Zum Inhalt springen
Anmelden

Mathematik · Klasse 5 · Kapitel

Andere ZahlenBasiswissenAlle Kapitel

Rechengesetze und Rechenvorteile

EntdeckenDie Frage zum Kapitel

Rechne im Kopf, so schnell du kannst: 25 · 17 · 4. Schreib nichts auf und nimm keinen Taschenrechner.

Schreib eine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Für die Lehrkraft: Die meisten rechnen von links: 25 · 17 und kommen durcheinander. Andere geben auf oder raten. Nur wenige sehen, dass 25 und 4 zusammen 100 ergeben. Beim Malnehmen darf man die Zahlen vertauschen. Dann steht 25 · 4 · 17 da, also 100 · 17. Das Ergebnis ist 1700, in einer Sekunde.

  • Entdecken Frage, Vorstellung, Bild
  • Merken kommt ins Heft
  • Beispiel vorgerechnet, Schritt für Schritt
  • Üben selbst rechnen
  • Achtung typischer Fehler
  • Weiterdenken zum Knobeln und Vernetzen

○ mit Starthilfe, ● für alle, ★ zum Weiterdenken. Du wählst mindestens eine ★-Aufgabe. Du rechnest ins Heft.

Fit für das Kapitel?

Das brauchst du aus früheren Themen. Klappt es nicht, frag nach, bevor es losgeht.

ÜbenWeißt du das noch?

Punkt vor Strich und Klammer zuerst – so steht es seit Klasse 4 im Heft.

  1. ●39
    Rechne: 4 + 2 · 5
    Lösung zeigen
    1. Punkt vor Strich: erst 2 · 5 = 10
    2. 4 + 10 = 14
    Ergebnis:
    14
  2. ●40
    Rechne: (4 + 4) · 5
    Lösung zeigen
    1. Die Klammer zuerst: 4 + 4 = 8
    2. 8 · 5 = 40
    Ergebnis:
    40

ÜbenWeißt du das noch?

Punkt vor Strich und Klammer zuerst – die Reihenfolge entscheidet über das Ergebnis.

  1. ●41
    Berechne: 7 + 3 · 5
    Lösung zeigen
    1. Punkt vor Strich: erst 3 · 5 = 15
    2. 7 + 15 = 22
    Ergebnis:
    22
  2. ●42
    Ich denke mir eine Zahl, addiere 19 und erhalte 55. Welche Zahl war es? (Umkehraufgabe)
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    36

So kannst du es dir vorstellen

EntdeckenZahlen umbauen, ohne den Wert zu ändern

Eine Rechnung lässt sich umbauen, ohne dass sich ihr Wert ändert. Zahlen tauschen die Plätze, bilden neue Gruppen oder werden zerlegt. Wer das sieht, rechnet mit glatten Zahlen statt mit krummen.

17 plus 38 plus 3: Erst 17 und 3 zu 20 zusammenfassen, dann 20 plus 38 sind 5817 + 38 + 317 + 3 = 20= 20 + 38 = 58

WeiterdenkenDenk nach

Warum darf man bei 25 + 38 + 75 zuerst 25 und 75 addieren, bei 50 − 20 − 10 aber nicht zuerst 20 − 10?

1Ich rechne Plusaufgaben und Malaufgaben geschickt durch Vertauschen und Zusammenfassen.

EntdeckenFrage

Wie konnte der neunjährige Carl Friedrich Gauß die Zahlen von 1 bis 100 in wenigen Minuten addieren?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Er hat die Zahlen in Paare umsortiert: 1 und 100, 2 und 99, 3 und 98. Jedes Paar ergibt 101, und es sind 50 Paare. Also 50 · 101 = 5050. Er hat nur vertauscht und neu zusammengefasst.

MerkenVertauschen und zusammenfassen

Beim Plus und beim Mal darf man die Zahlen vertauschen und anders zusammenfassen.

Erst die Zahlen nehmen, die zusammen glatt werden.

BeispielPlusaufgaben geschickt: vertauschen und zusammenfassen

Rechne geschickt: 23 + 56 + 27
235627
Schritt für Schritt
  1. Vertauschen: 23 + 27 + 56
  2. 23 + 27 = 50
  3. 50 + 56 = 106
  1. Vertauschen: 23 + 27 + 56
  2. 23 + 27 = 50
  3. 50 + 56 = 106
Ergebnis:
106

AchtungBeim Minus oder Geteilt vertauscht

So nicht
50 − 20 − 10: erst 20 − 10 = 10, dann 50 − 10 = 40
So richtig
50 − 20 − 10 = 30 − 10 = 20

Vertauschen ist nur beim Plus und beim Mal erlaubt. 20 − 5 ist nicht 5 − 20.

ÜbenJetzt du

  1. ○1
    Lea rechnet 23 + 51 + 77 von links nach rechts. Zeige einen schnelleren Weg mit einem Rechenvorteil.
    235177
    So fängst du an:
    Vertauschen: 23 + 77 + 51
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 23 + 77 + 51
    2. 23 + 77 = 100
    3. 100 + 51 = 151
    Ergebnis:
    151
  2. ●2
    Welche Zahlen fasst du bei 94 + 23 + 6 zuerst zusammen? Begründe und rechne.
    94236
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 94 + 6 + 23
    2. 94 + 6 = 100
    3. Zusammen glatt, der Rest ist leicht: 100 + 23 = 123
    Ergebnis:
    123
  3. ★3
    Emma rechnet 148 + 421 + 89 + 52 + 11 von links nach rechts. Zeige einen schnelleren Weg mit einem Rechenvorteil.
    148421895211
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 148 + 52 + 89 + 11 + 421
    2. 148 + 52 = 200 und 89 + 11 = 100
    3. 200 + 100 + 421 = 721
    Ergebnis:
    721

2Ich verändere Summen gegensinnig und Differenzen gleichsinnig.

EntdeckenFrage

Warum rechnen Kassiererinnen 3,99 € mal 4 schneller als ein Kunde mit Papier?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Sie rechnen 4 mal 4 € und ziehen dann 4 Cent ab: 16,00 € − 0,04 € = 15,96 €. Das ist Zerlegen: 3,99 ist 4 minus 1 Cent. Der Rechenweg ist kurz, weil er über die glatte Zahl geht.

MerkenGegensinnig und gleichsinnig

Bei einer Summe gibt ein Summand ab, was der andere bekommt.

Bei einer Differenz ändern sich beide Zahlen gleich, der Abstand bleibt.

BeispielSummen gegensinnig verändern

Zeynep rechnet 199 + 92 als 200 + 92. Was muss Zeynep danach noch tun? Was kommt heraus?
19992
Schritt für Schritt
  1. Zeynep hat 199 um 1 vergrößert.
  2. Die Summe ist dadurch um 1 zu groß: 200 + 92 = 292.
  3. 1 wieder abziehen: 292 − 1 = 291
  1. Zeynep hat 199 um 1 vergrößert.
  2. Die Summe ist dadurch um 1 zu groß: 200 + 92 = 292.
  3. 1 wieder abziehen: 292 − 1 = 291
Ergebnis:
291

AchtungNur eine Zahl verändert

So nicht
143 − 97: 143 − 100 = 43
So richtig
143 − 97 = 146 − 100 = 46

Bei der Summe gegensinnig, bei der Differenz gleichsinnig: Immer beide Zahlen verändern.

ÜbenJetzt du

  1. ○4
    Zeynep rechnet 198 + 38 als 200 + 38. Was muss Zeynep danach noch tun? Was kommt heraus?
    19838
    So fängst du an:
    Zeynep hat 198 um 2 vergrößert.
    Lösung zeigen
    1. Zeynep hat 198 um 2 vergrößert.
    2. Die Summe ist dadurch um 2 zu groß: 200 + 38 = 238.
    3. 2 wieder abziehen: 238 − 2 = 236
    Ergebnis:
    236
  2. ●5
    Paul rechnet 297 + 24 als 300 + 24. Was muss Paul danach noch tun? Was kommt heraus?
    29724
    Lösung zeigen
    1. Paul hat 297 um 3 vergrößert.
    2. Die Summe ist dadurch um 3 zu groß: 300 + 24 = 324.
    3. 3 wieder abziehen: 324 − 3 = 321
    Ergebnis:
    321
  3. ★6
    Ergänze so, dass die Summe gleich bleibt: 1997 + 926 = 2000 + ___
    1997926
    Lösung zeigen
    1. 1997 wird zu 2000: 3 mehr.
    2. Also muss 926 um 3 kleiner werden: 926 − 3 = 923
    3. 2000 + 923 = 2923
    Ergebnis:
    923

3Ich nehme halbschriftlich mal, indem ich einen Faktor zerlege.

EntdeckenFrage

Wie haben Bauern in Russland früher ohne Einmaleins multipliziert?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Sie haben eine Zahl immer halbiert und die andere verdoppelt, bis links eine 1 stand. Dann addierten sie die rechten Zahlen der Zeilen mit ungerader linker Zahl. Das Verfahren heißt russische Bauernmultiplikation und nutzt, dass Verdoppeln und Halbieren das Produkt nicht ändert.

MerkenMalnehmen mit Zerlegen

Einen Faktor zerlegen, jeden Teil malnehmen und die Teilergebnisse addieren.

So wird 7 · 48 zu 7 · 40 + 7 · 8.

BeispielHalbschriftlich malnehmen mit Zerlegen

Rechne geschickt über die glatte Zahl: 9 · 29
Schritt für Schritt
  1. 29 = 30 − 1
  2. 9 · 30 = 270 und 9 · 1 = 9
  3. 270 − 9 = 261
  1. 29 = 30 − 1
  2. 9 · 30 = 270 und 9 · 1 = 9
  3. 270 − 9 = 261
Ergebnis:
261

AchtungBeim Zerlegen einen Teil vergessen

So nicht
7 · 48: 7 · 40 + 8 = 288
So richtig
7 · 48 = 7 · 40 + 7 · 8 = 280 + 56 = 336

Jeder Teil des zerlegten Faktors wird malgenommen, nicht nur der erste.

ÜbenJetzt du

  1. ○7
    Rechne halbschriftlich: Zerlege den zweiten Faktor. 9 · 52
    So fängst du an:
    52 = 50 + 2
    Lösung zeigen
    1. 52 = 50 + 2
    2. 9 · 50 = 450 und 9 · 2 = 18
    3. 450 + 18 = 468
    Ergebnis:
    468
  2. ●8
    Rechne halbschriftlich: Zerlege den zweiten Faktor. 6 · 65
    Lösung zeigen
    1. 65 = 60 + 5
    2. 6 · 60 = 360 und 6 · 5 = 30
    3. 360 + 30 = 390
    Ergebnis:
    390
  3. ★9
    Rechne halbschriftlich mit Stellenwerten: 9 · 403
    Lösung zeigen
    1. 403 = 400 + 3
    2. 9 · 400 = 3600; 9 · 3 = 27
    3. 3600 + 27 = 3627
    Ergebnis:
    3627

4Ich dividiere halbschriftlich, indem ich die Zahl geschickt zerlege.

EntdeckenFrage

Warum ist 25 mal 4 ein Lieblingspaar beim Kopfrechnen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

25 mal 4 ergibt genau 100. Kommen 25 und 4 in einer Malaufgabe vor, fasst man sie zuerst zusammen. Aus 25 · 37 · 4 wird dann 100 · 37 = 3700, ganz ohne schriftliches Rechnen.

MerkenTeilen mit Zerlegen

Die Zahl so zerlegen, dass jeder Teil glatt aufgeht. So wird 385 : 7 zu 350 : 7 + 35 : 7.

BeispielHalbschriftlich dividieren

Zerlege 549 so in zwei Zahlen, dass du beide leicht durch 9 dividieren kannst. Was ergibt 549 : 9?
549: 9
Schritt für Schritt
  1. 549 = 540 + 9
  2. 540 : 9 = 60 und 9 : 9 = 1
  3. 60 + 1 = 61
  1. 549 = 540 + 9
  2. 540 : 9 = 60 und 9 : 9 = 1
  3. 60 + 1 = 61
Ergebnis:
61

AchtungBeim Teilen nicht passend zerlegt

So nicht
385 : 7: 300 : 7 geht nicht glatt → aufgegeben
So richtig
385 : 7 = 350 : 7 + 35 : 7 = 50 + 5 = 55

Jeder Teil muss sich glatt teilen lassen. Erst ein großes Vielfaches abspalten.

ÜbenJetzt du

  1. ○10
    Zerlege 119 so in zwei Zahlen, dass du beide leicht durch 7 dividieren kannst. Was ergibt 119 : 7?
    119: 7
    So fängst du an:
    119 = 70 + 49
    Lösung zeigen
    1. 119 = 70 + 49
    2. 70 : 7 = 10 und 49 : 7 = 7
    3. 10 + 7 = 17
    Ergebnis:
    17
  2. ●11
    Rechne halbschriftlich: 192 : 8
    Lösung zeigen
    1. 192 = 160 + 32
    2. 160 : 8 = 20 und 32 : 8 = 4
    3. 20 + 4 = 24
    Ergebnis:
    24
  3. ★12
    Rechne halbschriftlich: 744 : 8
    Lösung zeigen
    1. 744 = 720 + 24
    2. 720 : 8 = 90 und 24 : 8 = 3
    3. 90 + 3 = 93
    Ergebnis:
    93

5Ich finde Aufgaben mit gleichem Ergebnis und vergleiche Rechenausdrücke.

EntdeckenFrage

Warum stimmt der Trick „mal 9 ist mal 10 minus einmal“ immer?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Neunmal eine Zahl ist zehnmal die Zahl minus einmal die Zahl. So wird 9 · 47 zu 470 − 47 = 423. Das ist das Verteilungsgesetz: 9 ist 10 minus 1.

MerkenAusdrücke mit gleichem Wert

Verschiedene Rechenausdrücke können denselben Wert haben.

Wer die Rechengesetze nutzt, sieht das oft ohne Ausrechnen.

BeispielAufgaben mit gleichem Ergebnis

Finde die fehlende Zahl mit einem Rechengesetz: 94 − 33 = ___ − 35
Schritt für Schritt
  1. 33 wird zu 35: 2 mehr.
  2. Damit der Abstand bleibt, wird auch 94 um 2 größer.
  3. 94 + 2 = 96
  1. 33 wird zu 35: 2 mehr.
  2. Damit der Abstand bleibt, wird auch 94 um 2 größer.
  3. 94 + 2 = 96
Ergebnis:
96

AchtungPunkt vor Strich missachtet

So nicht
9 + 5 · 7 = 14 · 7 = 98
So richtig
9 + 5 · 7 = 9 + 35 = 44

Klammer zuerst, dann Mal und Geteilt, dann Plus und Minus.

ÜbenJetzt du

  1. ○13
    Ergänze die Lücke: 69 + 46 = 70 + ___
    69 + 46=70 + ?
    So fängst du an:
    69 wird zu 70: 1 mehr.
    Lösung zeigen
    1. 69 wird zu 70: 1 mehr.
    2. Damit die Summe gleich bleibt, wird 46 um 1 kleiner.
    3. 46 − 1 = 45
    Ergebnis:
    45
  2. ●14
    Welche Zahl fehlt? Rechne nicht beide Seiten aus. 99 − 77 = ___ − 82
    Lösung zeigen
    1. 77 wird zu 82: 5 mehr.
    2. Damit der Abstand bleibt, wird auch 99 um 5 größer.
    3. 99 + 5 = 104
    Ergebnis:
    104
  3. ★15
    Ergänze die Lücke: 75 − 23 = ___ − 25
    Lösung zeigen
    1. 23 wird zu 25: 2 mehr.
    2. Damit der Abstand bleibt, wird auch 75 um 2 größer.
    3. 75 + 2 = 77
    Ergebnis:
    77

6Ich rechne mit Verdoppeln und Halbieren und prüfe, ob das Ergebnis gleich bleibt.

EntdeckenFrage

Wie merkt man in Sekunden, dass 98 · 102 nicht 99.960 sein kann?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Man rechnet nicht, man überschlägt: 100 · 100 = 10.000. Das Ergebnis muss also in der Nähe von 10.000 liegen. 99.960 ist fast zehnmal so groß und kann nicht stimmen. Richtig ist 9996.

MerkenVerdoppeln und halbieren

Wird ein Faktor verdoppelt und der andere halbiert, bleibt das Produkt gleich.

Werden beide verdoppelt, wird es viermal so groß.

BeispielVerdoppeln und Halbieren

Hanna verdoppelt bei 16 · 25 beide Faktoren und rechnet 32 · 50. Bleibt das Ergebnis gleich?
Schritt für Schritt
  1. Einmal verdoppeln macht das Ergebnis doppelt so groß, zweimal viermal so groß.
  2. 32 · 50 = 1600, aber 16 · 25 = 400
  3. Richtig ist: einen verdoppeln, den anderen halbieren.
  1. Einmal verdoppeln macht das Ergebnis doppelt so groß, zweimal viermal so groß.
  2. 32 · 50 = 1600, aber 16 · 25 = 400
  3. Richtig ist: einen verdoppeln, den anderen halbieren.
Ergebnis:
Nein, viermal so groß; richtig ist 400

AchtungBeide Faktoren verdoppelt

So nicht
8 · 25 → 16 · 50 = 800
So richtig
8 · 25 → 4 · 50 = 200

Nur einer wird verdoppelt, der andere halbiert. Sonst ändert sich das Ergebnis.

ÜbenJetzt du

  1. ○16
    Rechne geschickt: Halbiere den einen Faktor und verdopple den anderen. 16 · 25
    So fängst du an:
    16 · 25 = 8 · 50
    Lösung zeigen
    1. 16 · 25 = 8 · 50
    2. 8 · 50 = 400
    Ergebnis:
    400
  2. ●17
    Warum ist 18 · 5 dasselbe wie 9 · 10? Rechne dann geschickt.
    Lösung zeigen
    1. Halb so viele Reihen, jede doppelt so lang: gleich viele Kästchen.
    2. 18 · 5 = 9 · 10
    3. 9 · 10 = 90
    Ergebnis:
    90
  3. ★18
    Warum ist 22 · 15 dasselbe wie 11 · 30? Rechne dann geschickt.
    Lösung zeigen
    1. Halb so viele Reihen, jede doppelt so lang: gleich viele Kästchen.
    2. 22 · 15 = 11 · 30
    3. 11 · 30 = 330
    Ergebnis:
    330

7Ich wähle zu einer Aufgabe den passenden Rechenweg.

EntdeckenFrage

Wie rechnen Darts-Profis blitzschnell aus, wie viele Punkte ihnen von 501 noch fehlen, wenn sie 140 geworfen haben?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Der geschickte Weg nimmt erst eine runde Zahl. 500 − 140 = 360, und der eine Extrapunkt kommt dazu: 361. Das geht schneller als 501 − 140 Stelle für Stelle. Am Ergebnis ändert der Weg nichts.

MerkenDen passenden Weg wählen

Vor dem Rechnen die Zahlen ansehen.

Liegt eine Zahl nahe an einer glatten, lohnt sich ein Vorteil, sonst rechnet man schriftlich.

BeispielDen passenden Rechenweg wählen

Welchen Rechenvorteil nutzt du bei 123 + 399? Nenne ihn und rechne.
123 + 399zerlegenhalbieren und verdoppelnschriftlich
Schritt für Schritt
  1. 399 liegt knapp unter 400: gegensinnig verändern.
  2. 123 + 399 = 122 + 400
  3. 122 + 400 = 522
  1. 399 liegt knapp unter 400: gegensinnig verändern.
  2. 123 + 399 = 122 + 400
  3. 122 + 400 = 522
Ergebnis:
gegensinnig verändern, 522

AchtungUmständlichen Weg gewählt

So nicht
299 + 158 schriftlich untereinander gerechnet, dabei verrechnet: 447
So richtig
299 + 158 = 300 + 157 = 457

Erst die Zahlen ansehen: Liegt eine nahe an einer glatten Zahl?

ÜbenJetzt du

  1. ○19
    Welcher Weg passt zu 4 · 54? Nenne ihn und rechne.
    4 · 54zerlegenhalbieren und verdoppelnschriftlich
    So fängst du an:
    Den zweiten Faktor zerlegen: 54 = 50 + 4.
    Lösung zeigen
    1. Den zweiten Faktor zerlegen: 54 = 50 + 4.
    2. 4 · 50 = 200 und 4 · 4 = 16
    3. Zusammen: 216
    Ergebnis:
    zerlegen, 216
  2. ●20
    Welchen Rechenvorteil nutzt du bei 40 + 73 + 60? Nenne ihn und rechne.
    40 + 73 + 60zerlegenhalbieren und verdoppelnschriftlich
    Lösung zeigen
    1. Zwei Zahlen ergeben zusammen 100: vertauschen und zusammenfassen.
    2. 40 + 60 = 100
    3. 100 + 73 = 173
    Ergebnis:
    vertauschen, 173
  3. ★21
    Welcher Weg passt zu 5 · 85? Nenne ihn und rechne.
    5 · 85zerlegenhalbieren und verdoppelnschriftlich
    Lösung zeigen
    1. Den zweiten Faktor zerlegen: 85 = 80 + 5.
    2. 5 · 80 = 400 und 5 · 5 = 25
    3. Zusammen: 425
    Ergebnis:
    zerlegen, 425

8Ich finde Rechenfehler mit Überschlag und Umkehraufgabe.

EntdeckenFrage

Warum zählt man Rückgeld vom Preis aus nach oben, statt abzuziehen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Wer 13,40 € zahlen muss und 20 € gibt, bekommt 20 − 13,40 = 6,60 € zurück. Beim Hochzählen rechnet man die Umkehraufgabe: 13,40 + 6,60 = 20. Kommt man genau auf den gegebenen Betrag, stimmt das Rückgeld.

MerkenÜberschlag und Umkehraufgabe

Ein Überschlag mit runden Zahlen zeigt, ob ein Ergebnis stimmen kann.

Die Umkehraufgabe prüft es genau.

BeispielRechenfehler mit Überschlag und Umkehraufgabe finden

Noah erhält für 77 · 27 das Ergebnis 1979. Prüfe mit einem Überschlag.
Schritt für Schritt
  1. Überschlag: 80 · 30 = 2400
  2. 1979 liegt in der Nähe. Genau rechnen: 77 · 27 = 2079
  3. Das Ergebnis ist falsch.
  1. Überschlag: 80 · 30 = 2400
  2. 1979 liegt in der Nähe. Genau rechnen: 77 · 27 = 2079
  3. Das Ergebnis ist falsch.
Ergebnis:
falsch, richtig ist 2079

AchtungErgebnis nicht geprüft

So nicht
425 : 5 = 805, ohne Probe ins Heft
So richtig
425 : 5 → Überschlag 400 : 5 = 80 → 85, Probe 85 · 5 = 425

Mit einem Überschlag prüfen, ob die Größenordnung stimmt, dann mit der Umkehraufgabe.

ÜbenJetzt du

  1. ○22
    Jonas rechnet 623 − 155 und erhält 478. Prüfe mit der Umkehraufgabe.
    So fängst du an:
    Umkehraufgabe: 478 + 155 = 633
    Lösung zeigen
    1. Umkehraufgabe: 478 + 155 = 633
    2. 633 ist nicht 623: Es ist falsch.
    3. 623 − 155 = 468
    Ergebnis:
    falsch, richtig ist 468
  2. ●23
    Tom rechnet 384 : 6 und erhält 63. Prüfe mit der Umkehraufgabe.
    384 : 6Ergebnis 63?
    Lösung zeigen
    1. Umkehraufgabe: 63 · 6 = 378
    2. 378 ist nicht 384: Es ist falsch.
    3. 384 : 6 = 64
    Ergebnis:
    falsch, richtig ist 64
  3. ★24
    Tom erhält für 422 · 18 das Ergebnis 7596. Prüfe mit einem Überschlag.
    Lösung zeigen
    1. Überschlag: 400 · 20 = 8000
    2. 7596 liegt in der Nähe. Genau rechnen: 422 · 18 = 7596
    3. Das Ergebnis stimmt.
    Ergebnis:
    stimmt, 7596

Vermischte Übungen

Alles durcheinander – wie in der Arbeit. Überleg bei jeder Aufgabe zuerst: Welches Ziel ist das?

Üben

  1. ●25
    Rechne geschickt: 69 + 74 + 31
    697431
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 69 + 31 + 74
    2. 69 + 31 = 100
    3. 100 + 74 = 174
    Ergebnis:
    174
  2. ●26
    Rechne geschickt: 6 · 20 · 5
    6205
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 20 · 5 · 6
    2. 20 · 5 = 100
    3. 100 · 6 = 600
    Ergebnis:
    600
  3. ●27
    Ergänze so, dass die Summe gleich bleibt: 38 + 97 = 40 + ___
    3897
    Lösung zeigen
    1. 38 wird zu 40: 2 mehr.
    2. Also muss 97 um 2 kleiner werden: 97 − 2 = 95
    3. 40 + 95 = 135
    Ergebnis:
    95
  4. ●28
    Ergänze so, dass die Differenz gleich bleibt: 123 − 27 = ___ − 30
    Lösung zeigen
    1. 27 wird zu 30: 3 mehr.
    2. Damit der Abstand bleibt, wird auch 123 um 3 größer: 126.
    3. 126 − 30 = 96
    Ergebnis:
    126
  5. ●29
    Es gibt 3 Tüten mit je 64 Bonbons. Wie viele Bonbons sind es? Rechne halbschriftlich.
    Lösung zeigen
    1. 3 · 64
    2. 64 = 60 + 4
    3. 3 · 60 = 180 und 3 · 4 = 12
    4. 180 + 12 = 192
    Ergebnis:
    192 Bonbons
  6. ●30
    Milan rechnet 6 · 24 so: erst 6 · 20, dann 4 dazu. Milan erhält 124. Zeige am Bild, was fehlt.
    2046
    Lösung zeigen
    1. Der rechte Teil hat 6 Reihen mit je 4 Kästchen, nicht nur 4.
    2. Rechter Teil: 6 · 4 = 24
    3. 120 + 24 = 144
    Ergebnis:
    144

Auf einen Blick

MerkenDas Wichtigste

Vertauschen und zusammenfassen
Beim Plus und beim Mal darf man die Zahlen vertauschen und anders zusammenfassen.
Gegensinnig und gleichsinnig
Bei einer Summe gibt ein Summand ab, was der andere bekommt.
Malnehmen mit Zerlegen
Einen Faktor zerlegen, jeden Teil malnehmen und die Teilergebnisse addieren.
Teilen mit Zerlegen
Die Zahl so zerlegen, dass jeder Teil glatt aufgeht. So wird 385 : 7 zu 350 : 7 + 35 : 7.
Ausdrücke mit gleichem Wert
Verschiedene Rechenausdrücke können denselben Wert haben.
Verdoppeln und halbieren
Wird ein Faktor verdoppelt und der andere halbiert, bleibt das Produkt gleich.
Den passenden Weg wählen
Vor dem Rechnen die Zahlen ansehen.
Überschlag und Umkehraufgabe
Ein Überschlag mit runden Zahlen zeigt, ob ein Ergebnis stimmen kann.

Kannst du das?

Je Ziel eine Aufgabe. Rechne sie ins Heft, dann kreuz ehrlich an. Keine Punkte, keine Note – der Test ist für dich.

ÜbenSelbsttest

  1. Ich rechne Plusaufgaben und Malaufgaben geschickt durch Vertauschen und Zusammenfassen.

    31
    Noah rechnet 26 + 58 + 14 von links nach rechts. Zeige einen schnelleren Weg mit einem Rechenvorteil.
    265814
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    98

  2. Ich verändere Summen gegensinnig und Differenzen gleichsinnig.

    32
    Rechne geschickt durch gegensinniges Verändern: 98 + 85
    9885
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    183

  3. Ich nehme halbschriftlich mal, indem ich einen Faktor zerlege.

    33
    Rechne halbschriftlich: Zerlege den zweiten Faktor. 9 · 36
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    324

  4. Ich dividiere halbschriftlich, indem ich die Zahl geschickt zerlege.

    34
    Zerlege 396 so in zwei Zahlen, dass du beide leicht durch 6 dividieren kannst. Was ergibt 396 : 6?
    396: 6
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    66

  5. Ich finde Aufgaben mit gleichem Ergebnis und vergleiche Rechenausdrücke.

    35
    Welche Zahl fehlt? Rechne nicht beide Seiten aus. 6 · 4 = 3 · ___
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    8

  6. Ich rechne mit Verdoppeln und Halbieren und prüfe, ob das Ergebnis gleich bleibt.

    36
    Warum ist 12 · 15 dasselbe wie 6 · 30? Rechne dann geschickt.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    180

  7. Ich wähle zu einer Aufgabe den passenden Rechenweg.

    37
    Welchen Rechenvorteil nutzt du bei 33 + 56 + 67? Nenne ihn und rechne.
    33 + 56 + 67zerlegenhalbieren und verdoppelnschriftlich
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    vertauschen, 156

  8. Ich finde Rechenfehler mit Überschlag und Umkehraufgabe.

    38
    Zeynep rechnet 150 : 3 und erhält 49. Prüfe mit der Umkehraufgabe.
    150 : 3Ergebnis 49?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    falsch, richtig ist 50

Bei „unsicher“ oder „noch nicht“: Lies den Abschnitt zum Ziel noch einmal und rechne seine drei Aufgaben.

Die Frage vom Anfang

EntdeckenRückschau

Rechne im Kopf, so schnell du kannst: 25 · 17 · 4. Schreib nichts auf und nimm keinen Taschenrechner.

Lies deine Vermutung vom Anfang. Kannst du die Frage jetzt mit dem Kapitel beantworten?

Auflösung

Mit dem Werkzeug aus diesem Kapitel: Vertauschen und Zusammenfassen: erst die Zahlen, die zusammen glatt werden.

Wo brauchst du das?

Entdecken

Preise im Kopf addieren, Rückgeld überschlagen, Mengen für ein Fest ausrechnen. Beruf: Kasse und Verkauf, Handwerk beim Materialberechnen, Lager und Versand.

Wörter

Differenz
was übrig bleibt, wenn man abzieht
Gleichung
zwei Rechnungen, die gleich viel wert sind
Produkt
was herauskommt, wenn man malnimmt
Summe
was herauskommt, wenn man zusammenzählt
Teiler
eine Zahl, durch die es ohne Rest aufgeht

Wie es zusammenhängt

Das brauchst du vorher: Rechenregeln, Teiler und Vielfache, Natürliche Zahlen und Stellenwert

Darauf baut auf: Sachaufgaben lösen

Lösungen

  1. 151
  2. 123
  3. 721
  4. 236
  5. 321
  6. 923
  7. 468
  8. 390
  9. 3627
  10. 17
  11. 24
  12. 93
  13. 45
  14. 104
  15. 77
  16. 400
  17. 90
  18. 330
  19. zerlegen, 216
  20. vertauschen, 173
  21. zerlegen, 425
  22. falsch, richtig ist 468
  23. falsch, richtig ist 64
  24. stimmt, 7596
  25. 174
  26. 600
  27. 95
  28. 126
  29. 192 Bonbons
  30. 144
  31. 98
  32. 183
  33. 324
  34. 66
  35. 8
  36. 180
  37. vertauschen, 156
  38. falsch, richtig ist 50
  39. 14
  40. 40
  41. 22
  42. 36