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Mathematik · Klasse 5 · Kapitel

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Rechengesetze und Rechenvorteile

EntdeckenDie Frage zum Kapitel

Rechne im Kopf, so schnell du kannst: 25 · 17 · 4. Schreib nichts auf und nimm keinen Taschenrechner.

Schreib eine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Für die Lehrkraft: Die meisten rechnen von links: 25 · 17 und kommen durcheinander. Andere geben auf oder raten. Nur wenige sehen, dass 25 und 4 zusammen 100 ergeben. Beim Malnehmen darf man die Zahlen vertauschen. Dann steht 25 · 4 · 17 da, also 100 · 17. Das Ergebnis ist 1700, in einer Sekunde.

  • Entdecken Frage, Vorstellung, Bild
  • Merken kommt ins Heft
  • Beispiel vorgerechnet, Schritt für Schritt
  • Üben selbst rechnen
  • Achtung typischer Fehler
  • Weiterdenken zum Knobeln und Vernetzen

○ mit Starthilfe, ● für alle, ★ zum Weiterdenken. Du wählst mindestens eine ★-Aufgabe. Du rechnest ins Heft.

Fit für das Kapitel?

Das brauchst du aus früheren Themen. Klappt es nicht, frag nach, bevor es losgeht.

ÜbenWeißt du das noch?

Punkt vor Strich und Klammer zuerst – so steht es seit Klasse 4 im Heft.

  1. ●39
    Rechne: 48 − 4 · 6
    Lösung zeigen
    1. Punkt vor Strich: erst 4 · 6 = 24
    2. 48 − 24 = 24
    Ergebnis:
    24
  2. ●40
    Rechne: (4 + 8) · 4
    Lösung zeigen
    1. Die Klammer zuerst: 4 + 8 = 12
    2. 12 · 4 = 48
    Ergebnis:
    48

ÜbenWeißt du das noch?

Punkt vor Strich und Klammer zuerst – die Reihenfolge entscheidet über das Ergebnis.

  1. ●41
    Berechne: 9 + 4 · 7
    Lösung zeigen
    1. Punkt vor Strich: erst 4 · 7 = 28
    2. 9 + 28 = 37
    Ergebnis:
    37
  2. ●42
    Ich denke mir eine Zahl, addiere 23 und erhalte 49. Welche Zahl war es? (Umkehraufgabe)
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    26

So kannst du es dir vorstellen

EntdeckenZahlen umbauen, ohne den Wert zu ändern

Eine Rechnung lässt sich umbauen, ohne dass sich ihr Wert ändert. Zahlen tauschen die Plätze, bilden neue Gruppen oder werden zerlegt. Wer das sieht, rechnet mit glatten Zahlen statt mit krummen.

17 plus 38 plus 3: Erst 17 und 3 zu 20 zusammenfassen, dann 20 plus 38 sind 5817 + 38 + 317 + 3 = 20= 20 + 38 = 58

WeiterdenkenDenk nach

Warum darf man bei 25 + 38 + 75 zuerst 25 und 75 addieren, bei 50 − 20 − 10 aber nicht zuerst 20 − 10?

1Ich rechne Plusaufgaben und Malaufgaben geschickt durch Vertauschen und Zusammenfassen.

EntdeckenFrage

Wie konnte der neunjährige Carl Friedrich Gauß die Zahlen von 1 bis 100 in wenigen Minuten addieren?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Er hat die Zahlen in Paare umsortiert: 1 und 100, 2 und 99, 3 und 98. Jedes Paar ergibt 101, und es sind 50 Paare. Also 50 · 101 = 5050. Er hat nur vertauscht und neu zusammengefasst.

MerkenVertauschen und zusammenfassen

Beim Plus und beim Mal darf man die Zahlen vertauschen und anders zusammenfassen.

Erst die Zahlen nehmen, die zusammen glatt werden.

BeispielPlusaufgaben geschickt: vertauschen und zusammenfassen

Rechne geschickt: 15 + 84 + 5
15845
Schritt für Schritt
  1. Vertauschen: 15 + 5 + 84
  2. 15 + 5 = 20
  3. 20 + 84 = 104
  1. Vertauschen: 15 + 5 + 84
  2. 15 + 5 = 20
  3. 20 + 84 = 104
Ergebnis:
104

AchtungBeim Minus oder Geteilt vertauscht

So nicht
50 − 20 − 10: erst 20 − 10 = 10, dann 50 − 10 = 40
So richtig
50 − 20 − 10 = 30 − 10 = 20

Vertauschen ist nur beim Plus und beim Mal erlaubt. 20 − 5 ist nicht 5 − 20.

ÜbenJetzt du

  1. ○1
    Tom rechnet 16 + 69 + 14 von links nach rechts. Zeige einen schnelleren Weg mit einem Rechenvorteil.
    166914
    So fängst du an:
    Vertauschen: 16 + 14 + 69
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 16 + 14 + 69
    2. 16 + 14 = 30
    3. 30 + 69 = 99
    Ergebnis:
    99
  2. ●2
    Mia rechnet 35 + 34 + 15 von links nach rechts. Zeige einen schnelleren Weg mit einem Rechenvorteil.
    353415
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 35 + 15 + 34
    2. 35 + 15 = 50
    3. 50 + 34 = 84
    Ergebnis:
    84
  3. ★3
    Welche Zahlen fasst du bei 207 + 171 + 36 + 793 + 64 zuerst zusammen? Begründe. Rechne danach.
    2071713679364
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 207 + 793 + 36 + 64 + 171
    2. 207 + 793 = 1000 und 36 + 64 = 100
    3. Zusammen glatt, der Rest ist leicht: 1000 + 100 + 171 = 1271
    Ergebnis:
    1271

2Ich verändere Summen gegensinnig und Differenzen gleichsinnig.

EntdeckenFrage

Warum rechnen Kassiererinnen 3,99 € mal 4 schneller als ein Kunde mit Papier?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Sie rechnen 4 mal 4 € und ziehen dann 4 Cent ab: 16,00 € − 0,04 € = 15,96 €. Das ist Zerlegen: 3,99 ist 4 minus 1 Cent. Der Rechenweg ist kurz, weil er über die glatte Zahl geht.

MerkenGegensinnig und gleichsinnig

Bei einer Summe gibt ein Summand ab, was der andere bekommt.

Bei einer Differenz ändern sich beide Zahlen gleich, der Abstand bleibt.

BeispielSummen gegensinnig verändern

Rechne geschickt durch gegensinniges Verändern: 98 + 28
9828
Schritt für Schritt
  1. 98 bekommt 2 dazu, 28 gibt 2 ab.
  2. 98 + 28 = 100 + 26
  3. 100 + 26 = 126
  1. 98 bekommt 2 dazu, 28 gibt 2 ab.
  2. 98 + 28 = 100 + 26
  3. 100 + 26 = 126
Ergebnis:
126

AchtungNur eine Zahl verändert

So nicht
143 − 97: 143 − 100 = 43
So richtig
143 − 97 = 146 − 100 = 46

Bei der Summe gegensinnig, bei der Differenz gleichsinnig: Immer beide Zahlen verändern.

ÜbenJetzt du

  1. ○4
    Rechne geschickt durch gegensinniges Verändern: 99 + 79
    9979
    So fängst du an:
    99 bekommt 1 dazu, 79 gibt 1 ab.
    Lösung zeigen
    1. 99 bekommt 1 dazu, 79 gibt 1 ab.
    2. 99 + 79 = 100 + 78
    3. 100 + 78 = 178
    Ergebnis:
    178
  2. ●5
    Rechne geschickt durch gegensinniges Verändern: 48 + 39
    4839
    Lösung zeigen
    1. 48 bekommt 2 dazu, 39 gibt 2 ab.
    2. 48 + 39 = 50 + 37
    3. 50 + 37 = 87
    Ergebnis:
    87
  3. ★6
    Lea rechnet 697 + 677 als 700 + 677. Was muss Lea danach noch tun? Was kommt heraus?
    697677
    Lösung zeigen
    1. Lea hat 697 um 3 vergrößert.
    2. Die Summe ist dadurch um 3 zu groß: 700 + 677 = 1377.
    3. 3 wieder abziehen: 1377 − 3 = 1374
    Ergebnis:
    1374

3Ich nehme halbschriftlich mal, indem ich einen Faktor zerlege.

EntdeckenFrage

Wie haben Bauern in Russland früher ohne Einmaleins multipliziert?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Sie haben eine Zahl immer halbiert und die andere verdoppelt, bis links eine 1 stand. Dann addierten sie die rechten Zahlen der Zeilen mit ungerader linker Zahl. Das Verfahren heißt russische Bauernmultiplikation und nutzt, dass Verdoppeln und Halbieren das Produkt nicht ändert.

Ausprobieren: Malnehmen am Rechteck

Länge und Höhe in Teile zerlegen – das Rechteck zerfällt in Teilrechtecke, und jedes ist eine leichte Malaufgabe.

MerkenMalnehmen mit Zerlegen

Einen Faktor zerlegen, jeden Teil malnehmen und die Teilergebnisse addieren.

So wird 7 · 48 zu 7 · 40 + 7 · 8.

BeispielHalbschriftlich malnehmen mit Zerlegen

Rechne geschickt über die glatte Zahl: 3 · 29
Schritt für Schritt
  1. 29 = 30 − 1
  2. 3 · 30 = 90 und 3 · 1 = 3
  3. 90 − 3 = 87
  1. 29 = 30 − 1
  2. 3 · 30 = 90 und 3 · 1 = 3
  3. 90 − 3 = 87
Ergebnis:
87

AchtungBeim Zerlegen einen Teil vergessen

So nicht
7 · 48: 7 · 40 + 8 = 288
So richtig
7 · 48 = 7 · 40 + 7 · 8 = 280 + 56 = 336

Jeder Teil des zerlegten Faktors wird malgenommen, nicht nur der erste.

ÜbenJetzt du

  1. ○7
    Es gibt 8 Reihen mit je 55 Stühle. Wie viele Stühle sind es? Rechne halbschriftlich.
    So fängst du an:
    8 · 55
    Lösung zeigen
    1. 8 · 55
    2. 55 = 50 + 5
    3. 8 · 50 = 400 und 8 · 5 = 40
    4. 400 + 40 = 440
    Ergebnis:
    440 Stühle
  2. ●8
    Rechne geschickt über die glatte Zahl: 3 · 19
    Lösung zeigen
    1. 19 = 20 − 1
    2. 3 · 20 = 60 und 3 · 1 = 3
    3. 60 − 3 = 57
    Ergebnis:
    57
  3. ★9
    Rechne geschickt über die glatte Zahl: 6 · 39
    Lösung zeigen
    1. 39 = 40 − 1
    2. 6 · 40 = 240 und 6 · 1 = 6
    3. 240 − 6 = 234
    Ergebnis:
    234

4Ich dividiere halbschriftlich, indem ich die Zahl geschickt zerlege.

EntdeckenFrage

Warum ist 25 mal 4 ein Lieblingspaar beim Kopfrechnen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

25 mal 4 ergibt genau 100. Kommen 25 und 4 in einer Malaufgabe vor, fasst man sie zuerst zusammen. Aus 25 · 37 · 4 wird dann 100 · 37 = 3700, ganz ohne schriftliches Rechnen.

MerkenTeilen mit Zerlegen

Die Zahl so zerlegen, dass jeder Teil glatt aufgeht. So wird 385 : 7 zu 350 : 7 + 35 : 7.

BeispielHalbschriftlich dividieren

224 Bücher werden gleichmäßig auf 4 Regalböden aufgeteilt. Wie viele bekommt jeder Teil? Rechne halbschriftlich.
Schritt für Schritt
  1. 224 : 4
  2. 224 = 200 + 24
  3. 200 : 4 = 50 und 24 : 4 = 6
  4. 50 + 6 = 56
  1. 224 : 4
  2. 224 = 200 + 24
  3. 200 : 4 = 50 und 24 : 4 = 6
  4. 50 + 6 = 56
Ergebnis:
56 Bücher

AchtungBeim Teilen nicht passend zerlegt

So nicht
385 : 7: 300 : 7 geht nicht glatt → aufgegeben
So richtig
385 : 7 = 350 : 7 + 35 : 7 = 50 + 5 = 55

Jeder Teil muss sich glatt teilen lassen. Erst ein großes Vielfaches abspalten.

ÜbenJetzt du

  1. ○10
    Rechne halbschriftlich: 476 : 7
    So fängst du an:
    476 = 420 + 56
    Lösung zeigen
    1. 476 = 420 + 56
    2. 420 : 7 = 60 und 56 : 7 = 8
    3. 60 + 8 = 68
    Ergebnis:
    68
  2. ●11
    Rechne halbschriftlich: 210 : 5
    Lösung zeigen
    1. 210 = 200 + 10
    2. 200 : 5 = 40 und 10 : 5 = 2
    3. 40 + 2 = 42
    Ergebnis:
    42
  3. ★12
    Zerlege 248 so in zwei Zahlen, dass du beide leicht durch 8 dividieren kannst. Was ergibt 248 : 8?
    248: 8
    Lösung zeigen
    1. 248 = 240 + 8
    2. 240 : 8 = 30 und 8 : 8 = 1
    3. 30 + 1 = 31
    Ergebnis:
    31

5Ich finde Aufgaben mit gleichem Ergebnis und vergleiche Rechenausdrücke.

EntdeckenFrage

Warum stimmt der Trick „mal 9 ist mal 10 minus einmal“ immer?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Neunmal eine Zahl ist zehnmal die Zahl minus einmal die Zahl. So wird 9 · 47 zu 470 − 47 = 423. Das ist das Verteilungsgesetz: 9 ist 10 minus 1.

MerkenAusdrücke mit gleichem Wert

Verschiedene Rechenausdrücke können denselben Wert haben.

Wer die Rechengesetze nutzt, sieht das oft ohne Ausrechnen.

BeispielAufgaben mit gleichem Ergebnis

Ergänze die Lücke: 23 + 56 = 21 + ___
23 + 56=21 + ?
Schritt für Schritt
  1. 23 wird zu 21: 2 weniger.
  2. Damit die Summe gleich bleibt, wird 56 um 2 größer.
  3. 56 + 2 = 58
  1. 23 wird zu 21: 2 weniger.
  2. Damit die Summe gleich bleibt, wird 56 um 2 größer.
  3. 56 + 2 = 58
Ergebnis:
58

AchtungPunkt vor Strich missachtet

So nicht
9 + 5 · 7 = 14 · 7 = 98
So richtig
9 + 5 · 7 = 9 + 35 = 44

Klammer zuerst, dann Mal und Geteilt, dann Plus und Minus.

ÜbenJetzt du

  1. ○13
    Welche Zahl fehlt? Rechne nicht beide Seiten aus. 77 + 37 = 80 + ___
    So fängst du an:
    77 wird zu 80: 3 mehr.
    Lösung zeigen
    1. 77 wird zu 80: 3 mehr.
    2. Damit die Summe gleich bleibt, wird 37 um 3 kleiner.
    3. 37 − 3 = 34
    Ergebnis:
    34
  2. ●14
    Welche Zahl fehlt? Rechne nicht beide Seiten aus. 6 · 10 = 3 · ___
    Lösung zeigen
    1. 6 wird halb so groß: 3.
    2. Damit das Ergebnis gleich bleibt, wird 10 doppelt so groß.
    3. 10 · 2 = 20
    Ergebnis:
    20
  3. ★15
    Ergänze die Lücke: 56 − 43 = ___ − 48
    Lösung zeigen
    1. 43 wird zu 48: 5 mehr.
    2. Damit der Abstand bleibt, wird auch 56 um 5 größer.
    3. 56 + 5 = 61
    Ergebnis:
    61

6Ich rechne mit Verdoppeln und Halbieren und prüfe, ob das Ergebnis gleich bleibt.

EntdeckenFrage

Wie merkt man in Sekunden, dass 98 · 102 nicht 99.960 sein kann?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Man rechnet nicht, man überschlägt: 100 · 100 = 10.000. Das Ergebnis muss also in der Nähe von 10.000 liegen. 99.960 ist fast zehnmal so groß und kann nicht stimmen. Richtig ist 9996.

MerkenVerdoppeln und halbieren

Wird ein Faktor verdoppelt und der andere halbiert, bleibt das Produkt gleich.

Werden beide verdoppelt, wird es viermal so groß.

BeispielVerdoppeln und Halbieren

Tom verdoppelt bei 16 · 5 beide Faktoren und rechnet 32 · 10. Bleibt das Ergebnis gleich?
Schritt für Schritt
  1. Einmal verdoppeln macht das Ergebnis doppelt so groß, zweimal viermal so groß.
  2. 32 · 10 = 320, aber 16 · 5 = 80
  3. Richtig ist: einen verdoppeln, den anderen halbieren.
  1. Einmal verdoppeln macht das Ergebnis doppelt so groß, zweimal viermal so groß.
  2. 32 · 10 = 320, aber 16 · 5 = 80
  3. Richtig ist: einen verdoppeln, den anderen halbieren.
Ergebnis:
Nein, viermal so groß; richtig ist 80

AchtungBeide Faktoren verdoppelt

So nicht
8 · 25 → 16 · 50 = 800
So richtig
8 · 25 → 4 · 50 = 200

Nur einer wird verdoppelt, der andere halbiert. Sonst ändert sich das Ergebnis.

ÜbenJetzt du

  1. ○16
    Warum ist 16 · 5 dasselbe wie 8 · 10? Rechne dann geschickt.
    So fängst du an:
    Halb so viele Reihen, jede doppelt so lang: gleich viele Kästchen.
    Lösung zeigen
    1. Halb so viele Reihen, jede doppelt so lang: gleich viele Kästchen.
    2. 16 · 5 = 8 · 10
    3. 8 · 10 = 80
    Ergebnis:
    80
  2. ●17
    Warum ist 14 · 5 dasselbe wie 7 · 10? Rechne dann geschickt.
    Lösung zeigen
    1. Halb so viele Reihen, jede doppelt so lang: gleich viele Kästchen.
    2. 14 · 5 = 7 · 10
    3. 7 · 10 = 70
    Ergebnis:
    70
  3. ★18
    Rechne geschickt: Halbiere den einen Faktor und verdopple den anderen. 12 · 75
    Lösung zeigen
    1. 12 · 75 = 6 · 150
    2. 6 · 150 = 900
    Ergebnis:
    900

7Ich wähle zu einer Aufgabe den passenden Rechenweg.

EntdeckenFrage

Wie rechnen Darts-Profis blitzschnell aus, wie viele Punkte ihnen von 501 noch fehlen, wenn sie 140 geworfen haben?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Der geschickte Weg nimmt erst eine runde Zahl. 500 − 140 = 360, und der eine Extrapunkt kommt dazu: 361. Das geht schneller als 501 − 140 Stelle für Stelle. Am Ergebnis ändert der Weg nichts.

MerkenDen passenden Weg wählen

Vor dem Rechnen die Zahlen ansehen.

Liegt eine Zahl nahe an einer glatten, lohnt sich ein Vorteil, sonst rechnet man schriftlich.

BeispielDen passenden Rechenweg wählen

Welchen Rechenvorteil nutzt du bei 9 · 70? Nenne ihn. Rechne danach.
9 · 70zerlegenhalbieren und verdoppelnschriftlich
Schritt für Schritt
  1. Den zweiten Faktor zerlegen: 70 = 70 + 0.
  2. 9 · 70 = 630 und 9 · 0 = 0
  3. Zusammen: 630
  1. Den zweiten Faktor zerlegen: 70 = 70 + 0.
  2. 9 · 70 = 630 und 9 · 0 = 0
  3. Zusammen: 630
Ergebnis:
zerlegen, 630

AchtungUmständlichen Weg gewählt

So nicht
299 + 158 schriftlich untereinander gerechnet, dabei verrechnet: 447
So richtig
299 + 158 = 300 + 157 = 457

Erst die Zahlen ansehen: Liegt eine nahe an einer glatten Zahl?

ÜbenJetzt du

  1. ○19
    Welchen Rechenvorteil nutzt du bei 18 · 5? Nenne ihn. Rechne danach.
    18 · 5zerlegenhalbieren und verdoppelnschriftlich
    So fängst du an:
    5 wird verdoppelt glatt: halbieren und verdoppeln.
    Lösung zeigen
    1. 5 wird verdoppelt glatt: halbieren und verdoppeln.
    2. 18 · 5 = 9 · 10
    3. 9 · 10 = 90
    Ergebnis:
    halbieren und verdoppeln, 90
  2. ●20
    Wie rechnest du am schnellsten: 14 · 5? Nenne ihn. Rechne danach.
    Lösung zeigen
    1. 5 wird verdoppelt glatt: halbieren und verdoppeln.
    2. 14 · 5 = 7 · 10
    3. 7 · 10 = 70
    Ergebnis:
    halbieren und verdoppeln, 70
  3. ★21
    Wie rechnest du am schnellsten: 42 + 63 + 58? Nenne ihn. Rechne danach.
    Lösung zeigen
    1. Zwei Zahlen ergeben zusammen 100: vertauschen und zusammenfassen.
    2. 42 + 58 = 100
    3. 100 + 63 = 163
    Ergebnis:
    vertauschen, 163

8Ich finde Rechenfehler mit Überschlag und Umkehraufgabe.

EntdeckenFrage

Warum zählt man Rückgeld vom Preis aus nach oben, statt abzuziehen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Wer 13,40 € zahlen muss und 20 € gibt, bekommt 20 − 13,40 = 6,60 € zurück. Beim Hochzählen rechnet man die Umkehraufgabe: 13,40 + 6,60 = 20. Kommt man genau auf den gegebenen Betrag, stimmt das Rückgeld.

MerkenÜberschlag und Umkehraufgabe

Ein Überschlag mit runden Zahlen zeigt, ob ein Ergebnis stimmen kann.

Die Umkehraufgabe prüft es genau.

BeispielRechenfehler mit Überschlag und Umkehraufgabe finden

Ben erhält für 83 · 21 das Ergebnis 1643. Prüfe mit einem Überschlag.
Schritt für Schritt
  1. Überschlag: 80 · 20 = 1600
  2. 1643 liegt in der Nähe. Genau rechnen: 83 · 21 = 1743
  3. Das Ergebnis ist falsch.
  1. Überschlag: 80 · 20 = 1600
  2. 1643 liegt in der Nähe. Genau rechnen: 83 · 21 = 1743
  3. Das Ergebnis ist falsch.
Ergebnis:
falsch, richtig ist 1743

AchtungErgebnis nicht geprüft

So nicht
425 : 5 = 805, ohne Probe ins Heft
So richtig
425 : 5 → Überschlag 400 : 5 = 80 → 85, Probe 85 · 5 = 425

Mit einem Überschlag prüfen, ob die Größenordnung stimmt, dann mit der Umkehraufgabe.

ÜbenJetzt du

  1. ○22
    Tom rechnet 670 − 317 und erhält 353. Prüfe mit der Umkehraufgabe.
    So fängst du an:
    Umkehraufgabe: 353 + 317 = 670
    Lösung zeigen
    1. Umkehraufgabe: 353 + 317 = 670
    2. 670 ist genau 670: Es stimmt.
    3. 670 − 317 = 353
    Ergebnis:
    stimmt, 353
  2. ●23
    Hanna erhält für 36 · 22 das Ergebnis 792. Prüfe mit einem Überschlag.
    Lösung zeigen
    1. Überschlag: 40 · 20 = 800
    2. 792 liegt in der Nähe. Genau rechnen: 36 · 22 = 792
    3. Das Ergebnis stimmt.
    Ergebnis:
    stimmt, 792
  3. ★24
    Emma rechnet 4088 : 7 und erhält 586. Prüfe mit der Umkehraufgabe.
    4088 : 7Ergebnis 586?
    Lösung zeigen
    1. Umkehraufgabe: 586 · 7 = 4102
    2. 4102 ist nicht 4088: Es ist falsch.
    3. 4088 : 7 = 584
    Ergebnis:
    falsch, richtig ist 584

Vermischte Übungen

Alles durcheinander – wie in der Arbeit. Überleg bei jeder Aufgabe zuerst: Welches Ziel ist das?

Üben

  1. ●25
    Welche Zahlen fasst du bei 27 + 76 + 3 zuerst zusammen? Begründe. Rechne danach.
    27763
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 27 + 3 + 76
    2. 27 + 3 = 30
    3. Zusammen glatt, der Rest ist leicht: 30 + 76 = 106
    Ergebnis:
    106
  2. ●26
    In einem Lager stehen 5 Regale mit je 2 Kartons. In jedem Karton sind 18 Bälle. Wie viele Bälle sind es? Rechne geschickt.
    5 Regale2 Kartons18 Bälle
    Lösung zeigen
    1. Bälle: 5 · 2 · 18
    2. 5 · 2 = 10
    3. 10 · 18 = 180
    Ergebnis:
    180 Bälle
  3. ●27
    Rechne geschickt durch gegensinniges Verändern: 39 + 97
    3997
    Lösung zeigen
    1. 39 bekommt 1 dazu, 97 gibt 1 ab.
    2. 39 + 97 = 40 + 96
    3. 40 + 96 = 136
    Ergebnis:
    136
  4. ●28
    Ergänze so, dass die Differenz gleich bleibt: 216 − 197 = ___ − 200
    Lösung zeigen
    1. 197 wird zu 200: 3 mehr.
    2. Damit der Abstand bleibt, wird auch 216 um 3 größer: 219.
    3. 219 − 200 = 19
    Ergebnis:
    219
  5. ●29
    Ein Rechteck hat 5 Reihen mit je 27 Kästchen. Die rote Linie teilt es. Wie viele Kästchen sind es?
    2075
    Lösung zeigen
    1. Linker Teil: 5 · 20 = 100
    2. Rechter Teil: 5 · 7 = 35
    3. Zusammen: 100 + 35 = 135
    Ergebnis:
    135 Kästchen
  6. ●30
    91 Sticker werden gleichmäßig auf 7 Kinder aufgeteilt. Wie viele bekommt jeder Teil? Rechne halbschriftlich.
    Lösung zeigen
    1. 91 : 7
    2. 91 = 70 + 21
    3. 70 : 7 = 10 und 21 : 7 = 3
    4. 10 + 3 = 13
    Ergebnis:
    13 Sticker

Auf einen Blick

MerkenDas Wichtigste

Vertauschen und zusammenfassen
Beim Plus und beim Mal darf man die Zahlen vertauschen und anders zusammenfassen.
Gegensinnig und gleichsinnig
Bei einer Summe gibt ein Summand ab, was der andere bekommt.
Malnehmen mit Zerlegen
Einen Faktor zerlegen, jeden Teil malnehmen und die Teilergebnisse addieren.
Teilen mit Zerlegen
Die Zahl so zerlegen, dass jeder Teil glatt aufgeht. So wird 385 : 7 zu 350 : 7 + 35 : 7.
Ausdrücke mit gleichem Wert
Verschiedene Rechenausdrücke können denselben Wert haben.
Verdoppeln und halbieren
Wird ein Faktor verdoppelt und der andere halbiert, bleibt das Produkt gleich.
Den passenden Weg wählen
Vor dem Rechnen die Zahlen ansehen.
Überschlag und Umkehraufgabe
Ein Überschlag mit runden Zahlen zeigt, ob ein Ergebnis stimmen kann.

Kannst du das?

Je Ziel eine Aufgabe. Rechne sie ins Heft, dann kreuz ehrlich an. Keine Punkte, keine Note – der Test ist für dich.

ÜbenSelbsttest

  1. Ich rechne Plusaufgaben und Malaufgaben geschickt durch Vertauschen und Zusammenfassen.

    31
    Welche Zahlen fasst du bei 22 + 77 + 18 zuerst zusammen? Begründe. Rechne danach.
    227718
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    117

  2. Ich verändere Summen gegensinnig und Differenzen gleichsinnig.

    32
    Jonas rechnet 39 + 68 als 40 + 68. Was muss Jonas danach noch tun? Was kommt heraus?
    3968
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    107

  3. Ich nehme halbschriftlich mal, indem ich einen Faktor zerlege.

    33
    Rechne geschickt über die glatte Zahl: 7 · 19
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    133

  4. Ich dividiere halbschriftlich, indem ich die Zahl geschickt zerlege.

    34
    177 Bücher werden gleichmäßig auf 3 Regalböden aufgeteilt. Wie viele bekommt jeder Teil? Rechne halbschriftlich.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    59 Bücher

  5. Ich finde Aufgaben mit gleichem Ergebnis und vergleiche Rechenausdrücke.

    35
    Ergänze die Lücke: 18 · 4 = 9 · ___
    18 · 4=9 · ?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    8

  6. Ich rechne mit Verdoppeln und Halbieren und prüfe, ob das Ergebnis gleich bleibt.

    36
    Rechne geschickt: Halbiere den einen Faktor und verdopple den anderen. 12 · 15
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    180

  7. Ich wähle zu einer Aufgabe den passenden Rechenweg.

    37
    Welcher Weg passt zu 16 · 25? Nenne ihn. Rechne danach.
    16 · 25zerlegenhalbieren und verdoppelnschriftlich
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    halbieren und verdoppeln, 400

  8. Ich finde Rechenfehler mit Überschlag und Umkehraufgabe.

    38
    Noah rechnet 698 − 494 und erhält 214. Prüfe mit der Umkehraufgabe.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    falsch, richtig ist 204

Bei „unsicher“ oder „noch nicht“: Lies den Abschnitt zum Ziel noch einmal und rechne seine drei Aufgaben.

Die Frage vom Anfang

EntdeckenRückschau

Rechne im Kopf, so schnell du kannst: 25 · 17 · 4. Schreib nichts auf und nimm keinen Taschenrechner.

Lies deine Vermutung vom Anfang. Kannst du die Frage jetzt mit dem Kapitel beantworten?

Auflösung

Mit dem Werkzeug aus diesem Kapitel: Vertauschen und Zusammenfassen: erst die Zahlen, die zusammen glatt werden.

Wo brauchst du das?

Entdecken

Preise im Kopf addieren, Rückgeld überschlagen, Mengen für ein Fest ausrechnen. Beruf: Kasse und Verkauf, Handwerk beim Materialberechnen, Lager und Versand.

Wörter

Differenz
was übrig bleibt, wenn man abzieht
Gleichung
zwei Rechnungen, die gleich viel wert sind
Produkt
was herauskommt, wenn man malnimmt
Summe
was herauskommt, wenn man zusammenzählt
Teiler
eine Zahl, durch die es ohne Rest aufgeht

Wie es zusammenhängt

Das brauchst du vorher: Rechenregeln, Teiler und Vielfache, Natürliche Zahlen und Stellenwert

Darauf baut auf: Sachaufgaben lösen

Lösungen

  1. 99
  2. 84
  3. 1271
  4. 178
  5. 87
  6. 1374
  7. 440 Stühle
  8. 57
  9. 234
  10. 68
  11. 42
  12. 31
  13. 34
  14. 20
  15. 61
  16. 80
  17. 70
  18. 900
  19. halbieren und verdoppeln, 90
  20. halbieren und verdoppeln, 70
  21. vertauschen, 163
  22. stimmt, 353
  23. stimmt, 792
  24. falsch, richtig ist 584
  25. 106
  26. 180 Bälle
  27. 136
  28. 219
  29. 135 Kästchen
  30. 13 Sticker
  31. 117
  32. 107
  33. 133
  34. 59 Bücher
  35. 8
  36. 180
  37. halbieren und verdoppeln, 400
  38. falsch, richtig ist 204
  39. 24
  40. 48
  41. 37
  42. 26