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Mathematik · Klasse 5 · Kapitel

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Rechengesetze und Rechenvorteile

EntdeckenDie Frage zum Kapitel

Rechne im Kopf, so schnell du kannst: 25 · 17 · 4. Schreib nichts auf und nimm keinen Taschenrechner.

Schreib eine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Für die Lehrkraft: Die meisten rechnen von links: 25 · 17 und kommen durcheinander. Andere geben auf oder raten. Nur wenige sehen, dass 25 und 4 zusammen 100 ergeben. Beim Malnehmen darf man die Zahlen vertauschen. Dann steht 25 · 4 · 17 da, also 100 · 17. Das Ergebnis ist 1700, in einer Sekunde.

  • Entdecken Frage, Vorstellung, Bild
  • Merken kommt ins Heft
  • Beispiel vorgerechnet, Schritt für Schritt
  • Üben selbst rechnen
  • Achtung typischer Fehler
  • Weiterdenken zum Knobeln und Vernetzen

○ mit Starthilfe, ● für alle, ★ zum Weiterdenken. Du wählst mindestens eine ★-Aufgabe. Du rechnest ins Heft.

Fit für das Kapitel?

Das brauchst du aus früheren Themen. Klappt es nicht, frag nach, bevor es losgeht.

ÜbenWeißt du das noch?

Punkt vor Strich und Klammer zuerst – so steht es seit Klasse 4 im Heft.

  1. ●39
    Rechne: 39 − 5 · 4
    Lösung zeigen
    1. Punkt vor Strich: erst 5 · 4 = 20
    2. 39 − 20 = 19
    Ergebnis:
    19
  2. ●40
    Rechne: (3 + 3) · 9
    Lösung zeigen
    1. Die Klammer zuerst: 3 + 3 = 6
    2. 6 · 9 = 54
    Ergebnis:
    54

ÜbenWeißt du das noch?

Punkt vor Strich und Klammer zuerst – die Reihenfolge entscheidet über das Ergebnis.

  1. ●41
    Berechne: 12 + 9 · 7
    Lösung zeigen
    1. Punkt vor Strich: erst 9 · 7 = 63
    2. 12 + 63 = 75
    Ergebnis:
    75
  2. ●42
    Ich denke mir eine Zahl, addiere 21 und erhalte 71. Welche Zahl war es? (Umkehraufgabe)
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    50

So kannst du es dir vorstellen

EntdeckenZahlen umbauen, ohne den Wert zu ändern

Eine Rechnung lässt sich umbauen, ohne dass sich ihr Wert ändert. Zahlen tauschen die Plätze, bilden neue Gruppen oder werden zerlegt. Wer das sieht, rechnet mit glatten Zahlen statt mit krummen.

17 plus 38 plus 3: Erst 17 und 3 zu 20 zusammenfassen, dann 20 plus 38 sind 5817 + 38 + 317 + 3 = 20= 20 + 38 = 58

WeiterdenkenDenk nach

Warum darf man bei 25 + 38 + 75 zuerst 25 und 75 addieren, bei 50 − 20 − 10 aber nicht zuerst 20 − 10?

1Ich rechne Plusaufgaben und Malaufgaben geschickt durch Vertauschen und Zusammenfassen.

EntdeckenFrage

Wie konnte der neunjährige Carl Friedrich Gauß die Zahlen von 1 bis 100 in wenigen Minuten addieren?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Er hat die Zahlen in Paare umsortiert: 1 und 100, 2 und 99, 3 und 98. Jedes Paar ergibt 101, und es sind 50 Paare. Also 50 · 101 = 5050. Er hat nur vertauscht und neu zusammengefasst.

MerkenVertauschen und zusammenfassen

Beim Plus und beim Mal darf man die Zahlen vertauschen und anders zusammenfassen.

Erst die Zahlen nehmen, die zusammen glatt werden.

BeispielPlusaufgaben geschickt: vertauschen und zusammenfassen

Mia rechnet 17 + 27 + 23 von links nach rechts. Zeige einen schnelleren Weg mit einem Rechenvorteil.
172723
Schritt für Schritt
  1. Vertauschen: 17 + 23 + 27
  2. 17 + 23 = 40
  3. 40 + 27 = 67
  1. Vertauschen: 17 + 23 + 27
  2. 17 + 23 = 40
  3. 40 + 27 = 67
Ergebnis:
67

AchtungBeim Minus oder Geteilt vertauscht

So nicht
50 − 20 − 10: erst 20 − 10 = 10, dann 50 − 10 = 40
So richtig
50 − 20 − 10 = 30 − 10 = 20

Vertauschen ist nur beim Plus und beim Mal erlaubt. 20 − 5 ist nicht 5 − 20.

ÜbenJetzt du

  1. ○1
    Welche Zahlen fasst du bei 25 + 61 + 5 zuerst zusammen? Begründe. Rechne danach.
    25615
    So fängst du an:
    Vertauschen: 25 + 5 + 61
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 25 + 5 + 61
    2. 25 + 5 = 30
    3. Zusammen glatt, der Rest ist leicht: 30 + 61 = 91
    Ergebnis:
    91
  2. ●2
    Rechne geschickt: 34 + 42 + 66
    344266
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 34 + 66 + 42
    2. 34 + 66 = 100
    3. 100 + 42 = 142
    Ergebnis:
    142
  3. ★3
    Rechne geschickt: 56 + 451 + 144
    56451144
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 56 + 144 + 451
    2. 56 + 144 = 200
    3. 200 + 451 = 651
    Ergebnis:
    651

2Ich verändere Summen gegensinnig und Differenzen gleichsinnig.

EntdeckenFrage

Warum rechnen Kassiererinnen 3,99 € mal 4 schneller als ein Kunde mit Papier?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Sie rechnen 4 mal 4 € und ziehen dann 4 Cent ab: 16,00 € − 0,04 € = 15,96 €. Das ist Zerlegen: 3,99 ist 4 minus 1 Cent. Der Rechenweg ist kurz, weil er über die glatte Zahl geht.

MerkenGegensinnig und gleichsinnig

Bei einer Summe gibt ein Summand ab, was der andere bekommt.

Bei einer Differenz ändern sich beide Zahlen gleich, der Abstand bleibt.

BeispielSummen gegensinnig verändern

Rechne geschickt durch gegensinniges Verändern: 298 + 45
29845
Schritt für Schritt
  1. 298 bekommt 2 dazu, 45 gibt 2 ab.
  2. 298 + 45 = 300 + 43
  3. 300 + 43 = 343
  1. 298 bekommt 2 dazu, 45 gibt 2 ab.
  2. 298 + 45 = 300 + 43
  3. 300 + 43 = 343
Ergebnis:
343

AchtungNur eine Zahl verändert

So nicht
143 − 97: 143 − 100 = 43
So richtig
143 − 97 = 146 − 100 = 46

Bei der Summe gegensinnig, bei der Differenz gleichsinnig: Immer beide Zahlen verändern.

ÜbenJetzt du

  1. ○4
    Ergänze so, dass die Summe gleich bleibt: 68 + 35 = 70 + ___
    6835
    So fängst du an:
    68 wird zu 70: 2 mehr.
    Lösung zeigen
    1. 68 wird zu 70: 2 mehr.
    2. Also muss 35 um 2 kleiner werden: 35 − 2 = 33
    3. 70 + 33 = 103
    Ergebnis:
    33
  2. ●5
    Hanna rechnet 198 + 39 als 200 + 39. Was muss Hanna danach noch tun? Was kommt heraus?
    19839
    Lösung zeigen
    1. Hanna hat 198 um 2 vergrößert.
    2. Die Summe ist dadurch um 2 zu groß: 200 + 39 = 239.
    3. 2 wieder abziehen: 239 − 2 = 237
    Ergebnis:
    237
  3. ★6
    Sofia rechnet 998 + 344 als 1000 + 344. Was muss Sofia danach noch tun? Was kommt heraus?
    998344
    Lösung zeigen
    1. Sofia hat 998 um 2 vergrößert.
    2. Die Summe ist dadurch um 2 zu groß: 1000 + 344 = 1344.
    3. 2 wieder abziehen: 1344 − 2 = 1342
    Ergebnis:
    1342

3Ich nehme halbschriftlich mal, indem ich einen Faktor zerlege.

EntdeckenFrage

Wie haben Bauern in Russland früher ohne Einmaleins multipliziert?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Sie haben eine Zahl immer halbiert und die andere verdoppelt, bis links eine 1 stand. Dann addierten sie die rechten Zahlen der Zeilen mit ungerader linker Zahl. Das Verfahren heißt russische Bauernmultiplikation und nutzt, dass Verdoppeln und Halbieren das Produkt nicht ändert.

Ausprobieren: Malnehmen am Rechteck

Länge und Höhe in Teile zerlegen – das Rechteck zerfällt in Teilrechtecke, und jedes ist eine leichte Malaufgabe.

MerkenMalnehmen mit Zerlegen

Einen Faktor zerlegen, jeden Teil malnehmen und die Teilergebnisse addieren.

So wird 7 · 48 zu 7 · 40 + 7 · 8.

BeispielHalbschriftlich malnehmen mit Zerlegen

Rechne halbschriftlich: Zerlege den zweiten Faktor. 3 · 15
Schritt für Schritt
  1. 15 = 10 + 5
  2. 3 · 10 = 30 und 3 · 5 = 15
  3. 30 + 15 = 45
  1. 15 = 10 + 5
  2. 3 · 10 = 30 und 3 · 5 = 15
  3. 30 + 15 = 45
Ergebnis:
45

AchtungBeim Zerlegen einen Teil vergessen

So nicht
7 · 48: 7 · 40 + 8 = 288
So richtig
7 · 48 = 7 · 40 + 7 · 8 = 280 + 56 = 336

Jeder Teil des zerlegten Faktors wird malgenommen, nicht nur der erste.

ÜbenJetzt du

  1. ○7
    Rechne geschickt über die glatte Zahl: 8 · 29
    So fängst du an:
    29 = 30 − 1
    Lösung zeigen
    1. 29 = 30 − 1
    2. 8 · 30 = 240 und 8 · 1 = 8
    3. 240 − 8 = 232
    Ergebnis:
    232
  2. ●8
    Rechne geschickt über die glatte Zahl: 6 · 39
    Lösung zeigen
    1. 39 = 40 − 1
    2. 6 · 40 = 240 und 6 · 1 = 6
    3. 240 − 6 = 234
    Ergebnis:
    234
  3. ★9
    Rechne halbschriftlich mit Stellenwerten: 5 · 404
    Lösung zeigen
    1. 404 = 400 + 4
    2. 5 · 400 = 2000; 5 · 4 = 20
    3. 2000 + 20 = 2020
    Ergebnis:
    2020

4Ich dividiere halbschriftlich, indem ich die Zahl geschickt zerlege.

EntdeckenFrage

Warum ist 25 mal 4 ein Lieblingspaar beim Kopfrechnen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

25 mal 4 ergibt genau 100. Kommen 25 und 4 in einer Malaufgabe vor, fasst man sie zuerst zusammen. Aus 25 · 37 · 4 wird dann 100 · 37 = 3700, ganz ohne schriftliches Rechnen.

MerkenTeilen mit Zerlegen

Die Zahl so zerlegen, dass jeder Teil glatt aufgeht. So wird 385 : 7 zu 350 : 7 + 35 : 7.

BeispielHalbschriftlich dividieren

Rechne halbschriftlich: 315 : 7
Schritt für Schritt
  1. 315 = 280 + 35
  2. 280 : 7 = 40 und 35 : 7 = 5
  3. 40 + 5 = 45
  1. 315 = 280 + 35
  2. 280 : 7 = 40 und 35 : 7 = 5
  3. 40 + 5 = 45
Ergebnis:
45

AchtungBeim Teilen nicht passend zerlegt

So nicht
385 : 7: 300 : 7 geht nicht glatt → aufgegeben
So richtig
385 : 7 = 350 : 7 + 35 : 7 = 50 + 5 = 55

Jeder Teil muss sich glatt teilen lassen. Erst ein großes Vielfaches abspalten.

ÜbenJetzt du

  1. ○10
    Zerlege 220 so in zwei Zahlen, dass du beide leicht durch 5 dividieren kannst. Was ergibt 220 : 5?
    220: 5
    So fängst du an:
    220 = 200 + 20
    Lösung zeigen
    1. 220 = 200 + 20
    2. 200 : 5 = 40 und 20 : 5 = 4
    3. 40 + 4 = 44
    Ergebnis:
    44
  2. ●11
    477 Sticker werden gleichmäßig auf 9 Kinder aufgeteilt. Wie viele bekommt jeder Teil? Rechne halbschriftlich.
    Lösung zeigen
    1. 477 : 9
    2. 477 = 450 + 27
    3. 450 : 9 = 50 und 27 : 9 = 3
    4. 50 + 3 = 53
    Ergebnis:
    53 Sticker
  3. ★12
    Rechne halbschriftlich: 744 : 6
    Lösung zeigen
    1. 744 = 720 + 24
    2. 720 : 6 = 120 und 24 : 6 = 4
    3. 120 + 4 = 124
    Ergebnis:
    124

5Ich finde Aufgaben mit gleichem Ergebnis und vergleiche Rechenausdrücke.

EntdeckenFrage

Warum stimmt der Trick „mal 9 ist mal 10 minus einmal“ immer?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Neunmal eine Zahl ist zehnmal die Zahl minus einmal die Zahl. So wird 9 · 47 zu 470 − 47 = 423. Das ist das Verteilungsgesetz: 9 ist 10 minus 1.

MerkenAusdrücke mit gleichem Wert

Verschiedene Rechenausdrücke können denselben Wert haben.

Wer die Rechengesetze nutzt, sieht das oft ohne Ausrechnen.

BeispielAufgaben mit gleichem Ergebnis

Ergänze die Lücke: 6 · 13 = 3 · ___
6 · 13=3 · ?
Schritt für Schritt
  1. 6 wird halb so groß: 3.
  2. Damit das Ergebnis gleich bleibt, wird 13 doppelt so groß.
  3. 13 · 2 = 26
  1. 6 wird halb so groß: 3.
  2. Damit das Ergebnis gleich bleibt, wird 13 doppelt so groß.
  3. 13 · 2 = 26
Ergebnis:
26

AchtungPunkt vor Strich missachtet

So nicht
9 + 5 · 7 = 14 · 7 = 98
So richtig
9 + 5 · 7 = 9 + 35 = 44

Klammer zuerst, dann Mal und Geteilt, dann Plus und Minus.

ÜbenJetzt du

  1. ○13
    Finde die fehlende Zahl mit einem Rechengesetz: 82 − 73 = ___ − 83
    So fängst du an:
    73 wird zu 83: 10 mehr.
    Lösung zeigen
    1. 73 wird zu 83: 10 mehr.
    2. Damit der Abstand bleibt, wird auch 82 um 10 größer.
    3. 82 + 10 = 92
    Ergebnis:
    92
  2. ●14
    Welche Zahl fehlt? Rechne nicht beide Seiten aus. 12 · 8 = 6 · ___
    Lösung zeigen
    1. 12 wird halb so groß: 6.
    2. Damit das Ergebnis gleich bleibt, wird 8 doppelt so groß.
    3. 8 · 2 = 16
    Ergebnis:
    16
  3. ★15
    Finde die fehlende Zahl mit einem Rechengesetz: 4 · 5 = 2 · ___
    4 · 5=2 · ?
    Lösung zeigen
    1. 4 wird halb so groß: 2.
    2. Damit das Ergebnis gleich bleibt, wird 5 doppelt so groß.
    3. 5 · 2 = 10
    Ergebnis:
    10

6Ich rechne mit Verdoppeln und Halbieren und prüfe, ob das Ergebnis gleich bleibt.

EntdeckenFrage

Wie merkt man in Sekunden, dass 98 · 102 nicht 99.960 sein kann?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Man rechnet nicht, man überschlägt: 100 · 100 = 10.000. Das Ergebnis muss also in der Nähe von 10.000 liegen. 99.960 ist fast zehnmal so groß und kann nicht stimmen. Richtig ist 9996.

MerkenVerdoppeln und halbieren

Wird ein Faktor verdoppelt und der andere halbiert, bleibt das Produkt gleich.

Werden beide verdoppelt, wird es viermal so groß.

BeispielVerdoppeln und Halbieren

Mia verdoppelt bei 14 · 5 beide Faktoren und rechnet 28 · 10. Bleibt das Ergebnis gleich?
Schritt für Schritt
  1. Einmal verdoppeln macht das Ergebnis doppelt so groß, zweimal viermal so groß.
  2. 28 · 10 = 280, aber 14 · 5 = 70
  3. Richtig ist: einen verdoppeln, den anderen halbieren.
  1. Einmal verdoppeln macht das Ergebnis doppelt so groß, zweimal viermal so groß.
  2. 28 · 10 = 280, aber 14 · 5 = 70
  3. Richtig ist: einen verdoppeln, den anderen halbieren.
Ergebnis:
Nein, viermal so groß; richtig ist 70

AchtungBeide Faktoren verdoppelt

So nicht
8 · 25 → 16 · 50 = 800
So richtig
8 · 25 → 4 · 50 = 200

Nur einer wird verdoppelt, der andere halbiert. Sonst ändert sich das Ergebnis.

ÜbenJetzt du

  1. ○16
    Emma verdoppelt bei 16 · 25 beide Faktoren und rechnet 32 · 50. Bleibt das Ergebnis gleich?
    So fängst du an:
    Einmal verdoppeln macht das Ergebnis doppelt so groß, zweimal viermal so groß.
    Lösung zeigen
    1. Einmal verdoppeln macht das Ergebnis doppelt so groß, zweimal viermal so groß.
    2. 32 · 50 = 1600, aber 16 · 25 = 400
    3. Richtig ist: einen verdoppeln, den anderen halbieren.
    Ergebnis:
    Nein, viermal so groß; richtig ist 400
  2. ●17
    Rechne geschickt: Halbiere den einen Faktor und verdopple den anderen. 16 · 25
    Lösung zeigen
    1. 16 · 25 = 8 · 50
    2. 8 · 50 = 400
    Ergebnis:
    400
  3. ★18
    Ben verdoppelt bei 24 · 125 beide Faktoren und rechnet 48 · 250. Bleibt das Ergebnis gleich?
    Lösung zeigen
    1. Einmal verdoppeln macht das Ergebnis doppelt so groß, zweimal viermal so groß.
    2. 48 · 250 = 12.000, aber 24 · 125 = 3000
    3. Richtig ist: einen verdoppeln, den anderen halbieren.
    Ergebnis:
    Nein, viermal so groß; richtig ist 3000

7Ich wähle zu einer Aufgabe den passenden Rechenweg.

EntdeckenFrage

Wie rechnen Darts-Profis blitzschnell aus, wie viele Punkte ihnen von 501 noch fehlen, wenn sie 140 geworfen haben?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Der geschickte Weg nimmt erst eine runde Zahl. 500 − 140 = 360, und der eine Extrapunkt kommt dazu: 361. Das geht schneller als 501 − 140 Stelle für Stelle. Am Ergebnis ändert der Weg nichts.

MerkenDen passenden Weg wählen

Vor dem Rechnen die Zahlen ansehen.

Liegt eine Zahl nahe an einer glatten, lohnt sich ein Vorteil, sonst rechnet man schriftlich.

BeispielDen passenden Rechenweg wählen

Welchen Rechenvorteil nutzt du bei 12 · 25? Nenne ihn. Rechne danach.
12 · 25zerlegenhalbieren und verdoppelnschriftlich
Schritt für Schritt
  1. 25 wird verdoppelt glatt: halbieren und verdoppeln.
  2. 12 · 25 = 6 · 50
  3. 6 · 50 = 300
  1. 25 wird verdoppelt glatt: halbieren und verdoppeln.
  2. 12 · 25 = 6 · 50
  3. 6 · 50 = 300
Ergebnis:
halbieren und verdoppeln, 300

AchtungUmständlichen Weg gewählt

So nicht
299 + 158 schriftlich untereinander gerechnet, dabei verrechnet: 447
So richtig
299 + 158 = 300 + 157 = 457

Erst die Zahlen ansehen: Liegt eine nahe an einer glatten Zahl?

ÜbenJetzt du

  1. ○19
    Wie rechnest du am schnellsten: 14 · 5? Nenne ihn. Rechne danach.
    So fängst du an:
    5 wird verdoppelt glatt: halbieren und verdoppeln.
    Lösung zeigen
    1. 5 wird verdoppelt glatt: halbieren und verdoppeln.
    2. 14 · 5 = 7 · 10
    3. 7 · 10 = 70
    Ergebnis:
    halbieren und verdoppeln, 70
  2. ●20
    Welchen Rechenvorteil nutzt du bei 14 · 5? Nenne ihn. Rechne danach.
    14 · 5zerlegenhalbieren und verdoppelnschriftlich
    Lösung zeigen
    1. 5 wird verdoppelt glatt: halbieren und verdoppeln.
    2. 14 · 5 = 7 · 10
    3. 7 · 10 = 70
    Ergebnis:
    halbieren und verdoppeln, 70
  3. ★21
    Wie rechnest du am schnellsten: 218 + 299? Nenne ihn. Rechne danach.
    Lösung zeigen
    1. 299 liegt knapp unter 300: gegensinnig verändern.
    2. 218 + 299 = 217 + 300
    3. 217 + 300 = 517
    Ergebnis:
    gegensinnig verändern, 517

8Ich finde Rechenfehler mit Überschlag und Umkehraufgabe.

EntdeckenFrage

Warum zählt man Rückgeld vom Preis aus nach oben, statt abzuziehen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Wer 13,40 € zahlen muss und 20 € gibt, bekommt 20 − 13,40 = 6,60 € zurück. Beim Hochzählen rechnet man die Umkehraufgabe: 13,40 + 6,60 = 20. Kommt man genau auf den gegebenen Betrag, stimmt das Rückgeld.

MerkenÜberschlag und Umkehraufgabe

Ein Überschlag mit runden Zahlen zeigt, ob ein Ergebnis stimmen kann.

Die Umkehraufgabe prüft es genau.

BeispielRechenfehler mit Überschlag und Umkehraufgabe finden

Tom rechnet 102 : 3 und erhält 34. Prüfe mit der Umkehraufgabe.
102 : 3Ergebnis 34?
Schritt für Schritt
  1. Umkehraufgabe: 34 · 3 = 102
  2. 102 ist genau 102: Es stimmt.
  3. 102 : 3 = 34
  1. Umkehraufgabe: 34 · 3 = 102
  2. 102 ist genau 102: Es stimmt.
  3. 102 : 3 = 34
Ergebnis:
stimmt, 34

AchtungErgebnis nicht geprüft

So nicht
425 : 5 = 805, ohne Probe ins Heft
So richtig
425 : 5 → Überschlag 400 : 5 = 80 → 85, Probe 85 · 5 = 425

Mit einem Überschlag prüfen, ob die Größenordnung stimmt, dann mit der Umkehraufgabe.

ÜbenJetzt du

  1. ○22
    Ben erhält für 89 · 49 das Ergebnis 4561. Prüfe mit einem Überschlag.
    So fängst du an:
    Überschlag: 90 · 50 = 4500
    Lösung zeigen
    1. Überschlag: 90 · 50 = 4500
    2. 4561 liegt in der Nähe. Genau rechnen: 89 · 49 = 4361
    3. Das Ergebnis ist falsch.
    Ergebnis:
    falsch, richtig ist 4361
  2. ●23
    Tom rechnet 208 : 4 und erhält 51. Prüfe mit der Umkehraufgabe.
    208 : 4Ergebnis 51?
    Lösung zeigen
    1. Umkehraufgabe: 51 · 4 = 204
    2. 204 ist nicht 208: Es ist falsch.
    3. 208 : 4 = 52
    Ergebnis:
    falsch, richtig ist 52
  3. ★24
    Noah erhält für 295 · 13 das Ergebnis 3635. Prüfe mit einem Überschlag.
    Lösung zeigen
    1. Überschlag: 300 · 10 = 3000
    2. 3635 liegt in der Nähe. Genau rechnen: 295 · 13 = 3835
    3. Das Ergebnis ist falsch.
    Ergebnis:
    falsch, richtig ist 3835

Vermischte Übungen

Alles durcheinander – wie in der Arbeit. Überleg bei jeder Aufgabe zuerst: Welches Ziel ist das?

Üben

  1. ●25
    Tom rechnet 27 + 21 + 33 von links nach rechts. Zeige einen schnelleren Weg mit einem Rechenvorteil.
    272133
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 27 + 33 + 21
    2. 27 + 33 = 60
    3. 60 + 21 = 81
    Ergebnis:
    81
  2. ●26
    In einem Lager stehen 2 Regale mit je 5 Kisten. In jeder Kiste sind 3 Bälle. Wie viele Bälle sind es? Rechne geschickt.
    2 Regale5 Kisten3 Bälle
    Lösung zeigen
    1. Bälle: 2 · 5 · 3
    2. 2 · 5 = 10
    3. 10 · 3 = 30
    Ergebnis:
    30 Bälle
  3. ●27
    Ergänze so, dass die Summe gleich bleibt: 99 + 36 = 100 + ___
    9936
    Lösung zeigen
    1. 99 wird zu 100: 1 mehr.
    2. Also muss 36 um 1 kleiner werden: 36 − 1 = 35
    3. 100 + 35 = 135
    Ergebnis:
    35
  4. ●28
    Jonas rechnet 149 − 49 als 149 − 50 und erhält 99. Ist das schon das Ergebnis?
    149 − 49149 − 50
    Lösung zeigen
    1. Jonas hat 1 mehr abgezogen als verlangt.
    2. Beim Minus muss dieser Rest wieder dazu.
    3. 99 + 1 = 100
    Ergebnis:
    Nein, 100
  5. ●29
    Es gibt 5 Tüten mit je 36 Bonbons. Wie viele Bonbons sind es? Rechne halbschriftlich.
    Lösung zeigen
    1. 5 · 36
    2. 36 = 30 + 6
    3. 5 · 30 = 150 und 5 · 6 = 30
    4. 150 + 30 = 180
    Ergebnis:
    180 Bonbons
  6. ●30
    Welche zwei Malaufgaben zeigen die beiden Teile des Rechtecks? Was ergibt 4 · 28?
    2084
    Lösung zeigen
    1. Links: 4 · 20 = 80
    2. Rechts: 4 · 8 = 32
    3. 4 · 28 = 80 + 32 = 112
    Ergebnis:
    4 · 20 und 4 · 8, zusammen 112

Auf einen Blick

MerkenDas Wichtigste

Vertauschen und zusammenfassen
Beim Plus und beim Mal darf man die Zahlen vertauschen und anders zusammenfassen.
Gegensinnig und gleichsinnig
Bei einer Summe gibt ein Summand ab, was der andere bekommt.
Malnehmen mit Zerlegen
Einen Faktor zerlegen, jeden Teil malnehmen und die Teilergebnisse addieren.
Teilen mit Zerlegen
Die Zahl so zerlegen, dass jeder Teil glatt aufgeht. So wird 385 : 7 zu 350 : 7 + 35 : 7.
Ausdrücke mit gleichem Wert
Verschiedene Rechenausdrücke können denselben Wert haben.
Verdoppeln und halbieren
Wird ein Faktor verdoppelt und der andere halbiert, bleibt das Produkt gleich.
Den passenden Weg wählen
Vor dem Rechnen die Zahlen ansehen.
Überschlag und Umkehraufgabe
Ein Überschlag mit runden Zahlen zeigt, ob ein Ergebnis stimmen kann.

Kannst du das?

Je Ziel eine Aufgabe. Rechne sie ins Heft, dann kreuz ehrlich an. Keine Punkte, keine Note – der Test ist für dich.

ÜbenSelbsttest

  1. Ich rechne Plusaufgaben und Malaufgaben geschickt durch Vertauschen und Zusammenfassen.

    31
    Lea rechnet 19 + 45 + 11 von links nach rechts. Zeige einen schnelleren Weg mit einem Rechenvorteil.
    194511
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    75

  2. Ich verändere Summen gegensinnig und Differenzen gleichsinnig.

    32
    Sofia rechnet 38 + 89 als 40 + 89. Was muss Sofia danach noch tun? Was kommt heraus?
    3889
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    127

  3. Ich nehme halbschriftlich mal, indem ich einen Faktor zerlege.

    33
    Es gibt 4 Tüten mit je 53 Bonbons. Wie viele Bonbons sind es? Rechne halbschriftlich.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    212 Bonbons

  4. Ich dividiere halbschriftlich, indem ich die Zahl geschickt zerlege.

    34
    Rechne halbschriftlich: 357 : 7
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    51

  5. Ich finde Aufgaben mit gleichem Ergebnis und vergleiche Rechenausdrücke.

    35
    Finde die fehlende Zahl mit einem Rechengesetz: 16 · 7 = 8 · ___
    16 · 7=8 · ?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    14

  6. Ich rechne mit Verdoppeln und Halbieren und prüfe, ob das Ergebnis gleich bleibt.

    36
    Rechne geschickt: Halbiere den einen Faktor und verdopple den anderen. 16 · 25
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    400

  7. Ich wähle zu einer Aufgabe den passenden Rechenweg.

    37
    Wie rechnest du am schnellsten: 6 · 69? Nenne ihn. Rechne danach.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    zerlegen, 414

  8. Ich finde Rechenfehler mit Überschlag und Umkehraufgabe.

    38
    Jonas rechnet 833 − 661 und erhält 162. Prüfe mit der Umkehraufgabe.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    falsch, richtig ist 172

Bei „unsicher“ oder „noch nicht“: Lies den Abschnitt zum Ziel noch einmal und rechne seine drei Aufgaben.

Die Frage vom Anfang

EntdeckenRückschau

Rechne im Kopf, so schnell du kannst: 25 · 17 · 4. Schreib nichts auf und nimm keinen Taschenrechner.

Lies deine Vermutung vom Anfang. Kannst du die Frage jetzt mit dem Kapitel beantworten?

Auflösung

Mit dem Werkzeug aus diesem Kapitel: Vertauschen und Zusammenfassen: erst die Zahlen, die zusammen glatt werden.

Wo brauchst du das?

Entdecken

Preise im Kopf addieren, Rückgeld überschlagen, Mengen für ein Fest ausrechnen. Beruf: Kasse und Verkauf, Handwerk beim Materialberechnen, Lager und Versand.

Wörter

Differenz
was übrig bleibt, wenn man abzieht
Gleichung
zwei Rechnungen, die gleich viel wert sind
Produkt
was herauskommt, wenn man malnimmt
Summe
was herauskommt, wenn man zusammenzählt
Teiler
eine Zahl, durch die es ohne Rest aufgeht

Wie es zusammenhängt

Das brauchst du vorher: Rechenregeln, Teiler und Vielfache, Natürliche Zahlen und Stellenwert

Darauf baut auf: Sachaufgaben lösen

Lösungen

  1. 91
  2. 142
  3. 651
  4. 33
  5. 237
  6. 1342
  7. 232
  8. 234
  9. 2020
  10. 44
  11. 53 Sticker
  12. 124
  13. 92
  14. 16
  15. 10
  16. Nein, viermal so groß; richtig ist 400
  17. 400
  18. Nein, viermal so groß; richtig ist 3000
  19. halbieren und verdoppeln, 70
  20. halbieren und verdoppeln, 70
  21. gegensinnig verändern, 517
  22. falsch, richtig ist 4361
  23. falsch, richtig ist 52
  24. falsch, richtig ist 3835
  25. 81
  26. 30 Bälle
  27. 35
  28. Nein, 100
  29. 180 Bonbons
  30. 4 · 20 und 4 · 8, zusammen 112
  31. 75
  32. 127
  33. 212 Bonbons
  34. 51
  35. 14
  36. 400
  37. zerlegen, 414
  38. falsch, richtig ist 172
  39. 19
  40. 54
  41. 75
  42. 50