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Mathematik · Klasse 5 · Kapitel

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Rechengesetze und Rechenvorteile

EntdeckenDie Frage zum Kapitel

Rechne im Kopf, so schnell du kannst: 25 · 17 · 4. Schreib nichts auf und nimm keinen Taschenrechner.

Schreib eine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Für die Lehrkraft: Die meisten rechnen von links: 25 · 17 und kommen durcheinander. Andere geben auf oder raten. Nur wenige sehen, dass 25 und 4 zusammen 100 ergeben. Beim Malnehmen darf man die Zahlen vertauschen. Dann steht 25 · 4 · 17 da, also 100 · 17. Das Ergebnis ist 1700, in einer Sekunde.

  • Entdecken Frage, Vorstellung, Bild
  • Merken kommt ins Heft
  • Beispiel vorgerechnet, Schritt für Schritt
  • Üben selbst rechnen
  • Achtung typischer Fehler
  • Weiterdenken zum Knobeln und Vernetzen

○ mit Starthilfe, ● für alle, ★ zum Weiterdenken. Du wählst mindestens eine ★-Aufgabe. Du rechnest ins Heft.

Fit für das Kapitel?

Das brauchst du aus früheren Themen. Klappt es nicht, frag nach, bevor es losgeht.

ÜbenWeißt du das noch?

Punkt vor Strich und Klammer zuerst – so steht es seit Klasse 4 im Heft.

  1. ●39
    Rechne: 6 + 5 · 4
    Lösung zeigen
    1. Punkt vor Strich: erst 5 · 4 = 20
    2. 6 + 20 = 26
    Ergebnis:
    26
  2. ●40
    Rechne: (9 + 3) · 7
    Lösung zeigen
    1. Die Klammer zuerst: 9 + 3 = 12
    2. 12 · 7 = 84
    Ergebnis:
    84

ÜbenWeißt du das noch?

Punkt vor Strich und Klammer zuerst – die Reihenfolge entscheidet über das Ergebnis.

  1. ●41
    Berechne: 6 + 6 · 6
    Lösung zeigen
    1. Punkt vor Strich: erst 6 · 6 = 36
    2. 6 + 36 = 42
    Ergebnis:
    42
  2. ●42
    Ich denke mir eine Zahl, addiere 22 und erhalte 66. Welche Zahl war es? (Umkehraufgabe)
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    44

So kannst du es dir vorstellen

EntdeckenZahlen umbauen, ohne den Wert zu ändern

Eine Rechnung lässt sich umbauen, ohne dass sich ihr Wert ändert. Zahlen tauschen die Plätze, bilden neue Gruppen oder werden zerlegt. Wer das sieht, rechnet mit glatten Zahlen statt mit krummen.

17 plus 38 plus 3: Erst 17 und 3 zu 20 zusammenfassen, dann 20 plus 38 sind 5817 + 38 + 317 + 3 = 20= 20 + 38 = 58

WeiterdenkenDenk nach

Warum darf man bei 25 + 38 + 75 zuerst 25 und 75 addieren, bei 50 − 20 − 10 aber nicht zuerst 20 − 10?

1Ich rechne Plusaufgaben und Malaufgaben geschickt durch Vertauschen und Zusammenfassen.

EntdeckenFrage

Wie konnte der neunjährige Carl Friedrich Gauß die Zahlen von 1 bis 100 in wenigen Minuten addieren?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Er hat die Zahlen in Paare umsortiert: 1 und 100, 2 und 99, 3 und 98. Jedes Paar ergibt 101, und es sind 50 Paare. Also 50 · 101 = 5050. Er hat nur vertauscht und neu zusammengefasst.

MerkenVertauschen und zusammenfassen

Beim Plus und beim Mal darf man die Zahlen vertauschen und anders zusammenfassen.

Erst die Zahlen nehmen, die zusammen glatt werden.

BeispielPlusaufgaben geschickt: vertauschen und zusammenfassen

Rechne geschickt: 14 + 85 + 36
148536
Schritt für Schritt
  1. Vertauschen: 14 + 36 + 85
  2. 14 + 36 = 50
  3. 50 + 85 = 135
  1. Vertauschen: 14 + 36 + 85
  2. 14 + 36 = 50
  3. 50 + 85 = 135
Ergebnis:
135

AchtungBeim Minus oder Geteilt vertauscht

So nicht
50 − 20 − 10: erst 20 − 10 = 10, dann 50 − 10 = 40
So richtig
50 − 20 − 10 = 30 − 10 = 20

Vertauschen ist nur beim Plus und beim Mal erlaubt. 20 − 5 ist nicht 5 − 20.

ÜbenJetzt du

  1. ○1
    Rechne geschickt: 66 + 27 + 34
    662734
    So fängst du an:
    Vertauschen: 66 + 34 + 27
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 66 + 34 + 27
    2. 66 + 34 = 100
    3. 100 + 27 = 127
    Ergebnis:
    127
  2. ●2
    Rechne geschickt: 26 + 83 + 4
    26834
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 26 + 4 + 83
    2. 26 + 4 = 30
    3. 30 + 83 = 113
    Ergebnis:
    113
  3. ★3
    Rechne geschickt: 189 + 615 + 41 + 11 + 59
    189615411159
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 189 + 11 + 41 + 59 + 615
    2. 189 + 11 = 200 und 41 + 59 = 100
    3. 200 + 100 + 615 = 915
    Ergebnis:
    915

2Ich verändere Summen gegensinnig und Differenzen gleichsinnig.

EntdeckenFrage

Warum rechnen Kassiererinnen 3,99 € mal 4 schneller als ein Kunde mit Papier?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Sie rechnen 4 mal 4 € und ziehen dann 4 Cent ab: 16,00 € − 0,04 € = 15,96 €. Das ist Zerlegen: 3,99 ist 4 minus 1 Cent. Der Rechenweg ist kurz, weil er über die glatte Zahl geht.

MerkenGegensinnig und gleichsinnig

Bei einer Summe gibt ein Summand ab, was der andere bekommt.

Bei einer Differenz ändern sich beide Zahlen gleich, der Abstand bleibt.

BeispielSummen gegensinnig verändern

Ergänze so, dass die Summe gleich bleibt: 297 + 84 = 300 + ___
29784
Schritt für Schritt
  1. 297 wird zu 300: 3 mehr.
  2. Also muss 84 um 3 kleiner werden: 84 − 3 = 81
  3. 300 + 81 = 381
  1. 297 wird zu 300: 3 mehr.
  2. Also muss 84 um 3 kleiner werden: 84 − 3 = 81
  3. 300 + 81 = 381
Ergebnis:
81

AchtungNur eine Zahl verändert

So nicht
143 − 97: 143 − 100 = 43
So richtig
143 − 97 = 146 − 100 = 46

Bei der Summe gegensinnig, bei der Differenz gleichsinnig: Immer beide Zahlen verändern.

ÜbenJetzt du

  1. ○4
    Ergänze so, dass die Summe gleich bleibt: 47 + 47 = 50 + ___
    4747
    So fängst du an:
    47 wird zu 50: 3 mehr.
    Lösung zeigen
    1. 47 wird zu 50: 3 mehr.
    2. Also muss 47 um 3 kleiner werden: 47 − 3 = 44
    3. 50 + 44 = 94
    Ergebnis:
    44
  2. ●5
    Can rechnet 198 + 34 als 200 + 34. Was muss Can danach noch tun? Was kommt heraus?
    19834
    Lösung zeigen
    1. Can hat 198 um 2 vergrößert.
    2. Die Summe ist dadurch um 2 zu groß: 200 + 34 = 234.
    3. 2 wieder abziehen: 234 − 2 = 232
    Ergebnis:
    232
  3. ★6
    Sofia rechnet 997 + 694 als 1000 + 694. Was muss Sofia danach noch tun? Was kommt heraus?
    997694
    Lösung zeigen
    1. Sofia hat 997 um 3 vergrößert.
    2. Die Summe ist dadurch um 3 zu groß: 1000 + 694 = 1694.
    3. 3 wieder abziehen: 1694 − 3 = 1691
    Ergebnis:
    1691

3Ich nehme halbschriftlich mal, indem ich einen Faktor zerlege.

EntdeckenFrage

Wie haben Bauern in Russland früher ohne Einmaleins multipliziert?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Sie haben eine Zahl immer halbiert und die andere verdoppelt, bis links eine 1 stand. Dann addierten sie die rechten Zahlen der Zeilen mit ungerader linker Zahl. Das Verfahren heißt russische Bauernmultiplikation und nutzt, dass Verdoppeln und Halbieren das Produkt nicht ändert.

Ausprobieren: Malnehmen am Rechteck

Länge und Höhe in Teile zerlegen – das Rechteck zerfällt in Teilrechtecke, und jedes ist eine leichte Malaufgabe.

MerkenMalnehmen mit Zerlegen

Einen Faktor zerlegen, jeden Teil malnehmen und die Teilergebnisse addieren.

So wird 7 · 48 zu 7 · 40 + 7 · 8.

BeispielHalbschriftlich malnehmen mit Zerlegen

Es gibt 9 Hefte mit je 58 Hefte. Wie viele Hefte sind es? Rechne halbschriftlich.
Schritt für Schritt
  1. 9 · 58
  2. 58 = 50 + 8
  3. 9 · 50 = 450 und 9 · 8 = 72
  4. 450 + 72 = 522
  1. 9 · 58
  2. 58 = 50 + 8
  3. 9 · 50 = 450 und 9 · 8 = 72
  4. 450 + 72 = 522
Ergebnis:
522 Hefte

AchtungBeim Zerlegen einen Teil vergessen

So nicht
7 · 48: 7 · 40 + 8 = 288
So richtig
7 · 48 = 7 · 40 + 7 · 8 = 280 + 56 = 336

Jeder Teil des zerlegten Faktors wird malgenommen, nicht nur der erste.

ÜbenJetzt du

  1. ○7
    Rechne geschickt über die glatte Zahl: 5 · 49
    So fängst du an:
    49 = 50 − 1
    Lösung zeigen
    1. 49 = 50 − 1
    2. 5 · 50 = 250 und 5 · 1 = 5
    3. 250 − 5 = 245
    Ergebnis:
    245
  2. ●8
    Rechne halbschriftlich: Zerlege den zweiten Faktor. 5 · 48
    Lösung zeigen
    1. 48 = 40 + 8
    2. 5 · 40 = 200 und 5 · 8 = 40
    3. 200 + 40 = 240
    Ergebnis:
    240
  3. ★9
    Rechne halbschriftlich mit Stellenwerten: 6 · 484
    Lösung zeigen
    1. 484 = 400 + 80 + 4
    2. 6 · 400 = 2400; 6 · 80 = 480; 6 · 4 = 24
    3. 2400 + 480 + 24 = 2904
    Ergebnis:
    2904

4Ich dividiere halbschriftlich, indem ich die Zahl geschickt zerlege.

EntdeckenFrage

Warum ist 25 mal 4 ein Lieblingspaar beim Kopfrechnen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

25 mal 4 ergibt genau 100. Kommen 25 und 4 in einer Malaufgabe vor, fasst man sie zuerst zusammen. Aus 25 · 37 · 4 wird dann 100 · 37 = 3700, ganz ohne schriftliches Rechnen.

MerkenTeilen mit Zerlegen

Die Zahl so zerlegen, dass jeder Teil glatt aufgeht. So wird 385 : 7 zu 350 : 7 + 35 : 7.

BeispielHalbschriftlich dividieren

Rechne halbschriftlich: 162 : 6
Schritt für Schritt
  1. 162 = 120 + 42
  2. 120 : 6 = 20 und 42 : 6 = 7
  3. 20 + 7 = 27
  1. 162 = 120 + 42
  2. 120 : 6 = 20 und 42 : 6 = 7
  3. 20 + 7 = 27
Ergebnis:
27

AchtungBeim Teilen nicht passend zerlegt

So nicht
385 : 7: 300 : 7 geht nicht glatt → aufgegeben
So richtig
385 : 7 = 350 : 7 + 35 : 7 = 50 + 5 = 55

Jeder Teil muss sich glatt teilen lassen. Erst ein großes Vielfaches abspalten.

ÜbenJetzt du

  1. ○10
    Zerlege 196 so in zwei Zahlen, dass du beide leicht durch 4 dividieren kannst. Was ergibt 196 : 4?
    196: 4
    So fängst du an:
    196 = 160 + 36
    Lösung zeigen
    1. 196 = 160 + 36
    2. 160 : 4 = 40 und 36 : 4 = 9
    3. 40 + 9 = 49
    Ergebnis:
    49
  2. ●11
    513 Murmeln werden gleichmäßig auf 9 Säckchen aufgeteilt. Wie viele bekommt jeder Teil? Rechne halbschriftlich.
    Lösung zeigen
    1. 513 : 9
    2. 513 = 450 + 63
    3. 450 : 9 = 50 und 63 : 9 = 7
    4. 50 + 7 = 57
    Ergebnis:
    57 Murmeln
  3. ★12
    414 Sticker werden gleichmäßig auf 6 Kinder aufgeteilt. Wie viele bekommt jeder Teil? Rechne halbschriftlich.
    Lösung zeigen
    1. 414 : 6
    2. 414 = 360 + 54
    3. 360 : 6 = 60 und 54 : 6 = 9
    4. 60 + 9 = 69
    Ergebnis:
    69 Sticker

5Ich finde Aufgaben mit gleichem Ergebnis und vergleiche Rechenausdrücke.

EntdeckenFrage

Warum stimmt der Trick „mal 9 ist mal 10 minus einmal“ immer?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Neunmal eine Zahl ist zehnmal die Zahl minus einmal die Zahl. So wird 9 · 47 zu 470 − 47 = 423. Das ist das Verteilungsgesetz: 9 ist 10 minus 1.

MerkenAusdrücke mit gleichem Wert

Verschiedene Rechenausdrücke können denselben Wert haben.

Wer die Rechengesetze nutzt, sieht das oft ohne Ausrechnen.

BeispielAufgaben mit gleichem Ergebnis

Ergänze die Lücke: 45 + 81 = 55 + ___
45 + 81=55 + ?
Schritt für Schritt
  1. 45 wird zu 55: 10 mehr.
  2. Damit die Summe gleich bleibt, wird 81 um 10 kleiner.
  3. 81 − 10 = 71
  1. 45 wird zu 55: 10 mehr.
  2. Damit die Summe gleich bleibt, wird 81 um 10 kleiner.
  3. 81 − 10 = 71
Ergebnis:
71

AchtungPunkt vor Strich missachtet

So nicht
9 + 5 · 7 = 14 · 7 = 98
So richtig
9 + 5 · 7 = 9 + 35 = 44

Klammer zuerst, dann Mal und Geteilt, dann Plus und Minus.

ÜbenJetzt du

  1. ○13
    Ergänze die Lücke: 18 · 5 = 9 · ___
    18 · 5=9 · ?
    So fängst du an:
    18 wird halb so groß: 9.
    Lösung zeigen
    1. 18 wird halb so groß: 9.
    2. Damit das Ergebnis gleich bleibt, wird 5 doppelt so groß.
    3. 5 · 2 = 10
    Ergebnis:
    10
  2. ●14
    Welche Zahl fehlt? Rechne nicht beide Seiten aus. 18 · 7 = 9 · ___
    Lösung zeigen
    1. 18 wird halb so groß: 9.
    2. Damit das Ergebnis gleich bleibt, wird 7 doppelt so groß.
    3. 7 · 2 = 14
    Ergebnis:
    14
  3. ★15
    Ergänze die Lücke: 4 · 53 + 4 · 5 = 4 · ___
    4 · 53 + 4 · 5=4 · ?
    Lösung zeigen
    1. Beide Produkte haben den Faktor 4.
    2. 4 mal 53 und 4 mal 5 sind zusammen 4 mal (53 + 5).
    3. 53 + 5 = 58
    Ergebnis:
    58

6Ich rechne mit Verdoppeln und Halbieren und prüfe, ob das Ergebnis gleich bleibt.

EntdeckenFrage

Wie merkt man in Sekunden, dass 98 · 102 nicht 99.960 sein kann?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Man rechnet nicht, man überschlägt: 100 · 100 = 10.000. Das Ergebnis muss also in der Nähe von 10.000 liegen. 99.960 ist fast zehnmal so groß und kann nicht stimmen. Richtig ist 9996.

MerkenVerdoppeln und halbieren

Wird ein Faktor verdoppelt und der andere halbiert, bleibt das Produkt gleich.

Werden beide verdoppelt, wird es viermal so groß.

BeispielVerdoppeln und Halbieren

Can verdoppelt bei 12 · 15 beide Faktoren und rechnet 24 · 30. Bleibt das Ergebnis gleich?
Schritt für Schritt
  1. Einmal verdoppeln macht das Ergebnis doppelt so groß, zweimal viermal so groß.
  2. 24 · 30 = 720, aber 12 · 15 = 180
  3. Richtig ist: einen verdoppeln, den anderen halbieren.
  1. Einmal verdoppeln macht das Ergebnis doppelt so groß, zweimal viermal so groß.
  2. 24 · 30 = 720, aber 12 · 15 = 180
  3. Richtig ist: einen verdoppeln, den anderen halbieren.
Ergebnis:
Nein, viermal so groß; richtig ist 180

AchtungBeide Faktoren verdoppelt

So nicht
8 · 25 → 16 · 50 = 800
So richtig
8 · 25 → 4 · 50 = 200

Nur einer wird verdoppelt, der andere halbiert. Sonst ändert sich das Ergebnis.

ÜbenJetzt du

  1. ○16
    Noah verdoppelt bei 16 · 5 beide Faktoren und rechnet 32 · 10. Bleibt das Ergebnis gleich?
    So fängst du an:
    Einmal verdoppeln macht das Ergebnis doppelt so groß, zweimal viermal so groß.
    Lösung zeigen
    1. Einmal verdoppeln macht das Ergebnis doppelt so groß, zweimal viermal so groß.
    2. 32 · 10 = 320, aber 16 · 5 = 80
    3. Richtig ist: einen verdoppeln, den anderen halbieren.
    Ergebnis:
    Nein, viermal so groß; richtig ist 80
  2. ●17
    Rechne geschickt: Halbiere den einen Faktor und verdopple den anderen. 14 · 15
    Lösung zeigen
    1. 14 · 15 = 7 · 30
    2. 7 · 30 = 210
    Ergebnis:
    210
  3. ★18
    Warum ist 24 · 125 dasselbe wie 12 · 250? Rechne dann geschickt.
    Lösung zeigen
    1. Halb so viele Reihen, jede doppelt so lang: gleich viele Kästchen.
    2. 24 · 125 = 12 · 250
    3. 12 · 250 = 3000
    Ergebnis:
    3000

7Ich wähle zu einer Aufgabe den passenden Rechenweg.

EntdeckenFrage

Wie rechnen Darts-Profis blitzschnell aus, wie viele Punkte ihnen von 501 noch fehlen, wenn sie 140 geworfen haben?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Der geschickte Weg nimmt erst eine runde Zahl. 500 − 140 = 360, und der eine Extrapunkt kommt dazu: 361. Das geht schneller als 501 − 140 Stelle für Stelle. Am Ergebnis ändert der Weg nichts.

MerkenDen passenden Weg wählen

Vor dem Rechnen die Zahlen ansehen.

Liegt eine Zahl nahe an einer glatten, lohnt sich ein Vorteil, sonst rechnet man schriftlich.

BeispielDen passenden Rechenweg wählen

Wie rechnest du am schnellsten: 12 · 25? Nenne ihn. Rechne danach.
Schritt für Schritt
  1. 25 wird verdoppelt glatt: halbieren und verdoppeln.
  2. 12 · 25 = 6 · 50
  3. 6 · 50 = 300
  1. 25 wird verdoppelt glatt: halbieren und verdoppeln.
  2. 12 · 25 = 6 · 50
  3. 6 · 50 = 300
Ergebnis:
halbieren und verdoppeln, 300

AchtungUmständlichen Weg gewählt

So nicht
299 + 158 schriftlich untereinander gerechnet, dabei verrechnet: 447
So richtig
299 + 158 = 300 + 157 = 457

Erst die Zahlen ansehen: Liegt eine nahe an einer glatten Zahl?

ÜbenJetzt du

  1. ○19
    Welchen Rechenvorteil nutzt du bei 8 · 25? Nenne ihn. Rechne danach.
    8 · 25zerlegenhalbieren und verdoppelnschriftlich
    So fängst du an:
    25 wird verdoppelt glatt: halbieren und verdoppeln.
    Lösung zeigen
    1. 25 wird verdoppelt glatt: halbieren und verdoppeln.
    2. 8 · 25 = 4 · 50
    3. 4 · 50 = 200
    Ergebnis:
    halbieren und verdoppeln, 200
  2. ●20
    Welchen Rechenvorteil nutzt du bei 343 + 299? Nenne ihn. Rechne danach.
    343 + 299zerlegenhalbieren und verdoppelnschriftlich
    Lösung zeigen
    1. 299 liegt knapp unter 300: gegensinnig verändern.
    2. 343 + 299 = 342 + 300
    3. 342 + 300 = 642
    Ergebnis:
    gegensinnig verändern, 642
  3. ★21
    Wie rechnest du am schnellsten: 320 + 198? Nenne ihn. Rechne danach.
    Lösung zeigen
    1. 198 liegt knapp unter 200: gegensinnig verändern.
    2. 320 + 198 = 318 + 200
    3. 318 + 200 = 518
    Ergebnis:
    gegensinnig verändern, 518

8Ich finde Rechenfehler mit Überschlag und Umkehraufgabe.

EntdeckenFrage

Warum zählt man Rückgeld vom Preis aus nach oben, statt abzuziehen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Wer 13,40 € zahlen muss und 20 € gibt, bekommt 20 − 13,40 = 6,60 € zurück. Beim Hochzählen rechnet man die Umkehraufgabe: 13,40 + 6,60 = 20. Kommt man genau auf den gegebenen Betrag, stimmt das Rückgeld.

MerkenÜberschlag und Umkehraufgabe

Ein Überschlag mit runden Zahlen zeigt, ob ein Ergebnis stimmen kann.

Die Umkehraufgabe prüft es genau.

BeispielRechenfehler mit Überschlag und Umkehraufgabe finden

Hanna rechnet 720 : 8 und erhält 90. Prüfe mit der Umkehraufgabe.
720 : 8Ergebnis 90?
Schritt für Schritt
  1. Umkehraufgabe: 90 · 8 = 720
  2. 720 ist genau 720: Es stimmt.
  3. 720 : 8 = 90
  1. Umkehraufgabe: 90 · 8 = 720
  2. 720 ist genau 720: Es stimmt.
  3. 720 : 8 = 90
Ergebnis:
stimmt, 90

AchtungErgebnis nicht geprüft

So nicht
425 : 5 = 805, ohne Probe ins Heft
So richtig
425 : 5 → Überschlag 400 : 5 = 80 → 85, Probe 85 · 5 = 425

Mit einem Überschlag prüfen, ob die Größenordnung stimmt, dann mit der Umkehraufgabe.

ÜbenJetzt du

  1. ○22
    Emma erhält für 73 · 48 das Ergebnis 4504. Prüfe mit einem Überschlag.
    So fängst du an:
    Überschlag: 70 · 50 = 3500
    Lösung zeigen
    1. Überschlag: 70 · 50 = 3500
    2. 4504 liegt zu weit weg. Genau: 73 · 48 = 3504
    3. Das Ergebnis ist falsch.
    Ergebnis:
    falsch, richtig ist 3504
  2. ●23
    Aylin erhält für 81 · 38 das Ergebnis 4078. Prüfe mit einem Überschlag.
    Lösung zeigen
    1. Überschlag: 80 · 40 = 3200
    2. 4078 liegt zu weit weg. Genau: 81 · 38 = 3078
    3. Das Ergebnis ist falsch.
    Ergebnis:
    falsch, richtig ist 3078
  3. ★24
    Mia erhält für 200 · 14 das Ergebnis 2800. Prüfe mit einem Überschlag.
    Lösung zeigen
    1. Überschlag: 200 · 10 = 2000
    2. 2800 liegt in der Nähe. Genau rechnen: 200 · 14 = 2800
    3. Das Ergebnis stimmt.
    Ergebnis:
    stimmt, 2800

Vermischte Übungen

Alles durcheinander – wie in der Arbeit. Überleg bei jeder Aufgabe zuerst: Welches Ziel ist das?

Üben

  1. ●25
    Welche Zahlen fasst du bei 13 + 81 + 27 zuerst zusammen? Begründe. Rechne danach.
    138127
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 13 + 27 + 81
    2. 13 + 27 = 40
    3. Zusammen glatt, der Rest ist leicht: 40 + 81 = 121
    Ergebnis:
    121
  2. ●26
    Welche zwei Zahlen ergeben bei 50 · 19 · 2 zusammen eine glatte Zahl? Rechne damit.
    50192
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 50 · 2 · 19
    2. 50 · 2 = 100
    3. 100 · 19 = 1900
    Ergebnis:
    1900
  3. ●27
    Ergänze so, dass die Summe gleich bleibt: 67 + 74 = 70 + ___
    6774
    Lösung zeigen
    1. 67 wird zu 70: 3 mehr.
    2. Also muss 74 um 3 kleiner werden: 74 − 3 = 71
    3. 70 + 71 = 141
    Ergebnis:
    71
  4. ●28
    Ergänze so, dass die Differenz gleich bleibt: 225 − 197 = ___ − 200
    Lösung zeigen
    1. 197 wird zu 200: 3 mehr.
    2. Damit der Abstand bleibt, wird auch 225 um 3 größer: 228.
    3. 228 − 200 = 28
    Ergebnis:
    228
  5. ●29
    Es gibt 9 Tüten mit je 52 Bonbons. Wie viele Bonbons sind es? Rechne halbschriftlich.
    Lösung zeigen
    1. 9 · 52
    2. 52 = 50 + 2
    3. 9 · 50 = 450 und 9 · 2 = 18
    4. 450 + 18 = 468
    Ergebnis:
    468 Bonbons
  6. ●30
    Ein Rechteck hat 3 Reihen mit je 18 Kästchen. Die rote Linie teilt es. Wie viele Kästchen sind es?
    1083
    Lösung zeigen
    1. Linker Teil: 3 · 10 = 30
    2. Rechter Teil: 3 · 8 = 24
    3. Zusammen: 30 + 24 = 54
    Ergebnis:
    54 Kästchen

Auf einen Blick

MerkenDas Wichtigste

Vertauschen und zusammenfassen
Beim Plus und beim Mal darf man die Zahlen vertauschen und anders zusammenfassen.
Gegensinnig und gleichsinnig
Bei einer Summe gibt ein Summand ab, was der andere bekommt.
Malnehmen mit Zerlegen
Einen Faktor zerlegen, jeden Teil malnehmen und die Teilergebnisse addieren.
Teilen mit Zerlegen
Die Zahl so zerlegen, dass jeder Teil glatt aufgeht. So wird 385 : 7 zu 350 : 7 + 35 : 7.
Ausdrücke mit gleichem Wert
Verschiedene Rechenausdrücke können denselben Wert haben.
Verdoppeln und halbieren
Wird ein Faktor verdoppelt und der andere halbiert, bleibt das Produkt gleich.
Den passenden Weg wählen
Vor dem Rechnen die Zahlen ansehen.
Überschlag und Umkehraufgabe
Ein Überschlag mit runden Zahlen zeigt, ob ein Ergebnis stimmen kann.

Kannst du das?

Je Ziel eine Aufgabe. Rechne sie ins Heft, dann kreuz ehrlich an. Keine Punkte, keine Note – der Test ist für dich.

ÜbenSelbsttest

  1. Ich rechne Plusaufgaben und Malaufgaben geschickt durch Vertauschen und Zusammenfassen.

    31
    Rechne geschickt: 25 + 36 + 5
    25365
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    66

  2. Ich verändere Summen gegensinnig und Differenzen gleichsinnig.

    32
    Lina rechnet 38 + 53 als 40 + 53. Was muss Lina danach noch tun? Was kommt heraus?
    3853
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    91

  3. Ich nehme halbschriftlich mal, indem ich einen Faktor zerlege.

    33
    Es gibt 5 Reihen mit je 36 Stühle. Wie viele Stühle sind es? Rechne halbschriftlich.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    180 Stühle

  4. Ich dividiere halbschriftlich, indem ich die Zahl geschickt zerlege.

    34
    Zerlege 328 so in zwei Zahlen, dass du beide leicht durch 8 dividieren kannst. Was ergibt 328 : 8?
    328: 8
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    41

  5. Ich finde Aufgaben mit gleichem Ergebnis und vergleiche Rechenausdrücke.

    35
    Welche Zahl fehlt? Rechne nicht beide Seiten aus. 47 − 27 = ___ − 28
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    48

  6. Ich rechne mit Verdoppeln und Halbieren und prüfe, ob das Ergebnis gleich bleibt.

    36
    Warum ist 14 · 5 dasselbe wie 7 · 10? Rechne dann geschickt.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    70

  7. Ich wähle zu einer Aufgabe den passenden Rechenweg.

    37
    Welchen Rechenvorteil nutzt du bei 7 · 59? Nenne ihn. Rechne danach.
    7 · 59zerlegenhalbieren und verdoppelnschriftlich
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    zerlegen, 413

  8. Ich finde Rechenfehler mit Überschlag und Umkehraufgabe.

    38
    Sofia rechnet 336 : 7 und erhält 58. Prüfe mit der Umkehraufgabe.
    336 : 7Ergebnis 58?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    falsch, richtig ist 48

Bei „unsicher“ oder „noch nicht“: Lies den Abschnitt zum Ziel noch einmal und rechne seine drei Aufgaben.

Die Frage vom Anfang

EntdeckenRückschau

Rechne im Kopf, so schnell du kannst: 25 · 17 · 4. Schreib nichts auf und nimm keinen Taschenrechner.

Lies deine Vermutung vom Anfang. Kannst du die Frage jetzt mit dem Kapitel beantworten?

Auflösung

Mit dem Werkzeug aus diesem Kapitel: Vertauschen und Zusammenfassen: erst die Zahlen, die zusammen glatt werden.

Wo brauchst du das?

Entdecken

Preise im Kopf addieren, Rückgeld überschlagen, Mengen für ein Fest ausrechnen. Beruf: Kasse und Verkauf, Handwerk beim Materialberechnen, Lager und Versand.

Wörter

Differenz
was übrig bleibt, wenn man abzieht
Gleichung
zwei Rechnungen, die gleich viel wert sind
Produkt
was herauskommt, wenn man malnimmt
Summe
was herauskommt, wenn man zusammenzählt
Teiler
eine Zahl, durch die es ohne Rest aufgeht

Wie es zusammenhängt

Das brauchst du vorher: Rechenregeln, Teiler und Vielfache, Natürliche Zahlen und Stellenwert

Darauf baut auf: Sachaufgaben lösen

Lösungen

  1. 127
  2. 113
  3. 915
  4. 44
  5. 232
  6. 1691
  7. 245
  8. 240
  9. 2904
  10. 49
  11. 57 Murmeln
  12. 69 Sticker
  13. 10
  14. 14
  15. 58
  16. Nein, viermal so groß; richtig ist 80
  17. 210
  18. 3000
  19. halbieren und verdoppeln, 200
  20. gegensinnig verändern, 642
  21. gegensinnig verändern, 518
  22. falsch, richtig ist 3504
  23. falsch, richtig ist 3078
  24. stimmt, 2800
  25. 121
  26. 1900
  27. 71
  28. 228
  29. 468 Bonbons
  30. 54 Kästchen
  31. 66
  32. 91
  33. 180 Stühle
  34. 41
  35. 48
  36. 70
  37. zerlegen, 413
  38. falsch, richtig ist 48
  39. 26
  40. 84
  41. 42
  42. 44