Zum Inhalt springen
Anmelden

Mathematik · Klasse 5 · Kapitel

Andere ZahlenBasiswissenAlle Kapitel

Rechengesetze und Rechenvorteile

EntdeckenDie Frage zum Kapitel

Rechne im Kopf, so schnell du kannst: 25 · 17 · 4. Schreib nichts auf und nimm keinen Taschenrechner.

Schreib eine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Für die Lehrkraft: Die meisten rechnen von links: 25 · 17 und kommen durcheinander. Andere geben auf oder raten. Nur wenige sehen, dass 25 und 4 zusammen 100 ergeben. Beim Malnehmen darf man die Zahlen vertauschen. Dann steht 25 · 4 · 17 da, also 100 · 17. Das Ergebnis ist 1700, in einer Sekunde.

  • Entdecken Frage, Vorstellung, Bild
  • Merken kommt ins Heft
  • Beispiel vorgerechnet, Schritt für Schritt
  • Üben selbst rechnen
  • Achtung typischer Fehler
  • Weiterdenken zum Knobeln und Vernetzen

○ mit Starthilfe, ● für alle, ★ zum Weiterdenken. Du wählst mindestens eine ★-Aufgabe. Du rechnest ins Heft.

Fit für das Kapitel?

Das brauchst du aus früheren Themen. Klappt es nicht, frag nach, bevor es losgeht.

ÜbenWeißt du das noch?

Punkt vor Strich und Klammer zuerst – so steht es seit Klasse 4 im Heft.

  1. ●39
    Rechne: 29 − 2 · 7
    Lösung zeigen
    1. Punkt vor Strich: erst 2 · 7 = 14
    2. 29 − 14 = 15
    Ergebnis:
    15
  2. ●40
    Rechne: (3 + 7) · 9
    Lösung zeigen
    1. Die Klammer zuerst: 3 + 7 = 10
    2. 10 · 9 = 90
    Ergebnis:
    90

ÜbenWeißt du das noch?

Punkt vor Strich und Klammer zuerst – die Reihenfolge entscheidet über das Ergebnis.

  1. ●41
    Berechne: 11 + 9 · 4
    Lösung zeigen
    1. Punkt vor Strich: erst 9 · 4 = 36
    2. 11 + 36 = 47
    Ergebnis:
    47
  2. ●42
    Ich denke mir eine Zahl, addiere 28 und erhalte 86. Welche Zahl war es? (Umkehraufgabe)
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    58

So kannst du es dir vorstellen

EntdeckenZahlen umbauen, ohne den Wert zu ändern

Eine Rechnung lässt sich umbauen, ohne dass sich ihr Wert ändert. Zahlen tauschen die Plätze, bilden neue Gruppen oder werden zerlegt. Wer das sieht, rechnet mit glatten Zahlen statt mit krummen.

17 plus 38 plus 3: Erst 17 und 3 zu 20 zusammenfassen, dann 20 plus 38 sind 5817 + 38 + 317 + 3 = 20= 20 + 38 = 58

WeiterdenkenDenk nach

Warum darf man bei 25 + 38 + 75 zuerst 25 und 75 addieren, bei 50 − 20 − 10 aber nicht zuerst 20 − 10?

1Ich rechne Plusaufgaben und Malaufgaben geschickt durch Vertauschen und Zusammenfassen.

EntdeckenFrage

Wie konnte der neunjährige Carl Friedrich Gauß die Zahlen von 1 bis 100 in wenigen Minuten addieren?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Er hat die Zahlen in Paare umsortiert: 1 und 100, 2 und 99, 3 und 98. Jedes Paar ergibt 101, und es sind 50 Paare. Also 50 · 101 = 5050. Er hat nur vertauscht und neu zusammengefasst.

MerkenVertauschen und zusammenfassen

Beim Plus und beim Mal darf man die Zahlen vertauschen und anders zusammenfassen.

Erst die Zahlen nehmen, die zusammen glatt werden.

BeispielPlusaufgaben geschickt: vertauschen und zusammenfassen

Milan rechnet 32 + 49 + 28 von links nach rechts. Zeige einen schnelleren Weg mit einem Rechenvorteil.
324928
Schritt für Schritt
  1. Vertauschen: 32 + 28 + 49
  2. 32 + 28 = 60
  3. 60 + 49 = 109
  1. Vertauschen: 32 + 28 + 49
  2. 32 + 28 = 60
  3. 60 + 49 = 109
Ergebnis:
109

AchtungBeim Minus oder Geteilt vertauscht

So nicht
50 − 20 − 10: erst 20 − 10 = 10, dann 50 − 10 = 40
So richtig
50 − 20 − 10 = 30 − 10 = 20

Vertauschen ist nur beim Plus und beim Mal erlaubt. 20 − 5 ist nicht 5 − 20.

ÜbenJetzt du

  1. ○1
    Rechne geschickt: 66 + 26 + 34
    662634
    So fängst du an:
    Vertauschen: 66 + 34 + 26
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 66 + 34 + 26
    2. 66 + 34 = 100
    3. 100 + 26 = 126
    Ergebnis:
    126
  2. ●2
    Lina rechnet 37 + 62 + 63 von links nach rechts. Zeige einen schnelleren Weg mit einem Rechenvorteil.
    376263
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 37 + 63 + 62
    2. 37 + 63 = 100
    3. 100 + 62 = 162
    Ergebnis:
    162
  3. ★3
    Welche Zahlen fasst du bei 152 + 356 + 47 + 148 + 53 zuerst zusammen? Begründe und rechne.
    1523564714853
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 152 + 148 + 47 + 53 + 356
    2. 152 + 148 = 300 und 47 + 53 = 100
    3. Zusammen glatt, der Rest ist leicht: 300 + 100 + 356 = 756
    Ergebnis:
    756

2Ich verändere Summen gegensinnig und Differenzen gleichsinnig.

EntdeckenFrage

Warum rechnen Kassiererinnen 3,99 € mal 4 schneller als ein Kunde mit Papier?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Sie rechnen 4 mal 4 € und ziehen dann 4 Cent ab: 16,00 € − 0,04 € = 15,96 €. Das ist Zerlegen: 3,99 ist 4 minus 1 Cent. Der Rechenweg ist kurz, weil er über die glatte Zahl geht.

MerkenGegensinnig und gleichsinnig

Bei einer Summe gibt ein Summand ab, was der andere bekommt.

Bei einer Differenz ändern sich beide Zahlen gleich, der Abstand bleibt.

BeispielSummen gegensinnig verändern

Ergänze so, dass die Summe gleich bleibt: 38 + 34 = 40 + ___
3834
Schritt für Schritt
  1. 38 wird zu 40: 2 mehr.
  2. Also muss 34 um 2 kleiner werden: 34 − 2 = 32
  3. 40 + 32 = 72
  1. 38 wird zu 40: 2 mehr.
  2. Also muss 34 um 2 kleiner werden: 34 − 2 = 32
  3. 40 + 32 = 72
Ergebnis:
32

AchtungNur eine Zahl verändert

So nicht
143 − 97: 143 − 100 = 43
So richtig
143 − 97 = 146 − 100 = 46

Bei der Summe gegensinnig, bei der Differenz gleichsinnig: Immer beide Zahlen verändern.

ÜbenJetzt du

  1. ○4
    Rechne geschickt durch gegensinniges Verändern: 67 + 95
    6795
    So fängst du an:
    67 bekommt 3 dazu, 95 gibt 3 ab.
    Lösung zeigen
    1. 67 bekommt 3 dazu, 95 gibt 3 ab.
    2. 67 + 95 = 70 + 92
    3. 70 + 92 = 162
    Ergebnis:
    162
  2. ●5
    Ben rechnet 99 + 67 als 100 + 67. Was muss Ben danach noch tun? Was kommt heraus?
    9967
    Lösung zeigen
    1. Ben hat 99 um 1 vergrößert.
    2. Die Summe ist dadurch um 1 zu groß: 100 + 67 = 167.
    3. 1 wieder abziehen: 167 − 1 = 166
    Ergebnis:
    166
  3. ★6
    Milan rechnet 1998 + 376 als 2000 + 376. Was muss Milan danach noch tun? Was kommt heraus?
    1998376
    Lösung zeigen
    1. Milan hat 1998 um 2 vergrößert.
    2. Die Summe ist dadurch um 2 zu groß: 2000 + 376 = 2376.
    3. 2 wieder abziehen: 2376 − 2 = 2374
    Ergebnis:
    2374

3Ich nehme halbschriftlich mal, indem ich einen Faktor zerlege.

EntdeckenFrage

Wie haben Bauern in Russland früher ohne Einmaleins multipliziert?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Sie haben eine Zahl immer halbiert und die andere verdoppelt, bis links eine 1 stand. Dann addierten sie die rechten Zahlen der Zeilen mit ungerader linker Zahl. Das Verfahren heißt russische Bauernmultiplikation und nutzt, dass Verdoppeln und Halbieren das Produkt nicht ändert.

MerkenMalnehmen mit Zerlegen

Einen Faktor zerlegen, jeden Teil malnehmen und die Teilergebnisse addieren.

So wird 7 · 48 zu 7 · 40 + 7 · 8.

BeispielHalbschriftlich malnehmen mit Zerlegen

Rechne geschickt über die glatte Zahl: 5 · 59
Schritt für Schritt
  1. 59 = 60 − 1
  2. 5 · 60 = 300 und 5 · 1 = 5
  3. 300 − 5 = 295
  1. 59 = 60 − 1
  2. 5 · 60 = 300 und 5 · 1 = 5
  3. 300 − 5 = 295
Ergebnis:
295

AchtungBeim Zerlegen einen Teil vergessen

So nicht
7 · 48: 7 · 40 + 8 = 288
So richtig
7 · 48 = 7 · 40 + 7 · 8 = 280 + 56 = 336

Jeder Teil des zerlegten Faktors wird malgenommen, nicht nur der erste.

ÜbenJetzt du

  1. ○7
    Rechne halbschriftlich: Zerlege den zweiten Faktor. 5 · 19
    So fängst du an:
    19 = 10 + 9
    Lösung zeigen
    1. 19 = 10 + 9
    2. 5 · 10 = 50 und 5 · 9 = 45
    3. 50 + 45 = 95
    Ergebnis:
    95
  2. ●8
    Es gibt 9 Reihen mit je 24 Stühle. Wie viele Stühle sind es? Rechne halbschriftlich.
    Lösung zeigen
    1. 9 · 24
    2. 24 = 20 + 4
    3. 9 · 20 = 180 und 9 · 4 = 36
    4. 180 + 36 = 216
    Ergebnis:
    216 Stühle
  3. ★9
    Rechne geschickt über die glatte Zahl: 4 · 98
    Lösung zeigen
    1. 98 = 100 − 2
    2. 4 · 100 = 400 und 4 · 2 = 8
    3. 400 − 8 = 392
    Ergebnis:
    392

4Ich dividiere halbschriftlich, indem ich die Zahl geschickt zerlege.

EntdeckenFrage

Warum ist 25 mal 4 ein Lieblingspaar beim Kopfrechnen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

25 mal 4 ergibt genau 100. Kommen 25 und 4 in einer Malaufgabe vor, fasst man sie zuerst zusammen. Aus 25 · 37 · 4 wird dann 100 · 37 = 3700, ganz ohne schriftliches Rechnen.

MerkenTeilen mit Zerlegen

Die Zahl so zerlegen, dass jeder Teil glatt aufgeht. So wird 385 : 7 zu 350 : 7 + 35 : 7.

BeispielHalbschriftlich dividieren

Rechne halbschriftlich: 144 : 9
Schritt für Schritt
  1. 144 = 90 + 54
  2. 90 : 9 = 10 und 54 : 9 = 6
  3. 10 + 6 = 16
  1. 144 = 90 + 54
  2. 90 : 9 = 10 und 54 : 9 = 6
  3. 10 + 6 = 16
Ergebnis:
16

AchtungBeim Teilen nicht passend zerlegt

So nicht
385 : 7: 300 : 7 geht nicht glatt → aufgegeben
So richtig
385 : 7 = 350 : 7 + 35 : 7 = 50 + 5 = 55

Jeder Teil muss sich glatt teilen lassen. Erst ein großes Vielfaches abspalten.

ÜbenJetzt du

  1. ○10
    Zerlege 216 so in zwei Zahlen, dass du beide leicht durch 6 dividieren kannst. Was ergibt 216 : 6?
    216: 6
    So fängst du an:
    216 = 180 + 36
    Lösung zeigen
    1. 216 = 180 + 36
    2. 180 : 6 = 30 und 36 : 6 = 6
    3. 30 + 6 = 36
    Ergebnis:
    36
  2. ●11
    70 Murmeln werden gleichmäßig auf 5 Säckchen aufgeteilt. Wie viele bekommt jeder Teil? Rechne halbschriftlich.
    Lösung zeigen
    1. 70 : 5
    2. 70 = 50 + 20
    3. 50 : 5 = 10 und 20 : 5 = 4
    4. 10 + 4 = 14
    Ergebnis:
    14 Murmeln
  3. ★12
    180 Sticker werden gleichmäßig auf 4 Kinder aufgeteilt. Wie viele bekommt jeder Teil? Rechne halbschriftlich.
    Lösung zeigen
    1. 180 : 4
    2. 180 = 160 + 20
    3. 160 : 4 = 40 und 20 : 4 = 5
    4. 40 + 5 = 45
    Ergebnis:
    45 Sticker

5Ich finde Aufgaben mit gleichem Ergebnis und vergleiche Rechenausdrücke.

EntdeckenFrage

Warum stimmt der Trick „mal 9 ist mal 10 minus einmal“ immer?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Neunmal eine Zahl ist zehnmal die Zahl minus einmal die Zahl. So wird 9 · 47 zu 470 − 47 = 423. Das ist das Verteilungsgesetz: 9 ist 10 minus 1.

MerkenAusdrücke mit gleichem Wert

Verschiedene Rechenausdrücke können denselben Wert haben.

Wer die Rechengesetze nutzt, sieht das oft ohne Ausrechnen.

BeispielAufgaben mit gleichem Ergebnis

Welche Zahl fehlt? Rechne nicht beide Seiten aus. 4 · 8 = 2 · ___
Schritt für Schritt
  1. 4 wird halb so groß: 2.
  2. Damit das Ergebnis gleich bleibt, wird 8 doppelt so groß.
  3. 8 · 2 = 16
  1. 4 wird halb so groß: 2.
  2. Damit das Ergebnis gleich bleibt, wird 8 doppelt so groß.
  3. 8 · 2 = 16
Ergebnis:
16

AchtungPunkt vor Strich missachtet

So nicht
9 + 5 · 7 = 14 · 7 = 98
So richtig
9 + 5 · 7 = 9 + 35 = 44

Klammer zuerst, dann Mal und Geteilt, dann Plus und Minus.

ÜbenJetzt du

  1. ○13
    Ergänze die Lücke: 29 + 32 = 30 + ___
    29 + 32=30 + ?
    So fängst du an:
    29 wird zu 30: 1 mehr.
    Lösung zeigen
    1. 29 wird zu 30: 1 mehr.
    2. Damit die Summe gleich bleibt, wird 32 um 1 kleiner.
    3. 32 − 1 = 31
    Ergebnis:
    31
  2. ●14
    Welche Zahl fehlt? Rechne nicht beide Seiten aus. 14 · 6 = 7 · ___
    Lösung zeigen
    1. 14 wird halb so groß: 7.
    2. Damit das Ergebnis gleich bleibt, wird 6 doppelt so groß.
    3. 6 · 2 = 12
    Ergebnis:
    12
  3. ★15
    Finde die fehlende Zahl mit einem Rechengesetz: 3 · 65 + 3 · 5 = 3 · ___
    3 · 65 + 3 · 5=3 · ?
    Lösung zeigen
    1. Beide Produkte haben den Faktor 3.
    2. 3 mal 65 und 3 mal 5 sind zusammen 3 mal (65 + 5).
    3. 65 + 5 = 70
    Ergebnis:
    70

6Ich rechne mit Verdoppeln und Halbieren und prüfe, ob das Ergebnis gleich bleibt.

EntdeckenFrage

Wie merkt man in Sekunden, dass 98 · 102 nicht 99.960 sein kann?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Man rechnet nicht, man überschlägt: 100 · 100 = 10.000. Das Ergebnis muss also in der Nähe von 10.000 liegen. 99.960 ist fast zehnmal so groß und kann nicht stimmen. Richtig ist 9996.

MerkenVerdoppeln und halbieren

Wird ein Faktor verdoppelt und der andere halbiert, bleibt das Produkt gleich.

Werden beide verdoppelt, wird es viermal so groß.

BeispielVerdoppeln und Halbieren

Warum ist 18 · 5 dasselbe wie 9 · 10? Rechne dann geschickt.
Schritt für Schritt
  1. Halb so viele Reihen, jede doppelt so lang: gleich viele Kästchen.
  2. 18 · 5 = 9 · 10
  3. 9 · 10 = 90
  1. Halb so viele Reihen, jede doppelt so lang: gleich viele Kästchen.
  2. 18 · 5 = 9 · 10
  3. 9 · 10 = 90
Ergebnis:
90

AchtungBeide Faktoren verdoppelt

So nicht
8 · 25 → 16 · 50 = 800
So richtig
8 · 25 → 4 · 50 = 200

Nur einer wird verdoppelt, der andere halbiert. Sonst ändert sich das Ergebnis.

ÜbenJetzt du

  1. ○16
    Mia verdoppelt bei 12 · 15 beide Faktoren und rechnet 24 · 30. Bleibt das Ergebnis gleich?
    So fängst du an:
    Einmal verdoppeln macht das Ergebnis doppelt so groß, zweimal viermal so groß.
    Lösung zeigen
    1. Einmal verdoppeln macht das Ergebnis doppelt so groß, zweimal viermal so groß.
    2. 24 · 30 = 720, aber 12 · 15 = 180
    3. Richtig ist: einen verdoppeln, den anderen halbieren.
    Ergebnis:
    Nein, viermal so groß; richtig ist 180
  2. ●17
    Warum ist 16 · 25 dasselbe wie 8 · 50? Rechne dann geschickt.
    Lösung zeigen
    1. Halb so viele Reihen, jede doppelt so lang: gleich viele Kästchen.
    2. 16 · 25 = 8 · 50
    3. 8 · 50 = 400
    Ergebnis:
    400
  3. ★18
    Hanna verdoppelt bei 18 · 45 beide Faktoren und rechnet 36 · 90. Bleibt das Ergebnis gleich?
    Lösung zeigen
    1. Einmal verdoppeln macht das Ergebnis doppelt so groß, zweimal viermal so groß.
    2. 36 · 90 = 3240, aber 18 · 45 = 810
    3. Richtig ist: einen verdoppeln, den anderen halbieren.
    Ergebnis:
    Nein, viermal so groß; richtig ist 810

7Ich wähle zu einer Aufgabe den passenden Rechenweg.

EntdeckenFrage

Wie rechnen Darts-Profis blitzschnell aus, wie viele Punkte ihnen von 501 noch fehlen, wenn sie 140 geworfen haben?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Der geschickte Weg nimmt erst eine runde Zahl. 500 − 140 = 360, und der eine Extrapunkt kommt dazu: 361. Das geht schneller als 501 − 140 Stelle für Stelle. Am Ergebnis ändert der Weg nichts.

MerkenDen passenden Weg wählen

Vor dem Rechnen die Zahlen ansehen.

Liegt eine Zahl nahe an einer glatten, lohnt sich ein Vorteil, sonst rechnet man schriftlich.

BeispielDen passenden Rechenweg wählen

Welcher Weg passt zu 38 + 44 + 62? Nenne ihn und rechne.
38 + 44 + 62zerlegenhalbieren und verdoppelnschriftlich
Schritt für Schritt
  1. Zwei Zahlen ergeben zusammen 100: vertauschen und zusammenfassen.
  2. 38 + 62 = 100
  3. 100 + 44 = 144
  1. Zwei Zahlen ergeben zusammen 100: vertauschen und zusammenfassen.
  2. 38 + 62 = 100
  3. 100 + 44 = 144
Ergebnis:
vertauschen, 144

AchtungUmständlichen Weg gewählt

So nicht
299 + 158 schriftlich untereinander gerechnet, dabei verrechnet: 447
So richtig
299 + 158 = 300 + 157 = 457

Erst die Zahlen ansehen: Liegt eine nahe an einer glatten Zahl?

ÜbenJetzt du

  1. ○19
    Welchen Rechenvorteil nutzt du bei 294 + 198? Nenne ihn und rechne.
    294 + 198zerlegenhalbieren und verdoppelnschriftlich
    So fängst du an:
    198 liegt knapp unter 200: gegensinnig verändern.
    Lösung zeigen
    1. 198 liegt knapp unter 200: gegensinnig verändern.
    2. 294 + 198 = 292 + 200
    3. 292 + 200 = 492
    Ergebnis:
    gegensinnig verändern, 492
  2. ●20
    Wie rechnest du am schnellsten: 7 · 71? Nenne ihn und rechne.
    Lösung zeigen
    1. Den zweiten Faktor zerlegen: 71 = 70 + 1.
    2. 7 · 70 = 490 und 7 · 1 = 7
    3. Zusammen: 497
    Ergebnis:
    zerlegen, 497
  3. ★21
    Welchen Rechenvorteil nutzt du bei 350 + 198? Nenne ihn und rechne.
    350 + 198zerlegenhalbieren und verdoppelnschriftlich
    Lösung zeigen
    1. 198 liegt knapp unter 200: gegensinnig verändern.
    2. 350 + 198 = 348 + 200
    3. 348 + 200 = 548
    Ergebnis:
    gegensinnig verändern, 548

8Ich finde Rechenfehler mit Überschlag und Umkehraufgabe.

EntdeckenFrage

Warum zählt man Rückgeld vom Preis aus nach oben, statt abzuziehen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Wer 13,40 € zahlen muss und 20 € gibt, bekommt 20 − 13,40 = 6,60 € zurück. Beim Hochzählen rechnet man die Umkehraufgabe: 13,40 + 6,60 = 20. Kommt man genau auf den gegebenen Betrag, stimmt das Rückgeld.

MerkenÜberschlag und Umkehraufgabe

Ein Überschlag mit runden Zahlen zeigt, ob ein Ergebnis stimmen kann.

Die Umkehraufgabe prüft es genau.

BeispielRechenfehler mit Überschlag und Umkehraufgabe finden

Elias erhält für 68 · 29 das Ergebnis 1872. Prüfe mit einem Überschlag.
Schritt für Schritt
  1. Überschlag: 70 · 30 = 2100
  2. 1872 liegt zu weit weg. Genau: 68 · 29 = 1972
  3. Das Ergebnis ist falsch.
  1. Überschlag: 70 · 30 = 2100
  2. 1872 liegt zu weit weg. Genau: 68 · 29 = 1972
  3. Das Ergebnis ist falsch.
Ergebnis:
falsch, richtig ist 1972

AchtungErgebnis nicht geprüft

So nicht
425 : 5 = 805, ohne Probe ins Heft
So richtig
425 : 5 → Überschlag 400 : 5 = 80 → 85, Probe 85 · 5 = 425

Mit einem Überschlag prüfen, ob die Größenordnung stimmt, dann mit der Umkehraufgabe.

ÜbenJetzt du

  1. ○22
    Zeynep erhält für 49 · 30 das Ergebnis 1470. Prüfe mit einem Überschlag.
    So fängst du an:
    Überschlag: 50 · 30 = 1500
    Lösung zeigen
    1. Überschlag: 50 · 30 = 1500
    2. 1470 liegt in der Nähe. Genau rechnen: 49 · 30 = 1470
    3. Das Ergebnis stimmt.
    Ergebnis:
    stimmt, 1470
  2. ●23
    Can rechnet 559 − 385 und erhält 274. Prüfe mit der Umkehraufgabe.
    Lösung zeigen
    1. Umkehraufgabe: 274 + 385 = 659
    2. 659 ist nicht 559: Es ist falsch.
    3. 559 − 385 = 174
    Ergebnis:
    falsch, richtig ist 174
  3. ★24
    Zeynep rechnet 4930 − 464 und erhält 4486. Prüfe mit der Umkehraufgabe.
    Lösung zeigen
    1. Umkehraufgabe: 4486 + 464 = 4950
    2. 4950 ist nicht 4930: Es ist falsch.
    3. 4930 − 464 = 4466
    Ergebnis:
    falsch, richtig ist 4466

Vermischte Übungen

Alles durcheinander – wie in der Arbeit. Überleg bei jeder Aufgabe zuerst: Welches Ziel ist das?

Üben

  1. ●25
    Rechne geschickt: 96 + 48 + 4
    96484
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 96 + 4 + 48
    2. 96 + 4 = 100
    3. 100 + 48 = 148
    Ergebnis:
    148
  2. ●26
    Welche zwei Zahlen ergeben bei 8 · 5 · 20 zusammen eine glatte Zahl? Rechne damit.
    8520
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 20 · 5 · 8
    2. 20 · 5 = 100
    3. 100 · 8 = 800
    Ergebnis:
    800
  3. ●27
    Ergänze so, dass die Summe gleich bleibt: 99 + 87 = 100 + ___
    9987
    Lösung zeigen
    1. 99 wird zu 100: 1 mehr.
    2. Also muss 87 um 1 kleiner werden: 87 − 1 = 86
    3. 100 + 86 = 186
    Ergebnis:
    86
  4. ●28
    Ergänze so, dass die Differenz gleich bleibt: 111 − 99 = ___ − 100
    Lösung zeigen
    1. 99 wird zu 100: 1 mehr.
    2. Damit der Abstand bleibt, wird auch 111 um 1 größer: 112.
    3. 112 − 100 = 12
    Ergebnis:
    112
  5. ●29
    Rechne halbschriftlich: Zerlege den zweiten Faktor. 8 · 28
    Lösung zeigen
    1. 28 = 20 + 8
    2. 8 · 20 = 160 und 8 · 8 = 64
    3. 160 + 64 = 224
    Ergebnis:
    224
  6. ●30
    Ein Rechteck hat 5 Reihen mit je 28 Kästchen. Die rote Linie teilt es. Wie viele Kästchen sind es?
    2085
    Lösung zeigen
    1. Linker Teil: 5 · 20 = 100
    2. Rechter Teil: 5 · 8 = 40
    3. Zusammen: 100 + 40 = 140
    Ergebnis:
    140 Kästchen

Auf einen Blick

MerkenDas Wichtigste

Vertauschen und zusammenfassen
Beim Plus und beim Mal darf man die Zahlen vertauschen und anders zusammenfassen.
Gegensinnig und gleichsinnig
Bei einer Summe gibt ein Summand ab, was der andere bekommt.
Malnehmen mit Zerlegen
Einen Faktor zerlegen, jeden Teil malnehmen und die Teilergebnisse addieren.
Teilen mit Zerlegen
Die Zahl so zerlegen, dass jeder Teil glatt aufgeht. So wird 385 : 7 zu 350 : 7 + 35 : 7.
Ausdrücke mit gleichem Wert
Verschiedene Rechenausdrücke können denselben Wert haben.
Verdoppeln und halbieren
Wird ein Faktor verdoppelt und der andere halbiert, bleibt das Produkt gleich.
Den passenden Weg wählen
Vor dem Rechnen die Zahlen ansehen.
Überschlag und Umkehraufgabe
Ein Überschlag mit runden Zahlen zeigt, ob ein Ergebnis stimmen kann.

Kannst du das?

Je Ziel eine Aufgabe. Rechne sie ins Heft, dann kreuz ehrlich an. Keine Punkte, keine Note – der Test ist für dich.

ÜbenSelbsttest

  1. Ich rechne Plusaufgaben und Malaufgaben geschickt durch Vertauschen und Zusammenfassen.

    31
    Welche Zahlen fasst du bei 21 + 34 + 39 zuerst zusammen? Begründe und rechne.
    213439
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    94

  2. Ich verändere Summen gegensinnig und Differenzen gleichsinnig.

    32
    Tom rechnet 198 + 54 als 200 + 54. Was muss Tom danach noch tun? Was kommt heraus?
    19854
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    252

  3. Ich nehme halbschriftlich mal, indem ich einen Faktor zerlege.

    33
    Rechne geschickt über die glatte Zahl: 7 · 49
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    343

  4. Ich dividiere halbschriftlich, indem ich die Zahl geschickt zerlege.

    34
    Rechne halbschriftlich: 147 : 3
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    49

  5. Ich finde Aufgaben mit gleichem Ergebnis und vergleiche Rechenausdrücke.

    35
    Welche Zahl fehlt? Rechne nicht beide Seiten aus. 63 − 28 = ___ − 38
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    73

  6. Ich rechne mit Verdoppeln und Halbieren und prüfe, ob das Ergebnis gleich bleibt.

    36
    Warum ist 18 · 5 dasselbe wie 9 · 10? Rechne dann geschickt.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    90

  7. Ich wähle zu einer Aufgabe den passenden Rechenweg.

    37
    Welchen Rechenvorteil nutzt du bei 13 + 51 + 87? Nenne ihn und rechne.
    13 + 51 + 87zerlegenhalbieren und verdoppelnschriftlich
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    vertauschen, 151

  8. Ich finde Rechenfehler mit Überschlag und Umkehraufgabe.

    38
    Milan rechnet 845 − 211 und erhält 654. Prüfe mit der Umkehraufgabe.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    falsch, richtig ist 634

Bei „unsicher“ oder „noch nicht“: Lies den Abschnitt zum Ziel noch einmal und rechne seine drei Aufgaben.

Die Frage vom Anfang

EntdeckenRückschau

Rechne im Kopf, so schnell du kannst: 25 · 17 · 4. Schreib nichts auf und nimm keinen Taschenrechner.

Lies deine Vermutung vom Anfang. Kannst du die Frage jetzt mit dem Kapitel beantworten?

Auflösung

Mit dem Werkzeug aus diesem Kapitel: Vertauschen und Zusammenfassen: erst die Zahlen, die zusammen glatt werden.

Wo brauchst du das?

Entdecken

Preise im Kopf addieren, Rückgeld überschlagen, Mengen für ein Fest ausrechnen. Beruf: Kasse und Verkauf, Handwerk beim Materialberechnen, Lager und Versand.

Wörter

Differenz
was übrig bleibt, wenn man abzieht
Gleichung
zwei Rechnungen, die gleich viel wert sind
Produkt
was herauskommt, wenn man malnimmt
Summe
was herauskommt, wenn man zusammenzählt
Teiler
eine Zahl, durch die es ohne Rest aufgeht

Wie es zusammenhängt

Das brauchst du vorher: Rechenregeln, Teiler und Vielfache, Natürliche Zahlen und Stellenwert

Darauf baut auf: Sachaufgaben lösen

Lösungen

  1. 126
  2. 162
  3. 756
  4. 162
  5. 166
  6. 2374
  7. 95
  8. 216 Stühle
  9. 392
  10. 36
  11. 14 Murmeln
  12. 45 Sticker
  13. 31
  14. 12
  15. 70
  16. Nein, viermal so groß; richtig ist 180
  17. 400
  18. Nein, viermal so groß; richtig ist 810
  19. gegensinnig verändern, 492
  20. zerlegen, 497
  21. gegensinnig verändern, 548
  22. stimmt, 1470
  23. falsch, richtig ist 174
  24. falsch, richtig ist 4466
  25. 148
  26. 800
  27. 86
  28. 112
  29. 224
  30. 140 Kästchen
  31. 94
  32. 252
  33. 343
  34. 49
  35. 73
  36. 90
  37. vertauschen, 151
  38. falsch, richtig ist 634
  39. 15
  40. 90
  41. 47
  42. 58