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Mathematik · Klasse 5 · Kapitel

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Rechengesetze und Rechenvorteile

EntdeckenDie Frage zum Kapitel

Rechne im Kopf, so schnell du kannst: 25 · 17 · 4. Schreib nichts auf und nimm keinen Taschenrechner.

Schreib eine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Für die Lehrkraft: Die meisten rechnen von links: 25 · 17 und kommen durcheinander. Andere geben auf oder raten. Nur wenige sehen, dass 25 und 4 zusammen 100 ergeben. Beim Malnehmen darf man die Zahlen vertauschen. Dann steht 25 · 4 · 17 da, also 100 · 17. Das Ergebnis ist 1700, in einer Sekunde.

  • Entdecken Frage, Vorstellung, Bild
  • Merken kommt ins Heft
  • Beispiel vorgerechnet, Schritt für Schritt
  • Üben selbst rechnen
  • Achtung typischer Fehler
  • Weiterdenken zum Knobeln und Vernetzen

○ mit Starthilfe, ● für alle, ★ zum Weiterdenken. Du wählst mindestens eine ★-Aufgabe. Du rechnest ins Heft.

Fit für das Kapitel?

Das brauchst du aus früheren Themen. Klappt es nicht, frag nach, bevor es losgeht.

ÜbenWeißt du das noch?

Punkt vor Strich und Klammer zuerst – so steht es seit Klasse 4 im Heft.

  1. ●39
    Rechne: 26 − 2 · 8
    Lösung zeigen
    1. Punkt vor Strich: erst 2 · 8 = 16
    2. 26 − 16 = 10
    Ergebnis:
    10
  2. ●40
    Rechne: (9 + 4) · 5
    Lösung zeigen
    1. Die Klammer zuerst: 9 + 4 = 13
    2. 13 · 5 = 65
    Ergebnis:
    65

ÜbenWeißt du das noch?

Punkt vor Strich und Klammer zuerst – die Reihenfolge entscheidet über das Ergebnis.

  1. ●41
    Berechne: 5 + 8 · 5
    Lösung zeigen
    1. Punkt vor Strich: erst 8 · 5 = 40
    2. 5 + 40 = 45
    Ergebnis:
    45
  2. ●42
    Ich denke mir eine Zahl, addiere 4 und erhalte 15. Welche Zahl war es? (Umkehraufgabe)
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    11

So kannst du es dir vorstellen

EntdeckenZahlen umbauen, ohne den Wert zu ändern

Eine Rechnung lässt sich umbauen, ohne dass sich ihr Wert ändert. Zahlen tauschen die Plätze, bilden neue Gruppen oder werden zerlegt. Wer das sieht, rechnet mit glatten Zahlen statt mit krummen.

17 plus 38 plus 3: Erst 17 und 3 zu 20 zusammenfassen, dann 20 plus 38 sind 5817 + 38 + 317 + 3 = 20= 20 + 38 = 58

WeiterdenkenDenk nach

Warum darf man bei 25 + 38 + 75 zuerst 25 und 75 addieren, bei 50 − 20 − 10 aber nicht zuerst 20 − 10?

1Ich rechne Plusaufgaben und Malaufgaben geschickt durch Vertauschen und Zusammenfassen.

EntdeckenFrage

Wie konnte der neunjährige Carl Friedrich Gauß die Zahlen von 1 bis 100 in wenigen Minuten addieren?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Er hat die Zahlen in Paare umsortiert: 1 und 100, 2 und 99, 3 und 98. Jedes Paar ergibt 101, und es sind 50 Paare. Also 50 · 101 = 5050. Er hat nur vertauscht und neu zusammengefasst.

MerkenVertauschen und zusammenfassen

Beim Plus und beim Mal darf man die Zahlen vertauschen und anders zusammenfassen.

Erst die Zahlen nehmen, die zusammen glatt werden.

BeispielPlusaufgaben geschickt: vertauschen und zusammenfassen

Jonas rechnet 7 + 48 + 13 von links nach rechts. Zeige einen schnelleren Weg mit einem Rechenvorteil.
74813
Schritt für Schritt
  1. Vertauschen: 7 + 13 + 48
  2. 7 + 13 = 20
  3. 20 + 48 = 68
  1. Vertauschen: 7 + 13 + 48
  2. 7 + 13 = 20
  3. 20 + 48 = 68
Ergebnis:
68

AchtungBeim Minus oder Geteilt vertauscht

So nicht
50 − 20 − 10: erst 20 − 10 = 10, dann 50 − 10 = 40
So richtig
50 − 20 − 10 = 30 − 10 = 20

Vertauschen ist nur beim Plus und beim Mal erlaubt. 20 − 5 ist nicht 5 − 20.

ÜbenJetzt du

  1. ○1
    Welche Zahlen fasst du bei 8 + 69 + 12 zuerst zusammen? Begründe. Rechne danach.
    86912
    So fängst du an:
    Vertauschen: 8 + 12 + 69
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 8 + 12 + 69
    2. 8 + 12 = 20
    3. Zusammen glatt, der Rest ist leicht: 20 + 69 = 89
    Ergebnis:
    89
  2. ●2
    Zeynep rechnet 49 + 32 + 11 von links nach rechts. Zeige einen schnelleren Weg mit einem Rechenvorteil.
    493211
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 49 + 11 + 32
    2. 49 + 11 = 60
    3. 60 + 32 = 92
    Ergebnis:
    92
  3. ★3
    Welche Zahlen fasst du bei 891 + 382 + 61 + 109 + 39 zuerst zusammen? Begründe. Rechne danach.
    8913826110939
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 891 + 109 + 61 + 39 + 382
    2. 891 + 109 = 1000 und 61 + 39 = 100
    3. Zusammen glatt, der Rest ist leicht: 1000 + 100 + 382 = 1482
    Ergebnis:
    1482

2Ich verändere Summen gegensinnig und Differenzen gleichsinnig.

EntdeckenFrage

Warum rechnen Kassiererinnen 3,99 € mal 4 schneller als ein Kunde mit Papier?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Sie rechnen 4 mal 4 € und ziehen dann 4 Cent ab: 16,00 € − 0,04 € = 15,96 €. Das ist Zerlegen: 3,99 ist 4 minus 1 Cent. Der Rechenweg ist kurz, weil er über die glatte Zahl geht.

MerkenGegensinnig und gleichsinnig

Bei einer Summe gibt ein Summand ab, was der andere bekommt.

Bei einer Differenz ändern sich beide Zahlen gleich, der Abstand bleibt.

BeispielSummen gegensinnig verändern

Ergänze so, dass die Summe gleich bleibt: 197 + 86 = 200 + ___
19786
Schritt für Schritt
  1. 197 wird zu 200: 3 mehr.
  2. Also muss 86 um 3 kleiner werden: 86 − 3 = 83
  3. 200 + 83 = 283
  1. 197 wird zu 200: 3 mehr.
  2. Also muss 86 um 3 kleiner werden: 86 − 3 = 83
  3. 200 + 83 = 283
Ergebnis:
83

AchtungNur eine Zahl verändert

So nicht
143 − 97: 143 − 100 = 43
So richtig
143 − 97 = 146 − 100 = 46

Bei der Summe gegensinnig, bei der Differenz gleichsinnig: Immer beide Zahlen verändern.

ÜbenJetzt du

  1. ○4
    Ergänze so, dass die Summe gleich bleibt: 199 + 25 = 200 + ___
    19925
    So fängst du an:
    199 wird zu 200: 1 mehr.
    Lösung zeigen
    1. 199 wird zu 200: 1 mehr.
    2. Also muss 25 um 1 kleiner werden: 25 − 1 = 24
    3. 200 + 24 = 224
    Ergebnis:
    24
  2. ●5
    Ergänze so, dass die Summe gleich bleibt: 299 + 72 = 300 + ___
    29972
    Lösung zeigen
    1. 299 wird zu 300: 1 mehr.
    2. Also muss 72 um 1 kleiner werden: 72 − 1 = 71
    3. 300 + 71 = 371
    Ergebnis:
    71
  3. ★6
    Rechne geschickt durch gegensinniges Verändern: 1997 + 187
    1997187
    Lösung zeigen
    1. 1997 bekommt 3 dazu, 187 gibt 3 ab.
    2. 1997 + 187 = 2000 + 184
    3. 2000 + 184 = 2184
    Ergebnis:
    2184

3Ich nehme halbschriftlich mal, indem ich einen Faktor zerlege.

EntdeckenFrage

Wie haben Bauern in Russland früher ohne Einmaleins multipliziert?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Sie haben eine Zahl immer halbiert und die andere verdoppelt, bis links eine 1 stand. Dann addierten sie die rechten Zahlen der Zeilen mit ungerader linker Zahl. Das Verfahren heißt russische Bauernmultiplikation und nutzt, dass Verdoppeln und Halbieren das Produkt nicht ändert.

Ausprobieren: Malnehmen am Rechteck

Länge und Höhe in Teile zerlegen – das Rechteck zerfällt in Teilrechtecke, und jedes ist eine leichte Malaufgabe.

MerkenMalnehmen mit Zerlegen

Einen Faktor zerlegen, jeden Teil malnehmen und die Teilergebnisse addieren.

So wird 7 · 48 zu 7 · 40 + 7 · 8.

BeispielHalbschriftlich malnehmen mit Zerlegen

Rechne halbschriftlich: Zerlege den zweiten Faktor. 5 · 58
Schritt für Schritt
  1. 58 = 50 + 8
  2. 5 · 50 = 250 und 5 · 8 = 40
  3. 250 + 40 = 290
  1. 58 = 50 + 8
  2. 5 · 50 = 250 und 5 · 8 = 40
  3. 250 + 40 = 290
Ergebnis:
290

AchtungBeim Zerlegen einen Teil vergessen

So nicht
7 · 48: 7 · 40 + 8 = 288
So richtig
7 · 48 = 7 · 40 + 7 · 8 = 280 + 56 = 336

Jeder Teil des zerlegten Faktors wird malgenommen, nicht nur der erste.

ÜbenJetzt du

  1. ○7
    Rechne geschickt über die glatte Zahl: 3 · 49
    So fängst du an:
    49 = 50 − 1
    Lösung zeigen
    1. 49 = 50 − 1
    2. 3 · 50 = 150 und 3 · 1 = 3
    3. 150 − 3 = 147
    Ergebnis:
    147
  2. ●8
    Rechne geschickt über die glatte Zahl: 4 · 49
    Lösung zeigen
    1. 49 = 50 − 1
    2. 4 · 50 = 200 und 4 · 1 = 4
    3. 200 − 4 = 196
    Ergebnis:
    196
  3. ★9
    Rechne halbschriftlich mit Stellenwerten: 7 · 120
    Lösung zeigen
    1. 120 = 100 + 20
    2. 7 · 100 = 700; 7 · 20 = 140
    3. 700 + 140 = 840
    Ergebnis:
    840

4Ich dividiere halbschriftlich, indem ich die Zahl geschickt zerlege.

EntdeckenFrage

Warum ist 25 mal 4 ein Lieblingspaar beim Kopfrechnen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

25 mal 4 ergibt genau 100. Kommen 25 und 4 in einer Malaufgabe vor, fasst man sie zuerst zusammen. Aus 25 · 37 · 4 wird dann 100 · 37 = 3700, ganz ohne schriftliches Rechnen.

MerkenTeilen mit Zerlegen

Die Zahl so zerlegen, dass jeder Teil glatt aufgeht. So wird 385 : 7 zu 350 : 7 + 35 : 7.

BeispielHalbschriftlich dividieren

144 Sticker werden gleichmäßig auf 6 Kinder aufgeteilt. Wie viele bekommt jeder Teil? Rechne halbschriftlich.
Schritt für Schritt
  1. 144 : 6
  2. 144 = 120 + 24
  3. 120 : 6 = 20 und 24 : 6 = 4
  4. 20 + 4 = 24
  1. 144 : 6
  2. 144 = 120 + 24
  3. 120 : 6 = 20 und 24 : 6 = 4
  4. 20 + 4 = 24
Ergebnis:
24 Sticker

AchtungBeim Teilen nicht passend zerlegt

So nicht
385 : 7: 300 : 7 geht nicht glatt → aufgegeben
So richtig
385 : 7 = 350 : 7 + 35 : 7 = 50 + 5 = 55

Jeder Teil muss sich glatt teilen lassen. Erst ein großes Vielfaches abspalten.

ÜbenJetzt du

  1. ○10
    Rechne halbschriftlich: 140 : 5
    So fängst du an:
    140 = 100 + 40
    Lösung zeigen
    1. 140 = 100 + 40
    2. 100 : 5 = 20 und 40 : 5 = 8
    3. 20 + 8 = 28
    Ergebnis:
    28
  2. ●11
    Rechne halbschriftlich: 231 : 7
    Lösung zeigen
    1. 231 = 210 + 21
    2. 210 : 7 = 30 und 21 : 7 = 3
    3. 30 + 3 = 33
    Ergebnis:
    33
  3. ★12
    Zerlege 792 so in zwei Zahlen, dass du beide leicht durch 6 dividieren kannst. Was ergibt 792 : 6?
    792: 6
    Lösung zeigen
    1. 792 = 780 + 12
    2. 780 : 6 = 130 und 12 : 6 = 2
    3. 130 + 2 = 132
    Ergebnis:
    132

5Ich finde Aufgaben mit gleichem Ergebnis und vergleiche Rechenausdrücke.

EntdeckenFrage

Warum stimmt der Trick „mal 9 ist mal 10 minus einmal“ immer?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Neunmal eine Zahl ist zehnmal die Zahl minus einmal die Zahl. So wird 9 · 47 zu 470 − 47 = 423. Das ist das Verteilungsgesetz: 9 ist 10 minus 1.

MerkenAusdrücke mit gleichem Wert

Verschiedene Rechenausdrücke können denselben Wert haben.

Wer die Rechengesetze nutzt, sieht das oft ohne Ausrechnen.

BeispielAufgaben mit gleichem Ergebnis

Finde die fehlende Zahl mit einem Rechengesetz: 79 + 86 = 80 + ___
79 + 86=80 + ?
Schritt für Schritt
  1. 79 wird zu 80: 1 mehr.
  2. Damit die Summe gleich bleibt, wird 86 um 1 kleiner.
  3. 86 − 1 = 85
  1. 79 wird zu 80: 1 mehr.
  2. Damit die Summe gleich bleibt, wird 86 um 1 kleiner.
  3. 86 − 1 = 85
Ergebnis:
85

AchtungPunkt vor Strich missachtet

So nicht
9 + 5 · 7 = 14 · 7 = 98
So richtig
9 + 5 · 7 = 9 + 35 = 44

Klammer zuerst, dann Mal und Geteilt, dann Plus und Minus.

ÜbenJetzt du

  1. ○13
    Finde die fehlende Zahl mit einem Rechengesetz: 89 − 54 = ___ − 56
    So fängst du an:
    54 wird zu 56: 2 mehr.
    Lösung zeigen
    1. 54 wird zu 56: 2 mehr.
    2. Damit der Abstand bleibt, wird auch 89 um 2 größer.
    3. 89 + 2 = 91
    Ergebnis:
    91
  2. ●14
    Welche Zahl fehlt? Rechne nicht beide Seiten aus. 77 + 48 = 79 + ___
    Lösung zeigen
    1. 77 wird zu 79: 2 mehr.
    2. Damit die Summe gleich bleibt, wird 48 um 2 kleiner.
    3. 48 − 2 = 46
    Ergebnis:
    46
  3. ★15
    Finde die fehlende Zahl mit einem Rechengesetz: 50 + 17 = 47 + ___
    50 + 17=47 + ?
    Lösung zeigen
    1. 50 wird zu 47: 3 weniger.
    2. Damit die Summe gleich bleibt, wird 17 um 3 größer.
    3. 17 + 3 = 20
    Ergebnis:
    20

6Ich rechne mit Verdoppeln und Halbieren und prüfe, ob das Ergebnis gleich bleibt.

EntdeckenFrage

Wie merkt man in Sekunden, dass 98 · 102 nicht 99.960 sein kann?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Man rechnet nicht, man überschlägt: 100 · 100 = 10.000. Das Ergebnis muss also in der Nähe von 10.000 liegen. 99.960 ist fast zehnmal so groß und kann nicht stimmen. Richtig ist 9996.

MerkenVerdoppeln und halbieren

Wird ein Faktor verdoppelt und der andere halbiert, bleibt das Produkt gleich.

Werden beide verdoppelt, wird es viermal so groß.

BeispielVerdoppeln und Halbieren

Sofia verdoppelt bei 14 · 5 beide Faktoren und rechnet 28 · 10. Bleibt das Ergebnis gleich?
Schritt für Schritt
  1. Einmal verdoppeln macht das Ergebnis doppelt so groß, zweimal viermal so groß.
  2. 28 · 10 = 280, aber 14 · 5 = 70
  3. Richtig ist: einen verdoppeln, den anderen halbieren.
  1. Einmal verdoppeln macht das Ergebnis doppelt so groß, zweimal viermal so groß.
  2. 28 · 10 = 280, aber 14 · 5 = 70
  3. Richtig ist: einen verdoppeln, den anderen halbieren.
Ergebnis:
Nein, viermal so groß; richtig ist 70

AchtungBeide Faktoren verdoppelt

So nicht
8 · 25 → 16 · 50 = 800
So richtig
8 · 25 → 4 · 50 = 200

Nur einer wird verdoppelt, der andere halbiert. Sonst ändert sich das Ergebnis.

ÜbenJetzt du

  1. ○16
    Warum ist 16 · 25 dasselbe wie 8 · 50? Rechne dann geschickt.
    So fängst du an:
    Halb so viele Reihen, jede doppelt so lang: gleich viele Kästchen.
    Lösung zeigen
    1. Halb so viele Reihen, jede doppelt so lang: gleich viele Kästchen.
    2. 16 · 25 = 8 · 50
    3. 8 · 50 = 400
    Ergebnis:
    400
  2. ●17
    Warum ist 18 · 5 dasselbe wie 9 · 10? Rechne dann geschickt.
    Lösung zeigen
    1. Halb so viele Reihen, jede doppelt so lang: gleich viele Kästchen.
    2. 18 · 5 = 9 · 10
    3. 9 · 10 = 90
    Ergebnis:
    90
  3. ★18
    Rechne geschickt: Halbiere den einen Faktor und verdopple den anderen. 22 · 15
    Lösung zeigen
    1. 22 · 15 = 11 · 30
    2. 11 · 30 = 330
    Ergebnis:
    330

7Ich wähle zu einer Aufgabe den passenden Rechenweg.

EntdeckenFrage

Wie rechnen Darts-Profis blitzschnell aus, wie viele Punkte ihnen von 501 noch fehlen, wenn sie 140 geworfen haben?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Der geschickte Weg nimmt erst eine runde Zahl. 500 − 140 = 360, und der eine Extrapunkt kommt dazu: 361. Das geht schneller als 501 − 140 Stelle für Stelle. Am Ergebnis ändert der Weg nichts.

MerkenDen passenden Weg wählen

Vor dem Rechnen die Zahlen ansehen.

Liegt eine Zahl nahe an einer glatten, lohnt sich ein Vorteil, sonst rechnet man schriftlich.

BeispielDen passenden Rechenweg wählen

Welcher Weg passt zu 8 · 24? Nenne ihn. Rechne danach.
8 · 24zerlegenhalbieren und verdoppelnschriftlich
Schritt für Schritt
  1. Den zweiten Faktor zerlegen: 24 = 20 + 4.
  2. 8 · 20 = 160 und 8 · 4 = 32
  3. Zusammen: 192
  1. Den zweiten Faktor zerlegen: 24 = 20 + 4.
  2. 8 · 20 = 160 und 8 · 4 = 32
  3. Zusammen: 192
Ergebnis:
zerlegen, 192

AchtungUmständlichen Weg gewählt

So nicht
299 + 158 schriftlich untereinander gerechnet, dabei verrechnet: 447
So richtig
299 + 158 = 300 + 157 = 457

Erst die Zahlen ansehen: Liegt eine nahe an einer glatten Zahl?

ÜbenJetzt du

  1. ○19
    Welchen Rechenvorteil nutzt du bei 4 · 72? Nenne ihn. Rechne danach.
    4 · 72zerlegenhalbieren und verdoppelnschriftlich
    So fängst du an:
    Den zweiten Faktor zerlegen: 72 = 70 + 2.
    Lösung zeigen
    1. Den zweiten Faktor zerlegen: 72 = 70 + 2.
    2. 4 · 70 = 280 und 4 · 2 = 8
    3. Zusammen: 288
    Ergebnis:
    zerlegen, 288
  2. ●20
    Welchen Rechenvorteil nutzt du bei 4 · 24? Nenne ihn. Rechne danach.
    4 · 24zerlegenhalbieren und verdoppelnschriftlich
    Lösung zeigen
    1. Den zweiten Faktor zerlegen: 24 = 20 + 4.
    2. 4 · 20 = 80 und 4 · 4 = 16
    3. Zusammen: 96
    Ergebnis:
    zerlegen, 96
  3. ★21
    Welcher Weg passt zu 8 · 25? Nenne ihn. Rechne danach.
    8 · 25zerlegenhalbieren und verdoppelnschriftlich
    Lösung zeigen
    1. 25 wird verdoppelt glatt: halbieren und verdoppeln.
    2. 8 · 25 = 4 · 50
    3. 4 · 50 = 200
    Ergebnis:
    halbieren und verdoppeln, 200

8Ich finde Rechenfehler mit Überschlag und Umkehraufgabe.

EntdeckenFrage

Warum zählt man Rückgeld vom Preis aus nach oben, statt abzuziehen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Wer 13,40 € zahlen muss und 20 € gibt, bekommt 20 − 13,40 = 6,60 € zurück. Beim Hochzählen rechnet man die Umkehraufgabe: 13,40 + 6,60 = 20. Kommt man genau auf den gegebenen Betrag, stimmt das Rückgeld.

MerkenÜberschlag und Umkehraufgabe

Ein Überschlag mit runden Zahlen zeigt, ob ein Ergebnis stimmen kann.

Die Umkehraufgabe prüft es genau.

BeispielRechenfehler mit Überschlag und Umkehraufgabe finden

Aylin rechnet 936 − 358 und erhält 578. Prüfe mit der Umkehraufgabe.
Schritt für Schritt
  1. Umkehraufgabe: 578 + 358 = 936
  2. 936 ist genau 936: Es stimmt.
  3. 936 − 358 = 578
  1. Umkehraufgabe: 578 + 358 = 936
  2. 936 ist genau 936: Es stimmt.
  3. 936 − 358 = 578
Ergebnis:
stimmt, 578

AchtungErgebnis nicht geprüft

So nicht
425 : 5 = 805, ohne Probe ins Heft
So richtig
425 : 5 → Überschlag 400 : 5 = 80 → 85, Probe 85 · 5 = 425

Mit einem Überschlag prüfen, ob die Größenordnung stimmt, dann mit der Umkehraufgabe.

ÜbenJetzt du

  1. ○22
    Milan rechnet 588 : 7 und erhält 83. Prüfe mit der Umkehraufgabe.
    588 : 7Ergebnis 83?
    So fängst du an:
    Umkehraufgabe: 83 · 7 = 581
    Lösung zeigen
    1. Umkehraufgabe: 83 · 7 = 581
    2. 581 ist nicht 588: Es ist falsch.
    3. 588 : 7 = 84
    Ergebnis:
    falsch, richtig ist 84
  2. ●23
    Can erhält für 62 · 22 das Ergebnis 2364. Prüfe mit einem Überschlag.
    Lösung zeigen
    1. Überschlag: 60 · 20 = 1200
    2. 2364 liegt zu weit weg. Genau: 62 · 22 = 1364
    3. Das Ergebnis ist falsch.
    Ergebnis:
    falsch, richtig ist 1364
  3. ★24
    Tom rechnet 2792 : 8 und erhält 359. Prüfe mit der Umkehraufgabe.
    2792 : 8Ergebnis 359?
    Lösung zeigen
    1. Umkehraufgabe: 359 · 8 = 2872
    2. 2872 ist nicht 2792: Es ist falsch.
    3. 2792 : 8 = 349
    Ergebnis:
    falsch, richtig ist 349

Vermischte Übungen

Alles durcheinander – wie in der Arbeit. Überleg bei jeder Aufgabe zuerst: Welches Ziel ist das?

Üben

  1. ●25
    Lea rechnet 26 + 88 + 4 von links nach rechts. Zeige einen schnelleren Weg mit einem Rechenvorteil.
    26884
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 26 + 4 + 88
    2. 26 + 4 = 30
    3. 30 + 88 = 118
    Ergebnis:
    118
  2. ●26
    In einem Lager stehen 20 Regale mit je 5 Kisten. In jeder Kiste sind 6 Bälle. Wie viele Bälle sind es? Rechne geschickt.
    20 Regale5 Kisten6 Bälle
    Lösung zeigen
    1. Bälle: 20 · 5 · 6
    2. 20 · 5 = 100
    3. 100 · 6 = 600
    Ergebnis:
    600 Bälle
  3. ●27
    Mia rechnet 99 + 42 als 100 + 42. Was muss Mia danach noch tun? Was kommt heraus?
    9942
    Lösung zeigen
    1. Mia hat 99 um 1 vergrößert.
    2. Die Summe ist dadurch um 1 zu groß: 100 + 42 = 142.
    3. 1 wieder abziehen: 142 − 1 = 141
    Ergebnis:
    141
  4. ●28
    Ergänze so, dass die Differenz gleich bleibt: 137 − 97 = ___ − 100
    Lösung zeigen
    1. 97 wird zu 100: 3 mehr.
    2. Damit der Abstand bleibt, wird auch 137 um 3 größer: 140.
    3. 140 − 100 = 40
    Ergebnis:
    140
  5. ●29
    Rechne geschickt über die glatte Zahl: 8 · 29
    Lösung zeigen
    1. 29 = 30 − 1
    2. 8 · 30 = 240 und 8 · 1 = 8
    3. 240 − 8 = 232
    Ergebnis:
    232
  6. ●30
    Ein Rechteck hat 7 Reihen mit je 21 Kästchen. Die rote Linie teilt es. Wie viele Kästchen sind es?
    2017
    Lösung zeigen
    1. Linker Teil: 7 · 20 = 140
    2. Rechter Teil: 7 · 1 = 7
    3. Zusammen: 140 + 7 = 147
    Ergebnis:
    147 Kästchen

Auf einen Blick

MerkenDas Wichtigste

Vertauschen und zusammenfassen
Beim Plus und beim Mal darf man die Zahlen vertauschen und anders zusammenfassen.
Gegensinnig und gleichsinnig
Bei einer Summe gibt ein Summand ab, was der andere bekommt.
Malnehmen mit Zerlegen
Einen Faktor zerlegen, jeden Teil malnehmen und die Teilergebnisse addieren.
Teilen mit Zerlegen
Die Zahl so zerlegen, dass jeder Teil glatt aufgeht. So wird 385 : 7 zu 350 : 7 + 35 : 7.
Ausdrücke mit gleichem Wert
Verschiedene Rechenausdrücke können denselben Wert haben.
Verdoppeln und halbieren
Wird ein Faktor verdoppelt und der andere halbiert, bleibt das Produkt gleich.
Den passenden Weg wählen
Vor dem Rechnen die Zahlen ansehen.
Überschlag und Umkehraufgabe
Ein Überschlag mit runden Zahlen zeigt, ob ein Ergebnis stimmen kann.

Kannst du das?

Je Ziel eine Aufgabe. Rechne sie ins Heft, dann kreuz ehrlich an. Keine Punkte, keine Note – der Test ist für dich.

ÜbenSelbsttest

  1. Ich rechne Plusaufgaben und Malaufgaben geschickt durch Vertauschen und Zusammenfassen.

    31
    Welche Zahlen fasst du bei 24 + 34 + 26 zuerst zusammen? Begründe. Rechne danach.
    243426
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    84

  2. Ich verändere Summen gegensinnig und Differenzen gleichsinnig.

    32
    Ergänze so, dass die Summe gleich bleibt: 49 + 87 = 50 + ___
    4987
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    86

  3. Ich nehme halbschriftlich mal, indem ich einen Faktor zerlege.

    33
    Es gibt 4 Reihen mit je 59 Stühle. Wie viele Stühle sind es? Rechne halbschriftlich.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    236 Stühle

  4. Ich dividiere halbschriftlich, indem ich die Zahl geschickt zerlege.

    34
    Rechne halbschriftlich: 387 : 9
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    43

  5. Ich finde Aufgaben mit gleichem Ergebnis und vergleiche Rechenausdrücke.

    35
    Finde die fehlende Zahl mit einem Rechengesetz: 62 − 45 = ___ − 50
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    67

  6. Ich rechne mit Verdoppeln und Halbieren und prüfe, ob das Ergebnis gleich bleibt.

    36
    Warum ist 14 · 5 dasselbe wie 7 · 10? Rechne dann geschickt.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    70

  7. Ich wähle zu einer Aufgabe den passenden Rechenweg.

    37
    Wie rechnest du am schnellsten: 166 + 299? Nenne ihn. Rechne danach.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    gegensinnig verändern, 465

  8. Ich finde Rechenfehler mit Überschlag und Umkehraufgabe.

    38
    Milan erhält für 89 · 34 das Ergebnis 3226. Prüfe mit einem Überschlag.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    falsch, richtig ist 3026

Bei „unsicher“ oder „noch nicht“: Lies den Abschnitt zum Ziel noch einmal und rechne seine drei Aufgaben.

Die Frage vom Anfang

EntdeckenRückschau

Rechne im Kopf, so schnell du kannst: 25 · 17 · 4. Schreib nichts auf und nimm keinen Taschenrechner.

Lies deine Vermutung vom Anfang. Kannst du die Frage jetzt mit dem Kapitel beantworten?

Auflösung

Mit dem Werkzeug aus diesem Kapitel: Vertauschen und Zusammenfassen: erst die Zahlen, die zusammen glatt werden.

Wo brauchst du das?

Entdecken

Preise im Kopf addieren, Rückgeld überschlagen, Mengen für ein Fest ausrechnen. Beruf: Kasse und Verkauf, Handwerk beim Materialberechnen, Lager und Versand.

Wörter

Differenz
was übrig bleibt, wenn man abzieht
Gleichung
zwei Rechnungen, die gleich viel wert sind
Produkt
was herauskommt, wenn man malnimmt
Summe
was herauskommt, wenn man zusammenzählt
Teiler
eine Zahl, durch die es ohne Rest aufgeht

Wie es zusammenhängt

Das brauchst du vorher: Rechenregeln, Teiler und Vielfache, Natürliche Zahlen und Stellenwert

Darauf baut auf: Sachaufgaben lösen

Lösungen

  1. 89
  2. 92
  3. 1482
  4. 24
  5. 71
  6. 2184
  7. 147
  8. 196
  9. 840
  10. 28
  11. 33
  12. 132
  13. 91
  14. 46
  15. 20
  16. 400
  17. 90
  18. 330
  19. zerlegen, 288
  20. zerlegen, 96
  21. halbieren und verdoppeln, 200
  22. falsch, richtig ist 84
  23. falsch, richtig ist 1364
  24. falsch, richtig ist 349
  25. 118
  26. 600 Bälle
  27. 141
  28. 140
  29. 232
  30. 147 Kästchen
  31. 84
  32. 86
  33. 236 Stühle
  34. 43
  35. 67
  36. 70
  37. gegensinnig verändern, 465
  38. falsch, richtig ist 3026
  39. 10
  40. 65
  41. 45
  42. 11