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Mathematik · Klasse 5 · Kapitel

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Rechengesetze und Rechenvorteile

EntdeckenDie Frage zum Kapitel

Rechne im Kopf, so schnell du kannst: 25 · 17 · 4. Schreib nichts auf und nimm keinen Taschenrechner.

Schreib eine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Für die Lehrkraft: Die meisten rechnen von links: 25 · 17 und kommen durcheinander. Andere geben auf oder raten. Nur wenige sehen, dass 25 und 4 zusammen 100 ergeben. Beim Malnehmen darf man die Zahlen vertauschen. Dann steht 25 · 4 · 17 da, also 100 · 17. Das Ergebnis ist 1700, in einer Sekunde.

  • Entdecken Frage, Vorstellung, Bild
  • Merken kommt ins Heft
  • Beispiel vorgerechnet, Schritt für Schritt
  • Üben selbst rechnen
  • Achtung typischer Fehler
  • Weiterdenken zum Knobeln und Vernetzen

○ mit Starthilfe, ● für alle, ★ zum Weiterdenken. Du wählst mindestens eine ★-Aufgabe. Du rechnest ins Heft.

Fit für das Kapitel?

Das brauchst du aus früheren Themen. Klappt es nicht, frag nach, bevor es losgeht.

ÜbenWeißt du das noch?

Punkt vor Strich und Klammer zuerst – so steht es seit Klasse 4 im Heft.

  1. ●39
    Rechne: 49 − 3 · 6
    Lösung zeigen
    1. Punkt vor Strich: erst 3 · 6 = 18
    2. 49 − 18 = 31
    Ergebnis:
    31
  2. ●40
    Rechne: (6 + 4) · 9
    Lösung zeigen
    1. Die Klammer zuerst: 6 + 4 = 10
    2. 10 · 9 = 90
    Ergebnis:
    90

ÜbenWeißt du das noch?

Punkt vor Strich und Klammer zuerst – die Reihenfolge entscheidet über das Ergebnis.

  1. ●41
    Berechne: 10 + 4 · 7
    Lösung zeigen
    1. Punkt vor Strich: erst 4 · 7 = 28
    2. 10 + 28 = 38
    Ergebnis:
    38
  2. ●42
    Ich denke mir eine Zahl, addiere 11 und erhalte 18. Welche Zahl war es? (Umkehraufgabe)
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    7

So kannst du es dir vorstellen

EntdeckenZahlen umbauen, ohne den Wert zu ändern

Eine Rechnung lässt sich umbauen, ohne dass sich ihr Wert ändert. Zahlen tauschen die Plätze, bilden neue Gruppen oder werden zerlegt. Wer das sieht, rechnet mit glatten Zahlen statt mit krummen.

17 plus 38 plus 3: Erst 17 und 3 zu 20 zusammenfassen, dann 20 plus 38 sind 5817 + 38 + 317 + 3 = 20= 20 + 38 = 58

WeiterdenkenDenk nach

Warum darf man bei 25 + 38 + 75 zuerst 25 und 75 addieren, bei 50 − 20 − 10 aber nicht zuerst 20 − 10?

1Ich rechne Plusaufgaben und Malaufgaben geschickt durch Vertauschen und Zusammenfassen.

EntdeckenFrage

Wie konnte der neunjährige Carl Friedrich Gauß die Zahlen von 1 bis 100 in wenigen Minuten addieren?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Er hat die Zahlen in Paare umsortiert: 1 und 100, 2 und 99, 3 und 98. Jedes Paar ergibt 101, und es sind 50 Paare. Also 50 · 101 = 5050. Er hat nur vertauscht und neu zusammengefasst.

MerkenVertauschen und zusammenfassen

Beim Plus und beim Mal darf man die Zahlen vertauschen und anders zusammenfassen.

Erst die Zahlen nehmen, die zusammen glatt werden.

BeispielPlusaufgaben geschickt: vertauschen und zusammenfassen

Welche Zahlen fasst du bei 27 + 55 + 13 zuerst zusammen? Begründe. Rechne danach.
275513
Schritt für Schritt
  1. Vertauschen: 27 + 13 + 55
  2. 27 + 13 = 40
  3. Zusammen glatt, der Rest ist leicht: 40 + 55 = 95
  1. Vertauschen: 27 + 13 + 55
  2. 27 + 13 = 40
  3. Zusammen glatt, der Rest ist leicht: 40 + 55 = 95
Ergebnis:
95

AchtungBeim Minus oder Geteilt vertauscht

So nicht
50 − 20 − 10: erst 20 − 10 = 10, dann 50 − 10 = 40
So richtig
50 − 20 − 10 = 30 − 10 = 20

Vertauschen ist nur beim Plus und beim Mal erlaubt. 20 − 5 ist nicht 5 − 20.

ÜbenJetzt du

  1. ○1
    Welche Zahlen fasst du bei 33 + 61 + 17 zuerst zusammen? Begründe. Rechne danach.
    336117
    So fängst du an:
    Vertauschen: 33 + 17 + 61
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 33 + 17 + 61
    2. 33 + 17 = 50
    3. Zusammen glatt, der Rest ist leicht: 50 + 61 = 111
    Ergebnis:
    111
  2. ●2
    Elias rechnet 9 + 45 + 21 von links nach rechts. Zeige einen schnelleren Weg mit einem Rechenvorteil.
    94521
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 9 + 21 + 45
    2. 9 + 21 = 30
    3. 30 + 45 = 75
    Ergebnis:
    75
  3. ★3
    Rechne geschickt: 92 + 305 + 77 + 108 + 23
    923057710823
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 92 + 108 + 77 + 23 + 305
    2. 92 + 108 = 200 und 77 + 23 = 100
    3. 200 + 100 + 305 = 605
    Ergebnis:
    605

2Ich verändere Summen gegensinnig und Differenzen gleichsinnig.

EntdeckenFrage

Warum rechnen Kassiererinnen 3,99 € mal 4 schneller als ein Kunde mit Papier?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Sie rechnen 4 mal 4 € und ziehen dann 4 Cent ab: 16,00 € − 0,04 € = 15,96 €. Das ist Zerlegen: 3,99 ist 4 minus 1 Cent. Der Rechenweg ist kurz, weil er über die glatte Zahl geht.

MerkenGegensinnig und gleichsinnig

Bei einer Summe gibt ein Summand ab, was der andere bekommt.

Bei einer Differenz ändern sich beide Zahlen gleich, der Abstand bleibt.

BeispielSummen gegensinnig verändern

Rechne geschickt durch gegensinniges Verändern: 68 + 34
6834
Schritt für Schritt
  1. 68 bekommt 2 dazu, 34 gibt 2 ab.
  2. 68 + 34 = 70 + 32
  3. 70 + 32 = 102
  1. 68 bekommt 2 dazu, 34 gibt 2 ab.
  2. 68 + 34 = 70 + 32
  3. 70 + 32 = 102
Ergebnis:
102

AchtungNur eine Zahl verändert

So nicht
143 − 97: 143 − 100 = 43
So richtig
143 − 97 = 146 − 100 = 46

Bei der Summe gegensinnig, bei der Differenz gleichsinnig: Immer beide Zahlen verändern.

ÜbenJetzt du

  1. ○4
    Paul rechnet 199 + 55 als 200 + 55. Was muss Paul danach noch tun? Was kommt heraus?
    19955
    So fängst du an:
    Paul hat 199 um 1 vergrößert.
    Lösung zeigen
    1. Paul hat 199 um 1 vergrößert.
    2. Die Summe ist dadurch um 1 zu groß: 200 + 55 = 255.
    3. 1 wieder abziehen: 255 − 1 = 254
    Ergebnis:
    254
  2. ●5
    Sofia rechnet 98 + 53 als 100 + 53. Was muss Sofia danach noch tun? Was kommt heraus?
    9853
    Lösung zeigen
    1. Sofia hat 98 um 2 vergrößert.
    2. Die Summe ist dadurch um 2 zu groß: 100 + 53 = 153.
    3. 2 wieder abziehen: 153 − 2 = 151
    Ergebnis:
    151
  3. ★6
    Rechne geschickt durch gegensinniges Verändern: 398 + 897
    398897
    Lösung zeigen
    1. 398 bekommt 2 dazu, 897 gibt 2 ab.
    2. 398 + 897 = 400 + 895
    3. 400 + 895 = 1295
    Ergebnis:
    1295

3Ich nehme halbschriftlich mal, indem ich einen Faktor zerlege.

EntdeckenFrage

Wie haben Bauern in Russland früher ohne Einmaleins multipliziert?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Sie haben eine Zahl immer halbiert und die andere verdoppelt, bis links eine 1 stand. Dann addierten sie die rechten Zahlen der Zeilen mit ungerader linker Zahl. Das Verfahren heißt russische Bauernmultiplikation und nutzt, dass Verdoppeln und Halbieren das Produkt nicht ändert.

Ausprobieren: Malnehmen am Rechteck

Länge und Höhe in Teile zerlegen – das Rechteck zerfällt in Teilrechtecke, und jedes ist eine leichte Malaufgabe.

MerkenMalnehmen mit Zerlegen

Einen Faktor zerlegen, jeden Teil malnehmen und die Teilergebnisse addieren.

So wird 7 · 48 zu 7 · 40 + 7 · 8.

BeispielHalbschriftlich malnehmen mit Zerlegen

Rechne geschickt über die glatte Zahl: 9 · 29
Schritt für Schritt
  1. 29 = 30 − 1
  2. 9 · 30 = 270 und 9 · 1 = 9
  3. 270 − 9 = 261
  1. 29 = 30 − 1
  2. 9 · 30 = 270 und 9 · 1 = 9
  3. 270 − 9 = 261
Ergebnis:
261

AchtungBeim Zerlegen einen Teil vergessen

So nicht
7 · 48: 7 · 40 + 8 = 288
So richtig
7 · 48 = 7 · 40 + 7 · 8 = 280 + 56 = 336

Jeder Teil des zerlegten Faktors wird malgenommen, nicht nur der erste.

ÜbenJetzt du

  1. ○7
    Rechne geschickt über die glatte Zahl: 4 · 19
    So fängst du an:
    19 = 20 − 1
    Lösung zeigen
    1. 19 = 20 − 1
    2. 4 · 20 = 80 und 4 · 1 = 4
    3. 80 − 4 = 76
    Ergebnis:
    76
  2. ●8
    Rechne geschickt über die glatte Zahl: 3 · 59
    Lösung zeigen
    1. 59 = 60 − 1
    2. 3 · 60 = 180 und 3 · 1 = 3
    3. 180 − 3 = 177
    Ergebnis:
    177
  3. ★9
    Rechne geschickt über die glatte Zahl: 6 · 19
    Lösung zeigen
    1. 19 = 20 − 1
    2. 6 · 20 = 120 und 6 · 1 = 6
    3. 120 − 6 = 114
    Ergebnis:
    114

4Ich dividiere halbschriftlich, indem ich die Zahl geschickt zerlege.

EntdeckenFrage

Warum ist 25 mal 4 ein Lieblingspaar beim Kopfrechnen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

25 mal 4 ergibt genau 100. Kommen 25 und 4 in einer Malaufgabe vor, fasst man sie zuerst zusammen. Aus 25 · 37 · 4 wird dann 100 · 37 = 3700, ganz ohne schriftliches Rechnen.

MerkenTeilen mit Zerlegen

Die Zahl so zerlegen, dass jeder Teil glatt aufgeht. So wird 385 : 7 zu 350 : 7 + 35 : 7.

BeispielHalbschriftlich dividieren

Rechne halbschriftlich: 69 : 3
Schritt für Schritt
  1. 69 = 60 + 9
  2. 60 : 3 = 20 und 9 : 3 = 3
  3. 20 + 3 = 23
  1. 69 = 60 + 9
  2. 60 : 3 = 20 und 9 : 3 = 3
  3. 20 + 3 = 23
Ergebnis:
23

AchtungBeim Teilen nicht passend zerlegt

So nicht
385 : 7: 300 : 7 geht nicht glatt → aufgegeben
So richtig
385 : 7 = 350 : 7 + 35 : 7 = 50 + 5 = 55

Jeder Teil muss sich glatt teilen lassen. Erst ein großes Vielfaches abspalten.

ÜbenJetzt du

  1. ○10
    164 Bücher werden gleichmäßig auf 4 Regalböden aufgeteilt. Wie viele bekommt jeder Teil? Rechne halbschriftlich.
    So fängst du an:
    164 : 4
    Lösung zeigen
    1. 164 : 4
    2. 164 = 160 + 4
    3. 160 : 4 = 40 und 4 : 4 = 1
    4. 40 + 1 = 41
    Ergebnis:
    41 Bücher
  2. ●11
    Rechne halbschriftlich: 472 : 8
    Lösung zeigen
    1. 472 = 400 + 72
    2. 400 : 8 = 50 und 72 : 8 = 9
    3. 50 + 9 = 59
    Ergebnis:
    59
  3. ★12
    Rechne halbschriftlich: 340 : 5
    Lösung zeigen
    1. 340 = 300 + 40
    2. 300 : 5 = 60 und 40 : 5 = 8
    3. 60 + 8 = 68
    Ergebnis:
    68

5Ich finde Aufgaben mit gleichem Ergebnis und vergleiche Rechenausdrücke.

EntdeckenFrage

Warum stimmt der Trick „mal 9 ist mal 10 minus einmal“ immer?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Neunmal eine Zahl ist zehnmal die Zahl minus einmal die Zahl. So wird 9 · 47 zu 470 − 47 = 423. Das ist das Verteilungsgesetz: 9 ist 10 minus 1.

MerkenAusdrücke mit gleichem Wert

Verschiedene Rechenausdrücke können denselben Wert haben.

Wer die Rechengesetze nutzt, sieht das oft ohne Ausrechnen.

BeispielAufgaben mit gleichem Ergebnis

Finde die fehlende Zahl mit einem Rechengesetz: 4 · 8 = 2 · ___
4 · 8=2 · ?
Schritt für Schritt
  1. 4 wird halb so groß: 2.
  2. Damit das Ergebnis gleich bleibt, wird 8 doppelt so groß.
  3. 8 · 2 = 16
  1. 4 wird halb so groß: 2.
  2. Damit das Ergebnis gleich bleibt, wird 8 doppelt so groß.
  3. 8 · 2 = 16
Ergebnis:
16

AchtungPunkt vor Strich missachtet

So nicht
9 + 5 · 7 = 14 · 7 = 98
So richtig
9 + 5 · 7 = 9 + 35 = 44

Klammer zuerst, dann Mal und Geteilt, dann Plus und Minus.

ÜbenJetzt du

  1. ○13
    Finde die fehlende Zahl mit einem Rechengesetz: 50 + 16 = 48 + ___
    50 + 16=48 + ?
    So fängst du an:
    50 wird zu 48: 2 weniger.
    Lösung zeigen
    1. 50 wird zu 48: 2 weniger.
    2. Damit die Summe gleich bleibt, wird 16 um 2 größer.
    3. 16 + 2 = 18
    Ergebnis:
    18
  2. ●14
    Finde die fehlende Zahl mit einem Rechengesetz: 27 + 46 = 29 + ___
    27 + 46=29 + ?
    Lösung zeigen
    1. 27 wird zu 29: 2 mehr.
    2. Damit die Summe gleich bleibt, wird 46 um 2 kleiner.
    3. 46 − 2 = 44
    Ergebnis:
    44
  3. ★15
    Finde die fehlende Zahl mit einem Rechengesetz: 54 − 42 = ___ − 52
    Lösung zeigen
    1. 42 wird zu 52: 10 mehr.
    2. Damit der Abstand bleibt, wird auch 54 um 10 größer.
    3. 54 + 10 = 64
    Ergebnis:
    64

6Ich rechne mit Verdoppeln und Halbieren und prüfe, ob das Ergebnis gleich bleibt.

EntdeckenFrage

Wie merkt man in Sekunden, dass 98 · 102 nicht 99.960 sein kann?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Man rechnet nicht, man überschlägt: 100 · 100 = 10.000. Das Ergebnis muss also in der Nähe von 10.000 liegen. 99.960 ist fast zehnmal so groß und kann nicht stimmen. Richtig ist 9996.

MerkenVerdoppeln und halbieren

Wird ein Faktor verdoppelt und der andere halbiert, bleibt das Produkt gleich.

Werden beide verdoppelt, wird es viermal so groß.

BeispielVerdoppeln und Halbieren

Rechne geschickt: Halbiere den einen Faktor und verdopple den anderen. 18 · 5
Schritt für Schritt
  1. 18 · 5 = 9 · 10
  2. 9 · 10 = 90
  1. 18 · 5 = 9 · 10
  2. 9 · 10 = 90
Ergebnis:
90

AchtungBeide Faktoren verdoppelt

So nicht
8 · 25 → 16 · 50 = 800
So richtig
8 · 25 → 4 · 50 = 200

Nur einer wird verdoppelt, der andere halbiert. Sonst ändert sich das Ergebnis.

ÜbenJetzt du

  1. ○16
    Sofia verdoppelt bei 16 · 25 beide Faktoren und rechnet 32 · 50. Bleibt das Ergebnis gleich?
    So fängst du an:
    Einmal verdoppeln macht das Ergebnis doppelt so groß, zweimal viermal so groß.
    Lösung zeigen
    1. Einmal verdoppeln macht das Ergebnis doppelt so groß, zweimal viermal so groß.
    2. 32 · 50 = 1600, aber 16 · 25 = 400
    3. Richtig ist: einen verdoppeln, den anderen halbieren.
    Ergebnis:
    Nein, viermal so groß; richtig ist 400
  2. ●17
    Warum ist 14 · 5 dasselbe wie 7 · 10? Rechne dann geschickt.
    Lösung zeigen
    1. Halb so viele Reihen, jede doppelt so lang: gleich viele Kästchen.
    2. 14 · 5 = 7 · 10
    3. 7 · 10 = 70
    Ergebnis:
    70
  3. ★18
    Ben verdoppelt bei 16 · 25 beide Faktoren und rechnet 32 · 50. Bleibt das Ergebnis gleich?
    Lösung zeigen
    1. Einmal verdoppeln macht das Ergebnis doppelt so groß, zweimal viermal so groß.
    2. 32 · 50 = 1600, aber 16 · 25 = 400
    3. Richtig ist: einen verdoppeln, den anderen halbieren.
    Ergebnis:
    Nein, viermal so groß; richtig ist 400

7Ich wähle zu einer Aufgabe den passenden Rechenweg.

EntdeckenFrage

Wie rechnen Darts-Profis blitzschnell aus, wie viele Punkte ihnen von 501 noch fehlen, wenn sie 140 geworfen haben?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Der geschickte Weg nimmt erst eine runde Zahl. 500 − 140 = 360, und der eine Extrapunkt kommt dazu: 361. Das geht schneller als 501 − 140 Stelle für Stelle. Am Ergebnis ändert der Weg nichts.

MerkenDen passenden Weg wählen

Vor dem Rechnen die Zahlen ansehen.

Liegt eine Zahl nahe an einer glatten, lohnt sich ein Vorteil, sonst rechnet man schriftlich.

BeispielDen passenden Rechenweg wählen

Welchen Rechenvorteil nutzt du bei 35 + 42 + 65? Nenne ihn. Rechne danach.
35 + 42 + 65zerlegenhalbieren und verdoppelnschriftlich
Schritt für Schritt
  1. Zwei Zahlen ergeben zusammen 100: vertauschen und zusammenfassen.
  2. 35 + 65 = 100
  3. 100 + 42 = 142
  1. Zwei Zahlen ergeben zusammen 100: vertauschen und zusammenfassen.
  2. 35 + 65 = 100
  3. 100 + 42 = 142
Ergebnis:
vertauschen, 142

AchtungUmständlichen Weg gewählt

So nicht
299 + 158 schriftlich untereinander gerechnet, dabei verrechnet: 447
So richtig
299 + 158 = 300 + 157 = 457

Erst die Zahlen ansehen: Liegt eine nahe an einer glatten Zahl?

ÜbenJetzt du

  1. ○19
    Welchen Rechenvorteil nutzt du bei 34 + 71 + 66? Nenne ihn. Rechne danach.
    34 + 71 + 66zerlegenhalbieren und verdoppelnschriftlich
    So fängst du an:
    Zwei Zahlen ergeben zusammen 100: vertauschen und zusammenfassen.
    Lösung zeigen
    1. Zwei Zahlen ergeben zusammen 100: vertauschen und zusammenfassen.
    2. 34 + 66 = 100
    3. 100 + 71 = 171
    Ergebnis:
    vertauschen, 171
  2. ●20
    Welcher Weg passt zu 23 + 22 + 77? Nenne ihn. Rechne danach.
    23 + 22 + 77zerlegenhalbieren und verdoppelnschriftlich
    Lösung zeigen
    1. Zwei Zahlen ergeben zusammen 100: vertauschen und zusammenfassen.
    2. 23 + 77 = 100
    3. 100 + 22 = 122
    Ergebnis:
    vertauschen, 122
  3. ★21
    Welcher Weg passt zu 29 + 53 + 71? Nenne ihn. Rechne danach.
    29 + 53 + 71zerlegenhalbieren und verdoppelnschriftlich
    Lösung zeigen
    1. Zwei Zahlen ergeben zusammen 100: vertauschen und zusammenfassen.
    2. 29 + 71 = 100
    3. 100 + 53 = 153
    Ergebnis:
    vertauschen, 153

8Ich finde Rechenfehler mit Überschlag und Umkehraufgabe.

EntdeckenFrage

Warum zählt man Rückgeld vom Preis aus nach oben, statt abzuziehen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Wer 13,40 € zahlen muss und 20 € gibt, bekommt 20 − 13,40 = 6,60 € zurück. Beim Hochzählen rechnet man die Umkehraufgabe: 13,40 + 6,60 = 20. Kommt man genau auf den gegebenen Betrag, stimmt das Rückgeld.

MerkenÜberschlag und Umkehraufgabe

Ein Überschlag mit runden Zahlen zeigt, ob ein Ergebnis stimmen kann.

Die Umkehraufgabe prüft es genau.

BeispielRechenfehler mit Überschlag und Umkehraufgabe finden

Paul rechnet 364 : 7 und erhält 52. Prüfe mit der Umkehraufgabe.
364 : 7Ergebnis 52?
Schritt für Schritt
  1. Umkehraufgabe: 52 · 7 = 364
  2. 364 ist genau 364: Es stimmt.
  3. 364 : 7 = 52
  1. Umkehraufgabe: 52 · 7 = 364
  2. 364 ist genau 364: Es stimmt.
  3. 364 : 7 = 52
Ergebnis:
stimmt, 52

AchtungErgebnis nicht geprüft

So nicht
425 : 5 = 805, ohne Probe ins Heft
So richtig
425 : 5 → Überschlag 400 : 5 = 80 → 85, Probe 85 · 5 = 425

Mit einem Überschlag prüfen, ob die Größenordnung stimmt, dann mit der Umkehraufgabe.

ÜbenJetzt du

  1. ○22
    Can erhält für 24 · 25 das Ergebnis 400. Prüfe mit einem Überschlag.
    So fängst du an:
    Überschlag: 20 · 30 = 600
    Lösung zeigen
    1. Überschlag: 20 · 30 = 600
    2. 400 liegt zu weit weg. Genau: 24 · 25 = 600
    3. Das Ergebnis ist falsch.
    Ergebnis:
    falsch, richtig ist 600
  2. ●23
    Aylin rechnet 336 : 6 und erhält 57. Prüfe mit der Umkehraufgabe.
    336 : 6Ergebnis 57?
    Lösung zeigen
    1. Umkehraufgabe: 57 · 6 = 342
    2. 342 ist nicht 336: Es ist falsch.
    3. 336 : 6 = 56
    Ergebnis:
    falsch, richtig ist 56
  3. ★24
    Paul erhält für 325 · 21 das Ergebnis 6825. Prüfe mit einem Überschlag.
    Lösung zeigen
    1. Überschlag: 300 · 20 = 6000
    2. 6825 liegt in der Nähe. Genau rechnen: 325 · 21 = 6825
    3. Das Ergebnis stimmt.
    Ergebnis:
    stimmt, 6825

Vermischte Übungen

Alles durcheinander – wie in der Arbeit. Überleg bei jeder Aufgabe zuerst: Welches Ziel ist das?

Üben

  1. ●25
    Jonas rechnet 55 + 84 + 5 von links nach rechts. Zeige einen schnelleren Weg mit einem Rechenvorteil.
    55845
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 55 + 5 + 84
    2. 55 + 5 = 60
    3. 60 + 84 = 144
    Ergebnis:
    144
  2. ●26
    Welche zwei Zahlen ergeben bei 9 · 5 · 2 zusammen eine glatte Zahl? Rechne damit.
    952
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 2 · 5 · 9
    2. 2 · 5 = 10
    3. 10 · 9 = 90
    Ergebnis:
    90
  3. ●27
    Ergänze so, dass die Summe gleich bleibt: 69 + 36 = 70 + ___
    6936
    Lösung zeigen
    1. 69 wird zu 70: 1 mehr.
    2. Also muss 36 um 1 kleiner werden: 36 − 1 = 35
    3. 70 + 35 = 105
    Ergebnis:
    35
  4. ●28
    Rechne geschickt durch gleichsinniges Verändern: 156 − 27
    Lösung zeigen
    1. Beide Zahlen um 3 vergrößern: Der Abstand bleibt gleich.
    2. 156 − 27 = 159 − 30
    3. 159 − 30 = 129
    Ergebnis:
    129
  5. ●29
    Rechne halbschriftlich: Zerlege den zweiten Faktor. 4 · 61
    Lösung zeigen
    1. 61 = 60 + 1
    2. 4 · 60 = 240 und 4 · 1 = 4
    3. 240 + 4 = 244
    Ergebnis:
    244
  6. ●30
    Ein Rechteck hat 6 Reihen mit je 15 Kästchen. Die rote Linie teilt es. Wie viele Kästchen sind es?
    1056
    Lösung zeigen
    1. Linker Teil: 6 · 10 = 60
    2. Rechter Teil: 6 · 5 = 30
    3. Zusammen: 60 + 30 = 90
    Ergebnis:
    90 Kästchen

Auf einen Blick

MerkenDas Wichtigste

Vertauschen und zusammenfassen
Beim Plus und beim Mal darf man die Zahlen vertauschen und anders zusammenfassen.
Gegensinnig und gleichsinnig
Bei einer Summe gibt ein Summand ab, was der andere bekommt.
Malnehmen mit Zerlegen
Einen Faktor zerlegen, jeden Teil malnehmen und die Teilergebnisse addieren.
Teilen mit Zerlegen
Die Zahl so zerlegen, dass jeder Teil glatt aufgeht. So wird 385 : 7 zu 350 : 7 + 35 : 7.
Ausdrücke mit gleichem Wert
Verschiedene Rechenausdrücke können denselben Wert haben.
Verdoppeln und halbieren
Wird ein Faktor verdoppelt und der andere halbiert, bleibt das Produkt gleich.
Den passenden Weg wählen
Vor dem Rechnen die Zahlen ansehen.
Überschlag und Umkehraufgabe
Ein Überschlag mit runden Zahlen zeigt, ob ein Ergebnis stimmen kann.

Kannst du das?

Je Ziel eine Aufgabe. Rechne sie ins Heft, dann kreuz ehrlich an. Keine Punkte, keine Note – der Test ist für dich.

ÜbenSelbsttest

  1. Ich rechne Plusaufgaben und Malaufgaben geschickt durch Vertauschen und Zusammenfassen.

    31
    Welche Zahlen fasst du bei 16 + 57 + 84 zuerst zusammen? Begründe. Rechne danach.
    165784
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    157

  2. Ich verändere Summen gegensinnig und Differenzen gleichsinnig.

    32
    Ergänze so, dass die Summe gleich bleibt: 69 + 66 = 70 + ___
    6966
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    65

  3. Ich nehme halbschriftlich mal, indem ich einen Faktor zerlege.

    33
    Es gibt 5 Tüten mit je 44 Bonbons. Wie viele Bonbons sind es? Rechne halbschriftlich.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    220 Bonbons

  4. Ich dividiere halbschriftlich, indem ich die Zahl geschickt zerlege.

    34
    234 Sticker werden gleichmäßig auf 6 Kinder aufgeteilt. Wie viele bekommt jeder Teil? Rechne halbschriftlich.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    39 Sticker

  5. Ich finde Aufgaben mit gleichem Ergebnis und vergleiche Rechenausdrücke.

    35
    Ergänze die Lücke: 33 + 75 = 32 + ___
    33 + 75=32 + ?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    76

  6. Ich rechne mit Verdoppeln und Halbieren und prüfe, ob das Ergebnis gleich bleibt.

    36
    Mia verdoppelt bei 14 · 15 beide Faktoren und rechnet 28 · 30. Bleibt das Ergebnis gleich?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    Nein, viermal so groß; richtig ist 210

  7. Ich wähle zu einer Aufgabe den passenden Rechenweg.

    37
    Wie rechnest du am schnellsten: 5 · 87? Nenne ihn. Rechne danach.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    zerlegen, 435

  8. Ich finde Rechenfehler mit Überschlag und Umkehraufgabe.

    38
    Tom rechnet 594 : 6 und erhält 99. Prüfe mit der Umkehraufgabe.
    594 : 6Ergebnis 99?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    stimmt, 99

Bei „unsicher“ oder „noch nicht“: Lies den Abschnitt zum Ziel noch einmal und rechne seine drei Aufgaben.

Die Frage vom Anfang

EntdeckenRückschau

Rechne im Kopf, so schnell du kannst: 25 · 17 · 4. Schreib nichts auf und nimm keinen Taschenrechner.

Lies deine Vermutung vom Anfang. Kannst du die Frage jetzt mit dem Kapitel beantworten?

Auflösung

Mit dem Werkzeug aus diesem Kapitel: Vertauschen und Zusammenfassen: erst die Zahlen, die zusammen glatt werden.

Wo brauchst du das?

Entdecken

Preise im Kopf addieren, Rückgeld überschlagen, Mengen für ein Fest ausrechnen. Beruf: Kasse und Verkauf, Handwerk beim Materialberechnen, Lager und Versand.

Wörter

Differenz
was übrig bleibt, wenn man abzieht
Gleichung
zwei Rechnungen, die gleich viel wert sind
Produkt
was herauskommt, wenn man malnimmt
Summe
was herauskommt, wenn man zusammenzählt
Teiler
eine Zahl, durch die es ohne Rest aufgeht

Wie es zusammenhängt

Das brauchst du vorher: Rechenregeln, Teiler und Vielfache, Natürliche Zahlen und Stellenwert

Darauf baut auf: Sachaufgaben lösen

Lösungen

  1. 111
  2. 75
  3. 605
  4. 254
  5. 151
  6. 1295
  7. 76
  8. 177
  9. 114
  10. 41 Bücher
  11. 59
  12. 68
  13. 18
  14. 44
  15. 64
  16. Nein, viermal so groß; richtig ist 400
  17. 70
  18. Nein, viermal so groß; richtig ist 400
  19. vertauschen, 171
  20. vertauschen, 122
  21. vertauschen, 153
  22. falsch, richtig ist 600
  23. falsch, richtig ist 56
  24. stimmt, 6825
  25. 144
  26. 90
  27. 35
  28. 129
  29. 244
  30. 90 Kästchen
  31. 157
  32. 65
  33. 220 Bonbons
  34. 39 Sticker
  35. 76
  36. Nein, viermal so groß; richtig ist 210
  37. zerlegen, 435
  38. stimmt, 99
  39. 31
  40. 90
  41. 38
  42. 7