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Mathematik · Klasse 5 · Kapitel

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Rechengesetze und Rechenvorteile

EntdeckenDie Frage zum Kapitel

Rechne im Kopf, so schnell du kannst: 25 · 17 · 4. Schreib nichts auf und nimm keinen Taschenrechner.

Schreib eine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Für die Lehrkraft: Die meisten rechnen von links: 25 · 17 und kommen durcheinander. Andere geben auf oder raten. Nur wenige sehen, dass 25 und 4 zusammen 100 ergeben. Beim Malnehmen darf man die Zahlen vertauschen. Dann steht 25 · 4 · 17 da, also 100 · 17. Das Ergebnis ist 1700, in einer Sekunde.

  • Entdecken Frage, Vorstellung, Bild
  • Merken kommt ins Heft
  • Beispiel vorgerechnet, Schritt für Schritt
  • Üben selbst rechnen
  • Achtung typischer Fehler
  • Weiterdenken zum Knobeln und Vernetzen

○ mit Starthilfe, ● für alle, ★ zum Weiterdenken. Du wählst mindestens eine ★-Aufgabe. Du rechnest ins Heft.

Fit für das Kapitel?

Das brauchst du aus früheren Themen. Klappt es nicht, frag nach, bevor es losgeht.

ÜbenWeißt du das noch?

Punkt vor Strich und Klammer zuerst – so steht es seit Klasse 4 im Heft.

  1. ●39
    Rechne: 26 − 4 · 4
    Lösung zeigen
    1. Punkt vor Strich: erst 4 · 4 = 16
    2. 26 − 16 = 10
    Ergebnis:
    10
  2. ●40
    Rechne: (8 + 4) · 2
    Lösung zeigen
    1. Die Klammer zuerst: 8 + 4 = 12
    2. 12 · 2 = 24
    Ergebnis:
    24

ÜbenWeißt du das noch?

Punkt vor Strich und Klammer zuerst – die Reihenfolge entscheidet über das Ergebnis.

  1. ●41
    Berechne: 9 + 7 · 5
    Lösung zeigen
    1. Punkt vor Strich: erst 7 · 5 = 35
    2. 9 + 35 = 44
    Ergebnis:
    44
  2. ●42
    Ich denke mir eine Zahl, addiere 26 und erhalte 70. Welche Zahl war es? (Umkehraufgabe)
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    44

So kannst du es dir vorstellen

EntdeckenZahlen umbauen, ohne den Wert zu ändern

Eine Rechnung lässt sich umbauen, ohne dass sich ihr Wert ändert. Zahlen tauschen die Plätze, bilden neue Gruppen oder werden zerlegt. Wer das sieht, rechnet mit glatten Zahlen statt mit krummen.

17 plus 38 plus 3: Erst 17 und 3 zu 20 zusammenfassen, dann 20 plus 38 sind 5817 + 38 + 317 + 3 = 20= 20 + 38 = 58

WeiterdenkenDenk nach

Warum darf man bei 25 + 38 + 75 zuerst 25 und 75 addieren, bei 50 − 20 − 10 aber nicht zuerst 20 − 10?

1Ich rechne Plusaufgaben und Malaufgaben geschickt durch Vertauschen und Zusammenfassen.

EntdeckenFrage

Wie konnte der neunjährige Carl Friedrich Gauß die Zahlen von 1 bis 100 in wenigen Minuten addieren?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Er hat die Zahlen in Paare umsortiert: 1 und 100, 2 und 99, 3 und 98. Jedes Paar ergibt 101, und es sind 50 Paare. Also 50 · 101 = 5050. Er hat nur vertauscht und neu zusammengefasst.

MerkenVertauschen und zusammenfassen

Beim Plus und beim Mal darf man die Zahlen vertauschen und anders zusammenfassen.

Erst die Zahlen nehmen, die zusammen glatt werden.

BeispielPlusaufgaben geschickt: vertauschen und zusammenfassen

Rechne geschickt: 24 + 25 + 16
242516
Schritt für Schritt
  1. Vertauschen: 24 + 16 + 25
  2. 24 + 16 = 40
  3. 40 + 25 = 65
  1. Vertauschen: 24 + 16 + 25
  2. 24 + 16 = 40
  3. 40 + 25 = 65
Ergebnis:
65

AchtungBeim Minus oder Geteilt vertauscht

So nicht
50 − 20 − 10: erst 20 − 10 = 10, dann 50 − 10 = 40
So richtig
50 − 20 − 10 = 30 − 10 = 20

Vertauschen ist nur beim Plus und beim Mal erlaubt. 20 − 5 ist nicht 5 − 20.

ÜbenJetzt du

  1. ○1
    Zeynep rechnet 56 + 88 + 44 von links nach rechts. Zeige einen schnelleren Weg mit einem Rechenvorteil.
    568844
    So fängst du an:
    Vertauschen: 56 + 44 + 88
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 56 + 44 + 88
    2. 56 + 44 = 100
    3. 100 + 88 = 188
    Ergebnis:
    188
  2. ●2
    Rechne geschickt: 14 + 43 + 26
    144326
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 14 + 26 + 43
    2. 14 + 26 = 40
    3. 40 + 43 = 83
    Ergebnis:
    83
  3. ★3
    Rechne geschickt: 227 + 602 + 61 + 773 + 39
    2276026177339
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 227 + 773 + 61 + 39 + 602
    2. 227 + 773 = 1000 und 61 + 39 = 100
    3. 1000 + 100 + 602 = 1702
    Ergebnis:
    1702

2Ich verändere Summen gegensinnig und Differenzen gleichsinnig.

EntdeckenFrage

Warum rechnen Kassiererinnen 3,99 € mal 4 schneller als ein Kunde mit Papier?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Sie rechnen 4 mal 4 € und ziehen dann 4 Cent ab: 16,00 € − 0,04 € = 15,96 €. Das ist Zerlegen: 3,99 ist 4 minus 1 Cent. Der Rechenweg ist kurz, weil er über die glatte Zahl geht.

MerkenGegensinnig und gleichsinnig

Bei einer Summe gibt ein Summand ab, was der andere bekommt.

Bei einer Differenz ändern sich beide Zahlen gleich, der Abstand bleibt.

BeispielSummen gegensinnig verändern

Rechne geschickt durch gegensinniges Verändern: 298 + 69
29869
Schritt für Schritt
  1. 298 bekommt 2 dazu, 69 gibt 2 ab.
  2. 298 + 69 = 300 + 67
  3. 300 + 67 = 367
  1. 298 bekommt 2 dazu, 69 gibt 2 ab.
  2. 298 + 69 = 300 + 67
  3. 300 + 67 = 367
Ergebnis:
367

AchtungNur eine Zahl verändert

So nicht
143 − 97: 143 − 100 = 43
So richtig
143 − 97 = 146 − 100 = 46

Bei der Summe gegensinnig, bei der Differenz gleichsinnig: Immer beide Zahlen verändern.

ÜbenJetzt du

  1. ○4
    Tom rechnet 48 + 83 als 50 + 83. Was muss Tom danach noch tun? Was kommt heraus?
    4883
    So fängst du an:
    Tom hat 48 um 2 vergrößert.
    Lösung zeigen
    1. Tom hat 48 um 2 vergrößert.
    2. Die Summe ist dadurch um 2 zu groß: 50 + 83 = 133.
    3. 2 wieder abziehen: 133 − 2 = 131
    Ergebnis:
    131
  2. ●5
    Rechne geschickt durch gegensinniges Verändern: 98 + 96
    9896
    Lösung zeigen
    1. 98 bekommt 2 dazu, 96 gibt 2 ab.
    2. 98 + 96 = 100 + 94
    3. 100 + 94 = 194
    Ergebnis:
    194
  3. ★6
    Rechne geschickt durch gegensinniges Verändern: 499 + 132
    499132
    Lösung zeigen
    1. 499 bekommt 1 dazu, 132 gibt 1 ab.
    2. 499 + 132 = 500 + 131
    3. 500 + 131 = 631
    Ergebnis:
    631

3Ich nehme halbschriftlich mal, indem ich einen Faktor zerlege.

EntdeckenFrage

Wie haben Bauern in Russland früher ohne Einmaleins multipliziert?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Sie haben eine Zahl immer halbiert und die andere verdoppelt, bis links eine 1 stand. Dann addierten sie die rechten Zahlen der Zeilen mit ungerader linker Zahl. Das Verfahren heißt russische Bauernmultiplikation und nutzt, dass Verdoppeln und Halbieren das Produkt nicht ändert.

MerkenMalnehmen mit Zerlegen

Einen Faktor zerlegen, jeden Teil malnehmen und die Teilergebnisse addieren.

So wird 7 · 48 zu 7 · 40 + 7 · 8.

BeispielHalbschriftlich malnehmen mit Zerlegen

Es gibt 5 Hefte mit je 14 Hefte. Wie viele Hefte sind es? Rechne halbschriftlich.
Schritt für Schritt
  1. 5 · 14
  2. 14 = 10 + 4
  3. 5 · 10 = 50 und 5 · 4 = 20
  4. 50 + 20 = 70
  1. 5 · 14
  2. 14 = 10 + 4
  3. 5 · 10 = 50 und 5 · 4 = 20
  4. 50 + 20 = 70
Ergebnis:
70 Hefte

AchtungBeim Zerlegen einen Teil vergessen

So nicht
7 · 48: 7 · 40 + 8 = 288
So richtig
7 · 48 = 7 · 40 + 7 · 8 = 280 + 56 = 336

Jeder Teil des zerlegten Faktors wird malgenommen, nicht nur der erste.

ÜbenJetzt du

  1. ○7
    Es gibt 7 Hefte mit je 32 Hefte. Wie viele Hefte sind es? Rechne halbschriftlich.
    So fängst du an:
    7 · 32
    Lösung zeigen
    1. 7 · 32
    2. 32 = 30 + 2
    3. 7 · 30 = 210 und 7 · 2 = 14
    4. 210 + 14 = 224
    Ergebnis:
    224 Hefte
  2. ●8
    Rechne halbschriftlich: Zerlege den zweiten Faktor. 3 · 39
    Lösung zeigen
    1. 39 = 30 + 9
    2. 3 · 30 = 90 und 3 · 9 = 27
    3. 90 + 27 = 117
    Ergebnis:
    117
  3. ★9
    Es gibt 3 Hefte mit je 81 Hefte. Wie viele Hefte sind es? Rechne halbschriftlich.
    Lösung zeigen
    1. 3 · 81
    2. 81 = 80 + 1
    3. 3 · 80 = 240 und 3 · 1 = 3
    4. 240 + 3 = 243
    Ergebnis:
    243 Hefte

4Ich dividiere halbschriftlich, indem ich die Zahl geschickt zerlege.

EntdeckenFrage

Warum ist 25 mal 4 ein Lieblingspaar beim Kopfrechnen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

25 mal 4 ergibt genau 100. Kommen 25 und 4 in einer Malaufgabe vor, fasst man sie zuerst zusammen. Aus 25 · 37 · 4 wird dann 100 · 37 = 3700, ganz ohne schriftliches Rechnen.

MerkenTeilen mit Zerlegen

Die Zahl so zerlegen, dass jeder Teil glatt aufgeht. So wird 385 : 7 zu 350 : 7 + 35 : 7.

BeispielHalbschriftlich dividieren

51 Bücher werden gleichmäßig auf 3 Regalböden aufgeteilt. Wie viele bekommt jeder Teil? Rechne halbschriftlich.
Schritt für Schritt
  1. 51 : 3
  2. 51 = 30 + 21
  3. 30 : 3 = 10 und 21 : 3 = 7
  4. 10 + 7 = 17
  1. 51 : 3
  2. 51 = 30 + 21
  3. 30 : 3 = 10 und 21 : 3 = 7
  4. 10 + 7 = 17
Ergebnis:
17 Bücher

AchtungBeim Teilen nicht passend zerlegt

So nicht
385 : 7: 300 : 7 geht nicht glatt → aufgegeben
So richtig
385 : 7 = 350 : 7 + 35 : 7 = 50 + 5 = 55

Jeder Teil muss sich glatt teilen lassen. Erst ein großes Vielfaches abspalten.

ÜbenJetzt du

  1. ○10
    Zerlege 125 so in zwei Zahlen, dass du beide leicht durch 5 dividieren kannst. Was ergibt 125 : 5?
    125: 5
    So fängst du an:
    125 = 100 + 25
    Lösung zeigen
    1. 125 = 100 + 25
    2. 100 : 5 = 20 und 25 : 5 = 5
    3. 20 + 5 = 25
    Ergebnis:
    25
  2. ●11
    456 Murmeln werden gleichmäßig auf 8 Säckchen aufgeteilt. Wie viele bekommt jeder Teil? Rechne halbschriftlich.
    Lösung zeigen
    1. 456 : 8
    2. 456 = 400 + 56
    3. 400 : 8 = 50 und 56 : 8 = 7
    4. 50 + 7 = 57
    Ergebnis:
    57 Murmeln
  3. ★12
    Rechne halbschriftlich: 450 : 6
    Lösung zeigen
    1. 450 = 420 + 30
    2. 420 : 6 = 70 und 30 : 6 = 5
    3. 70 + 5 = 75
    Ergebnis:
    75

5Ich finde Aufgaben mit gleichem Ergebnis und vergleiche Rechenausdrücke.

EntdeckenFrage

Warum stimmt der Trick „mal 9 ist mal 10 minus einmal“ immer?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Neunmal eine Zahl ist zehnmal die Zahl minus einmal die Zahl. So wird 9 · 47 zu 470 − 47 = 423. Das ist das Verteilungsgesetz: 9 ist 10 minus 1.

MerkenAusdrücke mit gleichem Wert

Verschiedene Rechenausdrücke können denselben Wert haben.

Wer die Rechengesetze nutzt, sieht das oft ohne Ausrechnen.

BeispielAufgaben mit gleichem Ergebnis

Welche Zahl fehlt? Rechne nicht beide Seiten aus. 59 + 27 = 61 + ___
Schritt für Schritt
  1. 59 wird zu 61: 2 mehr.
  2. Damit die Summe gleich bleibt, wird 27 um 2 kleiner.
  3. 27 − 2 = 25
  1. 59 wird zu 61: 2 mehr.
  2. Damit die Summe gleich bleibt, wird 27 um 2 kleiner.
  3. 27 − 2 = 25
Ergebnis:
25

AchtungPunkt vor Strich missachtet

So nicht
9 + 5 · 7 = 14 · 7 = 98
So richtig
9 + 5 · 7 = 9 + 35 = 44

Klammer zuerst, dann Mal und Geteilt, dann Plus und Minus.

ÜbenJetzt du

  1. ○13
    Finde die fehlende Zahl mit einem Rechengesetz: 14 · 7 = 7 · ___
    14 · 7=7 · ?
    So fängst du an:
    14 wird halb so groß: 7.
    Lösung zeigen
    1. 14 wird halb so groß: 7.
    2. Damit das Ergebnis gleich bleibt, wird 7 doppelt so groß.
    3. 7 · 2 = 14
    Ergebnis:
    14
  2. ●14
    Ergänze die Lücke: 87 − 68 = ___ − 70
    Lösung zeigen
    1. 68 wird zu 70: 2 mehr.
    2. Damit der Abstand bleibt, wird auch 87 um 2 größer.
    3. 87 + 2 = 89
    Ergebnis:
    89
  3. ★15
    Finde die fehlende Zahl mit einem Rechengesetz: 80 − 36 = ___ − 38
    Lösung zeigen
    1. 36 wird zu 38: 2 mehr.
    2. Damit der Abstand bleibt, wird auch 80 um 2 größer.
    3. 80 + 2 = 82
    Ergebnis:
    82

6Ich rechne mit Verdoppeln und Halbieren und prüfe, ob das Ergebnis gleich bleibt.

EntdeckenFrage

Wie merkt man in Sekunden, dass 98 · 102 nicht 99.960 sein kann?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Man rechnet nicht, man überschlägt: 100 · 100 = 10.000. Das Ergebnis muss also in der Nähe von 10.000 liegen. 99.960 ist fast zehnmal so groß und kann nicht stimmen. Richtig ist 9996.

MerkenVerdoppeln und halbieren

Wird ein Faktor verdoppelt und der andere halbiert, bleibt das Produkt gleich.

Werden beide verdoppelt, wird es viermal so groß.

BeispielVerdoppeln und Halbieren

Warum ist 14 · 15 dasselbe wie 7 · 30? Rechne dann geschickt.
Schritt für Schritt
  1. Halb so viele Reihen, jede doppelt so lang: gleich viele Kästchen.
  2. 14 · 15 = 7 · 30
  3. 7 · 30 = 210
  1. Halb so viele Reihen, jede doppelt so lang: gleich viele Kästchen.
  2. 14 · 15 = 7 · 30
  3. 7 · 30 = 210
Ergebnis:
210

AchtungBeide Faktoren verdoppelt

So nicht
8 · 25 → 16 · 50 = 800
So richtig
8 · 25 → 4 · 50 = 200

Nur einer wird verdoppelt, der andere halbiert. Sonst ändert sich das Ergebnis.

ÜbenJetzt du

  1. ○16
    Ben verdoppelt bei 18 · 5 beide Faktoren und rechnet 36 · 10. Bleibt das Ergebnis gleich?
    So fängst du an:
    Einmal verdoppeln macht das Ergebnis doppelt so groß, zweimal viermal so groß.
    Lösung zeigen
    1. Einmal verdoppeln macht das Ergebnis doppelt so groß, zweimal viermal so groß.
    2. 36 · 10 = 360, aber 18 · 5 = 90
    3. Richtig ist: einen verdoppeln, den anderen halbieren.
    Ergebnis:
    Nein, viermal so groß; richtig ist 90
  2. ●17
    Warum ist 16 · 25 dasselbe wie 8 · 50? Rechne dann geschickt.
    Lösung zeigen
    1. Halb so viele Reihen, jede doppelt so lang: gleich viele Kästchen.
    2. 16 · 25 = 8 · 50
    3. 8 · 50 = 400
    Ergebnis:
    400
  3. ★18
    Rechne geschickt: Halbiere den einen Faktor und verdopple den anderen. 14 · 35
    Lösung zeigen
    1. 14 · 35 = 7 · 70
    2. 7 · 70 = 490
    Ergebnis:
    490

7Ich wähle zu einer Aufgabe den passenden Rechenweg.

EntdeckenFrage

Wie rechnen Darts-Profis blitzschnell aus, wie viele Punkte ihnen von 501 noch fehlen, wenn sie 140 geworfen haben?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Der geschickte Weg nimmt erst eine runde Zahl. 500 − 140 = 360, und der eine Extrapunkt kommt dazu: 361. Das geht schneller als 501 − 140 Stelle für Stelle. Am Ergebnis ändert der Weg nichts.

MerkenDen passenden Weg wählen

Vor dem Rechnen die Zahlen ansehen.

Liegt eine Zahl nahe an einer glatten, lohnt sich ein Vorteil, sonst rechnet man schriftlich.

BeispielDen passenden Rechenweg wählen

Welcher Weg passt zu 6 · 59? Nenne ihn und rechne.
6 · 59zerlegenhalbieren und verdoppelnschriftlich
Schritt für Schritt
  1. Den zweiten Faktor zerlegen: 59 = 50 + 9.
  2. 6 · 50 = 300 und 6 · 9 = 54
  3. Zusammen: 354
  1. Den zweiten Faktor zerlegen: 59 = 50 + 9.
  2. 6 · 50 = 300 und 6 · 9 = 54
  3. Zusammen: 354
Ergebnis:
zerlegen, 354

AchtungUmständlichen Weg gewählt

So nicht
299 + 158 schriftlich untereinander gerechnet, dabei verrechnet: 447
So richtig
299 + 158 = 300 + 157 = 457

Erst die Zahlen ansehen: Liegt eine nahe an einer glatten Zahl?

ÜbenJetzt du

  1. ○19
    Welchen Rechenvorteil nutzt du bei 349 + 598? Nenne ihn und rechne.
    349 + 598zerlegenhalbieren und verdoppelnschriftlich
    So fängst du an:
    598 liegt knapp unter 600: gegensinnig verändern.
    Lösung zeigen
    1. 598 liegt knapp unter 600: gegensinnig verändern.
    2. 349 + 598 = 347 + 600
    3. 347 + 600 = 947
    Ergebnis:
    gegensinnig verändern, 947
  2. ●20
    Wie rechnest du am schnellsten: 16 · 25? Nenne ihn und rechne.
    Lösung zeigen
    1. 25 wird verdoppelt glatt: halbieren und verdoppeln.
    2. 16 · 25 = 8 · 50
    3. 8 · 50 = 400
    Ergebnis:
    halbieren und verdoppeln, 400
  3. ★21
    Welchen Rechenvorteil nutzt du bei 7 · 61? Nenne ihn und rechne.
    7 · 61zerlegenhalbieren und verdoppelnschriftlich
    Lösung zeigen
    1. Den zweiten Faktor zerlegen: 61 = 60 + 1.
    2. 7 · 60 = 420 und 7 · 1 = 7
    3. Zusammen: 427
    Ergebnis:
    zerlegen, 427

8Ich finde Rechenfehler mit Überschlag und Umkehraufgabe.

EntdeckenFrage

Warum zählt man Rückgeld vom Preis aus nach oben, statt abzuziehen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Wer 13,40 € zahlen muss und 20 € gibt, bekommt 20 − 13,40 = 6,60 € zurück. Beim Hochzählen rechnet man die Umkehraufgabe: 13,40 + 6,60 = 20. Kommt man genau auf den gegebenen Betrag, stimmt das Rückgeld.

MerkenÜberschlag und Umkehraufgabe

Ein Überschlag mit runden Zahlen zeigt, ob ein Ergebnis stimmen kann.

Die Umkehraufgabe prüft es genau.

BeispielRechenfehler mit Überschlag und Umkehraufgabe finden

Paul erhält für 42 · 14 das Ergebnis 788. Prüfe mit einem Überschlag.
Schritt für Schritt
  1. Überschlag: 40 · 10 = 400
  2. 788 liegt zu weit weg. Genau: 42 · 14 = 588
  3. Das Ergebnis ist falsch.
  1. Überschlag: 40 · 10 = 400
  2. 788 liegt zu weit weg. Genau: 42 · 14 = 588
  3. Das Ergebnis ist falsch.
Ergebnis:
falsch, richtig ist 588

AchtungErgebnis nicht geprüft

So nicht
425 : 5 = 805, ohne Probe ins Heft
So richtig
425 : 5 → Überschlag 400 : 5 = 80 → 85, Probe 85 · 5 = 425

Mit einem Überschlag prüfen, ob die Größenordnung stimmt, dann mit der Umkehraufgabe.

ÜbenJetzt du

  1. ○22
    Aylin rechnet 87 : 3 und erhält 31. Prüfe mit der Umkehraufgabe.
    87 : 3Ergebnis 31?
    So fängst du an:
    Umkehraufgabe: 31 · 3 = 93
    Lösung zeigen
    1. Umkehraufgabe: 31 · 3 = 93
    2. 93 ist nicht 87: Es ist falsch.
    3. 87 : 3 = 29
    Ergebnis:
    falsch, richtig ist 29
  2. ●23
    Ben rechnet 787 − 379 und erhält 418. Prüfe mit der Umkehraufgabe.
    Lösung zeigen
    1. Umkehraufgabe: 418 + 379 = 797
    2. 797 ist nicht 787: Es ist falsch.
    3. 787 − 379 = 408
    Ergebnis:
    falsch, richtig ist 408
  3. ★24
    Paul rechnet 3712 : 8 und erhält 474. Prüfe mit der Umkehraufgabe.
    3712 : 8Ergebnis 474?
    Lösung zeigen
    1. Umkehraufgabe: 474 · 8 = 3792
    2. 3792 ist nicht 3712: Es ist falsch.
    3. 3712 : 8 = 464
    Ergebnis:
    falsch, richtig ist 464

Vermischte Übungen

Alles durcheinander – wie in der Arbeit. Überleg bei jeder Aufgabe zuerst: Welches Ziel ist das?

Üben

  1. ●25
    Rechne geschickt: 48 + 81 + 52
    488152
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 48 + 52 + 81
    2. 48 + 52 = 100
    3. 100 + 81 = 181
    Ergebnis:
    181
  2. ●26
    In einem Lager stehen 20 Regale mit je 5 Packungen. In jeder Packung sind 7 Bälle. Wie viele Bälle sind es? Rechne geschickt.
    20 Regale5 Packungen7 Bälle
    Lösung zeigen
    1. Bälle: 20 · 5 · 7
    2. 20 · 5 = 100
    3. 100 · 7 = 700
    Ergebnis:
    700 Bälle
  3. ●27
    Ergänze so, dass die Summe gleich bleibt: 69 + 64 = 70 + ___
    6964
    Lösung zeigen
    1. 69 wird zu 70: 1 mehr.
    2. Also muss 64 um 1 kleiner werden: 64 − 1 = 63
    3. 70 + 63 = 133
    Ergebnis:
    63
  4. ●28
    Ergänze so, dass die Differenz gleich bleibt: 59 − 19 = ___ − 20
    Lösung zeigen
    1. 19 wird zu 20: 1 mehr.
    2. Damit der Abstand bleibt, wird auch 59 um 1 größer: 60.
    3. 60 − 20 = 40
    Ergebnis:
    60
  5. ●29
    Es gibt 9 Hefte mit je 52 Hefte. Wie viele Hefte sind es? Rechne halbschriftlich.
    Lösung zeigen
    1. 9 · 52
    2. 52 = 50 + 2
    3. 9 · 50 = 450 und 9 · 2 = 18
    4. 450 + 18 = 468
    Ergebnis:
    468 Hefte
  6. ●30
    Welche zwei Malaufgaben zeigen die beiden Teile des Rechtecks? Was ergibt 3 · 13?
    1033
    Lösung zeigen
    1. Links: 3 · 10 = 30
    2. Rechts: 3 · 3 = 9
    3. 3 · 13 = 30 + 9 = 39
    Ergebnis:
    3 · 10 und 3 · 3, zusammen 39

Auf einen Blick

MerkenDas Wichtigste

Vertauschen und zusammenfassen
Beim Plus und beim Mal darf man die Zahlen vertauschen und anders zusammenfassen.
Gegensinnig und gleichsinnig
Bei einer Summe gibt ein Summand ab, was der andere bekommt.
Malnehmen mit Zerlegen
Einen Faktor zerlegen, jeden Teil malnehmen und die Teilergebnisse addieren.
Teilen mit Zerlegen
Die Zahl so zerlegen, dass jeder Teil glatt aufgeht. So wird 385 : 7 zu 350 : 7 + 35 : 7.
Ausdrücke mit gleichem Wert
Verschiedene Rechenausdrücke können denselben Wert haben.
Verdoppeln und halbieren
Wird ein Faktor verdoppelt und der andere halbiert, bleibt das Produkt gleich.
Den passenden Weg wählen
Vor dem Rechnen die Zahlen ansehen.
Überschlag und Umkehraufgabe
Ein Überschlag mit runden Zahlen zeigt, ob ein Ergebnis stimmen kann.

Kannst du das?

Je Ziel eine Aufgabe. Rechne sie ins Heft, dann kreuz ehrlich an. Keine Punkte, keine Note – der Test ist für dich.

ÜbenSelbsttest

  1. Ich rechne Plusaufgaben und Malaufgaben geschickt durch Vertauschen und Zusammenfassen.

    31
    Rechne geschickt: 55 + 41 + 5
    55415
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    101

  2. Ich verändere Summen gegensinnig und Differenzen gleichsinnig.

    32
    Rechne geschickt durch gegensinniges Verändern: 98 + 64
    9864
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    162

  3. Ich nehme halbschriftlich mal, indem ich einen Faktor zerlege.

    33
    Rechne halbschriftlich: Zerlege den zweiten Faktor. 9 · 26
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    234

  4. Ich dividiere halbschriftlich, indem ich die Zahl geschickt zerlege.

    34
    Zerlege 81 so in zwei Zahlen, dass du beide leicht durch 3 dividieren kannst. Was ergibt 81 : 3?
    81: 3
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    27

  5. Ich finde Aufgaben mit gleichem Ergebnis und vergleiche Rechenausdrücke.

    35
    Ergänze die Lücke: 16 · 13 = 8 · ___
    16 · 13=8 · ?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    26

  6. Ich rechne mit Verdoppeln und Halbieren und prüfe, ob das Ergebnis gleich bleibt.

    36
    Warum ist 8 · 25 dasselbe wie 4 · 50? Rechne dann geschickt.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    200

  7. Ich wähle zu einer Aufgabe den passenden Rechenweg.

    37
    Welcher Weg passt zu 14 · 5? Nenne ihn und rechne.
    14 · 5zerlegenhalbieren und verdoppelnschriftlich
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    halbieren und verdoppeln, 70

  8. Ich finde Rechenfehler mit Überschlag und Umkehraufgabe.

    38
    Paul erhält für 32 · 16 das Ergebnis 712. Prüfe mit einem Überschlag.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    falsch, richtig ist 512

Bei „unsicher“ oder „noch nicht“: Lies den Abschnitt zum Ziel noch einmal und rechne seine drei Aufgaben.

Die Frage vom Anfang

EntdeckenRückschau

Rechne im Kopf, so schnell du kannst: 25 · 17 · 4. Schreib nichts auf und nimm keinen Taschenrechner.

Lies deine Vermutung vom Anfang. Kannst du die Frage jetzt mit dem Kapitel beantworten?

Auflösung

Mit dem Werkzeug aus diesem Kapitel: Vertauschen und Zusammenfassen: erst die Zahlen, die zusammen glatt werden.

Wo brauchst du das?

Entdecken

Preise im Kopf addieren, Rückgeld überschlagen, Mengen für ein Fest ausrechnen. Beruf: Kasse und Verkauf, Handwerk beim Materialberechnen, Lager und Versand.

Wörter

Differenz
was übrig bleibt, wenn man abzieht
Gleichung
zwei Rechnungen, die gleich viel wert sind
Produkt
was herauskommt, wenn man malnimmt
Summe
was herauskommt, wenn man zusammenzählt
Teiler
eine Zahl, durch die es ohne Rest aufgeht

Wie es zusammenhängt

Das brauchst du vorher: Rechenregeln, Teiler und Vielfache, Natürliche Zahlen und Stellenwert

Darauf baut auf: Sachaufgaben lösen

Lösungen

  1. 188
  2. 83
  3. 1702
  4. 131
  5. 194
  6. 631
  7. 224 Hefte
  8. 117
  9. 243 Hefte
  10. 25
  11. 57 Murmeln
  12. 75
  13. 14
  14. 89
  15. 82
  16. Nein, viermal so groß; richtig ist 90
  17. 400
  18. 490
  19. gegensinnig verändern, 947
  20. halbieren und verdoppeln, 400
  21. zerlegen, 427
  22. falsch, richtig ist 29
  23. falsch, richtig ist 408
  24. falsch, richtig ist 464
  25. 181
  26. 700 Bälle
  27. 63
  28. 60
  29. 468 Hefte
  30. 3 · 10 und 3 · 3, zusammen 39
  31. 101
  32. 162
  33. 234
  34. 27
  35. 26
  36. 200
  37. halbieren und verdoppeln, 70
  38. falsch, richtig ist 512
  39. 10
  40. 24
  41. 44
  42. 44