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Mathematik · Klasse 5 · Kapitel

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Rechengesetze und Rechenvorteile

EntdeckenDie Frage zum Kapitel

Rechne im Kopf, so schnell du kannst: 25 · 17 · 4. Schreib nichts auf und nimm keinen Taschenrechner.

Schreib eine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Für die Lehrkraft: Die meisten rechnen von links: 25 · 17 und kommen durcheinander. Andere geben auf oder raten. Nur wenige sehen, dass 25 und 4 zusammen 100 ergeben. Beim Malnehmen darf man die Zahlen vertauschen. Dann steht 25 · 4 · 17 da, also 100 · 17. Das Ergebnis ist 1700, in einer Sekunde.

  • Entdecken Frage, Vorstellung, Bild
  • Merken kommt ins Heft
  • Beispiel vorgerechnet, Schritt für Schritt
  • Üben selbst rechnen
  • Achtung typischer Fehler
  • Weiterdenken zum Knobeln und Vernetzen

○ mit Starthilfe, ● für alle, ★ zum Weiterdenken. Du wählst mindestens eine ★-Aufgabe. Du rechnest ins Heft.

Fit für das Kapitel?

Das brauchst du aus früheren Themen. Klappt es nicht, frag nach, bevor es losgeht.

ÜbenWeißt du das noch?

Punkt vor Strich und Klammer zuerst – so steht es seit Klasse 4 im Heft.

  1. ●39
    Rechne: 44 − 5 · 2
    Lösung zeigen
    1. Punkt vor Strich: erst 5 · 2 = 10
    2. 44 − 10 = 34
    Ergebnis:
    34
  2. ●40
    Rechne: (4 + 5) · 3
    Lösung zeigen
    1. Die Klammer zuerst: 4 + 5 = 9
    2. 9 · 3 = 27
    Ergebnis:
    27

ÜbenWeißt du das noch?

Punkt vor Strich und Klammer zuerst – die Reihenfolge entscheidet über das Ergebnis.

  1. ●41
    Berechne: 7 + 4 · 8
    Lösung zeigen
    1. Punkt vor Strich: erst 4 · 8 = 32
    2. 7 + 32 = 39
    Ergebnis:
    39
  2. ●42
    Ich denke mir eine Zahl, addiere 28 und erhalte 68. Welche Zahl war es? (Umkehraufgabe)
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    40

So kannst du es dir vorstellen

EntdeckenZahlen umbauen, ohne den Wert zu ändern

Eine Rechnung lässt sich umbauen, ohne dass sich ihr Wert ändert. Zahlen tauschen die Plätze, bilden neue Gruppen oder werden zerlegt. Wer das sieht, rechnet mit glatten Zahlen statt mit krummen.

17 plus 38 plus 3: Erst 17 und 3 zu 20 zusammenfassen, dann 20 plus 38 sind 5817 + 38 + 317 + 3 = 20= 20 + 38 = 58

WeiterdenkenDenk nach

Warum darf man bei 25 + 38 + 75 zuerst 25 und 75 addieren, bei 50 − 20 − 10 aber nicht zuerst 20 − 10?

1Ich rechne Plusaufgaben und Malaufgaben geschickt durch Vertauschen und Zusammenfassen.

EntdeckenFrage

Wie konnte der neunjährige Carl Friedrich Gauß die Zahlen von 1 bis 100 in wenigen Minuten addieren?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Er hat die Zahlen in Paare umsortiert: 1 und 100, 2 und 99, 3 und 98. Jedes Paar ergibt 101, und es sind 50 Paare. Also 50 · 101 = 5050. Er hat nur vertauscht und neu zusammengefasst.

MerkenVertauschen und zusammenfassen

Beim Plus und beim Mal darf man die Zahlen vertauschen und anders zusammenfassen.

Erst die Zahlen nehmen, die zusammen glatt werden.

BeispielPlusaufgaben geschickt: vertauschen und zusammenfassen

Noah rechnet 21 + 72 + 9 von links nach rechts. Zeige einen schnelleren Weg mit einem Rechenvorteil.
21729
Schritt für Schritt
  1. Vertauschen: 21 + 9 + 72
  2. 21 + 9 = 30
  3. 30 + 72 = 102
  1. Vertauschen: 21 + 9 + 72
  2. 21 + 9 = 30
  3. 30 + 72 = 102
Ergebnis:
102

AchtungBeim Minus oder Geteilt vertauscht

So nicht
50 − 20 − 10: erst 20 − 10 = 10, dann 50 − 10 = 40
So richtig
50 − 20 − 10 = 30 − 10 = 20

Vertauschen ist nur beim Plus und beim Mal erlaubt. 20 − 5 ist nicht 5 − 20.

ÜbenJetzt du

  1. ○1
    Welche Zahlen fasst du bei 19 + 14 + 21 zuerst zusammen? Begründe. Rechne danach.
    191421
    So fängst du an:
    Vertauschen: 19 + 21 + 14
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 19 + 21 + 14
    2. 19 + 21 = 40
    3. Zusammen glatt, der Rest ist leicht: 40 + 14 = 54
    Ergebnis:
    54
  2. ●2
    Rechne geschickt: 42 + 46 + 8
    42468
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 42 + 8 + 46
    2. 42 + 8 = 50
    3. 50 + 46 = 96
    Ergebnis:
    96
  3. ★3
    Lina rechnet 96 + 838 + 51 + 104 + 49 von links nach rechts. Zeige einen schnelleren Weg mit einem Rechenvorteil.
    968385110449
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 96 + 104 + 51 + 49 + 838
    2. 96 + 104 = 200 und 51 + 49 = 100
    3. 200 + 100 + 838 = 1138
    Ergebnis:
    1138

2Ich verändere Summen gegensinnig und Differenzen gleichsinnig.

EntdeckenFrage

Warum rechnen Kassiererinnen 3,99 € mal 4 schneller als ein Kunde mit Papier?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Sie rechnen 4 mal 4 € und ziehen dann 4 Cent ab: 16,00 € − 0,04 € = 15,96 €. Das ist Zerlegen: 3,99 ist 4 minus 1 Cent. Der Rechenweg ist kurz, weil er über die glatte Zahl geht.

MerkenGegensinnig und gleichsinnig

Bei einer Summe gibt ein Summand ab, was der andere bekommt.

Bei einer Differenz ändern sich beide Zahlen gleich, der Abstand bleibt.

BeispielSummen gegensinnig verändern

Ergänze so, dass die Summe gleich bleibt: 39 + 26 = 40 + ___
3926
Schritt für Schritt
  1. 39 wird zu 40: 1 mehr.
  2. Also muss 26 um 1 kleiner werden: 26 − 1 = 25
  3. 40 + 25 = 65
  1. 39 wird zu 40: 1 mehr.
  2. Also muss 26 um 1 kleiner werden: 26 − 1 = 25
  3. 40 + 25 = 65
Ergebnis:
25

AchtungNur eine Zahl verändert

So nicht
143 − 97: 143 − 100 = 43
So richtig
143 − 97 = 146 − 100 = 46

Bei der Summe gegensinnig, bei der Differenz gleichsinnig: Immer beide Zahlen verändern.

ÜbenJetzt du

  1. ○4
    Lea rechnet 49 + 26 als 50 + 26. Was muss Lea danach noch tun? Was kommt heraus?
    4926
    So fängst du an:
    Lea hat 49 um 1 vergrößert.
    Lösung zeigen
    1. Lea hat 49 um 1 vergrößert.
    2. Die Summe ist dadurch um 1 zu groß: 50 + 26 = 76.
    3. 1 wieder abziehen: 76 − 1 = 75
    Ergebnis:
    75
  2. ●5
    Rechne geschickt durch gegensinniges Verändern: 47 + 89
    4789
    Lösung zeigen
    1. 47 bekommt 3 dazu, 89 gibt 3 ab.
    2. 47 + 89 = 50 + 86
    3. 50 + 86 = 136
    Ergebnis:
    136
  3. ★6
    Rechne geschickt durch gegensinniges Verändern: 498 + 134
    498134
    Lösung zeigen
    1. 498 bekommt 2 dazu, 134 gibt 2 ab.
    2. 498 + 134 = 500 + 132
    3. 500 + 132 = 632
    Ergebnis:
    632

3Ich nehme halbschriftlich mal, indem ich einen Faktor zerlege.

EntdeckenFrage

Wie haben Bauern in Russland früher ohne Einmaleins multipliziert?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Sie haben eine Zahl immer halbiert und die andere verdoppelt, bis links eine 1 stand. Dann addierten sie die rechten Zahlen der Zeilen mit ungerader linker Zahl. Das Verfahren heißt russische Bauernmultiplikation und nutzt, dass Verdoppeln und Halbieren das Produkt nicht ändert.

Ausprobieren: Malnehmen am Rechteck

Länge und Höhe in Teile zerlegen – das Rechteck zerfällt in Teilrechtecke, und jedes ist eine leichte Malaufgabe.

MerkenMalnehmen mit Zerlegen

Einen Faktor zerlegen, jeden Teil malnehmen und die Teilergebnisse addieren.

So wird 7 · 48 zu 7 · 40 + 7 · 8.

BeispielHalbschriftlich malnehmen mit Zerlegen

Rechne halbschriftlich: Zerlege den zweiten Faktor. 7 · 42
Schritt für Schritt
  1. 42 = 40 + 2
  2. 7 · 40 = 280 und 7 · 2 = 14
  3. 280 + 14 = 294
  1. 42 = 40 + 2
  2. 7 · 40 = 280 und 7 · 2 = 14
  3. 280 + 14 = 294
Ergebnis:
294

AchtungBeim Zerlegen einen Teil vergessen

So nicht
7 · 48: 7 · 40 + 8 = 288
So richtig
7 · 48 = 7 · 40 + 7 · 8 = 280 + 56 = 336

Jeder Teil des zerlegten Faktors wird malgenommen, nicht nur der erste.

ÜbenJetzt du

  1. ○7
    Es gibt 8 Tüten mit je 33 Bonbons. Wie viele Bonbons sind es? Rechne halbschriftlich.
    So fängst du an:
    8 · 33
    Lösung zeigen
    1. 8 · 33
    2. 33 = 30 + 3
    3. 8 · 30 = 240 und 8 · 3 = 24
    4. 240 + 24 = 264
    Ergebnis:
    264 Bonbons
  2. ●8
    Es gibt 3 Tüten mit je 35 Bonbons. Wie viele Bonbons sind es? Rechne halbschriftlich.
    Lösung zeigen
    1. 3 · 35
    2. 35 = 30 + 5
    3. 3 · 30 = 90 und 3 · 5 = 15
    4. 90 + 15 = 105
    Ergebnis:
    105 Bonbons
  3. ★9
    Rechne halbschriftlich: Zerlege den zweiten Faktor. 5 · 97
    Lösung zeigen
    1. 97 = 90 + 7
    2. 5 · 90 = 450 und 5 · 7 = 35
    3. 450 + 35 = 485
    Ergebnis:
    485

4Ich dividiere halbschriftlich, indem ich die Zahl geschickt zerlege.

EntdeckenFrage

Warum ist 25 mal 4 ein Lieblingspaar beim Kopfrechnen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

25 mal 4 ergibt genau 100. Kommen 25 und 4 in einer Malaufgabe vor, fasst man sie zuerst zusammen. Aus 25 · 37 · 4 wird dann 100 · 37 = 3700, ganz ohne schriftliches Rechnen.

MerkenTeilen mit Zerlegen

Die Zahl so zerlegen, dass jeder Teil glatt aufgeht. So wird 385 : 7 zu 350 : 7 + 35 : 7.

BeispielHalbschriftlich dividieren

Zerlege 162 so in zwei Zahlen, dass du beide leicht durch 6 dividieren kannst. Was ergibt 162 : 6?
162: 6
Schritt für Schritt
  1. 162 = 120 + 42
  2. 120 : 6 = 20 und 42 : 6 = 7
  3. 20 + 7 = 27
  1. 162 = 120 + 42
  2. 120 : 6 = 20 und 42 : 6 = 7
  3. 20 + 7 = 27
Ergebnis:
27

AchtungBeim Teilen nicht passend zerlegt

So nicht
385 : 7: 300 : 7 geht nicht glatt → aufgegeben
So richtig
385 : 7 = 350 : 7 + 35 : 7 = 50 + 5 = 55

Jeder Teil muss sich glatt teilen lassen. Erst ein großes Vielfaches abspalten.

ÜbenJetzt du

  1. ○10
    Rechne halbschriftlich: 104 : 8
    So fängst du an:
    104 = 80 + 24
    Lösung zeigen
    1. 104 = 80 + 24
    2. 80 : 8 = 10 und 24 : 8 = 3
    3. 10 + 3 = 13
    Ergebnis:
    13
  2. ●11
    Zerlege 120 so in zwei Zahlen, dass du beide leicht durch 8 dividieren kannst. Was ergibt 120 : 8?
    120: 8
    Lösung zeigen
    1. 120 = 80 + 40
    2. 80 : 8 = 10 und 40 : 8 = 5
    3. 10 + 5 = 15
    Ergebnis:
    15
  3. ★12
    Zerlege 140 so in zwei Zahlen, dass du beide leicht durch 5 dividieren kannst. Was ergibt 140 : 5?
    140: 5
    Lösung zeigen
    1. 140 = 100 + 40
    2. 100 : 5 = 20 und 40 : 5 = 8
    3. 20 + 8 = 28
    Ergebnis:
    28

5Ich finde Aufgaben mit gleichem Ergebnis und vergleiche Rechenausdrücke.

EntdeckenFrage

Warum stimmt der Trick „mal 9 ist mal 10 minus einmal“ immer?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Neunmal eine Zahl ist zehnmal die Zahl minus einmal die Zahl. So wird 9 · 47 zu 470 − 47 = 423. Das ist das Verteilungsgesetz: 9 ist 10 minus 1.

MerkenAusdrücke mit gleichem Wert

Verschiedene Rechenausdrücke können denselben Wert haben.

Wer die Rechengesetze nutzt, sieht das oft ohne Ausrechnen.

BeispielAufgaben mit gleichem Ergebnis

Welche Zahl fehlt? Rechne nicht beide Seiten aus. 45 + 36 = 47 + ___
Schritt für Schritt
  1. 45 wird zu 47: 2 mehr.
  2. Damit die Summe gleich bleibt, wird 36 um 2 kleiner.
  3. 36 − 2 = 34
  1. 45 wird zu 47: 2 mehr.
  2. Damit die Summe gleich bleibt, wird 36 um 2 kleiner.
  3. 36 − 2 = 34
Ergebnis:
34

AchtungPunkt vor Strich missachtet

So nicht
9 + 5 · 7 = 14 · 7 = 98
So richtig
9 + 5 · 7 = 9 + 35 = 44

Klammer zuerst, dann Mal und Geteilt, dann Plus und Minus.

ÜbenJetzt du

  1. ○13
    Welche Zahl fehlt? Rechne nicht beide Seiten aus. 12 · 14 = 6 · ___
    So fängst du an:
    12 wird halb so groß: 6.
    Lösung zeigen
    1. 12 wird halb so groß: 6.
    2. Damit das Ergebnis gleich bleibt, wird 14 doppelt so groß.
    3. 14 · 2 = 28
    Ergebnis:
    28
  2. ●14
    Welche Zahl fehlt? Rechne nicht beide Seiten aus. 94 − 58 = ___ − 59
    Lösung zeigen
    1. 58 wird zu 59: 1 mehr.
    2. Damit der Abstand bleibt, wird auch 94 um 1 größer.
    3. 94 + 1 = 95
    Ergebnis:
    95
  3. ★15
    Finde die fehlende Zahl mit einem Rechengesetz: 6 · 11 = 3 · ___
    6 · 11=3 · ?
    Lösung zeigen
    1. 6 wird halb so groß: 3.
    2. Damit das Ergebnis gleich bleibt, wird 11 doppelt so groß.
    3. 11 · 2 = 22
    Ergebnis:
    22

6Ich rechne mit Verdoppeln und Halbieren und prüfe, ob das Ergebnis gleich bleibt.

EntdeckenFrage

Wie merkt man in Sekunden, dass 98 · 102 nicht 99.960 sein kann?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Man rechnet nicht, man überschlägt: 100 · 100 = 10.000. Das Ergebnis muss also in der Nähe von 10.000 liegen. 99.960 ist fast zehnmal so groß und kann nicht stimmen. Richtig ist 9996.

MerkenVerdoppeln und halbieren

Wird ein Faktor verdoppelt und der andere halbiert, bleibt das Produkt gleich.

Werden beide verdoppelt, wird es viermal so groß.

BeispielVerdoppeln und Halbieren

Rechne geschickt: Halbiere den einen Faktor und verdopple den anderen. 12 · 15
Schritt für Schritt
  1. 12 · 15 = 6 · 30
  2. 6 · 30 = 180
  1. 12 · 15 = 6 · 30
  2. 6 · 30 = 180
Ergebnis:
180

AchtungBeide Faktoren verdoppelt

So nicht
8 · 25 → 16 · 50 = 800
So richtig
8 · 25 → 4 · 50 = 200

Nur einer wird verdoppelt, der andere halbiert. Sonst ändert sich das Ergebnis.

ÜbenJetzt du

  1. ○16
    Warum ist 8 · 25 dasselbe wie 4 · 50? Rechne dann geschickt.
    So fängst du an:
    Halb so viele Reihen, jede doppelt so lang: gleich viele Kästchen.
    Lösung zeigen
    1. Halb so viele Reihen, jede doppelt so lang: gleich viele Kästchen.
    2. 8 · 25 = 4 · 50
    3. 4 · 50 = 200
    Ergebnis:
    200
  2. ●17
    Rechne geschickt: Halbiere den einen Faktor und verdopple den anderen. 14 · 15
    Lösung zeigen
    1. 14 · 15 = 7 · 30
    2. 7 · 30 = 210
    Ergebnis:
    210
  3. ★18
    Milan verdoppelt bei 32 · 25 beide Faktoren und rechnet 64 · 50. Bleibt das Ergebnis gleich?
    Lösung zeigen
    1. Einmal verdoppeln macht das Ergebnis doppelt so groß, zweimal viermal so groß.
    2. 64 · 50 = 3200, aber 32 · 25 = 800
    3. Richtig ist: einen verdoppeln, den anderen halbieren.
    Ergebnis:
    Nein, viermal so groß; richtig ist 800

7Ich wähle zu einer Aufgabe den passenden Rechenweg.

EntdeckenFrage

Wie rechnen Darts-Profis blitzschnell aus, wie viele Punkte ihnen von 501 noch fehlen, wenn sie 140 geworfen haben?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Der geschickte Weg nimmt erst eine runde Zahl. 500 − 140 = 360, und der eine Extrapunkt kommt dazu: 361. Das geht schneller als 501 − 140 Stelle für Stelle. Am Ergebnis ändert der Weg nichts.

MerkenDen passenden Weg wählen

Vor dem Rechnen die Zahlen ansehen.

Liegt eine Zahl nahe an einer glatten, lohnt sich ein Vorteil, sonst rechnet man schriftlich.

BeispielDen passenden Rechenweg wählen

Wie rechnest du am schnellsten: 6 · 31? Nenne ihn. Rechne danach.
Schritt für Schritt
  1. Den zweiten Faktor zerlegen: 31 = 30 + 1.
  2. 6 · 30 = 180 und 6 · 1 = 6
  3. Zusammen: 186
  1. Den zweiten Faktor zerlegen: 31 = 30 + 1.
  2. 6 · 30 = 180 und 6 · 1 = 6
  3. Zusammen: 186
Ergebnis:
zerlegen, 186

AchtungUmständlichen Weg gewählt

So nicht
299 + 158 schriftlich untereinander gerechnet, dabei verrechnet: 447
So richtig
299 + 158 = 300 + 157 = 457

Erst die Zahlen ansehen: Liegt eine nahe an einer glatten Zahl?

ÜbenJetzt du

  1. ○19
    Wie rechnest du am schnellsten: 155 + 497? Nenne ihn. Rechne danach.
    So fängst du an:
    497 liegt knapp unter 500: gegensinnig verändern.
    Lösung zeigen
    1. 497 liegt knapp unter 500: gegensinnig verändern.
    2. 155 + 497 = 152 + 500
    3. 152 + 500 = 652
    Ergebnis:
    gegensinnig verändern, 652
  2. ●20
    Welchen Rechenvorteil nutzt du bei 368 + 598? Nenne ihn. Rechne danach.
    368 + 598zerlegenhalbieren und verdoppelnschriftlich
    Lösung zeigen
    1. 598 liegt knapp unter 600: gegensinnig verändern.
    2. 368 + 598 = 366 + 600
    3. 366 + 600 = 966
    Ergebnis:
    gegensinnig verändern, 966
  3. ★21
    Wie rechnest du am schnellsten: 6044 − 3482? Nenne ihn. Rechne danach.
    Lösung zeigen
    1. Keine Zahl liegt nahe an einer glatten Zahl: schriftlich rechnen.
    2. 6044 − 3482 = 2562
    Ergebnis:
    schriftlich, 2562

8Ich finde Rechenfehler mit Überschlag und Umkehraufgabe.

EntdeckenFrage

Warum zählt man Rückgeld vom Preis aus nach oben, statt abzuziehen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Wer 13,40 € zahlen muss und 20 € gibt, bekommt 20 − 13,40 = 6,60 € zurück. Beim Hochzählen rechnet man die Umkehraufgabe: 13,40 + 6,60 = 20. Kommt man genau auf den gegebenen Betrag, stimmt das Rückgeld.

MerkenÜberschlag und Umkehraufgabe

Ein Überschlag mit runden Zahlen zeigt, ob ein Ergebnis stimmen kann.

Die Umkehraufgabe prüft es genau.

BeispielRechenfehler mit Überschlag und Umkehraufgabe finden

Can rechnet 300 : 6 und erhält 49. Prüfe mit der Umkehraufgabe.
300 : 6Ergebnis 49?
Schritt für Schritt
  1. Umkehraufgabe: 49 · 6 = 294
  2. 294 ist nicht 300: Es ist falsch.
  3. 300 : 6 = 50
  1. Umkehraufgabe: 49 · 6 = 294
  2. 294 ist nicht 300: Es ist falsch.
  3. 300 : 6 = 50
Ergebnis:
falsch, richtig ist 50

AchtungErgebnis nicht geprüft

So nicht
425 : 5 = 805, ohne Probe ins Heft
So richtig
425 : 5 → Überschlag 400 : 5 = 80 → 85, Probe 85 · 5 = 425

Mit einem Überschlag prüfen, ob die Größenordnung stimmt, dann mit der Umkehraufgabe.

ÜbenJetzt du

  1. ○22
    Aylin rechnet 288 : 3 und erhält 106. Prüfe mit der Umkehraufgabe.
    288 : 3Ergebnis 106?
    So fängst du an:
    Umkehraufgabe: 106 · 3 = 318
    Lösung zeigen
    1. Umkehraufgabe: 106 · 3 = 318
    2. 318 ist nicht 288: Es ist falsch.
    3. 288 : 3 = 96
    Ergebnis:
    falsch, richtig ist 96
  2. ●23
    Aylin erhält für 40 · 35 das Ergebnis 1200. Prüfe mit einem Überschlag.
    Lösung zeigen
    1. Überschlag: 40 · 40 = 1600
    2. 1200 liegt zu weit weg. Genau: 40 · 35 = 1400
    3. Das Ergebnis ist falsch.
    Ergebnis:
    falsch, richtig ist 1400
  3. ★24
    Elias rechnet 3984 : 6 und erhält 664. Prüfe mit der Umkehraufgabe.
    3984 : 6Ergebnis 664?
    Lösung zeigen
    1. Umkehraufgabe: 664 · 6 = 3984
    2. 3984 ist genau 3984: Es stimmt.
    3. 3984 : 6 = 664
    Ergebnis:
    stimmt, 664

Vermischte Übungen

Alles durcheinander – wie in der Arbeit. Überleg bei jeder Aufgabe zuerst: Welches Ziel ist das?

Üben

  1. ●25
    Welche Zahlen fasst du bei 3 + 43 + 27 zuerst zusammen? Begründe. Rechne danach.
    34327
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    1. Vertauschen: 3 + 27 + 43
    2. 3 + 27 = 30
    3. Zusammen glatt, der Rest ist leicht: 30 + 43 = 73
    Ergebnis:
    73
  2. ●26
    Rechne geschickt: 6 · 4 · 25
    6425
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    1. Vertauschen: 25 · 4 · 6
    2. 25 · 4 = 100
    3. 100 · 6 = 600
    Ergebnis:
    600
  3. ●27
    Ergänze so, dass die Summe gleich bleibt: 99 + 53 = 100 + ___
    9953
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    1. 99 wird zu 100: 1 mehr.
    2. Also muss 53 um 1 kleiner werden: 53 − 1 = 52
    3. 100 + 52 = 152
    Ergebnis:
    52
  4. ●28
    Milan rechnet 91 − 48 als 91 − 50 und erhält 41. Ist das schon das Ergebnis?
    91 − 4891 − 50
    Lösung zeigen
    1. Milan hat 2 mehr abgezogen als verlangt.
    2. Beim Minus muss dieser Rest wieder dazu.
    3. 41 + 2 = 43
    Ergebnis:
    Nein, 43
  5. ●29
    Es gibt 4 Tüten mit je 24 Bonbons. Wie viele Bonbons sind es? Rechne halbschriftlich.
    Lösung zeigen
    1. 4 · 24
    2. 24 = 20 + 4
    3. 4 · 20 = 80 und 4 · 4 = 16
    4. 80 + 16 = 96
    Ergebnis:
    96 Bonbons
  6. ●30
    Hanna rechnet 5 · 19 so: erst 5 · 10, dann 9 dazu. Hanna erhält 59. Zeige am Bild, was fehlt.
    1095
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    1. Der rechte Teil hat 5 Reihen mit je 9 Kästchen, nicht nur 9.
    2. Rechter Teil: 5 · 9 = 45
    3. 50 + 45 = 95
    Ergebnis:
    95

Auf einen Blick

MerkenDas Wichtigste

Vertauschen und zusammenfassen
Beim Plus und beim Mal darf man die Zahlen vertauschen und anders zusammenfassen.
Gegensinnig und gleichsinnig
Bei einer Summe gibt ein Summand ab, was der andere bekommt.
Malnehmen mit Zerlegen
Einen Faktor zerlegen, jeden Teil malnehmen und die Teilergebnisse addieren.
Teilen mit Zerlegen
Die Zahl so zerlegen, dass jeder Teil glatt aufgeht. So wird 385 : 7 zu 350 : 7 + 35 : 7.
Ausdrücke mit gleichem Wert
Verschiedene Rechenausdrücke können denselben Wert haben.
Verdoppeln und halbieren
Wird ein Faktor verdoppelt und der andere halbiert, bleibt das Produkt gleich.
Den passenden Weg wählen
Vor dem Rechnen die Zahlen ansehen.
Überschlag und Umkehraufgabe
Ein Überschlag mit runden Zahlen zeigt, ob ein Ergebnis stimmen kann.

Kannst du das?

Je Ziel eine Aufgabe. Rechne sie ins Heft, dann kreuz ehrlich an. Keine Punkte, keine Note – der Test ist für dich.

ÜbenSelbsttest

  1. Ich rechne Plusaufgaben und Malaufgaben geschickt durch Vertauschen und Zusammenfassen.

    31
    Aylin rechnet 34 + 82 + 16 von links nach rechts. Zeige einen schnelleren Weg mit einem Rechenvorteil.
    348216
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    132

  2. Ich verändere Summen gegensinnig und Differenzen gleichsinnig.

    32
    Tom rechnet 48 + 89 als 50 + 89. Was muss Tom danach noch tun? Was kommt heraus?
    4889
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    137

  3. Ich nehme halbschriftlich mal, indem ich einen Faktor zerlege.

    33
    Es gibt 4 Tüten mit je 58 Bonbons. Wie viele Bonbons sind es? Rechne halbschriftlich.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    232 Bonbons

  4. Ich dividiere halbschriftlich, indem ich die Zahl geschickt zerlege.

    34
    116 Sticker werden gleichmäßig auf 4 Kinder aufgeteilt. Wie viele bekommt jeder Teil? Rechne halbschriftlich.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    29 Sticker

  5. Ich finde Aufgaben mit gleichem Ergebnis und vergleiche Rechenausdrücke.

    35
    Welche Zahl fehlt? Rechne nicht beide Seiten aus. 72 − 18 = ___ − 28
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    82

  6. Ich rechne mit Verdoppeln und Halbieren und prüfe, ob das Ergebnis gleich bleibt.

    36
    Mia verdoppelt bei 14 · 15 beide Faktoren und rechnet 28 · 30. Bleibt das Ergebnis gleich?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    Nein, viermal so groß; richtig ist 210

  7. Ich wähle zu einer Aufgabe den passenden Rechenweg.

    37
    Wie rechnest du am schnellsten: 8 · 26? Nenne ihn. Rechne danach.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    zerlegen, 208

  8. Ich finde Rechenfehler mit Überschlag und Umkehraufgabe.

    38
    Jonas erhält für 74 · 17 das Ergebnis 2258. Prüfe mit einem Überschlag.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    falsch, richtig ist 1258

Bei „unsicher“ oder „noch nicht“: Lies den Abschnitt zum Ziel noch einmal und rechne seine drei Aufgaben.

Die Frage vom Anfang

EntdeckenRückschau

Rechne im Kopf, so schnell du kannst: 25 · 17 · 4. Schreib nichts auf und nimm keinen Taschenrechner.

Lies deine Vermutung vom Anfang. Kannst du die Frage jetzt mit dem Kapitel beantworten?

Auflösung

Mit dem Werkzeug aus diesem Kapitel: Vertauschen und Zusammenfassen: erst die Zahlen, die zusammen glatt werden.

Wo brauchst du das?

Entdecken

Preise im Kopf addieren, Rückgeld überschlagen, Mengen für ein Fest ausrechnen. Beruf: Kasse und Verkauf, Handwerk beim Materialberechnen, Lager und Versand.

Wörter

Differenz
was übrig bleibt, wenn man abzieht
Gleichung
zwei Rechnungen, die gleich viel wert sind
Produkt
was herauskommt, wenn man malnimmt
Summe
was herauskommt, wenn man zusammenzählt
Teiler
eine Zahl, durch die es ohne Rest aufgeht

Wie es zusammenhängt

Das brauchst du vorher: Rechenregeln, Teiler und Vielfache, Natürliche Zahlen und Stellenwert

Darauf baut auf: Sachaufgaben lösen

Lösungen

  1. 54
  2. 96
  3. 1138
  4. 75
  5. 136
  6. 632
  7. 264 Bonbons
  8. 105 Bonbons
  9. 485
  10. 13
  11. 15
  12. 28
  13. 28
  14. 95
  15. 22
  16. 200
  17. 210
  18. Nein, viermal so groß; richtig ist 800
  19. gegensinnig verändern, 652
  20. gegensinnig verändern, 966
  21. schriftlich, 2562
  22. falsch, richtig ist 96
  23. falsch, richtig ist 1400
  24. stimmt, 664
  25. 73
  26. 600
  27. 52
  28. Nein, 43
  29. 96 Bonbons
  30. 95
  31. 132
  32. 137
  33. 232 Bonbons
  34. 29 Sticker
  35. 82
  36. Nein, viermal so groß; richtig ist 210
  37. zerlegen, 208
  38. falsch, richtig ist 1258
  39. 34
  40. 27
  41. 39
  42. 40