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Mathematik · Klasse 5 · Kapitel

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Rechengesetze und Rechenvorteile

EntdeckenDie Frage zum Kapitel

Rechne im Kopf, so schnell du kannst: 25 · 17 · 4. Schreib nichts auf und nimm keinen Taschenrechner.

Schreib eine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Für die Lehrkraft: Die meisten rechnen von links: 25 · 17 und kommen durcheinander. Andere geben auf oder raten. Nur wenige sehen, dass 25 und 4 zusammen 100 ergeben. Beim Malnehmen darf man die Zahlen vertauschen. Dann steht 25 · 4 · 17 da, also 100 · 17. Das Ergebnis ist 1700, in einer Sekunde.

  • Entdecken Frage, Vorstellung, Bild
  • Merken kommt ins Heft
  • Beispiel vorgerechnet, Schritt für Schritt
  • Üben selbst rechnen
  • Achtung typischer Fehler
  • Weiterdenken zum Knobeln und Vernetzen

○ mit Starthilfe, ● für alle, ★ zum Weiterdenken. Du wählst mindestens eine ★-Aufgabe. Du rechnest ins Heft.

Fit für das Kapitel?

Das brauchst du aus früheren Themen. Klappt es nicht, frag nach, bevor es losgeht.

ÜbenWeißt du das noch?

Punkt vor Strich und Klammer zuerst – so steht es seit Klasse 4 im Heft.

  1. ●39
    Rechne: 28 − 2 · 5
    Lösung zeigen
    1. Punkt vor Strich: erst 2 · 5 = 10
    2. 28 − 10 = 18
    Ergebnis:
    18
  2. ●40
    Rechne: (2 + 2) · 7
    Lösung zeigen
    1. Die Klammer zuerst: 2 + 2 = 4
    2. 4 · 7 = 28
    Ergebnis:
    28

ÜbenWeißt du das noch?

Punkt vor Strich und Klammer zuerst – die Reihenfolge entscheidet über das Ergebnis.

  1. ●41
    Berechne: 11 + 4 · 6
    Lösung zeigen
    1. Punkt vor Strich: erst 4 · 6 = 24
    2. 11 + 24 = 35
    Ergebnis:
    35
  2. ●42
    Ich denke mir eine Zahl, addiere 36 und erhalte 83. Welche Zahl war es? (Umkehraufgabe)
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    47

So kannst du es dir vorstellen

EntdeckenZahlen umbauen, ohne den Wert zu ändern

Eine Rechnung lässt sich umbauen, ohne dass sich ihr Wert ändert. Zahlen tauschen die Plätze, bilden neue Gruppen oder werden zerlegt. Wer das sieht, rechnet mit glatten Zahlen statt mit krummen.

17 plus 38 plus 3: Erst 17 und 3 zu 20 zusammenfassen, dann 20 plus 38 sind 5817 + 38 + 317 + 3 = 20= 20 + 38 = 58

WeiterdenkenDenk nach

Warum darf man bei 25 + 38 + 75 zuerst 25 und 75 addieren, bei 50 − 20 − 10 aber nicht zuerst 20 − 10?

1Ich rechne Plusaufgaben und Malaufgaben geschickt durch Vertauschen und Zusammenfassen.

EntdeckenFrage

Wie konnte der neunjährige Carl Friedrich Gauß die Zahlen von 1 bis 100 in wenigen Minuten addieren?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Er hat die Zahlen in Paare umsortiert: 1 und 100, 2 und 99, 3 und 98. Jedes Paar ergibt 101, und es sind 50 Paare. Also 50 · 101 = 5050. Er hat nur vertauscht und neu zusammengefasst.

MerkenVertauschen und zusammenfassen

Beim Plus und beim Mal darf man die Zahlen vertauschen und anders zusammenfassen.

Erst die Zahlen nehmen, die zusammen glatt werden.

BeispielPlusaufgaben geschickt: vertauschen und zusammenfassen

Rechne geschickt: 21 + 34 + 29
213429
Schritt für Schritt
  1. Vertauschen: 21 + 29 + 34
  2. 21 + 29 = 50
  3. 50 + 34 = 84
  1. Vertauschen: 21 + 29 + 34
  2. 21 + 29 = 50
  3. 50 + 34 = 84
Ergebnis:
84

AchtungBeim Minus oder Geteilt vertauscht

So nicht
50 − 20 − 10: erst 20 − 10 = 10, dann 50 − 10 = 40
So richtig
50 − 20 − 10 = 30 − 10 = 20

Vertauschen ist nur beim Plus und beim Mal erlaubt. 20 − 5 ist nicht 5 − 20.

ÜbenJetzt du

  1. ○1
    Paul rechnet 44 + 39 + 56 von links nach rechts. Zeige einen schnelleren Weg mit einem Rechenvorteil.
    443956
    So fängst du an:
    Vertauschen: 44 + 56 + 39
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 44 + 56 + 39
    2. 44 + 56 = 100
    3. 100 + 39 = 139
    Ergebnis:
    139
  2. ●2
    Welche Zahlen fasst du bei 26 + 69 + 4 zuerst zusammen? Begründe und rechne.
    26694
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 26 + 4 + 69
    2. 26 + 4 = 30
    3. Zusammen glatt, der Rest ist leicht: 30 + 69 = 99
    Ergebnis:
    99
  3. ★3
    Welche Zahlen fasst du bei 95 + 239 + 105 zuerst zusammen? Begründe und rechne.
    95239105
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 95 + 105 + 239
    2. 95 + 105 = 200
    3. Zusammen glatt, der Rest ist leicht: 200 + 239 = 439
    Ergebnis:
    439

2Ich verändere Summen gegensinnig und Differenzen gleichsinnig.

EntdeckenFrage

Warum rechnen Kassiererinnen 3,99 € mal 4 schneller als ein Kunde mit Papier?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Sie rechnen 4 mal 4 € und ziehen dann 4 Cent ab: 16,00 € − 0,04 € = 15,96 €. Das ist Zerlegen: 3,99 ist 4 minus 1 Cent. Der Rechenweg ist kurz, weil er über die glatte Zahl geht.

MerkenGegensinnig und gleichsinnig

Bei einer Summe gibt ein Summand ab, was der andere bekommt.

Bei einer Differenz ändern sich beide Zahlen gleich, der Abstand bleibt.

BeispielSummen gegensinnig verändern

Rechne geschickt durch gegensinniges Verändern: 48 + 56
4856
Schritt für Schritt
  1. 48 bekommt 2 dazu, 56 gibt 2 ab.
  2. 48 + 56 = 50 + 54
  3. 50 + 54 = 104
  1. 48 bekommt 2 dazu, 56 gibt 2 ab.
  2. 48 + 56 = 50 + 54
  3. 50 + 54 = 104
Ergebnis:
104

AchtungNur eine Zahl verändert

So nicht
143 − 97: 143 − 100 = 43
So richtig
143 − 97 = 146 − 100 = 46

Bei der Summe gegensinnig, bei der Differenz gleichsinnig: Immer beide Zahlen verändern.

ÜbenJetzt du

  1. ○4
    Can rechnet 298 + 24 als 300 + 24. Was muss Can danach noch tun? Was kommt heraus?
    29824
    So fängst du an:
    Can hat 298 um 2 vergrößert.
    Lösung zeigen
    1. Can hat 298 um 2 vergrößert.
    2. Die Summe ist dadurch um 2 zu groß: 300 + 24 = 324.
    3. 2 wieder abziehen: 324 − 2 = 322
    Ergebnis:
    322
  2. ●5
    Ergänze so, dass die Summe gleich bleibt: 297 + 56 = 300 + ___
    29756
    Lösung zeigen
    1. 297 wird zu 300: 3 mehr.
    2. Also muss 56 um 3 kleiner werden: 56 − 3 = 53
    3. 300 + 53 = 353
    Ergebnis:
    53
  3. ★6
    Rechne geschickt durch gegensinniges Verändern: 399 + 128
    399128
    Lösung zeigen
    1. 399 bekommt 1 dazu, 128 gibt 1 ab.
    2. 399 + 128 = 400 + 127
    3. 400 + 127 = 527
    Ergebnis:
    527

3Ich nehme halbschriftlich mal, indem ich einen Faktor zerlege.

EntdeckenFrage

Wie haben Bauern in Russland früher ohne Einmaleins multipliziert?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Sie haben eine Zahl immer halbiert und die andere verdoppelt, bis links eine 1 stand. Dann addierten sie die rechten Zahlen der Zeilen mit ungerader linker Zahl. Das Verfahren heißt russische Bauernmultiplikation und nutzt, dass Verdoppeln und Halbieren das Produkt nicht ändert.

MerkenMalnehmen mit Zerlegen

Einen Faktor zerlegen, jeden Teil malnehmen und die Teilergebnisse addieren.

So wird 7 · 48 zu 7 · 40 + 7 · 8.

BeispielHalbschriftlich malnehmen mit Zerlegen

Rechne halbschriftlich: Zerlege den zweiten Faktor. 9 · 13
Schritt für Schritt
  1. 13 = 10 + 3
  2. 9 · 10 = 90 und 9 · 3 = 27
  3. 90 + 27 = 117
  1. 13 = 10 + 3
  2. 9 · 10 = 90 und 9 · 3 = 27
  3. 90 + 27 = 117
Ergebnis:
117

AchtungBeim Zerlegen einen Teil vergessen

So nicht
7 · 48: 7 · 40 + 8 = 288
So richtig
7 · 48 = 7 · 40 + 7 · 8 = 280 + 56 = 336

Jeder Teil des zerlegten Faktors wird malgenommen, nicht nur der erste.

ÜbenJetzt du

  1. ○7
    Rechne geschickt über die glatte Zahl: 5 · 39
    So fängst du an:
    39 = 40 − 1
    Lösung zeigen
    1. 39 = 40 − 1
    2. 5 · 40 = 200 und 5 · 1 = 5
    3. 200 − 5 = 195
    Ergebnis:
    195
  2. ●8
    Es gibt 6 Hefte mit je 58 Hefte. Wie viele Hefte sind es? Rechne halbschriftlich.
    Lösung zeigen
    1. 6 · 58
    2. 58 = 50 + 8
    3. 6 · 50 = 300 und 6 · 8 = 48
    4. 300 + 48 = 348
    Ergebnis:
    348 Hefte
  3. ★9
    Rechne halbschriftlich: Zerlege den zweiten Faktor. 7 · 31
    Lösung zeigen
    1. 31 = 30 + 1
    2. 7 · 30 = 210 und 7 · 1 = 7
    3. 210 + 7 = 217
    Ergebnis:
    217

4Ich dividiere halbschriftlich, indem ich die Zahl geschickt zerlege.

EntdeckenFrage

Warum ist 25 mal 4 ein Lieblingspaar beim Kopfrechnen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

25 mal 4 ergibt genau 100. Kommen 25 und 4 in einer Malaufgabe vor, fasst man sie zuerst zusammen. Aus 25 · 37 · 4 wird dann 100 · 37 = 3700, ganz ohne schriftliches Rechnen.

MerkenTeilen mit Zerlegen

Die Zahl so zerlegen, dass jeder Teil glatt aufgeht. So wird 385 : 7 zu 350 : 7 + 35 : 7.

BeispielHalbschriftlich dividieren

156 Murmeln werden gleichmäßig auf 6 Säckchen aufgeteilt. Wie viele bekommt jeder Teil? Rechne halbschriftlich.
Schritt für Schritt
  1. 156 : 6
  2. 156 = 120 + 36
  3. 120 : 6 = 20 und 36 : 6 = 6
  4. 20 + 6 = 26
  1. 156 : 6
  2. 156 = 120 + 36
  3. 120 : 6 = 20 und 36 : 6 = 6
  4. 20 + 6 = 26
Ergebnis:
26 Murmeln

AchtungBeim Teilen nicht passend zerlegt

So nicht
385 : 7: 300 : 7 geht nicht glatt → aufgegeben
So richtig
385 : 7 = 350 : 7 + 35 : 7 = 50 + 5 = 55

Jeder Teil muss sich glatt teilen lassen. Erst ein großes Vielfaches abspalten.

ÜbenJetzt du

  1. ○10
    Rechne halbschriftlich: 488 : 8
    So fängst du an:
    488 = 480 + 8
    Lösung zeigen
    1. 488 = 480 + 8
    2. 480 : 8 = 60 und 8 : 8 = 1
    3. 60 + 1 = 61
    Ergebnis:
    61
  2. ●11
    Rechne halbschriftlich: 513 : 9
    Lösung zeigen
    1. 513 = 450 + 63
    2. 450 : 9 = 50 und 63 : 9 = 7
    3. 50 + 7 = 57
    Ergebnis:
    57
  3. ★12
    Zerlege 294 so in zwei Zahlen, dass du beide leicht durch 6 dividieren kannst. Was ergibt 294 : 6?
    294: 6
    Lösung zeigen
    1. 294 = 240 + 54
    2. 240 : 6 = 40 und 54 : 6 = 9
    3. 40 + 9 = 49
    Ergebnis:
    49

5Ich finde Aufgaben mit gleichem Ergebnis und vergleiche Rechenausdrücke.

EntdeckenFrage

Warum stimmt der Trick „mal 9 ist mal 10 minus einmal“ immer?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Neunmal eine Zahl ist zehnmal die Zahl minus einmal die Zahl. So wird 9 · 47 zu 470 − 47 = 423. Das ist das Verteilungsgesetz: 9 ist 10 minus 1.

MerkenAusdrücke mit gleichem Wert

Verschiedene Rechenausdrücke können denselben Wert haben.

Wer die Rechengesetze nutzt, sieht das oft ohne Ausrechnen.

BeispielAufgaben mit gleichem Ergebnis

Welche Zahl fehlt? Rechne nicht beide Seiten aus. 90 − 75 = ___ − 85
Schritt für Schritt
  1. 75 wird zu 85: 10 mehr.
  2. Damit der Abstand bleibt, wird auch 90 um 10 größer.
  3. 90 + 10 = 100
  1. 75 wird zu 85: 10 mehr.
  2. Damit der Abstand bleibt, wird auch 90 um 10 größer.
  3. 90 + 10 = 100
Ergebnis:
100

AchtungPunkt vor Strich missachtet

So nicht
9 + 5 · 7 = 14 · 7 = 98
So richtig
9 + 5 · 7 = 9 + 35 = 44

Klammer zuerst, dann Mal und Geteilt, dann Plus und Minus.

ÜbenJetzt du

  1. ○13
    Ergänze die Lücke: 28 + 25 = 30 + ___
    28 + 25=30 + ?
    So fängst du an:
    28 wird zu 30: 2 mehr.
    Lösung zeigen
    1. 28 wird zu 30: 2 mehr.
    2. Damit die Summe gleich bleibt, wird 25 um 2 kleiner.
    3. 25 − 2 = 23
    Ergebnis:
    23
  2. ●14
    Ergänze die Lücke: 38 + 23 = 41 + ___
    38 + 23=41 + ?
    Lösung zeigen
    1. 38 wird zu 41: 3 mehr.
    2. Damit die Summe gleich bleibt, wird 23 um 3 kleiner.
    3. 23 − 3 = 20
    Ergebnis:
    20
  3. ★15
    Welche Zahl fehlt? Rechne nicht beide Seiten aus. 14 · 7 = 7 · ___
    Lösung zeigen
    1. 14 wird halb so groß: 7.
    2. Damit das Ergebnis gleich bleibt, wird 7 doppelt so groß.
    3. 7 · 2 = 14
    Ergebnis:
    14

6Ich rechne mit Verdoppeln und Halbieren und prüfe, ob das Ergebnis gleich bleibt.

EntdeckenFrage

Wie merkt man in Sekunden, dass 98 · 102 nicht 99.960 sein kann?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Man rechnet nicht, man überschlägt: 100 · 100 = 10.000. Das Ergebnis muss also in der Nähe von 10.000 liegen. 99.960 ist fast zehnmal so groß und kann nicht stimmen. Richtig ist 9996.

MerkenVerdoppeln und halbieren

Wird ein Faktor verdoppelt und der andere halbiert, bleibt das Produkt gleich.

Werden beide verdoppelt, wird es viermal so groß.

BeispielVerdoppeln und Halbieren

Rechne geschickt: Halbiere den einen Faktor und verdopple den anderen. 14 · 15
Schritt für Schritt
  1. 14 · 15 = 7 · 30
  2. 7 · 30 = 210
  1. 14 · 15 = 7 · 30
  2. 7 · 30 = 210
Ergebnis:
210

AchtungBeide Faktoren verdoppelt

So nicht
8 · 25 → 16 · 50 = 800
So richtig
8 · 25 → 4 · 50 = 200

Nur einer wird verdoppelt, der andere halbiert. Sonst ändert sich das Ergebnis.

ÜbenJetzt du

  1. ○16
    Jonas verdoppelt bei 14 · 5 beide Faktoren und rechnet 28 · 10. Bleibt das Ergebnis gleich?
    So fängst du an:
    Einmal verdoppeln macht das Ergebnis doppelt so groß, zweimal viermal so groß.
    Lösung zeigen
    1. Einmal verdoppeln macht das Ergebnis doppelt so groß, zweimal viermal so groß.
    2. 28 · 10 = 280, aber 14 · 5 = 70
    3. Richtig ist: einen verdoppeln, den anderen halbieren.
    Ergebnis:
    Nein, viermal so groß; richtig ist 70
  2. ●17
    Lina verdoppelt bei 16 · 25 beide Faktoren und rechnet 32 · 50. Bleibt das Ergebnis gleich?
    Lösung zeigen
    1. Einmal verdoppeln macht das Ergebnis doppelt so groß, zweimal viermal so groß.
    2. 32 · 50 = 1600, aber 16 · 25 = 400
    3. Richtig ist: einen verdoppeln, den anderen halbieren.
    Ergebnis:
    Nein, viermal so groß; richtig ist 400
  3. ★18
    Paul verdoppelt bei 18 · 45 beide Faktoren und rechnet 36 · 90. Bleibt das Ergebnis gleich?
    Lösung zeigen
    1. Einmal verdoppeln macht das Ergebnis doppelt so groß, zweimal viermal so groß.
    2. 36 · 90 = 3240, aber 18 · 45 = 810
    3. Richtig ist: einen verdoppeln, den anderen halbieren.
    Ergebnis:
    Nein, viermal so groß; richtig ist 810

7Ich wähle zu einer Aufgabe den passenden Rechenweg.

EntdeckenFrage

Wie rechnen Darts-Profis blitzschnell aus, wie viele Punkte ihnen von 501 noch fehlen, wenn sie 140 geworfen haben?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Der geschickte Weg nimmt erst eine runde Zahl. 500 − 140 = 360, und der eine Extrapunkt kommt dazu: 361. Das geht schneller als 501 − 140 Stelle für Stelle. Am Ergebnis ändert der Weg nichts.

MerkenDen passenden Weg wählen

Vor dem Rechnen die Zahlen ansehen.

Liegt eine Zahl nahe an einer glatten, lohnt sich ein Vorteil, sonst rechnet man schriftlich.

BeispielDen passenden Rechenweg wählen

Welcher Weg passt zu 21 + 67 + 79? Nenne ihn und rechne.
21 + 67 + 79zerlegenhalbieren und verdoppelnschriftlich
Schritt für Schritt
  1. Zwei Zahlen ergeben zusammen 100: vertauschen und zusammenfassen.
  2. 21 + 79 = 100
  3. 100 + 67 = 167
  1. Zwei Zahlen ergeben zusammen 100: vertauschen und zusammenfassen.
  2. 21 + 79 = 100
  3. 100 + 67 = 167
Ergebnis:
vertauschen, 167

AchtungUmständlichen Weg gewählt

So nicht
299 + 158 schriftlich untereinander gerechnet, dabei verrechnet: 447
So richtig
299 + 158 = 300 + 157 = 457

Erst die Zahlen ansehen: Liegt eine nahe an einer glatten Zahl?

ÜbenJetzt du

  1. ○19
    Welcher Weg passt zu 25 + 21 + 75? Nenne ihn und rechne.
    25 + 21 + 75zerlegenhalbieren und verdoppelnschriftlich
    So fängst du an:
    Zwei Zahlen ergeben zusammen 100: vertauschen und zusammenfassen.
    Lösung zeigen
    1. Zwei Zahlen ergeben zusammen 100: vertauschen und zusammenfassen.
    2. 25 + 75 = 100
    3. 100 + 21 = 121
    Ergebnis:
    vertauschen, 121
  2. ●20
    Wie rechnest du am schnellsten: 16 · 5? Nenne ihn und rechne.
    Lösung zeigen
    1. 5 wird verdoppelt glatt: halbieren und verdoppeln.
    2. 16 · 5 = 8 · 10
    3. 8 · 10 = 80
    Ergebnis:
    halbieren und verdoppeln, 80
  3. ★21
    Wie rechnest du am schnellsten: 329 + 497? Nenne ihn und rechne.
    Lösung zeigen
    1. 497 liegt knapp unter 500: gegensinnig verändern.
    2. 329 + 497 = 326 + 500
    3. 326 + 500 = 826
    Ergebnis:
    gegensinnig verändern, 826

8Ich finde Rechenfehler mit Überschlag und Umkehraufgabe.

EntdeckenFrage

Warum zählt man Rückgeld vom Preis aus nach oben, statt abzuziehen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Wer 13,40 € zahlen muss und 20 € gibt, bekommt 20 − 13,40 = 6,60 € zurück. Beim Hochzählen rechnet man die Umkehraufgabe: 13,40 + 6,60 = 20. Kommt man genau auf den gegebenen Betrag, stimmt das Rückgeld.

MerkenÜberschlag und Umkehraufgabe

Ein Überschlag mit runden Zahlen zeigt, ob ein Ergebnis stimmen kann.

Die Umkehraufgabe prüft es genau.

BeispielRechenfehler mit Überschlag und Umkehraufgabe finden

Ben erhält für 78 · 41 das Ergebnis 3298. Prüfe mit einem Überschlag.
Schritt für Schritt
  1. Überschlag: 80 · 40 = 3200
  2. 3298 liegt zu weit weg. Genau: 78 · 41 = 3198
  3. Das Ergebnis ist falsch.
  1. Überschlag: 80 · 40 = 3200
  2. 3298 liegt zu weit weg. Genau: 78 · 41 = 3198
  3. Das Ergebnis ist falsch.
Ergebnis:
falsch, richtig ist 3198

AchtungErgebnis nicht geprüft

So nicht
425 : 5 = 805, ohne Probe ins Heft
So richtig
425 : 5 → Überschlag 400 : 5 = 80 → 85, Probe 85 · 5 = 425

Mit einem Überschlag prüfen, ob die Größenordnung stimmt, dann mit der Umkehraufgabe.

ÜbenJetzt du

  1. ○22
    Elias rechnet 472 − 232 und erhält 340. Prüfe mit der Umkehraufgabe.
    So fängst du an:
    Umkehraufgabe: 340 + 232 = 572
    Lösung zeigen
    1. Umkehraufgabe: 340 + 232 = 572
    2. 572 ist nicht 472: Es ist falsch.
    3. 472 − 232 = 240
    Ergebnis:
    falsch, richtig ist 240
  2. ●23
    Mia erhält für 75 · 33 das Ergebnis 3475. Prüfe mit einem Überschlag.
    Lösung zeigen
    1. Überschlag: 80 · 30 = 2400
    2. 3475 liegt zu weit weg. Genau: 75 · 33 = 2475
    3. Das Ergebnis ist falsch.
    Ergebnis:
    falsch, richtig ist 2475
  3. ★24
    Jonas erhält für 421 · 35 das Ergebnis 15.735. Prüfe mit einem Überschlag.
    Lösung zeigen
    1. Überschlag: 400 · 40 = 16.000
    2. 15.735 liegt in der Nähe. Genau rechnen: 421 · 35 = 14.735
    3. Das Ergebnis ist falsch.
    Ergebnis:
    falsch, richtig ist 14.735

Vermischte Übungen

Alles durcheinander – wie in der Arbeit. Überleg bei jeder Aufgabe zuerst: Welches Ziel ist das?

Üben

  1. ●25
    Rechne geschickt: 11 + 38 + 9
    11389
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    1. Vertauschen: 11 + 9 + 38
    2. 11 + 9 = 20
    3. 20 + 38 = 58
    Ergebnis:
    58
  2. ●26
    Rechne geschickt: 5 · 25 · 4
    5254
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 25 · 4 · 5
    2. 25 · 4 = 100
    3. 100 · 5 = 500
    Ergebnis:
    500
  3. ●27
    Jonas rechnet 69 + 59 als 70 + 59. Was muss Jonas danach noch tun? Was kommt heraus?
    6959
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    1. Jonas hat 69 um 1 vergrößert.
    2. Die Summe ist dadurch um 1 zu groß: 70 + 59 = 129.
    3. 1 wieder abziehen: 129 − 1 = 128
    Ergebnis:
    128
  4. ●28
    Rechne geschickt durch gleichsinniges Verändern: 169 − 97
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    1. Beide Zahlen um 3 vergrößern: Der Abstand bleibt gleich.
    2. 169 − 97 = 172 − 100
    3. 172 − 100 = 72
    Ergebnis:
    72
  5. ●29
    Rechne halbschriftlich: Zerlege den zweiten Faktor. 4 · 62
    Lösung zeigen
    1. 62 = 60 + 2
    2. 4 · 60 = 240 und 4 · 2 = 8
    3. 240 + 8 = 248
    Ergebnis:
    248
  6. ●30
    Emma rechnet 6 · 19 so: erst 6 · 10, dann 9 dazu. Emma erhält 69. Zeige am Bild, was fehlt.
    1096
    Lösung zeigen
    1. Der rechte Teil hat 6 Reihen mit je 9 Kästchen, nicht nur 9.
    2. Rechter Teil: 6 · 9 = 54
    3. 60 + 54 = 114
    Ergebnis:
    114

Auf einen Blick

MerkenDas Wichtigste

Vertauschen und zusammenfassen
Beim Plus und beim Mal darf man die Zahlen vertauschen und anders zusammenfassen.
Gegensinnig und gleichsinnig
Bei einer Summe gibt ein Summand ab, was der andere bekommt.
Malnehmen mit Zerlegen
Einen Faktor zerlegen, jeden Teil malnehmen und die Teilergebnisse addieren.
Teilen mit Zerlegen
Die Zahl so zerlegen, dass jeder Teil glatt aufgeht. So wird 385 : 7 zu 350 : 7 + 35 : 7.
Ausdrücke mit gleichem Wert
Verschiedene Rechenausdrücke können denselben Wert haben.
Verdoppeln und halbieren
Wird ein Faktor verdoppelt und der andere halbiert, bleibt das Produkt gleich.
Den passenden Weg wählen
Vor dem Rechnen die Zahlen ansehen.
Überschlag und Umkehraufgabe
Ein Überschlag mit runden Zahlen zeigt, ob ein Ergebnis stimmen kann.

Kannst du das?

Je Ziel eine Aufgabe. Rechne sie ins Heft, dann kreuz ehrlich an. Keine Punkte, keine Note – der Test ist für dich.

ÜbenSelbsttest

  1. Ich rechne Plusaufgaben und Malaufgaben geschickt durch Vertauschen und Zusammenfassen.

    31
    Lea rechnet 14 + 81 + 36 von links nach rechts. Zeige einen schnelleren Weg mit einem Rechenvorteil.
    148136
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    131

  2. Ich verändere Summen gegensinnig und Differenzen gleichsinnig.

    32
    Ergänze so, dass die Summe gleich bleibt: 37 + 68 = 40 + ___
    3768
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    65

  3. Ich nehme halbschriftlich mal, indem ich einen Faktor zerlege.

    33
    Rechne geschickt über die glatte Zahl: 7 · 39
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    Ergebnis:
    273

  4. Ich dividiere halbschriftlich, indem ich die Zahl geschickt zerlege.

    34
    522 Sticker werden gleichmäßig auf 9 Kinder aufgeteilt. Wie viele bekommt jeder Teil? Rechne halbschriftlich.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    58 Sticker

  5. Ich finde Aufgaben mit gleichem Ergebnis und vergleiche Rechenausdrücke.

    35
    Ergänze die Lücke: 40 − 33 = ___ − 43
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    50

  6. Ich rechne mit Verdoppeln und Halbieren und prüfe, ob das Ergebnis gleich bleibt.

    36
    Rechne geschickt: Halbiere den einen Faktor und verdopple den anderen. 8 · 25
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    200

  7. Ich wähle zu einer Aufgabe den passenden Rechenweg.

    37
    Wie rechnest du am schnellsten: 8 · 68? Nenne ihn und rechne.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    zerlegen, 544

  8. Ich finde Rechenfehler mit Überschlag und Umkehraufgabe.

    38
    Zeynep erhält für 48 · 24 das Ergebnis 1352. Prüfe mit einem Überschlag.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    falsch, richtig ist 1152

Bei „unsicher“ oder „noch nicht“: Lies den Abschnitt zum Ziel noch einmal und rechne seine drei Aufgaben.

Die Frage vom Anfang

EntdeckenRückschau

Rechne im Kopf, so schnell du kannst: 25 · 17 · 4. Schreib nichts auf und nimm keinen Taschenrechner.

Lies deine Vermutung vom Anfang. Kannst du die Frage jetzt mit dem Kapitel beantworten?

Auflösung

Mit dem Werkzeug aus diesem Kapitel: Vertauschen und Zusammenfassen: erst die Zahlen, die zusammen glatt werden.

Wo brauchst du das?

Entdecken

Preise im Kopf addieren, Rückgeld überschlagen, Mengen für ein Fest ausrechnen. Beruf: Kasse und Verkauf, Handwerk beim Materialberechnen, Lager und Versand.

Wörter

Differenz
was übrig bleibt, wenn man abzieht
Gleichung
zwei Rechnungen, die gleich viel wert sind
Produkt
was herauskommt, wenn man malnimmt
Summe
was herauskommt, wenn man zusammenzählt
Teiler
eine Zahl, durch die es ohne Rest aufgeht

Wie es zusammenhängt

Das brauchst du vorher: Rechenregeln, Teiler und Vielfache, Natürliche Zahlen und Stellenwert

Darauf baut auf: Sachaufgaben lösen

Lösungen

  1. 139
  2. 99
  3. 439
  4. 322
  5. 53
  6. 527
  7. 195
  8. 348 Hefte
  9. 217
  10. 61
  11. 57
  12. 49
  13. 23
  14. 20
  15. 14
  16. Nein, viermal so groß; richtig ist 70
  17. Nein, viermal so groß; richtig ist 400
  18. Nein, viermal so groß; richtig ist 810
  19. vertauschen, 121
  20. halbieren und verdoppeln, 80
  21. gegensinnig verändern, 826
  22. falsch, richtig ist 240
  23. falsch, richtig ist 2475
  24. falsch, richtig ist 14.735
  25. 58
  26. 500
  27. 128
  28. 72
  29. 248
  30. 114
  31. 131
  32. 65
  33. 273
  34. 58 Sticker
  35. 50
  36. 200
  37. zerlegen, 544
  38. falsch, richtig ist 1152
  39. 18
  40. 28
  41. 35
  42. 47