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Mathematik · Klasse 5 · Kapitel

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Rechengesetze und Rechenvorteile

EntdeckenDie Frage zum Kapitel

Rechne im Kopf, so schnell du kannst: 25 · 17 · 4. Schreib nichts auf und nimm keinen Taschenrechner.

Schreib eine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Für die Lehrkraft: Die meisten rechnen von links: 25 · 17 und kommen durcheinander. Andere geben auf oder raten. Nur wenige sehen, dass 25 und 4 zusammen 100 ergeben. Beim Malnehmen darf man die Zahlen vertauschen. Dann steht 25 · 4 · 17 da, also 100 · 17. Das Ergebnis ist 1700, in einer Sekunde.

  • Entdecken Frage, Vorstellung, Bild
  • Merken kommt ins Heft
  • Beispiel vorgerechnet, Schritt für Schritt
  • Üben selbst rechnen
  • Achtung typischer Fehler
  • Weiterdenken zum Knobeln und Vernetzen

○ mit Starthilfe, ● für alle, ★ zum Weiterdenken. Du wählst mindestens eine ★-Aufgabe. Du rechnest ins Heft.

Fit für das Kapitel?

Das brauchst du aus früheren Themen. Klappt es nicht, frag nach, bevor es losgeht.

ÜbenWeißt du das noch?

Punkt vor Strich und Klammer zuerst – so steht es seit Klasse 4 im Heft.

  1. ●39
    Rechne: 51 − 4 · 5
    Lösung zeigen
    1. Punkt vor Strich: erst 4 · 5 = 20
    2. 51 − 20 = 31
    Ergebnis:
    31
  2. ●40
    Rechne: (8 + 4) · 6
    Lösung zeigen
    1. Die Klammer zuerst: 8 + 4 = 12
    2. 12 · 6 = 72
    Ergebnis:
    72

ÜbenWeißt du das noch?

Punkt vor Strich und Klammer zuerst – die Reihenfolge entscheidet über das Ergebnis.

  1. ●41
    Berechne: 6 + 2 · 7
    Lösung zeigen
    1. Punkt vor Strich: erst 2 · 7 = 14
    2. 6 + 14 = 20
    Ergebnis:
    20
  2. ●42
    Ich denke mir eine Zahl, addiere 20 und erhalte 76. Welche Zahl war es? (Umkehraufgabe)
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    56

So kannst du es dir vorstellen

EntdeckenZahlen umbauen, ohne den Wert zu ändern

Eine Rechnung lässt sich umbauen, ohne dass sich ihr Wert ändert. Zahlen tauschen die Plätze, bilden neue Gruppen oder werden zerlegt. Wer das sieht, rechnet mit glatten Zahlen statt mit krummen.

17 plus 38 plus 3: Erst 17 und 3 zu 20 zusammenfassen, dann 20 plus 38 sind 5817 + 38 + 317 + 3 = 20= 20 + 38 = 58

WeiterdenkenDenk nach

Warum darf man bei 25 + 38 + 75 zuerst 25 und 75 addieren, bei 50 − 20 − 10 aber nicht zuerst 20 − 10?

1Ich rechne Plusaufgaben und Malaufgaben geschickt durch Vertauschen und Zusammenfassen.

EntdeckenFrage

Wie konnte der neunjährige Carl Friedrich Gauß die Zahlen von 1 bis 100 in wenigen Minuten addieren?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Er hat die Zahlen in Paare umsortiert: 1 und 100, 2 und 99, 3 und 98. Jedes Paar ergibt 101, und es sind 50 Paare. Also 50 · 101 = 5050. Er hat nur vertauscht und neu zusammengefasst.

MerkenVertauschen und zusammenfassen

Beim Plus und beim Mal darf man die Zahlen vertauschen und anders zusammenfassen.

Erst die Zahlen nehmen, die zusammen glatt werden.

BeispielPlusaufgaben geschickt: vertauschen und zusammenfassen

Rechne geschickt: 24 + 35 + 36
243536
Schritt für Schritt
  1. Vertauschen: 24 + 36 + 35
  2. 24 + 36 = 60
  3. 60 + 35 = 95
  1. Vertauschen: 24 + 36 + 35
  2. 24 + 36 = 60
  3. 60 + 35 = 95
Ergebnis:
95

AchtungBeim Minus oder Geteilt vertauscht

So nicht
50 − 20 − 10: erst 20 − 10 = 10, dann 50 − 10 = 40
So richtig
50 − 20 − 10 = 30 − 10 = 20

Vertauschen ist nur beim Plus und beim Mal erlaubt. 20 − 5 ist nicht 5 − 20.

ÜbenJetzt du

  1. ○1
    Rechne geschickt: 16 + 71 + 34
    167134
    So fängst du an:
    Vertauschen: 16 + 34 + 71
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 16 + 34 + 71
    2. 16 + 34 = 50
    3. 50 + 71 = 121
    Ergebnis:
    121
  2. ●2
    Rechne geschickt: 24 + 87 + 16
    248716
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 24 + 16 + 87
    2. 24 + 16 = 40
    3. 40 + 87 = 127
    Ergebnis:
    127
  3. ★3
    Welche Zahlen fasst du bei 434 + 781 + 42 + 566 + 58 zuerst zusammen? Begründe. Rechne danach.
    4347814256658
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 434 + 566 + 42 + 58 + 781
    2. 434 + 566 = 1000 und 42 + 58 = 100
    3. Zusammen glatt, der Rest ist leicht: 1000 + 100 + 781 = 1881
    Ergebnis:
    1881

2Ich verändere Summen gegensinnig und Differenzen gleichsinnig.

EntdeckenFrage

Warum rechnen Kassiererinnen 3,99 € mal 4 schneller als ein Kunde mit Papier?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Sie rechnen 4 mal 4 € und ziehen dann 4 Cent ab: 16,00 € − 0,04 € = 15,96 €. Das ist Zerlegen: 3,99 ist 4 minus 1 Cent. Der Rechenweg ist kurz, weil er über die glatte Zahl geht.

MerkenGegensinnig und gleichsinnig

Bei einer Summe gibt ein Summand ab, was der andere bekommt.

Bei einer Differenz ändern sich beide Zahlen gleich, der Abstand bleibt.

BeispielSummen gegensinnig verändern

Rechne geschickt durch gegensinniges Verändern: 49 + 28
4928
Schritt für Schritt
  1. 49 bekommt 1 dazu, 28 gibt 1 ab.
  2. 49 + 28 = 50 + 27
  3. 50 + 27 = 77
  1. 49 bekommt 1 dazu, 28 gibt 1 ab.
  2. 49 + 28 = 50 + 27
  3. 50 + 27 = 77
Ergebnis:
77

AchtungNur eine Zahl verändert

So nicht
143 − 97: 143 − 100 = 43
So richtig
143 − 97 = 146 − 100 = 46

Bei der Summe gegensinnig, bei der Differenz gleichsinnig: Immer beide Zahlen verändern.

ÜbenJetzt du

  1. ○4
    Aylin rechnet 38 + 28 als 40 + 28. Was muss Aylin danach noch tun? Was kommt heraus?
    3828
    So fängst du an:
    Aylin hat 38 um 2 vergrößert.
    Lösung zeigen
    1. Aylin hat 38 um 2 vergrößert.
    2. Die Summe ist dadurch um 2 zu groß: 40 + 28 = 68.
    3. 2 wieder abziehen: 68 − 2 = 66
    Ergebnis:
    66
  2. ●5
    Mia rechnet 48 + 23 als 50 + 23. Was muss Mia danach noch tun? Was kommt heraus?
    4823
    Lösung zeigen
    1. Mia hat 48 um 2 vergrößert.
    2. Die Summe ist dadurch um 2 zu groß: 50 + 23 = 73.
    3. 2 wieder abziehen: 73 − 2 = 71
    Ergebnis:
    71
  3. ★6
    Ergänze so, dass die Summe gleich bleibt: 698 + 665 = 700 + ___
    698665
    Lösung zeigen
    1. 698 wird zu 700: 2 mehr.
    2. Also muss 665 um 2 kleiner werden: 665 − 2 = 663
    3. 700 + 663 = 1363
    Ergebnis:
    663

3Ich nehme halbschriftlich mal, indem ich einen Faktor zerlege.

EntdeckenFrage

Wie haben Bauern in Russland früher ohne Einmaleins multipliziert?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Sie haben eine Zahl immer halbiert und die andere verdoppelt, bis links eine 1 stand. Dann addierten sie die rechten Zahlen der Zeilen mit ungerader linker Zahl. Das Verfahren heißt russische Bauernmultiplikation und nutzt, dass Verdoppeln und Halbieren das Produkt nicht ändert.

Ausprobieren: Malnehmen am Rechteck

Länge und Höhe in Teile zerlegen – das Rechteck zerfällt in Teilrechtecke, und jedes ist eine leichte Malaufgabe.

MerkenMalnehmen mit Zerlegen

Einen Faktor zerlegen, jeden Teil malnehmen und die Teilergebnisse addieren.

So wird 7 · 48 zu 7 · 40 + 7 · 8.

BeispielHalbschriftlich malnehmen mit Zerlegen

Rechne geschickt über die glatte Zahl: 6 · 29
Schritt für Schritt
  1. 29 = 30 − 1
  2. 6 · 30 = 180 und 6 · 1 = 6
  3. 180 − 6 = 174
  1. 29 = 30 − 1
  2. 6 · 30 = 180 und 6 · 1 = 6
  3. 180 − 6 = 174
Ergebnis:
174

AchtungBeim Zerlegen einen Teil vergessen

So nicht
7 · 48: 7 · 40 + 8 = 288
So richtig
7 · 48 = 7 · 40 + 7 · 8 = 280 + 56 = 336

Jeder Teil des zerlegten Faktors wird malgenommen, nicht nur der erste.

ÜbenJetzt du

  1. ○7
    Es gibt 8 Reihen mit je 55 Stühle. Wie viele Stühle sind es? Rechne halbschriftlich.
    So fängst du an:
    8 · 55
    Lösung zeigen
    1. 8 · 55
    2. 55 = 50 + 5
    3. 8 · 50 = 400 und 8 · 5 = 40
    4. 400 + 40 = 440
    Ergebnis:
    440 Stühle
  2. ●8
    Rechne halbschriftlich: Zerlege den zweiten Faktor. 7 · 42
    Lösung zeigen
    1. 42 = 40 + 2
    2. 7 · 40 = 280 und 7 · 2 = 14
    3. 280 + 14 = 294
    Ergebnis:
    294
  3. ★9
    Rechne halbschriftlich: Zerlege den zweiten Faktor. 9 · 69
    Lösung zeigen
    1. 69 = 60 + 9
    2. 9 · 60 = 540 und 9 · 9 = 81
    3. 540 + 81 = 621
    Ergebnis:
    621

4Ich dividiere halbschriftlich, indem ich die Zahl geschickt zerlege.

EntdeckenFrage

Warum ist 25 mal 4 ein Lieblingspaar beim Kopfrechnen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

25 mal 4 ergibt genau 100. Kommen 25 und 4 in einer Malaufgabe vor, fasst man sie zuerst zusammen. Aus 25 · 37 · 4 wird dann 100 · 37 = 3700, ganz ohne schriftliches Rechnen.

MerkenTeilen mit Zerlegen

Die Zahl so zerlegen, dass jeder Teil glatt aufgeht. So wird 385 : 7 zu 350 : 7 + 35 : 7.

BeispielHalbschriftlich dividieren

Zerlege 268 so in zwei Zahlen, dass du beide leicht durch 4 dividieren kannst. Was ergibt 268 : 4?
268: 4
Schritt für Schritt
  1. 268 = 240 + 28
  2. 240 : 4 = 60 und 28 : 4 = 7
  3. 60 + 7 = 67
  1. 268 = 240 + 28
  2. 240 : 4 = 60 und 28 : 4 = 7
  3. 60 + 7 = 67
Ergebnis:
67

AchtungBeim Teilen nicht passend zerlegt

So nicht
385 : 7: 300 : 7 geht nicht glatt → aufgegeben
So richtig
385 : 7 = 350 : 7 + 35 : 7 = 50 + 5 = 55

Jeder Teil muss sich glatt teilen lassen. Erst ein großes Vielfaches abspalten.

ÜbenJetzt du

  1. ○10
    Zerlege 156 so in zwei Zahlen, dass du beide leicht durch 3 dividieren kannst. Was ergibt 156 : 3?
    156: 3
    So fängst du an:
    156 = 150 + 6
    Lösung zeigen
    1. 156 = 150 + 6
    2. 150 : 3 = 50 und 6 : 3 = 2
    3. 50 + 2 = 52
    Ergebnis:
    52
  2. ●11
    Zerlege 162 so in zwei Zahlen, dass du beide leicht durch 9 dividieren kannst. Was ergibt 162 : 9?
    162: 9
    Lösung zeigen
    1. 162 = 90 + 72
    2. 90 : 9 = 10 und 72 : 9 = 8
    3. 10 + 8 = 18
    Ergebnis:
    18
  3. ★12
    1204 Bücher werden gleichmäßig auf 7 Regalböden aufgeteilt. Wie viele bekommt jeder Teil? Rechne halbschriftlich.
    Lösung zeigen
    1. 1204 : 7
    2. 1204 = 1190 + 14
    3. 1190 : 7 = 170 und 14 : 7 = 2
    4. 170 + 2 = 172
    Ergebnis:
    172 Bücher

5Ich finde Aufgaben mit gleichem Ergebnis und vergleiche Rechenausdrücke.

EntdeckenFrage

Warum stimmt der Trick „mal 9 ist mal 10 minus einmal“ immer?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Neunmal eine Zahl ist zehnmal die Zahl minus einmal die Zahl. So wird 9 · 47 zu 470 − 47 = 423. Das ist das Verteilungsgesetz: 9 ist 10 minus 1.

MerkenAusdrücke mit gleichem Wert

Verschiedene Rechenausdrücke können denselben Wert haben.

Wer die Rechengesetze nutzt, sieht das oft ohne Ausrechnen.

BeispielAufgaben mit gleichem Ergebnis

Ergänze die Lücke: 88 − 30 = ___ − 32
Schritt für Schritt
  1. 30 wird zu 32: 2 mehr.
  2. Damit der Abstand bleibt, wird auch 88 um 2 größer.
  3. 88 + 2 = 90
  1. 30 wird zu 32: 2 mehr.
  2. Damit der Abstand bleibt, wird auch 88 um 2 größer.
  3. 88 + 2 = 90
Ergebnis:
90

AchtungPunkt vor Strich missachtet

So nicht
9 + 5 · 7 = 14 · 7 = 98
So richtig
9 + 5 · 7 = 9 + 35 = 44

Klammer zuerst, dann Mal und Geteilt, dann Plus und Minus.

ÜbenJetzt du

  1. ○13
    Ergänze die Lücke: 55 + 32 = 57 + ___
    55 + 32=57 + ?
    So fängst du an:
    55 wird zu 57: 2 mehr.
    Lösung zeigen
    1. 55 wird zu 57: 2 mehr.
    2. Damit die Summe gleich bleibt, wird 32 um 2 kleiner.
    3. 32 − 2 = 30
    Ergebnis:
    30
  2. ●14
    Finde die fehlende Zahl mit einem Rechengesetz: 16 · 5 = 8 · ___
    16 · 5=8 · ?
    Lösung zeigen
    1. 16 wird halb so groß: 8.
    2. Damit das Ergebnis gleich bleibt, wird 5 doppelt so groß.
    3. 5 · 2 = 10
    Ergebnis:
    10
  3. ★15
    Welche Zahl fehlt? Rechne nicht beide Seiten aus. 8 · 34 + 8 · 9 = 8 · ___
    Lösung zeigen
    1. Beide Produkte haben den Faktor 8.
    2. 8 mal 34 und 8 mal 9 sind zusammen 8 mal (34 + 9).
    3. 34 + 9 = 43
    Ergebnis:
    43

6Ich rechne mit Verdoppeln und Halbieren und prüfe, ob das Ergebnis gleich bleibt.

EntdeckenFrage

Wie merkt man in Sekunden, dass 98 · 102 nicht 99.960 sein kann?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Man rechnet nicht, man überschlägt: 100 · 100 = 10.000. Das Ergebnis muss also in der Nähe von 10.000 liegen. 99.960 ist fast zehnmal so groß und kann nicht stimmen. Richtig ist 9996.

MerkenVerdoppeln und halbieren

Wird ein Faktor verdoppelt und der andere halbiert, bleibt das Produkt gleich.

Werden beide verdoppelt, wird es viermal so groß.

BeispielVerdoppeln und Halbieren

Rechne geschickt: Halbiere den einen Faktor und verdopple den anderen. 16 · 5
Schritt für Schritt
  1. 16 · 5 = 8 · 10
  2. 8 · 10 = 80
  1. 16 · 5 = 8 · 10
  2. 8 · 10 = 80
Ergebnis:
80

AchtungBeide Faktoren verdoppelt

So nicht
8 · 25 → 16 · 50 = 800
So richtig
8 · 25 → 4 · 50 = 200

Nur einer wird verdoppelt, der andere halbiert. Sonst ändert sich das Ergebnis.

ÜbenJetzt du

  1. ○16
    Warum ist 12 · 15 dasselbe wie 6 · 30? Rechne dann geschickt.
    So fängst du an:
    Halb so viele Reihen, jede doppelt so lang: gleich viele Kästchen.
    Lösung zeigen
    1. Halb so viele Reihen, jede doppelt so lang: gleich viele Kästchen.
    2. 12 · 15 = 6 · 30
    3. 6 · 30 = 180
    Ergebnis:
    180
  2. ●17
    Warum ist 16 · 25 dasselbe wie 8 · 50? Rechne dann geschickt.
    Lösung zeigen
    1. Halb so viele Reihen, jede doppelt so lang: gleich viele Kästchen.
    2. 16 · 25 = 8 · 50
    3. 8 · 50 = 400
    Ergebnis:
    400
  3. ★18
    Warum ist 14 · 35 dasselbe wie 7 · 70? Rechne dann geschickt.
    Lösung zeigen
    1. Halb so viele Reihen, jede doppelt so lang: gleich viele Kästchen.
    2. 14 · 35 = 7 · 70
    3. 7 · 70 = 490
    Ergebnis:
    490

7Ich wähle zu einer Aufgabe den passenden Rechenweg.

EntdeckenFrage

Wie rechnen Darts-Profis blitzschnell aus, wie viele Punkte ihnen von 501 noch fehlen, wenn sie 140 geworfen haben?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Der geschickte Weg nimmt erst eine runde Zahl. 500 − 140 = 360, und der eine Extrapunkt kommt dazu: 361. Das geht schneller als 501 − 140 Stelle für Stelle. Am Ergebnis ändert der Weg nichts.

MerkenDen passenden Weg wählen

Vor dem Rechnen die Zahlen ansehen.

Liegt eine Zahl nahe an einer glatten, lohnt sich ein Vorteil, sonst rechnet man schriftlich.

BeispielDen passenden Rechenweg wählen

Welchen Rechenvorteil nutzt du bei 8 · 25? Nenne ihn. Rechne danach.
8 · 25zerlegenhalbieren und verdoppelnschriftlich
Schritt für Schritt
  1. 25 wird verdoppelt glatt: halbieren und verdoppeln.
  2. 8 · 25 = 4 · 50
  3. 4 · 50 = 200
  1. 25 wird verdoppelt glatt: halbieren und verdoppeln.
  2. 8 · 25 = 4 · 50
  3. 4 · 50 = 200
Ergebnis:
halbieren und verdoppeln, 200

AchtungUmständlichen Weg gewählt

So nicht
299 + 158 schriftlich untereinander gerechnet, dabei verrechnet: 447
So richtig
299 + 158 = 300 + 157 = 457

Erst die Zahlen ansehen: Liegt eine nahe an einer glatten Zahl?

ÜbenJetzt du

  1. ○19
    Welcher Weg passt zu 5 · 63? Nenne ihn. Rechne danach.
    5 · 63zerlegenhalbieren und verdoppelnschriftlich
    So fängst du an:
    Den zweiten Faktor zerlegen: 63 = 60 + 3.
    Lösung zeigen
    1. Den zweiten Faktor zerlegen: 63 = 60 + 3.
    2. 5 · 60 = 300 und 5 · 3 = 15
    3. Zusammen: 315
    Ergebnis:
    zerlegen, 315
  2. ●20
    Wie rechnest du am schnellsten: 12 · 25? Nenne ihn. Rechne danach.
    Lösung zeigen
    1. 25 wird verdoppelt glatt: halbieren und verdoppeln.
    2. 12 · 25 = 6 · 50
    3. 6 · 50 = 300
    Ergebnis:
    halbieren und verdoppeln, 300
  3. ★21
    Wie rechnest du am schnellsten: 35 + 78 + 65? Nenne ihn. Rechne danach.
    Lösung zeigen
    1. Zwei Zahlen ergeben zusammen 100: vertauschen und zusammenfassen.
    2. 35 + 65 = 100
    3. 100 + 78 = 178
    Ergebnis:
    vertauschen, 178

8Ich finde Rechenfehler mit Überschlag und Umkehraufgabe.

EntdeckenFrage

Warum zählt man Rückgeld vom Preis aus nach oben, statt abzuziehen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Wer 13,40 € zahlen muss und 20 € gibt, bekommt 20 − 13,40 = 6,60 € zurück. Beim Hochzählen rechnet man die Umkehraufgabe: 13,40 + 6,60 = 20. Kommt man genau auf den gegebenen Betrag, stimmt das Rückgeld.

MerkenÜberschlag und Umkehraufgabe

Ein Überschlag mit runden Zahlen zeigt, ob ein Ergebnis stimmen kann.

Die Umkehraufgabe prüft es genau.

BeispielRechenfehler mit Überschlag und Umkehraufgabe finden

Paul rechnet 308 : 7 und erhält 44. Prüfe mit der Umkehraufgabe.
308 : 7Ergebnis 44?
Schritt für Schritt
  1. Umkehraufgabe: 44 · 7 = 308
  2. 308 ist genau 308: Es stimmt.
  3. 308 : 7 = 44
  1. Umkehraufgabe: 44 · 7 = 308
  2. 308 ist genau 308: Es stimmt.
  3. 308 : 7 = 44
Ergebnis:
stimmt, 44

AchtungErgebnis nicht geprüft

So nicht
425 : 5 = 805, ohne Probe ins Heft
So richtig
425 : 5 → Überschlag 400 : 5 = 80 → 85, Probe 85 · 5 = 425

Mit einem Überschlag prüfen, ob die Größenordnung stimmt, dann mit der Umkehraufgabe.

ÜbenJetzt du

  1. ○22
    Noah rechnet 948 − 332 und erhält 616. Prüfe mit der Umkehraufgabe.
    So fängst du an:
    Umkehraufgabe: 616 + 332 = 948
    Lösung zeigen
    1. Umkehraufgabe: 616 + 332 = 948
    2. 948 ist genau 948: Es stimmt.
    3. 948 − 332 = 616
    Ergebnis:
    stimmt, 616
  2. ●23
    Jonas rechnet 783 : 9 und erhält 89. Prüfe mit der Umkehraufgabe.
    783 : 9Ergebnis 89?
    Lösung zeigen
    1. Umkehraufgabe: 89 · 9 = 801
    2. 801 ist nicht 783: Es ist falsch.
    3. 783 : 9 = 87
    Ergebnis:
    falsch, richtig ist 87
  3. ★24
    Paul rechnet 1735 : 5 und erhält 349. Prüfe mit der Umkehraufgabe.
    1735 : 5Ergebnis 349?
    Lösung zeigen
    1. Umkehraufgabe: 349 · 5 = 1745
    2. 1745 ist nicht 1735: Es ist falsch.
    3. 1735 : 5 = 347
    Ergebnis:
    falsch, richtig ist 347

Vermischte Übungen

Alles durcheinander – wie in der Arbeit. Überleg bei jeder Aufgabe zuerst: Welches Ziel ist das?

Üben

  1. ●25
    Welche Zahlen fasst du bei 23 + 41 + 27 zuerst zusammen? Begründe. Rechne danach.
    234127
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 23 + 27 + 41
    2. 23 + 27 = 50
    3. Zusammen glatt, der Rest ist leicht: 50 + 41 = 91
    Ergebnis:
    91
  2. ●26
    Rechne geschickt: 15 · 2 · 5
    1525
    Lösung zeigen
    1. Vertauschen: 5 · 2 · 15
    2. 5 · 2 = 10
    3. 10 · 15 = 150
    Ergebnis:
    150
  3. ●27
    Noah rechnet 297 + 75 als 300 + 75. Was muss Noah danach noch tun? Was kommt heraus?
    29775
    Lösung zeigen
    1. Noah hat 297 um 3 vergrößert.
    2. Die Summe ist dadurch um 3 zu groß: 300 + 75 = 375.
    3. 3 wieder abziehen: 375 − 3 = 372
    Ergebnis:
    372
  4. ●28
    Rechne geschickt durch gleichsinniges Verändern: 162 − 98
    Lösung zeigen
    1. Beide Zahlen um 2 vergrößern: Der Abstand bleibt gleich.
    2. 162 − 98 = 164 − 100
    3. 164 − 100 = 64
    Ergebnis:
    64
  5. ●29
    Rechne halbschriftlich: Zerlege den zweiten Faktor. 7 · 35
    Lösung zeigen
    1. 35 = 30 + 5
    2. 7 · 30 = 210 und 7 · 5 = 35
    3. 210 + 35 = 245
    Ergebnis:
    245
  6. ●30
    Ein Rechteck hat 5 Reihen mit je 14 Kästchen. Die rote Linie teilt es. Wie viele Kästchen sind es?
    1045
    Lösung zeigen
    1. Linker Teil: 5 · 10 = 50
    2. Rechter Teil: 5 · 4 = 20
    3. Zusammen: 50 + 20 = 70
    Ergebnis:
    70 Kästchen

Auf einen Blick

MerkenDas Wichtigste

Vertauschen und zusammenfassen
Beim Plus und beim Mal darf man die Zahlen vertauschen und anders zusammenfassen.
Gegensinnig und gleichsinnig
Bei einer Summe gibt ein Summand ab, was der andere bekommt.
Malnehmen mit Zerlegen
Einen Faktor zerlegen, jeden Teil malnehmen und die Teilergebnisse addieren.
Teilen mit Zerlegen
Die Zahl so zerlegen, dass jeder Teil glatt aufgeht. So wird 385 : 7 zu 350 : 7 + 35 : 7.
Ausdrücke mit gleichem Wert
Verschiedene Rechenausdrücke können denselben Wert haben.
Verdoppeln und halbieren
Wird ein Faktor verdoppelt und der andere halbiert, bleibt das Produkt gleich.
Den passenden Weg wählen
Vor dem Rechnen die Zahlen ansehen.
Überschlag und Umkehraufgabe
Ein Überschlag mit runden Zahlen zeigt, ob ein Ergebnis stimmen kann.

Kannst du das?

Je Ziel eine Aufgabe. Rechne sie ins Heft, dann kreuz ehrlich an. Keine Punkte, keine Note – der Test ist für dich.

ÜbenSelbsttest

  1. Ich rechne Plusaufgaben und Malaufgaben geschickt durch Vertauschen und Zusammenfassen.

    31
    Welche Zahlen fasst du bei 17 + 25 + 43 zuerst zusammen? Begründe. Rechne danach.
    172543
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    85

  2. Ich verändere Summen gegensinnig und Differenzen gleichsinnig.

    32
    Ergänze so, dass die Summe gleich bleibt: 297 + 95 = 300 + ___
    29795
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    92

  3. Ich nehme halbschriftlich mal, indem ich einen Faktor zerlege.

    33
    Rechne geschickt über die glatte Zahl: 6 · 19
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    114

  4. Ich dividiere halbschriftlich, indem ich die Zahl geschickt zerlege.

    34
    Rechne halbschriftlich: 585 : 9
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    65

  5. Ich finde Aufgaben mit gleichem Ergebnis und vergleiche Rechenausdrücke.

    35
    Welche Zahl fehlt? Rechne nicht beide Seiten aus. 94 − 54 = ___ − 55
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    95

  6. Ich rechne mit Verdoppeln und Halbieren und prüfe, ob das Ergebnis gleich bleibt.

    36
    Warum ist 14 · 5 dasselbe wie 7 · 10? Rechne dann geschickt.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    70

  7. Ich wähle zu einer Aufgabe den passenden Rechenweg.

    37
    Welchen Rechenvorteil nutzt du bei 12 · 25? Nenne ihn. Rechne danach.
    12 · 25zerlegenhalbieren und verdoppelnschriftlich
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    halbieren und verdoppeln, 300

  8. Ich finde Rechenfehler mit Überschlag und Umkehraufgabe.

    38
    Ben rechnet 324 : 6 und erhält 64. Prüfe mit der Umkehraufgabe.
    324 : 6Ergebnis 64?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    falsch, richtig ist 54

Bei „unsicher“ oder „noch nicht“: Lies den Abschnitt zum Ziel noch einmal und rechne seine drei Aufgaben.

Die Frage vom Anfang

EntdeckenRückschau

Rechne im Kopf, so schnell du kannst: 25 · 17 · 4. Schreib nichts auf und nimm keinen Taschenrechner.

Lies deine Vermutung vom Anfang. Kannst du die Frage jetzt mit dem Kapitel beantworten?

Auflösung

Mit dem Werkzeug aus diesem Kapitel: Vertauschen und Zusammenfassen: erst die Zahlen, die zusammen glatt werden.

Wo brauchst du das?

Entdecken

Preise im Kopf addieren, Rückgeld überschlagen, Mengen für ein Fest ausrechnen. Beruf: Kasse und Verkauf, Handwerk beim Materialberechnen, Lager und Versand.

Wörter

Differenz
was übrig bleibt, wenn man abzieht
Gleichung
zwei Rechnungen, die gleich viel wert sind
Produkt
was herauskommt, wenn man malnimmt
Summe
was herauskommt, wenn man zusammenzählt
Teiler
eine Zahl, durch die es ohne Rest aufgeht

Wie es zusammenhängt

Das brauchst du vorher: Rechenregeln, Teiler und Vielfache, Natürliche Zahlen und Stellenwert

Darauf baut auf: Sachaufgaben lösen

Lösungen

  1. 121
  2. 127
  3. 1881
  4. 66
  5. 71
  6. 663
  7. 440 Stühle
  8. 294
  9. 621
  10. 52
  11. 18
  12. 172 Bücher
  13. 30
  14. 10
  15. 43
  16. 180
  17. 400
  18. 490
  19. zerlegen, 315
  20. halbieren und verdoppeln, 300
  21. vertauschen, 178
  22. stimmt, 616
  23. falsch, richtig ist 87
  24. falsch, richtig ist 347
  25. 91
  26. 150
  27. 372
  28. 64
  29. 245
  30. 70 Kästchen
  31. 85
  32. 92
  33. 114
  34. 65
  35. 95
  36. 70
  37. halbieren und verdoppeln, 300
  38. falsch, richtig ist 54
  39. 31
  40. 72
  41. 20
  42. 56