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Mathematik · Klasse 5 · Kapitel

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Rechengesetze und Rechenvorteile

EntdeckenDie Frage zum Kapitel

Rechne im Kopf, so schnell du kannst: 25 · 17 · 4. Schreib nichts auf und nimm keinen Taschenrechner.

Schreib eine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Für die Lehrkraft: Die meisten rechnen von links: 25 · 17 und kommen durcheinander. Andere geben auf oder raten. Nur wenige sehen, dass 25 und 4 zusammen 100 ergeben. Beim Malnehmen darf man die Zahlen vertauschen. Dann steht 25 · 4 · 17 da, also 100 · 17. Das Ergebnis ist 1700, in einer Sekunde.

  • Entdecken Frage, Vorstellung, Bild
  • Merken kommt ins Heft
  • Beispiel vorgerechnet, Schritt für Schritt
  • Üben selbst rechnen
  • Achtung typischer Fehler
  • Weiterdenken zum Knobeln und Vernetzen

○ mit Starthilfe, ● für alle, ★ zum Weiterdenken. Du wählst mindestens eine ★-Aufgabe. Du rechnest ins Heft.

Fit für das Kapitel?

Das brauchst du aus früheren Themen. Klappt es nicht, frag nach, bevor es losgeht.

ÜbenWeißt du das noch?

Punkt vor Strich und Klammer zuerst – so steht es seit Klasse 4 im Heft.

  1. ●39
    Rechne: 68 − 5 · 7
    Lösung zeigen
    1. Punkt vor Strich: erst 5 · 7 = 35
    2. 68 − 35 = 33
    Ergebnis:
    33
  2. ●40
    Rechne: (4 + 5) · 6
    Lösung zeigen
    1. Die Klammer zuerst: 4 + 5 = 9
    2. 9 · 6 = 54
    Ergebnis:
    54

ÜbenWeißt du das noch?

Punkt vor Strich und Klammer zuerst – die Reihenfolge entscheidet über das Ergebnis.

  1. ●41
    Berechne: 10 + 3 · 3
    Lösung zeigen
    1. Punkt vor Strich: erst 3 · 3 = 9
    2. 10 + 9 = 19
    Ergebnis:
    19
  2. ●42
    Ich denke mir eine Zahl, addiere 40 und erhalte 91. Welche Zahl war es? (Umkehraufgabe)
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    51

So kannst du es dir vorstellen

EntdeckenZahlen umbauen, ohne den Wert zu ändern

Eine Rechnung lässt sich umbauen, ohne dass sich ihr Wert ändert. Zahlen tauschen die Plätze, bilden neue Gruppen oder werden zerlegt. Wer das sieht, rechnet mit glatten Zahlen statt mit krummen.

17 plus 38 plus 3: Erst 17 und 3 zu 20 zusammenfassen, dann 20 plus 38 sind 5817 + 38 + 317 + 3 = 20= 20 + 38 = 58

WeiterdenkenDenk nach

Warum darf man bei 25 + 38 + 75 zuerst 25 und 75 addieren, bei 50 − 20 − 10 aber nicht zuerst 20 − 10?

1Ich rechne Plusaufgaben und Malaufgaben geschickt durch Vertauschen und Zusammenfassen.

EntdeckenFrage

Wie konnte der neunjährige Carl Friedrich Gauß die Zahlen von 1 bis 100 in wenigen Minuten addieren?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Er hat die Zahlen in Paare umsortiert: 1 und 100, 2 und 99, 3 und 98. Jedes Paar ergibt 101, und es sind 50 Paare. Also 50 · 101 = 5050. Er hat nur vertauscht und neu zusammengefasst.

MerkenVertauschen und zusammenfassen

Beim Plus und beim Mal darf man die Zahlen vertauschen und anders zusammenfassen.

Erst die Zahlen nehmen, die zusammen glatt werden.

BeispielPlusaufgaben geschickt: vertauschen und zusammenfassen

Welche Zahlen fasst du bei 28 + 38 + 22 zuerst zusammen? Begründe. Rechne danach.
283822
Schritt für Schritt
  1. Vertauschen: 28 + 22 + 38
  2. 28 + 22 = 50
  3. Zusammen glatt, der Rest ist leicht: 50 + 38 = 88
  1. Vertauschen: 28 + 22 + 38
  2. 28 + 22 = 50
  3. Zusammen glatt, der Rest ist leicht: 50 + 38 = 88
Ergebnis:
88

AchtungBeim Minus oder Geteilt vertauscht

So nicht
50 − 20 − 10: erst 20 − 10 = 10, dann 50 − 10 = 40
So richtig
50 − 20 − 10 = 30 − 10 = 20

Vertauschen ist nur beim Plus und beim Mal erlaubt. 20 − 5 ist nicht 5 − 20.

ÜbenJetzt du

  1. ○1
    Welche Zahlen fasst du bei 17 + 74 + 33 zuerst zusammen? Begründe. Rechne danach.
    177433
    So fängst du an:
    Vertauschen: 17 + 33 + 74
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 17 + 33 + 74
    2. 17 + 33 = 50
    3. Zusammen glatt, der Rest ist leicht: 50 + 74 = 124
    Ergebnis:
    124
  2. ●2
    Welche Zahlen fasst du bei 9 + 83 + 41 zuerst zusammen? Begründe. Rechne danach.
    98341
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 9 + 41 + 83
    2. 9 + 41 = 50
    3. Zusammen glatt, der Rest ist leicht: 50 + 83 = 133
    Ergebnis:
    133
  3. ★3
    Rechne geschickt: 589 + 217 + 47 + 411 + 53
    5892174741153
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 589 + 411 + 47 + 53 + 217
    2. 589 + 411 = 1000 und 47 + 53 = 100
    3. 1000 + 100 + 217 = 1317
    Ergebnis:
    1317

2Ich verändere Summen gegensinnig und Differenzen gleichsinnig.

EntdeckenFrage

Warum rechnen Kassiererinnen 3,99 € mal 4 schneller als ein Kunde mit Papier?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Sie rechnen 4 mal 4 € und ziehen dann 4 Cent ab: 16,00 € − 0,04 € = 15,96 €. Das ist Zerlegen: 3,99 ist 4 minus 1 Cent. Der Rechenweg ist kurz, weil er über die glatte Zahl geht.

MerkenGegensinnig und gleichsinnig

Bei einer Summe gibt ein Summand ab, was der andere bekommt.

Bei einer Differenz ändern sich beide Zahlen gleich, der Abstand bleibt.

BeispielSummen gegensinnig verändern

Noah rechnet 49 + 48 als 50 + 48. Was muss Noah danach noch tun? Was kommt heraus?
4948
Schritt für Schritt
  1. Noah hat 49 um 1 vergrößert.
  2. Die Summe ist dadurch um 1 zu groß: 50 + 48 = 98.
  3. 1 wieder abziehen: 98 − 1 = 97
  1. Noah hat 49 um 1 vergrößert.
  2. Die Summe ist dadurch um 1 zu groß: 50 + 48 = 98.
  3. 1 wieder abziehen: 98 − 1 = 97
Ergebnis:
97

AchtungNur eine Zahl verändert

So nicht
143 − 97: 143 − 100 = 43
So richtig
143 − 97 = 146 − 100 = 46

Bei der Summe gegensinnig, bei der Differenz gleichsinnig: Immer beide Zahlen verändern.

ÜbenJetzt du

  1. ○4
    Ergänze so, dass die Summe gleich bleibt: 299 + 75 = 300 + ___
    29975
    So fängst du an:
    299 wird zu 300: 1 mehr.
    Lösung zeigen
    1. 299 wird zu 300: 1 mehr.
    2. Also muss 75 um 1 kleiner werden: 75 − 1 = 74
    3. 300 + 74 = 374
    Ergebnis:
    74
  2. ●5
    Mia rechnet 98 + 54 als 100 + 54. Was muss Mia danach noch tun? Was kommt heraus?
    9854
    Lösung zeigen
    1. Mia hat 98 um 2 vergrößert.
    2. Die Summe ist dadurch um 2 zu groß: 100 + 54 = 154.
    3. 2 wieder abziehen: 154 − 2 = 152
    Ergebnis:
    152
  3. ★6
    Zeynep rechnet 699 + 845 als 700 + 845. Was muss Zeynep danach noch tun? Was kommt heraus?
    699845
    Lösung zeigen
    1. Zeynep hat 699 um 1 vergrößert.
    2. Die Summe ist dadurch um 1 zu groß: 700 + 845 = 1545.
    3. 1 wieder abziehen: 1545 − 1 = 1544
    Ergebnis:
    1544

3Ich nehme halbschriftlich mal, indem ich einen Faktor zerlege.

EntdeckenFrage

Wie haben Bauern in Russland früher ohne Einmaleins multipliziert?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Sie haben eine Zahl immer halbiert und die andere verdoppelt, bis links eine 1 stand. Dann addierten sie die rechten Zahlen der Zeilen mit ungerader linker Zahl. Das Verfahren heißt russische Bauernmultiplikation und nutzt, dass Verdoppeln und Halbieren das Produkt nicht ändert.

Ausprobieren: Malnehmen am Rechteck

Länge und Höhe in Teile zerlegen – das Rechteck zerfällt in Teilrechtecke, und jedes ist eine leichte Malaufgabe.

MerkenMalnehmen mit Zerlegen

Einen Faktor zerlegen, jeden Teil malnehmen und die Teilergebnisse addieren.

So wird 7 · 48 zu 7 · 40 + 7 · 8.

BeispielHalbschriftlich malnehmen mit Zerlegen

Es gibt 5 Reihen mit je 17 Stühle. Wie viele Stühle sind es? Rechne halbschriftlich.
Schritt für Schritt
  1. 5 · 17
  2. 17 = 10 + 7
  3. 5 · 10 = 50 und 5 · 7 = 35
  4. 50 + 35 = 85
  1. 5 · 17
  2. 17 = 10 + 7
  3. 5 · 10 = 50 und 5 · 7 = 35
  4. 50 + 35 = 85
Ergebnis:
85 Stühle

AchtungBeim Zerlegen einen Teil vergessen

So nicht
7 · 48: 7 · 40 + 8 = 288
So richtig
7 · 48 = 7 · 40 + 7 · 8 = 280 + 56 = 336

Jeder Teil des zerlegten Faktors wird malgenommen, nicht nur der erste.

ÜbenJetzt du

  1. ○7
    Rechne halbschriftlich: Zerlege den zweiten Faktor. 8 · 25
    So fängst du an:
    25 = 20 + 5
    Lösung zeigen
    1. 25 = 20 + 5
    2. 8 · 20 = 160 und 8 · 5 = 40
    3. 160 + 40 = 200
    Ergebnis:
    200
  2. ●8
    Rechne geschickt über die glatte Zahl: 5 · 59
    Lösung zeigen
    1. 59 = 60 − 1
    2. 5 · 60 = 300 und 5 · 1 = 5
    3. 300 − 5 = 295
    Ergebnis:
    295
  3. ★9
    Rechne halbschriftlich mit Stellenwerten: 8 · 156
    Lösung zeigen
    1. 156 = 100 + 50 + 6
    2. 8 · 100 = 800; 8 · 50 = 400; 8 · 6 = 48
    3. 800 + 400 + 48 = 1248
    Ergebnis:
    1248

4Ich dividiere halbschriftlich, indem ich die Zahl geschickt zerlege.

EntdeckenFrage

Warum ist 25 mal 4 ein Lieblingspaar beim Kopfrechnen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

25 mal 4 ergibt genau 100. Kommen 25 und 4 in einer Malaufgabe vor, fasst man sie zuerst zusammen. Aus 25 · 37 · 4 wird dann 100 · 37 = 3700, ganz ohne schriftliches Rechnen.

MerkenTeilen mit Zerlegen

Die Zahl so zerlegen, dass jeder Teil glatt aufgeht. So wird 385 : 7 zu 350 : 7 + 35 : 7.

BeispielHalbschriftlich dividieren

Zerlege 270 so in zwei Zahlen, dass du beide leicht durch 5 dividieren kannst. Was ergibt 270 : 5?
270: 5
Schritt für Schritt
  1. 270 = 250 + 20
  2. 250 : 5 = 50 und 20 : 5 = 4
  3. 50 + 4 = 54
  1. 270 = 250 + 20
  2. 250 : 5 = 50 und 20 : 5 = 4
  3. 50 + 4 = 54
Ergebnis:
54

AchtungBeim Teilen nicht passend zerlegt

So nicht
385 : 7: 300 : 7 geht nicht glatt → aufgegeben
So richtig
385 : 7 = 350 : 7 + 35 : 7 = 50 + 5 = 55

Jeder Teil muss sich glatt teilen lassen. Erst ein großes Vielfaches abspalten.

ÜbenJetzt du

  1. ○10
    Rechne halbschriftlich: 96 : 6
    So fängst du an:
    96 = 60 + 36
    Lösung zeigen
    1. 96 = 60 + 36
    2. 60 : 6 = 10 und 36 : 6 = 6
    3. 10 + 6 = 16
    Ergebnis:
    16
  2. ●11
    184 Bücher werden gleichmäßig auf 4 Regalböden aufgeteilt. Wie viele bekommt jeder Teil? Rechne halbschriftlich.
    Lösung zeigen
    1. 184 : 4
    2. 184 = 160 + 24
    3. 160 : 4 = 40 und 24 : 4 = 6
    4. 40 + 6 = 46
    Ergebnis:
    46 Bücher
  3. ★12
    Rechne halbschriftlich: 994 : 7
    Lösung zeigen
    1. 994 = 980 + 14
    2. 980 : 7 = 140 und 14 : 7 = 2
    3. 140 + 2 = 142
    Ergebnis:
    142

5Ich finde Aufgaben mit gleichem Ergebnis und vergleiche Rechenausdrücke.

EntdeckenFrage

Warum stimmt der Trick „mal 9 ist mal 10 minus einmal“ immer?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Neunmal eine Zahl ist zehnmal die Zahl minus einmal die Zahl. So wird 9 · 47 zu 470 − 47 = 423. Das ist das Verteilungsgesetz: 9 ist 10 minus 1.

MerkenAusdrücke mit gleichem Wert

Verschiedene Rechenausdrücke können denselben Wert haben.

Wer die Rechengesetze nutzt, sieht das oft ohne Ausrechnen.

BeispielAufgaben mit gleichem Ergebnis

Ergänze die Lücke: 6 · 8 = 3 · ___
6 · 8=3 · ?
Schritt für Schritt
  1. 6 wird halb so groß: 3.
  2. Damit das Ergebnis gleich bleibt, wird 8 doppelt so groß.
  3. 8 · 2 = 16
  1. 6 wird halb so groß: 3.
  2. Damit das Ergebnis gleich bleibt, wird 8 doppelt so groß.
  3. 8 · 2 = 16
Ergebnis:
16

AchtungPunkt vor Strich missachtet

So nicht
9 + 5 · 7 = 14 · 7 = 98
So richtig
9 + 5 · 7 = 9 + 35 = 44

Klammer zuerst, dann Mal und Geteilt, dann Plus und Minus.

ÜbenJetzt du

  1. ○13
    Finde die fehlende Zahl mit einem Rechengesetz: 82 + 15 = 72 + ___
    82 + 15=72 + ?
    So fängst du an:
    82 wird zu 72: 10 weniger.
    Lösung zeigen
    1. 82 wird zu 72: 10 weniger.
    2. Damit die Summe gleich bleibt, wird 15 um 10 größer.
    3. 15 + 10 = 25
    Ergebnis:
    25
  2. ●14
    Welche Zahl fehlt? Rechne nicht beide Seiten aus. 16 · 12 = 8 · ___
    Lösung zeigen
    1. 16 wird halb so groß: 8.
    2. Damit das Ergebnis gleich bleibt, wird 12 doppelt so groß.
    3. 12 · 2 = 24
    Ergebnis:
    24
  3. ★15
    Finde die fehlende Zahl mit einem Rechengesetz: 7 · 48 + 7 · 3 = 7 · ___
    7 · 48 + 7 · 3=7 · ?
    Lösung zeigen
    1. Beide Produkte haben den Faktor 7.
    2. 7 mal 48 und 7 mal 3 sind zusammen 7 mal (48 + 3).
    3. 48 + 3 = 51
    Ergebnis:
    51

6Ich rechne mit Verdoppeln und Halbieren und prüfe, ob das Ergebnis gleich bleibt.

EntdeckenFrage

Wie merkt man in Sekunden, dass 98 · 102 nicht 99.960 sein kann?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Man rechnet nicht, man überschlägt: 100 · 100 = 10.000. Das Ergebnis muss also in der Nähe von 10.000 liegen. 99.960 ist fast zehnmal so groß und kann nicht stimmen. Richtig ist 9996.

MerkenVerdoppeln und halbieren

Wird ein Faktor verdoppelt und der andere halbiert, bleibt das Produkt gleich.

Werden beide verdoppelt, wird es viermal so groß.

BeispielVerdoppeln und Halbieren

Rechne geschickt: Halbiere den einen Faktor und verdopple den anderen. 16 · 25
Schritt für Schritt
  1. 16 · 25 = 8 · 50
  2. 8 · 50 = 400
  1. 16 · 25 = 8 · 50
  2. 8 · 50 = 400
Ergebnis:
400

AchtungBeide Faktoren verdoppelt

So nicht
8 · 25 → 16 · 50 = 800
So richtig
8 · 25 → 4 · 50 = 200

Nur einer wird verdoppelt, der andere halbiert. Sonst ändert sich das Ergebnis.

ÜbenJetzt du

  1. ○16
    Rechne geschickt: Halbiere den einen Faktor und verdopple den anderen. 18 · 5
    So fängst du an:
    18 · 5 = 9 · 10
    Lösung zeigen
    1. 18 · 5 = 9 · 10
    2. 9 · 10 = 90
    Ergebnis:
    90
  2. ●17
    Rechne geschickt: Halbiere den einen Faktor und verdopple den anderen. 8 · 25
    Lösung zeigen
    1. 8 · 25 = 4 · 50
    2. 4 · 50 = 200
    Ergebnis:
    200
  3. ★18
    Warum ist 12 · 75 dasselbe wie 6 · 150? Rechne dann geschickt.
    Lösung zeigen
    1. Halb so viele Reihen, jede doppelt so lang: gleich viele Kästchen.
    2. 12 · 75 = 6 · 150
    3. 6 · 150 = 900
    Ergebnis:
    900

7Ich wähle zu einer Aufgabe den passenden Rechenweg.

EntdeckenFrage

Wie rechnen Darts-Profis blitzschnell aus, wie viele Punkte ihnen von 501 noch fehlen, wenn sie 140 geworfen haben?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Der geschickte Weg nimmt erst eine runde Zahl. 500 − 140 = 360, und der eine Extrapunkt kommt dazu: 361. Das geht schneller als 501 − 140 Stelle für Stelle. Am Ergebnis ändert der Weg nichts.

MerkenDen passenden Weg wählen

Vor dem Rechnen die Zahlen ansehen.

Liegt eine Zahl nahe an einer glatten, lohnt sich ein Vorteil, sonst rechnet man schriftlich.

BeispielDen passenden Rechenweg wählen

Welchen Rechenvorteil nutzt du bei 5 · 72? Nenne ihn. Rechne danach.
5 · 72zerlegenhalbieren und verdoppelnschriftlich
Schritt für Schritt
  1. Den zweiten Faktor zerlegen: 72 = 70 + 2.
  2. 5 · 70 = 350 und 5 · 2 = 10
  3. Zusammen: 360
  1. Den zweiten Faktor zerlegen: 72 = 70 + 2.
  2. 5 · 70 = 350 und 5 · 2 = 10
  3. Zusammen: 360
Ergebnis:
zerlegen, 360

AchtungUmständlichen Weg gewählt

So nicht
299 + 158 schriftlich untereinander gerechnet, dabei verrechnet: 447
So richtig
299 + 158 = 300 + 157 = 457

Erst die Zahlen ansehen: Liegt eine nahe an einer glatten Zahl?

ÜbenJetzt du

  1. ○19
    Wie rechnest du am schnellsten: 9 · 84? Nenne ihn. Rechne danach.
    So fängst du an:
    Den zweiten Faktor zerlegen: 84 = 80 + 4.
    Lösung zeigen
    1. Den zweiten Faktor zerlegen: 84 = 80 + 4.
    2. 9 · 80 = 720 und 9 · 4 = 36
    3. Zusammen: 756
    Ergebnis:
    zerlegen, 756
  2. ●20
    Welcher Weg passt zu 159 + 198? Nenne ihn. Rechne danach.
    159 + 198zerlegenhalbieren und verdoppelnschriftlich
    Lösung zeigen
    1. 198 liegt knapp unter 200: gegensinnig verändern.
    2. 159 + 198 = 157 + 200
    3. 157 + 200 = 357
    Ergebnis:
    gegensinnig verändern, 357
  3. ★21
    Wie rechnest du am schnellsten: 232 + 198? Nenne ihn. Rechne danach.
    Lösung zeigen
    1. 198 liegt knapp unter 200: gegensinnig verändern.
    2. 232 + 198 = 230 + 200
    3. 230 + 200 = 430
    Ergebnis:
    gegensinnig verändern, 430

8Ich finde Rechenfehler mit Überschlag und Umkehraufgabe.

EntdeckenFrage

Warum zählt man Rückgeld vom Preis aus nach oben, statt abzuziehen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Wer 13,40 € zahlen muss und 20 € gibt, bekommt 20 − 13,40 = 6,60 € zurück. Beim Hochzählen rechnet man die Umkehraufgabe: 13,40 + 6,60 = 20. Kommt man genau auf den gegebenen Betrag, stimmt das Rückgeld.

MerkenÜberschlag und Umkehraufgabe

Ein Überschlag mit runden Zahlen zeigt, ob ein Ergebnis stimmen kann.

Die Umkehraufgabe prüft es genau.

BeispielRechenfehler mit Überschlag und Umkehraufgabe finden

Elias rechnet 352 − 286 und erhält 76. Prüfe mit der Umkehraufgabe.
Schritt für Schritt
  1. Umkehraufgabe: 76 + 286 = 362
  2. 362 ist nicht 352: Es ist falsch.
  3. 352 − 286 = 66
  1. Umkehraufgabe: 76 + 286 = 362
  2. 362 ist nicht 352: Es ist falsch.
  3. 352 − 286 = 66
Ergebnis:
falsch, richtig ist 66

AchtungErgebnis nicht geprüft

So nicht
425 : 5 = 805, ohne Probe ins Heft
So richtig
425 : 5 → Überschlag 400 : 5 = 80 → 85, Probe 85 · 5 = 425

Mit einem Überschlag prüfen, ob die Größenordnung stimmt, dann mit der Umkehraufgabe.

ÜbenJetzt du

  1. ○22
    Zeynep rechnet 540 − 365 und erhält 195. Prüfe mit der Umkehraufgabe.
    So fängst du an:
    Umkehraufgabe: 195 + 365 = 560
    Lösung zeigen
    1. Umkehraufgabe: 195 + 365 = 560
    2. 560 ist nicht 540: Es ist falsch.
    3. 540 − 365 = 175
    Ergebnis:
    falsch, richtig ist 175
  2. ●23
    Can rechnet 508 − 321 und erhält 207. Prüfe mit der Umkehraufgabe.
    Lösung zeigen
    1. Umkehraufgabe: 207 + 321 = 528
    2. 528 ist nicht 508: Es ist falsch.
    3. 508 − 321 = 187
    Ergebnis:
    falsch, richtig ist 187
  3. ★24
    Noah erhält für 308 · 18 das Ergebnis 5344. Prüfe mit einem Überschlag.
    Lösung zeigen
    1. Überschlag: 300 · 20 = 6000
    2. 5344 liegt zu weit weg. Genau: 308 · 18 = 5544
    3. Das Ergebnis ist falsch.
    Ergebnis:
    falsch, richtig ist 5544

Vermischte Übungen

Alles durcheinander – wie in der Arbeit. Überleg bei jeder Aufgabe zuerst: Welches Ziel ist das?

Üben

  1. ●25
    Rechne geschickt: 11 + 75 + 19
    117519
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 11 + 19 + 75
    2. 11 + 19 = 30
    3. 30 + 75 = 105
    Ergebnis:
    105
  2. ●26
    Rechne geschickt: 13 · 5 · 20
    13520
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 20 · 5 · 13
    2. 20 · 5 = 100
    3. 100 · 13 = 1300
    Ergebnis:
    1300
  3. ●27
    Tom rechnet 68 + 95 als 70 + 95. Was muss Tom danach noch tun? Was kommt heraus?
    6895
    Lösung zeigen
    1. Tom hat 68 um 2 vergrößert.
    2. Die Summe ist dadurch um 2 zu groß: 70 + 95 = 165.
    3. 2 wieder abziehen: 165 − 2 = 163
    Ergebnis:
    163
  4. ●28
    Mia rechnet 116 − 18 als 116 − 20 und erhält 96. Ist das schon das Ergebnis?
    116 − 18116 − 20
    Lösung zeigen
    1. Mia hat 2 mehr abgezogen als verlangt.
    2. Beim Minus muss dieser Rest wieder dazu.
    3. 96 + 2 = 98
    Ergebnis:
    Nein, 98
  5. ●29
    Es gibt 9 Reihen mit je 69 Stühle. Wie viele Stühle sind es? Rechne halbschriftlich.
    Lösung zeigen
    1. 9 · 69
    2. 69 = 60 + 9
    3. 9 · 60 = 540 und 9 · 9 = 81
    4. 540 + 81 = 621
    Ergebnis:
    621 Stühle
  6. ●30
    Ein Rechteck hat 7 Reihen mit je 21 Kästchen. Die rote Linie teilt es. Wie viele Kästchen sind es?
    2017
    Lösung zeigen
    1. Linker Teil: 7 · 20 = 140
    2. Rechter Teil: 7 · 1 = 7
    3. Zusammen: 140 + 7 = 147
    Ergebnis:
    147 Kästchen

Auf einen Blick

MerkenDas Wichtigste

Vertauschen und zusammenfassen
Beim Plus und beim Mal darf man die Zahlen vertauschen und anders zusammenfassen.
Gegensinnig und gleichsinnig
Bei einer Summe gibt ein Summand ab, was der andere bekommt.
Malnehmen mit Zerlegen
Einen Faktor zerlegen, jeden Teil malnehmen und die Teilergebnisse addieren.
Teilen mit Zerlegen
Die Zahl so zerlegen, dass jeder Teil glatt aufgeht. So wird 385 : 7 zu 350 : 7 + 35 : 7.
Ausdrücke mit gleichem Wert
Verschiedene Rechenausdrücke können denselben Wert haben.
Verdoppeln und halbieren
Wird ein Faktor verdoppelt und der andere halbiert, bleibt das Produkt gleich.
Den passenden Weg wählen
Vor dem Rechnen die Zahlen ansehen.
Überschlag und Umkehraufgabe
Ein Überschlag mit runden Zahlen zeigt, ob ein Ergebnis stimmen kann.

Kannst du das?

Je Ziel eine Aufgabe. Rechne sie ins Heft, dann kreuz ehrlich an. Keine Punkte, keine Note – der Test ist für dich.

ÜbenSelbsttest

  1. Ich rechne Plusaufgaben und Malaufgaben geschickt durch Vertauschen und Zusammenfassen.

    31
    Rechne geschickt: 49 + 24 + 51
    492451
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    124

  2. Ich verändere Summen gegensinnig und Differenzen gleichsinnig.

    32
    Ergänze so, dass die Summe gleich bleibt: 69 + 84 = 70 + ___
    6984
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    83

  3. Ich nehme halbschriftlich mal, indem ich einen Faktor zerlege.

    33
    Rechne geschickt über die glatte Zahl: 8 · 29
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    232

  4. Ich dividiere halbschriftlich, indem ich die Zahl geschickt zerlege.

    34
    Zerlege 184 so in zwei Zahlen, dass du beide leicht durch 8 dividieren kannst. Was ergibt 184 : 8?
    184: 8
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    23

  5. Ich finde Aufgaben mit gleichem Ergebnis und vergleiche Rechenausdrücke.

    35
    Ergänze die Lücke: 38 + 89 = 41 + ___
    38 + 89=41 + ?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    86

  6. Ich rechne mit Verdoppeln und Halbieren und prüfe, ob das Ergebnis gleich bleibt.

    36
    Rechne geschickt: Halbiere den einen Faktor und verdopple den anderen. 14 · 15
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    210

  7. Ich wähle zu einer Aufgabe den passenden Rechenweg.

    37
    Welcher Weg passt zu 34 + 79 + 66? Nenne ihn. Rechne danach.
    34 + 79 + 66zerlegenhalbieren und verdoppelnschriftlich
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    vertauschen, 179

  8. Ich finde Rechenfehler mit Überschlag und Umkehraufgabe.

    38
    Lina erhält für 57 · 29 das Ergebnis 1853. Prüfe mit einem Überschlag.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    falsch, richtig ist 1653

Bei „unsicher“ oder „noch nicht“: Lies den Abschnitt zum Ziel noch einmal und rechne seine drei Aufgaben.

Die Frage vom Anfang

EntdeckenRückschau

Rechne im Kopf, so schnell du kannst: 25 · 17 · 4. Schreib nichts auf und nimm keinen Taschenrechner.

Lies deine Vermutung vom Anfang. Kannst du die Frage jetzt mit dem Kapitel beantworten?

Auflösung

Mit dem Werkzeug aus diesem Kapitel: Vertauschen und Zusammenfassen: erst die Zahlen, die zusammen glatt werden.

Wo brauchst du das?

Entdecken

Preise im Kopf addieren, Rückgeld überschlagen, Mengen für ein Fest ausrechnen. Beruf: Kasse und Verkauf, Handwerk beim Materialberechnen, Lager und Versand.

Wörter

Differenz
was übrig bleibt, wenn man abzieht
Gleichung
zwei Rechnungen, die gleich viel wert sind
Produkt
was herauskommt, wenn man malnimmt
Summe
was herauskommt, wenn man zusammenzählt
Teiler
eine Zahl, durch die es ohne Rest aufgeht

Wie es zusammenhängt

Das brauchst du vorher: Rechenregeln, Teiler und Vielfache, Natürliche Zahlen und Stellenwert

Darauf baut auf: Sachaufgaben lösen

Lösungen

  1. 124
  2. 133
  3. 1317
  4. 74
  5. 152
  6. 1544
  7. 200
  8. 295
  9. 1248
  10. 16
  11. 46 Bücher
  12. 142
  13. 25
  14. 24
  15. 51
  16. 90
  17. 200
  18. 900
  19. zerlegen, 756
  20. gegensinnig verändern, 357
  21. gegensinnig verändern, 430
  22. falsch, richtig ist 175
  23. falsch, richtig ist 187
  24. falsch, richtig ist 5544
  25. 105
  26. 1300
  27. 163
  28. Nein, 98
  29. 621 Stühle
  30. 147 Kästchen
  31. 124
  32. 83
  33. 232
  34. 23
  35. 86
  36. 210
  37. vertauschen, 179
  38. falsch, richtig ist 1653
  39. 33
  40. 54
  41. 19
  42. 51