zu 100: 1 mehr.
    2. Also muss 74 um 1 kleiner werden: 74 − 1 = 73
    3. 100 + 73 = 173
    Ergebnis:
    73
  3. ★6
    Lina rechnet 398 + 516 als 400 + 516. Was muss Lina danach noch tun? Was kommt heraus?
    398516
    Lösung zeigen
    1. Lina hat 398 um 2 vergrößert.
    2. Die Summe ist dadurch um 2 zu groß: 400 + 516 = 916.
    3. 2 wieder abziehen: 916 − 2 = 914
    Ergebnis:
    914

3Ich nehme halbschriftlich mal, indem ich einen Faktor zerlege.

EntdeckenFrage

Wie haben Bauern in Russland früher ohne Einmaleins multipliziert?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Sie haben eine Zahl immer halbiert und die andere verdoppelt, bis links eine 1 stand. Dann addierten sie die rechten Zahlen der Zeilen mit ungerader linker Zahl. Das Verfahren heißt russische Bauernmultiplikation und nutzt, dass Verdoppeln und Halbieren das Produkt nicht ändert.

MerkenMalnehmen mit Zerlegen

Einen Faktor zerlegen, jeden Teil malnehmen und die Teilergebnisse addieren.

So wird 7 · 48 zu 7 · 40 + 7 · 8.

BeispielHalbschriftlich malnehmen mit Zerlegen

Rechne geschickt über die glatte Zahl: 6 · 59
Schritt für Schritt
  1. 59 = 60 − 1
  2. 6 · 60 = 360 und 6 · 1 = 6
  3. 360 − 6 = 354
  1. 59 = 60 − 1
  2. 6 · 60 = 360 und 6 · 1 = 6
  3. 360 − 6 = 354
Ergebnis:
354

AchtungBeim Zerlegen einen Teil vergessen

So nicht
7 · 48: 7 · 40 + 8 = 288
So richtig
7 · 48 = 7 · 40 + 7 · 8 = 280 + 56 = 336

Jeder Teil des zerlegten Faktors wird malgenommen, nicht nur der erste.

ÜbenJetzt du

  1. ○7
    Rechne geschickt über die glatte Zahl: 4 · 39
    So fängst du an:
    39 = 40 − 1
    Lösung zeigen
    1. 39 = 40 − 1
    2. 4 · 40 = 160 und 4 · 1 = 4
    3. 160 − 4 = 156
    Ergebnis:
    156
  2. ●8
    Rechne halbschriftlich: Zerlege den zweiten Faktor. 5 · 23
    Lösung zeigen
    1. 23 = 20 + 3
    2. 5 · 20 = 100 und 5 · 3 = 15
    3. 100 + 15 = 115
    Ergebnis:
    115
  3. ★9
    Rechne halbschriftlich: Zerlege den zweiten Faktor. 7 · 57
    Lösung zeigen
    1. 57 = 50 + 7
    2. 7 · 50 = 350 und 7 · 7 = 49
    3. 350 + 49 = 399
    Ergebnis:
    399

4Ich dividiere halbschriftlich, indem ich die Zahl geschickt zerlege.

EntdeckenFrage

Warum ist 25 mal 4 ein Lieblingspaar beim Kopfrechnen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

25 mal 4 ergibt genau 100. Kommen 25 und 4 in einer Malaufgabe vor, fasst man sie zuerst zusammen. Aus 25 · 37 · 4 wird dann 100 · 37 = 3700, ganz ohne schriftliches Rechnen.

MerkenTeilen mit Zerlegen

Die Zahl so zerlegen, dass jeder Teil glatt aufgeht. So wird 385 : 7 zu 350 : 7 + 35 : 7.

BeispielHalbschriftlich dividieren

552 Murmeln werden gleichmäßig auf 8 Säckchen aufgeteilt. Wie viele bekommt jeder Teil? Rechne halbschriftlich.
Schritt für Schritt
  1. 552 : 8
  2. 552 = 480 + 72
  3. 480 : 8 = 60 und 72 : 8 = 9
  4. 60 + 9 = 69
  1. 552 : 8
  2. 552 = 480 + 72
  3. 480 : 8 = 60 und 72 : 8 = 9
  4. 60 + 9 = 69
Ergebnis:
69 Murmeln

AchtungBeim Teilen nicht passend zerlegt

So nicht
385 : 7: 300 : 7 geht nicht glatt → aufgegeben
So richtig
385 : 7 = 350 : 7 + 35 : 7 = 50 + 5 = 55

Jeder Teil muss sich glatt teilen lassen. Erst ein großes Vielfaches abspalten.

ÜbenJetzt du

  1. ○10
    Rechne halbschriftlich: 462 : 7
    So fängst du an:
    462 = 420 + 42
    Lösung zeigen
    1. 462 = 420 + 42
    2. 420 : 7 = 60 und 42 : 7 = 6
    3. 60 + 6 = 66
    Ergebnis:
    66
  2. ●11
    Rechne halbschriftlich: 276 : 6
    Lösung zeigen
    1. 276 = 240 + 36
    2. 240 : 6 = 40 und 36 : 6 = 6
    3. 40 + 6 = 46
    Ergebnis:
    46
  3. ★12
    Zerlege 832 so in zwei Zahlen, dass du beide leicht durch 8 dividieren kannst. Was ergibt 832 : 8?
    832: 8
    Lösung zeigen
    1. 832 = 800 + 32
    2. 800 : 8 = 100 und 32 : 8 = 4
    3. 100 + 4 = 104
    Ergebnis:
    104

5Ich finde Aufgaben mit gleichem Ergebnis und vergleiche Rechenausdrücke.

EntdeckenFrage

Warum stimmt der Trick „mal 9 ist mal 10 minus einmal“ immer?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Neunmal eine Zahl ist zehnmal die Zahl minus einmal die Zahl. So wird 9 · 47 zu 470 − 47 = 423. Das ist das Verteilungsgesetz: 9 ist 10 minus 1.

MerkenAusdrücke mit gleichem Wert

Verschiedene Rechenausdrücke können denselben Wert haben.

Wer die Rechengesetze nutzt, sieht das oft ohne Ausrechnen.

BeispielAufgaben mit gleichem Ergebnis

Ergänze die Lücke: 6 · 5 = 3 · ___
6 · 5=3 · ?
Schritt für Schritt
  1. 6 wird halb so groß: 3.
  2. Damit das Ergebnis gleich bleibt, wird 5 doppelt so groß.
  3. 5 · 2 = 10
  1. 6 wird halb so groß: 3.
  2. Damit das Ergebnis gleich bleibt, wird 5 doppelt so groß.
  3. 5 · 2 = 10
Ergebnis:
10

AchtungPunkt vor Strich missachtet

So nicht
9 + 5 · 7 = 14 · 7 = 98
So richtig
9 + 5 · 7 = 9 + 35 = 44

Klammer zuerst, dann Mal und Geteilt, dann Plus und Minus.

ÜbenJetzt du

  1. ○13
    Welche Zahl fehlt? Rechne nicht beide Seiten aus. 81 + 22 = 78 + ___
    So fängst du an:
    81 wird zu 78: 3 weniger.
    Lösung zeigen
    1. 81 wird zu 78: 3 weniger.
    2. Damit die Summe gleich bleibt, wird 22 um 3 größer.
    3. 22 + 3 = 25
    Ergebnis:
    25
  2. ●14
    Ergänze die Lücke: 50 + 53 = 47 + ___
    50 + 53=47 + ?
    Lösung zeigen
    1. 50 wird zu 47: 3 weniger.
    2. Damit die Summe gleich bleibt, wird 53 um 3 größer.
    3. 53 + 3 = 56
    Ergebnis:
    56
  3. ★15
    Finde die fehlende Zahl mit einem Rechengesetz: 4 · 9 = 2 · ___
    4 · 9=2 · ?
    Lösung zeigen
    1. 4 wird halb so groß: 2.
    2. Damit das Ergebnis gleich bleibt, wird 9 doppelt so groß.
    3. 9 · 2 = 18
    Ergebnis:
    18

6Ich rechne mit Verdoppeln und Halbieren und prüfe, ob das Ergebnis gleich bleibt.

EntdeckenFrage

Wie merkt man in Sekunden, dass 98 · 102 nicht 99.960 sein kann?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Man rechnet nicht, man überschlägt: 100 · 100 = 10.000. Das Ergebnis muss also in der Nähe von 10.000 liegen. 99.960 ist fast zehnmal so groß und kann nicht stimmen. Richtig ist 9996.

MerkenVerdoppeln und halbieren

Wird ein Faktor verdoppelt und der andere halbiert, bleibt das Produkt gleich.

Werden beide verdoppelt, wird es viermal so groß.

BeispielVerdoppeln und Halbieren

Warum ist 16 · 25 dasselbe wie 8 · 50? Rechne dann geschickt.
Schritt für Schritt
  1. Halb so viele Reihen, jede doppelt so lang: gleich viele Kästchen.
  2. 16 · 25 = 8 · 50
  3. 8 · 50 = 400
  1. Halb so viele Reihen, jede doppelt so lang: gleich viele Kästchen.
  2. 16 · 25 = 8 · 50
  3. 8 · 50 = 400
Ergebnis:
400

AchtungBeide Faktoren verdoppelt

So nicht
8 · 25 → 16 · 50 = 800
So richtig
8 · 25 → 4 · 50 = 200

Nur einer wird verdoppelt, der andere halbiert. Sonst ändert sich das Ergebnis.

ÜbenJetzt du

  1. ○16
    Rechne geschickt: Halbiere den einen Faktor und verdopple den anderen. 8 · 25
    So fängst du an:
    8 · 25 = 4 · 50
    Lösung zeigen
    1. 8 · 25 = 4 · 50
    2. 4 · 50 = 200
    Ergebnis:
    200
  2. ●17
    Mia verdoppelt bei 12 · 15 beide Faktoren und rechnet 24 · 30. Bleibt das Ergebnis gleich?
    Lösung zeigen
    1. Einmal verdoppeln macht das Ergebnis doppelt so groß, zweimal viermal so groß.
    2. 24 · 30 = 720, aber 12 · 15 = 180
    3. Richtig ist: einen verdoppeln, den anderen halbieren.
    Ergebnis:
    Nein, viermal so groß; richtig ist 180
  3. ★18
    Warum ist 24 · 125 dasselbe wie 12 · 250? Rechne dann geschickt.
    Lösung zeigen
    1. Halb so viele Reihen, jede doppelt so lang: gleich viele Kästchen.
    2. 24 · 125 = 12 · 250
    3. 12 · 250 = 3000
    Ergebnis:
    3000

7Ich wähle zu einer Aufgabe den passenden Rechenweg.

EntdeckenFrage

Wie rechnen Darts-Profis blitzschnell aus, wie viele Punkte ihnen von 501 noch fehlen, wenn sie 140 geworfen haben?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Der geschickte Weg nimmt erst eine runde Zahl. 500 − 140 = 360, und der eine Extrapunkt kommt dazu: 361. Das geht schneller als 501 − 140 Stelle für Stelle. Am Ergebnis ändert der Weg nichts.

MerkenDen passenden Weg wählen

Vor dem Rechnen die Zahlen ansehen.

Liegt eine Zahl nahe an einer glatten, lohnt sich ein Vorteil, sonst rechnet man schriftlich.

BeispielDen passenden Rechenweg wählen

Wie rechnest du am schnellsten: 328 + 399? Nenne ihn und rechne.
Schritt für Schritt
  1. 399 liegt knapp unter 400: gegensinnig verändern.
  2. 328 + 399 = 327 + 400
  3. 327 + 400 = 727
  1. 399 liegt knapp unter 400: gegensinnig verändern.
  2. 328 + 399 = 327 + 400
  3. 327 + 400 = 727
Ergebnis:
gegensinnig verändern, 727

AchtungUmständlichen Weg gewählt

So nicht
299 + 158 schriftlich untereinander gerechnet, dabei verrechnet: 447
So richtig
299 + 158 = 300 + 157 = 457

Erst die Zahlen ansehen: Liegt eine nahe an einer glatten Zahl?

ÜbenJetzt du

  1. ○19
    Welchen Rechenvorteil nutzt du bei 7 · 23? Nenne ihn und rechne.
    7 · 23zerlegenhalbieren und verdoppelnschriftlich
    So fängst du an:
    Den zweiten Faktor zerlegen: 23 = 20 + 3.
    Lösung zeigen
    1. Den zweiten Faktor zerlegen: 23 = 20 + 3.
    2. 7 · 20 = 140 und 7 · 3 = 21
    3. Zusammen: 161
    Ergebnis:
    zerlegen, 161
  2. ●20
    Welcher Weg passt zu 208 + 497? Nenne ihn und rechne.
    208 + 497zerlegenhalbieren und verdoppelnschriftlich
    Lösung zeigen
    1. 497 liegt knapp unter 500: gegensinnig verändern.
    2. 208 + 497 = 205 + 500
    3. 205 + 500 = 705
    Ergebnis:
    gegensinnig verändern, 705
  3. ★21
    Welcher Weg passt zu 7222 − 4879? Nenne ihn und rechne.
    7222 − 4879zerlegenhalbieren und verdoppelnschriftlich
    Lösung zeigen
    1. Keine Zahl liegt nahe an einer glatten Zahl: schriftlich rechnen.
    2. 7222 − 4879 = 2343
    Ergebnis:
    schriftlich, 2343

8Ich finde Rechenfehler mit Überschlag und Umkehraufgabe.

EntdeckenFrage

Warum zählt man Rückgeld vom Preis aus nach oben, statt abzuziehen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Wer 13,40 € zahlen muss und 20 € gibt, bekommt 20 − 13,40 = 6,60 € zurück. Beim Hochzählen rechnet man die Umkehraufgabe: 13,40 + 6,60 = 20. Kommt man genau auf den gegebenen Betrag, stimmt das Rückgeld.

MerkenÜberschlag und Umkehraufgabe

Ein Überschlag mit runden Zahlen zeigt, ob ein Ergebnis stimmen kann.

Die Umkehraufgabe prüft es genau.

BeispielRechenfehler mit Überschlag und Umkehraufgabe finden

Can erhält für 54 · 17 das Ergebnis 718. Prüfe mit einem Überschlag.
Schritt für Schritt
  1. Überschlag: 50 · 20 = 1000
  2. 718 liegt zu weit weg. Genau: 54 · 17 = 918
  3. Das Ergebnis ist falsch.
  1. Überschlag: 50 · 20 = 1000
  2. 718 liegt zu weit weg. Genau: 54 · 17 = 918
  3. Das Ergebnis ist falsch.
Ergebnis:
falsch, richtig ist 918

AchtungErgebnis nicht geprüft

So nicht
425 : 5 = 805, ohne Probe ins Heft
So richtig
425 : 5 → Überschlag 400 : 5 = 80 → 85, Probe 85 · 5 = 425

Mit einem Überschlag prüfen, ob die Größenordnung stimmt, dann mit der Umkehraufgabe.

ÜbenJetzt du

  1. ○22
    Jonas rechnet 657 : 9 und erhält 73. Prüfe mit der Umkehraufgabe.
    657 : 9Ergebnis 73?
    So fängst du an:
    Umkehraufgabe: 73 · 9 = 657
    Lösung zeigen
    1. Umkehraufgabe: 73 · 9 = 657
    2. 657 ist genau 657: Es stimmt.
    3. 657 : 9 = 73
    Ergebnis:
    stimmt, 73
  2. ●23
    Elias rechnet 378 − 196 und erhält 192. Prüfe mit der Umkehraufgabe.
    Lösung zeigen
    1. Umkehraufgabe: 192 + 196 = 388
    2. 388 ist nicht 378: Es ist falsch.
    3. 378 − 196 = 182
    Ergebnis:
    falsch, richtig ist 182
  3. ★24
    Paul rechnet 3594 : 6 und erhält 600. Prüfe mit der Umkehraufgabe.
    3594 : 6Ergebnis 600?
    Lösung zeigen
    1. Umkehraufgabe: 600 · 6 = 3600
    2. 3600 ist nicht 3594: Es ist falsch.
    3. 3594 : 6 = 599
    Ergebnis:
    falsch, richtig ist 599

Vermischte Übungen

Alles durcheinander – wie in der Arbeit. Überleg bei jeder Aufgabe zuerst: Welches Ziel ist das?

Üben

  1. ●25
    Lea rechnet 3 + 52 + 27 von links nach rechts. Zeige einen schnelleren Weg mit einem Rechenvorteil.
    35227
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 3 + 27 + 52
    2. 3 + 27 = 30
    3. 30 + 52 = 82
    Ergebnis:
    82
  2. ●26
    Welche zwei Zahlen ergeben bei 4 · 2 · 5 zusammen eine glatte Zahl? Rechne damit.
    425
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 2 · 5 · 4
    2. 2 · 5 = 10
    3. 10 · 4 = 40
    Ergebnis:
    40
  3. ●27
    Ergänze so, dass die Summe gleich bleibt: 47 + 44 = 50 + ___
    4744
    Lösung zeigen
    1. 47 wird zu 50: 3 mehr.
    2. Also muss 44 um 3 kleiner werden: 44 − 3 = 41
    3. 50 + 41 = 91
    Ergebnis:
    41
  4. ●28
    Rechne geschickt durch gleichsinniges Verändern: 177 − 38
    Lösung zeigen
    1. Beide Zahlen um 2 vergrößern: Der Abstand bleibt gleich.
    2. 177 − 38 = 179 − 40
    3. 179 − 40 = 139
    Ergebnis:
    139
  5. ●29
    Rechne geschickt über die glatte Zahl: 3 · 59
    Lösung zeigen
    1. 59 = 60 − 1
    2. 3 · 60 = 180 und 3 · 1 = 3
    3. 180 − 3 = 177
    Ergebnis:
    177
  6. ●30
    Welche zwei Malaufgaben zeigen die beiden Teile des Rechtecks? Was ergibt 7 · 26?
    2067
    Lösung zeigen
    1. Links: 7 · 20 = 140
    2. Rechts: 7 · 6 = 42
    3. 7 · 26 = 140 + 42 = 182
    Ergebnis:
    7 · 20 und 7 · 6, zusammen 182

Auf einen Blick

MerkenDas Wichtigste

Vertauschen und zusammenfassen
Beim Plus und beim Mal darf man die Zahlen vertauschen und anders zusammenfassen.
Gegensinnig und gleichsinnig
Bei einer Summe gibt ein Summand ab, was der andere bekommt.
Malnehmen mit Zerlegen
Einen Faktor zerlegen, jeden Teil malnehmen und die Teilergebnisse addieren.
Teilen mit Zerlegen
Die Zahl so zerlegen, dass jeder Teil glatt aufgeht. So wird 385 : 7 zu 350 : 7 + 35 : 7.
Ausdrücke mit gleichem Wert
Verschiedene Rechenausdrücke können denselben Wert haben.
Verdoppeln und halbieren
Wird ein Faktor verdoppelt und der andere halbiert, bleibt das Produkt gleich.
Den passenden Weg wählen
Vor dem Rechnen die Zahlen ansehen.
Überschlag und Umkehraufgabe
Ein Überschlag mit runden Zahlen zeigt, ob ein Ergebnis stimmen kann.

Kannst du das?

Je Ziel eine Aufgabe. Rechne sie ins Heft, dann kreuz ehrlich an. Keine Punkte, keine Note – der Test ist für dich.

ÜbenSelbsttest

  1. Ich rechne Plusaufgaben und Malaufgaben geschickt durch Vertauschen und Zusammenfassen.

    31
    Paul rechnet 14 + 44 + 26 von links nach rechts. Zeige einen schnelleren Weg mit einem Rechenvorteil.
    144426
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    84

  2. Ich verändere Summen gegensinnig und Differenzen gleichsinnig.

    32
    Rechne geschickt durch gegensinniges Verändern: 49 + 39
    4939
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    88

  3. Ich nehme halbschriftlich mal, indem ich einen Faktor zerlege.

    33
    Rechne halbschriftlich: Zerlege den zweiten Faktor. 8 · 54
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    432

  4. Ich dividiere halbschriftlich, indem ich die Zahl geschickt zerlege.

    34
    Rechne halbschriftlich: 252 : 6
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    42

  5. Ich finde Aufgaben mit gleichem Ergebnis und vergleiche Rechenausdrücke.

    35
    Ergänze die Lücke: 4 · 6 = 2 · ___
    4 · 6=2 · ?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    12

  6. Ich rechne mit Verdoppeln und Halbieren und prüfe, ob das Ergebnis gleich bleibt.

    36
    Rechne geschickt: Halbiere den einen Faktor und verdopple den anderen. 18 · 5
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    90

  7. Ich wähle zu einer Aufgabe den passenden Rechenweg.

    37
    Welchen Rechenvorteil nutzt du bei 7 · 29? Nenne ihn und rechne.
    7 · 29zerlegenhalbieren und verdoppelnschriftlich
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    zerlegen, 203

  8. Ich finde Rechenfehler mit Überschlag und Umkehraufgabe.

    38
    Zeynep rechnet 752 : 8 und erhält 104. Prüfe mit der Umkehraufgabe.
    752 : 8Ergebnis 104?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    falsch, richtig ist 94

Bei „unsicher“ oder „noch nicht“: Lies den Abschnitt zum Ziel noch einmal und rechne seine drei Aufgaben.

Die Frage vom Anfang

EntdeckenRückschau

Rechne im Kopf, so schnell du kannst: 25 · 17 · 4. Schreib nichts auf und nimm keinen Taschenrechner.

Lies deine Vermutung vom Anfang. Kannst du die Frage jetzt mit dem Kapitel beantworten?

Auflösung

Mit dem Werkzeug aus diesem Kapitel: Vertauschen und Zusammenfassen: erst die Zahlen, die zusammen glatt werden.

Wo brauchst du das?

Entdecken

Preise im Kopf addieren, Rückgeld überschlagen, Mengen für ein Fest ausrechnen. Beruf: Kasse und Verkauf, Handwerk beim Materialberechnen, Lager und Versand.

Wörter

Differenz
was übrig bleibt, wenn man abzieht
Gleichung
zwei Rechnungen, die gleich viel wert sind
Produkt
was herauskommt, wenn man malnimmt
Summe
was herauskommt, wenn man zusammenzählt
Teiler
eine Zahl, durch die es ohne Rest aufgeht

Wie es zusammenhängt

Das brauchst du vorher: Rechenregeln, Teiler und Vielfache, Natürliche Zahlen und Stellenwert

Darauf baut auf: Sachaufgaben lösen

Lösungen

  1. 59
  2. 62
  3. 865
  4. 52
  5. 73
  6. 914
  7. 156
  8. 115
  9. 399
  10. 66
  11. 46
  12. 104
  13. 25
  14. 56
  15. 18
  16. 200
  17. Nein, viermal so groß; richtig ist 180
  18. 3000
  19. zerlegen, 161
  20. gegensinnig verändern, 705
  21. schriftlich, 2343
  22. stimmt, 73
  23. falsch, richtig ist 182
  24. falsch, richtig ist 599
  25. 82
  26. 40
  27. 41
  28. 139
  29. 177
  30. 7 · 20 und 7 · 6, zusammen 182
  31. 84
  32. 88
  33. 432
  34. 42
  35. 12
  36. 90
  37. zerlegen, 203
  38. falsch, richtig ist 94
  39. 10
  40. 60
  41. 42
  42. 54