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Mathematik · Klasse 5 · Kapitel

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Rechengesetze und Rechenvorteile

EntdeckenDie Frage zum Kapitel

Rechne im Kopf, so schnell du kannst: 25 · 17 · 4. Schreib nichts auf und nimm keinen Taschenrechner.

Schreib eine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Für die Lehrkraft: Die meisten rechnen von links: 25 · 17 und kommen durcheinander. Andere geben auf oder raten. Nur wenige sehen, dass 25 und 4 zusammen 100 ergeben. Beim Malnehmen darf man die Zahlen vertauschen. Dann steht 25 · 4 · 17 da, also 100 · 17. Das Ergebnis ist 1700, in einer Sekunde.

  • Entdecken Frage, Vorstellung, Bild
  • Merken kommt ins Heft
  • Beispiel vorgerechnet, Schritt für Schritt
  • Üben selbst rechnen
  • Achtung typischer Fehler
  • Weiterdenken zum Knobeln und Vernetzen

○ mit Starthilfe, ● für alle, ★ zum Weiterdenken. Du wählst mindestens eine ★-Aufgabe. Du rechnest ins Heft.

Fit für das Kapitel?

Das brauchst du aus früheren Themen. Klappt es nicht, frag nach, bevor es losgeht.

ÜbenWeißt du das noch?

Punkt vor Strich und Klammer zuerst – so steht es seit Klasse 4 im Heft.

  1. ●39
    Rechne: 9 + 2 · 8
    Lösung zeigen
    1. Punkt vor Strich: erst 2 · 8 = 16
    2. 9 + 16 = 25
    Ergebnis:
    25
  2. ●40
    Rechne: (3 + 5) · 7
    Lösung zeigen
    1. Die Klammer zuerst: 3 + 5 = 8
    2. 8 · 7 = 56
    Ergebnis:
    56

ÜbenWeißt du das noch?

Punkt vor Strich und Klammer zuerst – die Reihenfolge entscheidet über das Ergebnis.

  1. ●41
    Berechne: 10 + 6 · 8
    Lösung zeigen
    1. Punkt vor Strich: erst 6 · 8 = 48
    2. 10 + 48 = 58
    Ergebnis:
    58
  2. ●42
    Ich denke mir eine Zahl, addiere 24 und erhalte 53. Welche Zahl war es? (Umkehraufgabe)
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    29

So kannst du es dir vorstellen

EntdeckenZahlen umbauen, ohne den Wert zu ändern

Eine Rechnung lässt sich umbauen, ohne dass sich ihr Wert ändert. Zahlen tauschen die Plätze, bilden neue Gruppen oder werden zerlegt. Wer das sieht, rechnet mit glatten Zahlen statt mit krummen.

17 plus 38 plus 3: Erst 17 und 3 zu 20 zusammenfassen, dann 20 plus 38 sind 5817 + 38 + 317 + 3 = 20= 20 + 38 = 58

WeiterdenkenDenk nach

Warum darf man bei 25 + 38 + 75 zuerst 25 und 75 addieren, bei 50 − 20 − 10 aber nicht zuerst 20 − 10?

1Ich rechne Plusaufgaben und Malaufgaben geschickt durch Vertauschen und Zusammenfassen.

EntdeckenFrage

Wie konnte der neunjährige Carl Friedrich Gauß die Zahlen von 1 bis 100 in wenigen Minuten addieren?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Er hat die Zahlen in Paare umsortiert: 1 und 100, 2 und 99, 3 und 98. Jedes Paar ergibt 101, und es sind 50 Paare. Also 50 · 101 = 5050. Er hat nur vertauscht und neu zusammengefasst.

MerkenVertauschen und zusammenfassen

Beim Plus und beim Mal darf man die Zahlen vertauschen und anders zusammenfassen.

Erst die Zahlen nehmen, die zusammen glatt werden.

BeispielPlusaufgaben geschickt: vertauschen und zusammenfassen

Welche Zahlen fasst du bei 86 + 86 + 14 zuerst zusammen? Begründe. Rechne danach.
868614
Schritt für Schritt
  1. Vertauschen: 86 + 14 + 86
  2. 86 + 14 = 100
  3. Zusammen glatt, der Rest ist leicht: 100 + 86 = 186
  1. Vertauschen: 86 + 14 + 86
  2. 86 + 14 = 100
  3. Zusammen glatt, der Rest ist leicht: 100 + 86 = 186
Ergebnis:
186

AchtungBeim Minus oder Geteilt vertauscht

So nicht
50 − 20 − 10: erst 20 − 10 = 10, dann 50 − 10 = 40
So richtig
50 − 20 − 10 = 30 − 10 = 20

Vertauschen ist nur beim Plus und beim Mal erlaubt. 20 − 5 ist nicht 5 − 20.

ÜbenJetzt du

  1. ○1
    Tom rechnet 15 + 19 + 15 von links nach rechts. Zeige einen schnelleren Weg mit einem Rechenvorteil.
    151915
    So fängst du an:
    Vertauschen: 15 + 15 + 19
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 15 + 15 + 19
    2. 15 + 15 = 30
    3. 30 + 19 = 49
    Ergebnis:
    49
  2. ●2
    Rechne geschickt: 56 + 57 + 4
    56574
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 56 + 4 + 57
    2. 56 + 4 = 60
    3. 60 + 57 = 117
    Ergebnis:
    117
  3. ★3
    Welche Zahlen fasst du bei 141 + 294 + 31 + 159 + 69 zuerst zusammen? Begründe. Rechne danach.
    1412943115969
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 141 + 159 + 31 + 69 + 294
    2. 141 + 159 = 300 und 31 + 69 = 100
    3. Zusammen glatt, der Rest ist leicht: 300 + 100 + 294 = 694
    Ergebnis:
    694

2Ich verändere Summen gegensinnig und Differenzen gleichsinnig.

EntdeckenFrage

Warum rechnen Kassiererinnen 3,99 € mal 4 schneller als ein Kunde mit Papier?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Sie rechnen 4 mal 4 € und ziehen dann 4 Cent ab: 16,00 € − 0,04 € = 15,96 €. Das ist Zerlegen: 3,99 ist 4 minus 1 Cent. Der Rechenweg ist kurz, weil er über die glatte Zahl geht.

MerkenGegensinnig und gleichsinnig

Bei einer Summe gibt ein Summand ab, was der andere bekommt.

Bei einer Differenz ändern sich beide Zahlen gleich, der Abstand bleibt.

BeispielSummen gegensinnig verändern

Milan rechnet 197 + 65 als 200 + 65. Was muss Milan danach noch tun? Was kommt heraus?
19765
Schritt für Schritt
  1. Milan hat 197 um 3 vergrößert.
  2. Die Summe ist dadurch um 3 zu groß: 200 + 65 = 265.
  3. 3 wieder abziehen: 265 − 3 = 262
  1. Milan hat 197 um 3 vergrößert.
  2. Die Summe ist dadurch um 3 zu groß: 200 + 65 = 265.
  3. 3 wieder abziehen: 265 − 3 = 262
Ergebnis:
262

AchtungNur eine Zahl verändert

So nicht
143 − 97: 143 − 100 = 43
So richtig
143 − 97 = 146 − 100 = 46

Bei der Summe gegensinnig, bei der Differenz gleichsinnig: Immer beide Zahlen verändern.

ÜbenJetzt du

  1. ○4
    Ergänze so, dass die Summe gleich bleibt: 97 + 68 = 100 + ___
    9768
    So fängst du an:
    97 wird zu 100: 3 mehr.
    Lösung zeigen
    1. 97 wird zu 100: 3 mehr.
    2. Also muss 68 um 3 kleiner werden: 68 − 3 = 65
    3. 100 + 65 = 165
    Ergebnis:
    65
  2. ●5
    Hanna rechnet 299 + 94 als 300 + 94. Was muss Hanna danach noch tun? Was kommt heraus?
    29994
    Lösung zeigen
    1. Hanna hat 299 um 1 vergrößert.
    2. Die Summe ist dadurch um 1 zu groß: 300 + 94 = 394.
    3. 1 wieder abziehen: 394 − 1 = 393
    Ergebnis:
    393
  3. ★6
    Ergänze so, dass die Summe gleich bleibt: 1997 + 817 = 2000 + ___
    1997817
    Lösung zeigen
    1. 1997 wird zu 2000: 3 mehr.
    2. Also muss 817 um 3 kleiner werden: 817 − 3 = 814
    3. 2000 + 814 = 2814
    Ergebnis:
    814

3Ich nehme halbschriftlich mal, indem ich einen Faktor zerlege.

EntdeckenFrage

Wie haben Bauern in Russland früher ohne Einmaleins multipliziert?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Sie haben eine Zahl immer halbiert und die andere verdoppelt, bis links eine 1 stand. Dann addierten sie die rechten Zahlen der Zeilen mit ungerader linker Zahl. Das Verfahren heißt russische Bauernmultiplikation und nutzt, dass Verdoppeln und Halbieren das Produkt nicht ändert.

Ausprobieren: Malnehmen am Rechteck

Länge und Höhe in Teile zerlegen – das Rechteck zerfällt in Teilrechtecke, und jedes ist eine leichte Malaufgabe.

MerkenMalnehmen mit Zerlegen

Einen Faktor zerlegen, jeden Teil malnehmen und die Teilergebnisse addieren.

So wird 7 · 48 zu 7 · 40 + 7 · 8.

BeispielHalbschriftlich malnehmen mit Zerlegen

Rechne geschickt über die glatte Zahl: 3 · 19
Schritt für Schritt
  1. 19 = 20 − 1
  2. 3 · 20 = 60 und 3 · 1 = 3
  3. 60 − 3 = 57
  1. 19 = 20 − 1
  2. 3 · 20 = 60 und 3 · 1 = 3
  3. 60 − 3 = 57
Ergebnis:
57

AchtungBeim Zerlegen einen Teil vergessen

So nicht
7 · 48: 7 · 40 + 8 = 288
So richtig
7 · 48 = 7 · 40 + 7 · 8 = 280 + 56 = 336

Jeder Teil des zerlegten Faktors wird malgenommen, nicht nur der erste.

ÜbenJetzt du

  1. ○7
    Es gibt 6 Tüten mit je 39 Bonbons. Wie viele Bonbons sind es? Rechne halbschriftlich.
    So fängst du an:
    6 · 39
    Lösung zeigen
    1. 6 · 39
    2. 39 = 30 + 9
    3. 6 · 30 = 180 und 6 · 9 = 54
    4. 180 + 54 = 234
    Ergebnis:
    234 Bonbons
  2. ●8
    Rechne halbschriftlich: Zerlege den zweiten Faktor. 9 · 41
    Lösung zeigen
    1. 41 = 40 + 1
    2. 9 · 40 = 360 und 9 · 1 = 9
    3. 360 + 9 = 369
    Ergebnis:
    369
  3. ★9
    Es gibt 8 Tüten mit je 51 Bonbons. Wie viele Bonbons sind es? Rechne halbschriftlich.
    Lösung zeigen
    1. 8 · 51
    2. 51 = 50 + 1
    3. 8 · 50 = 400 und 8 · 1 = 8
    4. 400 + 8 = 408
    Ergebnis:
    408 Bonbons

4Ich dividiere halbschriftlich, indem ich die Zahl geschickt zerlege.

EntdeckenFrage

Warum ist 25 mal 4 ein Lieblingspaar beim Kopfrechnen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

25 mal 4 ergibt genau 100. Kommen 25 und 4 in einer Malaufgabe vor, fasst man sie zuerst zusammen. Aus 25 · 37 · 4 wird dann 100 · 37 = 3700, ganz ohne schriftliches Rechnen.

MerkenTeilen mit Zerlegen

Die Zahl so zerlegen, dass jeder Teil glatt aufgeht. So wird 385 : 7 zu 350 : 7 + 35 : 7.

BeispielHalbschriftlich dividieren

Rechne halbschriftlich: 423 : 9
Schritt für Schritt
  1. 423 = 360 + 63
  2. 360 : 9 = 40 und 63 : 9 = 7
  3. 40 + 7 = 47
  1. 423 = 360 + 63
  2. 360 : 9 = 40 und 63 : 9 = 7
  3. 40 + 7 = 47
Ergebnis:
47

AchtungBeim Teilen nicht passend zerlegt

So nicht
385 : 7: 300 : 7 geht nicht glatt → aufgegeben
So richtig
385 : 7 = 350 : 7 + 35 : 7 = 50 + 5 = 55

Jeder Teil muss sich glatt teilen lassen. Erst ein großes Vielfaches abspalten.

ÜbenJetzt du

  1. ○10
    Zerlege 288 so in zwei Zahlen, dass du beide leicht durch 8 dividieren kannst. Was ergibt 288 : 8?
    288: 8
    So fängst du an:
    288 = 240 + 48
    Lösung zeigen
    1. 288 = 240 + 48
    2. 240 : 8 = 30 und 48 : 8 = 6
    3. 30 + 6 = 36
    Ergebnis:
    36
  2. ●11
    138 Bücher werden gleichmäßig auf 3 Regalböden aufgeteilt. Wie viele bekommt jeder Teil? Rechne halbschriftlich.
    Lösung zeigen
    1. 138 : 3
    2. 138 = 120 + 18
    3. 120 : 3 = 40 und 18 : 3 = 6
    4. 40 + 6 = 46
    Ergebnis:
    46 Bücher
  3. ★12
    Rechne halbschriftlich: 582 : 3
    Lösung zeigen
    1. 582 = 570 + 12
    2. 570 : 3 = 190 und 12 : 3 = 4
    3. 190 + 4 = 194
    Ergebnis:
    194

5Ich finde Aufgaben mit gleichem Ergebnis und vergleiche Rechenausdrücke.

EntdeckenFrage

Warum stimmt der Trick „mal 9 ist mal 10 minus einmal“ immer?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Neunmal eine Zahl ist zehnmal die Zahl minus einmal die Zahl. So wird 9 · 47 zu 470 − 47 = 423. Das ist das Verteilungsgesetz: 9 ist 10 minus 1.

MerkenAusdrücke mit gleichem Wert

Verschiedene Rechenausdrücke können denselben Wert haben.

Wer die Rechengesetze nutzt, sieht das oft ohne Ausrechnen.

BeispielAufgaben mit gleichem Ergebnis

Ergänze die Lücke: 26 + 75 = 27 + ___
26 + 75=27 + ?
Schritt für Schritt
  1. 26 wird zu 27: 1 mehr.
  2. Damit die Summe gleich bleibt, wird 75 um 1 kleiner.
  3. 75 − 1 = 74
  1. 26 wird zu 27: 1 mehr.
  2. Damit die Summe gleich bleibt, wird 75 um 1 kleiner.
  3. 75 − 1 = 74
Ergebnis:
74

AchtungPunkt vor Strich missachtet

So nicht
9 + 5 · 7 = 14 · 7 = 98
So richtig
9 + 5 · 7 = 9 + 35 = 44

Klammer zuerst, dann Mal und Geteilt, dann Plus und Minus.

ÜbenJetzt du

  1. ○13
    Finde die fehlende Zahl mit einem Rechengesetz: 57 − 37 = ___ − 42
    So fängst du an:
    37 wird zu 42: 5 mehr.
    Lösung zeigen
    1. 37 wird zu 42: 5 mehr.
    2. Damit der Abstand bleibt, wird auch 57 um 5 größer.
    3. 57 + 5 = 62
    Ergebnis:
    62
  2. ●14
    Finde die fehlende Zahl mit einem Rechengesetz: 16 · 13 = 8 · ___
    16 · 13=8 · ?
    Lösung zeigen
    1. 16 wird halb so groß: 8.
    2. Damit das Ergebnis gleich bleibt, wird 13 doppelt so groß.
    3. 13 · 2 = 26
    Ergebnis:
    26
  3. ★15
    Welche Zahl fehlt? Rechne nicht beide Seiten aus. 8 · 67 + 8 · 8 = 8 · ___
    Lösung zeigen
    1. Beide Produkte haben den Faktor 8.
    2. 8 mal 67 und 8 mal 8 sind zusammen 8 mal (67 + 8).
    3. 67 + 8 = 75
    Ergebnis:
    75

6Ich rechne mit Verdoppeln und Halbieren und prüfe, ob das Ergebnis gleich bleibt.

EntdeckenFrage

Wie merkt man in Sekunden, dass 98 · 102 nicht 99.960 sein kann?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Man rechnet nicht, man überschlägt: 100 · 100 = 10.000. Das Ergebnis muss also in der Nähe von 10.000 liegen. 99.960 ist fast zehnmal so groß und kann nicht stimmen. Richtig ist 9996.

MerkenVerdoppeln und halbieren

Wird ein Faktor verdoppelt und der andere halbiert, bleibt das Produkt gleich.

Werden beide verdoppelt, wird es viermal so groß.

BeispielVerdoppeln und Halbieren

Hanna verdoppelt bei 12 · 15 beide Faktoren und rechnet 24 · 30. Bleibt das Ergebnis gleich?
Schritt für Schritt
  1. Einmal verdoppeln macht das Ergebnis doppelt so groß, zweimal viermal so groß.
  2. 24 · 30 = 720, aber 12 · 15 = 180
  3. Richtig ist: einen verdoppeln, den anderen halbieren.
  1. Einmal verdoppeln macht das Ergebnis doppelt so groß, zweimal viermal so groß.
  2. 24 · 30 = 720, aber 12 · 15 = 180
  3. Richtig ist: einen verdoppeln, den anderen halbieren.
Ergebnis:
Nein, viermal so groß; richtig ist 180

AchtungBeide Faktoren verdoppelt

So nicht
8 · 25 → 16 · 50 = 800
So richtig
8 · 25 → 4 · 50 = 200

Nur einer wird verdoppelt, der andere halbiert. Sonst ändert sich das Ergebnis.

ÜbenJetzt du

  1. ○16
    Rechne geschickt: Halbiere den einen Faktor und verdopple den anderen. 8 · 25
    So fängst du an:
    8 · 25 = 4 · 50
    Lösung zeigen
    1. 8 · 25 = 4 · 50
    2. 4 · 50 = 200
    Ergebnis:
    200
  2. ●17
    Warum ist 18 · 5 dasselbe wie 9 · 10? Rechne dann geschickt.
    Lösung zeigen
    1. Halb so viele Reihen, jede doppelt so lang: gleich viele Kästchen.
    2. 18 · 5 = 9 · 10
    3. 9 · 10 = 90
    Ergebnis:
    90
  3. ★18
    Rechne geschickt: Halbiere den einen Faktor und verdopple den anderen. 12 · 75
    Lösung zeigen
    1. 12 · 75 = 6 · 150
    2. 6 · 150 = 900
    Ergebnis:
    900

7Ich wähle zu einer Aufgabe den passenden Rechenweg.

EntdeckenFrage

Wie rechnen Darts-Profis blitzschnell aus, wie viele Punkte ihnen von 501 noch fehlen, wenn sie 140 geworfen haben?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Der geschickte Weg nimmt erst eine runde Zahl. 500 − 140 = 360, und der eine Extrapunkt kommt dazu: 361. Das geht schneller als 501 − 140 Stelle für Stelle. Am Ergebnis ändert der Weg nichts.

MerkenDen passenden Weg wählen

Vor dem Rechnen die Zahlen ansehen.

Liegt eine Zahl nahe an einer glatten, lohnt sich ein Vorteil, sonst rechnet man schriftlich.

BeispielDen passenden Rechenweg wählen

Welcher Weg passt zu 218 + 198? Nenne ihn. Rechne danach.
218 + 198zerlegenhalbieren und verdoppelnschriftlich
Schritt für Schritt
  1. 198 liegt knapp unter 200: gegensinnig verändern.
  2. 218 + 198 = 216 + 200
  3. 216 + 200 = 416
  1. 198 liegt knapp unter 200: gegensinnig verändern.
  2. 218 + 198 = 216 + 200
  3. 216 + 200 = 416
Ergebnis:
gegensinnig verändern, 416

AchtungUmständlichen Weg gewählt

So nicht
299 + 158 schriftlich untereinander gerechnet, dabei verrechnet: 447
So richtig
299 + 158 = 300 + 157 = 457

Erst die Zahlen ansehen: Liegt eine nahe an einer glatten Zahl?

ÜbenJetzt du

  1. ○19
    Welcher Weg passt zu 22 + 28 + 78? Nenne ihn. Rechne danach.
    22 + 28 + 78zerlegenhalbieren und verdoppelnschriftlich
    So fängst du an:
    Zwei Zahlen ergeben zusammen 100: vertauschen und zusammenfassen.
    Lösung zeigen
    1. Zwei Zahlen ergeben zusammen 100: vertauschen und zusammenfassen.
    2. 22 + 78 = 100
    3. 100 + 28 = 128
    Ergebnis:
    vertauschen, 128
  2. ●20
    Welchen Rechenvorteil nutzt du bei 228 + 198? Nenne ihn. Rechne danach.
    228 + 198zerlegenhalbieren und verdoppelnschriftlich
    Lösung zeigen
    1. 198 liegt knapp unter 200: gegensinnig verändern.
    2. 228 + 198 = 226 + 200
    3. 226 + 200 = 426
    Ergebnis:
    gegensinnig verändern, 426
  3. ★21
    Welcher Weg passt zu 4788 − 3258? Nenne ihn. Rechne danach.
    4788 − 3258zerlegenhalbieren und verdoppelnschriftlich
    Lösung zeigen
    1. Keine Zahl liegt nahe an einer glatten Zahl: schriftlich rechnen.
    2. 4788 − 3258 = 1530
    Ergebnis:
    schriftlich, 1530

8Ich finde Rechenfehler mit Überschlag und Umkehraufgabe.

EntdeckenFrage

Warum zählt man Rückgeld vom Preis aus nach oben, statt abzuziehen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Wer 13,40 € zahlen muss und 20 € gibt, bekommt 20 − 13,40 = 6,60 € zurück. Beim Hochzählen rechnet man die Umkehraufgabe: 13,40 + 6,60 = 20. Kommt man genau auf den gegebenen Betrag, stimmt das Rückgeld.

MerkenÜberschlag und Umkehraufgabe

Ein Überschlag mit runden Zahlen zeigt, ob ein Ergebnis stimmen kann.

Die Umkehraufgabe prüft es genau.

BeispielRechenfehler mit Überschlag und Umkehraufgabe finden

Ben erhält für 28 · 25 das Ergebnis 700. Prüfe mit einem Überschlag.
Schritt für Schritt
  1. Überschlag: 30 · 30 = 900
  2. 700 liegt in der Nähe. Genau rechnen: 28 · 25 = 700
  3. Das Ergebnis stimmt.
  1. Überschlag: 30 · 30 = 900
  2. 700 liegt in der Nähe. Genau rechnen: 28 · 25 = 700
  3. Das Ergebnis stimmt.
Ergebnis:
stimmt, 700

AchtungErgebnis nicht geprüft

So nicht
425 : 5 = 805, ohne Probe ins Heft
So richtig
425 : 5 → Überschlag 400 : 5 = 80 → 85, Probe 85 · 5 = 425

Mit einem Überschlag prüfen, ob die Größenordnung stimmt, dann mit der Umkehraufgabe.

ÜbenJetzt du

  1. ○22
    Emma rechnet 349 − 248 und erhält 101. Prüfe mit der Umkehraufgabe.
    So fängst du an:
    Umkehraufgabe: 101 + 248 = 349
    Lösung zeigen
    1. Umkehraufgabe: 101 + 248 = 349
    2. 349 ist genau 349: Es stimmt.
    3. 349 − 248 = 101
    Ergebnis:
    stimmt, 101
  2. ●23
    Lina erhält für 61 · 24 das Ergebnis 1364. Prüfe mit einem Überschlag.
    Lösung zeigen
    1. Überschlag: 60 · 20 = 1200
    2. 1364 liegt in der Nähe. Genau rechnen: 61 · 24 = 1464
    3. Das Ergebnis ist falsch.
    Ergebnis:
    falsch, richtig ist 1464
  3. ★24
    Emma rechnet 5607 − 2752 und erhält 2955. Prüfe mit der Umkehraufgabe.
    Lösung zeigen
    1. Umkehraufgabe: 2955 + 2752 = 5707
    2. 5707 ist nicht 5607: Es ist falsch.
    3. 5607 − 2752 = 2855
    Ergebnis:
    falsch, richtig ist 2855

Vermischte Übungen

Alles durcheinander – wie in der Arbeit. Überleg bei jeder Aufgabe zuerst: Welches Ziel ist das?

Üben

  1. ●25
    Rechne geschickt: 3 + 45 + 17
    34517
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 3 + 17 + 45
    2. 3 + 17 = 20
    3. 20 + 45 = 65
    Ergebnis:
    65
  2. ●26
    In einem Lager stehen 50 Regale mit je 2 Kisten. In jeder Kiste sind 4 Bälle. Wie viele Bälle sind es? Rechne geschickt.
    50 Regale2 Kisten4 Bälle
    Lösung zeigen
    1. Bälle: 50 · 2 · 4
    2. 50 · 2 = 100
    3. 100 · 4 = 400
    Ergebnis:
    400 Bälle
  3. ●27
    Ergänze so, dass die Summe gleich bleibt: 299 + 74 = 300 + ___
    29974
    Lösung zeigen
    1. 299 wird zu 300: 1 mehr.
    2. Also muss 74 um 1 kleiner werden: 74 − 1 = 73
    3. 300 + 73 = 373
    Ergebnis:
    73
  4. ●28
    Rechne geschickt durch gleichsinniges Verändern: 161 − 17
    Lösung zeigen
    1. Beide Zahlen um 3 vergrößern: Der Abstand bleibt gleich.
    2. 161 − 17 = 164 − 20
    3. 164 − 20 = 144
    Ergebnis:
    144
  5. ●29
    Rechne geschickt über die glatte Zahl: 5 · 29
    Lösung zeigen
    1. 29 = 30 − 1
    2. 5 · 30 = 150 und 5 · 1 = 5
    3. 150 − 5 = 145
    Ergebnis:
    145
  6. ●30
    Ein Rechteck hat 3 Reihen mit je 15 Kästchen. Die rote Linie teilt es. Wie viele Kästchen sind es?
    1053
    Lösung zeigen
    1. Linker Teil: 3 · 10 = 30
    2. Rechter Teil: 3 · 5 = 15
    3. Zusammen: 30 + 15 = 45
    Ergebnis:
    45 Kästchen

Auf einen Blick

MerkenDas Wichtigste

Vertauschen und zusammenfassen
Beim Plus und beim Mal darf man die Zahlen vertauschen und anders zusammenfassen.
Gegensinnig und gleichsinnig
Bei einer Summe gibt ein Summand ab, was der andere bekommt.
Malnehmen mit Zerlegen
Einen Faktor zerlegen, jeden Teil malnehmen und die Teilergebnisse addieren.
Teilen mit Zerlegen
Die Zahl so zerlegen, dass jeder Teil glatt aufgeht. So wird 385 : 7 zu 350 : 7 + 35 : 7.
Ausdrücke mit gleichem Wert
Verschiedene Rechenausdrücke können denselben Wert haben.
Verdoppeln und halbieren
Wird ein Faktor verdoppelt und der andere halbiert, bleibt das Produkt gleich.
Den passenden Weg wählen
Vor dem Rechnen die Zahlen ansehen.
Überschlag und Umkehraufgabe
Ein Überschlag mit runden Zahlen zeigt, ob ein Ergebnis stimmen kann.

Kannst du das?

Je Ziel eine Aufgabe. Rechne sie ins Heft, dann kreuz ehrlich an. Keine Punkte, keine Note – der Test ist für dich.

ÜbenSelbsttest

  1. Ich rechne Plusaufgaben und Malaufgaben geschickt durch Vertauschen und Zusammenfassen.

    31
    Rechne geschickt: 11 + 87 + 9
    11879
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    107

  2. Ich verändere Summen gegensinnig und Differenzen gleichsinnig.

    32
    Ergänze so, dass die Summe gleich bleibt: 297 + 67 = 300 + ___
    29767
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    64

  3. Ich nehme halbschriftlich mal, indem ich einen Faktor zerlege.

    33
    Rechne halbschriftlich: Zerlege den zweiten Faktor. 4 · 46
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    184

  4. Ich dividiere halbschriftlich, indem ich die Zahl geschickt zerlege.

    34
    195 Bücher werden gleichmäßig auf 5 Regalböden aufgeteilt. Wie viele bekommt jeder Teil? Rechne halbschriftlich.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    39 Bücher

  5. Ich finde Aufgaben mit gleichem Ergebnis und vergleiche Rechenausdrücke.

    35
    Ergänze die Lücke: 35 + 37 = 38 + ___
    35 + 37=38 + ?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    34

  6. Ich rechne mit Verdoppeln und Halbieren und prüfe, ob das Ergebnis gleich bleibt.

    36
    Jonas verdoppelt bei 14 · 5 beide Faktoren und rechnet 28 · 10. Bleibt das Ergebnis gleich?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    Nein, viermal so groß; richtig ist 70

  7. Ich wähle zu einer Aufgabe den passenden Rechenweg.

    37
    Welcher Weg passt zu 311 + 399? Nenne ihn. Rechne danach.
    311 + 399zerlegenhalbieren und verdoppelnschriftlich
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    gegensinnig verändern, 710

  8. Ich finde Rechenfehler mit Überschlag und Umkehraufgabe.

    38
    Zeynep rechnet 576 : 8 und erhält 73. Prüfe mit der Umkehraufgabe.
    576 : 8Ergebnis 73?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    falsch, richtig ist 72

Bei „unsicher“ oder „noch nicht“: Lies den Abschnitt zum Ziel noch einmal und rechne seine drei Aufgaben.

Die Frage vom Anfang

EntdeckenRückschau

Rechne im Kopf, so schnell du kannst: 25 · 17 · 4. Schreib nichts auf und nimm keinen Taschenrechner.

Lies deine Vermutung vom Anfang. Kannst du die Frage jetzt mit dem Kapitel beantworten?

Auflösung

Mit dem Werkzeug aus diesem Kapitel: Vertauschen und Zusammenfassen: erst die Zahlen, die zusammen glatt werden.

Wo brauchst du das?

Entdecken

Preise im Kopf addieren, Rückgeld überschlagen, Mengen für ein Fest ausrechnen. Beruf: Kasse und Verkauf, Handwerk beim Materialberechnen, Lager und Versand.

Wörter

Differenz
was übrig bleibt, wenn man abzieht
Gleichung
zwei Rechnungen, die gleich viel wert sind
Produkt
was herauskommt, wenn man malnimmt
Summe
was herauskommt, wenn man zusammenzählt
Teiler
eine Zahl, durch die es ohne Rest aufgeht

Wie es zusammenhängt

Das brauchst du vorher: Rechenregeln, Teiler und Vielfache, Natürliche Zahlen und Stellenwert

Darauf baut auf: Sachaufgaben lösen

Lösungen

  1. 49
  2. 117
  3. 694
  4. 65
  5. 393
  6. 814
  7. 234 Bonbons
  8. 369
  9. 408 Bonbons
  10. 36
  11. 46 Bücher
  12. 194
  13. 62
  14. 26
  15. 75
  16. 200
  17. 90
  18. 900
  19. vertauschen, 128
  20. gegensinnig verändern, 426
  21. schriftlich, 1530
  22. stimmt, 101
  23. falsch, richtig ist 1464
  24. falsch, richtig ist 2855
  25. 65
  26. 400 Bälle
  27. 73
  28. 144
  29. 145
  30. 45 Kästchen
  31. 107
  32. 64
  33. 184
  34. 39 Bücher
  35. 34
  36. Nein, viermal so groß; richtig ist 70
  37. gegensinnig verändern, 710
  38. falsch, richtig ist 72
  39. 25
  40. 56
  41. 58
  42. 29