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Mathematik · Klasse 5 · Kapitel

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Rechengesetze und Rechenvorteile

EntdeckenDie Frage zum Kapitel

Rechne im Kopf, so schnell du kannst: 25 · 17 · 4. Schreib nichts auf und nimm keinen Taschenrechner.

Schreib eine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Für die Lehrkraft: Die meisten rechnen von links: 25 · 17 und kommen durcheinander. Andere geben auf oder raten. Nur wenige sehen, dass 25 und 4 zusammen 100 ergeben. Beim Malnehmen darf man die Zahlen vertauschen. Dann steht 25 · 4 · 17 da, also 100 · 17. Das Ergebnis ist 1700, in einer Sekunde.

  • Entdecken Frage, Vorstellung, Bild
  • Merken kommt ins Heft
  • Beispiel vorgerechnet, Schritt für Schritt
  • Üben selbst rechnen
  • Achtung typischer Fehler
  • Weiterdenken zum Knobeln und Vernetzen

○ mit Starthilfe, ● für alle, ★ zum Weiterdenken. Du wählst mindestens eine ★-Aufgabe. Du rechnest ins Heft.

Fit für das Kapitel?

Das brauchst du aus früheren Themen. Klappt es nicht, frag nach, bevor es losgeht.

ÜbenWeißt du das noch?

Punkt vor Strich und Klammer zuerst – so steht es seit Klasse 4 im Heft.

  1. ●39
    Rechne: 46 − 2 · 3
    Lösung zeigen
    1. Punkt vor Strich: erst 2 · 3 = 6
    2. 46 − 6 = 40
    Ergebnis:
    40
  2. ●40
    Rechne: (6 + 4) · 4
    Lösung zeigen
    1. Die Klammer zuerst: 6 + 4 = 10
    2. 10 · 4 = 40
    Ergebnis:
    40

ÜbenWeißt du das noch?

Punkt vor Strich und Klammer zuerst – die Reihenfolge entscheidet über das Ergebnis.

  1. ●41
    Berechne: 2 + 7 · 7
    Lösung zeigen
    1. Punkt vor Strich: erst 7 · 7 = 49
    2. 2 + 49 = 51
    Ergebnis:
    51
  2. ●42
    Ich denke mir eine Zahl, addiere 31 und erhalte 84. Welche Zahl war es? (Umkehraufgabe)
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    53

So kannst du es dir vorstellen

EntdeckenZahlen umbauen, ohne den Wert zu ändern

Eine Rechnung lässt sich umbauen, ohne dass sich ihr Wert ändert. Zahlen tauschen die Plätze, bilden neue Gruppen oder werden zerlegt. Wer das sieht, rechnet mit glatten Zahlen statt mit krummen.

17 plus 38 plus 3: Erst 17 und 3 zu 20 zusammenfassen, dann 20 plus 38 sind 5817 + 38 + 317 + 3 = 20= 20 + 38 = 58

WeiterdenkenDenk nach

Warum darf man bei 25 + 38 + 75 zuerst 25 und 75 addieren, bei 50 − 20 − 10 aber nicht zuerst 20 − 10?

1Ich rechne Plusaufgaben und Malaufgaben geschickt durch Vertauschen und Zusammenfassen.

EntdeckenFrage

Wie konnte der neunjährige Carl Friedrich Gauß die Zahlen von 1 bis 100 in wenigen Minuten addieren?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Er hat die Zahlen in Paare umsortiert: 1 und 100, 2 und 99, 3 und 98. Jedes Paar ergibt 101, und es sind 50 Paare. Also 50 · 101 = 5050. Er hat nur vertauscht und neu zusammengefasst.

MerkenVertauschen und zusammenfassen

Beim Plus und beim Mal darf man die Zahlen vertauschen und anders zusammenfassen.

Erst die Zahlen nehmen, die zusammen glatt werden.

BeispielPlusaufgaben geschickt: vertauschen und zusammenfassen

Welche Zahlen fasst du bei 5 + 41 + 45 zuerst zusammen? Begründe und rechne.
54145
Schritt für Schritt
  1. Vertauschen: 5 + 45 + 41
  2. 5 + 45 = 50
  3. Zusammen glatt, der Rest ist leicht: 50 + 41 = 91
  1. Vertauschen: 5 + 45 + 41
  2. 5 + 45 = 50
  3. Zusammen glatt, der Rest ist leicht: 50 + 41 = 91
Ergebnis:
91

AchtungBeim Minus oder Geteilt vertauscht

So nicht
50 − 20 − 10: erst 20 − 10 = 10, dann 50 − 10 = 40
So richtig
50 − 20 − 10 = 30 − 10 = 20

Vertauschen ist nur beim Plus und beim Mal erlaubt. 20 − 5 ist nicht 5 − 20.

ÜbenJetzt du

  1. ○1
    Welche Zahlen fasst du bei 4 + 48 + 36 zuerst zusammen? Begründe und rechne.
    44836
    So fängst du an:
    Vertauschen: 4 + 36 + 48
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 4 + 36 + 48
    2. 4 + 36 = 40
    3. Zusammen glatt, der Rest ist leicht: 40 + 48 = 88
    Ergebnis:
    88
  2. ●2
    Rechne geschickt: 14 + 31 + 26
    143126
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 14 + 26 + 31
    2. 14 + 26 = 40
    3. 40 + 31 = 71
    Ergebnis:
    71
  3. ★3
    Rechne geschickt: 214 + 392 + 86
    21439286
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 214 + 86 + 392
    2. 214 + 86 = 300
    3. 300 + 392 = 692
    Ergebnis:
    692

2Ich verändere Summen gegensinnig und Differenzen gleichsinnig.

EntdeckenFrage

Warum rechnen Kassiererinnen 3,99 € mal 4 schneller als ein Kunde mit Papier?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Sie rechnen 4 mal 4 € und ziehen dann 4 Cent ab: 16,00 € − 0,04 € = 15,96 €. Das ist Zerlegen: 3,99 ist 4 minus 1 Cent. Der Rechenweg ist kurz, weil er über die glatte Zahl geht.

MerkenGegensinnig und gleichsinnig

Bei einer Summe gibt ein Summand ab, was der andere bekommt.

Bei einer Differenz ändern sich beide Zahlen gleich, der Abstand bleibt.

BeispielSummen gegensinnig verändern

Ergänze so, dass die Summe gleich bleibt: 48 + 25 = 50 + ___
4825
Schritt für Schritt
  1. 48 wird zu 50: 2 mehr.
  2. Also muss 25 um 2 kleiner werden: 25 − 2 = 23
  3. 50 + 23 = 73
  1. 48 wird zu 50: 2 mehr.
  2. Also muss 25 um 2 kleiner werden: 25 − 2 = 23
  3. 50 + 23 = 73
Ergebnis:
23

AchtungNur eine Zahl verändert

So nicht
143 − 97: 143 − 100 = 43
So richtig
143 − 97 = 146 − 100 = 46

Bei der Summe gegensinnig, bei der Differenz gleichsinnig: Immer beide Zahlen verändern.

ÜbenJetzt du

  1. ○4
    Ben rechnet 67 + 78 als 70 + 78. Was muss Ben danach noch tun? Was kommt heraus?
    6778
    So fängst du an:
    Ben hat 67 um 3 vergrößert.
    Lösung zeigen
    1. Ben hat 67 um 3 vergrößert.
    2. Die Summe ist dadurch um 3 zu groß: 70 + 78 = 148.
    3. 3 wieder abziehen: 148 − 3 = 145
    Ergebnis:
    145
  2. ●5
    Rechne geschickt durch gegensinniges Verändern: 67 + 58
    6758
    Lösung zeigen
    1. 67 bekommt 3 dazu, 58 gibt 3 ab.
    2. 67 + 58 = 70 + 55
    3. 70 + 55 = 125
    Ergebnis:
    125
  3. ★6
    Rechne geschickt durch gegensinniges Verändern: 1999 + 179
    1999179
    Lösung zeigen
    1. 1999 bekommt 1 dazu, 179 gibt 1 ab.
    2. 1999 + 179 = 2000 + 178
    3. 2000 + 178 = 2178
    Ergebnis:
    2178

3Ich nehme halbschriftlich mal, indem ich einen Faktor zerlege.

EntdeckenFrage

Wie haben Bauern in Russland früher ohne Einmaleins multipliziert?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Sie haben eine Zahl immer halbiert und die andere verdoppelt, bis links eine 1 stand. Dann addierten sie die rechten Zahlen der Zeilen mit ungerader linker Zahl. Das Verfahren heißt russische Bauernmultiplikation und nutzt, dass Verdoppeln und Halbieren das Produkt nicht ändert.

MerkenMalnehmen mit Zerlegen

Einen Faktor zerlegen, jeden Teil malnehmen und die Teilergebnisse addieren.

So wird 7 · 48 zu 7 · 40 + 7 · 8.

BeispielHalbschriftlich malnehmen mit Zerlegen

Es gibt 7 Reihen mit je 14 Stühle. Wie viele Stühle sind es? Rechne halbschriftlich.
Schritt für Schritt
  1. 7 · 14
  2. 14 = 10 + 4
  3. 7 · 10 = 70 und 7 · 4 = 28
  4. 70 + 28 = 98
  1. 7 · 14
  2. 14 = 10 + 4
  3. 7 · 10 = 70 und 7 · 4 = 28
  4. 70 + 28 = 98
Ergebnis:
98 Stühle

AchtungBeim Zerlegen einen Teil vergessen

So nicht
7 · 48: 7 · 40 + 8 = 288
So richtig
7 · 48 = 7 · 40 + 7 · 8 = 280 + 56 = 336

Jeder Teil des zerlegten Faktors wird malgenommen, nicht nur der erste.

ÜbenJetzt du

  1. ○7
    Rechne halbschriftlich: Zerlege den zweiten Faktor. 9 · 36
    So fängst du an:
    36 = 30 + 6
    Lösung zeigen
    1. 36 = 30 + 6
    2. 9 · 30 = 270 und 9 · 6 = 54
    3. 270 + 54 = 324
    Ergebnis:
    324
  2. ●8
    Rechne halbschriftlich: Zerlege den zweiten Faktor. 4 · 42
    Lösung zeigen
    1. 42 = 40 + 2
    2. 4 · 40 = 160 und 4 · 2 = 8
    3. 160 + 8 = 168
    Ergebnis:
    168
  3. ★9
    Rechne halbschriftlich: Zerlege den zweiten Faktor. 8 · 43
    Lösung zeigen
    1. 43 = 40 + 3
    2. 8 · 40 = 320 und 8 · 3 = 24
    3. 320 + 24 = 344
    Ergebnis:
    344

4Ich dividiere halbschriftlich, indem ich die Zahl geschickt zerlege.

EntdeckenFrage

Warum ist 25 mal 4 ein Lieblingspaar beim Kopfrechnen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

25 mal 4 ergibt genau 100. Kommen 25 und 4 in einer Malaufgabe vor, fasst man sie zuerst zusammen. Aus 25 · 37 · 4 wird dann 100 · 37 = 3700, ganz ohne schriftliches Rechnen.

MerkenTeilen mit Zerlegen

Die Zahl so zerlegen, dass jeder Teil glatt aufgeht. So wird 385 : 7 zu 350 : 7 + 35 : 7.

BeispielHalbschriftlich dividieren

Rechne halbschriftlich: 528 : 8
Schritt für Schritt
  1. 528 = 480 + 48
  2. 480 : 8 = 60 und 48 : 8 = 6
  3. 60 + 6 = 66
  1. 528 = 480 + 48
  2. 480 : 8 = 60 und 48 : 8 = 6
  3. 60 + 6 = 66
Ergebnis:
66

AchtungBeim Teilen nicht passend zerlegt

So nicht
385 : 7: 300 : 7 geht nicht glatt → aufgegeben
So richtig
385 : 7 = 350 : 7 + 35 : 7 = 50 + 5 = 55

Jeder Teil muss sich glatt teilen lassen. Erst ein großes Vielfaches abspalten.

ÜbenJetzt du

  1. ○10
    Rechne halbschriftlich: 124 : 4
    So fängst du an:
    124 = 120 + 4
    Lösung zeigen
    1. 124 = 120 + 4
    2. 120 : 4 = 30 und 4 : 4 = 1
    3. 30 + 1 = 31
    Ergebnis:
    31
  2. ●11
    Rechne halbschriftlich: 216 : 6
    Lösung zeigen
    1. 216 = 180 + 36
    2. 180 : 6 = 30 und 36 : 6 = 6
    3. 30 + 6 = 36
    Ergebnis:
    36
  3. ★12
    186 Murmeln werden gleichmäßig auf 6 Säckchen aufgeteilt. Wie viele bekommt jeder Teil? Rechne halbschriftlich.
    Lösung zeigen
    1. 186 : 6
    2. 186 = 180 + 6
    3. 180 : 6 = 30 und 6 : 6 = 1
    4. 30 + 1 = 31
    Ergebnis:
    31 Murmeln

5Ich finde Aufgaben mit gleichem Ergebnis und vergleiche Rechenausdrücke.

EntdeckenFrage

Warum stimmt der Trick „mal 9 ist mal 10 minus einmal“ immer?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Neunmal eine Zahl ist zehnmal die Zahl minus einmal die Zahl. So wird 9 · 47 zu 470 − 47 = 423. Das ist das Verteilungsgesetz: 9 ist 10 minus 1.

MerkenAusdrücke mit gleichem Wert

Verschiedene Rechenausdrücke können denselben Wert haben.

Wer die Rechengesetze nutzt, sieht das oft ohne Ausrechnen.

BeispielAufgaben mit gleichem Ergebnis

Ergänze die Lücke: 98 − 87 = ___ − 92
Schritt für Schritt
  1. 87 wird zu 92: 5 mehr.
  2. Damit der Abstand bleibt, wird auch 98 um 5 größer.
  3. 98 + 5 = 103
  1. 87 wird zu 92: 5 mehr.
  2. Damit der Abstand bleibt, wird auch 98 um 5 größer.
  3. 98 + 5 = 103
Ergebnis:
103

AchtungPunkt vor Strich missachtet

So nicht
9 + 5 · 7 = 14 · 7 = 98
So richtig
9 + 5 · 7 = 9 + 35 = 44

Klammer zuerst, dann Mal und Geteilt, dann Plus und Minus.

ÜbenJetzt du

  1. ○13
    Finde die fehlende Zahl mit einem Rechengesetz: 18 · 14 = 9 · ___
    18 · 14=9 · ?
    So fängst du an:
    18 wird halb so groß: 9.
    Lösung zeigen
    1. 18 wird halb so groß: 9.
    2. Damit das Ergebnis gleich bleibt, wird 14 doppelt so groß.
    3. 14 · 2 = 28
    Ergebnis:
    28
  2. ●14
    Ergänze die Lücke: 74 + 12 = 71 + ___
    74 + 12=71 + ?
    Lösung zeigen
    1. 74 wird zu 71: 3 weniger.
    2. Damit die Summe gleich bleibt, wird 12 um 3 größer.
    3. 12 + 3 = 15
    Ergebnis:
    15
  3. ★15
    Ergänze die Lücke: 4 · 69 + 4 · 4 = 4 · ___
    4 · 69 + 4 · 4=4 · ?
    Lösung zeigen
    1. Beide Produkte haben den Faktor 4.
    2. 4 mal 69 und 4 mal 4 sind zusammen 4 mal (69 + 4).
    3. 69 + 4 = 73
    Ergebnis:
    73

6Ich rechne mit Verdoppeln und Halbieren und prüfe, ob das Ergebnis gleich bleibt.

EntdeckenFrage

Wie merkt man in Sekunden, dass 98 · 102 nicht 99.960 sein kann?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Man rechnet nicht, man überschlägt: 100 · 100 = 10.000. Das Ergebnis muss also in der Nähe von 10.000 liegen. 99.960 ist fast zehnmal so groß und kann nicht stimmen. Richtig ist 9996.

MerkenVerdoppeln und halbieren

Wird ein Faktor verdoppelt und der andere halbiert, bleibt das Produkt gleich.

Werden beide verdoppelt, wird es viermal so groß.

BeispielVerdoppeln und Halbieren

Warum ist 14 · 5 dasselbe wie 7 · 10? Rechne dann geschickt.
Schritt für Schritt
  1. Halb so viele Reihen, jede doppelt so lang: gleich viele Kästchen.
  2. 14 · 5 = 7 · 10
  3. 7 · 10 = 70
  1. Halb so viele Reihen, jede doppelt so lang: gleich viele Kästchen.
  2. 14 · 5 = 7 · 10
  3. 7 · 10 = 70
Ergebnis:
70

AchtungBeide Faktoren verdoppelt

So nicht
8 · 25 → 16 · 50 = 800
So richtig
8 · 25 → 4 · 50 = 200

Nur einer wird verdoppelt, der andere halbiert. Sonst ändert sich das Ergebnis.

ÜbenJetzt du

  1. ○16
    Aylin verdoppelt bei 8 · 25 beide Faktoren und rechnet 16 · 50. Bleibt das Ergebnis gleich?
    So fängst du an:
    Einmal verdoppeln macht das Ergebnis doppelt so groß, zweimal viermal so groß.
    Lösung zeigen
    1. Einmal verdoppeln macht das Ergebnis doppelt so groß, zweimal viermal so groß.
    2. 16 · 50 = 800, aber 8 · 25 = 200
    3. Richtig ist: einen verdoppeln, den anderen halbieren.
    Ergebnis:
    Nein, viermal so groß; richtig ist 200
  2. ●17
    Lina verdoppelt bei 12 · 15 beide Faktoren und rechnet 24 · 30. Bleibt das Ergebnis gleich?
    Lösung zeigen
    1. Einmal verdoppeln macht das Ergebnis doppelt so groß, zweimal viermal so groß.
    2. 24 · 30 = 720, aber 12 · 15 = 180
    3. Richtig ist: einen verdoppeln, den anderen halbieren.
    Ergebnis:
    Nein, viermal so groß; richtig ist 180
  3. ★18
    Sofia verdoppelt bei 12 · 75 beide Faktoren und rechnet 24 · 150. Bleibt das Ergebnis gleich?
    Lösung zeigen
    1. Einmal verdoppeln macht das Ergebnis doppelt so groß, zweimal viermal so groß.
    2. 24 · 150 = 3600, aber 12 · 75 = 900
    3. Richtig ist: einen verdoppeln, den anderen halbieren.
    Ergebnis:
    Nein, viermal so groß; richtig ist 900

7Ich wähle zu einer Aufgabe den passenden Rechenweg.

EntdeckenFrage

Wie rechnen Darts-Profis blitzschnell aus, wie viele Punkte ihnen von 501 noch fehlen, wenn sie 140 geworfen haben?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Der geschickte Weg nimmt erst eine runde Zahl. 500 − 140 = 360, und der eine Extrapunkt kommt dazu: 361. Das geht schneller als 501 − 140 Stelle für Stelle. Am Ergebnis ändert der Weg nichts.

MerkenDen passenden Weg wählen

Vor dem Rechnen die Zahlen ansehen.

Liegt eine Zahl nahe an einer glatten, lohnt sich ein Vorteil, sonst rechnet man schriftlich.

BeispielDen passenden Rechenweg wählen

Wie rechnest du am schnellsten: 42 + 27 + 58? Nenne ihn und rechne.
Schritt für Schritt
  1. Zwei Zahlen ergeben zusammen 100: vertauschen und zusammenfassen.
  2. 42 + 58 = 100
  3. 100 + 27 = 127
  1. Zwei Zahlen ergeben zusammen 100: vertauschen und zusammenfassen.
  2. 42 + 58 = 100
  3. 100 + 27 = 127
Ergebnis:
vertauschen, 127

AchtungUmständlichen Weg gewählt

So nicht
299 + 158 schriftlich untereinander gerechnet, dabei verrechnet: 447
So richtig
299 + 158 = 300 + 157 = 457

Erst die Zahlen ansehen: Liegt eine nahe an einer glatten Zahl?

ÜbenJetzt du

  1. ○19
    Welcher Weg passt zu 16 · 5? Nenne ihn und rechne.
    16 · 5zerlegenhalbieren und verdoppelnschriftlich
    So fängst du an:
    5 wird verdoppelt glatt: halbieren und verdoppeln.
    Lösung zeigen
    1. 5 wird verdoppelt glatt: halbieren und verdoppeln.
    2. 16 · 5 = 8 · 10
    3. 8 · 10 = 80
    Ergebnis:
    halbieren und verdoppeln, 80
  2. ●20
    Welchen Rechenvorteil nutzt du bei 28 + 36 + 72? Nenne ihn und rechne.
    28 + 36 + 72zerlegenhalbieren und verdoppelnschriftlich
    Lösung zeigen
    1. Zwei Zahlen ergeben zusammen 100: vertauschen und zusammenfassen.
    2. 28 + 72 = 100
    3. 100 + 36 = 136
    Ergebnis:
    vertauschen, 136
  3. ★21
    Welchen Rechenvorteil nutzt du bei 6066 − 4392? Nenne ihn und rechne.
    6066 − 4392zerlegenhalbieren und verdoppelnschriftlich
    Lösung zeigen
    1. Keine Zahl liegt nahe an einer glatten Zahl: schriftlich rechnen.
    2. 6066 − 4392 = 1674
    Ergebnis:
    schriftlich, 1674

8Ich finde Rechenfehler mit Überschlag und Umkehraufgabe.

EntdeckenFrage

Warum zählt man Rückgeld vom Preis aus nach oben, statt abzuziehen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Wer 13,40 € zahlen muss und 20 € gibt, bekommt 20 − 13,40 = 6,60 € zurück. Beim Hochzählen rechnet man die Umkehraufgabe: 13,40 + 6,60 = 20. Kommt man genau auf den gegebenen Betrag, stimmt das Rückgeld.

MerkenÜberschlag und Umkehraufgabe

Ein Überschlag mit runden Zahlen zeigt, ob ein Ergebnis stimmen kann.

Die Umkehraufgabe prüft es genau.

BeispielRechenfehler mit Überschlag und Umkehraufgabe finden

Mia rechnet 828 − 631 und erhält 207. Prüfe mit der Umkehraufgabe.
Schritt für Schritt
  1. Umkehraufgabe: 207 + 631 = 838
  2. 838 ist nicht 828: Es ist falsch.
  3. 828 − 631 = 197
  1. Umkehraufgabe: 207 + 631 = 838
  2. 838 ist nicht 828: Es ist falsch.
  3. 828 − 631 = 197
Ergebnis:
falsch, richtig ist 197

AchtungErgebnis nicht geprüft

So nicht
425 : 5 = 805, ohne Probe ins Heft
So richtig
425 : 5 → Überschlag 400 : 5 = 80 → 85, Probe 85 · 5 = 425

Mit einem Überschlag prüfen, ob die Größenordnung stimmt, dann mit der Umkehraufgabe.

ÜbenJetzt du

  1. ○22
    Can rechnet 180 : 6 und erhält 30. Prüfe mit der Umkehraufgabe.
    180 : 6Ergebnis 30?
    So fängst du an:
    Umkehraufgabe: 30 · 6 = 180
    Lösung zeigen
    1. Umkehraufgabe: 30 · 6 = 180
    2. 180 ist genau 180: Es stimmt.
    3. 180 : 6 = 30
    Ergebnis:
    stimmt, 30
  2. ●23
    Tom rechnet 490 : 5 und erhält 99. Prüfe mit der Umkehraufgabe.
    490 : 5Ergebnis 99?
    Lösung zeigen
    1. Umkehraufgabe: 99 · 5 = 495
    2. 495 ist nicht 490: Es ist falsch.
    3. 490 : 5 = 98
    Ergebnis:
    falsch, richtig ist 98
  3. ★24
    Zeynep rechnet 3230 : 5 und erhält 648. Prüfe mit der Umkehraufgabe.
    3230 : 5Ergebnis 648?
    Lösung zeigen
    1. Umkehraufgabe: 648 · 5 = 3240
    2. 3240 ist nicht 3230: Es ist falsch.
    3. 3230 : 5 = 646
    Ergebnis:
    falsch, richtig ist 646

Vermischte Übungen

Alles durcheinander – wie in der Arbeit. Überleg bei jeder Aufgabe zuerst: Welches Ziel ist das?

Üben

  1. ●25
    Noah rechnet 18 + 46 + 22 von links nach rechts. Zeige einen schnelleren Weg mit einem Rechenvorteil.
    184622
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 18 + 22 + 46
    2. 18 + 22 = 40
    3. 40 + 46 = 86
    Ergebnis:
    86
  2. ●26
    In einem Lager stehen 20 Regale mit je 5 Kartons. In jedem Karton sind 4 Bälle. Wie viele Bälle sind es? Rechne geschickt.
    20 Regale5 Kartons4 Bälle
    Lösung zeigen
    1. Bälle: 20 · 5 · 4
    2. 20 · 5 = 100
    3. 100 · 4 = 400
    Ergebnis:
    400 Bälle
  3. ●27
    Ergänze so, dass die Summe gleich bleibt: 199 + 34 = 200 + ___
    19934
    Lösung zeigen
    1. 199 wird zu 200: 1 mehr.
    2. Also muss 34 um 1 kleiner werden: 34 − 1 = 33
    3. 200 + 33 = 233
    Ergebnis:
    33
  4. ●28
    Jonas rechnet 106 − 17 als 106 − 20 und erhält 86. Ist das schon das Ergebnis?
    106 − 17106 − 20
    Lösung zeigen
    1. Jonas hat 3 mehr abgezogen als verlangt.
    2. Beim Minus muss dieser Rest wieder dazu.
    3. 86 + 3 = 89
    Ergebnis:
    Nein, 89
  5. ●29
    Es gibt 7 Hefte mit je 36 Hefte. Wie viele Hefte sind es? Rechne halbschriftlich.
    Lösung zeigen
    1. 7 · 36
    2. 36 = 30 + 6
    3. 7 · 30 = 210 und 7 · 6 = 42
    4. 210 + 42 = 252
    Ergebnis:
    252 Hefte
  6. ●30
    Welche zwei Malaufgaben zeigen die beiden Teile des Rechtecks? Was ergibt 7 · 23?
    2037
    Lösung zeigen
    1. Links: 7 · 20 = 140
    2. Rechts: 7 · 3 = 21
    3. 7 · 23 = 140 + 21 = 161
    Ergebnis:
    7 · 20 und 7 · 3, zusammen 161

Auf einen Blick

MerkenDas Wichtigste

Vertauschen und zusammenfassen
Beim Plus und beim Mal darf man die Zahlen vertauschen und anders zusammenfassen.
Gegensinnig und gleichsinnig
Bei einer Summe gibt ein Summand ab, was der andere bekommt.
Malnehmen mit Zerlegen
Einen Faktor zerlegen, jeden Teil malnehmen und die Teilergebnisse addieren.
Teilen mit Zerlegen
Die Zahl so zerlegen, dass jeder Teil glatt aufgeht. So wird 385 : 7 zu 350 : 7 + 35 : 7.
Ausdrücke mit gleichem Wert
Verschiedene Rechenausdrücke können denselben Wert haben.
Verdoppeln und halbieren
Wird ein Faktor verdoppelt und der andere halbiert, bleibt das Produkt gleich.
Den passenden Weg wählen
Vor dem Rechnen die Zahlen ansehen.
Überschlag und Umkehraufgabe
Ein Überschlag mit runden Zahlen zeigt, ob ein Ergebnis stimmen kann.

Kannst du das?

Je Ziel eine Aufgabe. Rechne sie ins Heft, dann kreuz ehrlich an. Keine Punkte, keine Note – der Test ist für dich.

ÜbenSelbsttest

  1. Ich rechne Plusaufgaben und Malaufgaben geschickt durch Vertauschen und Zusammenfassen.

    31
    Rechne geschickt: 33 + 12 + 27
    331227
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    72

  2. Ich verändere Summen gegensinnig und Differenzen gleichsinnig.

    32
    Aylin rechnet 97 + 86 als 100 + 86. Was muss Aylin danach noch tun? Was kommt heraus?
    9786
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    183

  3. Ich nehme halbschriftlich mal, indem ich einen Faktor zerlege.

    33
    Rechne geschickt über die glatte Zahl: 7 · 59
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    413

  4. Ich dividiere halbschriftlich, indem ich die Zahl geschickt zerlege.

    34
    Zerlege 408 so in zwei Zahlen, dass du beide leicht durch 8 dividieren kannst. Was ergibt 408 : 8?
    408: 8
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    51

  5. Ich finde Aufgaben mit gleichem Ergebnis und vergleiche Rechenausdrücke.

    35
    Finde die fehlende Zahl mit einem Rechengesetz: 98 − 43 = ___ − 53
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    108

  6. Ich rechne mit Verdoppeln und Halbieren und prüfe, ob das Ergebnis gleich bleibt.

    36
    Warum ist 16 · 25 dasselbe wie 8 · 50? Rechne dann geschickt.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    400

  7. Ich wähle zu einer Aufgabe den passenden Rechenweg.

    37
    Wie rechnest du am schnellsten: 155 + 198? Nenne ihn und rechne.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    gegensinnig verändern, 353

  8. Ich finde Rechenfehler mit Überschlag und Umkehraufgabe.

    38
    Tom rechnet 332 : 4 und erhält 85. Prüfe mit der Umkehraufgabe.
    332 : 4Ergebnis 85?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    falsch, richtig ist 83

Bei „unsicher“ oder „noch nicht“: Lies den Abschnitt zum Ziel noch einmal und rechne seine drei Aufgaben.

Die Frage vom Anfang

EntdeckenRückschau

Rechne im Kopf, so schnell du kannst: 25 · 17 · 4. Schreib nichts auf und nimm keinen Taschenrechner.

Lies deine Vermutung vom Anfang. Kannst du die Frage jetzt mit dem Kapitel beantworten?

Auflösung

Mit dem Werkzeug aus diesem Kapitel: Vertauschen und Zusammenfassen: erst die Zahlen, die zusammen glatt werden.

Wo brauchst du das?

Entdecken

Preise im Kopf addieren, Rückgeld überschlagen, Mengen für ein Fest ausrechnen. Beruf: Kasse und Verkauf, Handwerk beim Materialberechnen, Lager und Versand.

Wörter

Differenz
was übrig bleibt, wenn man abzieht
Gleichung
zwei Rechnungen, die gleich viel wert sind
Produkt
was herauskommt, wenn man malnimmt
Summe
was herauskommt, wenn man zusammenzählt
Teiler
eine Zahl, durch die es ohne Rest aufgeht

Wie es zusammenhängt

Das brauchst du vorher: Rechenregeln, Teiler und Vielfache, Natürliche Zahlen und Stellenwert

Darauf baut auf: Sachaufgaben lösen

Lösungen

  1. 88
  2. 71
  3. 692
  4. 145
  5. 125
  6. 2178
  7. 324
  8. 168
  9. 344
  10. 31
  11. 36
  12. 31 Murmeln
  13. 28
  14. 15
  15. 73
  16. Nein, viermal so groß; richtig ist 200
  17. Nein, viermal so groß; richtig ist 180
  18. Nein, viermal so groß; richtig ist 900
  19. halbieren und verdoppeln, 80
  20. vertauschen, 136
  21. schriftlich, 1674
  22. stimmt, 30
  23. falsch, richtig ist 98
  24. falsch, richtig ist 646
  25. 86
  26. 400 Bälle
  27. 33
  28. Nein, 89
  29. 252 Hefte
  30. 7 · 20 und 7 · 3, zusammen 161
  31. 72
  32. 183
  33. 413
  34. 51
  35. 108
  36. 400
  37. gegensinnig verändern, 353
  38. falsch, richtig ist 83
  39. 40
  40. 40
  41. 51
  42. 53