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Mathematik · Klasse 5 · Kapitel

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Rechengesetze und Rechenvorteile

EntdeckenDie Frage zum Kapitel

Rechne im Kopf, so schnell du kannst: 25 · 17 · 4. Schreib nichts auf und nimm keinen Taschenrechner.

Schreib eine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Für die Lehrkraft: Die meisten rechnen von links: 25 · 17 und kommen durcheinander. Andere geben auf oder raten. Nur wenige sehen, dass 25 und 4 zusammen 100 ergeben. Beim Malnehmen darf man die Zahlen vertauschen. Dann steht 25 · 4 · 17 da, also 100 · 17. Das Ergebnis ist 1700, in einer Sekunde.

  • Entdecken Frage, Vorstellung, Bild
  • Merken kommt ins Heft
  • Beispiel vorgerechnet, Schritt für Schritt
  • Üben selbst rechnen
  • Achtung typischer Fehler
  • Weiterdenken zum Knobeln und Vernetzen

○ mit Starthilfe, ● für alle, ★ zum Weiterdenken. Du wählst mindestens eine ★-Aufgabe. Du rechnest ins Heft.

Fit für das Kapitel?

Das brauchst du aus früheren Themen. Klappt es nicht, frag nach, bevor es losgeht.

ÜbenWeißt du das noch?

Punkt vor Strich und Klammer zuerst – so steht es seit Klasse 4 im Heft.

  1. ●39
    Rechne: 75 − 5 · 8
    Lösung zeigen
    1. Punkt vor Strich: erst 5 · 8 = 40
    2. 75 − 40 = 35
    Ergebnis:
    35
  2. ●40
    Rechne: (6 + 6) · 5
    Lösung zeigen
    1. Die Klammer zuerst: 6 + 6 = 12
    2. 12 · 5 = 60
    Ergebnis:
    60

ÜbenWeißt du das noch?

Punkt vor Strich und Klammer zuerst – die Reihenfolge entscheidet über das Ergebnis.

  1. ●41
    Berechne: 6 + 6 · 4
    Lösung zeigen
    1. Punkt vor Strich: erst 6 · 4 = 24
    2. 6 + 24 = 30
    Ergebnis:
    30
  2. ●42
    Ich denke mir eine Zahl, addiere 13 und erhalte 36. Welche Zahl war es? (Umkehraufgabe)
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    23

So kannst du es dir vorstellen

EntdeckenZahlen umbauen, ohne den Wert zu ändern

Eine Rechnung lässt sich umbauen, ohne dass sich ihr Wert ändert. Zahlen tauschen die Plätze, bilden neue Gruppen oder werden zerlegt. Wer das sieht, rechnet mit glatten Zahlen statt mit krummen.

17 plus 38 plus 3: Erst 17 und 3 zu 20 zusammenfassen, dann 20 plus 38 sind 5817 + 38 + 317 + 3 = 20= 20 + 38 = 58

WeiterdenkenDenk nach

Warum darf man bei 25 + 38 + 75 zuerst 25 und 75 addieren, bei 50 − 20 − 10 aber nicht zuerst 20 − 10?

1Ich rechne Plusaufgaben und Malaufgaben geschickt durch Vertauschen und Zusammenfassen.

EntdeckenFrage

Wie konnte der neunjährige Carl Friedrich Gauß die Zahlen von 1 bis 100 in wenigen Minuten addieren?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Er hat die Zahlen in Paare umsortiert: 1 und 100, 2 und 99, 3 und 98. Jedes Paar ergibt 101, und es sind 50 Paare. Also 50 · 101 = 5050. Er hat nur vertauscht und neu zusammengefasst.

MerkenVertauschen und zusammenfassen

Beim Plus und beim Mal darf man die Zahlen vertauschen und anders zusammenfassen.

Erst die Zahlen nehmen, die zusammen glatt werden.

BeispielPlusaufgaben geschickt: vertauschen und zusammenfassen

Welche Zahlen fasst du bei 8 + 15 + 22 zuerst zusammen? Begründe. Rechne danach.
81522
Schritt für Schritt
  1. Vertauschen: 8 + 22 + 15
  2. 8 + 22 = 30
  3. Zusammen glatt, der Rest ist leicht: 30 + 15 = 45
  1. Vertauschen: 8 + 22 + 15
  2. 8 + 22 = 30
  3. Zusammen glatt, der Rest ist leicht: 30 + 15 = 45
Ergebnis:
45

AchtungBeim Minus oder Geteilt vertauscht

So nicht
50 − 20 − 10: erst 20 − 10 = 10, dann 50 − 10 = 40
So richtig
50 − 20 − 10 = 30 − 10 = 20

Vertauschen ist nur beim Plus und beim Mal erlaubt. 20 − 5 ist nicht 5 − 20.

ÜbenJetzt du

  1. ○1
    Ben rechnet 33 + 44 + 17 von links nach rechts. Zeige einen schnelleren Weg mit einem Rechenvorteil.
    334417
    So fängst du an:
    Vertauschen: 33 + 17 + 44
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 33 + 17 + 44
    2. 33 + 17 = 50
    3. 50 + 44 = 94
    Ergebnis:
    94
  2. ●2
    Rechne geschickt: 23 + 79 + 7
    23797
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 23 + 7 + 79
    2. 23 + 7 = 30
    3. 30 + 79 = 109
    Ergebnis:
    109
  3. ★3
    Aylin rechnet 773 + 821 + 227 von links nach rechts. Zeige einen schnelleren Weg mit einem Rechenvorteil.
    773821227
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 773 + 227 + 821
    2. 773 + 227 = 1000
    3. 1000 + 821 = 1821
    Ergebnis:
    1821

2Ich verändere Summen gegensinnig und Differenzen gleichsinnig.

EntdeckenFrage

Warum rechnen Kassiererinnen 3,99 € mal 4 schneller als ein Kunde mit Papier?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Sie rechnen 4 mal 4 € und ziehen dann 4 Cent ab: 16,00 € − 0,04 € = 15,96 €. Das ist Zerlegen: 3,99 ist 4 minus 1 Cent. Der Rechenweg ist kurz, weil er über die glatte Zahl geht.

MerkenGegensinnig und gleichsinnig

Bei einer Summe gibt ein Summand ab, was der andere bekommt.

Bei einer Differenz ändern sich beide Zahlen gleich, der Abstand bleibt.

BeispielSummen gegensinnig verändern

Jonas rechnet 38 + 29 als 40 + 29. Was muss Jonas danach noch tun? Was kommt heraus?
3829
Schritt für Schritt
  1. Jonas hat 38 um 2 vergrößert.
  2. Die Summe ist dadurch um 2 zu groß: 40 + 29 = 69.
  3. 2 wieder abziehen: 69 − 2 = 67
  1. Jonas hat 38 um 2 vergrößert.
  2. Die Summe ist dadurch um 2 zu groß: 40 + 29 = 69.
  3. 2 wieder abziehen: 69 − 2 = 67
Ergebnis:
67

AchtungNur eine Zahl verändert

So nicht
143 − 97: 143 − 100 = 43
So richtig
143 − 97 = 146 − 100 = 46

Bei der Summe gegensinnig, bei der Differenz gleichsinnig: Immer beide Zahlen verändern.

ÜbenJetzt du

  1. ○4
    Mia rechnet 198 + 65 als 200 + 65. Was muss Mia danach noch tun? Was kommt heraus?
    19865
    So fängst du an:
    Mia hat 198 um 2 vergrößert.
    Lösung zeigen
    1. Mia hat 198 um 2 vergrößert.
    2. Die Summe ist dadurch um 2 zu groß: 200 + 65 = 265.
    3. 2 wieder abziehen: 265 − 2 = 263
    Ergebnis:
    263
  2. ●5
    Paul rechnet 47 + 85 als 50 + 85. Was muss Paul danach noch tun? Was kommt heraus?
    4785
    Lösung zeigen
    1. Paul hat 47 um 3 vergrößert.
    2. Die Summe ist dadurch um 3 zu groß: 50 + 85 = 135.
    3. 3 wieder abziehen: 135 − 3 = 132
    Ergebnis:
    132
  3. ★6
    Rechne geschickt durch gegensinniges Verändern: 496 + 626
    496626
    Lösung zeigen
    1. 496 bekommt 4 dazu, 626 gibt 4 ab.
    2. 496 + 626 = 500 + 622
    3. 500 + 622 = 1122
    Ergebnis:
    1122

3Ich nehme halbschriftlich mal, indem ich einen Faktor zerlege.

EntdeckenFrage

Wie haben Bauern in Russland früher ohne Einmaleins multipliziert?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Sie haben eine Zahl immer halbiert und die andere verdoppelt, bis links eine 1 stand. Dann addierten sie die rechten Zahlen der Zeilen mit ungerader linker Zahl. Das Verfahren heißt russische Bauernmultiplikation und nutzt, dass Verdoppeln und Halbieren das Produkt nicht ändert.

Ausprobieren: Malnehmen am Rechteck

Länge und Höhe in Teile zerlegen – das Rechteck zerfällt in Teilrechtecke, und jedes ist eine leichte Malaufgabe.

MerkenMalnehmen mit Zerlegen

Einen Faktor zerlegen, jeden Teil malnehmen und die Teilergebnisse addieren.

So wird 7 · 48 zu 7 · 40 + 7 · 8.

BeispielHalbschriftlich malnehmen mit Zerlegen

Rechne halbschriftlich: Zerlege den zweiten Faktor. 6 · 46
Schritt für Schritt
  1. 46 = 40 + 6
  2. 6 · 40 = 240 und 6 · 6 = 36
  3. 240 + 36 = 276
  1. 46 = 40 + 6
  2. 6 · 40 = 240 und 6 · 6 = 36
  3. 240 + 36 = 276
Ergebnis:
276

AchtungBeim Zerlegen einen Teil vergessen

So nicht
7 · 48: 7 · 40 + 8 = 288
So richtig
7 · 48 = 7 · 40 + 7 · 8 = 280 + 56 = 336

Jeder Teil des zerlegten Faktors wird malgenommen, nicht nur der erste.

ÜbenJetzt du

  1. ○7
    Rechne geschickt über die glatte Zahl: 8 · 49
    So fängst du an:
    49 = 50 − 1
    Lösung zeigen
    1. 49 = 50 − 1
    2. 8 · 50 = 400 und 8 · 1 = 8
    3. 400 − 8 = 392
    Ergebnis:
    392
  2. ●8
    Rechne halbschriftlich: Zerlege den zweiten Faktor. 9 · 69
    Lösung zeigen
    1. 69 = 60 + 9
    2. 9 · 60 = 540 und 9 · 9 = 81
    3. 540 + 81 = 621
    Ergebnis:
    621
  3. ★9
    Rechne halbschriftlich mit Stellenwerten: 8 · 204
    Lösung zeigen
    1. 204 = 200 + 4
    2. 8 · 200 = 1600; 8 · 4 = 32
    3. 1600 + 32 = 1632
    Ergebnis:
    1632

4Ich dividiere halbschriftlich, indem ich die Zahl geschickt zerlege.

EntdeckenFrage

Warum ist 25 mal 4 ein Lieblingspaar beim Kopfrechnen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

25 mal 4 ergibt genau 100. Kommen 25 und 4 in einer Malaufgabe vor, fasst man sie zuerst zusammen. Aus 25 · 37 · 4 wird dann 100 · 37 = 3700, ganz ohne schriftliches Rechnen.

MerkenTeilen mit Zerlegen

Die Zahl so zerlegen, dass jeder Teil glatt aufgeht. So wird 385 : 7 zu 350 : 7 + 35 : 7.

BeispielHalbschriftlich dividieren

455 Murmeln werden gleichmäßig auf 7 Säckchen aufgeteilt. Wie viele bekommt jeder Teil? Rechne halbschriftlich.
Schritt für Schritt
  1. 455 : 7
  2. 455 = 420 + 35
  3. 420 : 7 = 60 und 35 : 7 = 5
  4. 60 + 5 = 65
  1. 455 : 7
  2. 455 = 420 + 35
  3. 420 : 7 = 60 und 35 : 7 = 5
  4. 60 + 5 = 65
Ergebnis:
65 Murmeln

AchtungBeim Teilen nicht passend zerlegt

So nicht
385 : 7: 300 : 7 geht nicht glatt → aufgegeben
So richtig
385 : 7 = 350 : 7 + 35 : 7 = 50 + 5 = 55

Jeder Teil muss sich glatt teilen lassen. Erst ein großes Vielfaches abspalten.

ÜbenJetzt du

  1. ○10
    Zerlege 351 so in zwei Zahlen, dass du beide leicht durch 9 dividieren kannst. Was ergibt 351 : 9?
    351: 9
    So fängst du an:
    351 = 270 + 81
    Lösung zeigen
    1. 351 = 270 + 81
    2. 270 : 9 = 30 und 81 : 9 = 9
    3. 30 + 9 = 39
    Ergebnis:
    39
  2. ●11
    84 Bücher werden gleichmäßig auf 3 Regalböden aufgeteilt. Wie viele bekommt jeder Teil? Rechne halbschriftlich.
    Lösung zeigen
    1. 84 : 3
    2. 84 = 60 + 24
    3. 60 : 3 = 20 und 24 : 3 = 8
    4. 20 + 8 = 28
    Ergebnis:
    28 Bücher
  3. ★12
    224 Bücher werden gleichmäßig auf 4 Regalböden aufgeteilt. Wie viele bekommt jeder Teil? Rechne halbschriftlich.
    Lösung zeigen
    1. 224 : 4
    2. 224 = 200 + 24
    3. 200 : 4 = 50 und 24 : 4 = 6
    4. 50 + 6 = 56
    Ergebnis:
    56 Bücher

5Ich finde Aufgaben mit gleichem Ergebnis und vergleiche Rechenausdrücke.

EntdeckenFrage

Warum stimmt der Trick „mal 9 ist mal 10 minus einmal“ immer?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Neunmal eine Zahl ist zehnmal die Zahl minus einmal die Zahl. So wird 9 · 47 zu 470 − 47 = 423. Das ist das Verteilungsgesetz: 9 ist 10 minus 1.

MerkenAusdrücke mit gleichem Wert

Verschiedene Rechenausdrücke können denselben Wert haben.

Wer die Rechengesetze nutzt, sieht das oft ohne Ausrechnen.

BeispielAufgaben mit gleichem Ergebnis

Ergänze die Lücke: 59 − 39 = ___ − 41
Schritt für Schritt
  1. 39 wird zu 41: 2 mehr.
  2. Damit der Abstand bleibt, wird auch 59 um 2 größer.
  3. 59 + 2 = 61
  1. 39 wird zu 41: 2 mehr.
  2. Damit der Abstand bleibt, wird auch 59 um 2 größer.
  3. 59 + 2 = 61
Ergebnis:
61

AchtungPunkt vor Strich missachtet

So nicht
9 + 5 · 7 = 14 · 7 = 98
So richtig
9 + 5 · 7 = 9 + 35 = 44

Klammer zuerst, dann Mal und Geteilt, dann Plus und Minus.

ÜbenJetzt du

  1. ○13
    Ergänze die Lücke: 72 − 22 = ___ − 23
    So fängst du an:
    22 wird zu 23: 1 mehr.
    Lösung zeigen
    1. 22 wird zu 23: 1 mehr.
    2. Damit der Abstand bleibt, wird auch 72 um 1 größer.
    3. 72 + 1 = 73
    Ergebnis:
    73
  2. ●14
    Finde die fehlende Zahl mit einem Rechengesetz: 62 − 17 = ___ − 22
    Lösung zeigen
    1. 17 wird zu 22: 5 mehr.
    2. Damit der Abstand bleibt, wird auch 62 um 5 größer.
    3. 62 + 5 = 67
    Ergebnis:
    67
  3. ★15
    Finde die fehlende Zahl mit einem Rechengesetz: 62 + 56 = 61 + ___
    62 + 56=61 + ?
    Lösung zeigen
    1. 62 wird zu 61: 1 weniger.
    2. Damit die Summe gleich bleibt, wird 56 um 1 größer.
    3. 56 + 1 = 57
    Ergebnis:
    57

6Ich rechne mit Verdoppeln und Halbieren und prüfe, ob das Ergebnis gleich bleibt.

EntdeckenFrage

Wie merkt man in Sekunden, dass 98 · 102 nicht 99.960 sein kann?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Man rechnet nicht, man überschlägt: 100 · 100 = 10.000. Das Ergebnis muss also in der Nähe von 10.000 liegen. 99.960 ist fast zehnmal so groß und kann nicht stimmen. Richtig ist 9996.

MerkenVerdoppeln und halbieren

Wird ein Faktor verdoppelt und der andere halbiert, bleibt das Produkt gleich.

Werden beide verdoppelt, wird es viermal so groß.

BeispielVerdoppeln und Halbieren

Rechne geschickt: Halbiere den einen Faktor und verdopple den anderen. 14 · 15
Schritt für Schritt
  1. 14 · 15 = 7 · 30
  2. 7 · 30 = 210
  1. 14 · 15 = 7 · 30
  2. 7 · 30 = 210
Ergebnis:
210

AchtungBeide Faktoren verdoppelt

So nicht
8 · 25 → 16 · 50 = 800
So richtig
8 · 25 → 4 · 50 = 200

Nur einer wird verdoppelt, der andere halbiert. Sonst ändert sich das Ergebnis.

ÜbenJetzt du

  1. ○16
    Rechne geschickt: Halbiere den einen Faktor und verdopple den anderen. 18 · 5
    So fängst du an:
    18 · 5 = 9 · 10
    Lösung zeigen
    1. 18 · 5 = 9 · 10
    2. 9 · 10 = 90
    Ergebnis:
    90
  2. ●17
    Warum ist 8 · 25 dasselbe wie 4 · 50? Rechne dann geschickt.
    Lösung zeigen
    1. Halb so viele Reihen, jede doppelt so lang: gleich viele Kästchen.
    2. 8 · 25 = 4 · 50
    3. 4 · 50 = 200
    Ergebnis:
    200
  3. ★18
    Warum ist 12 · 75 dasselbe wie 6 · 150? Rechne dann geschickt.
    Lösung zeigen
    1. Halb so viele Reihen, jede doppelt so lang: gleich viele Kästchen.
    2. 12 · 75 = 6 · 150
    3. 6 · 150 = 900
    Ergebnis:
    900

7Ich wähle zu einer Aufgabe den passenden Rechenweg.

EntdeckenFrage

Wie rechnen Darts-Profis blitzschnell aus, wie viele Punkte ihnen von 501 noch fehlen, wenn sie 140 geworfen haben?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Der geschickte Weg nimmt erst eine runde Zahl. 500 − 140 = 360, und der eine Extrapunkt kommt dazu: 361. Das geht schneller als 501 − 140 Stelle für Stelle. Am Ergebnis ändert der Weg nichts.

MerkenDen passenden Weg wählen

Vor dem Rechnen die Zahlen ansehen.

Liegt eine Zahl nahe an einer glatten, lohnt sich ein Vorteil, sonst rechnet man schriftlich.

BeispielDen passenden Rechenweg wählen

Welchen Rechenvorteil nutzt du bei 4 · 82? Nenne ihn. Rechne danach.
4 · 82zerlegenhalbieren und verdoppelnschriftlich
Schritt für Schritt
  1. Den zweiten Faktor zerlegen: 82 = 80 + 2.
  2. 4 · 80 = 320 und 4 · 2 = 8
  3. Zusammen: 328
  1. Den zweiten Faktor zerlegen: 82 = 80 + 2.
  2. 4 · 80 = 320 und 4 · 2 = 8
  3. Zusammen: 328
Ergebnis:
zerlegen, 328

AchtungUmständlichen Weg gewählt

So nicht
299 + 158 schriftlich untereinander gerechnet, dabei verrechnet: 447
So richtig
299 + 158 = 300 + 157 = 457

Erst die Zahlen ansehen: Liegt eine nahe an einer glatten Zahl?

ÜbenJetzt du

  1. ○19
    Welcher Weg passt zu 204 + 497? Nenne ihn. Rechne danach.
    204 + 497zerlegenhalbieren und verdoppelnschriftlich
    So fängst du an:
    497 liegt knapp unter 500: gegensinnig verändern.
    Lösung zeigen
    1. 497 liegt knapp unter 500: gegensinnig verändern.
    2. 204 + 497 = 201 + 500
    3. 201 + 500 = 701
    Ergebnis:
    gegensinnig verändern, 701
  2. ●20
    Welcher Weg passt zu 12 · 25? Nenne ihn. Rechne danach.
    12 · 25zerlegenhalbieren und verdoppelnschriftlich
    Lösung zeigen
    1. 25 wird verdoppelt glatt: halbieren und verdoppeln.
    2. 12 · 25 = 6 · 50
    3. 6 · 50 = 300
    Ergebnis:
    halbieren und verdoppeln, 300
  3. ★21
    Welcher Weg passt zu 354 + 299? Nenne ihn. Rechne danach.
    354 + 299zerlegenhalbieren und verdoppelnschriftlich
    Lösung zeigen
    1. 299 liegt knapp unter 300: gegensinnig verändern.
    2. 354 + 299 = 353 + 300
    3. 353 + 300 = 653
    Ergebnis:
    gegensinnig verändern, 653

8Ich finde Rechenfehler mit Überschlag und Umkehraufgabe.

EntdeckenFrage

Warum zählt man Rückgeld vom Preis aus nach oben, statt abzuziehen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Wer 13,40 € zahlen muss und 20 € gibt, bekommt 20 − 13,40 = 6,60 € zurück. Beim Hochzählen rechnet man die Umkehraufgabe: 13,40 + 6,60 = 20. Kommt man genau auf den gegebenen Betrag, stimmt das Rückgeld.

MerkenÜberschlag und Umkehraufgabe

Ein Überschlag mit runden Zahlen zeigt, ob ein Ergebnis stimmen kann.

Die Umkehraufgabe prüft es genau.

BeispielRechenfehler mit Überschlag und Umkehraufgabe finden

Aylin erhält für 36 · 49 das Ergebnis 1764. Prüfe mit einem Überschlag.
Schritt für Schritt
  1. Überschlag: 40 · 50 = 2000
  2. 1764 liegt in der Nähe. Genau rechnen: 36 · 49 = 1764
  3. Das Ergebnis stimmt.
  1. Überschlag: 40 · 50 = 2000
  2. 1764 liegt in der Nähe. Genau rechnen: 36 · 49 = 1764
  3. Das Ergebnis stimmt.
Ergebnis:
stimmt, 1764

AchtungErgebnis nicht geprüft

So nicht
425 : 5 = 805, ohne Probe ins Heft
So richtig
425 : 5 → Überschlag 400 : 5 = 80 → 85, Probe 85 · 5 = 425

Mit einem Überschlag prüfen, ob die Größenordnung stimmt, dann mit der Umkehraufgabe.

ÜbenJetzt du

  1. ○22
    Milan rechnet 799 − 573 und erhält 326. Prüfe mit der Umkehraufgabe.
    So fängst du an:
    Umkehraufgabe: 326 + 573 = 899
    Lösung zeigen
    1. Umkehraufgabe: 326 + 573 = 899
    2. 899 ist nicht 799: Es ist falsch.
    3. 799 − 573 = 226
    Ergebnis:
    falsch, richtig ist 226
  2. ●23
    Ben rechnet 583 − 518 und erhält 165. Prüfe mit der Umkehraufgabe.
    Lösung zeigen
    1. Umkehraufgabe: 165 + 518 = 683
    2. 683 ist nicht 583: Es ist falsch.
    3. 583 − 518 = 65
    Ergebnis:
    falsch, richtig ist 65
  3. ★24
    Paul erhält für 197 · 29 das Ergebnis 5913. Prüfe mit einem Überschlag.
    Lösung zeigen
    1. Überschlag: 200 · 30 = 6000
    2. 5913 liegt in der Nähe. Genau rechnen: 197 · 29 = 5713
    3. Das Ergebnis ist falsch.
    Ergebnis:
    falsch, richtig ist 5713

Vermischte Übungen

Alles durcheinander – wie in der Arbeit. Überleg bei jeder Aufgabe zuerst: Welches Ziel ist das?

Üben

  1. ●25
    Hanna rechnet 27 + 48 + 13 von links nach rechts. Zeige einen schnelleren Weg mit einem Rechenvorteil.
    274813
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 27 + 13 + 48
    2. 27 + 13 = 40
    3. 40 + 48 = 88
    Ergebnis:
    88
  2. ●26
    Welche zwei Zahlen ergeben bei 6 · 20 · 5 zusammen eine glatte Zahl? Rechne damit.
    6205
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 20 · 5 · 6
    2. 20 · 5 = 100
    3. 100 · 6 = 600
    Ergebnis:
    600
  3. ●27
    Sofia rechnet 99 + 82 als 100 + 82. Was muss Sofia danach noch tun? Was kommt heraus?
    9982
    Lösung zeigen
    1. Sofia hat 99 um 1 vergrößert.
    2. Die Summe ist dadurch um 1 zu groß: 100 + 82 = 182.
    3. 1 wieder abziehen: 182 − 1 = 181
    Ergebnis:
    181
  4. ●28
    Rechne geschickt durch gleichsinniges Verändern: 86 − 28
    Lösung zeigen
    1. Beide Zahlen um 2 vergrößern: Der Abstand bleibt gleich.
    2. 86 − 28 = 88 − 30
    3. 88 − 30 = 58
    Ergebnis:
    58
  5. ●29
    Rechne halbschriftlich: Zerlege den zweiten Faktor. 8 · 22
    Lösung zeigen
    1. 22 = 20 + 2
    2. 8 · 20 = 160 und 8 · 2 = 16
    3. 160 + 16 = 176
    Ergebnis:
    176
  6. ●30
    Welche zwei Malaufgaben zeigen die beiden Teile des Rechtecks? Was ergibt 3 · 24?
    2043
    Lösung zeigen
    1. Links: 3 · 20 = 60
    2. Rechts: 3 · 4 = 12
    3. 3 · 24 = 60 + 12 = 72
    Ergebnis:
    3 · 20 und 3 · 4, zusammen 72

Auf einen Blick

MerkenDas Wichtigste

Vertauschen und zusammenfassen
Beim Plus und beim Mal darf man die Zahlen vertauschen und anders zusammenfassen.
Gegensinnig und gleichsinnig
Bei einer Summe gibt ein Summand ab, was der andere bekommt.
Malnehmen mit Zerlegen
Einen Faktor zerlegen, jeden Teil malnehmen und die Teilergebnisse addieren.
Teilen mit Zerlegen
Die Zahl so zerlegen, dass jeder Teil glatt aufgeht. So wird 385 : 7 zu 350 : 7 + 35 : 7.
Ausdrücke mit gleichem Wert
Verschiedene Rechenausdrücke können denselben Wert haben.
Verdoppeln und halbieren
Wird ein Faktor verdoppelt und der andere halbiert, bleibt das Produkt gleich.
Den passenden Weg wählen
Vor dem Rechnen die Zahlen ansehen.
Überschlag und Umkehraufgabe
Ein Überschlag mit runden Zahlen zeigt, ob ein Ergebnis stimmen kann.

Kannst du das?

Je Ziel eine Aufgabe. Rechne sie ins Heft, dann kreuz ehrlich an. Keine Punkte, keine Note – der Test ist für dich.

ÜbenSelbsttest

  1. Ich rechne Plusaufgaben und Malaufgaben geschickt durch Vertauschen und Zusammenfassen.

    31
    Zeynep rechnet 16 + 86 + 84 von links nach rechts. Zeige einen schnelleren Weg mit einem Rechenvorteil.
    168684
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    186

  2. Ich verändere Summen gegensinnig und Differenzen gleichsinnig.

    32
    Ergänze so, dass die Summe gleich bleibt: 69 + 85 = 70 + ___
    6985
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    84

  3. Ich nehme halbschriftlich mal, indem ich einen Faktor zerlege.

    33
    Es gibt 8 Hefte mit je 18 Hefte. Wie viele Hefte sind es? Rechne halbschriftlich.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    144 Hefte

  4. Ich dividiere halbschriftlich, indem ich die Zahl geschickt zerlege.

    34
    Zerlege 175 so in zwei Zahlen, dass du beide leicht durch 5 dividieren kannst. Was ergibt 175 : 5?
    175: 5
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    35

  5. Ich finde Aufgaben mit gleichem Ergebnis und vergleiche Rechenausdrücke.

    35
    Finde die fehlende Zahl mit einem Rechengesetz: 82 + 82 = 72 + ___
    82 + 82=72 + ?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    92

  6. Ich rechne mit Verdoppeln und Halbieren und prüfe, ob das Ergebnis gleich bleibt.

    36
    Rechne geschickt: Halbiere den einen Faktor und verdopple den anderen. 16 · 5
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    80

  7. Ich wähle zu einer Aufgabe den passenden Rechenweg.

    37
    Welchen Rechenvorteil nutzt du bei 156 + 497? Nenne ihn. Rechne danach.
    156 + 497zerlegenhalbieren und verdoppelnschriftlich
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    gegensinnig verändern, 653

  8. Ich finde Rechenfehler mit Überschlag und Umkehraufgabe.

    38
    Mia erhält für 35 · 40 das Ergebnis 1600. Prüfe mit einem Überschlag.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    falsch, richtig ist 1400

Bei „unsicher“ oder „noch nicht“: Lies den Abschnitt zum Ziel noch einmal und rechne seine drei Aufgaben.

Die Frage vom Anfang

EntdeckenRückschau

Rechne im Kopf, so schnell du kannst: 25 · 17 · 4. Schreib nichts auf und nimm keinen Taschenrechner.

Lies deine Vermutung vom Anfang. Kannst du die Frage jetzt mit dem Kapitel beantworten?

Auflösung

Mit dem Werkzeug aus diesem Kapitel: Vertauschen und Zusammenfassen: erst die Zahlen, die zusammen glatt werden.

Wo brauchst du das?

Entdecken

Preise im Kopf addieren, Rückgeld überschlagen, Mengen für ein Fest ausrechnen. Beruf: Kasse und Verkauf, Handwerk beim Materialberechnen, Lager und Versand.

Wörter

Differenz
was übrig bleibt, wenn man abzieht
Gleichung
zwei Rechnungen, die gleich viel wert sind
Produkt
was herauskommt, wenn man malnimmt
Summe
was herauskommt, wenn man zusammenzählt
Teiler
eine Zahl, durch die es ohne Rest aufgeht

Wie es zusammenhängt

Das brauchst du vorher: Rechenregeln, Teiler und Vielfache, Natürliche Zahlen und Stellenwert

Darauf baut auf: Sachaufgaben lösen

Lösungen

  1. 94
  2. 109
  3. 1821
  4. 263
  5. 132
  6. 1122
  7. 392
  8. 621
  9. 1632
  10. 39
  11. 28 Bücher
  12. 56 Bücher
  13. 73
  14. 67
  15. 57
  16. 90
  17. 200
  18. 900
  19. gegensinnig verändern, 701
  20. halbieren und verdoppeln, 300
  21. gegensinnig verändern, 653
  22. falsch, richtig ist 226
  23. falsch, richtig ist 65
  24. falsch, richtig ist 5713
  25. 88
  26. 600
  27. 181
  28. 58
  29. 176
  30. 3 · 20 und 3 · 4, zusammen 72
  31. 186
  32. 84
  33. 144 Hefte
  34. 35
  35. 92
  36. 80
  37. gegensinnig verändern, 653
  38. falsch, richtig ist 1400
  39. 35
  40. 60
  41. 30
  42. 23