Zum Inhalt springen
Anmelden

Mathematik · Klasse 5 · Kapitel

Andere ZahlenBasiswissenAlle Kapitel

Rechengesetze und Rechenvorteile

EntdeckenDie Frage zum Kapitel

Rechne im Kopf, so schnell du kannst: 25 · 17 · 4. Schreib nichts auf und nimm keinen Taschenrechner.

Schreib eine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Für die Lehrkraft: Die meisten rechnen von links: 25 · 17 und kommen durcheinander. Andere geben auf oder raten. Nur wenige sehen, dass 25 und 4 zusammen 100 ergeben. Beim Malnehmen darf man die Zahlen vertauschen. Dann steht 25 · 4 · 17 da, also 100 · 17. Das Ergebnis ist 1700, in einer Sekunde.

  • Entdecken Frage, Vorstellung, Bild
  • Merken kommt ins Heft
  • Beispiel vorgerechnet, Schritt für Schritt
  • Üben selbst rechnen
  • Achtung typischer Fehler
  • Weiterdenken zum Knobeln und Vernetzen

○ mit Starthilfe, ● für alle, ★ zum Weiterdenken. Du wählst mindestens eine ★-Aufgabe. Du rechnest ins Heft.

Fit für das Kapitel?

Das brauchst du aus früheren Themen. Klappt es nicht, frag nach, bevor es losgeht.

ÜbenWeißt du das noch?

Punkt vor Strich und Klammer zuerst – so steht es seit Klasse 4 im Heft.

  1. ●39
    Rechne: 30 − 4 · 2
    Lösung zeigen
    1. Punkt vor Strich: erst 4 · 2 = 8
    2. 30 − 8 = 22
    Ergebnis:
    22
  2. ●40
    Rechne: (2 + 6) · 6
    Lösung zeigen
    1. Die Klammer zuerst: 2 + 6 = 8
    2. 8 · 6 = 48
    Ergebnis:
    48

ÜbenWeißt du das noch?

Punkt vor Strich und Klammer zuerst – die Reihenfolge entscheidet über das Ergebnis.

  1. ●41
    Berechne: 10 + 4 · 3
    Lösung zeigen
    1. Punkt vor Strich: erst 4 · 3 = 12
    2. 10 + 12 = 22
    Ergebnis:
    22
  2. ●42
    Ich denke mir eine Zahl, addiere 25 und erhalte 31. Welche Zahl war es? (Umkehraufgabe)
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    6

So kannst du es dir vorstellen

EntdeckenZahlen umbauen, ohne den Wert zu ändern

Eine Rechnung lässt sich umbauen, ohne dass sich ihr Wert ändert. Zahlen tauschen die Plätze, bilden neue Gruppen oder werden zerlegt. Wer das sieht, rechnet mit glatten Zahlen statt mit krummen.

17 plus 38 plus 3: Erst 17 und 3 zu 20 zusammenfassen, dann 20 plus 38 sind 5817 + 38 + 317 + 3 = 20= 20 + 38 = 58

WeiterdenkenDenk nach

Warum darf man bei 25 + 38 + 75 zuerst 25 und 75 addieren, bei 50 − 20 − 10 aber nicht zuerst 20 − 10?

1Ich rechne Plusaufgaben und Malaufgaben geschickt durch Vertauschen und Zusammenfassen.

EntdeckenFrage

Wie konnte der neunjährige Carl Friedrich Gauß die Zahlen von 1 bis 100 in wenigen Minuten addieren?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Er hat die Zahlen in Paare umsortiert: 1 und 100, 2 und 99, 3 und 98. Jedes Paar ergibt 101, und es sind 50 Paare. Also 50 · 101 = 5050. Er hat nur vertauscht und neu zusammengefasst.

MerkenVertauschen und zusammenfassen

Beim Plus und beim Mal darf man die Zahlen vertauschen und anders zusammenfassen.

Erst die Zahlen nehmen, die zusammen glatt werden.

BeispielPlusaufgaben geschickt: vertauschen und zusammenfassen

Rechne geschickt: 37 + 41 + 3
37413
Schritt für Schritt
  1. Vertauschen: 37 + 3 + 41
  2. 37 + 3 = 40
  3. 40 + 41 = 81
  1. Vertauschen: 37 + 3 + 41
  2. 37 + 3 = 40
  3. 40 + 41 = 81
Ergebnis:
81

AchtungBeim Minus oder Geteilt vertauscht

So nicht
50 − 20 − 10: erst 20 − 10 = 10, dann 50 − 10 = 40
So richtig
50 − 20 − 10 = 30 − 10 = 20

Vertauschen ist nur beim Plus und beim Mal erlaubt. 20 − 5 ist nicht 5 − 20.

ÜbenJetzt du

  1. ○1
    Welche Zahlen fasst du bei 3 + 31 + 27 zuerst zusammen? Begründe und rechne.
    33127
    So fängst du an:
    Vertauschen: 3 + 27 + 31
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 3 + 27 + 31
    2. 3 + 27 = 30
    3. Zusammen glatt, der Rest ist leicht: 30 + 31 = 61
    Ergebnis:
    61
  2. ●2
    Rechne geschickt: 14 + 49 + 16
    144916
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 14 + 16 + 49
    2. 14 + 16 = 30
    3. 30 + 49 = 79
    Ergebnis:
    79
  3. ★3
    Rechne geschickt: 968 + 745 + 18 + 32 + 82
    968745183282
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 968 + 32 + 18 + 82 + 745
    2. 968 + 32 = 1000 und 18 + 82 = 100
    3. 1000 + 100 + 745 = 1845
    Ergebnis:
    1845

2Ich verändere Summen gegensinnig und Differenzen gleichsinnig.

EntdeckenFrage

Warum rechnen Kassiererinnen 3,99 € mal 4 schneller als ein Kunde mit Papier?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Sie rechnen 4 mal 4 € und ziehen dann 4 Cent ab: 16,00 € − 0,04 € = 15,96 €. Das ist Zerlegen: 3,99 ist 4 minus 1 Cent. Der Rechenweg ist kurz, weil er über die glatte Zahl geht.

MerkenGegensinnig und gleichsinnig

Bei einer Summe gibt ein Summand ab, was der andere bekommt.

Bei einer Differenz ändern sich beide Zahlen gleich, der Abstand bleibt.

BeispielSummen gegensinnig verändern

Rechne geschickt durch gegensinniges Verändern: 197 + 55
19755
Schritt für Schritt
  1. 197 bekommt 3 dazu, 55 gibt 3 ab.
  2. 197 + 55 = 200 + 52
  3. 200 + 52 = 252
  1. 197 bekommt 3 dazu, 55 gibt 3 ab.
  2. 197 + 55 = 200 + 52
  3. 200 + 52 = 252
Ergebnis:
252

AchtungNur eine Zahl verändert

So nicht
143 − 97: 143 − 100 = 43
So richtig
143 − 97 = 146 − 100 = 46

Bei der Summe gegensinnig, bei der Differenz gleichsinnig: Immer beide Zahlen verändern.

ÜbenJetzt du

  1. ○4
    Lina rechnet 99 + 36 als 100 + 36. Was muss Lina danach noch tun? Was kommt heraus?
    9936
    So fängst du an:
    Lina hat 99 um 1 vergrößert.
    Lösung zeigen
    1. Lina hat 99 um 1 vergrößert.
    2. Die Summe ist dadurch um 1 zu groß: 100 + 36 = 136.
    3. 1 wieder abziehen: 136 − 1 = 135
    Ergebnis:
    135
  2. ●5
    Ergänze so, dass die Summe gleich bleibt: 97 + 48 = 100 + ___
    9748
    Lösung zeigen
    1. 97 wird zu 100: 3 mehr.
    2. Also muss 48 um 3 kleiner werden: 48 − 3 = 45
    3. 100 + 45 = 145
    Ergebnis:
    45
  3. ★6
    Rechne geschickt durch gegensinniges Verändern: 1997 + 744
    1997744
    Lösung zeigen
    1. 1997 bekommt 3 dazu, 744 gibt 3 ab.
    2. 1997 + 744 = 2000 + 741
    3. 2000 + 741 = 2741
    Ergebnis:
    2741

3Ich nehme halbschriftlich mal, indem ich einen Faktor zerlege.

EntdeckenFrage

Wie haben Bauern in Russland früher ohne Einmaleins multipliziert?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Sie haben eine Zahl immer halbiert und die andere verdoppelt, bis links eine 1 stand. Dann addierten sie die rechten Zahlen der Zeilen mit ungerader linker Zahl. Das Verfahren heißt russische Bauernmultiplikation und nutzt, dass Verdoppeln und Halbieren das Produkt nicht ändert.

MerkenMalnehmen mit Zerlegen

Einen Faktor zerlegen, jeden Teil malnehmen und die Teilergebnisse addieren.

So wird 7 · 48 zu 7 · 40 + 7 · 8.

BeispielHalbschriftlich malnehmen mit Zerlegen

Es gibt 7 Tüten mit je 43 Bonbons. Wie viele Bonbons sind es? Rechne halbschriftlich.
Schritt für Schritt
  1. 7 · 43
  2. 43 = 40 + 3
  3. 7 · 40 = 280 und 7 · 3 = 21
  4. 280 + 21 = 301
  1. 7 · 43
  2. 43 = 40 + 3
  3. 7 · 40 = 280 und 7 · 3 = 21
  4. 280 + 21 = 301
Ergebnis:
301 Bonbons

AchtungBeim Zerlegen einen Teil vergessen

So nicht
7 · 48: 7 · 40 + 8 = 288
So richtig
7 · 48 = 7 · 40 + 7 · 8 = 280 + 56 = 336

Jeder Teil des zerlegten Faktors wird malgenommen, nicht nur der erste.

ÜbenJetzt du

  1. ○7
    Rechne halbschriftlich: Zerlege den zweiten Faktor. 7 · 59
    So fängst du an:
    59 = 50 + 9
    Lösung zeigen
    1. 59 = 50 + 9
    2. 7 · 50 = 350 und 7 · 9 = 63
    3. 350 + 63 = 413
    Ergebnis:
    413
  2. ●8
    Rechne geschickt über die glatte Zahl: 8 · 59
    Lösung zeigen
    1. 59 = 60 − 1
    2. 8 · 60 = 480 und 8 · 1 = 8
    3. 480 − 8 = 472
    Ergebnis:
    472
  3. ★9
    Rechne halbschriftlich: Zerlege den zweiten Faktor. 7 · 29
    Lösung zeigen
    1. 29 = 20 + 9
    2. 7 · 20 = 140 und 7 · 9 = 63
    3. 140 + 63 = 203
    Ergebnis:
    203

4Ich dividiere halbschriftlich, indem ich die Zahl geschickt zerlege.

EntdeckenFrage

Warum ist 25 mal 4 ein Lieblingspaar beim Kopfrechnen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

25 mal 4 ergibt genau 100. Kommen 25 und 4 in einer Malaufgabe vor, fasst man sie zuerst zusammen. Aus 25 · 37 · 4 wird dann 100 · 37 = 3700, ganz ohne schriftliches Rechnen.

MerkenTeilen mit Zerlegen

Die Zahl so zerlegen, dass jeder Teil glatt aufgeht. So wird 385 : 7 zu 350 : 7 + 35 : 7.

BeispielHalbschriftlich dividieren

Rechne halbschriftlich: 288 : 6
Schritt für Schritt
  1. 288 = 240 + 48
  2. 240 : 6 = 40 und 48 : 6 = 8
  3. 40 + 8 = 48
  1. 288 = 240 + 48
  2. 240 : 6 = 40 und 48 : 6 = 8
  3. 40 + 8 = 48
Ergebnis:
48

AchtungBeim Teilen nicht passend zerlegt

So nicht
385 : 7: 300 : 7 geht nicht glatt → aufgegeben
So richtig
385 : 7 = 350 : 7 + 35 : 7 = 50 + 5 = 55

Jeder Teil muss sich glatt teilen lassen. Erst ein großes Vielfaches abspalten.

ÜbenJetzt du

  1. ○10
    Zerlege 72 so in zwei Zahlen, dass du beide leicht durch 3 dividieren kannst. Was ergibt 72 : 3?
    72: 3
    So fängst du an:
    72 = 60 + 12
    Lösung zeigen
    1. 72 = 60 + 12
    2. 60 : 3 = 20 und 12 : 3 = 4
    3. 20 + 4 = 24
    Ergebnis:
    24
  2. ●11
    208 Bücher werden gleichmäßig auf 4 Regalböden aufgeteilt. Wie viele bekommt jeder Teil? Rechne halbschriftlich.
    Lösung zeigen
    1. 208 : 4
    2. 208 = 200 + 8
    3. 200 : 4 = 50 und 8 : 4 = 2
    4. 50 + 2 = 52
    Ergebnis:
    52 Bücher
  3. ★12
    Rechne halbschriftlich: 316 : 4
    Lösung zeigen
    1. 316 = 280 + 36
    2. 280 : 4 = 70 und 36 : 4 = 9
    3. 70 + 9 = 79
    Ergebnis:
    79

5Ich finde Aufgaben mit gleichem Ergebnis und vergleiche Rechenausdrücke.

EntdeckenFrage

Warum stimmt der Trick „mal 9 ist mal 10 minus einmal“ immer?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Neunmal eine Zahl ist zehnmal die Zahl minus einmal die Zahl. So wird 9 · 47 zu 470 − 47 = 423. Das ist das Verteilungsgesetz: 9 ist 10 minus 1.

MerkenAusdrücke mit gleichem Wert

Verschiedene Rechenausdrücke können denselben Wert haben.

Wer die Rechengesetze nutzt, sieht das oft ohne Ausrechnen.

BeispielAufgaben mit gleichem Ergebnis

Ergänze die Lücke: 54 − 14 = ___ − 15
Schritt für Schritt
  1. 14 wird zu 15: 1 mehr.
  2. Damit der Abstand bleibt, wird auch 54 um 1 größer.
  3. 54 + 1 = 55
  1. 14 wird zu 15: 1 mehr.
  2. Damit der Abstand bleibt, wird auch 54 um 1 größer.
  3. 54 + 1 = 55
Ergebnis:
55

AchtungPunkt vor Strich missachtet

So nicht
9 + 5 · 7 = 14 · 7 = 98
So richtig
9 + 5 · 7 = 9 + 35 = 44

Klammer zuerst, dann Mal und Geteilt, dann Plus und Minus.

ÜbenJetzt du

  1. ○13
    Welche Zahl fehlt? Rechne nicht beide Seiten aus. 45 − 40 = ___ − 41
    So fängst du an:
    40 wird zu 41: 1 mehr.
    Lösung zeigen
    1. 40 wird zu 41: 1 mehr.
    2. Damit der Abstand bleibt, wird auch 45 um 1 größer.
    3. 45 + 1 = 46
    Ergebnis:
    46
  2. ●14
    Finde die fehlende Zahl mit einem Rechengesetz: 80 + 65 = 79 + ___
    80 + 65=79 + ?
    Lösung zeigen
    1. 80 wird zu 79: 1 weniger.
    2. Damit die Summe gleich bleibt, wird 65 um 1 größer.
    3. 65 + 1 = 66
    Ergebnis:
    66
  3. ★15
    Ergänze die Lücke: 83 + 51 = 82 + ___
    83 + 51=82 + ?
    Lösung zeigen
    1. 83 wird zu 82: 1 weniger.
    2. Damit die Summe gleich bleibt, wird 51 um 1 größer.
    3. 51 + 1 = 52
    Ergebnis:
    52

6Ich rechne mit Verdoppeln und Halbieren und prüfe, ob das Ergebnis gleich bleibt.

EntdeckenFrage

Wie merkt man in Sekunden, dass 98 · 102 nicht 99.960 sein kann?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Man rechnet nicht, man überschlägt: 100 · 100 = 10.000. Das Ergebnis muss also in der Nähe von 10.000 liegen. 99.960 ist fast zehnmal so groß und kann nicht stimmen. Richtig ist 9996.

MerkenVerdoppeln und halbieren

Wird ein Faktor verdoppelt und der andere halbiert, bleibt das Produkt gleich.

Werden beide verdoppelt, wird es viermal so groß.

BeispielVerdoppeln und Halbieren

Rechne geschickt: Halbiere den einen Faktor und verdopple den anderen. 12 · 15
Schritt für Schritt
  1. 12 · 15 = 6 · 30
  2. 6 · 30 = 180
  1. 12 · 15 = 6 · 30
  2. 6 · 30 = 180
Ergebnis:
180

AchtungBeide Faktoren verdoppelt

So nicht
8 · 25 → 16 · 50 = 800
So richtig
8 · 25 → 4 · 50 = 200

Nur einer wird verdoppelt, der andere halbiert. Sonst ändert sich das Ergebnis.

ÜbenJetzt du

  1. ○16
    Warum ist 12 · 15 dasselbe wie 6 · 30? Rechne dann geschickt.
    So fängst du an:
    Halb so viele Reihen, jede doppelt so lang: gleich viele Kästchen.
    Lösung zeigen
    1. Halb so viele Reihen, jede doppelt so lang: gleich viele Kästchen.
    2. 12 · 15 = 6 · 30
    3. 6 · 30 = 180
    Ergebnis:
    180
  2. ●17
    Rechne geschickt: Halbiere den einen Faktor und verdopple den anderen. 8 · 25
    Lösung zeigen
    1. 8 · 25 = 4 · 50
    2. 4 · 50 = 200
    Ergebnis:
    200
  3. ★18
    Warum ist 16 · 25 dasselbe wie 8 · 50? Rechne dann geschickt.
    Lösung zeigen
    1. Halb so viele Reihen, jede doppelt so lang: gleich viele Kästchen.
    2. 16 · 25 = 8 · 50
    3. 8 · 50 = 400
    Ergebnis:
    400

7Ich wähle zu einer Aufgabe den passenden Rechenweg.

EntdeckenFrage

Wie rechnen Darts-Profis blitzschnell aus, wie viele Punkte ihnen von 501 noch fehlen, wenn sie 140 geworfen haben?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Der geschickte Weg nimmt erst eine runde Zahl. 500 − 140 = 360, und der eine Extrapunkt kommt dazu: 361. Das geht schneller als 501 − 140 Stelle für Stelle. Am Ergebnis ändert der Weg nichts.

MerkenDen passenden Weg wählen

Vor dem Rechnen die Zahlen ansehen.

Liegt eine Zahl nahe an einer glatten, lohnt sich ein Vorteil, sonst rechnet man schriftlich.

BeispielDen passenden Rechenweg wählen

Wie rechnest du am schnellsten: 364 + 399? Nenne ihn und rechne.
Schritt für Schritt
  1. 399 liegt knapp unter 400: gegensinnig verändern.
  2. 364 + 399 = 363 + 400
  3. 363 + 400 = 763
  1. 399 liegt knapp unter 400: gegensinnig verändern.
  2. 364 + 399 = 363 + 400
  3. 363 + 400 = 763
Ergebnis:
gegensinnig verändern, 763

AchtungUmständlichen Weg gewählt

So nicht
299 + 158 schriftlich untereinander gerechnet, dabei verrechnet: 447
So richtig
299 + 158 = 300 + 157 = 457

Erst die Zahlen ansehen: Liegt eine nahe an einer glatten Zahl?

ÜbenJetzt du

  1. ○19
    Welchen Rechenvorteil nutzt du bei 133 + 198? Nenne ihn und rechne.
    133 + 198zerlegenhalbieren und verdoppelnschriftlich
    So fängst du an:
    198 liegt knapp unter 200: gegensinnig verändern.
    Lösung zeigen
    1. 198 liegt knapp unter 200: gegensinnig verändern.
    2. 133 + 198 = 131 + 200
    3. 131 + 200 = 331
    Ergebnis:
    gegensinnig verändern, 331
  2. ●20
    Wie rechnest du am schnellsten: 33 + 38 + 67? Nenne ihn und rechne.
    Lösung zeigen
    1. Zwei Zahlen ergeben zusammen 100: vertauschen und zusammenfassen.
    2. 33 + 67 = 100
    3. 100 + 38 = 138
    Ergebnis:
    vertauschen, 138
  3. ★21
    Welchen Rechenvorteil nutzt du bei 7 · 71? Nenne ihn und rechne.
    7 · 71zerlegenhalbieren und verdoppelnschriftlich
    Lösung zeigen
    1. Den zweiten Faktor zerlegen: 71 = 70 + 1.
    2. 7 · 70 = 490 und 7 · 1 = 7
    3. Zusammen: 497
    Ergebnis:
    zerlegen, 497

8Ich finde Rechenfehler mit Überschlag und Umkehraufgabe.

EntdeckenFrage

Warum zählt man Rückgeld vom Preis aus nach oben, statt abzuziehen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Wer 13,40 € zahlen muss und 20 € gibt, bekommt 20 − 13,40 = 6,60 € zurück. Beim Hochzählen rechnet man die Umkehraufgabe: 13,40 + 6,60 = 20. Kommt man genau auf den gegebenen Betrag, stimmt das Rückgeld.

MerkenÜberschlag und Umkehraufgabe

Ein Überschlag mit runden Zahlen zeigt, ob ein Ergebnis stimmen kann.

Die Umkehraufgabe prüft es genau.

BeispielRechenfehler mit Überschlag und Umkehraufgabe finden

Lina rechnet 270 : 5 und erhält 56. Prüfe mit der Umkehraufgabe.
270 : 5Ergebnis 56?
Schritt für Schritt
  1. Umkehraufgabe: 56 · 5 = 280
  2. 280 ist nicht 270: Es ist falsch.
  3. 270 : 5 = 54
  1. Umkehraufgabe: 56 · 5 = 280
  2. 280 ist nicht 270: Es ist falsch.
  3. 270 : 5 = 54
Ergebnis:
falsch, richtig ist 54

AchtungErgebnis nicht geprüft

So nicht
425 : 5 = 805, ohne Probe ins Heft
So richtig
425 : 5 → Überschlag 400 : 5 = 80 → 85, Probe 85 · 5 = 425

Mit einem Überschlag prüfen, ob die Größenordnung stimmt, dann mit der Umkehraufgabe.

ÜbenJetzt du

  1. ○22
    Lea rechnet 575 − 512 und erhält 63. Prüfe mit der Umkehraufgabe.
    So fängst du an:
    Umkehraufgabe: 63 + 512 = 575
    Lösung zeigen
    1. Umkehraufgabe: 63 + 512 = 575
    2. 575 ist genau 575: Es stimmt.
    3. 575 − 512 = 63
    Ergebnis:
    stimmt, 63
  2. ●23
    Paul rechnet 365 − 222 und erhält 243. Prüfe mit der Umkehraufgabe.
    Lösung zeigen
    1. Umkehraufgabe: 243 + 222 = 465
    2. 465 ist nicht 365: Es ist falsch.
    3. 365 − 222 = 143
    Ergebnis:
    falsch, richtig ist 143
  3. ★24
    Hanna rechnet 3129 : 7 und erhält 448. Prüfe mit der Umkehraufgabe.
    3129 : 7Ergebnis 448?
    Lösung zeigen
    1. Umkehraufgabe: 448 · 7 = 3136
    2. 3136 ist nicht 3129: Es ist falsch.
    3. 3129 : 7 = 447
    Ergebnis:
    falsch, richtig ist 447

Vermischte Übungen

Alles durcheinander – wie in der Arbeit. Überleg bei jeder Aufgabe zuerst: Welches Ziel ist das?

Üben

  1. ●25
    Emma rechnet 11 + 42 + 19 von links nach rechts. Zeige einen schnelleren Weg mit einem Rechenvorteil.
    114219
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 11 + 19 + 42
    2. 11 + 19 = 30
    3. 30 + 42 = 72
    Ergebnis:
    72
  2. ●26
    Rechne geschickt: 6 · 5 · 20
    6520
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 20 · 5 · 6
    2. 20 · 5 = 100
    3. 100 · 6 = 600
    Ergebnis:
    600
  3. ●27
    Ergänze so, dass die Summe gleich bleibt: 197 + 27 = 200 + ___
    19727
    Lösung zeigen
    1. 197 wird zu 200: 3 mehr.
    2. Also muss 27 um 3 kleiner werden: 27 − 3 = 24
    3. 200 + 24 = 224
    Ergebnis:
    24
  4. ●28
    Rechne geschickt durch gleichsinniges Verändern: 119 − 48
    Lösung zeigen
    1. Beide Zahlen um 2 vergrößern: Der Abstand bleibt gleich.
    2. 119 − 48 = 121 − 50
    3. 121 − 50 = 71
    Ergebnis:
    71
  5. ●29
    Rechne geschickt über die glatte Zahl: 4 · 49
    Lösung zeigen
    1. 49 = 50 − 1
    2. 4 · 50 = 200 und 4 · 1 = 4
    3. 200 − 4 = 196
    Ergebnis:
    196
  6. ●30
    Noah rechnet 6 · 24 so: erst 6 · 20, dann 4 dazu. Noah erhält 124. Zeige am Bild, was fehlt.
    2046
    Lösung zeigen
    1. Der rechte Teil hat 6 Reihen mit je 4 Kästchen, nicht nur 4.
    2. Rechter Teil: 6 · 4 = 24
    3. 120 + 24 = 144
    Ergebnis:
    144

Auf einen Blick

MerkenDas Wichtigste

Vertauschen und zusammenfassen
Beim Plus und beim Mal darf man die Zahlen vertauschen und anders zusammenfassen.
Gegensinnig und gleichsinnig
Bei einer Summe gibt ein Summand ab, was der andere bekommt.
Malnehmen mit Zerlegen
Einen Faktor zerlegen, jeden Teil malnehmen und die Teilergebnisse addieren.
Teilen mit Zerlegen
Die Zahl so zerlegen, dass jeder Teil glatt aufgeht. So wird 385 : 7 zu 350 : 7 + 35 : 7.
Ausdrücke mit gleichem Wert
Verschiedene Rechenausdrücke können denselben Wert haben.
Verdoppeln und halbieren
Wird ein Faktor verdoppelt und der andere halbiert, bleibt das Produkt gleich.
Den passenden Weg wählen
Vor dem Rechnen die Zahlen ansehen.
Überschlag und Umkehraufgabe
Ein Überschlag mit runden Zahlen zeigt, ob ein Ergebnis stimmen kann.

Kannst du das?

Je Ziel eine Aufgabe. Rechne sie ins Heft, dann kreuz ehrlich an. Keine Punkte, keine Note – der Test ist für dich.

ÜbenSelbsttest

  1. Ich rechne Plusaufgaben und Malaufgaben geschickt durch Vertauschen und Zusammenfassen.

    31
    Elias rechnet 19 + 83 + 31 von links nach rechts. Zeige einen schnelleren Weg mit einem Rechenvorteil.
    198331
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    133

  2. Ich verändere Summen gegensinnig und Differenzen gleichsinnig.

    32
    Ben rechnet 49 + 82 als 50 + 82. Was muss Ben danach noch tun? Was kommt heraus?
    4982
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    131

  3. Ich nehme halbschriftlich mal, indem ich einen Faktor zerlege.

    33
    Rechne halbschriftlich: Zerlege den zweiten Faktor. 4 · 15
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    60

  4. Ich dividiere halbschriftlich, indem ich die Zahl geschickt zerlege.

    34
    Zerlege 195 so in zwei Zahlen, dass du beide leicht durch 5 dividieren kannst. Was ergibt 195 : 5?
    195: 5
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    39

  5. Ich finde Aufgaben mit gleichem Ergebnis und vergleiche Rechenausdrücke.

    35
    Finde die fehlende Zahl mit einem Rechengesetz: 23 + 45 = 21 + ___
    23 + 45=21 + ?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    47

  6. Ich rechne mit Verdoppeln und Halbieren und prüfe, ob das Ergebnis gleich bleibt.

    36
    Tom verdoppelt bei 18 · 5 beide Faktoren und rechnet 36 · 10. Bleibt das Ergebnis gleich?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    Nein, viermal so groß; richtig ist 90

  7. Ich wähle zu einer Aufgabe den passenden Rechenweg.

    37
    Wie rechnest du am schnellsten: 16 + 53 + 84? Nenne ihn und rechne.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    vertauschen, 153

  8. Ich finde Rechenfehler mit Überschlag und Umkehraufgabe.

    38
    Emma rechnet 132 : 3 und erhält 44. Prüfe mit der Umkehraufgabe.
    132 : 3Ergebnis 44?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    stimmt, 44

Bei „unsicher“ oder „noch nicht“: Lies den Abschnitt zum Ziel noch einmal und rechne seine drei Aufgaben.

Die Frage vom Anfang

EntdeckenRückschau

Rechne im Kopf, so schnell du kannst: 25 · 17 · 4. Schreib nichts auf und nimm keinen Taschenrechner.

Lies deine Vermutung vom Anfang. Kannst du die Frage jetzt mit dem Kapitel beantworten?

Auflösung

Mit dem Werkzeug aus diesem Kapitel: Vertauschen und Zusammenfassen: erst die Zahlen, die zusammen glatt werden.

Wo brauchst du das?

Entdecken

Preise im Kopf addieren, Rückgeld überschlagen, Mengen für ein Fest ausrechnen. Beruf: Kasse und Verkauf, Handwerk beim Materialberechnen, Lager und Versand.

Wörter

Differenz
was übrig bleibt, wenn man abzieht
Gleichung
zwei Rechnungen, die gleich viel wert sind
Produkt
was herauskommt, wenn man malnimmt
Summe
was herauskommt, wenn man zusammenzählt
Teiler
eine Zahl, durch die es ohne Rest aufgeht

Wie es zusammenhängt

Das brauchst du vorher: Rechenregeln, Teiler und Vielfache, Natürliche Zahlen und Stellenwert

Darauf baut auf: Sachaufgaben lösen

Lösungen

  1. 61
  2. 79
  3. 1845
  4. 135
  5. 45
  6. 2741
  7. 413
  8. 472
  9. 203
  10. 24
  11. 52 Bücher
  12. 79
  13. 46
  14. 66
  15. 52
  16. 180
  17. 200
  18. 400
  19. gegensinnig verändern, 331
  20. vertauschen, 138
  21. zerlegen, 497
  22. stimmt, 63
  23. falsch, richtig ist 143
  24. falsch, richtig ist 447
  25. 72
  26. 600
  27. 24
  28. 71
  29. 196
  30. 144
  31. 133
  32. 131
  33. 60
  34. 39
  35. 47
  36. Nein, viermal so groß; richtig ist 90
  37. vertauschen, 153
  38. stimmt, 44
  39. 22
  40. 48
  41. 22
  42. 6