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Mathematik · Klasse 5 · Kapitel

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Rechengesetze und Rechenvorteile

EntdeckenDie Frage zum Kapitel

Rechne im Kopf, so schnell du kannst: 25 · 17 · 4. Schreib nichts auf und nimm keinen Taschenrechner.

Schreib eine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Für die Lehrkraft: Die meisten rechnen von links: 25 · 17 und kommen durcheinander. Andere geben auf oder raten. Nur wenige sehen, dass 25 und 4 zusammen 100 ergeben. Beim Malnehmen darf man die Zahlen vertauschen. Dann steht 25 · 4 · 17 da, also 100 · 17. Das Ergebnis ist 1700, in einer Sekunde.

  • Entdecken Frage, Vorstellung, Bild
  • Merken kommt ins Heft
  • Beispiel vorgerechnet, Schritt für Schritt
  • Üben selbst rechnen
  • Achtung typischer Fehler
  • Weiterdenken zum Knobeln und Vernetzen

○ mit Starthilfe, ● für alle, ★ zum Weiterdenken. Du wählst mindestens eine ★-Aufgabe. Du rechnest ins Heft.

Fit für das Kapitel?

Das brauchst du aus früheren Themen. Klappt es nicht, frag nach, bevor es losgeht.

ÜbenWeißt du das noch?

Punkt vor Strich und Klammer zuerst – so steht es seit Klasse 4 im Heft.

  1. ●39
    Rechne: 20 − 3 · 4
    Lösung zeigen
    1. Punkt vor Strich: erst 3 · 4 = 12
    2. 20 − 12 = 8
    Ergebnis:
    8
  2. ●40
    Rechne: (5 + 6) · 4
    Lösung zeigen
    1. Die Klammer zuerst: 5 + 6 = 11
    2. 11 · 4 = 44
    Ergebnis:
    44

ÜbenWeißt du das noch?

Punkt vor Strich und Klammer zuerst – die Reihenfolge entscheidet über das Ergebnis.

  1. ●41
    Berechne: 4 + 2 · 9
    Lösung zeigen
    1. Punkt vor Strich: erst 2 · 9 = 18
    2. 4 + 18 = 22
    Ergebnis:
    22
  2. ●42
    Ich denke mir eine Zahl, addiere 3 und erhalte 49. Welche Zahl war es? (Umkehraufgabe)
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    46

So kannst du es dir vorstellen

EntdeckenZahlen umbauen, ohne den Wert zu ändern

Eine Rechnung lässt sich umbauen, ohne dass sich ihr Wert ändert. Zahlen tauschen die Plätze, bilden neue Gruppen oder werden zerlegt. Wer das sieht, rechnet mit glatten Zahlen statt mit krummen.

17 plus 38 plus 3: Erst 17 und 3 zu 20 zusammenfassen, dann 20 plus 38 sind 5817 + 38 + 317 + 3 = 20= 20 + 38 = 58

WeiterdenkenDenk nach

Warum darf man bei 25 + 38 + 75 zuerst 25 und 75 addieren, bei 50 − 20 − 10 aber nicht zuerst 20 − 10?

1Ich rechne Plusaufgaben und Malaufgaben geschickt durch Vertauschen und Zusammenfassen.

EntdeckenFrage

Wie konnte der neunjährige Carl Friedrich Gauß die Zahlen von 1 bis 100 in wenigen Minuten addieren?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Er hat die Zahlen in Paare umsortiert: 1 und 100, 2 und 99, 3 und 98. Jedes Paar ergibt 101, und es sind 50 Paare. Also 50 · 101 = 5050. Er hat nur vertauscht und neu zusammengefasst.

MerkenVertauschen und zusammenfassen

Beim Plus und beim Mal darf man die Zahlen vertauschen und anders zusammenfassen.

Erst die Zahlen nehmen, die zusammen glatt werden.

BeispielPlusaufgaben geschickt: vertauschen und zusammenfassen

Welche Zahlen fasst du bei 97 + 37 + 3 zuerst zusammen? Begründe. Rechne danach.
97373
Schritt für Schritt
  1. Vertauschen: 97 + 3 + 37
  2. 97 + 3 = 100
  3. Zusammen glatt, der Rest ist leicht: 100 + 37 = 137
  1. Vertauschen: 97 + 3 + 37
  2. 97 + 3 = 100
  3. Zusammen glatt, der Rest ist leicht: 100 + 37 = 137
Ergebnis:
137

AchtungBeim Minus oder Geteilt vertauscht

So nicht
50 − 20 − 10: erst 20 − 10 = 10, dann 50 − 10 = 40
So richtig
50 − 20 − 10 = 30 − 10 = 20

Vertauschen ist nur beim Plus und beim Mal erlaubt. 20 − 5 ist nicht 5 − 20.

ÜbenJetzt du

  1. ○1
    Rechne geschickt: 14 + 33 + 36
    143336
    So fängst du an:
    Vertauschen: 14 + 36 + 33
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 14 + 36 + 33
    2. 14 + 36 = 50
    3. 50 + 33 = 83
    Ergebnis:
    83
  2. ●2
    Rechne geschickt: 8 + 58 + 12
    85812
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 8 + 12 + 58
    2. 8 + 12 = 20
    3. 20 + 58 = 78
    Ergebnis:
    78
  3. ★3
    Rechne geschickt: 96 + 196 + 4
    961964
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 96 + 4 + 196
    2. 96 + 4 = 100
    3. 100 + 196 = 296
    Ergebnis:
    296

2Ich verändere Summen gegensinnig und Differenzen gleichsinnig.

EntdeckenFrage

Warum rechnen Kassiererinnen 3,99 € mal 4 schneller als ein Kunde mit Papier?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Sie rechnen 4 mal 4 € und ziehen dann 4 Cent ab: 16,00 € − 0,04 € = 15,96 €. Das ist Zerlegen: 3,99 ist 4 minus 1 Cent. Der Rechenweg ist kurz, weil er über die glatte Zahl geht.

MerkenGegensinnig und gleichsinnig

Bei einer Summe gibt ein Summand ab, was der andere bekommt.

Bei einer Differenz ändern sich beide Zahlen gleich, der Abstand bleibt.

BeispielSummen gegensinnig verändern

Ergänze so, dass die Summe gleich bleibt: 38 + 76 = 40 + ___
3876
Schritt für Schritt
  1. 38 wird zu 40: 2 mehr.
  2. Also muss 76 um 2 kleiner werden: 76 − 2 = 74
  3. 40 + 74 = 114
  1. 38 wird zu 40: 2 mehr.
  2. Also muss 76 um 2 kleiner werden: 76 − 2 = 74
  3. 40 + 74 = 114
Ergebnis:
74

AchtungNur eine Zahl verändert

So nicht
143 − 97: 143 − 100 = 43
So richtig
143 − 97 = 146 − 100 = 46

Bei der Summe gegensinnig, bei der Differenz gleichsinnig: Immer beide Zahlen verändern.

ÜbenJetzt du

  1. ○4
    Zeynep rechnet 37 + 46 als 40 + 46. Was muss Zeynep danach noch tun? Was kommt heraus?
    3746
    So fängst du an:
    Zeynep hat 37 um 3 vergrößert.
    Lösung zeigen
    1. Zeynep hat 37 um 3 vergrößert.
    2. Die Summe ist dadurch um 3 zu groß: 40 + 46 = 86.
    3. 3 wieder abziehen: 86 − 3 = 83
    Ergebnis:
    83
  2. ●5
    Rechne geschickt durch gegensinniges Verändern: 99 + 39
    9939
    Lösung zeigen
    1. 99 bekommt 1 dazu, 39 gibt 1 ab.
    2. 99 + 39 = 100 + 38
    3. 100 + 38 = 138
    Ergebnis:
    138
  3. ★6
    Rechne geschickt durch gegensinniges Verändern: 396 + 459
    396459
    Lösung zeigen
    1. 396 bekommt 4 dazu, 459 gibt 4 ab.
    2. 396 + 459 = 400 + 455
    3. 400 + 455 = 855
    Ergebnis:
    855

3Ich nehme halbschriftlich mal, indem ich einen Faktor zerlege.

EntdeckenFrage

Wie haben Bauern in Russland früher ohne Einmaleins multipliziert?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Sie haben eine Zahl immer halbiert und die andere verdoppelt, bis links eine 1 stand. Dann addierten sie die rechten Zahlen der Zeilen mit ungerader linker Zahl. Das Verfahren heißt russische Bauernmultiplikation und nutzt, dass Verdoppeln und Halbieren das Produkt nicht ändert.

Ausprobieren: Malnehmen am Rechteck

Länge und Höhe in Teile zerlegen – das Rechteck zerfällt in Teilrechtecke, und jedes ist eine leichte Malaufgabe.

MerkenMalnehmen mit Zerlegen

Einen Faktor zerlegen, jeden Teil malnehmen und die Teilergebnisse addieren.

So wird 7 · 48 zu 7 · 40 + 7 · 8.

BeispielHalbschriftlich malnehmen mit Zerlegen

Rechne geschickt über die glatte Zahl: 4 · 49
Schritt für Schritt
  1. 49 = 50 − 1
  2. 4 · 50 = 200 und 4 · 1 = 4
  3. 200 − 4 = 196
  1. 49 = 50 − 1
  2. 4 · 50 = 200 und 4 · 1 = 4
  3. 200 − 4 = 196
Ergebnis:
196

AchtungBeim Zerlegen einen Teil vergessen

So nicht
7 · 48: 7 · 40 + 8 = 288
So richtig
7 · 48 = 7 · 40 + 7 · 8 = 280 + 56 = 336

Jeder Teil des zerlegten Faktors wird malgenommen, nicht nur der erste.

ÜbenJetzt du

  1. ○7
    Es gibt 9 Reihen mit je 63 Stühle. Wie viele Stühle sind es? Rechne halbschriftlich.
    So fängst du an:
    9 · 63
    Lösung zeigen
    1. 9 · 63
    2. 63 = 60 + 3
    3. 9 · 60 = 540 und 9 · 3 = 27
    4. 540 + 27 = 567
    Ergebnis:
    567 Stühle
  2. ●8
    Es gibt 6 Reihen mit je 34 Stühle. Wie viele Stühle sind es? Rechne halbschriftlich.
    Lösung zeigen
    1. 6 · 34
    2. 34 = 30 + 4
    3. 6 · 30 = 180 und 6 · 4 = 24
    4. 180 + 24 = 204
    Ergebnis:
    204 Stühle
  3. ★9
    Es gibt 7 Reihen mit je 94 Stühle. Wie viele Stühle sind es? Rechne halbschriftlich.
    Lösung zeigen
    1. 7 · 94
    2. 94 = 90 + 4
    3. 7 · 90 = 630 und 7 · 4 = 28
    4. 630 + 28 = 658
    Ergebnis:
    658 Stühle

4Ich dividiere halbschriftlich, indem ich die Zahl geschickt zerlege.

EntdeckenFrage

Warum ist 25 mal 4 ein Lieblingspaar beim Kopfrechnen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

25 mal 4 ergibt genau 100. Kommen 25 und 4 in einer Malaufgabe vor, fasst man sie zuerst zusammen. Aus 25 · 37 · 4 wird dann 100 · 37 = 3700, ganz ohne schriftliches Rechnen.

MerkenTeilen mit Zerlegen

Die Zahl so zerlegen, dass jeder Teil glatt aufgeht. So wird 385 : 7 zu 350 : 7 + 35 : 7.

BeispielHalbschriftlich dividieren

114 Murmeln werden gleichmäßig auf 3 Säckchen aufgeteilt. Wie viele bekommt jeder Teil? Rechne halbschriftlich.
Schritt für Schritt
  1. 114 : 3
  2. 114 = 90 + 24
  3. 90 : 3 = 30 und 24 : 3 = 8
  4. 30 + 8 = 38
  1. 114 : 3
  2. 114 = 90 + 24
  3. 90 : 3 = 30 und 24 : 3 = 8
  4. 30 + 8 = 38
Ergebnis:
38 Murmeln

AchtungBeim Teilen nicht passend zerlegt

So nicht
385 : 7: 300 : 7 geht nicht glatt → aufgegeben
So richtig
385 : 7 = 350 : 7 + 35 : 7 = 50 + 5 = 55

Jeder Teil muss sich glatt teilen lassen. Erst ein großes Vielfaches abspalten.

ÜbenJetzt du

  1. ○10
    Rechne halbschriftlich: 276 : 6
    So fängst du an:
    276 = 240 + 36
    Lösung zeigen
    1. 276 = 240 + 36
    2. 240 : 6 = 40 und 36 : 6 = 6
    3. 40 + 6 = 46
    Ergebnis:
    46
  2. ●11
    224 Bücher werden gleichmäßig auf 7 Regalböden aufgeteilt. Wie viele bekommt jeder Teil? Rechne halbschriftlich.
    Lösung zeigen
    1. 224 : 7
    2. 224 = 210 + 14
    3. 210 : 7 = 30 und 14 : 7 = 2
    4. 30 + 2 = 32
    Ergebnis:
    32 Bücher
  3. ★12
    1737 Sticker werden gleichmäßig auf 9 Kinder aufgeteilt. Wie viele bekommt jeder Teil? Rechne halbschriftlich.
    Lösung zeigen
    1. 1737 : 9
    2. 1737 = 1710 + 27
    3. 1710 : 9 = 190 und 27 : 9 = 3
    4. 190 + 3 = 193
    Ergebnis:
    193 Sticker

5Ich finde Aufgaben mit gleichem Ergebnis und vergleiche Rechenausdrücke.

EntdeckenFrage

Warum stimmt der Trick „mal 9 ist mal 10 minus einmal“ immer?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Neunmal eine Zahl ist zehnmal die Zahl minus einmal die Zahl. So wird 9 · 47 zu 470 − 47 = 423. Das ist das Verteilungsgesetz: 9 ist 10 minus 1.

MerkenAusdrücke mit gleichem Wert

Verschiedene Rechenausdrücke können denselben Wert haben.

Wer die Rechengesetze nutzt, sieht das oft ohne Ausrechnen.

BeispielAufgaben mit gleichem Ergebnis

Welche Zahl fehlt? Rechne nicht beide Seiten aus. 8 · 13 = 4 · ___
Schritt für Schritt
  1. 8 wird halb so groß: 4.
  2. Damit das Ergebnis gleich bleibt, wird 13 doppelt so groß.
  3. 13 · 2 = 26
  1. 8 wird halb so groß: 4.
  2. Damit das Ergebnis gleich bleibt, wird 13 doppelt so groß.
  3. 13 · 2 = 26
Ergebnis:
26

AchtungPunkt vor Strich missachtet

So nicht
9 + 5 · 7 = 14 · 7 = 98
So richtig
9 + 5 · 7 = 9 + 35 = 44

Klammer zuerst, dann Mal und Geteilt, dann Plus und Minus.

ÜbenJetzt du

  1. ○13
    Finde die fehlende Zahl mit einem Rechengesetz: 56 − 42 = ___ − 43
    So fängst du an:
    42 wird zu 43: 1 mehr.
    Lösung zeigen
    1. 42 wird zu 43: 1 mehr.
    2. Damit der Abstand bleibt, wird auch 56 um 1 größer.
    3. 56 + 1 = 57
    Ergebnis:
    57
  2. ●14
    Ergänze die Lücke: 27 + 16 = 30 + ___
    27 + 16=30 + ?
    Lösung zeigen
    1. 27 wird zu 30: 3 mehr.
    2. Damit die Summe gleich bleibt, wird 16 um 3 kleiner.
    3. 16 − 3 = 13
    Ergebnis:
    13
  3. ★15
    Finde die fehlende Zahl mit einem Rechengesetz: 77 − 31 = ___ − 32
    Lösung zeigen
    1. 31 wird zu 32: 1 mehr.
    2. Damit der Abstand bleibt, wird auch 77 um 1 größer.
    3. 77 + 1 = 78
    Ergebnis:
    78

6Ich rechne mit Verdoppeln und Halbieren und prüfe, ob das Ergebnis gleich bleibt.

EntdeckenFrage

Wie merkt man in Sekunden, dass 98 · 102 nicht 99.960 sein kann?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Man rechnet nicht, man überschlägt: 100 · 100 = 10.000. Das Ergebnis muss also in der Nähe von 10.000 liegen. 99.960 ist fast zehnmal so groß und kann nicht stimmen. Richtig ist 9996.

MerkenVerdoppeln und halbieren

Wird ein Faktor verdoppelt und der andere halbiert, bleibt das Produkt gleich.

Werden beide verdoppelt, wird es viermal so groß.

BeispielVerdoppeln und Halbieren

Rechne geschickt: Halbiere den einen Faktor und verdopple den anderen. 18 · 5
Schritt für Schritt
  1. 18 · 5 = 9 · 10
  2. 9 · 10 = 90
  1. 18 · 5 = 9 · 10
  2. 9 · 10 = 90
Ergebnis:
90

AchtungBeide Faktoren verdoppelt

So nicht
8 · 25 → 16 · 50 = 800
So richtig
8 · 25 → 4 · 50 = 200

Nur einer wird verdoppelt, der andere halbiert. Sonst ändert sich das Ergebnis.

ÜbenJetzt du

  1. ○16
    Warum ist 14 · 5 dasselbe wie 7 · 10? Rechne dann geschickt.
    So fängst du an:
    Halb so viele Reihen, jede doppelt so lang: gleich viele Kästchen.
    Lösung zeigen
    1. Halb so viele Reihen, jede doppelt so lang: gleich viele Kästchen.
    2. 14 · 5 = 7 · 10
    3. 7 · 10 = 70
    Ergebnis:
    70
  2. ●17
    Rechne geschickt: Halbiere den einen Faktor und verdopple den anderen. 12 · 15
    Lösung zeigen
    1. 12 · 15 = 6 · 30
    2. 6 · 30 = 180
    Ergebnis:
    180
  3. ★18
    Warum ist 12 · 75 dasselbe wie 6 · 150? Rechne dann geschickt.
    Lösung zeigen
    1. Halb so viele Reihen, jede doppelt so lang: gleich viele Kästchen.
    2. 12 · 75 = 6 · 150
    3. 6 · 150 = 900
    Ergebnis:
    900

7Ich wähle zu einer Aufgabe den passenden Rechenweg.

EntdeckenFrage

Wie rechnen Darts-Profis blitzschnell aus, wie viele Punkte ihnen von 501 noch fehlen, wenn sie 140 geworfen haben?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Der geschickte Weg nimmt erst eine runde Zahl. 500 − 140 = 360, und der eine Extrapunkt kommt dazu: 361. Das geht schneller als 501 − 140 Stelle für Stelle. Am Ergebnis ändert der Weg nichts.

MerkenDen passenden Weg wählen

Vor dem Rechnen die Zahlen ansehen.

Liegt eine Zahl nahe an einer glatten, lohnt sich ein Vorteil, sonst rechnet man schriftlich.

BeispielDen passenden Rechenweg wählen

Welchen Rechenvorteil nutzt du bei 244 + 198? Nenne ihn. Rechne danach.
244 + 198zerlegenhalbieren und verdoppelnschriftlich
Schritt für Schritt
  1. 198 liegt knapp unter 200: gegensinnig verändern.
  2. 244 + 198 = 242 + 200
  3. 242 + 200 = 442
  1. 198 liegt knapp unter 200: gegensinnig verändern.
  2. 244 + 198 = 242 + 200
  3. 242 + 200 = 442
Ergebnis:
gegensinnig verändern, 442

AchtungUmständlichen Weg gewählt

So nicht
299 + 158 schriftlich untereinander gerechnet, dabei verrechnet: 447
So richtig
299 + 158 = 300 + 157 = 457

Erst die Zahlen ansehen: Liegt eine nahe an einer glatten Zahl?

ÜbenJetzt du

  1. ○19
    Welchen Rechenvorteil nutzt du bei 16 · 25? Nenne ihn. Rechne danach.
    16 · 25zerlegenhalbieren und verdoppelnschriftlich
    So fängst du an:
    25 wird verdoppelt glatt: halbieren und verdoppeln.
    Lösung zeigen
    1. 25 wird verdoppelt glatt: halbieren und verdoppeln.
    2. 16 · 25 = 8 · 50
    3. 8 · 50 = 400
    Ergebnis:
    halbieren und verdoppeln, 400
  2. ●20
    Wie rechnest du am schnellsten: 8 · 25? Nenne ihn. Rechne danach.
    Lösung zeigen
    1. 25 wird verdoppelt glatt: halbieren und verdoppeln.
    2. 8 · 25 = 4 · 50
    3. 4 · 50 = 200
    Ergebnis:
    halbieren und verdoppeln, 200
  3. ★21
    Welchen Rechenvorteil nutzt du bei 194 + 497? Nenne ihn. Rechne danach.
    194 + 497zerlegenhalbieren und verdoppelnschriftlich
    Lösung zeigen
    1. 497 liegt knapp unter 500: gegensinnig verändern.
    2. 194 + 497 = 191 + 500
    3. 191 + 500 = 691
    Ergebnis:
    gegensinnig verändern, 691

8Ich finde Rechenfehler mit Überschlag und Umkehraufgabe.

EntdeckenFrage

Warum zählt man Rückgeld vom Preis aus nach oben, statt abzuziehen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Wer 13,40 € zahlen muss und 20 € gibt, bekommt 20 − 13,40 = 6,60 € zurück. Beim Hochzählen rechnet man die Umkehraufgabe: 13,40 + 6,60 = 20. Kommt man genau auf den gegebenen Betrag, stimmt das Rückgeld.

MerkenÜberschlag und Umkehraufgabe

Ein Überschlag mit runden Zahlen zeigt, ob ein Ergebnis stimmen kann.

Die Umkehraufgabe prüft es genau.

BeispielRechenfehler mit Überschlag und Umkehraufgabe finden

Ben rechnet 608 − 533 und erhält 65. Prüfe mit der Umkehraufgabe.
Schritt für Schritt
  1. Umkehraufgabe: 65 + 533 = 598
  2. 598 ist nicht 608: Es ist falsch.
  3. 608 − 533 = 75
  1. Umkehraufgabe: 65 + 533 = 598
  2. 598 ist nicht 608: Es ist falsch.
  3. 608 − 533 = 75
Ergebnis:
falsch, richtig ist 75

AchtungErgebnis nicht geprüft

So nicht
425 : 5 = 805, ohne Probe ins Heft
So richtig
425 : 5 → Überschlag 400 : 5 = 80 → 85, Probe 85 · 5 = 425

Mit einem Überschlag prüfen, ob die Größenordnung stimmt, dann mit der Umkehraufgabe.

ÜbenJetzt du

  1. ○22
    Jonas rechnet 632 − 499 und erhält 123. Prüfe mit der Umkehraufgabe.
    So fängst du an:
    Umkehraufgabe: 123 + 499 = 622
    Lösung zeigen
    1. Umkehraufgabe: 123 + 499 = 622
    2. 622 ist nicht 632: Es ist falsch.
    3. 632 − 499 = 133
    Ergebnis:
    falsch, richtig ist 133
  2. ●23
    Paul rechnet 228 : 3 und erhält 76. Prüfe mit der Umkehraufgabe.
    228 : 3Ergebnis 76?
    Lösung zeigen
    1. Umkehraufgabe: 76 · 3 = 228
    2. 228 ist genau 228: Es stimmt.
    3. 228 : 3 = 76
    Ergebnis:
    stimmt, 76
  3. ★24
    Lina erhält für 261 · 26 das Ergebnis 6886. Prüfe mit einem Überschlag.
    Lösung zeigen
    1. Überschlag: 300 · 30 = 9000
    2. 6886 liegt in der Nähe. Genau rechnen: 261 · 26 = 6786
    3. Das Ergebnis ist falsch.
    Ergebnis:
    falsch, richtig ist 6786

Vermischte Übungen

Alles durcheinander – wie in der Arbeit. Überleg bei jeder Aufgabe zuerst: Welches Ziel ist das?

Üben

  1. ●25
    Welche Zahlen fasst du bei 15 + 46 + 45 zuerst zusammen? Begründe. Rechne danach.
    154645
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 15 + 45 + 46
    2. 15 + 45 = 60
    3. Zusammen glatt, der Rest ist leicht: 60 + 46 = 106
    Ergebnis:
    106
  2. ●26
    Welche zwei Zahlen ergeben bei 17 · 5 · 2 zusammen eine glatte Zahl? Rechne damit.
    1752
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 2 · 5 · 17
    2. 2 · 5 = 10
    3. 10 · 17 = 170
    Ergebnis:
    170
  3. ●27
    Rechne geschickt durch gegensinniges Verändern: 298 + 59
    29859
    Lösung zeigen
    1. 298 bekommt 2 dazu, 59 gibt 2 ab.
    2. 298 + 59 = 300 + 57
    3. 300 + 57 = 357
    Ergebnis:
    357
  4. ●28
    Rechne geschickt durch gleichsinniges Verändern: 157 − 39
    Lösung zeigen
    1. Beide Zahlen um 1 vergrößern: Der Abstand bleibt gleich.
    2. 157 − 39 = 158 − 40
    3. 158 − 40 = 118
    Ergebnis:
    118
  5. ●29
    Rechne halbschriftlich: Zerlege den zweiten Faktor. 8 · 43
    Lösung zeigen
    1. 43 = 40 + 3
    2. 8 · 40 = 320 und 8 · 3 = 24
    3. 320 + 24 = 344
    Ergebnis:
    344
  6. ●30
    Ein Rechteck hat 6 Reihen mit je 13 Kästchen. Die rote Linie teilt es. Wie viele Kästchen sind es?
    1036
    Lösung zeigen
    1. Linker Teil: 6 · 10 = 60
    2. Rechter Teil: 6 · 3 = 18
    3. Zusammen: 60 + 18 = 78
    Ergebnis:
    78 Kästchen

Auf einen Blick

MerkenDas Wichtigste

Vertauschen und zusammenfassen
Beim Plus und beim Mal darf man die Zahlen vertauschen und anders zusammenfassen.
Gegensinnig und gleichsinnig
Bei einer Summe gibt ein Summand ab, was der andere bekommt.
Malnehmen mit Zerlegen
Einen Faktor zerlegen, jeden Teil malnehmen und die Teilergebnisse addieren.
Teilen mit Zerlegen
Die Zahl so zerlegen, dass jeder Teil glatt aufgeht. So wird 385 : 7 zu 350 : 7 + 35 : 7.
Ausdrücke mit gleichem Wert
Verschiedene Rechenausdrücke können denselben Wert haben.
Verdoppeln und halbieren
Wird ein Faktor verdoppelt und der andere halbiert, bleibt das Produkt gleich.
Den passenden Weg wählen
Vor dem Rechnen die Zahlen ansehen.
Überschlag und Umkehraufgabe
Ein Überschlag mit runden Zahlen zeigt, ob ein Ergebnis stimmen kann.

Kannst du das?

Je Ziel eine Aufgabe. Rechne sie ins Heft, dann kreuz ehrlich an. Keine Punkte, keine Note – der Test ist für dich.

ÜbenSelbsttest

  1. Ich rechne Plusaufgaben und Malaufgaben geschickt durch Vertauschen und Zusammenfassen.

    31
    Can rechnet 44 + 19 + 16 von links nach rechts. Zeige einen schnelleren Weg mit einem Rechenvorteil.
    441916
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    79

  2. Ich verändere Summen gegensinnig und Differenzen gleichsinnig.

    32
    Rechne geschickt durch gegensinniges Verändern: 38 + 58
    3858
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    96

  3. Ich nehme halbschriftlich mal, indem ich einen Faktor zerlege.

    33
    Rechne geschickt über die glatte Zahl: 8 · 39
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    312

  4. Ich dividiere halbschriftlich, indem ich die Zahl geschickt zerlege.

    34
    48 Bücher werden gleichmäßig auf 3 Regalböden aufgeteilt. Wie viele bekommt jeder Teil? Rechne halbschriftlich.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    16 Bücher

  5. Ich finde Aufgaben mit gleichem Ergebnis und vergleiche Rechenausdrücke.

    35
    Welche Zahl fehlt? Rechne nicht beide Seiten aus. 4 · 7 = 2 · ___
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    14

  6. Ich rechne mit Verdoppeln und Halbieren und prüfe, ob das Ergebnis gleich bleibt.

    36
    Rechne geschickt: Halbiere den einen Faktor und verdopple den anderen. 16 · 5
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    80

  7. Ich wähle zu einer Aufgabe den passenden Rechenweg.

    37
    Welchen Rechenvorteil nutzt du bei 32 + 21 + 68? Nenne ihn. Rechne danach.
    32 + 21 + 68zerlegenhalbieren und verdoppelnschriftlich
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    vertauschen, 121

  8. Ich finde Rechenfehler mit Überschlag und Umkehraufgabe.

    38
    Elias rechnet 312 : 6 und erhält 54. Prüfe mit der Umkehraufgabe.
    312 : 6Ergebnis 54?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    falsch, richtig ist 52

Bei „unsicher“ oder „noch nicht“: Lies den Abschnitt zum Ziel noch einmal und rechne seine drei Aufgaben.

Die Frage vom Anfang

EntdeckenRückschau

Rechne im Kopf, so schnell du kannst: 25 · 17 · 4. Schreib nichts auf und nimm keinen Taschenrechner.

Lies deine Vermutung vom Anfang. Kannst du die Frage jetzt mit dem Kapitel beantworten?

Auflösung

Mit dem Werkzeug aus diesem Kapitel: Vertauschen und Zusammenfassen: erst die Zahlen, die zusammen glatt werden.

Wo brauchst du das?

Entdecken

Preise im Kopf addieren, Rückgeld überschlagen, Mengen für ein Fest ausrechnen. Beruf: Kasse und Verkauf, Handwerk beim Materialberechnen, Lager und Versand.

Wörter

Differenz
was übrig bleibt, wenn man abzieht
Gleichung
zwei Rechnungen, die gleich viel wert sind
Produkt
was herauskommt, wenn man malnimmt
Summe
was herauskommt, wenn man zusammenzählt
Teiler
eine Zahl, durch die es ohne Rest aufgeht

Wie es zusammenhängt

Das brauchst du vorher: Rechenregeln, Teiler und Vielfache, Natürliche Zahlen und Stellenwert

Darauf baut auf: Sachaufgaben lösen

Lösungen

  1. 83
  2. 78
  3. 296
  4. 83
  5. 138
  6. 855
  7. 567 Stühle
  8. 204 Stühle
  9. 658 Stühle
  10. 46
  11. 32 Bücher
  12. 193 Sticker
  13. 57
  14. 13
  15. 78
  16. 70
  17. 180
  18. 900
  19. halbieren und verdoppeln, 400
  20. halbieren und verdoppeln, 200
  21. gegensinnig verändern, 691
  22. falsch, richtig ist 133
  23. stimmt, 76
  24. falsch, richtig ist 6786
  25. 106
  26. 170
  27. 357
  28. 118
  29. 344
  30. 78 Kästchen
  31. 79
  32. 96
  33. 312
  34. 16 Bücher
  35. 14
  36. 80
  37. vertauschen, 121
  38. falsch, richtig ist 52
  39. 8
  40. 44
  41. 22
  42. 46