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Mathematik · Klasse 5 · Kapitel

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Rechengesetze und Rechenvorteile

EntdeckenDie Frage zum Kapitel

Rechne im Kopf, so schnell du kannst: 25 · 17 · 4. Schreib nichts auf und nimm keinen Taschenrechner.

Schreib eine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Für die Lehrkraft: Die meisten rechnen von links: 25 · 17 und kommen durcheinander. Andere geben auf oder raten. Nur wenige sehen, dass 25 und 4 zusammen 100 ergeben. Beim Malnehmen darf man die Zahlen vertauschen. Dann steht 25 · 4 · 17 da, also 100 · 17. Das Ergebnis ist 1700, in einer Sekunde.

  • Entdecken Frage, Vorstellung, Bild
  • Merken kommt ins Heft
  • Beispiel vorgerechnet, Schritt für Schritt
  • Üben selbst rechnen
  • Achtung typischer Fehler
  • Weiterdenken zum Knobeln und Vernetzen

○ mit Starthilfe, ● für alle, ★ zum Weiterdenken. Du wählst mindestens eine ★-Aufgabe. Du rechnest ins Heft.

Fit für das Kapitel?

Das brauchst du aus früheren Themen. Klappt es nicht, frag nach, bevor es losgeht.

ÜbenWeißt du das noch?

Punkt vor Strich und Klammer zuerst – so steht es seit Klasse 4 im Heft.

  1. ●39
    Rechne: 52 − 3 · 7
    Lösung zeigen
    1. Punkt vor Strich: erst 3 · 7 = 21
    2. 52 − 21 = 31
    Ergebnis:
    31
  2. ●40
    Rechne: (9 + 2) · 4
    Lösung zeigen
    1. Die Klammer zuerst: 9 + 2 = 11
    2. 11 · 4 = 44
    Ergebnis:
    44

ÜbenWeißt du das noch?

Punkt vor Strich und Klammer zuerst – die Reihenfolge entscheidet über das Ergebnis.

  1. ●41
    Berechne: 6 + 9 · 5
    Lösung zeigen
    1. Punkt vor Strich: erst 9 · 5 = 45
    2. 6 + 45 = 51
    Ergebnis:
    51
  2. ●42
    Ich denke mir eine Zahl, addiere 37 und erhalte 87. Welche Zahl war es? (Umkehraufgabe)
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    50

So kannst du es dir vorstellen

EntdeckenZahlen umbauen, ohne den Wert zu ändern

Eine Rechnung lässt sich umbauen, ohne dass sich ihr Wert ändert. Zahlen tauschen die Plätze, bilden neue Gruppen oder werden zerlegt. Wer das sieht, rechnet mit glatten Zahlen statt mit krummen.

17 plus 38 plus 3: Erst 17 und 3 zu 20 zusammenfassen, dann 20 plus 38 sind 5817 + 38 + 317 + 3 = 20= 20 + 38 = 58

WeiterdenkenDenk nach

Warum darf man bei 25 + 38 + 75 zuerst 25 und 75 addieren, bei 50 − 20 − 10 aber nicht zuerst 20 − 10?

1Ich rechne Plusaufgaben und Malaufgaben geschickt durch Vertauschen und Zusammenfassen.

EntdeckenFrage

Wie konnte der neunjährige Carl Friedrich Gauß die Zahlen von 1 bis 100 in wenigen Minuten addieren?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Er hat die Zahlen in Paare umsortiert: 1 und 100, 2 und 99, 3 und 98. Jedes Paar ergibt 101, und es sind 50 Paare. Also 50 · 101 = 5050. Er hat nur vertauscht und neu zusammengefasst.

MerkenVertauschen und zusammenfassen

Beim Plus und beim Mal darf man die Zahlen vertauschen und anders zusammenfassen.

Erst die Zahlen nehmen, die zusammen glatt werden.

BeispielPlusaufgaben geschickt: vertauschen und zusammenfassen

Rechne geschickt: 5 + 31 + 15
53115
Schritt für Schritt
  1. Vertauschen: 5 + 15 + 31
  2. 5 + 15 = 20
  3. 20 + 31 = 51
  1. Vertauschen: 5 + 15 + 31
  2. 5 + 15 = 20
  3. 20 + 31 = 51
Ergebnis:
51

AchtungBeim Minus oder Geteilt vertauscht

So nicht
50 − 20 − 10: erst 20 − 10 = 10, dann 50 − 10 = 40
So richtig
50 − 20 − 10 = 30 − 10 = 20

Vertauschen ist nur beim Plus und beim Mal erlaubt. 20 − 5 ist nicht 5 − 20.

ÜbenJetzt du

  1. ○1
    Rechne geschickt: 18 + 81 + 82
    188182
    So fängst du an:
    Vertauschen: 18 + 82 + 81
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 18 + 82 + 81
    2. 18 + 82 = 100
    3. 100 + 81 = 181
    Ergebnis:
    181
  2. ●2
    Welche Zahlen fasst du bei 26 + 25 + 14 zuerst zusammen? Begründe und rechne.
    262514
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 26 + 14 + 25
    2. 26 + 14 = 40
    3. Zusammen glatt, der Rest ist leicht: 40 + 25 = 65
    Ergebnis:
    65
  3. ★3
    Welche Zahlen fasst du bei 193 + 811 + 17 + 807 + 83 zuerst zusammen? Begründe und rechne.
    1938111780783
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 193 + 807 + 17 + 83 + 811
    2. 193 + 807 = 1000 und 17 + 83 = 100
    3. Zusammen glatt, der Rest ist leicht: 1000 + 100 + 811 = 1911
    Ergebnis:
    1911

2Ich verändere Summen gegensinnig und Differenzen gleichsinnig.

EntdeckenFrage

Warum rechnen Kassiererinnen 3,99 € mal 4 schneller als ein Kunde mit Papier?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Sie rechnen 4 mal 4 € und ziehen dann 4 Cent ab: 16,00 € − 0,04 € = 15,96 €. Das ist Zerlegen: 3,99 ist 4 minus 1 Cent. Der Rechenweg ist kurz, weil er über die glatte Zahl geht.

MerkenGegensinnig und gleichsinnig

Bei einer Summe gibt ein Summand ab, was der andere bekommt.

Bei einer Differenz ändern sich beide Zahlen gleich, der Abstand bleibt.

BeispielSummen gegensinnig verändern

Ergänze so, dass die Summe gleich bleibt: 99 + 47 = 100 + ___
9947
Schritt für Schritt
  1. 99 wird zu 100: 1 mehr.
  2. Also muss 47 um 1 kleiner werden: 47 − 1 = 46
  3. 100 + 46 = 146
  1. 99 wird zu 100: 1 mehr.
  2. Also muss 47 um 1 kleiner werden: 47 − 1 = 46
  3. 100 + 46 = 146
Ergebnis:
46

AchtungNur eine Zahl verändert

So nicht
143 − 97: 143 − 100 = 43
So richtig
143 − 97 = 146 − 100 = 46

Bei der Summe gegensinnig, bei der Differenz gleichsinnig: Immer beide Zahlen verändern.

ÜbenJetzt du

  1. ○4
    Rechne geschickt durch gegensinniges Verändern: 68 + 67
    6867
    So fängst du an:
    68 bekommt 2 dazu, 67 gibt 2 ab.
    Lösung zeigen
    1. 68 bekommt 2 dazu, 67 gibt 2 ab.
    2. 68 + 67 = 70 + 65
    3. 70 + 65 = 135
    Ergebnis:
    135
  2. ●5
    Rechne geschickt durch gegensinniges Verändern: 99 + 93
    9993
    Lösung zeigen
    1. 99 bekommt 1 dazu, 93 gibt 1 ab.
    2. 99 + 93 = 100 + 92
    3. 100 + 92 = 192
    Ergebnis:
    192
  3. ★6
    Ergänze so, dass die Summe gleich bleibt: 697 + 967 = 700 + ___
    697967
    Lösung zeigen
    1. 697 wird zu 700: 3 mehr.
    2. Also muss 967 um 3 kleiner werden: 967 − 3 = 964
    3. 700 + 964 = 1664
    Ergebnis:
    964

3Ich nehme halbschriftlich mal, indem ich einen Faktor zerlege.

EntdeckenFrage

Wie haben Bauern in Russland früher ohne Einmaleins multipliziert?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Sie haben eine Zahl immer halbiert und die andere verdoppelt, bis links eine 1 stand. Dann addierten sie die rechten Zahlen der Zeilen mit ungerader linker Zahl. Das Verfahren heißt russische Bauernmultiplikation und nutzt, dass Verdoppeln und Halbieren das Produkt nicht ändert.

MerkenMalnehmen mit Zerlegen

Einen Faktor zerlegen, jeden Teil malnehmen und die Teilergebnisse addieren.

So wird 7 · 48 zu 7 · 40 + 7 · 8.

BeispielHalbschriftlich malnehmen mit Zerlegen

Rechne geschickt über die glatte Zahl: 5 · 29
Schritt für Schritt
  1. 29 = 30 − 1
  2. 5 · 30 = 150 und 5 · 1 = 5
  3. 150 − 5 = 145
  1. 29 = 30 − 1
  2. 5 · 30 = 150 und 5 · 1 = 5
  3. 150 − 5 = 145
Ergebnis:
145

AchtungBeim Zerlegen einen Teil vergessen

So nicht
7 · 48: 7 · 40 + 8 = 288
So richtig
7 · 48 = 7 · 40 + 7 · 8 = 280 + 56 = 336

Jeder Teil des zerlegten Faktors wird malgenommen, nicht nur der erste.

ÜbenJetzt du

  1. ○7
    Rechne geschickt über die glatte Zahl: 7 · 59
    So fängst du an:
    59 = 60 − 1
    Lösung zeigen
    1. 59 = 60 − 1
    2. 7 · 60 = 420 und 7 · 1 = 7
    3. 420 − 7 = 413
    Ergebnis:
    413
  2. ●8
    Es gibt 8 Hefte mit je 28 Hefte. Wie viele Hefte sind es? Rechne halbschriftlich.
    Lösung zeigen
    1. 8 · 28
    2. 28 = 20 + 8
    3. 8 · 20 = 160 und 8 · 8 = 64
    4. 160 + 64 = 224
    Ergebnis:
    224 Hefte
  3. ★9
    Rechne geschickt über die glatte Zahl: 4 · 29
    Lösung zeigen
    1. 29 = 30 − 1
    2. 4 · 30 = 120 und 4 · 1 = 4
    3. 120 − 4 = 116
    Ergebnis:
    116

4Ich dividiere halbschriftlich, indem ich die Zahl geschickt zerlege.

EntdeckenFrage

Warum ist 25 mal 4 ein Lieblingspaar beim Kopfrechnen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

25 mal 4 ergibt genau 100. Kommen 25 und 4 in einer Malaufgabe vor, fasst man sie zuerst zusammen. Aus 25 · 37 · 4 wird dann 100 · 37 = 3700, ganz ohne schriftliches Rechnen.

MerkenTeilen mit Zerlegen

Die Zahl so zerlegen, dass jeder Teil glatt aufgeht. So wird 385 : 7 zu 350 : 7 + 35 : 7.

BeispielHalbschriftlich dividieren

Rechne halbschriftlich: 111 : 3
Schritt für Schritt
  1. 111 = 90 + 21
  2. 90 : 3 = 30 und 21 : 3 = 7
  3. 30 + 7 = 37
  1. 111 = 90 + 21
  2. 90 : 3 = 30 und 21 : 3 = 7
  3. 30 + 7 = 37
Ergebnis:
37

AchtungBeim Teilen nicht passend zerlegt

So nicht
385 : 7: 300 : 7 geht nicht glatt → aufgegeben
So richtig
385 : 7 = 350 : 7 + 35 : 7 = 50 + 5 = 55

Jeder Teil muss sich glatt teilen lassen. Erst ein großes Vielfaches abspalten.

ÜbenJetzt du

  1. ○10
    Zerlege 112 so in zwei Zahlen, dass du beide leicht durch 8 dividieren kannst. Was ergibt 112 : 8?
    112: 8
    So fängst du an:
    112 = 80 + 32
    Lösung zeigen
    1. 112 = 80 + 32
    2. 80 : 8 = 10 und 32 : 8 = 4
    3. 10 + 4 = 14
    Ergebnis:
    14
  2. ●11
    Rechne halbschriftlich: 384 : 6
    Lösung zeigen
    1. 384 = 360 + 24
    2. 360 : 6 = 60 und 24 : 6 = 4
    3. 60 + 4 = 64
    Ergebnis:
    64
  3. ★12
    Rechne halbschriftlich: 564 : 6
    Lösung zeigen
    1. 564 = 540 + 24
    2. 540 : 6 = 90 und 24 : 6 = 4
    3. 90 + 4 = 94
    Ergebnis:
    94

5Ich finde Aufgaben mit gleichem Ergebnis und vergleiche Rechenausdrücke.

EntdeckenFrage

Warum stimmt der Trick „mal 9 ist mal 10 minus einmal“ immer?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Neunmal eine Zahl ist zehnmal die Zahl minus einmal die Zahl. So wird 9 · 47 zu 470 − 47 = 423. Das ist das Verteilungsgesetz: 9 ist 10 minus 1.

MerkenAusdrücke mit gleichem Wert

Verschiedene Rechenausdrücke können denselben Wert haben.

Wer die Rechengesetze nutzt, sieht das oft ohne Ausrechnen.

BeispielAufgaben mit gleichem Ergebnis

Finde die fehlende Zahl mit einem Rechengesetz: 86 + 29 = 96 + ___
86 + 29=96 + ?
Schritt für Schritt
  1. 86 wird zu 96: 10 mehr.
  2. Damit die Summe gleich bleibt, wird 29 um 10 kleiner.
  3. 29 − 10 = 19
  1. 86 wird zu 96: 10 mehr.
  2. Damit die Summe gleich bleibt, wird 29 um 10 kleiner.
  3. 29 − 10 = 19
Ergebnis:
19

AchtungPunkt vor Strich missachtet

So nicht
9 + 5 · 7 = 14 · 7 = 98
So richtig
9 + 5 · 7 = 9 + 35 = 44

Klammer zuerst, dann Mal und Geteilt, dann Plus und Minus.

ÜbenJetzt du

  1. ○13
    Finde die fehlende Zahl mit einem Rechengesetz: 65 + 79 = 75 + ___
    65 + 79=75 + ?
    So fängst du an:
    65 wird zu 75: 10 mehr.
    Lösung zeigen
    1. 65 wird zu 75: 10 mehr.
    2. Damit die Summe gleich bleibt, wird 79 um 10 kleiner.
    3. 79 − 10 = 69
    Ergebnis:
    69
  2. ●14
    Finde die fehlende Zahl mit einem Rechengesetz: 8 · 10 = 4 · ___
    8 · 10=4 · ?
    Lösung zeigen
    1. 8 wird halb so groß: 4.
    2. Damit das Ergebnis gleich bleibt, wird 10 doppelt so groß.
    3. 10 · 2 = 20
    Ergebnis:
    20
  3. ★15
    Welche Zahl fehlt? Rechne nicht beide Seiten aus. 7 · 45 + 7 · 8 = 7 · ___
    Lösung zeigen
    1. Beide Produkte haben den Faktor 7.
    2. 7 mal 45 und 7 mal 8 sind zusammen 7 mal (45 + 8).
    3. 45 + 8 = 53
    Ergebnis:
    53

6Ich rechne mit Verdoppeln und Halbieren und prüfe, ob das Ergebnis gleich bleibt.

EntdeckenFrage

Wie merkt man in Sekunden, dass 98 · 102 nicht 99.960 sein kann?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Man rechnet nicht, man überschlägt: 100 · 100 = 10.000. Das Ergebnis muss also in der Nähe von 10.000 liegen. 99.960 ist fast zehnmal so groß und kann nicht stimmen. Richtig ist 9996.

MerkenVerdoppeln und halbieren

Wird ein Faktor verdoppelt und der andere halbiert, bleibt das Produkt gleich.

Werden beide verdoppelt, wird es viermal so groß.

BeispielVerdoppeln und Halbieren

Rechne geschickt: Halbiere den einen Faktor und verdopple den anderen. 8 · 25
Schritt für Schritt
  1. 8 · 25 = 4 · 50
  2. 4 · 50 = 200
  1. 8 · 25 = 4 · 50
  2. 4 · 50 = 200
Ergebnis:
200

AchtungBeide Faktoren verdoppelt

So nicht
8 · 25 → 16 · 50 = 800
So richtig
8 · 25 → 4 · 50 = 200

Nur einer wird verdoppelt, der andere halbiert. Sonst ändert sich das Ergebnis.

ÜbenJetzt du

  1. ○16
    Paul verdoppelt bei 8 · 25 beide Faktoren und rechnet 16 · 50. Bleibt das Ergebnis gleich?
    So fängst du an:
    Einmal verdoppeln macht das Ergebnis doppelt so groß, zweimal viermal so groß.
    Lösung zeigen
    1. Einmal verdoppeln macht das Ergebnis doppelt so groß, zweimal viermal so groß.
    2. 16 · 50 = 800, aber 8 · 25 = 200
    3. Richtig ist: einen verdoppeln, den anderen halbieren.
    Ergebnis:
    Nein, viermal so groß; richtig ist 200
  2. ●17
    Warum ist 14 · 5 dasselbe wie 7 · 10? Rechne dann geschickt.
    Lösung zeigen
    1. Halb so viele Reihen, jede doppelt so lang: gleich viele Kästchen.
    2. 14 · 5 = 7 · 10
    3. 7 · 10 = 70
    Ergebnis:
    70
  3. ★18
    Rechne geschickt: Halbiere den einen Faktor und verdopple den anderen. 36 · 5
    Lösung zeigen
    1. 36 · 5 = 18 · 10
    2. 18 · 10 = 180
    Ergebnis:
    180

7Ich wähle zu einer Aufgabe den passenden Rechenweg.

EntdeckenFrage

Wie rechnen Darts-Profis blitzschnell aus, wie viele Punkte ihnen von 501 noch fehlen, wenn sie 140 geworfen haben?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Der geschickte Weg nimmt erst eine runde Zahl. 500 − 140 = 360, und der eine Extrapunkt kommt dazu: 361. Das geht schneller als 501 − 140 Stelle für Stelle. Am Ergebnis ändert der Weg nichts.

MerkenDen passenden Weg wählen

Vor dem Rechnen die Zahlen ansehen.

Liegt eine Zahl nahe an einer glatten, lohnt sich ein Vorteil, sonst rechnet man schriftlich.

BeispielDen passenden Rechenweg wählen

Welcher Weg passt zu 36 + 22 + 64? Nenne ihn und rechne.
36 + 22 + 64zerlegenhalbieren und verdoppelnschriftlich
Schritt für Schritt
  1. Zwei Zahlen ergeben zusammen 100: vertauschen und zusammenfassen.
  2. 36 + 64 = 100
  3. 100 + 22 = 122
  1. Zwei Zahlen ergeben zusammen 100: vertauschen und zusammenfassen.
  2. 36 + 64 = 100
  3. 100 + 22 = 122
Ergebnis:
vertauschen, 122

AchtungUmständlichen Weg gewählt

So nicht
299 + 158 schriftlich untereinander gerechnet, dabei verrechnet: 447
So richtig
299 + 158 = 300 + 157 = 457

Erst die Zahlen ansehen: Liegt eine nahe an einer glatten Zahl?

ÜbenJetzt du

  1. ○19
    Welchen Rechenvorteil nutzt du bei 335 + 399? Nenne ihn und rechne.
    335 + 399zerlegenhalbieren und verdoppelnschriftlich
    So fängst du an:
    399 liegt knapp unter 400: gegensinnig verändern.
    Lösung zeigen
    1. 399 liegt knapp unter 400: gegensinnig verändern.
    2. 335 + 399 = 334 + 400
    3. 334 + 400 = 734
    Ergebnis:
    gegensinnig verändern, 734
  2. ●20
    Wie rechnest du am schnellsten: 20 + 67 + 80? Nenne ihn und rechne.
    Lösung zeigen
    1. Zwei Zahlen ergeben zusammen 100: vertauschen und zusammenfassen.
    2. 20 + 80 = 100
    3. 100 + 67 = 167
    Ergebnis:
    vertauschen, 167
  3. ★21
    Welchen Rechenvorteil nutzt du bei 21 + 79 + 79? Nenne ihn und rechne.
    21 + 79 + 79zerlegenhalbieren und verdoppelnschriftlich
    Lösung zeigen
    1. Zwei Zahlen ergeben zusammen 100: vertauschen und zusammenfassen.
    2. 21 + 79 = 100
    3. 100 + 79 = 179
    Ergebnis:
    vertauschen, 179

8Ich finde Rechenfehler mit Überschlag und Umkehraufgabe.

EntdeckenFrage

Warum zählt man Rückgeld vom Preis aus nach oben, statt abzuziehen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Wer 13,40 € zahlen muss und 20 € gibt, bekommt 20 − 13,40 = 6,60 € zurück. Beim Hochzählen rechnet man die Umkehraufgabe: 13,40 + 6,60 = 20. Kommt man genau auf den gegebenen Betrag, stimmt das Rückgeld.

MerkenÜberschlag und Umkehraufgabe

Ein Überschlag mit runden Zahlen zeigt, ob ein Ergebnis stimmen kann.

Die Umkehraufgabe prüft es genau.

BeispielRechenfehler mit Überschlag und Umkehraufgabe finden

Lina erhält für 25 · 18 das Ergebnis 550. Prüfe mit einem Überschlag.
Schritt für Schritt
  1. Überschlag: 30 · 20 = 600
  2. 550 liegt in der Nähe. Genau rechnen: 25 · 18 = 450
  3. Das Ergebnis ist falsch.
  1. Überschlag: 30 · 20 = 600
  2. 550 liegt in der Nähe. Genau rechnen: 25 · 18 = 450
  3. Das Ergebnis ist falsch.
Ergebnis:
falsch, richtig ist 450

AchtungErgebnis nicht geprüft

So nicht
425 : 5 = 805, ohne Probe ins Heft
So richtig
425 : 5 → Überschlag 400 : 5 = 80 → 85, Probe 85 · 5 = 425

Mit einem Überschlag prüfen, ob die Größenordnung stimmt, dann mit der Umkehraufgabe.

ÜbenJetzt du

  1. ○22
    Lina rechnet 315 : 7 und erhält 46. Prüfe mit der Umkehraufgabe.
    315 : 7Ergebnis 46?
    So fängst du an:
    Umkehraufgabe: 46 · 7 = 322
    Lösung zeigen
    1. Umkehraufgabe: 46 · 7 = 322
    2. 322 ist nicht 315: Es ist falsch.
    3. 315 : 7 = 45
    Ergebnis:
    falsch, richtig ist 45
  2. ●23
    Lea erhält für 32 · 23 das Ergebnis 1736. Prüfe mit einem Überschlag.
    Lösung zeigen
    1. Überschlag: 30 · 20 = 600
    2. 1736 liegt zu weit weg. Genau: 32 · 23 = 736
    3. Das Ergebnis ist falsch.
    Ergebnis:
    falsch, richtig ist 736
  3. ★24
    Zeynep rechnet 4977 : 9 und erhält 553. Prüfe mit der Umkehraufgabe.
    4977 : 9Ergebnis 553?
    Lösung zeigen
    1. Umkehraufgabe: 553 · 9 = 4977
    2. 4977 ist genau 4977: Es stimmt.
    3. 4977 : 9 = 553
    Ergebnis:
    stimmt, 553

Vermischte Übungen

Alles durcheinander – wie in der Arbeit. Überleg bei jeder Aufgabe zuerst: Welches Ziel ist das?

Üben

  1. ●25
    Rechne geschickt: 34 + 43 + 26
    344326
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 34 + 26 + 43
    2. 34 + 26 = 60
    3. 60 + 43 = 103
    Ergebnis:
    103
  2. ●26
    In einem Lager stehen 2 Regale mit je 5 Kisten. In jeder Kiste sind 17 Bälle. Wie viele Bälle sind es? Rechne geschickt.
    2 Regale5 Kisten17 Bälle
    Lösung zeigen
    1. Bälle: 2 · 5 · 17
    2. 2 · 5 = 10
    3. 10 · 17 = 170
    Ergebnis:
    170 Bälle
  3. ●27
    Ergänze so, dass die Summe gleich bleibt: 97 + 76 = 100 + ___
    9776
    Lösung zeigen
    1. 97 wird zu 100: 3 mehr.
    2. Also muss 76 um 3 kleiner werden: 76 − 3 = 73
    3. 100 + 73 = 173
    Ergebnis:
    73
  4. ●28
    Rechne geschickt durch gleichsinniges Verändern: 165 − 47
    Lösung zeigen
    1. Beide Zahlen um 3 vergrößern: Der Abstand bleibt gleich.
    2. 165 − 47 = 168 − 50
    3. 168 − 50 = 118
    Ergebnis:
    118
  5. ●29
    Rechne halbschriftlich: Zerlege den zweiten Faktor. 5 · 21
    Lösung zeigen
    1. 21 = 20 + 1
    2. 5 · 20 = 100 und 5 · 1 = 5
    3. 100 + 5 = 105
    Ergebnis:
    105
  6. ●30
    Welche zwei Malaufgaben zeigen die beiden Teile des Rechtecks? Was ergibt 6 · 14?
    1046
    Lösung zeigen
    1. Links: 6 · 10 = 60
    2. Rechts: 6 · 4 = 24
    3. 6 · 14 = 60 + 24 = 84
    Ergebnis:
    6 · 10 und 6 · 4, zusammen 84

Auf einen Blick

MerkenDas Wichtigste

Vertauschen und zusammenfassen
Beim Plus und beim Mal darf man die Zahlen vertauschen und anders zusammenfassen.
Gegensinnig und gleichsinnig
Bei einer Summe gibt ein Summand ab, was der andere bekommt.
Malnehmen mit Zerlegen
Einen Faktor zerlegen, jeden Teil malnehmen und die Teilergebnisse addieren.
Teilen mit Zerlegen
Die Zahl so zerlegen, dass jeder Teil glatt aufgeht. So wird 385 : 7 zu 350 : 7 + 35 : 7.
Ausdrücke mit gleichem Wert
Verschiedene Rechenausdrücke können denselben Wert haben.
Verdoppeln und halbieren
Wird ein Faktor verdoppelt und der andere halbiert, bleibt das Produkt gleich.
Den passenden Weg wählen
Vor dem Rechnen die Zahlen ansehen.
Überschlag und Umkehraufgabe
Ein Überschlag mit runden Zahlen zeigt, ob ein Ergebnis stimmen kann.

Kannst du das?

Je Ziel eine Aufgabe. Rechne sie ins Heft, dann kreuz ehrlich an. Keine Punkte, keine Note – der Test ist für dich.

ÜbenSelbsttest

  1. Ich rechne Plusaufgaben und Malaufgaben geschickt durch Vertauschen und Zusammenfassen.

    31
    Paul rechnet 4 + 71 + 36 von links nach rechts. Zeige einen schnelleren Weg mit einem Rechenvorteil.
    47136
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    111

  2. Ich verändere Summen gegensinnig und Differenzen gleichsinnig.

    32
    Ergänze so, dass die Summe gleich bleibt: 37 + 66 = 40 + ___
    3766
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    63

  3. Ich nehme halbschriftlich mal, indem ich einen Faktor zerlege.

    33
    Rechne halbschriftlich: Zerlege den zweiten Faktor. 6 · 28
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    168

  4. Ich dividiere halbschriftlich, indem ich die Zahl geschickt zerlege.

    34
    Zerlege 78 so in zwei Zahlen, dass du beide leicht durch 6 dividieren kannst. Was ergibt 78 : 6?
    78: 6
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    13

  5. Ich finde Aufgaben mit gleichem Ergebnis und vergleiche Rechenausdrücke.

    35
    Ergänze die Lücke: 16 · 4 = 8 · ___
    16 · 4=8 · ?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    8

  6. Ich rechne mit Verdoppeln und Halbieren und prüfe, ob das Ergebnis gleich bleibt.

    36
    Warum ist 16 · 25 dasselbe wie 8 · 50? Rechne dann geschickt.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    400

  7. Ich wähle zu einer Aufgabe den passenden Rechenweg.

    37
    Welchen Rechenvorteil nutzt du bei 40 + 72 + 60? Nenne ihn und rechne.
    40 + 72 + 60zerlegenhalbieren und verdoppelnschriftlich
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    vertauschen, 172

  8. Ich finde Rechenfehler mit Überschlag und Umkehraufgabe.

    38
    Paul erhält für 83 · 27 das Ergebnis 2241. Prüfe mit einem Überschlag.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    stimmt, 2241

Bei „unsicher“ oder „noch nicht“: Lies den Abschnitt zum Ziel noch einmal und rechne seine drei Aufgaben.

Die Frage vom Anfang

EntdeckenRückschau

Rechne im Kopf, so schnell du kannst: 25 · 17 · 4. Schreib nichts auf und nimm keinen Taschenrechner.

Lies deine Vermutung vom Anfang. Kannst du die Frage jetzt mit dem Kapitel beantworten?

Auflösung

Mit dem Werkzeug aus diesem Kapitel: Vertauschen und Zusammenfassen: erst die Zahlen, die zusammen glatt werden.

Wo brauchst du das?

Entdecken

Preise im Kopf addieren, Rückgeld überschlagen, Mengen für ein Fest ausrechnen. Beruf: Kasse und Verkauf, Handwerk beim Materialberechnen, Lager und Versand.

Wörter

Differenz
was übrig bleibt, wenn man abzieht
Gleichung
zwei Rechnungen, die gleich viel wert sind
Produkt
was herauskommt, wenn man malnimmt
Summe
was herauskommt, wenn man zusammenzählt
Teiler
eine Zahl, durch die es ohne Rest aufgeht

Wie es zusammenhängt

Das brauchst du vorher: Rechenregeln, Teiler und Vielfache, Natürliche Zahlen und Stellenwert

Darauf baut auf: Sachaufgaben lösen

Lösungen

  1. 181
  2. 65
  3. 1911
  4. 135
  5. 192
  6. 964
  7. 413
  8. 224 Hefte
  9. 116
  10. 14
  11. 64
  12. 94
  13. 69
  14. 20
  15. 53
  16. Nein, viermal so groß; richtig ist 200
  17. 70
  18. 180
  19. gegensinnig verändern, 734
  20. vertauschen, 167
  21. vertauschen, 179
  22. falsch, richtig ist 45
  23. falsch, richtig ist 736
  24. stimmt, 553
  25. 103
  26. 170 Bälle
  27. 73
  28. 118
  29. 105
  30. 6 · 10 und 6 · 4, zusammen 84
  31. 111
  32. 63
  33. 168
  34. 13
  35. 8
  36. 400
  37. vertauschen, 172
  38. stimmt, 2241
  39. 31
  40. 44
  41. 51
  42. 50