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Mathematik · Klasse 5 · Kapitel

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Rechengesetze und Rechenvorteile

EntdeckenDie Frage zum Kapitel

Rechne im Kopf, so schnell du kannst: 25 · 17 · 4. Schreib nichts auf und nimm keinen Taschenrechner.

Schreib eine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Für die Lehrkraft: Die meisten rechnen von links: 25 · 17 und kommen durcheinander. Andere geben auf oder raten. Nur wenige sehen, dass 25 und 4 zusammen 100 ergeben. Beim Malnehmen darf man die Zahlen vertauschen. Dann steht 25 · 4 · 17 da, also 100 · 17. Das Ergebnis ist 1700, in einer Sekunde.

  • Entdecken Frage, Vorstellung, Bild
  • Merken kommt ins Heft
  • Beispiel vorgerechnet, Schritt für Schritt
  • Üben selbst rechnen
  • Achtung typischer Fehler
  • Weiterdenken zum Knobeln und Vernetzen

○ mit Starthilfe, ● für alle, ★ zum Weiterdenken. Du wählst mindestens eine ★-Aufgabe. Du rechnest ins Heft.

Fit für das Kapitel?

Das brauchst du aus früheren Themen. Klappt es nicht, frag nach, bevor es losgeht.

ÜbenWeißt du das noch?

Punkt vor Strich und Klammer zuerst – so steht es seit Klasse 4 im Heft.

  1. ●39
    Rechne: 41 − 2 · 4
    Lösung zeigen
    1. Punkt vor Strich: erst 2 · 4 = 8
    2. 41 − 8 = 33
    Ergebnis:
    33
  2. ●40
    Rechne: (8 + 6) · 7
    Lösung zeigen
    1. Die Klammer zuerst: 8 + 6 = 14
    2. 14 · 7 = 98
    Ergebnis:
    98

ÜbenWeißt du das noch?

Punkt vor Strich und Klammer zuerst – die Reihenfolge entscheidet über das Ergebnis.

  1. ●41
    Berechne: 4 + 4 · 8
    Lösung zeigen
    1. Punkt vor Strich: erst 4 · 8 = 32
    2. 4 + 32 = 36
    Ergebnis:
    36
  2. ●42
    Ich denke mir eine Zahl, addiere 23 und erhalte 82. Welche Zahl war es? (Umkehraufgabe)
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    59

So kannst du es dir vorstellen

EntdeckenZahlen umbauen, ohne den Wert zu ändern

Eine Rechnung lässt sich umbauen, ohne dass sich ihr Wert ändert. Zahlen tauschen die Plätze, bilden neue Gruppen oder werden zerlegt. Wer das sieht, rechnet mit glatten Zahlen statt mit krummen.

17 plus 38 plus 3: Erst 17 und 3 zu 20 zusammenfassen, dann 20 plus 38 sind 5817 + 38 + 317 + 3 = 20= 20 + 38 = 58

WeiterdenkenDenk nach

Warum darf man bei 25 + 38 + 75 zuerst 25 und 75 addieren, bei 50 − 20 − 10 aber nicht zuerst 20 − 10?

1Ich rechne Plusaufgaben und Malaufgaben geschickt durch Vertauschen und Zusammenfassen.

EntdeckenFrage

Wie konnte der neunjährige Carl Friedrich Gauß die Zahlen von 1 bis 100 in wenigen Minuten addieren?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Er hat die Zahlen in Paare umsortiert: 1 und 100, 2 und 99, 3 und 98. Jedes Paar ergibt 101, und es sind 50 Paare. Also 50 · 101 = 5050. Er hat nur vertauscht und neu zusammengefasst.

MerkenVertauschen und zusammenfassen

Beim Plus und beim Mal darf man die Zahlen vertauschen und anders zusammenfassen.

Erst die Zahlen nehmen, die zusammen glatt werden.

BeispielPlusaufgaben geschickt: vertauschen und zusammenfassen

Welche Zahlen fasst du bei 7 + 41 + 33 zuerst zusammen? Begründe. Rechne danach.
74133
Schritt für Schritt
  1. Vertauschen: 7 + 33 + 41
  2. 7 + 33 = 40
  3. Zusammen glatt, der Rest ist leicht: 40 + 41 = 81
  1. Vertauschen: 7 + 33 + 41
  2. 7 + 33 = 40
  3. Zusammen glatt, der Rest ist leicht: 40 + 41 = 81
Ergebnis:
81

AchtungBeim Minus oder Geteilt vertauscht

So nicht
50 − 20 − 10: erst 20 − 10 = 10, dann 50 − 10 = 40
So richtig
50 − 20 − 10 = 30 − 10 = 20

Vertauschen ist nur beim Plus und beim Mal erlaubt. 20 − 5 ist nicht 5 − 20.

ÜbenJetzt du

  1. ○1
    Lina rechnet 27 + 84 + 13 von links nach rechts. Zeige einen schnelleren Weg mit einem Rechenvorteil.
    278413
    So fängst du an:
    Vertauschen: 27 + 13 + 84
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 27 + 13 + 84
    2. 27 + 13 = 40
    3. 40 + 84 = 124
    Ergebnis:
    124
  2. ●2
    Jonas rechnet 14 + 62 + 6 von links nach rechts. Zeige einen schnelleren Weg mit einem Rechenvorteil.
    14626
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 14 + 6 + 62
    2. 14 + 6 = 20
    3. 20 + 62 = 82
    Ergebnis:
    82
  3. ★3
    Welche Zahlen fasst du bei 194 + 899 + 24 + 106 + 76 zuerst zusammen? Begründe. Rechne danach.
    1948992410676
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 194 + 106 + 24 + 76 + 899
    2. 194 + 106 = 300 und 24 + 76 = 100
    3. Zusammen glatt, der Rest ist leicht: 300 + 100 + 899 = 1299
    Ergebnis:
    1299

2Ich verändere Summen gegensinnig und Differenzen gleichsinnig.

EntdeckenFrage

Warum rechnen Kassiererinnen 3,99 € mal 4 schneller als ein Kunde mit Papier?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Sie rechnen 4 mal 4 € und ziehen dann 4 Cent ab: 16,00 € − 0,04 € = 15,96 €. Das ist Zerlegen: 3,99 ist 4 minus 1 Cent. Der Rechenweg ist kurz, weil er über die glatte Zahl geht.

MerkenGegensinnig und gleichsinnig

Bei einer Summe gibt ein Summand ab, was der andere bekommt.

Bei einer Differenz ändern sich beide Zahlen gleich, der Abstand bleibt.

BeispielSummen gegensinnig verändern

Rechne geschickt durch gegensinniges Verändern: 298 + 74
29874
Schritt für Schritt
  1. 298 bekommt 2 dazu, 74 gibt 2 ab.
  2. 298 + 74 = 300 + 72
  3. 300 + 72 = 372
  1. 298 bekommt 2 dazu, 74 gibt 2 ab.
  2. 298 + 74 = 300 + 72
  3. 300 + 72 = 372
Ergebnis:
372

AchtungNur eine Zahl verändert

So nicht
143 − 97: 143 − 100 = 43
So richtig
143 − 97 = 146 − 100 = 46

Bei der Summe gegensinnig, bei der Differenz gleichsinnig: Immer beide Zahlen verändern.

ÜbenJetzt du

  1. ○4
    Milan rechnet 37 + 24 als 40 + 24. Was muss Milan danach noch tun? Was kommt heraus?
    3724
    So fängst du an:
    Milan hat 37 um 3 vergrößert.
    Lösung zeigen
    1. Milan hat 37 um 3 vergrößert.
    2. Die Summe ist dadurch um 3 zu groß: 40 + 24 = 64.
    3. 3 wieder abziehen: 64 − 3 = 61
    Ergebnis:
    61
  2. ●5
    Paul rechnet 99 + 68 als 100 + 68. Was muss Paul danach noch tun? Was kommt heraus?
    9968
    Lösung zeigen
    1. Paul hat 99 um 1 vergrößert.
    2. Die Summe ist dadurch um 1 zu groß: 100 + 68 = 168.
    3. 1 wieder abziehen: 168 − 1 = 167
    Ergebnis:
    167
  3. ★6
    Rechne geschickt durch gegensinniges Verändern: 999 + 963
    999963
    Lösung zeigen
    1. 999 bekommt 1 dazu, 963 gibt 1 ab.
    2. 999 + 963 = 1000 + 962
    3. 1000 + 962 = 1962
    Ergebnis:
    1962

3Ich nehme halbschriftlich mal, indem ich einen Faktor zerlege.

EntdeckenFrage

Wie haben Bauern in Russland früher ohne Einmaleins multipliziert?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Sie haben eine Zahl immer halbiert und die andere verdoppelt, bis links eine 1 stand. Dann addierten sie die rechten Zahlen der Zeilen mit ungerader linker Zahl. Das Verfahren heißt russische Bauernmultiplikation und nutzt, dass Verdoppeln und Halbieren das Produkt nicht ändert.

Ausprobieren: Malnehmen am Rechteck

Länge und Höhe in Teile zerlegen – das Rechteck zerfällt in Teilrechtecke, und jedes ist eine leichte Malaufgabe.

MerkenMalnehmen mit Zerlegen

Einen Faktor zerlegen, jeden Teil malnehmen und die Teilergebnisse addieren.

So wird 7 · 48 zu 7 · 40 + 7 · 8.

BeispielHalbschriftlich malnehmen mit Zerlegen

Es gibt 4 Hefte mit je 16 Hefte. Wie viele Hefte sind es? Rechne halbschriftlich.
Schritt für Schritt
  1. 4 · 16
  2. 16 = 10 + 6
  3. 4 · 10 = 40 und 4 · 6 = 24
  4. 40 + 24 = 64
  1. 4 · 16
  2. 16 = 10 + 6
  3. 4 · 10 = 40 und 4 · 6 = 24
  4. 40 + 24 = 64
Ergebnis:
64 Hefte

AchtungBeim Zerlegen einen Teil vergessen

So nicht
7 · 48: 7 · 40 + 8 = 288
So richtig
7 · 48 = 7 · 40 + 7 · 8 = 280 + 56 = 336

Jeder Teil des zerlegten Faktors wird malgenommen, nicht nur der erste.

ÜbenJetzt du

  1. ○7
    Rechne halbschriftlich: Zerlege den zweiten Faktor. 6 · 18
    So fängst du an:
    18 = 10 + 8
    Lösung zeigen
    1. 18 = 10 + 8
    2. 6 · 10 = 60 und 6 · 8 = 48
    3. 60 + 48 = 108
    Ergebnis:
    108
  2. ●8
    Es gibt 4 Hefte mit je 31 Hefte. Wie viele Hefte sind es? Rechne halbschriftlich.
    Lösung zeigen
    1. 4 · 31
    2. 31 = 30 + 1
    3. 4 · 30 = 120 und 4 · 1 = 4
    4. 120 + 4 = 124
    Ergebnis:
    124 Hefte
  3. ★9
    Rechne geschickt über die glatte Zahl: 3 · 198
    Lösung zeigen
    1. 198 = 200 − 2
    2. 3 · 200 = 600 und 3 · 2 = 6
    3. 600 − 6 = 594
    Ergebnis:
    594

4Ich dividiere halbschriftlich, indem ich die Zahl geschickt zerlege.

EntdeckenFrage

Warum ist 25 mal 4 ein Lieblingspaar beim Kopfrechnen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

25 mal 4 ergibt genau 100. Kommen 25 und 4 in einer Malaufgabe vor, fasst man sie zuerst zusammen. Aus 25 · 37 · 4 wird dann 100 · 37 = 3700, ganz ohne schriftliches Rechnen.

MerkenTeilen mit Zerlegen

Die Zahl so zerlegen, dass jeder Teil glatt aufgeht. So wird 385 : 7 zu 350 : 7 + 35 : 7.

BeispielHalbschriftlich dividieren

Zerlege 396 so in zwei Zahlen, dass du beide leicht durch 9 dividieren kannst. Was ergibt 396 : 9?
396: 9
Schritt für Schritt
  1. 396 = 360 + 36
  2. 360 : 9 = 40 und 36 : 9 = 4
  3. 40 + 4 = 44
  1. 396 = 360 + 36
  2. 360 : 9 = 40 und 36 : 9 = 4
  3. 40 + 4 = 44
Ergebnis:
44

AchtungBeim Teilen nicht passend zerlegt

So nicht
385 : 7: 300 : 7 geht nicht glatt → aufgegeben
So richtig
385 : 7 = 350 : 7 + 35 : 7 = 50 + 5 = 55

Jeder Teil muss sich glatt teilen lassen. Erst ein großes Vielfaches abspalten.

ÜbenJetzt du

  1. ○10
    Zerlege 260 so in zwei Zahlen, dass du beide leicht durch 4 dividieren kannst. Was ergibt 260 : 4?
    260: 4
    So fängst du an:
    260 = 240 + 20
    Lösung zeigen
    1. 260 = 240 + 20
    2. 240 : 4 = 60 und 20 : 4 = 5
    3. 60 + 5 = 65
    Ergebnis:
    65
  2. ●11
    Rechne halbschriftlich: 504 : 8
    Lösung zeigen
    1. 504 = 480 + 24
    2. 480 : 8 = 60 und 24 : 8 = 3
    3. 60 + 3 = 63
    Ergebnis:
    63
  3. ★12
    Zerlege 196 so in zwei Zahlen, dass du beide leicht durch 4 dividieren kannst. Was ergibt 196 : 4?
    196: 4
    Lösung zeigen
    1. 196 = 160 + 36
    2. 160 : 4 = 40 und 36 : 4 = 9
    3. 40 + 9 = 49
    Ergebnis:
    49

5Ich finde Aufgaben mit gleichem Ergebnis und vergleiche Rechenausdrücke.

EntdeckenFrage

Warum stimmt der Trick „mal 9 ist mal 10 minus einmal“ immer?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Neunmal eine Zahl ist zehnmal die Zahl minus einmal die Zahl. So wird 9 · 47 zu 470 − 47 = 423. Das ist das Verteilungsgesetz: 9 ist 10 minus 1.

MerkenAusdrücke mit gleichem Wert

Verschiedene Rechenausdrücke können denselben Wert haben.

Wer die Rechengesetze nutzt, sieht das oft ohne Ausrechnen.

BeispielAufgaben mit gleichem Ergebnis

Ergänze die Lücke: 69 − 17 = ___ − 18
Schritt für Schritt
  1. 17 wird zu 18: 1 mehr.
  2. Damit der Abstand bleibt, wird auch 69 um 1 größer.
  3. 69 + 1 = 70
  1. 17 wird zu 18: 1 mehr.
  2. Damit der Abstand bleibt, wird auch 69 um 1 größer.
  3. 69 + 1 = 70
Ergebnis:
70

AchtungPunkt vor Strich missachtet

So nicht
9 + 5 · 7 = 14 · 7 = 98
So richtig
9 + 5 · 7 = 9 + 35 = 44

Klammer zuerst, dann Mal und Geteilt, dann Plus und Minus.

ÜbenJetzt du

  1. ○13
    Ergänze die Lücke: 46 − 13 = ___ − 23
    So fängst du an:
    13 wird zu 23: 10 mehr.
    Lösung zeigen
    1. 13 wird zu 23: 10 mehr.
    2. Damit der Abstand bleibt, wird auch 46 um 10 größer.
    3. 46 + 10 = 56
    Ergebnis:
    56
  2. ●14
    Ergänze die Lücke: 95 − 50 = ___ − 60
    Lösung zeigen
    1. 50 wird zu 60: 10 mehr.
    2. Damit der Abstand bleibt, wird auch 95 um 10 größer.
    3. 95 + 10 = 105
    Ergebnis:
    105
  3. ★15
    Welche Zahl fehlt? Rechne nicht beide Seiten aus. 7 · 53 + 7 · 9 = 7 · ___
    Lösung zeigen
    1. Beide Produkte haben den Faktor 7.
    2. 7 mal 53 und 7 mal 9 sind zusammen 7 mal (53 + 9).
    3. 53 + 9 = 62
    Ergebnis:
    62

6Ich rechne mit Verdoppeln und Halbieren und prüfe, ob das Ergebnis gleich bleibt.

EntdeckenFrage

Wie merkt man in Sekunden, dass 98 · 102 nicht 99.960 sein kann?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Man rechnet nicht, man überschlägt: 100 · 100 = 10.000. Das Ergebnis muss also in der Nähe von 10.000 liegen. 99.960 ist fast zehnmal so groß und kann nicht stimmen. Richtig ist 9996.

MerkenVerdoppeln und halbieren

Wird ein Faktor verdoppelt und der andere halbiert, bleibt das Produkt gleich.

Werden beide verdoppelt, wird es viermal so groß.

BeispielVerdoppeln und Halbieren

Rechne geschickt: Halbiere den einen Faktor und verdopple den anderen. 12 · 15
Schritt für Schritt
  1. 12 · 15 = 6 · 30
  2. 6 · 30 = 180
  1. 12 · 15 = 6 · 30
  2. 6 · 30 = 180
Ergebnis:
180

AchtungBeide Faktoren verdoppelt

So nicht
8 · 25 → 16 · 50 = 800
So richtig
8 · 25 → 4 · 50 = 200

Nur einer wird verdoppelt, der andere halbiert. Sonst ändert sich das Ergebnis.

ÜbenJetzt du

  1. ○16
    Warum ist 16 · 5 dasselbe wie 8 · 10? Rechne dann geschickt.
    So fängst du an:
    Halb so viele Reihen, jede doppelt so lang: gleich viele Kästchen.
    Lösung zeigen
    1. Halb so viele Reihen, jede doppelt so lang: gleich viele Kästchen.
    2. 16 · 5 = 8 · 10
    3. 8 · 10 = 80
    Ergebnis:
    80
  2. ●17
    Warum ist 16 · 25 dasselbe wie 8 · 50? Rechne dann geschickt.
    Lösung zeigen
    1. Halb so viele Reihen, jede doppelt so lang: gleich viele Kästchen.
    2. 16 · 25 = 8 · 50
    3. 8 · 50 = 400
    Ergebnis:
    400
  3. ★18
    Rechne geschickt: Halbiere den einen Faktor und verdopple den anderen. 18 · 45
    Lösung zeigen
    1. 18 · 45 = 9 · 90
    2. 9 · 90 = 810
    Ergebnis:
    810

7Ich wähle zu einer Aufgabe den passenden Rechenweg.

EntdeckenFrage

Wie rechnen Darts-Profis blitzschnell aus, wie viele Punkte ihnen von 501 noch fehlen, wenn sie 140 geworfen haben?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Der geschickte Weg nimmt erst eine runde Zahl. 500 − 140 = 360, und der eine Extrapunkt kommt dazu: 361. Das geht schneller als 501 − 140 Stelle für Stelle. Am Ergebnis ändert der Weg nichts.

MerkenDen passenden Weg wählen

Vor dem Rechnen die Zahlen ansehen.

Liegt eine Zahl nahe an einer glatten, lohnt sich ein Vorteil, sonst rechnet man schriftlich.

BeispielDen passenden Rechenweg wählen

Welcher Weg passt zu 16 · 25? Nenne ihn. Rechne danach.
16 · 25zerlegenhalbieren und verdoppelnschriftlich
Schritt für Schritt
  1. 25 wird verdoppelt glatt: halbieren und verdoppeln.
  2. 16 · 25 = 8 · 50
  3. 8 · 50 = 400
  1. 25 wird verdoppelt glatt: halbieren und verdoppeln.
  2. 16 · 25 = 8 · 50
  3. 8 · 50 = 400
Ergebnis:
halbieren und verdoppeln, 400

AchtungUmständlichen Weg gewählt

So nicht
299 + 158 schriftlich untereinander gerechnet, dabei verrechnet: 447
So richtig
299 + 158 = 300 + 157 = 457

Erst die Zahlen ansehen: Liegt eine nahe an einer glatten Zahl?

ÜbenJetzt du

  1. ○19
    Welcher Weg passt zu 5 · 75? Nenne ihn. Rechne danach.
    5 · 75zerlegenhalbieren und verdoppelnschriftlich
    So fängst du an:
    Den zweiten Faktor zerlegen: 75 = 70 + 5.
    Lösung zeigen
    1. Den zweiten Faktor zerlegen: 75 = 70 + 5.
    2. 5 · 70 = 350 und 5 · 5 = 25
    3. Zusammen: 375
    Ergebnis:
    zerlegen, 375
  2. ●20
    Welcher Weg passt zu 14 + 72 + 86? Nenne ihn. Rechne danach.
    14 + 72 + 86zerlegenhalbieren und verdoppelnschriftlich
    Lösung zeigen
    1. Zwei Zahlen ergeben zusammen 100: vertauschen und zusammenfassen.
    2. 14 + 86 = 100
    3. 100 + 72 = 172
    Ergebnis:
    vertauschen, 172
  3. ★21
    Welcher Weg passt zu 16 · 5? Nenne ihn. Rechne danach.
    16 · 5zerlegenhalbieren und verdoppelnschriftlich
    Lösung zeigen
    1. 5 wird verdoppelt glatt: halbieren und verdoppeln.
    2. 16 · 5 = 8 · 10
    3. 8 · 10 = 80
    Ergebnis:
    halbieren und verdoppeln, 80

8Ich finde Rechenfehler mit Überschlag und Umkehraufgabe.

EntdeckenFrage

Warum zählt man Rückgeld vom Preis aus nach oben, statt abzuziehen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Wer 13,40 € zahlen muss und 20 € gibt, bekommt 20 − 13,40 = 6,60 € zurück. Beim Hochzählen rechnet man die Umkehraufgabe: 13,40 + 6,60 = 20. Kommt man genau auf den gegebenen Betrag, stimmt das Rückgeld.

MerkenÜberschlag und Umkehraufgabe

Ein Überschlag mit runden Zahlen zeigt, ob ein Ergebnis stimmen kann.

Die Umkehraufgabe prüft es genau.

BeispielRechenfehler mit Überschlag und Umkehraufgabe finden

Ben rechnet 788 − 443 und erhält 445. Prüfe mit der Umkehraufgabe.
Schritt für Schritt
  1. Umkehraufgabe: 445 + 443 = 888
  2. 888 ist nicht 788: Es ist falsch.
  3. 788 − 443 = 345
  1. Umkehraufgabe: 445 + 443 = 888
  2. 888 ist nicht 788: Es ist falsch.
  3. 788 − 443 = 345
Ergebnis:
falsch, richtig ist 345

AchtungErgebnis nicht geprüft

So nicht
425 : 5 = 805, ohne Probe ins Heft
So richtig
425 : 5 → Überschlag 400 : 5 = 80 → 85, Probe 85 · 5 = 425

Mit einem Überschlag prüfen, ob die Größenordnung stimmt, dann mit der Umkehraufgabe.

ÜbenJetzt du

  1. ○22
    Noah rechnet 736 : 8 und erhält 93. Prüfe mit der Umkehraufgabe.
    736 : 8Ergebnis 93?
    So fängst du an:
    Umkehraufgabe: 93 · 8 = 744
    Lösung zeigen
    1. Umkehraufgabe: 93 · 8 = 744
    2. 744 ist nicht 736: Es ist falsch.
    3. 736 : 8 = 92
    Ergebnis:
    falsch, richtig ist 92
  2. ●23
    Zeynep rechnet 326 − 234 und erhält 92. Prüfe mit der Umkehraufgabe.
    Lösung zeigen
    1. Umkehraufgabe: 92 + 234 = 326
    2. 326 ist genau 326: Es stimmt.
    3. 326 − 234 = 92
    Ergebnis:
    stimmt, 92
  3. ★24
    Tom rechnet 7452 − 1006 und erhält 6446. Prüfe mit der Umkehraufgabe.
    Lösung zeigen
    1. Umkehraufgabe: 6446 + 1006 = 7452
    2. 7452 ist genau 7452: Es stimmt.
    3. 7452 − 1006 = 6446
    Ergebnis:
    stimmt, 6446

Vermischte Übungen

Alles durcheinander – wie in der Arbeit. Überleg bei jeder Aufgabe zuerst: Welches Ziel ist das?

Üben

  1. ●25
    Rechne geschickt: 27 + 75 + 3
    27753
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 27 + 3 + 75
    2. 27 + 3 = 30
    3. 30 + 75 = 105
    Ergebnis:
    105
  2. ●26
    Rechne geschickt: 14 · 2 · 5
    1425
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 5 · 2 · 14
    2. 5 · 2 = 10
    3. 10 · 14 = 140
    Ergebnis:
    140
  3. ●27
    Ergänze so, dass die Summe gleich bleibt: 299 + 56 = 300 + ___
    29956
    Lösung zeigen
    1. 299 wird zu 300: 1 mehr.
    2. Also muss 56 um 1 kleiner werden: 56 − 1 = 55
    3. 300 + 55 = 355
    Ergebnis:
    55
  4. ●28
    Rechne geschickt durch gleichsinniges Verändern: 174 − 29
    Lösung zeigen
    1. Beide Zahlen um 1 vergrößern: Der Abstand bleibt gleich.
    2. 174 − 29 = 175 − 30
    3. 175 − 30 = 145
    Ergebnis:
    145
  5. ●29
    Rechne geschickt über die glatte Zahl: 7 · 49
    Lösung zeigen
    1. 49 = 50 − 1
    2. 7 · 50 = 350 und 7 · 1 = 7
    3. 350 − 7 = 343
    Ergebnis:
    343
  6. ●30
    Elias rechnet 6 · 15 so: erst 6 · 10, dann 5 dazu. Elias erhält 65. Zeige am Bild, was fehlt.
    1056
    Lösung zeigen
    1. Der rechte Teil hat 6 Reihen mit je 5 Kästchen, nicht nur 5.
    2. Rechter Teil: 6 · 5 = 30
    3. 60 + 30 = 90
    Ergebnis:
    90

Auf einen Blick

MerkenDas Wichtigste

Vertauschen und zusammenfassen
Beim Plus und beim Mal darf man die Zahlen vertauschen und anders zusammenfassen.
Gegensinnig und gleichsinnig
Bei einer Summe gibt ein Summand ab, was der andere bekommt.
Malnehmen mit Zerlegen
Einen Faktor zerlegen, jeden Teil malnehmen und die Teilergebnisse addieren.
Teilen mit Zerlegen
Die Zahl so zerlegen, dass jeder Teil glatt aufgeht. So wird 385 : 7 zu 350 : 7 + 35 : 7.
Ausdrücke mit gleichem Wert
Verschiedene Rechenausdrücke können denselben Wert haben.
Verdoppeln und halbieren
Wird ein Faktor verdoppelt und der andere halbiert, bleibt das Produkt gleich.
Den passenden Weg wählen
Vor dem Rechnen die Zahlen ansehen.
Überschlag und Umkehraufgabe
Ein Überschlag mit runden Zahlen zeigt, ob ein Ergebnis stimmen kann.

Kannst du das?

Je Ziel eine Aufgabe. Rechne sie ins Heft, dann kreuz ehrlich an. Keine Punkte, keine Note – der Test ist für dich.

ÜbenSelbsttest

  1. Ich rechne Plusaufgaben und Malaufgaben geschickt durch Vertauschen und Zusammenfassen.

    31
    Welche Zahlen fasst du bei 35 + 79 + 5 zuerst zusammen? Begründe. Rechne danach.
    35795
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    119

  2. Ich verändere Summen gegensinnig und Differenzen gleichsinnig.

    32
    Rechne geschickt durch gegensinniges Verändern: 38 + 34
    3834
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    72

  3. Ich nehme halbschriftlich mal, indem ich einen Faktor zerlege.

    33
    Es gibt 8 Reihen mit je 56 Stühle. Wie viele Stühle sind es? Rechne halbschriftlich.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    448 Stühle

  4. Ich dividiere halbschriftlich, indem ich die Zahl geschickt zerlege.

    34
    Rechne halbschriftlich: 330 : 6
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    55

  5. Ich finde Aufgaben mit gleichem Ergebnis und vergleiche Rechenausdrücke.

    35
    Ergänze die Lücke: 83 − 67 = ___ − 77
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    93

  6. Ich rechne mit Verdoppeln und Halbieren und prüfe, ob das Ergebnis gleich bleibt.

    36
    Warum ist 16 · 25 dasselbe wie 8 · 50? Rechne dann geschickt.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    400

  7. Ich wähle zu einer Aufgabe den passenden Rechenweg.

    37
    Welchen Rechenvorteil nutzt du bei 9 · 74? Nenne ihn. Rechne danach.
    9 · 74zerlegenhalbieren und verdoppelnschriftlich
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    zerlegen, 666

  8. Ich finde Rechenfehler mit Überschlag und Umkehraufgabe.

    38
    Emma rechnet 406 : 7 und erhält 60. Prüfe mit der Umkehraufgabe.
    406 : 7Ergebnis 60?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    falsch, richtig ist 58

Bei „unsicher“ oder „noch nicht“: Lies den Abschnitt zum Ziel noch einmal und rechne seine drei Aufgaben.

Die Frage vom Anfang

EntdeckenRückschau

Rechne im Kopf, so schnell du kannst: 25 · 17 · 4. Schreib nichts auf und nimm keinen Taschenrechner.

Lies deine Vermutung vom Anfang. Kannst du die Frage jetzt mit dem Kapitel beantworten?

Auflösung

Mit dem Werkzeug aus diesem Kapitel: Vertauschen und Zusammenfassen: erst die Zahlen, die zusammen glatt werden.

Wo brauchst du das?

Entdecken

Preise im Kopf addieren, Rückgeld überschlagen, Mengen für ein Fest ausrechnen. Beruf: Kasse und Verkauf, Handwerk beim Materialberechnen, Lager und Versand.

Wörter

Differenz
was übrig bleibt, wenn man abzieht
Gleichung
zwei Rechnungen, die gleich viel wert sind
Produkt
was herauskommt, wenn man malnimmt
Summe
was herauskommt, wenn man zusammenzählt
Teiler
eine Zahl, durch die es ohne Rest aufgeht

Wie es zusammenhängt

Das brauchst du vorher: Rechenregeln, Teiler und Vielfache, Natürliche Zahlen und Stellenwert

Darauf baut auf: Sachaufgaben lösen

Lösungen

  1. 124
  2. 82
  3. 1299
  4. 61
  5. 167
  6. 1962
  7. 108
  8. 124 Hefte
  9. 594
  10. 65
  11. 63
  12. 49
  13. 56
  14. 105
  15. 62
  16. 80
  17. 400
  18. 810
  19. zerlegen, 375
  20. vertauschen, 172
  21. halbieren und verdoppeln, 80
  22. falsch, richtig ist 92
  23. stimmt, 92
  24. stimmt, 6446
  25. 105
  26. 140
  27. 55
  28. 145
  29. 343
  30. 90
  31. 119
  32. 72
  33. 448 Stühle
  34. 55
  35. 93
  36. 400
  37. zerlegen, 666
  38. falsch, richtig ist 58
  39. 33
  40. 98
  41. 36
  42. 59